第十七章多元函数微分学

第十七章多元函数微分学

§1 可微性§2 复合函数微分法§3 方向导数与梯度§4 泰勒公式与极值问题


§1 可微性

一、全微分的定义

),(),( yxfyxxf xyxf x ),(

),(),( yxfyyxf yyxf y ),(

二元函数对x和对 y的偏微分

二元函数对x和对 y的偏增量

由一元函数微分学中增量与微分的关系得

如果函数 ),( yxfz 在点 ),( yx 的某邻域内有定义，

设 ),( yyxxP 为这邻域内的任意一点，则称

这两点的函数值之差 ),(),( yxfyyxxf

为函数在点 P对应于自变量增量 yx , 的全增量，

记为 z ，即

全增量的概念

).,(),( yxfyyxxfz

如果函数 ),( yxfz 在点 ),( yx 的全增量

),(),( yxfyyxxfz

可以表示为

)(oyBxAz ，

其中 BA, 不依赖于 yx 、而仅与 yx、有关，

22 )()( yx ，则称函数 ),( yxfz 在点

),( yx 可微分， yBxA 称为函数 ),( yxfz

在点 ),( yx 的全微分，记为dz，即

全微分的定义

.yBxAdz

函数若在某区域 D内各点处处可微分，则称这函数

在 D内可微分.

如果函数 ),( yxfz 在点 ),( yx 可微分, 则函数在该

点连续.

事实上 ),(oyBxAz ,0lim0

z

),(lim

00

yyxxf

yx

]),([lim0

zyxf

),( yxf

故函数 ),( yxfz 在点 ),( yx 处连续.

定义设函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 的某一邻域内有

定义，当 y固定在 0y 而x在 0x 处有增量 x 时，

相应地函数有增量

),(),( 0000 yxfyxxf ，

如果x

yxfyxxfx

),(),(lim 0000

0存在，则称

此极限为函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 处对 x的

偏导数，记为

二、偏导数的定义及其计算法

0

0yyxxx

z

，0

0yyxxx

f

，0

0yyxxxz

或 ),( 00 yxf x .

函数对 x 的偏增量

同理可定义函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 处对 y的偏导数为

yyxfyyxf

y

),(),(lim 0000

0

记为

0

0yyxxy

z

，0

0yyxxy

f

，0

0yyxxyz

或 ),( 00 yxf y .

.),(),(

lim 0000

00

0 xyxfyxxf

xf

xyyxx

如果函数 ),( yxfz 在区域D内任一点 ),( yx 处对x的

偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、 y的函数，

它就称为函数 ),( yxfz 对自变量x的偏导数，记作

xz

，

xf ， xz 或 ),( yxf x .

同理可定义函数 ),( yxfz 对自变量 y的偏导数，记作

yz

，

yf ， yz 或 ),( yxf y .

偏导数的概念可以推广到二元以上函数

),,,( zyxfu例如，处，在 ),,( zyx

,),,(),,(

lim),,(0 x

zyxfzyxxfzyxf

xx

,),,(),,(

lim),,(0 y

zyxfzyyxfzyxf

yy

.),,(),,(

lim),,(0 z

zyxfzzyxfzyxf

zz

由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的

微分法问题。

时，求 xf

只要把 x 之外的其他自变量暂时看成

常量，对 x 求导数即可。

时，求 yf 只要把 y 之外的其他自变量暂时看成

常量，对 y 求导数即可。

其它情况类似。

例 1 求 22 3 yxyxz 在点 )2 ,1( 处的偏导数．

解 xz ;32 yx

yz

.23 yx

21

yxx

z,82312

21

yxy

z .72213

把 y 看成常量

把 x 看成常量

例 2 求 yxz 2sin2 的偏导数．

解 xz ;2sin2 yx

yz

.2cos2 2 yx

把 y 看成常量

把 x 看成常量

例 3 设 yxz )1,0( xx ，求证 zyz

xxz

yx 2

ln1

.

证 xz ,1yyx

yz ,ln xx y

yz

xxz

yx

ln1 xx

xyx

yx yy ln

ln11

yy xx

.2z

原结论成立．

例 4 设22

arcsinyx

xz

，求xz

，

yz

.

解 xz

322

222

)(|| yx

yy

yx

.||

22 yx

y

|)|( 2 yy

xyx

x

yxx

22

22

21

1

yz

322

22

)(

)(|| yx

xyy

yx

yyxx 1sgn

22 )0( y

00

yxy

z 不存在．

yyx

x

yxx

22

22

21

1

例 5 已知理想气体的状态方程 RTpV （R为常

数），求证： 1

pT

TV

Vp

.

