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第五章 时间推进法. 内容 守恒形式欧拉方程 非定常欧拉方程的特征线 非定常欧拉方程显式差分 多维流的时间分裂法 非定常欧拉方程有限体积法 无粘流计算的人工粘性 加速收敛的方法及算例 重点 多维流的时间分裂法 非定常欧拉方程有限体积法. 5-1 守恒形式的非定常欧拉方程. 一、引言 激波存在时，流场有旋，不存在势函数，不能用速势方法。 不记粘性时，可以用欧拉方程描述流场。 非定常二维可压缩欧拉方程. 方程的性质 方程是双曲型（对时间） 跨音速区包含激波 时间推进分法可以克服跨音速计算困难 基本思路：把定常问题化为非定常问题的渐进解（稳态） - PowerPoint PPT Presentation
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第五章 时间推进法内容
守恒形式欧拉方程非定常欧拉方程的特征线非定常欧拉方程显式差分多维流的时间分裂法非定常欧拉方程有限体积法无粘流计算的人工粘性加速收敛的方法及算例
重点多维流的时间分裂法非定常欧拉方程有限体积法
5-1 守恒形式的非定常欧拉方程一、引言
激波存在时，流场有旋，不存在势函数，不能用速势方法。
不记粘性时，可以用欧拉方程描述流场。
非定常二维可压缩欧拉方程
2
( ) ( )0
0
0
( ) 0
u v
t x y
u u u pu v
t x y x
v v v pu v
t x y y
p p pu v a u v
t x y t x y
方程的性质 方程是双曲型（对时间） 跨音速区包含激波 时间推进分法可以克服跨音速计算困难 基本思路：把定常问题化为非定常问题的渐进解（稳态） 全场统一用一种数值方法 可以使用有限体积方法
二、积分形式的守恒型非定常方程组
只有写成守恒形式的方程才能代表物理守恒律和间断面上的物理守恒律。
连续方程：
动量方程：
能量方程：
令
绝势流动能量方程为：
( )A
v n dA dt
( )A A
vd pndA V n VdAt
2 2
( ) ( ) ( ) ( )2 2A A
v vQ p v n dA e V n dA e d
t
2
( ) ( )2 2v
v vE C T e
( )A
Ed EV ndA p v n dAt
三、微分形式的守恒非定常流欧拉方程（ 3D ）
或引入总焓 ，则
2
2
2
( ) ( ) ( )0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
[( ) ] [( ) ] [( ) ] 0
u v w
t x y z
u u u uv uwt x y z
v uv v p vwt x y z
w uw vw p wt x y z
EE p u E p v E p w
t x y z
0h
0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )) 0h p h u h v h wt x y z
根据连续方程改写为
0 10
Dh p
Dt t
0E p h
四、守恒的欧拉方程组的缩写
0
z
H
y
G
x
F
t
U
其中， U,F,G,H 是列向量
通用形式
E
w
v
u
U
2
( )
u
u
F uv
uw
E p u
2
( )
u
uv
G u p
vw
E p v
2
( )
w
wu
H wv
w p
E p w
可写成是向量矩阵形式
HiGiFiW zyx
0
Wt
U
则
( )
v
uV pi
W vV p j
wV pk
E p v
����������������������������
�������������� ����������������������������
����������������������������
积分型的矢量矩阵表达式
0
dAnWUdt
五、气体状态方程
0
x
F
t
U
( 1) vp r C T RT
E
uU
upE
pu
u
F
)(
2
其中，
引入完全气体状态方程
方程组封闭可解
例 : 一维流欧拉方程具体表达式
mu
E
mU
2
3
2
2
12
3)1(
mrrmE
mrEr
m
F
x
U
U
F
x
F
令 则
F 是复合函数
3
2
1
U
U
U
U
3
2
1
F
F
F
F
1 1 1
1 2 3
2 2 2
1 2 3
3 3 3
1 2 3
F F F
U U U
F F FFA
U U U U
F F F
U U U
2
2 2
3 2
0 1 0
(3 )(3 ) ( 1)
2
3( 1) ( 1)
2
r m mr r
rmE m E m rmr r
令
AUFx
UA
t
U
,0
0, ,U U V
A B F AU G BVt x y
方程可写为
同理可写出二维欧拉方程的通用表达式
vnum
E
n
mU
,,其中
§5-2非定常欧拉方程的特征线（自学）
5-3 非定长欧拉方程的显式格式一、简单线性波动方程
0t xu au 其解析解存在
( , )u f x at
constx at
( 1) ( ) ( ) ( )1 1 02
n n n ni i i iu u u u
at x
沿特征线上
二、一阶精度显示差分
t
x
xt
x=at+c
0
( 1) ( ) ( ) ( ) 21 1[ ] ( )
2n n n ni i i i
tu u u u O t
x
xa
t
( 1) ( ) ( ) ( )1 1
1
2n n n ni i i iu u u u
（ ）
截断误差
差分依赖区边界上
（微分依赖区与差分依赖区重合）
( 1) ( )1
n ni iu u
( ) ( ) ( )1 1
12
2n n ni i iu u u （ ＋ ）
精确平移条件：特征线 上 u 不变
一阶显示差分格式将不稳定，不能用
i-1 i
特征线
constx at
2 2( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3
1 1 1 12
( )[ ] 2 ( )
