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第三章 多维随机变量及其概率分布. §3.1 多维随机变量及其联合概率分布. 第三章作业题. P158 1,3,5,7,8 10,12,14,17,18 21,26,27,30 31,34,39,40. 有些随机现象用一个随机变量来描述不够,例如. 1 、 在打靶时 , 命中点的位置是由一对 r.v ( 两个坐标 ) 来确定的. 2 、 飞机的重心在空中的位置是由三个 r.v ( 三个坐标)来确定的等等. 3 、 研究某年龄段儿童的身体发育情况,同时考虑身高、体重、肺活量、血压等指标. - PowerPoint PPT Presentation
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第三章多维随机变量及其概率分布
§3.1 多维随机变量及其联合概率分布
第三章作业题
P158
1,3,5,7,8 10,12,14,17,18 21,26,27,30
31,34,39,40
有些随机现象用一个随机变量来描述不够,例如1 、 在打靶时 , 命中点的位置是由一对 r.v( 两个坐标 ) 来确定的 .
2 、 飞机的重心在空中的位置是由三个 r.v ( 三个坐标)来确定的等等 .
3 、研究某年龄段儿童的身体发育情况,同时考虑身高、体重、肺活量、血压等指标
4 、研究某日的天气状况,同时考虑最高温度、最大湿度、最大风力等指标。
设随机试验 E 的样本空间是 Ω.ξ =ξ()和 η=η() 都是定义在 Ω 上的随机变量 , 由它们构成的变量 (ξ,η), 称为二维随机变量 .
二维随机变量 (ξ,η) 的性质不仅与 ξ 及η 的性质有关 , 而且还依赖于 ξ 和 η 的相互关系 , 因此必须把 (ξ,η) 作为一个整体加以研究 .
一、多维随机变量的概念
定义:设(定义:设( ξ ,ηξ ,η )是二维随机变量,对)是二维随机变量,对于任意实数于任意实数 ξ ,η,ξ ,η, 二元函数:二元函数:
称为二维随机变量(称为二维随机变量( ξ ,ηξ ,η )的)的联合分布联合分布函数。函数。
),()}(){(),( yxPyxPyxF
二、二维随机变量的联合分布函数
二维随机变量( ξ,η )
ξ 和 η 的联合分布函数
yx,
)()( xPxF x
ξ 的分布函数
一维随机变量 ξ
),(),( yxPyxF
如果把 (ξ,η) 看成平面上随机点的坐标 . 取定 x,y R1 , F(x,y) 就是点 (ξ,η)落在平面上的以(x,y) 为顶点而位于该点左下方的无限矩形区域内的概率 . 见右图 .
由上面的几何解释 , 易见 :随机点 (ξ,η) 落在矩形区域 : x 1<ξ ≤x 2, y1<η≤y2
内的概率
P{x 1<ξ ≤x 2 ,y1<η≤y2}=F(x 2,y2)-F(x 2,y1)- F(x 1,y2)+F(x 1,y1)
说明
二维分布函数 F(x ,y) 的四条基本性质1. F(x ,y) 是单变量 x ,y 的非减函数 . 即 yR1 取定 ,当 x 1<x 2时 ,
F(x 1, y)≤F(x 2, y). 同样 , x R1 取定 ,当 y1 < y2时 ,
F(x , y1)≤F(x , y2).
2. x , y R1 有 0≤F(x , y)≤1
yR1, F(-∞,y)=0 , xR1, F(x,-∞)=0 , F(-∞,-∞)=0 , F(∞,∞)=1
),(lim:),(
,),(lim:),(
),,(lim:),(
,),(lim:),(
yxFF
yxFF
yxFxF
yxFyF
xx
yx
y
x
其中 :
33 、、 F(x ,y)=F(x +0,y), F(x ,y)=F(x ,y+0)F(x ,y)=F(x +0,y), F(x ,y)=F(x ,y+0)
即即 F(x ,y)F(x ,y) 关于关于 x x 右连续,关于右连续,关于 yy 也右也右连续。连续。
44、、 P{x P{x 11<ξ ≤x <ξ ≤x 22 ,y ,y11<η≤y<η≤y22}}
=F(x =F(x 22,y,y22)-F(x )-F(x 22,y,y11)- F(x )- F(x 11,y,y22)+F(x )+F(x 11,y,y11))≥0≥0
§3.2二维离散型随机变量及其联合概率分布列
如果二维随机变量 (ξ,η) 的每个分量都是离散型随机变量 , 则称 (ξ,η) 是二维离散型随机变量 . 二维离散型随机变量 (ξ,η) 所有可能取的值也是有限个或可列无穷个 .
