第九章 力学量本征值问题的代数解法

本征值问题的解法 分析解法代数解法

§9.1 一维谐振子的 Schrödinger 因式分解法 升、降算符

一、 Hamilton 量的代数表示一维谐振子的 Hamilton 量可表为

.2

1

2

1 222 xpH

采用自然单位则

而基本对易式是

令

利用上述对易式，容易证明 ( 请课后证明 )

其逆为

)1(

,2

1

2

1 22 xpH

,, ipx

),(2

1),(

2

1ipxaipxa

).(2

),(2

1aa

ipaax

.1],[ aa

此时能量以 为单位

长度以 为单位

动量以 为单位

/

将两类算符的关系式

代入一维谐振子的 Hamilton 量

上式就是 Hamilton 量的因式分解法，其中

)(2

),(2

1aa

ipaax

2

1ˆ2

1NaaH

.ˆ aaN

由于 ,NN ˆˆ 而且在任何量子态 下

0),(),( aaaaN

所以 为正定厄米算符N̂

,2

1

2

1 22 xpH

有

二、 Hamilton 量的本征值

证明 :设 |n> 为 的本征态 ( n为正实数 ) ，即N̂

下面证明，若 的本征值为 ,则 的本征值 为 ( 自然单位， )

N̂ nH nE

,2,1,0n

,ˆ nnnN

利用 1],[ aa 及 aaN ˆ 容易算出,],ˆ[,],ˆ[ aaNaaN

因此 .],ˆ[ nanaN

但上式 ,ˆˆˆ nnanaNnNanaN 左边

.,2,1,0,2

1

nnEn

由此可得 .)1(ˆ nannaN

这说明， 也是 的本征态，相应本征值为 。

na | N̂

)1( n

如此类推，从 的本征态 出发，逐次用 运算，可得出 的一系列本征态

N̂ n|a N̂

,|,|,| 2 nanan

相应的本征值为.),2(,1, nnn

因为 为正定厄米算子，其本征值为非负实数。

N̂

若设最小本征值为 ，相应的本征态为0n 0n

则

00ˆ naanN

00 na

此时

即 是 的本征值为 0 的本征态 , 或 .此态记为 ，又称为真空态，亦即谐振子的最低能态 ( 基态 ) ，对应的能量本征值 ( 加上自然单位 ) 为 .

0n N̂ 00 n0|

2/

0 ,0 0n

利用 aaN ],ˆ[

同样可以证明nannaN )1(ˆ

这说明 也是 的本征态，本征值为 。

naN̂

)1( n

利用上式及 ,000ˆ N

a从 出发，逐次用 运算，可得出 的全部本征态：

0 N̂

利用 1],[ aa

有 Naaaa ˆ11

由 nannaN )1(ˆ 可知010ˆ aaN

已知 是 的本征态，本征值是 00 N̂

即 也是 的本征态，本征值是 10a N̂

下面看 是否也是 的本征态，本征值是多少？

02a N̂

00ˆ 22 aaaaN

02 2 a

0 aaaa

0ˆ02 aNaa

0)ˆ1( aNa

显然

002 aaa

故 也是 的本征态，本征值是 202a N̂

这样

对本征态 本征值为N̂

本征值为H

所以， 可以成为上升算符， 可以称为下降算符。

a a

证毕。

这种描述体系状态的表象叫粒子数表象。

,0|,0|,0| 2 aa

,2/5,2/3,2/1

,2,1,0

利用归纳法可以证明（课下证）： （即 ）的归一化本征态可表为N̂ H

,0)(!

1 nan

n

且满足

,2

1nnnH

.nnnn

为什么？

0)(!

1 nan

n 由 得0)(

)!1(

11 1

na

nn

所以 0|)(!

