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面积元素. 第二节 二重积分的计算法. 一 利用直角坐标计算二重积分. 利用几何意义计算二重积分(求曲顶柱体的体积)。. y. y. 积分区域. X- 型区域. Y- 型区域. 设 D ( X 型) :. 利用平行截面面积已知 , 求立体体积的方法 :. 若 D ( X 型) :. 若 D 为 ( Y 型) :. 求二重积分的方法: 将二重积分化为两个定积分(二次积分)来计算. 若 D 不是 X 型(或 Y 型),则将 D 分为几个区域, 使它们为 X 型(或 Y 型),几个区域上的积分之和 就是所给二重积分的值。. - PowerPoint PPT Presentation
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积分区域
ba x0
1
2
y x
D
y x
y
ba x0
xy
D
xy
2
1
y
1 2: ,D x y x a x b X-型区域
1( )x y
2 ( )x y
y
xO
D
d
c
c
d
1( )x y 2 ( )x y
xO
y
D
1 2: ,D y x y c y d Y-型区域
ba x0
1
2
y x
D
y x
y
c
d
1( )x y 2 ( )x y
xO
y
D
c
d
1( )x y 2 ( )x y
xO
y
D
1( )x y
2 ( )x y
y
xO
D
d
c
1( )x y
2 ( )x y
y
xO
D
d
c
( , )z f x y
2 ( )y x
1( )y x
x
y
z
a b0x
0( )A x
O
2
1
( )
( )( , ) ( , )
b x
a xD
f x y dxdy dx f x y dy
1 2 ,x y x a x b 设 D ( X 型):
2 0
1 00 0 ,
x
xA x f x y dy
0 0, :x a b A x取 ,则有曲边梯形
积分后先对 xy
2
1
0
,
b
a
b x
a x
x x
V A x dx
f x y dy dx
将 换成 ,得
利用平行截面面积已知 , 求立体体积的方法 :
若 D 为( Y 型): 1 2 ,y x y c y d
2
1
( )
( )( , ) ( , )
d y
c yD
f x y dxdy dy f x y dx
则 积分后先对 yx
求二重积分的方法:
将二重积分化为两个定积分(二次积分)来计算
2
1
( )
( )( , ) ( , ) ( )
b x
a xD
f x y dxdy dx f x y dy y x
则 先 后 积分
1 2 ,x y x a x b 若 D ( X 型):
若 D 不是 X 型(或 Y 型),则将 D 分为几个区
域,
使它们为 X 型(或 Y 型),几个区域上的积分之和
就是所给二重积分的值。 1 2
1 2
, , ,D D D
f x y d f x y d f x y d
D D D
1D2D
例 1 计算 ,其中 D 是由直线y=1,x=2,
及 y=x 所围区域。
D
xyd
解法 1 把 D 看成 X 型域,则
2
1 1
2 32 2
11 1
4 221
[ ]
[ ] ( )2 2 2
9[ ]
8 4 8
x
D
x
xyd xydy dx
y x xx dx dx
x x
D
x
y
O
y x
1y
x1 2
:1 ,1 2,D y x x
解法 2 把 D 看成 Y 型域,则
2 2
1
22 2
1
32
1
42 2
1
[ ]
[ ]2
(2 )2
9[ ]
8 8
y
y
xydx dy
xy dy
yy dy
yy
D
xyd
D
O
y
x
1
2
y 2x x y
例 2 计算 ,其中 D 是由抛物线
及直线 所围成的区域 。
D
xyd2 =y x
解 把 D 看作 Y 型域
y
1
22x y
2x y D
2y x 2: 2, 1 2,D y x y y
(4,2)
y
Ox
(1, 1)
则
D
xyd22
22 2 2 2
1 1
2 2 5
1
4 63 2 2
1
[ ] [ ]2
( ( 2) )
1 4[ 2 ]
2 4 3 65
58
y y
yy
xxydx dy y dy
y y y dy
y yy y
2
2 2
1
y
ydy xydx
把 D 看作 X 型域 由于在 [0 , 1] 和 [1 , 4] 上下边界的表达式不同,
所以要用直线 x=1 将 D 分成两个区域 和 2D1D
2 : 2 ,D x y x 1 4x
0 1x 1 : ,D x y x
y
Ox
1 2D Dx 1
(1, 1)
(4, 2)
y x
y x
42y x
x
1 4
0 1 2[ ] [ ]
x x
x xxydy dx xydy dx
D
xyd1 2D D
xyd xyd
它们分别用以下不等式表示:
例 3 求 2 21 , : , 1, 1D
I y x y d D y x x y .所围
1 1 2 2
1
31 2 2 2
1
1
11 21
3 3
xI dx y x y dy
x y dxx
若 Y 型 : 1 , 1 1D x y y 1 2 2
1 11
yI dy y x y dx
D
1
11 0
y
x
: 1, 1 1D x y x 解 X 型
则积分较繁。
Yx y先 后 积分,解 型 : 0 ,0 1D x y y
2 2
2 2
1 1
00 0 0
1 1 2
0 0
1 11
2 2
y yy y
y y
I dy e dx e x dy
ye dy e dy e
1
1
y
x0
D
2
, : , 1, 0y
D
I e d D y x y x 例 4 求 所围成。
21 1
0
y
xI dx e dy y x分析 若先 后 积分,则 无法积分。
例 5 交换二次积分的顺序1 2 2
0 0 1 0( , ) ( , )
x xdx f x y dy dx f x y dy