一、联合分布列
二维离散型随机变量( ξ ,η )的联合分布列
,),( ijji pyxP
i, j =1,2, …
i j
ij
ij
p
jip
1
,2,1,,0
,)( kk pxP k=1,2, …
离散型一维随机变量 ξ
,0kp
k
kp 1
k=1,2, …
ξ 的概率分布
η ξ
y1 y2 yj
x1 p11 p12 p1j
x2 p21 P22 p2j
┇ ┇ ┇ ┇
xi pi1 Pi2 pij
┇ ┇ ┇ ┇
联合分布列也可以用表格表示 .
xx yy
ij
i j
pyxF ),(
1 、多维超几何分布
设某总体共有 N 个元素,其中有 Ni 个元素具有特征 Ai, 1≤i≤k, 现从中随机取出 n 个元素,求其中有 mi 个具有特征 Ai 的概率用 ξi 表示 n 个元素中具有特征 Ai 的个数
nmk
ii
1
二、常见多维分布
2 、多项分布 - 二项分布的推广设每次试验共有 k 种不同的可能结果
将该实验独立地重复 n 次,用 ξ 1,ξ 2,…ξ k表示
发生的次数,则 (ξ 1,ξ 2,…ξ k)服从多项分布,其联合分布列为
kAAA ,, 21
kAAA ,, 21
1,2,1,)(1
k
iiii pkipAP
nnpppnnn
n
nXnXnXP
ii
nk
nn
k
kk
k
,!!!
!
),,(
21
2121
2211
例:例:设随机变量设随机变量 ξ ξ 在在 11 ,, 22 ,, 33 ,, 44 四个四个数中等可能地取一个值,另一个随机变量数中等可能地取一个值,另一个随机变量 ηη在在 11——ξ ξ 中等可能地取一个整数值,中等可能地取一个整数值,试求试求(( ξξ ,, ηη )的联合分布列。)的联合分布列。并计算并计算 P(ξ >η)P(ξ >η) ξ η
1 2 3 4
1 1/4 1/8 1/12 1/16
2 0 1/8 1/12 1/16
3 0 0 1/12 1/16
4 0 0 0 1/16
例 设有 10 件产品 , 其中 7 件正品 ,3 件次品 .现从中任取两次 , 每次取一件产品 , 取后不放回 .令 : ξ =1 : 若第一次取到的产品是次品 . ξ =0 : 若第一次取到的产品是正品 . η=1 : 若第二次取到的产品是次品 . η=0 : 若第二次取到的产品是正品 .
求 : 二维随机变量 (ξ ,η) 的联合分布列 .
例、设 ξ ~E(λ),令
2,1
2,0
1,1
1,021
求 (η1,η2) 的联合分布列
一、二维联合概率密度函数 设二维随机变量 (ξ ,η) 的联合分布函数为F(x,y). 如果存在一个非负函数 p(x ,y), 使得对任意实数 x ,y, 总有
则称 (ξ ,η) 为连续型随机变量 ,p(x ,y) 为二维随机变量的联合概率密度 .
