Времева Стойност на Парите

Времева Стойност на Парите

• Концепции за стойността на парите във времето

• Видове лихва

• Бъдеща стойност на парите

• Настояща стойност на парите

• Анюитети

Съдържание

Стойност на парите във времето

Набор от концепции които позволяват

• Да се прецени дали е по-изгодно да се закупи оборудване или да се вземе на лизинг;

• Да се пресметне какъв е реалния лихвен процент по заемите

• Да се вземе решение за инвестиционната дейност на компанията

Времева стойност на парите

Концепциите и техниките на времевата стойност на парите имат изключително важна роля при вземането на решения в капиталовото бюджетиране, при кредитния анализ, в банковото дело и за инвестиционната политика на организацията.

ВСП: Взаимовръзки и формули

ВСП описва отношението между началната сума на инвестицията, лихвата, крайната сума и периодичните плащания по дадена инвестиция.

Съответните изчисления могат да се направят по няколко начина – може да се изчисляват с обикновен калкулатор, с финансов калкулатор, с вградените функции на електронни таблици (напр.: Excel) или с финансови таблици.

Задача:

Том Смит влага $1,000 в спестовна сметка , която му носи 10% годишно. Колко ще станат неговите $1,000 след 5 години?

Ако Том изтегля натрупаните лихви всяка година, то след 5 години сметката ще му е донесла $500 като лихви, т.е. $1000*.10*5 = $500

Ако обаче остави лихвите в сметката до техния матуритет, в края на петата година той ще има $610.51 лихви.

Сложна Лихва0 1 2 3 4 5

Главница 1,000.00$ Година 1 Натрупани Лихви 100.00

Обща инвестиция 1,100.00$

Година 2 Натрупани Лихви 110.00 Обща инвестиция 1,210.00$




Минус: Начална Главница 1,000.00 Общо натрупани лихви 610.51$

Разликата в лихвите от $110.51 ($610.51 – $500.00) се получава тъй като натрупаните лихви остават в сметката и се олихвяват на свой ред.

Видове задачи свързани с ВСП

• Изчисляване на стойността на парична сума във времето

• Анюитети– Обикновен– Дължим

• Перпетуитети

• Смесени задачи

• Погасителен план

Изчисляване на единична сума

• Основните формули, които описват връзката между настоящата стойност PV и бъдещата стойност FV на единична сума пари инвестирани за n периода при дадена лихва i са:

• FV = PV*(1+i)n

• PV = FV/(1+i)n

Така наречените “времеви линии” са много полезни за визуализирането на задачи, свързани с TVM. На горепосочената линия, моментът 0 е днес, а моментът 1 е един период след днес. Неизвестните парични потоци (тези, които се опитваме да изчислим при решаването на задачата) се отбелязват с въпросителен знак. Паричните потоци с отрицателен знак са пари, които даваме, а тези с положителен знак – пари, които получаваме. Времевата линия, посочена по-горе казва “ колко ще станат $1000 вложени за 3 периода при 5% лихва на период?”. Времевите линии са много полезни при решаване на сложни проблеми свързани с TVM.

Като използваме известните вече означения:

PV = $1,000 i = 0.05 n = 3 FV = ?

?

0 1 2 3

$1,000

Намиране FV на единична сума

Намиране FV на единична сума

Има три начина за решаването на този вид задача.

– Решение с изчисления– Решение с финансови таблици– Решение с помощта на MS Excel

Решения с изчисления

• Като използваме основната формула: FV = PV(1+i)n

• FV = $1,000(1+0.05)3 = $1,000*1.15763 = $1,157.63

• Забележете, че за да получите (1+0.05)3 трябва или да умножите (1+0.05) само по себе си 3 пъти, или да използвате калкулатор, който може да изчислява степени.

Финансовите таблици (PVIFi,n)

Финансовите таблици могат значително да улеснят изчисленията при задачите за TVM. Използвайки предходият пример, формулата остава същата

FV = PV(1+i)n

Аргументът (1+i)n е предварително изчислен и представен в таблична форма за различни стойности на i и n.

Таблици за FV (PVIFi,n)Future Value Factors

Periods 1% 2% 3% 4% 5%

1 1.0100 1.0200 1.0300 1.0400 1.0500 2 1.0201 1.0404 1.0609 1.0816 1.1025 3 1.0303 1.0612 1.0927 1.1249 1.1576 4 1.0406 1.0824 1.1255 1.1699 1.2155 5 1.0510 1.1041 1.1593 1.2167 1.2763 6 1.0615 1.1262 1.1941 1.2653 1.3401 7 1.0721 1.1487 1.2299 1.3159 1.4071 8 1.0829 1.1717 1.2668 1.3686 1.4775 9 1.0937 1.1951 1.3048 1.4233 1.5513 10 1.1046 1.2190 1.3439 1.4802 1.6289

Горепоказаната таблица се използва за решаване тогава, когато PV е известна, а се търси FV. Например: при лихва от 5% и n = 3 периода използваме фактора 1.576 от таблицата. Уравнението става:

$1,000 * 1.1576 = $1,157.60

Намиране PV на единична сума По дефиниция PV на единична парична

сума, която е вложена за n периода е сумата която, ако се инвестира днес, ще нарасне до въпросната /известна/ бъдеща стойност.