2 2( )n n n n n n ni i i i i i i
a t a tu u u u u u u O t
x x
（ ＋ ）+
( )t
ax
三、二阶精度的显示格式
利用 Taylor 级数可构造二阶精度显示差分格式
差分方程稳定性：（差分方程依赖区不小于微分方程依赖区）
CFLt
ax
CFL 1
令
则有
当 CFL=1时，差分方程的依赖区与微分方程依赖区重合，得到的结果与精确解相同
CFL( Courant-Friedrichs-Lowy) 数
( 1) ( ) ( ) ( )1 1( )n n n n
i i i i
a tu u u u
x
( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( 1)1
1{ ( )}
2n n n n ni i i i i
a tu u u u u
x
( 1) ( ) ( ) ( ) ( )1
1{ [ ]
2n n n n ni i i i i
a tu u u u u
x
( ) ( ) ( )1 1[ ( )]n n n
i i i
a t a tu u u
x x
( ) ( ) ( )1[ ( )]}n n n
i i i
a t a tu u u
x x
四、二阶精度显示两步差分
校正：
即
具有二阶精度
预估：
xu( )n
xu�
( 1)niu
xu��������������
( 1) ( ) ( ) ( )1( )n n n n
i i i i
a tu u u u
x
( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( 1)1
1{ ( )}
2n n n n ni i i i i
a tu u u u u
x
二步格式的构造
向后差分
给出中间结果
校正 ： 用中间结果构造向前差分
可以反过来，先向前再向后差分，即
，具有一阶精度
得到二阶精度
预估：
五、一维流欧拉方程组差分格式
方程通用格式
V 、F 表达式同前
预估式
V 具有一阶精度
校正式
V 具有二阶精度
与其等价的微分方程为
0
x
F
t
V
( 1) ( ) ( ) ( )1[ ]n n n n
i i i i
tU U F F
x
)]([2
1 )1()1(1
)1()()1(
ni
ni
ni
ni
ni FF
x
tuuU
06
)( 2
2
3
t
tx
F
x
F
t
V
稳定性条件：差分方程依赖区不小于微分方程依赖区。
V 其稳定性条件
即
auudt
dx ,
auauauuMaxt
x
},,{
aux
t
1
或
CFL！没有经过严格证明的结论
六、二维流欧拉方程组 方程通用形式
其中 U,F,G 同前 两步法格式 :
① 预估
① 校正
1)(
x
tau
0
y
G
x
F
t
U
( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , 1, , , 1[ ] [ ]n n n n n ni j i j i j i j i j i j
t tu u F F G G
x y
]}[][{2
1 )1(,
)1(1,
)1(,
)(,1
)1(,
)(,
)1(,
nji
nji
nji
nji
nji
nji
nji GG
y
tFF
x
tuuu
以差分算子 Lxy 表示，则
——MacCormark 二阶精度差分格式
分 “七点式” “五点式”
稳定性条件：
或
)(1 )( nn UtLxyU
}
])11
([
1,
1min{
2
1
22 yxa
yv
xu
yv
xu
t
2
1
22 )11
(
1
yxa
y
v
x
ut
§5-4 多维流的时间分裂法 Time deposition method of Multi-dimension flow
维数增加，稳定性所允许的最大时间步长减小。 Number of dimensions increase leads the stability time step decrease
显示格式的计算率降低 Efficiency of explicit scheme decrease
用两步时间分裂的差分格式将多维差分方程分解为多个一维差分格式 Two step time decomposition method is to decompose computation into two step
1( ) ( ) ( )2
, , , , 1
1 1 1 1( ) ( )( )2 2 2 2
, , , , 1 ,
prediction ( )
y1
correction ( )2
n n n ni j i j i j i j
n n n nni j i j i j i j i j
tU U G G
y
tU U U G G
y
预估
对 差分
校正
1 1 11 2 2 2
, , , 1,
1( )( 1) ( 1) ( 1) ( 1)2
, , , 1, ,
prediction ( )
x1
correction ( )2
n n nni j i j i j i j
nn n n ni j i j i j i j i j
tU U F F
x
tU U U F F
x
（ ）预估对 差分
校正
或记为1
( ) ( )2
1( )( 1) 2
( 1) ( )
( )
( )
( ) ( )
n ny
nn
n ny
U L t U
U Lx t U
U Lx t L t U
合计为
依赖于 x,y 平面内的九个点，先对 y 求解，再对 x 求解，为消除 x,y 顺序影响，第二个时间步可先对 x 求解再对 y求解。
It depends on 9 points in x y plane, firstly to solve it for x then for y in order
to eliminated the effect on sequence ,second step is for x first and then for
y.y
x0
在各个方向都按各自的稳定性限制条件来确定推进时间步长 To determine time step individual for x and y
