История и способы История и способы доказательствадоказательства

Теоремы ПифагораТеоремы Пифагора

Выполнил работуВыполнил работу ученик 9 классаученик 9 классаМацевич Константин.Мацевич Константин.Руководитель Лытина О.В.Руководитель Лытина О.В.

Новосибирск 2012

• Посмотреть, в чем кроется популярность Посмотреть, в чем кроется популярность великого математика Пифагора;великого математика Пифагора;

• История создания теоремыИстория создания теоремы;;

• Формулировка теоремы;Формулировка теоремы;

• Разобраться в разных способах Разобраться в разных способах доказательства теоремы;доказательства теоремы;

• Рассмотреть область ее применения;Рассмотреть область ее применения;

• Значение теоремы Пифагора.Значение теоремы Пифагора.

СодержаниеСодержание

• Великий ученый Пифагор родился в 570 Великий ученый Пифагор родился в 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был резчик по драгоценным Пифагора был резчик по драгоценным камням. По многим античным камням. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. свои незаурядные способности. Неугомонному воображению юного Неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправился в маленьком Самосе, и он отправился в Милет, где встретился с другим великим Милет, где встретился с другим великим ученым – Фалесом, который посоветовал ученым – Фалесом, который посоветовал ему отправиться за знаниями в Египет, ему отправиться за знаниями в Египет, что Пифагор и сделалчто Пифагор и сделал, , где изучил язык и где изучил язык и религию египтян. религию египтян.

Биография ПифагораБиография Пифагора

• Долгое время считали, что до Пифагора эта Долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна. В настоящее время теорема не была известна. В настоящее время установлено, что эта величайшая теорема установлено, что эта величайшая теорема встречается в вавилонских текстах, встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. Сегодня написанных за 1200 лет до Пифагора. Сегодня теорема Пифагора обнаружена в египетском теорема Пифагора обнаружена в египетском треугольнике в папирусе времен фараона треугольнике в папирусе времен фараона АменемхетаАменемхета и в древнеиндийском трактате. В и в древнеиндийском трактате. В древнейшем китайском трактате, древнейшем китайском трактате, утверждается, что китайцы знали свойства утверждается, что китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н.э.—и египетского треугольника, а к VI в. до н.э.—и общий вид теоремы. общий вид теоремы.

• Не смотря на все этоНе смотря на все это, , сегодня принято сегодня принято считать, что Пифагор дал первое считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов.сохранилось никаких следов.

История создания теоремыИстория создания теоремы

« Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах»

« Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». 

Формулировка теоремыФормулировка теоремы

Во времена Пифагора теорема звучала так:

или

Пифагоровы тройкиПифагоровы тройки• cc22=a=a22+b+b22

Они обладают рядом интересных особенностей:Они обладают рядом интересных особенностей:один из «катетов» должен быть кратным трём; один из «катетов» должен быть кратным трём; один из «катетов» должен быть равен четырём;один из «катетов» должен быть равен четырём;Одно из пифагоровых чисел должно быть кратноОдно из пифагоровых чисел должно быть кратнопяти.пяти.

a 3 5 6 7 9 11 13 15 17 19

b 4 12 8 24 40 60 84 112 144 180

c 5 13 10 25 41 61 85 113 145 181

• Существует около 500 Существует около 500 различных доказательств различных доказательств этой теоремы этой теоремы (геометрических, (геометрических, алгебраических, алгебраических, механических и др.). механических и др.).

• Все доказательства делятся Все доказательства делятся на несколько групп: через на несколько групп: через площадь, через аксиомы, площадь, через аксиомы, через подобные через подобные треугольники, треугольники, «экзотические» (например, с «экзотические» (например, с помощью дифференциальных помощью дифференциальных уравнений), с помощью уравнений), с помощью дополнения или разложения дополнения или разложения чертежа…чертежа…

Способы доказательства Способы доказательства теоремы Пифагоратеоремы Пифагора

Самое простое Самое простое доказательстводоказательство

(a+b)(a+b)2 2 = c= c22+2ab+2ab

aa22+2ab+b+2ab+b22 = c = c22+2ab+2ab

cc22 = a = a22+b+b22

Пусть АВС - прямоугольный Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторах. Тогда справедливо векторное равенство: векторное равенство:

b + c = ab + c = aоткуда имеемоткуда имеемc = a - bc = a - bвозводя обе части в квадрат, возводя обе части в квадрат, получимполучимc²=a²+b²-2abc²=a²+b²-2abТак как a перпендикулярен b, то Так как a перпендикулярен b, то ab=0, откудаab=0, откудаc²=a²+b² или c²=a²+b²c²=a²+b² или c²=a²+b²

ВекторноеВекторное доказательстводоказательство

Доказательство БасхарыДоказательство Басхары

Одно из самых простых Одно из самых простых доказательств теоремы - доказательств теоремы - доказательство индийского доказательство индийского математика математика БасхарыБасхары. В . В пояснение к нему он написал пояснение к нему он написал только одну строчку: "Смотри!". только одну строчку: "Смотри!". Ученые считают, что он выражал Ученые считают, что он выражал площадь квадрата,площадь квадрата,построенного на гипотенузе, как построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь квадрата (a-(4ab/2) и площадь квадрата (a-b)². Следовательно:b)². Следовательно:c²=4ab/2+(a-b)²c²=4ab/2+(a-b)²c=2ab+a²-2ab+b²c=2ab+a²-2ab+b²c²=a²+b²c²=a²+b²Что и требовалось доказать.Что и требовалось доказать.

