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§2 第二型曲线积分. 第二型曲线积分的定义 第二型曲线积分的计算 两类曲线积分的联系. 一、 第二型曲线积分的定义. 变力沿曲线作功. 设一质点受如下变力作用. 沿曲线 L 从点 A 移动到点 B ,求力 F ( x, y ) 所. 作的功. 常力沿直线作功:. 力 · 位移. 1. 分割 :. 插入分点. 2. 近似代替. 其中. 分别是曲线段. 在 x 轴与 y 轴上的投影. (此投影不一定是非负的). 于是. 3. 求和. 4. 取极限. 其中. 是第 i 个小弧段的弧长. 定义 1. - PowerPoint PPT Presentation
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第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系
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一、第二型曲线积分的定义 变力沿曲线作功 .
设一质点受如下变力作用 )),(,),((),( yxQyxPyxF
沿曲线 L 从点 A 移动到点 B ,求力 F ( x, y ) 所作的功常力沿直线作功:
力 · 位移
x
y
A
B
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x
y
O
1. 分割 :
2. 近似代替
1M
iM
nM
0M1iM
),( ii ),( iiF
iiiii MMFW 1),(
),(),( 111 iiiiiiii yxyyxxMM
niyxM iii ,,2,1,0),,(
其中 ii yx , 分别是曲线段
在 x 轴与 y 轴上的投影
(此投影不一定是非负的)于是
iiiiii
iiiii
yQxP
MMFW
),(),(
),( 1
插入分点
ii MM 1
)),(,),((),( yxQyxPyxF
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4. 取极限
n
iiiii MMFW
11),(
3. 求和
n
iiiii
TMMFW
11
0||||),(lim
其中is 是第 i 个小弧段的弧长 .},{max||||
1i
nisT
n
iiiiiii
TyξQxP
10||||
),(),(lim
n
iiiiiii yξQxP
1
),(),(
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定义 1 设函数 P (x,y) 与 Q(x,y) 定义在
平面有向可求长度曲线 L: ,AB对 L 的任一分割 T
它把 L 分成 n 个小曲线段: ii MM 1 ni ,,2,1
其中 M0 = A , Mn = B . 记各小曲线段 ii MM 1
的弧长为 ,is 分割 T 的细度 ,max||||1
ini
sT
分点 Mi 的坐标为 ( xi , yi ), 并记 ,1 iii xxx
,1 iii yyy ),,2,1( ni 在每个小曲线段 ii MM 1
上任取一点 ),,( ii 若极限
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n
iiii
T
n
iiii
TyQxP
10||||
10||||
),(lim),(lim
存在,则称此极限为函数 P(x, y), Q(x, y), 沿有向曲线 L
的第二型曲线积分,也称为对坐标的曲线积分,记为dy),(d),( yxQxyxP
L 或 dy),(d),( yxQxyxP
AB
也记为 LL
yyxQxyxP d),(d),(
或 ABAB
yyxQxyxP d),(d),(
简记为 dyd QxPL
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若 L 为封闭曲线,则记为 L
QxP dyd
若记 )),,(),,((),( yxQyxPyxF
),d,d(d yxs
则记 LL
sddyd
FQxP
于是,力 )),,(),,((),( yxQyxPyxF
沿有向曲线 L
对质点所作的功为dy),(d),( yxQxyxPW
L
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)),,(,),,(,),,((),,( zyxRzyxQzyxPzyxF
)d,d,(dd zyxs
类似地 ,
沿空间有向可求长度曲线 L 的第二型曲线积分记为
其中
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第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关,对同一曲线,当方向由 A 到 B 改为由 B 到 A 时,每一小曲线段的
方向都改变,从而小曲线段的投影 ii yx , 也随之改变符号,故有
dy),(d),(dy),(d),( yxQxyxPyxQxyxPBAAB
而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的乘积,它与曲线 L 的方向无关 . 这是两类曲线积分的一个重要区别 .
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第二型曲线积分的性质:
,dydL 11 QxP1. 若第二型曲线积分
L 22 dyd QxP
存在,则
L 2121L 22L 11 )dy()d(dyddyd QQxPPQxPQxP
LLL
dyddyd QxPQxP
其中 , 为常数 .
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2. 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
L
yyxQxyxP d),(d),(
k
iL i
yyxQxyxP1
d),(d),(
则
• 定积分是第二类曲线积分的特例 .