证 VRTp ;

2VRT

Vp

p

RTV ;pR

TV

R

pVT ;

RV

pT

pT

TV

Vp

2VRT

pR

RV

.1pVRT

偏导数xu 是一个整体记号，不能拆分;

有关偏导数的几点说明：

１、

２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；

例 6 设

0 ,0

,0 ,),(

22

2222

yx

yxyx

xy

yxf 。

求 ).,( ),,( yxfyxf yx

解

时，当 0 22 yx 时，且即 0 0 yx

xx

yx

xyyxf

22),(

222

22

)(

2)(

yx

xyxyxy

,)(

)(222

22

yx

xyy

).,( )1( yxf x先求

xfxf

x

)0 ,0()0 ,0(lim

0.000lim

0

xx

于是，

.0 ,0

,0 ,)(

)(

),(22

22222

22

yx

yxyx

xyy

yxf x

考虑在 (0, 0) 点处，对 x 的偏导数，

时，当 0 22 yx 时，且即 0 0 yx

yy

yx

xyyxf

22),(

222

22

)(

2)(

yx

xyyyxx

).,( )2( yxf y求

,)(

)(222

22

yx

yxx

yfyf

y

)0 ,0()0 ,0(lim

0.000lim

0

yy

于是，

.0 ,0

,0 ,)(

)(

),(22

22222

22

yx

yxyx

yxx

yxf y

考虑在 (0, 0) 点处，对 y 的偏导数，

　　在一元函数中 , 可导必连续 , 但对多元函

数不适用 .　　　　即 , 对多元函数 f (x,y) 而言 , 即使它

在 (x0 ， y0 ) 的对各个自变量的偏导数都存在 ,

也不能保证 f (x,y) 在 (x0 ， y0 ) 连续 .

三、偏导与连续的关系

例 . 设

),( yxfz,0 , 22

22 时当

yxyx

xy

,0 ,0 22 时当 yx

　　证明 z = f (x, y) 在 (0, 0) 的两个偏导都存在 , 但它在 (0, 0) 不连续 .

证 :

　　前边已证 z = f (x, y) 在 (0, 0) 的极限不存在 , 因此它在 (0, 0) 不连续 .

xfxf

fx

x

)0,0()0,0(lim)0,0(

0 xx

x

x

000

lim22

0= 0

yfyf

fy

y

)0,0()0,0(lim)0,0(

0 yy

y

y

000

lim22

0= 0

　　故 z = f (x, y) 在 (0, 0) 的两个偏导都存在 ,

但它在 (0, 0) 不连续 .

下证 z = f (x, y) 在 (0, 0) 的两个偏导都存在 .

),( yxfz,0 , 22

22 时当

yxyx

xy

,0 ,0 22 时当 yx

y

x

z

o

z = f (x, y)

X0

M0

　　即 f 'x (x0, y0) 表示 y = y0

与 z = f (x, y) 的交线在 M0 处

的切线对 x 的斜率 .

　　即 f 'x (x0, y0) 表示 y = y0

与 z = f (x, y) 的交线在 M0 处

的切线对 x 的斜率 .

T1

1 : z = f (x, y0)

1

y0

y

x

z

o

z = f (x, y)M0

X0

2

2 : z = f (x0 , y)

类似得 f 'y (x0, y0) 的几何意义 . 如图

　　即 f 'y (x0, y0) 表示 x = x0 与 z = f (x, y)

的交线在 M0 处的切线对 y 的斜率 .

x0

T2

　　从几何上看 , f 'x (x0, y0) 存在 . 只保证了

一元函数 f (x, y0) 在 x0 连续 .　　　　　　　　　　　也即 y = y0 与 z = f

(x, y) 的截线 1 在 M0= (x0, y0 , z0) 是连续的 .

　　同理 , f 'y (x0, y0) 存在 . 只保证了 x = x0

与 z = f (x, y) 的截线 2 在 M0 连续 .

但都不能保证曲面 z = f (x, y) 在 M0 连续 .

也就是连续这是因为所谓曲面在 ,0M

　　　　　　　　　

换句话说 , 当 (x,y) 从任何方向 , 沿任何曲

线趋于 (x0 ， y0 ) 时 , f (x,y) 的极限都是 f (x0 ，

y0 ). 显然 , 上边两个条件都不能保证它成立 .

0 00 0( , ) ( , )

lim ( , ) ( , ).x y x y

f x y f x y

两个偏导数都存在的二元函数未必连续

偏导与连续的关系：

四、可微的条件定理 1（可微分必要条件）如果函数 ),( yxfz 在

点 ),( yx 可微分，则该函数在点 ),( yx 的偏

导数xz

、

yz

必存在，且函数 ),( yxfz

在点 ),( yx 的全微分为

.yyzx

xzdz

.

,

dyy

dxx

.dy

yzdx

xzdz

.dyyzdx

xzdz

全微分的定义可推广到三元及三元以上函数

.dzzudy

yudx

xudu

通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理．．

一元函数在某点的导数存在

多元函数的各偏导数存在

例如， .

