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第四节 无穷小与无穷大. 一 无穷小与无穷大的概念. 二 无穷小与无穷大和极限的关系. 三 无穷小的运算性质. 一、无穷小与无穷大的概念. 1. 无穷小. 极限为零的变量称为 无穷小. 1 . 无穷小是变量 , 不能与很小的数混淆 ;. 注意. 2. 零是可以作为无穷小的唯一的数. 例如 ,. >.
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二 无穷小与无穷大和极限的关系三 无穷小的运算性质
第四节 无穷小与无穷大
一 无穷小与无穷大的概念
一、无穷小与无穷大的概念
定 义 1 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 ( 不 论 它 多 么 小 ) ,
总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ) , 使 得 对 于 适 合 不 等 式
00 xx ( 或 x X ) 的 一 切 x , 对 应 的 函 数 值
)( xf 都 满 足 不 等 式 )( xf ,
那 末 称 函 数 )( xf 当 0xx ( 或 x ) 时 为 无 穷 小 ,
记 作 ).0)(lim(0)(lim0
xfxfxxx
或
极限为零的变量称为无穷小 .1. 无穷小
例如 ,
,0sinlim0
xx
.时的无穷小是当函数 0sin xx
,01
lim xx
.时的无穷小是当函数 xx1
,0)1(
lim n
n
n .时的无穷小是当数列
nn
n
})1(
{
注意 1. 无穷小是变量 , 不能与很小的数混淆 ;
2. 零是可以作为无穷小的唯一的数 .
2. 无穷大
定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么小 ), 总存在正数 (或正数X ), 使得对于适合不等式
00 xx (或 x X )的一切 x ,所对应的函数值 )(xf 都满足不等式 Mxf )( , 则称函数 )(xf 当 0xx (或 x )时为无穷小 ,记作 ).)(()( xfxf 或
绝对值无限增大的变量称为无穷大 .
0xxlim
x
lim
特殊情形:正无穷大,负无穷大.
))(lim()(lim)()(
00
xfxf
xxx
xxx
或
注意 1. 无穷大是变量 , 不能与很大的数混淆 ;
3. 无穷大是一种特殊的无界变量 , 但是无界变量未必是无穷大 .
.认为极限存在2.切勿将
)(lim0
xfxx
xxy
1sin
1
.但不是无穷大,是一个无界变量
当,例如xx
yx1
sin1
0 ,时
),3,2,1,0(
22
1k
kk
x 取(1)
,2
2)( k
kxy .)(, k Mxy 充分大时当k
),3,2,1,0(2
1k k
kx 取(2)
,kxk ,充分大时当
kkxy k 2sin2)( 但 .0 M 不是无穷大.
无界,
.1
1lim
1
xx证明例
证 .0M ,1
1M
x
要使
,1
1M
x 只要 ,1M
取
,时M
x1
10 当 .1
1M
x
就有 .
11
lim1
xx
.的图形的铅直渐近线
是函数则直线,如果:定义 )()(lim 00
xfyxxxfxx
1
1
x
y
1. 无穷小与函数极限的关系 :
证 必要性 ,)(lim0
Axfxx
设 ,)()( Axfx 令
,0)(lim0
xxx
则有 ).()( xAxf
充分性 ),()( xAxf 设
,)( 0时的无穷小是当其中 xxx
))((lim)(lim00
xAxfxxxx
则 )(lim0
xAxx
.A
定理1 ),()()(lim0
xAxfAxfxx
其中 )(x 是当 0xx 时的无穷小.
二、无穷小与无穷大和极限的关系
x 0xx是 时无穷小 .
2. 无穷小与无穷大的关系
.0)(
1lim
,)(lim
.)(
1lim
),0)((,0)(lim
xf
xfxf
xfxf
x
x
x
x
则(2)若
则(1)若 2定理
即: 无穷大的倒数为无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大 .
.)(
1 xf
即
证 (2)
,1
)(
0,0,0 0
xf
xx
恒有
时使得当
.)(lim0
xfxx
设
.为无穷小时当)(
1,0 xf
xx
注 关于无穷大的讨论 , 都可归结为关于无穷
小的讨论 .
,1
)(
0,0,0
0
Mxf
xxM
恒有
时使得当
.为无穷大,时当)(
10 xfxx
,0)( xf由于 .)(
1M
xf从而
.0)(,0)( )1( xfxf 且设 0xx
lim
意义 1. 将一般的极限问题转化为特殊的极限问 题 ( 无穷小); 2. 给出了函数 在 附近的近似表达 式
)(xf ox).()( xAxf 误差为,
三、 无穷小的运算性质
定理 3 同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小 .证: ,时的两个无穷小是当及设 x
使得,0,0,0 21 XX
注意:无限个无穷小量的和不一定是无穷小 .
例如,
.不是无穷小1,个之和为但
.是无穷小时
nn
n1,
;22
时恒有当 Xx
22
,
},,max{ 21 XXX 取 恒有时当 ,Xx
.0)lim(
;21
时恒有当 Xx
定理 4 有界函数与无穷小量的积仍是无穷小 .
证 ,内有界在设函数 ),( 10 oxUu
使得当则 ,0,0 1 M 时10 ||0 xx
,|| Mu 恒有
恒有
又设 是当 时的无穷小,0xx
,0,0 2 使得当 20 ||0 xx
.||M
取 },,min{ 21 则当 ||0 0xx 时恒有
时
,|||||| M
Muu
.为无穷小时,当 uxx 0
推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 .推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小 .
xx
xx
1arctan,
1sin 2例如,当 0x 时, 都是无穷小 .