各方面均选取最大允许的值。 On both direction , the time step can be maximum value.
举例：三角形翼型的流动。 契形顶角 Example ： triangle airfoil AOA 10 ,Angle of leading edge
( ) ( )2 ( ) ( ) ( ) ( ) nx y
ny x L t L t UU L t L t
4.5 2, 10M 迎角
2M 4.5
Take =const
y 方向分三区：近场、中场、远场 Divide 3 zones in y direction, near，middle， far field
x 取 常数
x
估算 x和 y 方向时间步长Calculate the time steps in x and y direction.
,
3
,1.157
x
y
xt
a
yt
a
时间步长： time step :
中间场： middle
近 场： near
远 场： far
x yt t
1
2y xt t
2y xt t
1min{ , }
2 6x y x
xt t t t
a
( ) (2 ) ( )y x yL t L t L t
(2 ) (2 )x yL t L t
最大时步长
各区的运算可规定为 The computation regular for every zone
中间
Max time step
近场
near
middle
(2 ) (4 ) (2 )x y xL t L t L t
4 t4 t
( 2) ( )( ) (2 ) ( )n ny x yU L t L t L t U
( 2) ( )(2 ) (2 )n nx yU L t L t U
( 4) ( 2)( ) (2 ) ( )n ny x yU L t L t L t U
远场
四步推时 的运算可规定为) computation
中 Middle
near
far
4 steps match (
近 near
近
( 4) ( 2)(2 ) (2 )n nx yU L t L t U
( 4) ( 2)(2 ) (4 ) (2 )n nx y xU L t L t L t U
中
middle
远 12 32ⅹ 网格 1 次 far
远far
可提高效率 Improve efficiency
:Lx 近场 4 32ⅹ 网格 4 次 near
中 8 32ⅹ 网格 2 次 middle
近场，中场，远场均执行 2次，共 1536次 Near middle far perform 2 times, 1536
1408 1536
4y x
al
T TT
t
推进 4 ，执行的运算次数（时间）
:Ly
Total computational time for 4 in total matching
xyT
' 0.758
xt t
a
若三区网格数相同，全部时间为
允许最大时间步Max time step
If the mesh number are same for three zones（ 24 32ⅹ ）
时间分裂格式的相对数值效率为The numerical efficiency of time matching scheme
/ 2.5st alT T
其中 Tst代表单位推进需要的计算机时Where Tst denotes time required for every step
结果见 p117中图 5.4.6Results: See p117, Fig.5.4.6
0 10
Dh p
Dt t
0p
t
0h const
非定常欧拉方程组中，用总焓方程代替非定常能量方程也能求得定常解
In unsteady Euler Eqs. The energy equation can be replace by equation of total
当 时，方程趋于定常，整个流场总焓不变
When the equation becomes steady form0p
t
5-5非定常欧拉方程有限体积法 The finite volume method for Euler equations
0A
Ud W ndAt
''''''''''''''''''''''''''''
限体积法：用基本方程积分，以空间体积元素为对象离散化方程
Finite volume method: to use integral form of basic equations, and express discrete equation in form of volume
其中（对二维问题） where ( for 2d problem)
2
2
u ,
,
U W iF jG
v
u v
F u p G uv
uv v p
������������������������������������������
为控制面的法向量 Where is normal vector of control surface
n
n
2 21( )
1 2
r pu v const
r
总焓均匀且不随时间变化的 Euler流 The Euler flow in which the total
enthalpy is uniform and does not change with time
一、 Maccormark 时间分裂有限体积法 Time decomposition method of Maccormark
二阶精度显示两步法格式 2nd order explicit FD with two steps matching
1
( ) ( ) ( ) ( )2, , , , 1
prediction
n n n ni j i j i j i j
tU U G
yxG x
预估
i-1,j i,j i+1,j
i,j-1
i,j+1
y
xo
网格单元面积（三维问题则为体积） the area of mesh
,i jV x y
单元边界长度矢量（面积矢量） the vector of boundary edges
1,
2
1,
2
yi j
yi j
S xi
S xi