00

0),(

22

2222

yx

yxyx

xy

yxf

在点 )0 ,0( 处有 .0)0 ,0()0 ,0( yx ff

微分存在．

全微分存在．

])0,0()0,0([ yfxfz yx ,)()( 22 yx

yx

如果考虑点 ),( yxP 沿着直线 xy 趋近于 )0 ,0( ，

则

22 )()( yx

yx

22 )()( xxxx

,21

说明它不能随着 0 而趋于 0, 时，即，当 0

[ (0,0) (0,0) ]x yz f x f y

函数在点 )0 ,0( 处不可微.

),(])0,0()0,0([ oyfxfz yx 即

0

说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。

定理２（充分条件）如果函数 ),( yxfz 的偏

导数xz、

yz在点 ),( yx 连续，则该函数在点 ),( yx

可微分．

例 7 计算函数 xyez 在点 )1 ,2( 处的全微分.

解

,xyxe

dyyzdx

xzdz

因此， .dyxedxye xyxy

.2 22 dyedxedz (2, 1) 处的全微分

它们均连续。因此，函数可微分。

,xyye xxyexz

yxyeyz

例 8 求函数 )2cos( yxyz ，当4x ， y ，

4x ， y 时的全微分.

解

),2sin(2)2cos( yxyyx

dyyzdx

xzdz

),4

(),4

(),

4(

).74(82

xyxyxz )2cos(

),2sin( yxy

yyxyyz )2cos(

例 9 计算函数 yzey

xu 2

sin 的全微分.

解

,2

cos21 yzze

y

,yzye

所求全微分

.)2

cos21( dzyedyze

ydxdu yzyz

,1x

yzey

xxu

2sin

y

yzey

xyu

2sin

z

yzey

xzu

2sin

例 10 试证函数

.0 ,0

,0 ,)(),(

22

222322

22

yx

yxyx

yx

yxf

(1) ),( yxf 在点 )0 ,0( 连续且偏导数存在；

(2) ),( yxf 在点 )0 ,0( 不可微.

证（ 1 ）令 ,cosx ,siny

.0)0 ,0( f

),0,0(f

故函数 ),( yxf 在点 )0 ,0( 连续。

)0,0(xfx

fxfx

)0,0()0,(lim

0,000lim

0

xx

)0,0(yfy

fyfy

)0,0(),0(lim

0,000lim

0

yy

即，函数 ),( yxf 在点 )0 ,0( 偏导数存在。

),(lim)0,0(),(

yxfyx 2322

22

)0,0(),( )(lim

yx

yxyx

22

0cossinlim

0

])0,0()0,0([ yfxff yx

22

2322

22

)()(

])()[(

)()(

yx

yx

yx

222

22

])()[(

)()(

yx

yx

如果考虑点 ),( yxP 沿着直线 xy 趋近于 )0 ,0( ，

])0,0()0,0([

yfxff yx

则 222

22

])()[(

)()(

xx

xx

41

(2) ),( yxf 在点 )0 ,0( 不可微.

所以，函数 ),( yxf 在点 )0 ,0( 处不可微.

),(])0,0()0,0([ oyfxff yx 即

多元函数连续、可导、可微的关系

函数可微分

函数连续

偏导数连续

偏导数存在

四可微性的几何意义与应用切平面的定义

一元函数可微性，在几何上反映为曲线存在不平性于 Y 轴的切线，二元函数可微性的几何意义则反映的是曲面与其切平面的类似关系 .

定义（切平面）设 P是曲面 S上一点， H为通过 P 的一个平面，曲面 S 上的动点 Q到 P

和到平面 H 的距离分别为 d 和 h ，当 Q在 S上以任何方式趋于 P 时，恒有，则称平

面 H 为曲面 S 在点 P 处的切平面， P 为切点 .

1 设曲面方程为0),,( zyxF

曲面的切平面与法线

n

T

M

切平面方程为

0))(,,(

))(,,())(,,(

0000

00000000

zzzyxF

yyzyxFxxzyxF

z

yx

通过点 ),,( 000 zyxM 而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.

法线方程为

),,(),,(),,( 000

0

000

0

000

0

zyxFzz

zyxFyy

zyxFxx

zyx

)},,(),,,(),,,({ 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx曲面在 M 处的法向量即

垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 .

2 空间曲面方程形为 ),( yxfz

曲面在 M 处的切平面方程为

,))(,())(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx

曲面在 M 处的法线方程为

.1),(),(

0

00

0

00

0

zz

yxfyy

yxfxx

yx

,),(),,( zyxfzyxF 令

切平面的求法: 设函数 ),( yxf 在点 ),( 000 yxP 可微，则曲面

),( yxfz 在点 )) , ( , , ( 0000 yxfyxP 处的切平面方程为（其

中 ),( 000 yxfz ）

))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx

法线方向数为 1 , ),( , ),( 0000 yxfyxf yx ，

法线方程为 1),(),(0

00

0

00

0

zz

yxf

yy

yxf

xx

yx.