说明 :• 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
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在有向光滑曲线
tty
txL
)(
)(:
)](),([ ttP )(t )(t td)](),([ ttQ
上连续 , t =α 对应曲线 L 的起点 t =β 对应于曲线 L 的终点,则
二、第二型曲线积分的计算
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对空间有向光滑曲线 L:
)(t
)(t
)(t)](,)(),([ tttQ
)](,)(),([ tttR td
)](,)(),([ tttP
,
)(
)(
)(
t
tz
ty
tx
参数 t =α 对应曲线 L 的起点 t =β 对应于曲线 L 的终点,则
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例 1 计算 ,d)(d L
yxyxxy 其中 L 分别
沿如图所示路线
)1,1(A
)3,2(B
x
y
1 2
1
3
⑴ 直线 AB
解 直线 AB 的参数方程为
ty
tx
21
110 t
所以 L
yxyxxy d)(d
1
0)21)(1[( tt 1 t td]2
6
25
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例 1 计算 ,d)(d L
yxyxxy
其中 L 为
)1,1(A
)3,2(B
x
y
1 2
1
3
⑵ ACB ( 抛物线: y = 2( x – 1)2 + 1 )
解 抛物线 ACB 的方程为21 x
所以 L
yxyxxy d)(d
2
1
2 ]1)1(2[{ xx 1 ]1)1(2[ 2 xx xx d)]1(4
2
1
23 d)12353210( xxxx
y = 2( x – 1)2 + 1
3
10
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例 1 计算 ,d)(d L
yxyxxy 其中 L 为
)1,1(A
)3,2(B
)1,2(D
x
y
1 2
1
3
⑶ ADBA ( 三角形周界 )
解 直线 AD 的参数方程为)21(1, xyxx
所以 AD
yxyxxy d)(d
ADxxy d
2
1d1 xx
2
3
直线 DB 的参数方程为)31(,2 yyyx
所以 DB
yxyxxy d)(d
DB
yxy d)( 3
1dy)2( y 0
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沿直线 BA 的线积分:
BA
yxyxxy d)(d
AB
yxyxxy d)(d6
25
所以
ADBA
yxyxxy d)(d
2
30 )
6
25(
3
8
BADBAD
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例 2 计算 ,dd L
xyyx 这里 L :
⑴ 沿抛物线 y = 2x2 , 从 O 到 B
解 ⑴x
y
1
2
O
)2,1(B
)0,1(A
⑵ 沿直线段 OB: y = 2x ;⑶ 沿封闭曲线 OABO
L
xyyx dd
1
0
2 d)24( xxxx 2
⑵ L
xyyx dd 1
0d)22( xxx 2
⑶ L xyyx dd BOABOA0 2 02
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例 3 计算第二型曲线积分,dd)(d 2
LzxyyxxxyI
L 是螺旋线: x = a cos t , y = a sin t , z = b t
从 t = 0 到 t =π 上的一段 .
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例 . 设在力场 作用下 , 质点由沿 L 移动到
解 : (1)
ttkR 2
0
22 d)(
(2) L 的参数方程为
AB
zzyxxy ddd k
zz2
0d
试求力场对质点所作的功 .
其中 L 为
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o
z
yx
例 . 求 其中
从 z 轴正向看为顺时针方向 .
解 : 取 的参数方程 ,sin,cos tytx )02:(sincos2 tttz
ttt cos)sincos22(
tt d)cos41( 22
0
2
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三、两类曲线积分的联系设 L 为从 A 到 B 的有向光滑曲线, 以弧长 s 为参数,
的参数方程为
其中 l 为曲线 L 的长度 .
设曲线 L 上每一点的切线方向
则 L 切向量的方向余弦为s
y
s
x
d
dcos,
d
dcos
指向弧长增加的一方 .
A
B
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于是两类曲线积分有如下联系
L
yyxQxyxP d),(d),(
ssysxQsysxPl
dcos)](),([cos)](),([0
L
syxQyxP dcos),(cos),(
即 L
yQxP dd L
sQP dcoscos
其中 cos,cos 是曲线 L 切向量的方向余弦 .
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在三维空间上,有
L
zRyQxP ddd
L
sRQP dcoscoscos
其中 cos,cos,cos 是曲线 L 切向量的方向余弦 .
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1. 定义
kkkk
n
k
yQxP
),(),(lim kk10
2. 性质(1) L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
iL
k
i
yyxQxyxP d),(d),(1
(2) L - 表示 L 的反向弧
L
yyxQxyxP d),(d),(
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
内容小结
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3. 计算,
)()(
:
tytx
L :t
tttQttP d )](),([ )](),([
)(t )(t
• 对有向光滑弧
• 对有向光滑弧
baxxyL :,)(:
xxxQxxPb
ad )](,[)](,[ )(x
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:,)()()(
ttztytx
)](,)(),([ tttP )(t)(t
)(t4. 两类曲线积分的联系
L
yQxP dd
zRyQxP ddd
)](,)(),([ tttQ
)](,)(),([ tttR td
• 对空间有向光滑弧 :