第二章 导数与微分

第二节 求导法则

第三节 微分

第一节 导数的概念

一、两个实例

二、导数的概念

三、可导与连续

第一节 导数的概念

四、求导举例

第一节 导数的概念

　　 1 . 变速直线运动的瞬时速度

设一物体作变速直线运动，其路程函数为 s=s(t)， 求该物体在 0t 时刻的瞬时速度.设在 0t 时刻物体的位置 为 s( 0t ).当自变量 t获得增量 t 时，物体的位 置函数 s相应地有增量 ),()( 00 tsttss （如下图）

于是比值

,00

ttstts

ts

O )( 0ts )( 0 tts s

一、两个实例

就是物体在 0t 到 0t + tΔ 这段时间内的平均速度,记作 v，

.00

t

tstts

ts

v

即

当 tΔ 很小时，v可作为物体在 0t 时刻的瞬时速度 的近似值. 且 tΔ 越小，v就越接近物体在 0t 时刻的瞬 时速度，即

.limlimlim)( 00

0000 t

tsttsts

vtvttt

　就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量和时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限 .

2 . 平面曲线的切线斜率

设函数 )(xfy 的图像为曲线L（如上图）， 0 0 0( , ( ))Mx f x 和 ( , ( ))Mxf x为曲线L上的两点，它们到x

轴的垂足分别为A和B,作 0MN垂直BM并交 BM于N，则

00 Δ xxxNM , )()(Δ 0xfxfyNM .

A B

T

N L

M

o

y

x

) ( x f y

0 M

在曲线L上点 0M附近，再取一

点M ,作割线 0MM，当点 M沿曲

线 L移动而趋向于 0M时，割线

0MM的极限位置 0MT就定义为曲

线L在点 0M处的切线.

平面曲线的切线几何演示

便是割线 0M M的斜率 tan ，当 0Δ x 时, M沿曲线 L趋于 0M ，从而我们得到切线的斜率

0 0

Δ 0 Δ 0 Δ 0

Δ ( )Δtan lim tan lim lim

Δ Δx x x

f x x f xy

x x

.

由此可见，曲线 )(xfy 在点 0M 处的纵坐标 y的增量 yΔ 与横坐标 x的增量 xΔ 之比，当 0x 时的极限即为曲线在 0M 点处的切线斜率.

0 0 0

0

ΔΔ,

Δ Δ

f x f x f x x f xy

x x x x

而比值

设函数 )(xfy 在点 0x 的某一邻域内有定义，当自 变量 x在 0x 处有增量 0Δ (Δ 0, Δx x x x 仍在该邻域内)时， 相应地函数有增量 0 0Δ ( Δ ) ( )y f x x f x ，如果 Δy与

Δx之比Δ

Δ

y

x当Δ 0x 时，极限

1. 导数的定义

0 0

Δ 0 Δ 0

( Δ ) ( )Δlim lim

Δ Δx x

f x x f xy

x x

存在，那么这个极限值称为函数 )(xfy 在点 0x 的导数.并且说，函数 )(xfy 在点 0x 处可导，记作 )( 0xf ，

二、导数的概念

也记为 0' xxy ，0

d)(d

xxxxf

或

0dd

xxxy

，

即 0 00 0 0

( Δ ) ( )Δ( ) lim lim

Δ Δx x

f x x f xyf x

x x

.

如果极限不存在，我们说函数 )(xfy 在点

0x 处不可导. 如果固定 0x ，令 0 Δx x =x，则当Δ 0x 时，

有 0xx ，故函数在 0x 处的导数 )( 0xf 也可表为

0

00

)()(lim)(

0 xxxfxf

xfxx

.

极限 0 0

Δ 0 Δ 0

( Δ ) ( )Δlim lim

Δ Δx x

f x x f xy

x x

；

0 0

Δ 0 Δ 0

( Δ ) ( )Δlim lim

Δ Δx x

f x x f xy

x x

.

分别叫做函数 )(xf 在点 0x 处的左导数和右导数， 且分别记为 )( 0xf 和 )( 0xf .

定理 1 函数 )(xfy 在点 0x 的左、右导数存 在且相等是 )(xf 在点 0x 处可导的充分必要条件.

2 ．左、右导数

如果函数 )(xfy 在区间 )b,(a 内每一点都可导， 称 )(xfy 在区间 )b,(a 内可导. 如果 )(xf 在 )b,(a 内可导，那么对应于 )b,(a 中的 每一个确定的x值，对应着一个确定的导数值 )(xf ，

这样就确定了一个新的函数，此函数称为函数)(xfy 的导函数.

记作 )(xf ，y,xydd

,x

xf

d

)(d ，在不致发生混淆的情

况下，导函数也简称为导数.

显 然 ， 函 数 )( xfy 在 点 0x 处 的 导 数 )( 0xf ， 就 是 导 函 数 )( xf 在 点 0xx 处 的 函 数 值 ， 即

0)()( 0 xxxfxf .

例1 求函数2xy在任意点x处的导数.

解 在x处给自变量一个增量Δx，相应的函数 增量为 2 2Δ ( Δ ) ( ) ( Δ )y f x x f x x x x

22 Δ (Δ )x x x ,

于是 Δ

2 ΔΔ

yx x

x ,

则 Δ 0 Δ 0

Δlim lim(2 Δ ) 2

Δx x

yx x x

x ,即 xx 2)( 2 .

曲线切线方程：曲线L上点 ),( 00yxM 处的切线方程就是 ))(( 000 xxxfyy .特别地，若 )(0xf ，则切线垂直于x

轴，切线方程就是x轴的垂线 0xx.