))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx

切平面上点的竖坐标的增量

的全微分在点函数 ),(),( 00 yxyxfz

因为曲面在 M 处的切平面方程为

3 全微分的几何意义

),( yxfz 在 ),( 00 yx 的全微分，表示曲面 ),( yxfz 在点 ),,( 000 zyx 处的切平面上的点的竖坐标的增量.

若、、表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与 z轴的正向所成的角是锐角，则法向量的方向余弦为

,1

cos22

yx

x

ff

f

,1

cos22

yx

y

ff

f

.1

1cos

22yx ff

),( 00 yxff xx

),( 00 yxff yy

其中

解 ,632),,( 222 zyxzyxF

)1,1,1()1,1,1(}6,4,2{ zyxn

},6,4,2{

切平面方程为 ,0)1(6)1(4)1(2 zyx

,032 zyx

法线方程为 .6

1

4

1

2

1

zyx

.处的切平面及法线方程(1,1,1) 在点632 面3 222 zyx椭球求例

例 11 求曲面 32 xyez z 在点 )0,2,1( 处的切

平面及法线方程.

解 ,32),,( xyezzyxF z

,42)0,2,1()0,2,1( yFx

,22)0,2,1()0,2,1( xFy

,01)0,2,1()0,2,1( z

z eF

令

切平面方程

法线方程

,0)0(0)2(2)1(4 zyx

,042 yx

.0

01

22

1

zyx

解设为曲面上的切点 ,),,( 000 zyx

切平面方程为0)(2)(4)(2 000000 zzzyyyxxx

依题意，切平面方程平行于已知平面，得

,2

2

1

4

1

2 000 zyx

.42 000 zyx

}2,4,2{ 000 zyxn

法向量

例 12 求椭圆面

12 222 zyx使其与平面 02 zyx 平行。

的切平面，

因为是曲面上的切点，),,( 000 zyx

,11

20 x

所求切点为

满足方程

),,11

8,

22

1,

11

2(

2

112 zyx

切平面方程

全微分在近似计算中的应用

都较小时，有近似等式

连续，且个偏导数的两在点当二元函数

yxyxfyxf

yxPyxfz

yx

,),(),,(

),(),(

.),(),( yyxfxyxfdzz yx

也可写成

.),(),(),(

),(

yyxfxyxfyxf

yyxxf

yx

例 13 计算 02.2)04.1( 的近似值.

解 .),( yxyxf 设函数

.02.0,04.0,2,1 yxyx取

,1)2,1( f

,),( 1 yx yxyxf ,ln),( xxyxf y

y

,2)2,1( xf ,0)2,1( yf

由公式得 02.0004.021)04.1( 02.2 .08.1

14 20 , 4

0.1 ,

?

H cm R cm

cm

例要在高为半径的圆柱体表面均匀地镀上一层厚度为的黄铜问需要准备多少黄铜

解设黄铜的比重为 3cmg

圆柱体的体积为 HRV 2

.,2.0,1.0,20,4, VHRHR 要求时依题意

2,2 RH

VRH

R

V

由于

HH

VR

R

VdVV

于是

2.0161.0160

.2.19 g从而所需准备的黄铜为

2.19

五、小结１、多元函数全微分的概念；

２、多元函数全微分的求法；

５、多元函数连续、偏导数存在、可微分的关系．

（注意：与一元函数有很大区别）

（偏增量比的极限）３、偏导数的定义；

４、偏导数的定义，偏导数的几何意义；


§2 复合函数微分法

证

),()( tttu 则 );()( tttv

一、链式法则

定理如果函数 )( tu 及 )( tv 都在点 t可导，函数 ),( vufz 在对应点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数 )](),([ ttfz 在对应点 t可导，且其导数可用下列公式计算：

dtdv

vz

dtdu

uz

dtdz

．

，获得增量设 tt

由于函数),(vufz在点),(vu有连续偏导数

,21 vuvvz

uuz

z

当 0u ， 0v 时， 01 ， 02

tv

tu

tv

vz

tu

uz

tz

21

当 0t 时， 0u ， 0v

,dtdu

tu

,dtdv

tv

证略。

一、复合函数的求导法则

定理如果函数 )(xu 及 )(xv 都在点 x可导，

函数 ),( vufz 在对应点 ),( vu 具有连续偏导

数，则复合函数 )](),([ xxfz 在对应点

x可导，且其导数可用下列公式计算：

1、 z u

vx 型

.dxdv

vz

dxdu

uz

dxdz

.lim0 dt

dvvz

dtdu

uz

tz

dtdz

t

上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 .