����������������������������
����������������������������
差分格式的积分表形式 the integrated form of FD
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2, , , 1 , 1 1
, ,, 2 2
n n n n n ni j i j i j i j
i j i ji j
tU U W S W S
V
��������������������������������������������������������
其中 代表网格中心点的值 where donates the value of center of the mesh
( ),ni jU
( ),ni jU
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2, , , , 1 1 , 1
, ,, 2 2
1,
2
1,
2
)
1
2
n n n nni j i j i j i j i j
i j i ji j
xi j
xi j
x
tU U U W S W S
V
S i x
S i y
��������������������������������������������������������
��������������
��������������
校正（
1 1 1( )( 1) 2 2 2
, , , 1 1, 1, ,
, 2 2
n n nni j i j i j i j
i j i ji j
tU U W S W S
V
��������������������������������������������������������
先预估predi cti on（x-）
1( )( 1) ( 1) ( 1) ( 1)2
, , , 1, 1 , 1, ,
, 2 2
1
2
nn n n ni j i j i j i j i j
i j i ji j
tU U U W S W S
V
��������������������������������������������������������后校正correcti on（y-）
引入算子表达式 introduce FD calculator
稳定条件 stability condition
,
,
, 1 , 1, ,
2 2
,
,
, 1 , 1, ,
2 2
: min
: min
( ) ( ) : min( , )
i jy
i j
i j i ji j i j
i jx
i j
i j i ji j i j
x y
VLy t
V S a S
VLx t
V S a S
Ly y Lx t t t t
������������������������������������������
������������������������������������������
1( ) ( )2
1( )( 1) 2
( )
( )
n ny
nn
U L t U
U Lx t U
( 二 ) 非正交曲线坐标网格 Non-orthogonal grids
有限体积格式不仅可用于正交网格，也可用于非正交网格 FVM can be apply not only in orthogonal grids but also in non-orthogonal grids
当 为常数时，格式是有二阶精度Where are constant, the scheme is of 2nd precision
y x ，
y x
12
34
对非正交网格For non-orthogonal grids
1 2 1 2 1, 2
1 3 4 3 4, 2
1 4 1 4 1,2
1 3 2 3 2,2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
i j
i j
i j
i j
S i y y j x x
S i y y j x x
S i y y j x x
S i y y j x x
������������������������������������������
������������������������������������������
������������������������������������������
������������������������������������������
1
2
3
4
1, 2i jS
��������������
体积（面积）Volume（ area ）
)])(())([(2
1
)
1
1
1
1
1
1
(2
1
42431242
11
44
33
33
22
11
yyxxyyxx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
Vij
以连续方程为例，写出差分方程有限体积格式Take continuity equation as an example ， the FD scheme for
FVM can be written as
1( ) ( ) ( ) ( )2
, 1 1, ,
( ) ( )1, 1 , 1 , 1 1, ,
{[( ) ( ) ] ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ......}
n n n nij ij i j i j i j
ij
n nij i j i j i j i j i j
tv v x x
V
u y y u y y
)1(
,,12
1
,1,1,12
1
1,
,,12
1
,2
1
1,2
1)
2
1(
)]}()()()(
)()()[({2
1
nij
jiji
n
jijiji
n
ji
jiji
n
ji
n
jiij
n
ijnij
n
yyuyyu
xxvvV
t
例：叶栅通道 Maccormack 格式用于叶栅通道 拟流线为直线 / 曲线 前后缘设置尖劈
S2
S1
S3
S4i,j
A
BC
D
EF
G
HS
P