解 因为 xxy 2)( 2 ，由导数的几何意义又知， 曲线 2xy ,在点(1,1)处的切线斜率为 22 11 xx xy . 所以，所求的切线方程为 )1(21 xy , 即 12 xy .

法线方程为 )1(21

1 xy 即 23

21 xy .

导数的几何意义：函数 )(xfy 在点0x处的导数等于函 数所表示的曲线L在相应点 ),( 00yx 处的切线斜率.

例2求抛物线2xy在点(1,1)处的切线方程和法线方程.

3. 导数的几何意义

对于函数 )(xfy ，比值 0 0ΔΔ

Δ Δ

f x x f xy

x x

,

表示自变量x在以 0x 与 0 Δx x 为端点的区间中每改变

一个单位时,函数 y的平均变化量.所以把Δ

Δ

y

x称为函

数 )(xfy 在该区间中的平均变化率；把平均变化率

当Δ 0x 时的极限 )( 0xf 或0d

dxxx

y 称为函数在 0x 处的

变化率.变化率反映了函数 y随着自变量 x在 0x 处的 变化而变化的快慢程度.

4. 变化率模型

几个常见变化率模型 问题 平均变化率 变化率模型

电 流模型

电荷 )(tQQ

0 0( Δ ) ( )Δ

Δ Δ

Q t t Q tQi

t t

0 0

0 Δ 0

( Δ ) ( )( ) lim

Δt

Q t t Q ti t

t

细杆的线密度

质量 )(xmm

0 0( Δ ) ( )Δ

Δ Δ

m x x m xm

x x

0 00

Δ 0

( Δ ) ( )( ) lim

Δx

m x x m xx

x

边际成本模型

总成本

)(xCC

Δ ( Δ ) ( )

Δ Δ

C C x x C x

x x

Δ 0 Δ 0

Δ ( Δ ) ( )( ) lim lim

Δ Δx x

C C x x C xC x

x x

化学反应速度

浓度

)(tNN

Δ ( Δ ) ( )

Δ Δ

N N t t N t

t t

Δ 0

( Δ ) ( )( ) lim

Δx

N t t N tN t

t

关于变化率模型的例子很多，如比热容、角速度、生物繁殖率等等，在这里就不再一一列举了 .

设函数 )(xfy 在点 x处可导,有 )(lim0

xfxy

x

根

据函数的极限与无穷小的关系,可得 )()( xxfxy

.

其中 )( x 是 0x 的无穷小，两端各乘以 x ,即得 xxxxfy )(α)( ,由此可见 0lim

0

y

x.

这就是说 )(xfy 在点 x处连续.也即，如果函数 )(xfy 在 x处可导，那么在 x处必连续.但反过来不一定成立， 即在 x处连续的函数未必在 x处可导.

例如，函数

0,

,0,

xx

xxxy 显然在 x 0处连续，

但是在该点不可导.

三、可导与连续

因 为 xxfxfy )()0( , 所 以 在 0x 点 的 右 导 数 :

1limlimlim)0(000

x

x

x

x

x

yf

xxx.

而 左 导 数 是 : 1limlimlim)0(000

x

x

x

x

x

yf

xxx.

左 右 导 数 不 相 等 ， 故 函 数 在 该 点 不 可 导 . 所 以 ， 函 数 连 续 是 可 导 的 必 要 条 件 而 不 是 充 分 条 件 .

求函数 )(xfy 的导数 y的步骤： （1）求增量： )()( xfxxfy ；

（2）算比值：x

xfxxf

x

y

)()( ；

（3）取极限：x

yy

x

0

lim .

四、求导举例

解 ( 1 ) 求 增 量 ： 因 为 Cy ， 即 不 论 x 取 什 么 值 ，

y 的 值 总 等 于 C ， 所 以 0y ；

( 2 ) 算 比 值 ：x

y

0 ；

( 3 ) 取 极 限 ： 00limlim00

xx x

yy .

即 常 数 函 数 的 导 数 等 于 零 .

解 （1）求增量：

xxxxfxxfy sin)sin()()( ， 由和差化积公式有：

2

)(sin

2

)(cos2

xxxxxxy

.2

sin)2

cos(2xx

x

例 3 求函数 Cy （C是常数）的导数.

例 4 求函数 xy sin 的导数.

（2）算比值：

2

2sin

)2

cos(2sin)

2cos(2

x

xx

xx

xxx

x

y

；

（3）取极限：

2

2sin

)2

cos(limlimd

d00 x

xx

xx

y

x

yxx

0 0

sin2lim cos( ) lim cos

22

x x

xx

x xx

,

即(sin ) cosx x .用类似的方法，可求得余弦函数 y=cosx的导数为：(cos ) sinx x .

解（1）求增量：

x

xxxxxy aaa

loglog)(log

x

xa 1log ；

（2）算比值：x

x

a

a

x

x

xxxx

x

y

1log1

1log；

（3）取极限：x

x

axx x

x

xx

y

x

y

1log

1limlim

d

d00

axx a ln

1elog

1 ,

即 ax

xa ln

1)(log .特别地，当 ea 时，得自然对数

的导数 x

x1

)(ln .

例 5 求对数函数 )0,0,0(log xaaxy a 的导数.

解 (1)求增量：由二项式定理有 nn xxxy )( nnn xxx

nnxnx )()(

!2)1( 221 ；

(2)算比值： 121 )(!2

)1( nnn xxx

nnnx

x

y ；

(3)取极限：

1 2 1

0 0

d ( 1)lim lim ( )

d 2!n n n

x x

y y n nnx x x x

x x

1nnx ,

即 1 nn nxx .（n为正整数）

一般地，对 xy （是实数），也有 1

xx .这个公式 在后面将给出证明.例如：

x

xx2

121

，

21 11

xx

x.