分析 要将按 X 型域确定积分限改为按 Y 型域确定
积分限。为此,应根据定限的方法先将题中所给
的积分限还原成平面区域 D ,然后再按 Y 型域重新
确立积分限,得到二次积分。
1 2 2
0 0 1 0
1 2
0
( , ) ( , )
( , )
x x
y
y
dx f x y dy dx f x y dy
dy f x y dx
解 将所给积分限还原成 D 的图形,由 1 2D D D
20
1 2D D
1
1
x
y
知 D 是由 y=x, y=2- x, y=0三条直线所围成,
: 2 ,0 1D y x y y
于是按 Y 型域定限
1 : 0 ,0 1D y x x , 2 : 0 2 ,1 2D y x x 其中
例 6 交换二次积分的顺序
1 1 1
0 0 01 , ; 2 ,
x y
ydx f x y dy dy f x y dx
故 D 是由
所围成的, 于是
0, 1, 0, 1x x y y x
Y : 0 1 ,0 1,D x y y 型
1 1 1 1
0 0 0 0, ,
x ydx f x y dy dy f x y dx
x1
1
0
y
1x y
1
: 0 1 ,0 1,D y x x
由二次积分限,有
X型
解
2: ,0 1,D x y x x
2
1 1
0 0, ,
y x
y xdy f x y dx dx f x y dy
x1
1,1
0
y
2y x
y x0, 1, ,y y x y x y 故 D 是由
所围成的, 于是
: ,0 1,D y x y y Y型
1
02 ,
y
ydy f x y dx 由 的积分限,有
0 0 0( ) ( ) ( )
c y cdy f x dx c x f x dx
0,7 f x c 设 在 上连例 续,证明
证 由等式左边,得: 0 ,0D x y y c
改变积分顺序,得
: ,0D x y c x c
左边 右边
0 0( ) ( ) ( )
c c c
xdx f x dy c x f x dx
所以,左边 右边
0 0( ) ( ) ( )
c c c
xdx f x dy c x f x dx
所以,
二 极坐标计算二重积分
极坐标是由极点和极轴组成,坐标 ,其中 r为点 p到极点 o的距离, 为 or到 o
p的夹角。
r = 常数;(从 o出发的同心圆) = 常数;(射线)
O r
( , )p r
,r
0 ,0 2r
cos
sin
x r
y r
直角坐标与极坐标的关系为:
面积元素为(矩形)
( , ) ( , )D D
f x y d F r rdrd
由直角坐标和极坐标的对应关系,得到
二重积分在极坐标下的形式
, cos , sinF r f r r 其中
,D
f x y dd rd dr
底 高
rd弧长
于是得到极坐标下,二重积分化为二次积分的公式:
2
1
( )
( )( , ) [ ( , ) ]
D
F r rdrd F r rdr d
1 2( ) ( ),r
AO
1( )r
2 ( )r
D
AO
D2 ( )r
1( )r
若积分区域 D :
2
1
( )
( )( , ) ( , )
D
F r rdrd d F r rdr
或写作
解 利用 把积分区域的边界曲线化为极坐标形式:
2, , :1 1 ,08 1D
f x y d D x y x x 将
化为极坐标
例
.下的二次积分
cos
sin
x r
y r
11,
sin cosr r
圆: 直线:
1
21
0sin cos
1: 1, 0sin cos 2
, cos , sinD
D r
f x y d d f r r rdr
1r
1
sin cosr
x
y
1
1
于是
例 9 计算 ,其中 D 是以原点为圆心,半
径为 的圆域。
dxdyeD
yx 22
解 D 可以表示成
0 ,0 2r a 2 2 2
2 2
2 2
2 2
00 0 0
2
0
1[ ]
21
(1 ) (1 )2
x y r
D D
a r r a
a a
e dxdy e rdrd
d e rdr e d
e d e
a
解 用极坐标,
2 2
2 2
2 2
sin, :1 , , 00 01 4
D
x yd D x y x y
x y
计例 算
:1 2,2
D r
2
12
2
12
2
sin
sin
21
rd rdr
r
d rdr
d
原积分
0 x
2
1
y
例 11 计算 其中 D 为
和x轴所围成的区域,并说明该积分的几何意义。
2 2 24D
a x y dxdy ,
2 2 2 ( 0)x y ax y
解 将 化为 ,可见 D 是一个半圆域。
2 2 2( )x a y a 2 2 2x y ax
x0
2 cosr a y
aD
2a
0 2 cos2
r a ,0
所以 D可表示为2 cosr a
圆的方程表示成极坐标形式:
于是,利用极坐标得:
2 2 2 2 2
2 cos 2 22
0 0
3 3 32
0
4 4
4
8 8 2(1 sin )
3 3 2 3
D D
a
a x y dxdy a r rdrd
d a r rdr
a d a
=
=
= = ( - )
•几何意义是球面 , 圆柱面
2 2 24z a x y 22 , 0y ax x x z xoy 面及 面所围成的立体的体积。
Dy
0
x
z
2a
练习
1D y x y 由 和 围成.
2 2 2 22. : 3.D
x y dxdy D x y 求 ,
2
11
1. , .x
x
dx f x y dy 改换积分顺序
23. ( 2 cos )D
x y x y dxdy 求 ,
2 3 3
0 0
12. 2 3 2 3
3I d r rdr
2
12
1
2
2
11
1 2 2 2
1 11
2
1. ,
, ,
x
x
yy
dx f x y dy
dy f x y dx dy f x y dx
3 32
0 0
14 2 3 2 3
3I d r rdr
或由对称性
1