二、 Denton 方法Denton method
ABCD 网格单元，由拟流线组成Mesh is constructed with quasi-streamlines
计算点位于拟流线上且在单元的中央 Computational nodes are on quasi-streamline and the center of the
mesh
Denlon 改进格式
ijijinjijiji
njijiji
nji
ji
nnji uuyuyyuyyu
V
tji
1,1,11,1,11,1,2\11,1,,2\1,
1, )(
,
n
ji
n
jinji
nji vu
r
rRTp ,
2,
20
1,
1, 2
1
).( 1,1,1
,2\1,2\12
,,
1,
jijin
ji
n
jiji
nji
nji yypu
V
tuu
1,1,111,1,
2 . jiji
nji
n
ji yypu
ii
njijiji
nji
jijinji
n
ji
xxuvxxuv
yypu
11,,,11,
1,1,111,1,
2 .
njijiji
nji
ji
nji
nji uvyyuv
V
tvv 1,2\11,1,,2\1
,,
1, )(
1,11,11
,2\1,2\12 .
jijin
ji
n
ji yypu
)(
)(
)(.
1,1,11,
1,1,111,,,1
11,1,
,,11
1,1,2
1,11,1
jijinji
jijinjijiji
nji
nji
jijinji
n
jijiji
yyuv
yyuvxxpv
xxpvyy
以 f 表示通量（ ）则可简化为 To press the flux with f, then FD can be
simplified as following
其中， Cf和 Cp 是通量和压强修正量 Where Cf and Cp are flux and pressure flux
uvuu ,, 2
11/2, 1, 1/2,
nn ni j i j f i jf f C
11 11/2, , 1/2,
nn ni j i j p i jp p C
Ff 是通量插值函数，由（ i， j ），（ i-1， j ），（ i-2,j ）三个
Ff is the interpolation function ,it can be obtained from
计算点的通量内插得到 Three points(i,j),(i-1,j),(i-2,j)Fp 是压强插值函数，由（ i-1,j ），（ i,j ），（ i+1,j ）三点内
插 Fp is the interpolation function obtained from points （ i-1,j ），（ i,j ），（ i+1,j ）
xFCC
xFCC
pnp
np
fnf
nf
1
11
1
是松弛因子 is the relaxation factor同理可写出 和 的表达式 Based the same principle , and
can be obtained
注意：上述格式中，速度分量用旧速度压强用新速度和旧速度组成差分格式先求解密度和压强，再求解动量方程求新速度场
njif ,2\1
1,2\1
n
jipn
jif ,2\1 1
,2\1
n
jip
三、边界条件
进 / 出口边界条件 Generally three types of BC ,inlet\outlet BC
周期性 Periodic BC
物面边界条件 Wall BC
远场边界条件 Far field BC
一般有四种：
对于叶栅通道内流动，有四种： For a cascade flow channel ,three are four BC
进口边界（ AH） Inlet boundary(AH)
周期性边界（ AB CD HG FE） Periodical Boundary （ AB CD HG FE ）
出口边界（ ED） Outlet Boundary (ED)
进口（ AH ） 当 时，需三个条件：
进气角 总温 总压
Inlet (AH),when ,three BC are required ,angle of
velocity ,total temperature, total pressure
0 u a
0 u a
1
0p0T
边界上值受内通道影响 effected by inner
flow
当 时，边界值不受内通道影响，可以给定速度u aWhen ,boundary values are not influenced by inner flowu a
出口处（ ED ）： Outlet (ED)
当 （亚音速）需一个条件，一般给压强 when (subsonic) ,pressure as one BC is needed
当 时，边界值可以外插，无需条件au
0 u a 0 u a 2p 0 u a 2p 2p
叶片表面上（ BSC或GPF ） On the surface of cascade (BSC,or GPF)
速度矢量与表面相切 The velocity parallels the surface
/ / 0x yV V n N u N v
周期性边界条件（ AB和HG， BC和 FE ） On periodic BC (AB,HG,BC,FE) :
边界上对应点参数相同 . the parameters on corresponding points are same
可向上、下各延伸一点（ i,0 ）和（ i,N+1） the grid are extended up and down one point respectively (i,0) (i,N+1)
(i,N)
(i,1)
(i,N+1)
(i,N+1)=(i,2)
(i,2)
(i,0)(i,N)=(i,N-1)
(i,N-1)
有限体积法中物面通量为 0 ，只需要计算物面压强 For FVM,the flux on surface are zero, only the pressure on boundary is
needed
0. nV
0
. .