例 6 求函数 nxy （n为正整数）的导数.

1.思考下列命题是否正确？如不正确举出反例.

(1) 若函数 )(xfy 在点 0x 处不可导，则 )(xf 在点 0x 一定不连续；

(2) 若曲线 )(xfy 处处有切线，则 )(xfy 必处处 可导.

2.若 Aax

afxfax

)()(lim （A为常数），试判断下列命

题是否正确. （1） )(xf 在点 x=a处可导； （2） )(xf 在点 x=a处连续； （3） )()()()( axoaxAafxf .

思考题：

第二节 求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则

二、复合函数的求导法则

四、初等函数的求导公式

三、反函数的求导法则

五、三个求导方法

六、高阶导数

定理 1设函数 ）（xuu 与 ）（xvv 在点 x处可导,

则函数 ）（）（ xvxu , ）（）（ xvxu , ））（（）（）（

0xvxvxu 也

在点 x处可导,且有以下法则:

(1) [ ]u x v x u x v x（） （） （） （）； (2) )()()()(])()([ xvxuxvxuxvxu ,

特别地 ）（）（ xuCxCu ][ (C为常数)；

(3) 2

u x u x x u x x

x v x

（） （）v（） （）v（）v（） （）

)0)(( xv ,

特别地,当 Cxu ）（ (C为常数)时,有

）（）（

xv

xvC

xv

C2)(

．

第二节 求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则

下面我们给出法则（2）的证明，法则（1），（3）的证略． 证 令 ）（）（ xvxuy , (1)求函数 y的增量:给 x以增量 x ,相应地函数 ）（xu , ）（xv 各有增量 u 与 v ,从而 y有增量

;

][][

vxuxxuv

xvxxvxuxxvxuxxu

xvxuxxvxxuy

）（）（）（）（）（）（）（）（

）（）（）（）（

(2)算比值: y u v

v x x u xx x x

（ ） （ ） ；

(3)取极限:由于 ）（xu 与 ）（xv 均在 x处可导,所以

）（），（ xvxv

xuxu

xx

00limlim .

又因为函数 ）（xv 在x处可导,就必在 x处连续,因此 )()(lim

0xvxxv

x

,

从而根据和与乘积的极限运算法则有

0 0 0 0

'

lim lim lim lim

.

x x x x

y u vv x x u x

x x x

u x v x u x v x

（ ）+ （ ）

（ ）（ ） （ ）（ ）

这就是说, ）（）（ xvxuy 也在 x处可导且有 ）（）（）（）（）（）（ xvxuxvxuxvxu ][ .

例 1 设7π

sinln4cos xxxy ,求 y．

解

.4

sin2

cos

ln4coscos

7

πsinln4cos

xxx

x

x

xxxxx

xxxy

）（）（）（

）（）（）（

解

,seccos

1cos

sincos

coscossincossin

cossin

tan

222

22

2

xxx

xx

xxxxx

xx

xy

）（）（）（）（

即 xx 2sectan ）（ . 用类似的方法可得

xx 2csccot ）（ .

例2 求 xy tan的导数．

例3 设 xysec,求y．

解 2

2

1 cossec

cos cos

sinsec tan

cos

xy x

x x

xx x

x

（ ）（ ）

用类似的方法可求得 xxx cotcsccsc ）（ .

证 当自变量 x的改变量为 x 时,对应的函数 ( )u x 与

)(ufy 的改变量分别为 u 和 y ．

由于函数 )(ufy 可导,即uy

uy

u dd

lim0

存在,于是由无穷

小与函数极限的关系,有 d

( )d

y yu

u u

,

其中 ( )u 是 0u 时的无穷小,以 u 乘以上式两边得 d

( )d

yy u u u

u .

定理 2 如果函数 ( )u x 在点 x处可导,而函数 )(ufy

在对应的点u处可导,那么复合函数 [ ( )]y f x 也在点 x处可

导,且有xu

uy

xy

dd

dd

dd 或 f x

= f u x .

二、复合函数的求导法则

于是 d

( )d

y y u uu

x u x x

.

因为 ( )u x 在点x处可导,又根据函数在某点可导必 在该点连续,可知 ( )u x 在点 x处也是连续的,故有

0

dlim

dx

u u

x x

.

且当 0x 时 0u ,从而0 0

lim ( ) lim ( ) 0x u

u u

．

所以

0 0

0 0 0

dlim lim[ ( ) ]

dd d d

lim lim ( ) lim ,d d d

x x

x x x

y y u uu

x u x xy u u y u

uu x x u x

即 d d d

d d d

y y u

x u x ,

或记为 { [ ( )]} ( ) ( )f x f u x . 上式说明复合函数 [ ( )]y f x 对 x的导数时,可先求出

)(ufy 对 u的导数和 ( )u x 对 x的导数,然后相乘即得． 显然,以上法则也可用于多次复合的情形． 例如,设 )(ufy , ( )u v , ( )v x 都可导,

则 xv

vu

uy

xy

dd

dd

dd

dd ,

或记为 { [ ( ( ))]} ( ) ( ) ( )f x f u v x .

解 函数 xy sin 可以看作由函数 uy sin 与 xu 复

合而成．因此x

xx

uxuy2

cos2

1cos)()(sin .

例 4 求 xy sin 的导数．

解

.cscsin

1

21

.

2cos

1.

