Паросочетания в двудольных графах

Лекция 8

Паросочетание

• Паросочетанием в графе G называется множество попарно несмежных ребер.

Задача «Максимальное Паросочетание»

• Дан граф G.

• Найти паросочетание в G максимальной мощности.

Совершенное паросочетание

Определение 8.1.

• Пусть G ― граф и M ― паросочетание в G. Будем говорить, что вершина v покрыта M, если v e для некоторого e M .

• M называется совершенным паросочетанием, если все вершины покрыты M.

Биразбиение

• Биразбиением графа G называется разбиение множества вершин на два подмножества, V(G)=A⋃B, такое что подграфы индуцированные на A и B ― оба пустые.

• Граф называется двудольным, если он имеет биразбиение.

Паросочетание в двудольном графе

• Для графа G, пусть (G) обозначает мощность максимального паросочетания, а (G) ― мощность минимального вершинного покрытия в G.

Теорема 8.2 (König [1931])

Если G ― двудольный, то (G) = (G).

Доказательство

• G' = (V(G) {⋃ s,t}, E(G) {{⋃ s,a}: a A} {{⋃ b,t}: b B}) (G) – максимальное число вершинно-непересекающихся

s-t-путей. (G) – минимальное число вершин удаление которых

разделяет вершины s и t.

Вторая Теорема Менгера

Theorem 7.2 (Menger [1927] ) Пусть G ― граф (ориентированный или

неориентированный), пусть s и t две несмежные вершины и k N. Тогда существует k вершинно-непересекающихся s-t-путей, тогда и только тогда, когда после удаления любых k – 1 вершин (отличных от s и t) t остается достижима из s.

Доказательство

• G' = (V(G) {⋃ s,t}, E(G) {{⋃ s,a}: a A} {{⋃ b,t}: b B})

(G) – максимальное число вершинно-непересекающихся s-t-путей.

(G) – минимальное число вершин удаление которых разделяет вершины s и t.

• 2-я теорема Менгера (G) = (G).

Теорема Холла

Теорема 8.3 (Hall [1935] )

Пусть G ― двудольный граф с биразбиением V(G) = A⋃B. Тогда G имеет паросочетание, покрывающее A, тогда и только тогда, когда |(X)| ≥ |X| для всех X A.

((X) – множество вершин соседних с X.)

Доказательство (достаточность)

• Пусть G не имеет паросочетание, покрывающее A ((G) < |A|).

• Теорема 8.2 (G) < |A|.• Рассмотрим A' A и B' B, такие что A' ⋃ B'

покрывают все ребра и | A' ⋃ B' | < | A |.• Тогда (A /A' ) B'. | (A /A' ) | ≤ |B'| < | A | – | A' | = |A /A' |, что

противоречит условию теоремы.

Теорема о бракосочетаниях

Теорема 8.4 (Frobenius [1917] ) Пусть G ― двудольный граф с

биразбиением V(G) = A⋃B. Тогда G имеет совершенное паросочетание, тогда и только тогда, когда |A| = |B| и |(X)| ≥ |X| для всех X A.

Паросочетание в двудольном графе

Теорема 8.5

Задача «Максимальное Паросочетание» в двудольном графе G может быть решена за время O(nm), где n = |V(G)| и m = |E(G)|.

Справка

• Используя идею о кратчайшем увеличивающем пути можно получить алгоритм с трудоемкостью O(n0.5(m + n)) (Hopcroft & Karp 1973).

M- увеличивающий путь

• Определение 8.6 Пусть G ― граф, и M ― паросочетание в G. Путь P называется M-чередующимся путем, если E(P) \ M является паросочетанием. Чередующийся путь называется M-увеличивающим, если его граничные точки не покрываются M, то есть

| E(P) \ M | > | E(P) ∩ M |.

Пример M-увеличивающего пути

MP:

E(P)\ M

Паросочетание и увеличивающий путь

Theorem 8.7 (Berge [1957] ) Пусть G ― граф, и M ― паросочетание в G.

Тогда M является максимальным тогда и

только тогда, когда не существует

M-увеличивающего пути.

Доказательство

• Если M-увеличивающий путь P существует, то симметрическая разность M∆E(P) будет паросочетанием большей мощности.

• Если существует паросочетание | M '| > | M |, то M∆M ' является вершинно-непересекающимся объединением путей и циклов, один из которых является увелличивающим.

Алгебраический подход

• Пусть G простой граф и пусть G' орграф, полученный из G произвольной ориентацией ребер.

• Для произвольного вектора x определим матрицу Татта.

Матрица Татта

иначе 0

, if

, if

:

,

,

,

GEvwx

GEwvx

t

txT

xx

wv

wvxvw

GVwvxvwG

GEee

Паросочетание и матрица Татта

Теорема 8.8 (Tutte [1947] )

Граф G имеет совершенное паросочетание тогда и только тогда, когда det TG(x) ≠ 0.

Доказательство

• V(G) = {v1,…,vn}

• Пусть Sn множество всех перестановок {1,…, n}.

n

i

xvv

SG ii

n

txT1

sgndet

0:1

n

i

xvvnn ii

tSS

• Каждая перестановка π S'n соответствует орграфу Hπ = ( V(G),{(vi,vπ(i)): i = 1,…, n}), где ровно одна дуга входит в каждую вершину и ровно одна дуга выходит из нее. (Hπ Ğ').

Пример Hπ

M Hπ

vi vj

π(i)=j, π(j)=i.

Доказательство

• Если существует перестановка π S'n такая что Hπ состоит только из четных циклов, то в G есть совершенное паросочетание.

• Пусть это не так. То есть для каждой π S'n

существует нечетный цикл.

• Тогда r(π) S'n такая, что Hr(π) получается из Hπ обратной ориентацией дуг в первом нечетном цикле (r(r(π)) = π).

vivj

π(i)=j, π(j)=k, π(k)=i.

vk

vi vj

π(i)=k, π(j)=i, π(k)=j.

vk

Hπ Hr(π)

Пример Hπ и Hr(π)

sgn(π)= sgn(r(π))

w1w2

w2k+1

Hπ Hr(π)w1

w2k+1

w2

w1,w2,w3, …, w2k,w2k+1

w2,w3,w4, …, w2k+1,w1

w1, w2,w3, …, w2k,w2k+1

w2k+1,w1,w2, …, w2k-1,w2k

Одна перестановка получается из другой за 2к транспозиций.

Доказательство

n

ivv

n

i

xvv iriii

tt11

n

i

xvv

SG ii

n

txT1

sgndet

• Следовательно, два соответствующих этим перестановкам

слагаемые в сумме

взаимно сокращаются.

• Так как это выполняется для всех пар π и r(π), то det TG(x)≡0.

Вероятностный Алгоритм

Следствие 8.9 (Lovász [1979] )

Пусть x = (xe)eE(G) ― случайный вектор, каждая координата которого равномерно распределена в [0,1].

Тогда с вероятностью 1 ранг TG(x) в точности равен 2(G).

Упражнение 8.1

• Пусть G произвольный граф, M1 и M2 два максимальных паросочетания в нем. Доказать, что | M1 | ≤ | M2 |.

Упражнение 8.2

• Доказать, что k-регулярный двудольный граф имеет k попарно не пересекающихся совершенных паросочетаний.