如dtdw

wz

dtdv

vz

dtdu

uz

dtdz

uvw

tz

以上公式中的导数称为全导数全导数 ..dtdz

定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：

如果 ),( yxu 及 ),( yxv 都在点 ),( yx 具有对x

和 y的偏导数，且 ),( vufz 在对应点 ),( vu 具有连续

偏导数，则复合函数 )],(),,([ yxyxfz 在对应点

),( yx 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算：

2、 z u

v

x

y型

,xv

vz

xu

uz

xz

.

yv

vz

yu

uz

yz

链式法则如图示

xz

u

v

xz

y

uz

xu

vz ,

xv

yz

uz

yu

vz .

yv

u

v

xz

y

类似地，设 ),( yxu 、 ),( yxv 、 ),( yxww

都在点 ),( yx 具有对x和 y的偏导数，复合函数

)],(),,(),,([ yxwyxyxfz 在对应点 ),( yx 的

两个偏导数存在，且可用下列公式计算：

yw

wz

yv

vz

yu

uz

yz

xw

wz

xv

vz

xu

uz

xz

z

w

v

u

y

x

特殊地 ),,( yxufz ),( yxu

即 ],,),,([ yxyxfz

,xf

xu

uf

xz

.

yf

yu

uf

yz

令 ,xv ,yw

其中

,1xv ,0

xw ,0

yv .1

yw

把 ],),,([ yxyxfz

中的 y看作不变而对

x的偏导数

把 ),,( yxufz 中

的u及 y看作不变

而对x的偏导数

区别类似

例 1 设 tuvz sin ，而 teu ， tv cos ，

求全导数dtdz .

解 dtdz

ttuev t cossin

ttete tt cossincos

.cos)sin(cos ttte t

uz

dtdu

vz

dtdv

tz

z u

v

tt 型

例 2 设 vez u sin ，而 xyu ， yxv ，

求 xz

和

yz

.

解 xz

uz

xu

vz

xv

1cossin veyve uu

yz

uz

yu

vz

yv

1cossin vexve uu

z u

v

x

y型

)].cos()sin([ yxyxye xy

)].cos()sin([ yxyxxe xy

例 3 设222

),,( uyxeyxuf ，而 .sin2 yxu

求yz

xz

, .

解xf

xu

uf

xz

.yf

yu

uf

yz

222222

2sin22 uyxuyx xeyxue

.)sin21(22222 uyxeyxx

222222

2)(cos2 2 uyxuyx yeyxue

.)2sin2(2224 uyxeyxy

例 4 设 )( xyxfz ，且 f具有一阶导数。

求yz

xz

, .

解

xu

dudf

xz

令 .xyxu 则 ).(ufz

)( xyxf ).1( y

yu

dudf

yz

).( xyxf x

z ux

y 型

例 7 已知 2 0xy ze z e ，求

xz

和

yz

.

解 , 0 2 zxy eze

,02)( dzedzxyde zxy

),()2( ydxxdyedze xyz

,)2()2(

dyexedx

e

yedz

z

xy

z

xy

xz

,

2

z

xy

e

yeyz

.

2

z

xy

exe

设函数 ),( vufz 具有连续偏导数，则 u，v不论是

自变量还是中间变量，总有全微分

dvvzdu

uzdz

。

二、复合函数的全微分

（ 1 ）如果 u， v 是自变量，结论显然。

（ 2 ）如果 u， v 是中间变量，

).,( ),,( yxvyxu

有全微分：

dyyzdx

xzdz

事实上，

dyyv

vz

yu

uzdx

xv

vz

xu

uz

dyyzdx

xzdz

dy

yvdx

xv

vzdy

yudx

xu

uz

.dvvzdu

uz

全微分形式不变形的实质：无论 z 是自变量 u， v 的函数或中间变量 u， v

的函数，它的全微分形式是一样的 .

例 6 设 vez u sin ，而 xyu ， yxv ，

求全微分 dz.

解 dvvzdu

uzdz

)()cos()()sin( yxdvexydve uu

dydxvexdyydxve uu )cos()sin(

dyvvxedxvvye uu )cossin()cossin(

dxyxyxye xy )]cos()sin([

.)]cos()sin([ dyyxyxxe xy xz

yz

),,(2

2

yxfxz

xz

x xx

),(2

2

yxfyz

yz

y yy

),,(2

yxfyx

zxz

y xy

),(2

yxfxyz

yz

x yx

函数 ),( yxfz 的二阶偏导数为

纯偏导

混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 .

一、高阶偏导数

例 1 设 13 323 xyxyyxz ，

求 2

2

xz

、

xy

z

2

、yx

z

2

、 2

2

yz

及 3

3

xz

.

解xz

,33 322 yyyx yz

;92 23 xxyyx

2

2

xz

,6 2xy2

2

yz

;182 3 xyx 3

3

xz

,6 2y

xyz

2

.196 22 yyxyxz

2

,196 22 yyx

原函数图

形偏导函数图形

偏导函数图形

二阶混合

偏导函数

图形

观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：

例 2 设 byeu ax cos ，求二阶偏导数.