2sin

2cos

)2

(sec

2tan

1

2tan

2tan

1)

2tan(ln

2

'2

xx

xx

xx

x

xx

xy

例 5 求函数2

tanlnx

y 的导数．

对于复合函数的分解比较熟悉后 , 就不必再写出中间变量 ,而可以采用下列例题的方式来计算．

解 因为 lne xy x 可以看作由指数函数 ue 与对数

函数 xu ln 复合而成．由复合函数求导法则

有 1ln' 11eln)e( x

xx

xxy xu ,

即 1)( xx .

解 分 两 种 情 况 来 考 虑 :

当 0)( xf 时 ,

)()(

)()(

1])([ln),(ln

xfxf

xfxf

xfyxfy

．

当 0)( xf 时 ,

)()(

])([)(

1)),(ln(

xfxf

xfxf

yxfy

．

例7 设 )(xf 存在,求 |)(|ln xfy 的导数( 0)( xf )．

例 6 设 xy (为实数),求 y．

解 设 在 时 刻 t 时 , 气 球 的 体 积 与 半 径 分 别 为 v 和 r．

显 然 )(,34 3 trrrV .

所 以 V 通 过 中 间 变 量 r 与 时 间 t 发 生 联 系 , 是 一 个 复 合 函 数 3)]([

34

trV .

所以 )()(

]|)(|[lnxfxf

xf

.

复合函数求导法则熟练后,可以按照复合的前后次序,层 层求导直接得出最后结果．

解 12

12lncos2

1221

121

12lncos

x

xxx

xy ．

例 8 求函数 12lnsin xy 的导数．

例 9 设气体以 3100cm / s的常速注入球状的气球,假定气 体的压力不变,那么当半径为 10cm时,气球半径增加的速率是 多少?

按题意,已知 3d100cm /s

d

V

t ,要求当 10cmr 时

tr

dd的值.

根据复合函数求导法则,得tr

trtV

dd

)]([3π34

dd 2 ,将已知数

据代入上式,得tr

dd

10π4100 2 .所以d 1

cm/sd 4π

r

t ,即在

10cmr 瞬间,半径以1

cm/s4π

的速率增加．

定理3 如果单调连续函数 ( )x y 在点 y处可导,而且 ( ) 0y 那么它的反函数 )(xfy 在对应的点x处可导,

且有 ' 1 d 1( )

d( ) dd

yf x

xy xy

或 .

三、反函数的求导法则

证 由 于 ( )x y 单 调 连 续 , 所 以 它 的 反 函 数 )( xfy 也 单 调 连 续 , 给 x 以 增 量 0 x , 从 )( xfy 的

单 调 性 可 知 0)()( xfxxfy ,

因 而 有

yxx

y

1

,

根 据 )( xfy 的 连 续 性 ， 当 0 x 时 ， 必 有 0 y ，

而 ( )x y 可 导 ， 于 是 0

l i m ( ) 0y

yy

x

,

所 以 0 0

0

1 1 1l i m l i m

( )l i my y

y

yx xx yy y

,

这 就 是 说 ， )( xfy 在 点 x 处 可 导 ，

且 有 1

( )( )

f xy

.

解 xay 是 yx alog 的 反 函 数 ， 且 yx alog 在

),0( 内 单 调 、 可 导 ， 又 0ln1

dd

ayyx

,

所 以 aaay

yx

y x lnln

dd

1 ,

即 aaa xx ln)( . 特 别 地 ， 有 xx e)e( ．

解 xy arcsin 是 yx sin 的反函数， yx sin 在

区间

2,

2内单调、可导，且 0cos

dd yyx

．

例 11 求 xy arcsin 的导数．

例 10 求 )1,0( aaay x 的导数．

所 以 22 1

1

sin1

1cos

1

dd1

xyyyx

y

,

即 21

1)(arcsin

xx

,

类 似 地 ， 有 21

1)(arccos

xx

.

解 xy arctan 是 yx tan 的 反 函 数 ， yx tan 在 区 间

2,

2内 单 调 、 可 导 ， 且 0sec

dd 2 y

yx

,

所 以 222 11

tan11

sec1

dd1

xyyyx

y

,

例 12 求 xy arctan 的导数．

即 211

)(arctanx

x

.

类似地，有 211

)cotarc(x

x

.

解 )1(2

e2

1)(1

1e

arctan

2arctan

xxxxy

xx

.

解 22

1 1 1arcsin

2 21 ( )y x

x x xx

.

例 13 xy arcsin 求 y．

例 14 设 xy arctane 求 y．

22

2

2

0(

1log ) ;

ln

( ) ln;

(sin) cos ;

1(tan) sec ;

cos(sec ) sec tan;

1(arcsin) ;

11

(arctan) ;1

a

x x

C C

xx a

a a a

x x

x xx

x x x

xx

xx

为常数）；

（

1

22

2

2

( ) (

1ln| |) ;

(e) e;

(cos ) sin;

1(cot ) csc ;

sin(csc ) csc cot ;

1(arccos ) ;

11

(arccot ) ;1

x x

x x

xx

x x

x xx

x x x

xx

xx

为实数）；

（

1. 基本初等函数的导数公式

四、初等函数的求导公式

[ ]u x v x u x v x（ ） （ ） （ ） （ ） ,

）（）（）（）（）（）（ xvxuxvxuxvxu ][ , ）（）（ xuCxCu ][ (C是常数),

））（（）（

）（）（）（）（）（）（

02

xv

xvxvxuxvxu

xvxu

,

）（）（

）（ xvxvC

xvC

2

（ 0)( xv ，C是常数）．

设 )( ufy ， ( )u x , 则 复 合 函 数 [ ( ) ]y f x 的 导 数 为

d d d

d d d

y y u

x u x 或 { [ ( ) ] } ( ) ( )f x f u x .