( , ) ( , )y x
F x y p u v dudv
§3.3 二维连续型随机变量及其联合概率密度函数
( ξ ,η) ~ ( , )p x y( , ) 0p x y
( , ) 1p x y dxdy
( , )G
p x y dxdy2G
)),(( GP
( )b
ap x dx
ξ ~
( ) 1p x dx
( ) 0p x
}{ baP
)(xp
对二维连续型 r.v(ξ ,η) ,其联合概率密度与联合分布函数的关系如下:
2 ( , )( , )
F x yp x y
x y
在 p (x ,y) 的连续点
( , ) ( , )x y
F x y p u v dudv
( , ) ( , )y x
F x y p u v dudv
22 0 0
0
( ) ,( , )
x ye x yp x y
其它
例:设二维随机变量 (ξ ,η) 具有概率密度:
( 1 )求概率 P(ξ <1); (2) 求概率P(η <ξ);
二、 两种常用的多维连续型概率分布
定义 设 D 是平面上的有界区域 , 其面积为d, 若二维随机变量 (ξ ,η) 的联合密度函数为 :
则 (ξ ,η) 称 服从 D 上的均匀分布 .
Dyx
Dyxdyxp
),(0
),(1
),(
1 、二维均匀分布
解 :
例 设 (ξ,η) 服从圆域 x2+y2≤4 上的均匀分布 . 计算 P{(ξ,η)A}, 这里 A 是图中阴影部分的区域
圆域 x2+y2≤4 的面积 d=4 区域 A 是 x=0,y=0和 x+y=1 三条直线所围成的三角区域 , 并且包含在圆域 x2+y2≤4之内 , 面积 =0.5 ∴ P{(ξ,η)A}=0.5/4=1/8
若二维随机变量( ξ,η )具有概率密度2
1
122
21
)[()1(2
1exp{
12
1),(
xyxp
]})())((2 2
2
2
2
2
1
1
yyx
记作( ξ ,η )~ N( ) ,,,, 22
2121
则称( ξ ,η )服从参数为 的二维正态分布 .
,,,, 2121
其中 均为常数 , 且,0,0 21 1||
,,,, 2121
2 、 二维正态分布
1、 n 维随机变量或 n 为随机变量:E 是一个随机试验,它的样本空间是 Ω={e}, 设
1 1 2 2( ), ( ), ( ) n nX X e X X e X X e
是定义在 Ω 上的随机变量,由它们构成一个 n 维变量,叫做 n 维随机变量或 n 为随机变量
2 、随机变量的分布函数或联合分布函数:
1 2
1 2 1 1 2 2
, , ,
, , , , ,
n x x x
(x x x ) { x x x }
对任意 个实数 元函数n
n n n
n
F P X X X
§3.4 边际分布与
随机变量的独立性
一、 边际分布
二维随机变量 (ξ,η) 作为一个整体 , 具有分布函数 F(x,y). 其分量 ξ 和 η 也都是随机变量 , 也有自己的分布函数 , 将其分别记为 Fξ (x ),Fη(y).依次称为 ξ 和 η 的 边际分布函数 . 而把 F(x,y) 称为 ξ 和 η 的 联合分布函数 .
1 、随机变量的边际分布函数
Fξ (x )=P{ξ≤x }=P{ξ≤x ,η<∞}=F(x ,∞)Fη(y)=P{η≤y}=P{ξ <∞,η≤y}=F(∞,y)
ξ 和 η 的边际分布函数 , 本质上就是一维随机变量 ξ 和 η 的分布函数 . 之所以称其为边际分布是相对于 (ξ,η) 的联合分布而言的 . 同样地 , 联合分布函数 F(ξ,η) 就是二维随机变量 (ξ,η) 的分布函数 , 之所以称其为联合分布是相对于其分量 ξ 或 η 的分布而言的 .
注意
求法
例例 :: 设设 (ξ ,η) 的联合分布函数为的联合分布函数为
求关于求关于 ξ ξ 和和 ηη 的边际分布函数 的边际分布函数 ((λλ>0>0).).
其它0,0
0
1),(
yxeee
yxFxyyxyx
一般,对离散型 r.v ( ξ ,η ) ,
则 (ξ ,η) 关于 ξ 的边际分布列为
,2,1,)( ippxPj
ijii
(ξ ,η) 关于 η 的边际分布列为
ξ 和 η 的联合分布列为
,2,1,,),( jipyxP ijji
2 、 二维离散型随机变量的边际分布列
,2,1,)( jppyPi
ijji
例 1
η ξ
0 1
0 7/15 7/30
1 7/30 1/15
求表中 (ξ ,η) 的分量 ξ 和 η 的边际分布 .