Алгебраическое Алгебраическое доказательстводоказательство

Дано: ABC-прямоугольный треугольникДоказать: AB2=AC2+BC2

                                          Доказательство:

1) Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.2) По определению косинуса угла соsА=AD/AC=AC/AB, отсюда следует AB*AD=AC2.3) Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB, значит AB*BD=BC2.4) Сложив полученные равенства почленно, получим: AC2+BC2=АВ*(AD + DB)

AB2=AC2+BC2.

Доказательство ХоукинсаДоказательство Хоукинса

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).SCAA'=b²/2, SCBB'=a²/2, SA'AB'B=(a²+b²)/2Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому :SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2 Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:a²+b²=c², что и требовалось доказать.

Доказательство через Доказательство через подобные треугольникиподобные треугольники

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. a/c=HB/a, b/c=AH/bт.е. a2=c*HB , b2=c*AHСледовательно a2+b2=c*(HB+AH)=c2

Что и требовалось доказать.

Геометрическое Геометрическое доказательство доказательство

Дано: ABC-прямоугольный треугольникДоказать: BC2=AB2+AC2

Доказательство:

1) Построим отрезок CD равный отрезку AB на продолжении катета AC прямоугольного треугольника ABC. Затем опустим перпендикуляр ED к отрезку AD, равный отрезку AC, соединим точки B и E. 2) Площадь фигуры ABED можно найти, если рассматривать её как сумму площадей трёх треугольников:

SABED=2*AB*AC/2+BC2/23) Фигура ABED является трапецией, значит, её площадь равна:

SABED= (DE+AB)*AD/2.4) Если приравнять левые части найденных выражений, то получим: AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2/2AB*AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*ACBC2=AB2+AC2. Это доказательство было опубликовано в 1882 году Гэрфилдом.

Доказательство через Доказательство через равнодополняемостьравнодополняемость

Доказательство ЕвклидаДоказательство Евклида

Все доказательство теоремы сводится к доказательству равенства площадей квадрата ABFH и прямоугольника BDJL (или квадрата ACKG и прямоугольника CJLE).Треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними:FB = AB, BC = BD, <FBC = <D + <ABC = <ABD.SABD = 1/2 S BJLD ,SFBC=1/2 S ABFH

Тогда SABD=SFBC, SBJLD=SABFH.

Также доказывается и SJCEL=SACKG

А затем SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED

т.е. a2+b2=c2 , что и требовалось доказать.

Доказательства методом Доказательства методом разложенияразложения

Доказательство ЭнштейнаДоказательство НильсенаДоказательство Перигаля

«Стул невесты»«Стул невесты»

«Стул невесты» (Индия, 9 в н. э.)

Доказательство БертхераДоказательство Бертхера

Теорема Пифагора Теорема Пифагора используется практически используется практически вездевезде: : в строительстве: в строительстве: для проектирования для проектирования чертежа крыши домачертежа крыши дома, , создания некоторых видов создания некоторых видов окон; в астрономии, в окон; в астрономии, в работе мобильной связи и работе мобильной связи и в других вещах, которыми в других вещах, которыми мы пользуемся ежедневно.мы пользуемся ежедневно.

Практическое применениеПрактическое применение

• Теорема Пифагора - это одна из самых Теорема Пифагора - это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её важных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство помощью можно вывести большинство теорем геометриитеорем геометрии..

Значение теоремы ПифагораЗначение теоремы Пифагора

• В заключении хотелось бы отметит, что В заключении хотелось бы отметит, что хотя теорема Пифагора и была хотя теорема Пифагора и была известна около 4000 лет назад, люди известна около 4000 лет назад, люди ещё находят новые способы её ещё находят новые способы её доказательства. Так что может быть и доказательства. Так что может быть и вы откроете ещё одно. Надо только вы откроете ещё одно. Надо только захотеть.захотеть.

ЗаключениеЗаключение

• Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его считали очень трудным и называли его Dons asinorumDons asinorum - - ослиный мост, или ослиный мост, или elefugaelefuga - бегство «убогих», так как - бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи, вроде «Пифагоровы штаны мельницей», составляли стихи, вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры.на все стороны равны», рисовали карикатуры.

• 1)Энциклопедия для детей «Аванта». 1)Энциклопедия для детей «Аванта». Математика том 11. Москва 2004Математика том 11. Москва 2004

• 2)2)wikipedia.ruwikipedia.ru

• 3)pifagor.ru3)pifagor.ru

• 4)google.imagine.ru4)google.imagine.ru

Литературные источникиЛитературные источники