3 ．复合函数的求导法则

2 ．函数的和、差、积、商的求导法则

设方程 0),( yxF 所确定的隐函数为 )(xfy ，求导数 xy

dd ．

解法：把方程 0),( yxF 所确定的隐函数 )(xfy 代入原方 程得恒等式 0)](,[ xfxF ,把这个恒等式的两端对 x 求导,所得的结果也必然相等,但应注意,左端 )](,[ xfxF 是将 )(xfy 代入

),( yxF 后所得的结果,所以,当方程 0),( yxF 的两端对 x 求导时,要记住 y是 x的函数,然后用复合函数求导法则去求导,这样,便可得到需要的导数．下面举例说明这种方法．

4．反函数的求导法则

设 )(xfy 是 ( )x y 的反函数，则

1( )

( )f x

y

( ( ) 0y ).

1 ．隐函数求导法

五、三个求导方法

解 方 程 两 边 对 x 求 导 , 可 得 xxyy 236 2 ,

于 是 得 )0(6

23 2

yy

xxy , 所 以

3

4| )2,2( y ,

因 而 所 求 切 线 方 程 为 )2(34

2 xy ,

即 0234 yx .

解 把方程 0ee yxxy 的两端对 x求导,记住 y是 x的

函数,得 0ee yyxy xx ,

由上式解出 y,便得隐函数的导数为 )0e(e

e y

y

x

xx

yy .

例 15 求由方程 0ee yxxy 所确定的隐函数的导数 xy

dd ．

例 16 求曲线 )1(3 22 xxy 在点(2,2)处的切线方程．

解 先在等式两边取绝对值,再取对数,得

|2|ln31

|13|ln32

|1|ln||ln xxxy ,

两边对 x求导,得 2

131

133

32

111

xxxy

y,

所以 y= 3 2 )2()13()1( xxx 1 2 1

( )1 3 1 3 6x x x

.

以后解题时,为了方便起见,取绝对值可以略去．

例 17 设 3 2 )2()13()1( xxxy ,求 y．

对数求导法：适合于由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数），对数求导法过程是先取对数 , 化乘、除、乘方、开方为乘积 , 然后利用隐函数求导法求导．

2 ．对数求导法

解 对 于 )0(sin xxy x两 边 取 对 数 ,

得 xxy lnsinln ,

两 边 求 导 , 得 xxx

xy

ylncos

sin1 ,

所 以 y y )lncossin

( xxx

x = xx sin )lncossin

( xxx

x .

设参数方程()

()

x t

y t

确定y与x之间的函数关系,

则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定 的函数．

3 ．由参数方程所确定的函数求导法

例 18 求 )0(sin xxy x的导数．

对于参数方程所确定的函数的求导,通常也并不需要首先由参数方程消去参数 t 化为 y与 x之间的直接函数关系后再求导．

如果函数 x= ( )t , ( )y t 都可导,且 ( ) 0t ,又x= ( )t 具有单调连续的反函数 1( )t x ,则参数方程确定的函数可以看成 ( )y t 与 1( )t x 复合而成的函数.

根据复合函数与反函数的求导法则,有 d d d d 1 1 ( )

( ) .dd d d d ( ) ( )d

y y t y tt

xx t x t t tt

解 ( 1 ) 摆 线 在 任 意 点 的 切 线 斜 率 为

d s i n

c o td ( c o s )1 2

y a t t

x a t

,

( 2 ) 当2πt 时 , 摆 线 上 对 应 点 为

aa ,1

2π

, 在 此 点

的 切 线 斜 率 为 12

cotdd

2π

2π

tt

txy

,

例 19 求摆线 ( sin ),

(1 cos )

x a t t

y a t

(0≤t≤2)

(1) 在任何点的切线斜率；(2) 在 2πt 处的切线方程．

如 果 函 数 )( xfy 的 导 数 )( xfy 仍 是 x 的 可 导 函

数 , 就 称 )( xfy 的 导 数 为 函 数 )( xfy 的 二 阶 导 数 , 记

作 y , f 或 2

2

dd

xy

, 即 )()( xfyy 或

xy

xxy

dd

dd

dd

2

2

.

类 似 地 , 二 阶 导 数 的 导 数 叫 做 三 阶 导 数 , 三 阶 导 数 的导 数 叫 做 四 阶 导 数 , … … , 一 般 地 , 函 数 )( xf 的 1n 阶 导数 的 导 数 叫 做 n 阶 导 数 .

于是 ,切线方程为

1

2π

axay ,

即

2π

2axy .

六、高阶导数

分别记作 )(),...,(),...,(;,...,, )()4()()4( xfxfxfyyy nn ,

或 n

n

xy

xy

xy

dd

,...,dd

,dd

4

4

3

3

.

且有 ][ )1()( nn yy ,或( )d d d

d d d

1

1

n n

n n

y y

x x x

,

解 e ( c o s ) e ( s i n ) e ( c o s s i n ) ,x x xy x x x x

e ( c o s s i n ) e ( s i n c o s ) e s i n ,

e s i n e c o s e ( c o s s i n ) .