0( )S
V
uV pi pi
W S S SvV p j p j
wV pk pk
E p V
��������������
��������������
������������������������������������������
������������������������������������������ ������������������������������������������
������������������������������������������
��������������
物面法向动量方程： The equation of holmium in the normal of wall
对平面流动 For plane (2D)flow
其中 R 是曲率半径 Where R is radius of curvative
其差分格式 its FD scheme is
其中 是 i 点距物面的距离 Where is the distance to the wall
2 2u v p
R n
2 2
.i i
s is
u vp p n
R
n n
可以用外插法，由内点外得到物面上的压强 Extrapolation method can be used also
计算精度受曲率计算精度影响比较大
5-6 无粘流计算的人工粘性The artificial viscous of inviscous flow computation
欧拉方程二阶精度显式差分方程截断误差为： The trancation error of 2nd explicit FDE for Euler Eqs is
不含粘性 It does not includes viscousity
在激波附近会出现压强和速度的波动和过高峰值 The pressure and velocity will fluctuate near the shockwave
须加入适当人工粘性 The suitable artificial viscousity must be introduced
过高人工粘性会影响求解精度 Over high artificial viscosity will influence the precise
3 2
2 6
F t
x t
对二维 Euler 流动，人工粘性一般取：For 2D Euler flow ， the artificial viscosity is generally
其中 Cx， Cy 是人工粘性系数，取 0~0.5Where Cx， Cy are coefficients of artificial viscosity, given as value 0~0.5
1, , 1,, 1, , 1, , ,
1, , 1,
2( ) ( 2 ) ( )
2i j i j i j
i j x x i j i j i j i j i ji j i j i j
p p p tV C U U U a u
p p p x
, 1 , , 1, , 1 , , 1 , ,
, 1 , , 1
2( ) ( 2 ) ( )
2i j i j i j
i j y y i j i j i j i j i ji j i j i j
p p p tV C U U U a v
p p p y
人工粘性相当于给方程增加了两项：The artificial viscosity adds two terms to PDE
对应的方程与粘性流 N-S 方程相比Compared with the corresponding N-S
txx
U
x
p
p
uaCx
3
2
2
2
2
4
tyy
U
y
p
p
vaCy
3
2
2
2
2
4
2( )( ) ( ) 0
2
( )
yx
x
xx
x
yx
uu p uv
t y
u
x
Vxv u
x y
��������������
其中 为第二粘性系数 Where is second viscous coefficient 法向粘性应力项The normal viscosity term is
相应的 x 方向动量方程粘性 The corresponding momentum equation in x diraction
与人工粘性具有同样的表达式和含义
3
2
tx
u
xtu xx
2
2
3
4)(
txx
U
x
p
p
uaCx
3
2
2
2
2
4
代表粘性影响（人工粘性） McCormack 人工粘性 Denotes the artificial viscousity of McCormack scheme
光滑变化区域，人工粘性是四阶小量，不影响差分格式精度 In the smooth flow field ， the artificial viscosity is 4th order， no influence on the precision of the FDE
当出现激波，二阶系数很大，该项会产生明显的粘性作用，适当选取 Cx 可以很好地模拟激波 But when shock appears ， the 2nd order partition different becomes larger ， it may present significant in viscous effect
例：一维收——扩喷管过度膨胀流场Example : 1 D Converge-Diverge Nozzle over Expanded
激波前： Ma 数光滑过渡 In front of Shock ,Ma distribute smoothly .