1| 1na

nna

1|1 nn

0|)()!1(

1 1nan

n

从而有 nnna |1|

而由 nnnaanN ||ˆ 得nnnaa

n |

1

所以 1| na naan

|1

或 naa | 1| nna

上式作用任一左矢 ，有|m naam || 1|| nnam

利用 1],[ aa 有 1 aaaa 代入上式即 naam |1| 1|| nnam

上式对任意 m 都成立，所以1| na nn |1

或 1|1| nnna

na | 1| nn

这就是下降和上升算符的定义 , 很有用处。

或 nmnaam ||| 1|| nnam

利用 1|1| nnna 上式变为 nmnnam |1|1| nnm ||

移项，得 1|| nam nnm |1|

连同

利用 1|1| nnna

na | 1| nn

以及 )(2

),(2

1aa

ipaax

容易证明：

)1(2

,)1(2

1

11

11

nnnnnn

nnnnnn

nni

p

nnx

拿第一式的证明为例。

三、升降算符的应用1. 坐标和动量算符的矩阵元计算

因为 )(2

1aax

所以 nxnx nn ||''

)1(2

11,'1,' nnnn nn

)1|'1|'1(2

1 nnnnnn

)1||'1|1|'(2

1 nnnnnn

)||'||'(2

1 nannan

2. 能量本征态在坐标表象中的表示

00| a考虑基态 ，它满足0|

即 00)( ipx

在坐标表象中，上式可以写为00|' ipxx

插入完备性关系 1|''''|''d xxx 得00|''''||'''d xxipxxx

已经知道)'''(

'''||' xx

xixpx

00|'')]}'''('d

d[)'''('{''d xxx

xiixxxx

令 ，代入前式可以得出1

利用积分中 δ 函数的性质可得00|'

'd

d'

x

xx

有并注意把 ),(0|,' 0 xxxx

0)(d

d0

x

xx

解出得 .)( 20

2xex

添上自然单位，可得出在坐标表象中的归一化基态波函数为

.)(2

2

41

0

xex

而坐标表象中激发态的波函数为,0

!

1)( n

n axn

nxx

添上长度的自然单位由于 ),(2

1ipxa

/1

可得

xxa

d

d1

2

1

.d

d1

!

1)( 2

41222 x

n

n ex

xn

x

所以

上次课复习),(

2

1),(

2

1ipxaipxa

).(2

),(2

1aa

ipaax

,2

1

2

1 22 xpH

2

1ˆ2

1NaaH

.,2,1,0,2

1

nnEn

1|1| nnna na | 1| nn

,0)(!

1 nan

n

升降算符的应用

总之， S - 方程的因式分解与经典粒子束缚运动轨道的闭合性有某种关系。

另外还可以证明，对于 r 幂函数形式的中心势 ，只当 （ Coulomb 势）或 ( 各 ( 各向同性谐振子势 ) 时，径向 S- 方程才能因式分解 .

)(rV2~)( rrV

rrV /1~)(

四、 S- 方程因式分解的条件上述的因式分解法是 Schrödinger 提出来的。可以证明，对于存在束缚态的一维势阱 V(x) ，只要基态能量 有限 , 存在 , 则可定义相应的升降算符，并对 Hamilton 量进行因式分解。