2

2 2 2

x x x

x x x

y x x x x x

y x x x x

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．显然 ,求高阶导数并不需要更新的方法 ,只要逐阶求导 ,直到所要求的阶数即可 ,所以仍可用前面学过的求导方法来计算高阶导数． 例 20求函数 xy x cose 的二阶及三阶导数．

解 1

21

10 )1(

nnn axanxnay ,

23

12

0 2)2)(1()1( nnn axannxanny ,

可见每经过一次求导运算,多项式的次数就降低一次,继续求导得 0

)( !anyn,这是一个常数, 因而 0)2()1( nn yy ． 这就是说,n次多项式的一切高于n阶的导数都是零．

解 axy e ， axay e ， axay e2 ， axay e3 ， 依 此 类 推 , 可 得 axnn ay e)( ， 即 axnnax a e)e( )( . 特 别 地 xnx e)e( )( , 对 xay ， l nxy a a ， l n 2xy a a , aay x 3ln , 依 此 类 推 , aay nxn ln)( ， 即 ( )( ) l nx n x na a a .

例 22求指数函数 axy e 与 xay 的 n阶导数．

例21求 n次多项式 nnn axaxay 1

10 的各阶导数．

解 xy sin ,

,2π

3sin2π

2cos

,2π

2sin2π

2π

sin2π

cos

,2π

sincos

xxy

xxxy

xxy

依 此 类 推 , 可 得

2π

sin)( nxy n ,

即

2π

sin)(sin )( nxx n .

用 类 似 的 方 法 , 可 得

2π

cos)(cos )( nxx n .

例 23 求 xy sin 与 xy cos 的 n阶导数．

解

,)1(

21,

)1(1

,1

1),1ln(

32 xy

xy

xyxy

4)4(

)1(321

xy

,

依 此 类 推 , 可 得 nn

xn

yn

)1()!1(

)1(1)(

,

即 nn

xn

xn

)1()!1(

)1()]1[ln(1)(

.

通 常 我 们 规 定 1!0 , 所 以 这 个 公 式 当 1n 时 也 成 立 ．

例 24 求对数函数 )1ln( xy 的 n阶导数．

解 将 方 程 两 边 对 x 求 导 , 得

0dd

cos21

dd

1 xy

yxy

① ,

① 式 两 边 再 对 x 求 导 , 得

0dd

cos21

dd

sin21

dd

2

22

2

2

xy

yxy

yx

y,

于 是 2cos

dd

sin

dd

2

2

2

y

xy

y

xy

,

由 ① 式 可 得

yxy

cos22

dd

,

例 25 求由方程 0sin21 yyx 所确定的隐函数 y 的

二阶导数 2

2

dd

xy．

从而 32

2

)2(cossin4

dd

yy

xy

,此式右端分式中的 y 是由方程

0sin21 yyx 所确定的隐函数．

解 d c o s

c o td s i n

y b t bt

x a t a

,

c s cd d d d/

d d d d s i n s i n

22

2 2 3

bty y x ba

x t x t a t a t

.

例 26 求方程 cos ,sin

x a ty b t

（0≤t≤2 ）所确定的函数的

一阶导数 xy

dd 及二阶导数 2

2

dd

xy ．

1. 思考下列命题是否成立? (1) 若 )(xf ， )(xg 在点 0x 处都不可导,则

)()( xgxf 在点 0x 处也一定不可导； (2) 若 )(xf 在点 0x 处可导, )(xg 在点 0x

处不可导,则 )()( xgxf 在点 0x 处一定不可导． 2． )( 0xf 与 ])([ 0 xf 有无区别?为什么?

思考题

第三节 微分

一、两个实例 二、微分的概念

三、微分的几何意义 四、微分的运算法则

五、微分在近似计算中的应用

解:设此薄片的边长为 x，面积为 A，则 A是 x的函数： 2xA ，薄片受温度变化影响时，面积的改变量可以看成是当

自变量 x自 0x 取得增量 x 时，函数 A相应的增量 A ， 即 2

020

20 )(2)( xxxxxxA ,

从上式可以看出， A 可分成两部分：一部分是 xx 02 ，它 是 x 的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和；另 一部分是 2)( x ，在图中是带有交叉线的小正方形的面积．显然，如图所示， xx 02 是面积增量 A 的主要部分，而 2)( x 是次要部 分，当 || x 很小时 2)( x 部分比 xx 02 要小得多．也就是说，当

|| x 很小时，面积增量 A 可以近似地用 xx 02 表示，

例1、 一块正方形金属薄片受温度变化影响时，其边长由

0x变到 xx 0 （如下页图），问此薄片的面积改变了多少？

第三节 微分一、两个实例

即 xxA 02 . 有 此 式 作 为 A 的 近 似 值 ， 略 去 的 部 分

2)( x 是 比 x 高 阶 的 无 穷 小 ， 即

0lim)(

lim0

2

0

x

xx

xx,

又 因 为 02

0 2)()(0

xxxA xx ，

所 以 有 0( )A A x x .

解 自 由 落 体 的 路 程 s 与 时 间 t 的 关 系 是 2

21

gts ， 当 时

间 从 t 变 到 tt 时 ， 路 程 s 有 相 应 的 改 变 量 222 )(

21

21

)(21

ttgtgtttgs ,

2 0 x A

0 x

x

x

0 x

x

0 x

2 x

例２ 求自由落体由时刻t到tt所经过路程的近似值．

上式右边第一部分是 t 的线性函数，第二部分当 0t时是一个比 t 高阶的无穷小，因此，当 || t 很小时，我们可以把第二部分忽略，而得到路程改变量的近似值 tgts ,

又因为 gtgts

2

21

,所以 ttss )( .

事实上，上式表明当 || t 很小时，从 t到 tt 这段时间内物体运动的速度的变化也很小.因此，在这段时间内，物体的运动可以近似地看作速度为 )(ts 的匀速运动，于是路程改变量的近似值为 ttss )( .