解 ,cosbyaexu ax ;sinbybe

yu ax

,cos22

2

byeaxu ax

,cos22

2

byebyu ax

,sin2

byabeyx

u ax

.sin

2

byabexy

u ax

定理如果函数 ),(yxfz的两个二阶混合偏导数

xyz2及

yxz2在区域 D内连续，那末在该区域内这

两个二阶混合偏导数必相等．

问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？

例 3 验证函数 22ln),( yxyxu 满足拉普拉

斯方程 .02

2

2

2

yu

xu

解 ),ln(21

ln 2222 yxyx

,22 yxx

xu

,22 yxy

yu

,)()(

2)(222

22

222

22

2

2

yxxy

yxxxyx

xu

.)()(

2)(222

22

222

22

2

2

yxyx

yxyyyx

yu

222

22

222

22

2

2

2

2

)()( yxyx

yxxy

yu

xu

.0

例 5 设 ) ,( xyzzyxfw ， f具有二阶连续偏

导数，求xw 和

zxw

2.

解令 ,zyxu ;xyzv

记 ,1 uf

f

,12

2

11 uf

u

ff

,2 vf

f

vf

vuf

f

12

12

,12

2

22 vf

v

ff

w u

v

xyz

型).,( vufw 则

.22

21 uf

uvf

f

二阶偏

导连续

zx

w2

)( 21 fyzfz

;2

21

zf

yzfyzf

zf1

zv

vf

zu

uf

11 ;1211 fxyf

zf2

zv

vf

zu

uf

22 ;2221 fxyf

因此，

zx

w2

1211 fxyf 2fy )( 2221 fxyfyz

.)( 2222

1211 fyfzxyfzxyf

xw

xv

vf

xu

uf

; 2 1 fzyf 于是，


§3 方向导数与梯度

例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1)， (5,1)， (1,3)， (5,3) ．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在 (3,2) 处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．

一问题的提出

),( yxp

),( yyxxp

x

y

l

0x

y

方向导数图示讨论函数在一点 P 沿某一方向的变化率问题．

),( yxfz

A

B

C

tan|AC|

|BC|

)(xf

)( xxf

x xx

)(xf

0x 0x

x

xfxxfx

)()(lim

0 )(xf

x

xfxxfx

)()(lim

0 )(xf

||)(||

)()(lim

0|||| xxx

xfxxfx

3R 中

x

O y

z

.

P0

P

||PP||

)(P(P)lim

0

0

PP 0

ff

l

0l

沿)(xf 0l 方向的方向导数

)(Xfz

.

二、方向导数的定义设函数

)(Xfu 在 )U( 0X 内有定义。

若点 )U( 0XX 沿射线 l 趋于

0X 时 , 极限

||||

)()(lim

0

0

0 XX

XfXfXX

存在，则称该极限值为函数 )(Xf 在点

0X 处沿 l 方向的方向导数。记为

0XXl

z||||

)()(lim

0

0

0 XX

XfXfXX

或)( 0Xfl

利用直线方程可将方向导数的定义

t

XfetXf

l

ut

)()(lim 00

0

表示为 :

射线 l 的方程为 p

zz

n

yy

m

xx 000

t

则 cos0 txx cos0 tyy cos0 tzz

故 etXX 0)cos,cos,(cos e

coscoscos000 zzyyxx

比较方向导数与偏导数的概念

在方向导数中，分母 0|||| 0 XX ；在偏导数中，分母 x 、 y 可正、可负。

即使 l 的方向与 x 轴 , y 轴的正方向一致时，方向导数与偏导数的概念也是不同的。

方向导数与偏导数是两个不同的概念方向导数与偏导数是两个不同的概念想一想，为什么？想一想，为什么？

怎么计算方向导数？

0X

X

l0l

),,( 0000 zyxX

),,( zyxX

||||cos

0

0

XX

xx

||||cos

0

0

XX

yy

||||cos

0

0

XX

zz

||)o(||)()( 00 XXzz

uy

y

ux

x

uXfXf

看看三维空间的情形

定理 ( 方向导数导计算公式 )

若函数 ),,( zyxfu 在点 ),,( 000 zyx

处可微，则函数 )(Xf 在点 ),,( 000 zyx 处沿任一方向 )cos,cos,(cos0 l

的方

向导数存在，且

l

u

其中 , 各导数均为在点

),,( 000 zyx 处的值。

cos

x

u cos

y

ucos

z

u

运用向量的数量积，可将方向导数计算公式表示为：

l

u

cos

x

u cos

y

ucos

z

u

z

u

y

u

x

u,,

eugrad

其中， ugrad

)cos,cos,(cos e

称为梯度称为梯度

设 xyzu , 求函数在点 )2,2,1P(

沿方向 kjil

22 的方向导数。

解 ;4PP

yxx

u;2PP

xzy

u

.2PP

xyz

u

,3

1cos ,

3

2cos .