10
3
15
1
30
7}{
10
7
30
7
15
7}{
2
1222
2
1111
jj
jj
pxPp
pxPp
η ξ
0 1 pi.
0 7/15 7/30 7/10
1 7/30 1/15 3/10
p.j 7/10 3/10 1
把这些数据补充到前面表上 :
3 、二维连续随机变量的边际密度函数
ξ 和 η 的联合概率密度为
则 ( ξ ,η ) 关于 ξ 的边际密度函数为
( ξ ,η ) 关于 η 的边际密度函数为
( , )p x y
xdudvvupxFxF ),(),()(
ydvduvupyFyF ),(),()(
dyyxpxp ),()(
dxyxpyp ),()(
例 设随机变量 ξ 和 η 具有联合概率密度
26( , )
0
x y xp x y
其它
求边际概率密度 )(),( ypxp
课堂练习课堂练习 设二维随机变量 (ξ, η) 的密度函数为
求: 1 、边缘密度函数 2 、计算概率 P{ξ+η≤1}.
)(),( ypxp
else
yxeyxp
y
,0
0,),(
例、设 (ξ ,η) 的联合密度函数为1,0 1, ;
( , )0, .
x y xp x y
others
求( 1 )边际密度函数 ( 2 )( 0.5), ( 1)P X P X Y
)(),( ypxp
例 若 (ξ ,η) 服从矩形区域 a≤x≤b.c≤y≤d上均匀分布 , 两个边际概率密度分别为 :
],[0
],[1
)(bax
baxabxp
],[0
],[1
)(dcy
dcycdyp
注 上题中 ξ 和 η 都是服从均匀分布的随机变量 . 但对于其它 ( 不是矩形 ) 区域上的均匀分布 , 不一定有上述结论 .
例 设 (ξ,η) 服从单位圆域 x2+y2≤1上的均匀分布 ,求 :ξ 和 η 的边际概率密度 .
Dyx
Dyxyxp
),(0
),(1
),( 解 :
当 x<-1或 x>1 时
00),()(
dydyyxpxp
当 -1≤x≤1 时
2
1
1
12
1
),()(
2
2
x
dy
dyyxpxp
x
x
(注意积分限的确定方法)
由 ξ 和 η 在问题中地位的对称性 , 将上式中的 ξ 改为 η, 就得到 η 的边际概率密度 :
]1,1[0
]1,1[12
)(
2
x
xxxp
]1,1[0
]1,1[12
)(
2
y
yyyp
例: ),1,1,0,0(~),( N ,求 ( ) ( ).X Yp x p y、
2
1
122
21
)[()1(2
1exp{
12
1),(
xyxp ]})())((2 2
2
2
2
2
1
1
yyx
( ξ ,η )~ N( ) ,,,, 22
2121
ξ ~N(0,1) , η~N(0,1)
说明
对于确定的 1,2,1,2 , 当不同时,对应了不同的二维正态分布。
对这个现象的解释是 : 边际概率密度只考虑了单个分量的情况 , 而未涉及 ξ 与 η 之间的关系 .
(ξ 1 ,ξ2)∼N(1,2, ,)
ξ1∼ ξ2∼ ( 与参数无关 )
),( 211 N ),( 2
22 N
22
21 ,
ξ 与 η 之间的关系这个信息是包含在(ξ ,η) 的联合概率密度函数之内的 .