一般地，设函数 )(xfy 在点 x 处可导，对于 x 处的改变量 x ，相应地有改变量 y ．

由 )(lim0

xfxy

x

，根据极限与无穷小的关系，我们有

( )y

f xx

（其中 为无穷小），0

lim 0x

.

于 是 ( )y f x x x . 而 上 式 右 端 的 第 一 部 分 xxf )( 是 x 的 线 性 函 数 ； 第 二 部 分 ，

因 为 0lim0

x

xax

， 所 以 第 二 部 分 是 比 x 高 阶 的 无 穷 小 ， 因 此

当 || x 很 小 时 ， 第 二 部 分 可 以 忽 略 ， 于 是 第 一 部 分 就 成 了 y 的主 要 部 分 ， 从 而 有 近 似 公 式 xxfy )( , 通 常 称 xxf )( 为

y 的 线 性 主 部 ． 反 之 ， 如 果 函 数 的 改 变 量 y 可 以 表 示 成

)( xoxAy （ 其 中 0)(

lim0

x

xox

） ,

则 有 x

xoA

xy

）（

,

这 样 A

xxo

Axy

xx

）（00

limlim ,

即 )()( xoxxfy .

其 中 )( xo 为 比 )0( xx 高 阶 的 无 穷 小 ， 则 称 函 数

)( xf 在 点 x 处 可 微 ， 并 称 其 线 性 主 部 xA 为 函 数 )( xfy 在 点 x 处 的 微 分 ， 记 为 yd 或 )(d xf ， 即 xAy d 且 有

)( xfA ， 这 样 xxfy )(d ． 由 上 面 的 讨 论 和 微 分 定 义 可 知 ： 一 元 函 数 的 可 导 与 可

微 是 等 价 的 ，且 其 关 系 为 xxfy )(d ．当 函 数 xxf )( 时 ，函 数 的 微 分 xxxxxxxf dd)(d 即 ． 因 此 我 们 规定 自 变 量 的 微 分 等 于 自 变 量 的 增 量 ， 这 样 函 数 )( xfy 的微 分 可 以 写 成 xxfxxfy d)()(d , 或 上 式 两 边 同 除 以

xd ， 有 )(dd

xfxy .

定 义 若 函 数 )( xfy 在 点 x 处 的 改 变 量

)()( xfxxfy 可 以 表 示 成 )( xoxAy .

二、微分的概念

由此可见，导数等于函数的微分与自变量的微分之商，

即xy

xfdd

)( ，正因为这样，导数也称为“ 微商”，而微分的

分式xy

dd 也常常被用作导数的符号．

解 21.011.1)( 2222 xxxy ．

在 点 1x 处 ， 22 11 xx xy ，

所 以 2.01.02d xyy .

说明：微分与导数虽然有着密切的联系，但它们是有 区别的：导数是函数在一点处的变化率，而微分是函数在一点处由变量增量所引起的函数变化量的主要部分；导数的值只与x有关，而微分的值与x和x都有关．

例３ 求函数 2xy在 1.0,1 xx 时的改变量及微分．

解 体 积 的 改 变 量

32233 )(π3

4)(π4π4π

3

4)(π

3

4rrrrrrrrV ,

显 然 有 )(π4 2 rorrV , 体 积 微 分 为 rrV 2π4d .

设数 )(xfy 的图形（如下页图所示），MP 是曲线上点),( 00 yxM 处的切线，设 MP的倾角为 ，当自变量 x有改变

量 x 时，得到曲线上另一点 ),( 00 yyxxN ，

例４ 半径为r的球，其体积为 3π34rV，当半径增

大r时，求体积的改变量及微分．

三、微分的几何意义

微 分 xxfy )(d 0 ,

是 当 自 变 量 x 有 改 变 量 x 时 ， 曲 线 )( xfy 在 点 ),( 00 yx 处 的 切 线 的 纵 坐 标 的 改 变 量 ． 用 yd 近 似 代

替 y 就 是 用 点 ),( 00 yxM 处 的 切 线 纵 坐 标 的 改 变 量 PQ 来 近 似 代 替 曲 线 )( xfy 的 纵 坐 标 的 改 变 量 NQ ， 并 且 有 PNyy |d| ．

y dy y

x

y

o

M

N

P Q x

) ( x f y

x0 x0+x

从 右 图 可 知 ，

,M x N y Q Q ,

则 xxfMP )(tan 0QQ ,

即 d y P Q .

由 此 可 知 ，

.d1

1)cotd(arc

;d1

1)(arccosd

;dcotcsc)(cscd

;dcsc)(cotd

;dsin)(cosd

;de)d(e

;d1

)(lnd

;d)(d

;(0)(d

2

2

2

1

xx

x

xx

x

xxxx

xxx

xxx

x

xx

x

xxx

CC

xx

为常数）

.d1

1)(arctand

;d1

1)(arcsind

;dtansec)(secd

;dsec)(tand

;dcos)(sind

;dln)d(

;dln

1)(logd

d)(d

2

2

2

xx

x

xx

x

xxxx

xxx

xxx

xaaa

xax

x

xx

xx

a

；

因为函数 )(xfy的微分等于导数)(xf乘以xd，

所以根据导数公式和导数运算法则，就能得到相应的微分公式和微分运算法则．

1. 微分基本公式

四、微分的运算法则

设 函 数 )( ufy ， 根 据 微 分 的 定 义 ， 当 u 是 自 变

量 时 , 函 数 )( ufy 的 微 分 是 uufy d)(d ,

如 果 u 不 是 自 变 量 ， 而 是 x 的 导 函 数 ( )u x 则 复 合 函 数 [ ( ) ]y f x 的 导 数 为

( ) ( )y f u x .