0E'0

§9.2 角动量算符的本征值和本征态前面我们学习了轨道角动量、自旋角动量的性质（本征值和本征态）以及它们之间的耦合问题。

一、一般角动量算符的对易关系如果算符 j ，其三个分量 满足下列zyx jjj ,,

对易关系,],[,],[,],[ yxzxzyzyx jijjjijjjijj

下面我们对角动量算符的本征值和本征态作一般的讨论。

则以 作为三个分量的矢量算符 j称为角动量算符。

zyx jjj ,,

yxzxzyzyx jijjjijjjijj ],[,],[,],[

称为角动量的基本对易式。

轨道角动量 l, 自旋角动量 s 以及总角动量 l+s=j 的各分量都满足此基本对易式。

以下根据此基本对易式及角动量算符的厄米性来求出角动量的本征值和本征态。

且式

定义,2222

zyx jjjj

利用角动量分量间的一般对易式容易证明：.,,,0],[ 2 zyxjj

定义,i yx jjj

其逆表示为

),(i2

1),(

2

1 jjjjjj yx

同样可以证明：,],[ jjjz

,22zz jjjjj

,2 zjjjjj

)(2 22zjjjjjj

利用角动量的定义及分量的对易关系，上述几个式子是很容易证明的。

)i)(i()i)(i( yxyxyxyx jjjjjjjjjjjj

2222 iiii yyxxyxyyxxyx jjjjjjjjjjjj

)(2 22zjj

)(2 22yx jj

利用 ,i yx jjj 有

所以 jjjj )(2 22zjj

二、角动量本征值和本征态的代数解法

.1],[ aa前面我们在粒子数表象时所用的对易关系式

是针对玻色子体系而言的。我们知道，光是玻色子，在被量子化后形成“光子”的概念。

同样，晶体里的格波（其实就是一种声波）的能量也是量子化的。人们把量子化了的格波叫做“声子”。声子和光子一样都是玻色子。

1. 声子的概念

2. 角动量本征值和本征态的代数解法考虑二维各向同性谐振子，相应的两类声子产生和湮灭算符用 和 表示 , 并满足11 , aa

22 , aa

.2,1,,0],[],[,],[ jiaaaaaa jijijiji

定义正定厄米算符,ˆ,ˆ

222111 aaNaaN

,2,1,0, 21 nn其本征值分别为 和 ，1n 2n

它们分别表示两类声子的数目。

21ˆˆ NN 和 的归一化共同本征态可表为

.0!!

)()(

21

2121

21

nn

aann

nn

定义算符,)(

2

11221

xx jaaaaj

,)(2

11221

yy jaaaai

j

zz jaaaaj )(2

12211 ),ˆˆ(

2

121 NN

由此定义角动量升降算符,)i( 21 aajjj yx

.)()i( 12

jaajjj yx

利用对易式.2,1,,0],[],[,],[ jiaaaaaa jijijiji

容易证明zyxjijj ,,,,,],[

这正是角动量的基本对易式 。)1(

.2,1,,0],[],[,],[ jiaaaaaa jijijiji

因为

所以

1212122121122121 ,,,,i4

1aaaaaaaaaaaaaaaa

)(

i2

1),(

2

1],[ 12211221 aaaaaaaajj yx

12212112 ,,i4

1aaaaaaaa

2112 ,i2

1aaaa

12122112 ,,i2

1aaaaaaaa

)(2

1i 2211 aaaa )(

i2

11122 aaaa

)00(i2

112112212 aaaaaaaa

zji

1212122121122112 ,,,,i2

1aaaaaaaaaaaaaaaa

同理可证其它几个分量对易式。

同样可证明关系式,1

2

ˆ

2

ˆ2222

NNjjjj zyx

其中 .ˆˆˆ221121 aaaaNNN

其本征值为,,2,1,021 nnn

这样， 的本征值可表为 ，且2j )1( jj

,,25,23,21

,2,1,0

2 n

j

即角动量量子数 j 只能取非负整数或半整数。?

),ˆˆ(2

121 NNjz ,1

2

ˆ

2

ˆ2

NNj

NNN ˆˆˆ21 和、 的共同本征态21nn由前述可知， 是

但

),( 2zjj 的共同本征态，且21nn故 也是

,2

1

,122

212121

21212

nnnnnnj

nnnn

nnj

z

考虑到角动量本征态的习惯写法，不妨将 该写为 ，并定义21nn jm

.2

1,

2

12121 nnmnnj

现在的问题是，对于给定的 2121 2,2 nnjnnj 即

m 可以取那些值？ 下面予以分析：jn 2,,1,01

0,,12,22 jjn

jjjm ,,1,

即 m 可以取 这 个值。),,1,( jjj )12( j

而

.2

1,

2

12121 nnmnnj

的逆可表示为式

,, 21 mjnmjn

因而0

!!