激波后：稍有波动 Behind the shock ,there exist fluctuation
激波位置在三个网格之间 Shock located in between three grids
较好的抑制了波动 restraining the fluctuation perfectly.
简单的人工粘性：利用加权平均方式引进数值阻尼 Simple artifical viscosity, to introduce artifical viscosity using weighted average method
其中 是阻尼系数。 When is the damping coefficient .
人工阻尼方法相当于在微分方程中引入修正项 Artificial damping method is equivalent to
, , 1, 1, , 1 , 1
, 1, 1, , 1 , 1 ,
1( )
4
1( 4 )
4
i j i j i j i j i j i j
i j i j i j i j i j i j
U U U U U U
U U U U U U
2 22 2
2 2
1( )
( 4)
U Ux y
t x y
当 时， 不会影响二阶格式的精度 When
it does Not influence the precision of 2nd FD scheme . 阻尼系数 取值原则： The principle for receiving value of
激波区有较强光滑作用，使激波保持在 2-4 个网格之间 It has smooth effect in shock zone .
在激波区之外，则希望没有光滑作用，因此应取不同的值。 Out of the shock zone ,it has no smooth effects .
激波捕获法：在差分方程中添加高阶项，取激波间断展宽，但仅为连续的薄层 Capture of shock ,introduce high order FD to widen the shock and keep it continuous in a thin layer.
1
( , )Min x y
1
( , )Min x y
5-7 加速收敛的方法及算例Example of Computation Acceleration
一、 NACA 转折角为 800 亚声速叶栅 NACA cascade with 800 turning angle
Denton 方法（ 1 ） Denton method （ 1 ）
McCormack 时间分裂有限体积法（ 2 ）McCormack time decomposition FUH(2)
压强分布 Pressure distribution
叶背前缘：方法 2 较方法 1 有改善 Expanded surface method 2 is better .
叶盆：比实验值高 Compressed surface ,results is higher than that of experimentation
Ma 数分布比较：
二、 NACA 转折角 95 具有激波的叶栅 Cascade with 95 ۫ deg of turning angle
方法 2 ：用人工粘性，可以较好捕获激波 Method 2 ， using artificial viscosity can capture the shock well
三、加速收敛的方法 Acceleration method to iterate computation
定常问题 Steady problem收敛结果与初值和计算过程无关 Converged results has
nothing to do with initial flow field and computation proc..
可以使用不同的时间步长 Diff. time step can be used
当地时间步长法，取当地允许的最长时间步长 Local time step method ， max. allowed time step can be given
当地时间步长取决于当地网格 Local time step depends on local space step and flow para.
收敛之前的流场没有物理意义，只有收敛后才有 The flow field before convergence has no meaning
原理是加快扰动传播速度 The principal of acceleration is to speed up perturbation
网格逐步加密方法Method of grid reframe
稀网格计算快，但精度低 Coarse mesh can speed up computation but its precision is lower
密网格精度高但计算速度慢 Fine grid can give higher precision but convergence is worst
疏密结合，先疏后密，可提高计算速度与精度 The best way is to combine coarse-fine grid
表 5-2 例
多维流的时间分裂法 The time decomposition method for multi-dimensional flow
小结Summary
主要内容 :Main contents
守恒 Euler 方程 Conservational Euler equation
非定常流的特征显示格式 Explicit FDS of steady Euler flow
非定常 Euler 流 Unsteady Euler flow
有限体积法 Finite volume method of unsteady Euler flow
无粘流人工粘性 Artificial viscosity for inviscous flow
加速收敛的方法 Acceleration of Methods
重 点Importance
加速收敛法 Acceleration of Methods
多步显式格式 Multi-step explicit scheme
多维流时间分法 Multi-dimensional time decomposition method
有限体积法 Finite volume method
有限体积法 Finite volume method
难 点 Difficulty
时间分裂法 time decomposition Method