因此 ,
联合 边际
二、随机变量的独立性二、随机变量的独立性定义:若对于 , 都有
yPxPyxP ,
即 )()(),( yFxFyxF 则称 ξ 与 η 是相互独立的。
Ryx ,
离散型(定理 1 ):
连续型(定理 2 ):成立)(对所有即 jippp
yPxPyxP
jiij
jiji
,
}{}{},{
成立对任意的 yxypxpyxp ,),()(),(
例 : 袋中有 2 个白球, 3 个黑球,从袋中( 1 )有放回地;( 2 )无放回地 取二次球,每次取一个,令
试问 ξ 与 η 是否相互独立? 0 1
P{η=j}
0 9/25 6/25 3/5
1 6/25 4/25 2/5
P{ξ =i}
3/5 2/5 1
解 :(1) 有放回地取球 ξ
η
容易验证,对一切 i, j=0,1 ,
有 P{ξ =i,η=j}=P{ξ =i}P{η=j}
故 ξ 、 η 相互独立。
(2) 无放回地取球
0 1P{η=j
}
0 6/20 6/20 3/5
1 6/20 2/20 2/5
P{ξ =i}
3/5 2/5 1
ξ
η
P{ξ =0,η=0}≠P{ξ =0}P{η=0}
故 ξ 、 η 不相互独立。
例:设随机变量 ),( 的概率分布如下表, 则
(1)a、b应满足的条件是 ;
(2)若、 相互独立,则 a= ,b= ;
ξ η 1 2 3
1 1/6 1/9 1/18
2 1/3 a b
(2 )0, 0;2( , )
0
x yx yep x y
,其它,
.,0
;0,220
2)2(
其它xedye xyx
.,0
;0,20
)2(
其它yedxe yyx
例 设 (ξ ,η) 具有概率密度
解 :pξ (x )=
∴ p(x ,y)=pξ (x ) pη(y), 因而 ξ ,η 是相互独立的。
pη(y)=
问 ξ ,η 是否相互独立 ?
η
ξ
( , )p x y dy
( , )p x y dx
结论:设(ξ , η )~ ) ,,,,( 22
2121 N ,则ξ 与η
相互独立的充要条件是 0 。(p132)
解:二维正态随机变量( ξ, η)概率密度为
]
)())((2
)([
)1(2
1exp
12
1),(
22
22
21
2 1 21
21
2221
yyxx
yxp
yx
其边缘密度分别为
“ ”充分性 : 当
故 ξ 与 η 相互独立。
)()(2
1
2
1
2
1),(
22
22
21
21
]22
2)2(21
2)1([
2
1
2
)(
2
2
)(
1
21
ypxpee
eyxp
yx
yx
22
22
21
21
2
)(
2
2
)(
1 2
1)( ,
2
1)(
yx
eypexp
“ ”必要性 : 如果 ξ, η 独立,于是应有
即为
解得
]
)())((2
)([
)1(2
1exp
12
1),(
22
22
21
2 1 21
21
2221
yyxx
yxp
22
22
21
21
2
)(
2
2
)(
1 2
1)( ,
2
1)(
yx
eypexp
)()(),( 2121 ppp
n 维 r.v.
),,,( 21 n
1. 联合分布函数},,,{),,,( 221121 nnn xxxPxxxF
若连续1 1
1 2 1 2 1( , , , ) ( , , , )n nx x x
n n nF x x x p x x x dx dx
2. 边际分布
),,,,(),(
),,,()(
2121,
11
21
1
xxFxxF
xFxF
n ,,,.3 21 相互独立)()()(),,,( 2121 21 nn xFxFxFxxxF
n
例 设例 设 ((ξ ξ ,,ηη)) 的概率密度是的概率密度是
其它,0
0,10),2(),(
xyxxcyyxp
求 (1) c 的值 ,( 2 )判断 ξ 和 η 是否相互独立
课堂练习
其它,0
10),2
22
3(
5
24)(
2
yy
yyyfY
其它,0
10),2(5
12)(
2 xxxxf X
c =24/5
§3.5 多维随机变量函数的概率分布
在第二章中,我们讨论了一维随机变量函数的分布,现在我们进一步讨论 :
我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题,然后将其推广到多个随机变量的情形 .
当随机变量 ξ 1, ξ 2, …,ξ n 的联合分布已知时,如何求出它们的函数
ηi=gi(ξ 1, ξ 2, …,ξ n), i=1,2,…,m
的联合分布 ?
),( f
例 、设 (ξ ,η) 的联合分布列为ξ
η-1 2
-1
1
2
5/20 3/20
2/20 3/20
6/20 1/20
求, ζ1=ξη, ζ2=min(ξ ,η) 的分布列
一、二维离散型随机变量函数的分布
例 若 ξ 、 η 独立, P(ξ =k)=ak , k=0,1,2,…,
P(η=k)=bk , k=0,1,2,… ,求 ζ=ξ +η 的分布列 .