)()(

21

2121

21

nn

aann

nn

可改写为.0

)!()!(

)()( 21

mjmj

aajm

mjmj

相应地，利用

,2

1

,122

212121

21212

nnnnnnj

nnnn

nnj

z

可改写为

212121 ,2

1,

2

1nnnnnmnnj

式

,

,)1(2

jmmjmj

jmjjjmj

z

其中 .,,1,,,25,23,21

,2,1,0jjjmj

另外，请同学们课下证明一个非常重要的关系式

.1))(1( jmmjmjjmj

提示：1.首先证明 是 的属于本征值 的本征函数；

jmj zj

1m

2. 利用 本征值的非简并性，即zj

1|| jmjmj

得出 的值。

请参阅陈鄂生《量子力学习题与解答》 p55

作业： p260 2, 3

§9.3 两个角动量的耦合与 CG 系数前面我们讨论过两个具体角动量的耦合

自旋与轨道角动量的耦合自旋与自旋角动量的耦合

slj

21 ssS

下面讨论两个一般角动量的耦合一、两个角动量的耦合

.,,,,

,],[,i],[ 222111

zyx

jijjjjj

设 与 分别表示第一和第二粒子的角动量，即（取 ）

1j 2j1

这两个角动量分别对不同粒子的态矢运算，属于不同的自由度，因而是彼此对易的：

.,,,0],[ 21 zyxjj

定义两个角动量之和 21 jjj

这就是两个角动量耦合的一般定义。利用两个角动量各分量满足的基本对易式，同上节介绍的方法可以证明

jjj i],[

或表成 .jijj

设 的共同本征态记为 ，即),( 121 zjj

11mj )1(

,

,)1(

1111

1111

11

1121

mjmjz

mjmj

mj

jjj

类似地， 的共同本征态记为 ),( 222 zjj

22mj

.

,)1(

2222

2222

22

2222

mjmjz

mjmj

mj

jjj

对两个粒子组成的体系，如果只考虑角动量所涉及的自由度，其任何一个态必然可以用 来展开。)2()1(

2211 mjmj

)2()1(2211 mjmj

),,,( 2221

21 zz jjjj即 可作为体系力学量完全集 , 而

是它们的共同本征态。

以共同本征态 为基矢的表象称为非耦合表象。

)2()1(2211 mjmj

1. 非耦合表象

在给定 的情况下，21 jj，

,,1,1,

,,1,,1,

22222

11111

jjjjm

jjjjm

)12)(12( 21 jj)2()1(2211 mjmj 所以 有 个，即它

们张开 维子空间。)12)(12( 21 jj

2. 耦合表象考虑到

.,,,0],[

,0],[

,0],[,0],[

2

21

22

21

zyxjj

jj

jjjj

也构成两粒子体系的一组力学量完全集，共同本征态记为 ，即

),,,( 222

21 zjjjj

)2,1(21 jmjj

.