2

d ( ( ) ( )) d ( ) d ( );

d ( ( ) ( )) ( )d ( ) ( )d ( );

d ( ( )) d ( )( ;

( ) ( )d ( ) ( )d ( )d ( ( ) 0 )

( ) ( )

u x v x u x v x

u x v x v x u x u x v x

C u x C u x C

u x v x u x u x v xv x

v x v x

为常数）

2. 函数的和、差、积、商的微分运算法则

3. 复合函数的微分法则

于 是 , 复 合 函 数 [ ( ) ]y f x 的 微 分 为 d ( ) ( ) dy f u x x ,

由 于 ( ) d dx x u , 所 以 uufy d)(d .

由 此 可 见 ， 不 论 u 是 自 变 量 还 是 函 数 （ 中 间 变 量 ）， 函 数 )( ufy 的 微 分 总 保 持 同 一 形 式 uufy d)(d ， 这 一 性 质 称 为 一 阶 微 分 形 式 不 变 性 ． 有 时 ， 利 用 一 阶 微 分 形 式 不 变 性 求 复 合 函 数 的 微 分 比 较 方 便 ．

解 （ １ ） 用 公 式 xxfy d)(d ， 得

xxx

xxy dsin2

1d)(cosd .

例５ 设xycos，求yd．

解 ( 1 ) 用 公 式 xxfy d)(d ， 得

,dcosed)e(d sinsin xxxy xx

( 2 ) 用 一 阶 微 分 形 式 不 变 性 ， 得

xxxy xxx dcosesindeded sinsinsin .

( 2 ) 用 一 阶 微 分 形 式 不 变 性 ， 得

.dsin2

1d

21

sin

dsin)(cosdd

xxx

xx

x

xxxy

例６ 设xysine，求yd．

解 对方程两边求微分，得

0d2)dd(2d2 yyyxxyxx ,

即 yxyxyx d)(d)( .

所以 xxyxy

y dd ,

xyxy

xy

dd

.

例７ 求方程 2222ayxyx 确定的隐函

数)(xfy的微分 yd及导数 xydd．

解 因为 tttax dsincos3d 2 ， tttay dcossin3d 2 ，

所以利用导数为微分之商得 2

2

2

2

2

2

4

d 3 sin cos dtan ,

d 3 cos sin d

d d d d( tan )

d d d d

sec d

3 cos sin d1

.3 sin cos

y a t t tt

x a t t t

y y t

x x x x

t t

a t t t

a t t

例８ 求方程3

3cos,sin

xatyat（0≤t≤2 π）确定的函数

的一阶导数xydd及二阶导数2

2

ddxy．

设函数 )(xfy 在 0x 处的导数 0)( 0 xf ，且 || x

很小时，我们有近似公式 xxfxfxxfy )()()( 000 （1）

或 xxfxfxxf )()()( 000 （2）

上式中令 0x x x ， 则

))(()()( 000 xxxfxfxf （3） 特别地，当 00 x ， || x 很小时，有

xffxf )0()0()( （4） 这里，式（1）可以用于求函数增量的近似值，而

式（2），（3），（４）可用来求函数的近似值．

五、微分在近似计算中的应用

应用式（４）可以推得一些常用的近似公式． 当 ||x很小时，有：

11 1

e 1

ln(1 )

sin (

tan ( .

n

x

x xn

x

x x

x x x

x x x

；

；；用弧度作单位）；用弧度作单位）

证（１）取 n xxf 1)( ，于是 1)0( f ，

nx

nf x

n 1|)1(

1)0( 0

11

,代入（４）式得

xn

xn 111 .

解 设 xxf arctan)( ， 由 近 似 公 式 （ 2），

有 xx

xxx

20

00 11

arctan)arctan( ，

取 10 x ， 05.0 x 有 05.1arctan = )05.01arctan(

= 05.011

11arctan 2

= 810.0205.0

4π .

( 2) 取 xxf e)( ， 于 是 1)0( f ，

1|)e()0( 0 xxf ， 代 入 ( 4)式

得 xx 1e ,

其 他 几 个 公 式 也 可 用 类 似 的 方 法 证 明 ．

例９ 计算 05.1arctan)( xf 的近似值．

解 设 球 的 半 径 为 r ， 体 积 3π34

rV ，

则 3

π4

3 Vr , V

Vrr d

3

1π4

3d

3 23

VV

d1

π361

3 23 .

现 39 7 2 π c mV ， 39 7 3 π 9 7 2 π π ( c m )V ． 所 以

32

32

1d π

3 6 π ( 9 7 2 π )

10 . 0 0 3 ( c m ) ,

3 6 9 7 2

r r

即 半 径 约 增 加 0 . 0 0 3 c m ．

例10 某球体的体积从 3972πcm增加到 3973πcm， 试求其半径的改变量的近似值．

解 因 为 3333

641

14)64

11(6416465 ，

由 近 似 公 式1

1 1n x xn

得

021.4481

4)641

31

1(4641

1465 33 .

例11 计算365的近似值．

1.设 )(xfy 在点 0x 的某邻域有定义，且

200 )()()( xbxaxfxxf ，其中a，b为常数，下

列命题哪个正确？ (1) )(xf 在点 0x处可导，且 axf )( 0 ； (2) )(xf 在点 0x处可微，且 xaxf xx d|)(d

0 ；

(3) xaxfxxf )()( 00 （ x很小时）. 2. 可导与可微有何关系？其几何意义分别表示什

么？有何区别？

思考题