探

究

性

学

习

　

　

一、课题导入 :

如图 , 已知直线 y= － 4/3 x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点，D （ 0 ， 2 ）是 y 轴上一点，问在直线 AB 上是否存在一点 C ，使得以 B 、 D 、 C 为顶点的三角形与以 A 、 B 、 O 为顶点的三角形相似？

O x

yB

A

D C1

C2

分析理解 : 根据题意可先求出 A 、 B 两点的坐标；假设在直线 AB 上存在符合条件的 C 点，则有两种相似的可能，可根据题意分类讨论。（ 1 ）当△ BDC BOA∽ △ 时，可推出 DC OA∥ ，原后可推出 C 点坐标（ 2 ）当△ BDC ∽

BAO△ 时，可根据题目条件求出 C 点坐标。注意：如果求出的 C 点坐标在题目允许的范围内，则说明假设成立，判断为存在 ,反之则判断为不存在。

H

　．热点考向导引

　　　存在性探究问题的一般思路是：先对结论作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件或挖掘出隐含条件，辅以方程思想等，进行正确的计算、推理，再对得出的结果进行分析检验，判断是否与题设、公理、定理等吻合．若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在．

例题 1: 已知关于 x 的方程 k2x2+(2k － 1)x+1=0 有两个不相等的实数根 x1 、 x2.(1) 求 k 的取值范围(2) 是否存在实数 k, 使方程的两实数根互为相反数 ? 如果存在 , 求出 k 值 ; 如果不存在 , 请说明理由

解 : (1) 根据题意得 △ =(2k － 1)2 － 4k2>0

解得 k<1/4

∵ k2 ≠0 ，∴ k ≠0

∴ 当 k<1/4 且 k≠0 时，方程有两个不相等的实数根(2)不存在实数 k 值 , 使方程的两根互为相反数假设存在实数 k 值 , 使方程的两根互为相反数 , 则 x1+x2= －

2k －１k2

=0

解得 k=1/2, 由 (1) 知 k<1/4 且 k ≠0∴ 不存在实数 k 值 , 使方程的两根互为相反数

热点例题精讲

热点例题精讲 :例题 2: 如图已知直线 y= － 2x+12 分别与 y 轴、 x 轴交与

A 、 B 两点 , 点 M 在 y 轴上 , 以点 M 为圆心的⊙ M 与直线AB 相切于点 D, 连结 MD

(1). 求证 : △ AMD ∽△ AOB

(2). 如果⊙ M 的半径为 , 请求出点 M 的坐标 , 并写出以

为顶点 , 且过点 M 的抛物线的解析式(3). 在 (2) 的条件下 , 试问在此抛物线上是否存在点 P, 使得以 P 、

A 、 M 三点为顶点的三角形与 △ AOB 相似？如果存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由。

52)

2

29,

2

5(

M

O x

y

D

B

A分析与解答 (1) 略(2) 直线 y= -2x+12 与 x 轴交点为 B(6,0) 与 y 轴交点为 (0,12) OA=12,OB=6,AB=∴

∵ △AMD AOB AM/AB=DM/OB∽△ ∴∴AM=10 M(0,2)∴∴根据题意可推导出所求的抛物线解析式为 y= － 2x2 － 10x +2

56

M

O x

y

D

B

A(3) 由抛物线形状可判断 , 点 P 若存在 , 只能在y 轴左侧的抛物线上 , 且只有 6 种可能 ( 如图 2所示 ) OA:OB=2:1∵∴P1A=P3M=2AM=20, P2A=P4M=1/2 AM=5∴P1(-20 ， 12) 、 P2 （ -5 ， 12 ）、 P3 （ -20 ，2 ）P4 （ -5 ， 2 ）下面来求 P6 点的坐标显然 MP6=MD= 作 P6H AM,H 为垂足由 P6H2=MH·MA, 得 MH= （ )2 /10=2由 P6H2=MH·AH ，得 P6H= = 4 ∴P6 （－ 4 ， 4 ），同理可得 P5 （－ 4 ， 10 ）经检验 , 只有 P4 、 P5 的坐标满足 y= － 2x2 －10x +2 ∴ 在抛物线 y= － 2x2 － 10x ＋ 2上存在 点 P （－ 5,2) 或 P( － 4,10), 使得以P 、 A M 三点为顶点的三角形与△ AOB 相似

∟

x

y

A

M

P1 P2

P3 P4

P5

P6H D

( 图 1)

( 图 2)

O

12

6

2

52

82

⊥52

.热点例题精讲例题 3: 设二次函数 y=ax2+bx+c(a>0,b>0)的图象经过 (0,y1),(1,y2) 和 (-1,y3) 三点 ,且满足 y1

2=y22=y3

2=1.(1) 求这个二次函数的解析式(2) 设这个二次函数的图象与 x 轴的两个交点为 A(x1,0),B(x2,0),x1<x2,C 为顶点 , 连结 AC 、 BC ，动点 P 从Ａ点出发沿折线ACB 运动，求 △ ABP 的面积的最大值(3) 当点 P 在折线 ACB 上运动时，是否存在点 P 使△ APB 的外接圆的圆心在 x 轴上？请说明理由。

A O B

C

Dx

y

精典习题挑战 :1. 已知二次函数 y=x2-2(m － 1)x － 1 － m 的图象与 x 轴交于

A(x1,0),B(x2,0),x1<0<x2 与 y 轴交于点 C, 且满足 1/AO －１ /OB=2/OC

(1) 求这个二次函数的解析式 (2) 是否存在着直线 y=kx+b 与抛物线交于点 P 、 Q ，使 y 轴平分

△ CPQ 的面积？若存在，求出 k 、 b 应满足的条件；若不存在，请说明理由。

2. 已知关于 x 的方程 x2 － (p+q+1)x+p=0 (q 0)≧ 的两个实数为x1 、 x2

且 x1 x≦ 2 (1) 试用含 x1 、 x2 的代数式表示 p 、 q(2) 求证： x1 1 x≦ ≦ 2

(3) 若以 x1,x2 为坐标的点 M(X1,X2) 在△ ABC 的三条边上运动，且△ ABC 顶点的坐标分别为A （ 1 ， 2 ）、 B （ 0.5,1 ）、 C （ 1 ， 1 ）问是否存在点 M ，使 p+q=5/4 ，若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。

小结 : 存在性问题一般是在假定存在的条件下

来对问题展开分析探讨 , 根据得出的结论分析存在的可能性 , 如果讨论的结果在允许的范围内 , 则表示存在 ; 反之则表示不存在 .

希望同学们认真学习并掌握 .

祝你成功