,)1(

,)1(

,)1(

2121

2121

2121

2121

2

2222

1121

jmjjjmjjx

jmjjjmjj

jmjjjmjj

jmjjjmjj

mj

jjj

jjj

jjj

以共同本征态 为基矢的表象称为耦合表象，基矢简记为 。

)2,1(21 jmjj

)2,1(jm

二、两种耦合表象基矢之间的关系 —CG 系数

问题：当给定 ， 可取哪些值？基矢与 之间的关系如何？

21, jj j )2,1(jm)2()1(

2211 mjmj

1. Clebsch-Gordan 系数

令 ),2()1()2,1(2211

21

2211 mjmjmm

jm jmmjmj 上式的物理意义是明显的。

我们将展开系数 称之为 Clebsch-Gordan 系数，简称 CG 系数。

jmmjmj 2211

显然 CG 系数是 维子空间中耦合表象基矢与非耦合表象基矢之间的幺正变换矩阵元。

)12)(12( 21 jj

考虑到zzz jjj 21

将上式两边分别作用到下式两边)2()1()2,1(

2211

21

2211 mjmjmm

jm jmmjmj

有)2()1()()2,1(

2211

21

212211 mjmjzzmm

jmz jjjmmjmjj

21

2211)2()1([ 12211

mmmjmjmjmmjmj

)]2()1(22112 mjmjzj

21

2211)2()1()( 221121

mmmjmjjmmjmjmm

21

2211)2()1([ 12211

mmmjmjzjjmmjmj

)]2()1(22112 mjmjm

因为 )2,1()2,1( jmjmz mj 所以),2()1()()2,1(

2211

21

221121 mjmjmm

jm jmmjmjmmm

将 )2()1()2,1(2211

21

2211 mjmjmm

jm jmmjmj 代入上式左边，并移项得

0)2()1()(2211

21

221121 mjmjmm

jmmjmjmmm

由于 是正交归一完备基矢，上式要成立，展开系数必然要满足下列条件

2211 mjmj

对 )2,1(jmzj

21

2211)2()1()( 221121

mmmjmjjmmjmjmm

0)( 221121 jmmjmjmmm

而 是不能为 0 的jmmjmj 2211 ？所以只有 021 mmm

即 21 mmm

故在式)2()1()2,1(

2211

21

2211 mjmjmm

jm jmmjmj 的两个求和指标中，只有一个是独立的，从而上式可以写成如下的形式

).2()1()2,1(1211

1

1211 mmjmjm

jm jmmmjmj

上次课复习

则以 作为三个分量的矢量算符 j称为角动量算符。

zyx jjj ,,yxzxzyzyx jijjjijjjijj ],[,],[,],[

,)i( 21 aajjj yx

.)()i( 12

jaajjj yx

第一次课遗留的问题：如何由升算符的定义式导出降算符的定义式？

.,,,0],[ 2 zyxjj

,],[ jjjz ,22

zz jjjjj

,2 zjjjjj

)(2 22zjjjjjj

定义正定厄米算符,ˆ,ˆ

222111 aaNaaN

.0!!

)()(

21

2121

21

nn

aann

nn

21ˆˆ NN 和 的归一化共同本征态可表为

,12

ˆ

2

ˆ2222

NNjjjj zyx

.ˆˆˆ221121 aaaaNNN

,,25,23,21

,2,1,0

2 n

j

212121 ,2

1,

2

1nnnnnmnnj

,

,)1(2

jmmjmj

jmjjjmj

z

.0)!()!(

)()( 21

mjmj

aajm

mjmj

,2

1

,122

212121

21212

nnnnnnj

nnnn

nnj

z

我们将展开系数 称之为 Clebsch-Gordan 系数，简称 CG 系数。

jmmjmj 2211

)2()1()2,1(2211

21

2211 mjmjmm

jm jmmjmj

).2()1()2,1(1211

1

1211 mmjmjm

jm jmmmjmj

.1))(1( jmmjmjjmj

CG 系数有什么性质？

根据基函数的性质，表象的基矢具有相位不定性，从而两个表象之间的幺正变换也有一个相位不定性。

由前所述可知 , CG 系数实际上是两个表象基矢的幺正变换或重叠积分，它可能是复数。

2. Clebsch-Gordan 系数的性质

1 ） Clebsch-Gordan 系数的实数性

如果相位选择适当 , 就可以使 CG 系数成为实数。

)2()1()2,1(1211

1

1211 mmjmjm

jm jmmmjmj

及).2()1(''''')2,1( '''

'1211'' 1211

1

mmjmjm

mj mjmmjmj

在此情况下 , 有下两式

代入正交归一关系

mmjjjmmj ),(

有

1

1211'

''1211 ,'m

mmjmjmjmmjmj

mjmjm

mmjmjjmmmjmj ''1211

1

1211

'''