3

2cos

3

4

3

22

3

2)2(

3

1)4(P

l

u3

4

3

22

3

2)2(

3

1)4(P

l

u

l

u cos

x

u

cos

y

u cosz

u

例

由点 ),P( yx 到坐标原点的距离定

义的函数 22 yxz 在坐标原点处的两个偏导数均不存在，但它在该点沿任何方向的方向导数均存在，且方向导数值都等于 1 ：

10

lim22

22

00

)0,0(

yx

yx

l

z

yx

想一想，该例给你什么启示

函数可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件。

方向导数存在时，偏导数不一定存在。

例

三、梯度

一个问题：

),,()( zyxfXfu

在给定点 0X 沿什么方向增加得最快？

该问题仅在z

u

y

u

x

u

,, 不同时为零才有意义。

可微函数

eul

u

grad

由前面的推导，有

),gradcos(||||||grad|| eueu

现在正式给出的定义

ue gradprj

grad u

),gradcos(||grad|| euu

由此可得出什么结论？

方向导数等于梯度在此方向上的投影方向导数等于梯度在此方向上的投影

定义

设 ,3R ,)()( 1 CXfu

,0 X 则称向量

i

x

Xf )( 0

为函数 )(Xf 在点 0X 处的梯度，记为)(grad 0Xf 或。)( 0Xf

j

y

Xf )( 0 kz

Xf

)( 0

梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。


以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。



以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。

),( yxfz 在几何上表示一个曲面

曲面被平面所截得cz ,),(

cz

yxfz

所得曲线在 xoy 面上投影如图

等高线

),( yxfgrad

梯度为等高线上的法向量P

2),( cyxf

1),( cyxf o

y

x

cyxf ),(12 cc

三元函数 ),,( zyxfu 在空间区域 G内具有一阶

连续偏导数，则对于每一点 GzyxP ),,( ，都可

定义一个向量(梯度)

. ),,( kzf

jyf

ixf

zyxfgrad

类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值 .

梯度的概念可以推广到三元函数

类似地,设曲面 czyxf ),,( 为函数 ),,( zyxfu

的等量面，此函数在点 ),,( zyxP 的梯度的方向与

过点 P的等量面 czyxf ),,( 在这点的法线的一

个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较

高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方

向的方向导数.

设 ,52 zxyzu 求 ,gradu 并求在点 )1,1,0( M 处方向导数的最大 (小 ) 值。解 ∵

∴

,yzx

u

,xzy

u

,2zxyz

u

)1,1,0()1,1,0( )2,,(grad zxyxzyzu )1,1,0()1,1,0( )2,,(grad zxyxzyzu

)2,0,1(

从而 5||grad||max

ul

uM 5||grad||max

ul

uM

5||grad||min

ul

uM 5||grad||min

ul

uM

例1

例 2 求函数 yxzyxu 2332 222 在点 )2 ,1 ,1(

处的梯度，并问在哪些点处梯度为零向量？

解由梯度计算公式得

),,( kzuj

yui

xuzyxugrad

, 6 )24( )32( kzjyix

故 . 12 2 5)2 ,1 ,1( kjiugrad

在 )0 ,21 ,

23(0 P 处梯度为零向量.

1 、方向导数的概念

2 、梯度的概念

3 、方向导数与梯度的关系

（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）

（注意梯度是一个向量）

三、小结

最大值。梯度的模为方向导数的快的方向在这点增长最梯度的方向就是函数

.

),( yxf

1 方向导数是一个数值，在任何方向上都存在；

2 梯度是一个向量，只有方向导数存在时，梯度才存在。3 方向导数与一般所说偏导数的无区别）

四思考判断题

作业：Ｐ１２７：１～７．


§4 泰勒公式与极值问题

二中值定理和泰勒公式

系若函数 f在区域 D 上存在偏导数 , 且

xf yf 0 , 则 f 是 D上的常值函数.

Taylor 公式 Th 17.9 (Taylor定理) 若函数 f 在点 ),( 000 yxP

的某邻域 )( 0P 内有直到 1n 阶连续偏导数 , 则对 )( 0P 内任一点 ) , ( 00 kyhx ,存在相应的

) 1 , 0( , 使 0 0

1

0 0 0 00

( , )

1 1 ( , ) ( , ).

! ( 1)!

i nn

i

f x h y k

h k f x y h k f x h y ki x y n x y

例 3 求函数yxyxf ),( 在点 ) 4 , 1 ( 的 Taylor 公式 ( 到

二阶为止 ) . 并用它计算 .) 08.1 ( 96.3 P175—176

二、多元函数的极值和最值

设函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 的某邻域内有定义，

对于该邻域内异于 ),( 00 yx 的点 ),( yx ：

若满足不等式 ),(),( 00 yxfyxf ，

则称函数在 ),( 00 yx 有极大值；

若满足不等式 ),(),( 00 yxfyxf ，

则称函数在 ),( 00 yx 有极小值；

1 、二元函数极值的定义

极大值、极小值统称为极值.