Намирането на PV се нарича дисконтиране и е обратен процес на олихвяването (начисляване на сложна лихва). С други думи, знаем бъдещата сума и изкаме да получим настоящата сума.

Намиране PV

Искате да имате $10,000 след 3 години, а годишния лихвен процент е 5%. Колко пари трябва да вложите в банката днес?

Знаем каква е бъдешата стойност и се интересуваме каква сума трябва да вложим за да я получим при дадените лихва и брой периоди

$$$

0 1 2 3

?

Решения с изчисления

PV = FV(1+i)n

PV = $10,000/(1+0.05)3 = $8,638.38.

Решения с финансови таблици

Таблица 3 – (FVIFi,n)

Периоди 1% 2% 3% 4% 5% 6%

1 .9901 .9804 .9709 .9615 .9524 .9434

2 .9803 .9612 .9426 .9246 .9070 .8900

3 .9707 .9423 .9151 .8890 .8638 .8396

4 .9610 .9238 .8885 .8548 .8227 .7921

5 .9515 .9057 .8626 .8219 .7835 .7473

$10,000 * .8638 = $8,638

Забележете, че тази таблица е обратната на таблицата за PVIFi,n. Факторът PVIF за 3 периода при 5% е 1.1576. Ако разделим $10,000 на този фактор ще получим същия отговор: $10,000 /1.1576 = $8,638

Любопитни факти: Правилото за 72

Това е едно просто правило, според което ако разделите 72 на лихвения процент, ще получите приблизителния брой на годините, необходими за да се удвоят парите ви. Например, при лихва7%, 72/7 = 10.29 години са необходими за удвояване на сумата.

Aнюитет

Анюитетът представлява поредица от еднакви периодични плащания, които се правят на определени равни и фиксирани интервали. Например, $100 които се получават или плащат на края на всяка от следващите 3 години могат да се нарекат анюитет. Равните вноски обикновено се означават с PMT (от английското payment - плащане) и се правят или в началото, или в края на периода. Ако вноските (плащанията) се извършват в началото на периода, анюитетът се нарича дължим анюитет. Ако плащанията са на края на

периода, говорим за обикновен анюитет.

Aнюитет: Основни термини

PVIFAi,n = (1 – (1+i)-n)

Настоящата стойност на анюитет (НСА) показва каква сума трябва да се вложи при определен лихвен процент, за да могат да се теглят (платят) поредица от равни суми (pmt). Тегленето (изплащането) започва един период след момента на депозирането и в сметката не остава нищо след последното плащане.

pmt pmt pmt

0 1 2 3

?

i

Настояща стойност на анюитета

Джордж Джоунс току що е спечелил от лотарията. Има възможност да избира как да получи парите си. Може или да вземе чек за цялата си печалба от $500,000 наведнъж или да получава плащания от по $150,000 на година в течение на 5 години. Ако Джоунс има възможност да вложи парите си при 12% лихвен процент (доходност), коя алтернатива трябва да избере?

Настояща стойност на анюитета

$150,000 $150,000 $150,000 $150,000 $150,000?

0 1 2 3 4 5

{1 - (1 + i)-n }

i

= PVIFAi,n $150,000 {1 - ( 1+.12) -5 }= $540,716.43 .12

Джордж трябва да предпочете плащанията. За да получава по $150,000 на година в теченеие на 5 години той би трябвало да вложи $540,716 при годишна лихва 12%. Така че, ако той предпочете да вземе $500,000веднага ще загуби $40,716 от настощата стойност.

Aнюитет: Основни термини и връзки

FVIFAin = {[(1+i)n – 1]/i}

Бъдещата стойност на обикновен анюитет (БСА) показва крайнатастойност на поредица от равни периодични плащания, които се правят “n” периоди при лихвен процент “i’”. Приема се, че плащанията започват след 1 период и върху последната вноска няма лихва.

?

pmt pmt pmt

0 1 2 3

? = БСА

БСА = pmt * FVIFAin

Бъдеща стойност на анюитета

Джейн Доу планира да спестява по $500 на година в течение на 5 години. Колко ще натрупа от спестяванията си ако може да получи лихва от 12%? Първото плащане ще бъде след 1 година.

Бъдеща стойност на анюитета

0 1 2 3 4 5

500 500 500 500 500

?

{(1+i)n - 1}

i= FVIFAin

500{ 1.12)5 - 1}

.12= $3,176.42


Фактор на изплащане на заем = (i/(1 – (1+i)-n)

? ? ?

0 1 2 3

$

Плащането по заема е =НСА * Фактор на заема

Факторът за изплащане на заемизчислява какви равни вноски ще намалят настоящата стойност на заема до нула слае ‘n’ периода. Този фактор е реципрочно число на фактора PVIFA.