1211'

1211

),(

''

12111211

11

mmjjmmjmjmmjmj

mm

jmmmjmjmjmmjmj

,),)(,(

''

'''

1211'

1211

12121111

11

mmjjmmjmmjmjmj

mm

jmmmjmjmjmmjmj

或

即

当 时，给出mm '

利用波函数的正交归一性，显然有

,),)(,(12121111

11

'

1211'

1211

jjmmjmmjmjmj

mm

jmmmjmjmjmmjmj

.12111211

1

jjm

jmmmjmjmjmmjmj ﹟

由于 CG 系数是实数，所以由式)2()1()2,1(

2211

21

2211 mjmjmm

jm jmmjmj

取逆得

)2,1()2()1(

21

2211 2211 jm

mmmjm

mjmj jmmjmj

上式很容易理解：两个表象基矢的转换是相互的，不过要利用条件 SSS

~1

将上式代入正交归一性关系221122112211

),( '' mmmmmjmjmjmj

2 ） Clebsch-Gordan 系数的幺正性

2211

21

21

),(''22112211 mmmmmjjm

mmmmmm

mmjj

mjmjmjjmmjmj

当 时，上式进一步写为22 ' mm

,'12111211 11mmjm

jmmmjmjjmmmjmj

或 2211

21

21

''22112211 '' mmmm

mmmmmm

mmjjmmjjmjmjmjjmmjmj

得

上式正式 CG 系数幺正性的体现。﹟

三、 j 的取值范围已经知道，给定 ，有21 jj 和

,1,1,

,,1,,1,

22222

11111

jjjjm

jjjjm

即 ,)(,)( 2max21max1 jmjm

所以 .)()( 21max21max jjmmm

.21max jjj j

2j

1j

按照角动量的矢量耦合性质， 给定 ，21 jj 和

见右图。

除此之外， j 还可以取哪些值？ jmin 是多少？这可以从 m=m1+m2 及下两式

22222

11111

,1,,1,

,1,,1,

jjjjm

jjjjm

定出的 m 值给出：

212121

2121

21

)2()1()1()2(

)1()1(

jjjjjj

jjjj

jj

)2(),1(),(

)1(),1(

)2(),1()1(),2(

212121

21

2121

212121

jjjjjjj

jj

jjjj

jjjjjj

上表中箭头方向表示 m 的一组取值。jjjjm ,1,,1,

这个规律可以定出 , 对每一组 m 值 , j 取什么值 .从上表中可以看出， j 的取值除 之外，还可以取 ，依次递减 1 ，直到

)( 21max jjj ,121 jj

0min j

问题： jmin=?

方案：由空间维数确定。

由

非耦合表象基矢 维数：2211 mjmj

)12)(12( 21 jj

耦合表象基矢 维数可以这样计算：jm

对于一个 j ， m 取 2j+1 个值；而 j 的取值从 jmax 到 jmin ，故总的维数是

]1)(2[]1)(2[)12( 2121

max

min

jjjjjj

jj]12[]3)(2[ min21 jjj

1

2

]12[]1)(2[

2

]12[]1)(2[ min21min21 jjjjjj

)1)(1( min21min21 jjjjjj

( 实际上是等差数列的求和 )

),12)(12()12( 21

)( 21

min

jjjjj

jj

而作表象变换时，空间维数是不可能变化的，则有

即).12)(12()1)(1( 21min21min21 jjjjjjjj

由此可得 jmin 与 j1 、 j2 的关系：

21 jj 当 时，

当 时，12 jj

21min jjj

12min jjj 21min jjj

所以在给定 j1 、 j2 的情况下 j 的取值范围如下：.,,1, 212121 jjjjjjj

这是我们所熟悉的形式。上述结果可概括为三角形法则： )( 21 jjj

三角形任何一边之长不大于另外两边之和，不小于另外两边之差。见下图

j2j

1j﹟ 作业： p262 6,8