使函数取得极值的点称为极值点.

例 1

处有极小值．在函数

)0,0(

43 22 yxz

例２处有极大值．在

函数)0,0(

22 yxz

例３处无极值．在

函数)0,0(

xyz (3)

(2)

(1)

定理 1（必要条件）

设函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 具有偏导数，且

在点 ),( 00 yx 处有极值，则它在该点的偏导数必然

为零： 0),( 00 yxf x ， 0),( 00 yxf y .

2 、多元函数取得极值的条件

不妨设 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 处有极大值,

则对于 ),( 00 yx 的某邻域内任意 ),( yx ),( 00yx

都有 ),( yxf ),( 00 yxf ,

证

故当 0yy ， 0xx 时，有 ),( 0yxf ),( 00 yxf ,

说明一元函数 ),( 0yxf 在 0xx 处有极大值,

必有 0),( 00 yxf x ;

类似地可证 0),( 00 yxf y .

推广：如果三元函数 ),,( zyxfu 在点 ),,( 000 zyxP

具有偏导数，则它在 ),,( 000 zyxP 有极值的必

要条件为 0),,( 000 zyxf x ，

0),,( 000 zyxf y ，

0),,( 000 zyxfz .

例如，点 )0 ,0( 是函数 xyz 的驻点，

但点 (0, 0) 不是极值点.

仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点 .

驻点偏导数存在的极值点

问题：如何判定一个驻点是否为极值点？

注意：

;0)0,0( , xx zyz

.0)0,0( , yy zxz

定理 2（充分条件）

设函数 ),( yxfz 在点 ),( 00 yx 的某邻域内连

续，有一阶及二阶连续偏导数，又

0),( 00 yxf x , 0),( 00 yxf y ，

令 Ayxf xx ),( 00 ， Byxf xy ),( 00 ，

Cyxf yy ),( 00 ，则

(1) 02 BAC 时具有极值，且

当 0A 时有极大值，当 0A 时有极小值；

(2) 02 BAC 时没有极值；

(3) 02 BAC 时可能有极值,也可能没有极值，

还需另作讨论．

求函数 ),( yxfz 极值的一般步骤：

第一步解方程组 ,0),( yxf x 0),( yxf y

求出所有驻点.

第二步对于每一个驻点 ),( 00 yx ，

求出二阶偏导数的值 A、B、C.

第三步定出 2BAC 的符号，再判定是否是极值.

例 3 求函数 xyyxyxf 3),( 33 的极值。

解 ,33),( 2 yxyxf x .33),( 2 xyyxf y

求解方程组：

.033

,0332

2

xy

yx

得驻点

.

,2

2

xy

yx

).1 ,1( ),0 ,0(

,6),( xyxf xx ,3),( yxf xy .6),( yyxf yy

, )0 ,0( 处在 ,0)0,0( xxfA ,3)0,0( xyfB

.0)0,0( yyfC 92 BAC .0

因此，驻点 . )0 ,0( 不是极值点

,6),( xyxf xx ,3),( yxf xy .6),( yyxf yy

, )0 ,0( 处在 ,0)0,0( xxfA ,3)0,0( xyfB

.0)0,0( yyfC 92 BAC .0

因此，驻点 . )0 ,0( 不是极值点

, )1 ,1( 处在 ,06)1,1( xxfA

,3)1,1( xyfB .6)1,1( yyfC

22 )3(66 BAC .027

因此，驻点 . )1 ,1( 是极小值点

.111311)1,1( 33 f极小值

与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，

偏导数不存在的点也可能是极值点。

例如，显然函数 22 yxz

. )0 ,0( 处取得极小值在

处偏导数但函数在 )0 ,0(

不存在。

求最值的一般方法：将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D

的边界上的最大值和最小值相互比较，其中

最大者即为最大值，最小者即为最小值 .

与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值

来求函数的最大值和最小值 .

3 、多元函数的最值

例 4 求 122

yx

yxz 的最大值和最小值.

,0)1(

)(2)1(222

22

yx

yxxyxzx

,0)1(

)(2)1(222

22

yx

yxyyxz y

得驻点 )2

1,2

1( 和 )2

1,2

1( ,

解令

即边界上的值为零.

因为 01

lim22

yx

yx

yx

即边界上的值为零.

,2

1)2

1,2

1( z ,2

1)2

1,2

1( z

所以最大值为2

1 ，最小值为2

1 .

因为 01

lim22

yx

yx

yx

无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，

并无其他条件 .

多元函数的极值（取得极值的必要条件、充分条件）

多元函数的最值

三小结

作业：Ｐ１４０：８，９，１０，１１．

高阶偏导数纯偏导

混合偏导（相等的条件）中值定理和泰勒公式

四思考判断题

.

cos)1(),(

值多个极大值，但无极小有无穷函数 yy yexeyxf

Documents

第十七章 多元函数微分学

第十七章多元函数微分学