Фактор на изплащане на заем = (i/(1 – (1+i)-n)

Или реципрочно на финансова Таблица 4

? ? ?

0 1 2 3

$Плащането по заема е =НСА * Фактор на заема

Факторът за изплащане на заемизчислява какви равни вноски ще намалят настоящата стойност на заема до нула слае ‘n’ периода. Този фактор е реципрочно число на фактора PVIFA.

Фактор на изплащане на заем ...

Скот Сандерс мисли да вземе на заем $10,000. Ако лихвата на банката е 10% годишно, какви равни вноски трябва да прави Скот, за да изплати заема за 5 години (при първо плащане точно след 1 година)?

Фактор на изплащане на заем

$10,000 ? ? ? ? ?

0 1 2 3 4 5

{ i }

1 - (1 + i) -n

= Вноска по заема

$10,000{ 0.10 } 1- (1+0.10)-5 = $2,637.97

Погасяване на заеми

При погасяването на заеми, на края на всеки период заемополучателят плаща лихви и главница така че оставащия баланс (задължение) по заема постепенно се намалява и нулира с последното плащане.

Всяка вноска по заема се състои от плащане на лихва и плащане по главница. Вноската е винаги една и съща, но съотношението между главница и лихва се променя с времето. В началния период на погасяване на заема лихвите съставляват по-голямата част от вноската, а по-късно това съотношение се обръща. Таблицата на погасяване на заем е един ефективен инструмент, който илюстрира паричните потоци по изплащане на заема.

Таблица за погасяване на заеми (Погасителен план)

0.002,398.18239.820.102,638.002,398.18

2,398.182,180.14457.830.102,637.974,578.32

4,578.321,981.94656.030.102,637.976,560.26

6,560.261,801.77836.200.102,637.978,362.03

$8,362.03$1,637.97$1,0000.10$2,637.97$10,000

6

Краен баланс

5

Главница

4

Лихва

3

Лихвен процент

2

Вноска

1

Начален баланс

• Първата цифра в колонката “Начален баланс” е $10,000, т.е. сумата на заема. Втората колонка показва равните периодични вноски, а третата – лихвения процент. Следващата колонка показва лихвеното плащане за този период като произведение от лихвения процент и началния баланс. Следващата колонка показва плащането по главницата като разлика между пълния размер на погасителната вноска по заема и лихвеното плащане. Крайният баланс представлява неизплатената част от заема и от своя страна става начален баланс за следващия отчетен период. Забележете, че крайното плащане по главницата се изравнява така, че остатъкът по заема да бъде 0.

Дължим анюитетАко влагате по $100 в началото на всяка от следващите 3 години в банкова сметка, която ви носи 5% годишна лихва, колко ще имате след 3 години?

Решение с линията на времето и изчисления:

Тъй като всяка от вноските при дължимия анюитет се олихвява с един период повече отколкото при обикновения анюитет, БС на дължимия анюитет е по-голяма от тази на обикновения.

0 1 2 3

100100100105110.25

БСА3= $331.01115.76

Полугодишни и други периоди на олихвяване

В много случаи олихвяването с капитализация (т.е., начисляването на сложна лихва) става на периоди по-малки от година: банковите заеми обикновено се изплащат месечно, облигациите плащат купон на 6 месеца, а акциите плащат дивидент на тримесечна база.

Преди да започнем да решаваме задачите, трябва да уточним честотата на олихвяването с капитализация (периода на начисляване на сложна лихва) и да направим съответните преизчисления. Това е илюстрирано на следващия слайд.

Полугодишни и други периоди на олихвяванеЛихвен процент за периода “i” = зададената годишна лихва /

брой периоди в годината

Например, 10% годишно е 0.1/12=0.0083 месечно.

Броя на периодите “n” =

= Броя на годините Х периодите в годината Например, ако имате олихвяване на тримесечна база за 3 години, значи общият брой на периодите е 4 (броя на тримесечията) X 3 години = 12 периода.

Перпетуитет

Перпетуитетите са плащания с еднакъв размер и безкраен живот. Примери за перпетуитети са британските облигации Консол и преференциалните акции.

Бъдещата стойност на перпетуитета се изчислява по формулата

НСp=PMT/i.

“Неравни” парични потоци

За да решавате задачи с множество неравни парични потоци, разглеждайте всеки паричен поток като отделна задача и след това съберете отделните отговори.

Например, искате да вложите $100 в банкова сметка сега, $200 след 2 години и $500 след 3 години. Банката плаща 6% годишна лихва. Колко ще станат парите след 4 години?

Неравни парични потоци: решение

43210

500200100

i=6%

880.97

126.25

224.72

530

На четвъртата година ще имате $880.97

Намираме БС на всеки от паричните потоци и след това ги сумираме

500*(1.06)1

200*(1.06)2

100*(1.06)4

• Въпроси?

Documents

Времева Стойност на Парите