解 : )()( rPrP
r
i
irPiP0
)()( =a0br+a1br-1+…+arb0
r
i
iriP0
),( 由独立
性此即离散型卷积公式
r=0,1,2, …
解:依题意
r
i
iriPrP0
),()(
例 若 ξ 和 η 相互独立 , 它们分别服从参数为 的泊松分布 , 证明 ζ=ξ +η 服从参数为
21,
21 的泊松分布 .
由卷积公式
i=0,1,2,…
j=0,1,2,…
!)( 1
1
i
eiP
i
!)( 2
2
j
ejP
j
r
i
iriPrP0
),()( 由卷积公式
r
i 0
i-r2-
i1-
i)!-(re
i!e 21
r
ir
e
0
i-r2
i1
)(
i)!-(ri!
r!
!
21
,)(! 21
)( 21r
r
e
即 ζ 服从参数为 的泊松分布 .21
r =0,1,…
1)确定 ζ=g(ξ,η) 的值域;
2)分段计算 ζ 的分布函数
连续型:连续型:分布函数法分布函数法
}{)( zPzF
3)
二、二维连续型随机变量函数的分布
变量变换法 (详见下一节)
1、M=max (ξ ,η)及 N=min(ξ ,η) 的分布 设 ξ , η 是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 Fξ (x )和 Fη(y),我们来求 M=max (ξ ,η)及 N=min(ξ ,η) 的分
布函数 .
三、次序统计量及其概率分布
又由于 ξ 和 η 相互独立 , 于是得到 M=max (ξ ,η) 的分布函数为 :
即有 FM(z)= Fξ (z)Fη(z)
FM(z)=P(M≤z)
=P(ξ ≤z)P(η≤z)
=P(ξ ≤z,η≤z)
由于 M=max (ξ ,η) 不大于 z 等价于 ξ
和 η 都不大于 z ,故有 分析:
P(M≤z)=P(ξ ≤z,η≤z)
类似地,可得 N=min(ξ ,η) 的分布函数是
下面进行推广
即有 FN(z)= 1-[1-Fξ (z)][1-Fη(z)]
=1-P(ξ >z,η>z)
FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z)
=1- P(ξ >z)P(η>z)
设 ξ 1,…,ξ n是 n 个相互独立的随机变量 , 它们的分布函数分别为
我们来求 M=max (ξ 1,…,ξ n)和
N=min(ξ 1,…,ξ n) 的分布函数 .
)(xFi
(i =1,… , n)
用与二维时完全类似的方法,可得
N=min(ξ 1,…,ξ n) 的分布函数是
M=max (ξ 1,…,ξ n) 的分布函数为 :
)](1[1)(1
zFzFN … )](1[ zFn
)()(1
zFzFM )(zFn
…
特别,当 ξ 1,…,ξ n 相互独立且具有相同分布函数 F(x ) 以及密度函数 p(x) ,有 (P143, 定理 5)
FM(z)=[F(z)] n;
pM(z)=n [F(z)] n-1p(z);
FN(z)=1-[1-F(z)] n
pN(z)=n [1-F(z)] n-1p(z);
需要指出的是,当 ξ 1,…,ξ n 相互独立且具有相同分布函数 F(x )时 , 常称
M=max (ξ 1,…,ξ n), N=min(ξ 1,…,ξ n)
为极值 .
由于一些灾害性的自然现象,如地震、洪水等等都是极值,研究极值分布具有重要的意义和实用价值 .
如图所示 . 设系统 L由两个相互独立的子系统 L1 ,L2 联接而成 , 联接的方式分别为 : (1)串联 . (2) 并联 .
例
解 :
设 L1,L2 的寿命分别为 ξ , η. 其概率密度函数分别为 :
其中 >0,>0, 且≠ . 分别对以上两种联接方式写出 L的寿命Z 的概率密度函数 .
0( )
0
x
X
e xp x
其它
0( )
0
y
Y
e yp y
其它
先求 ξ ,η 的分布函数 :
1 0( ) ( )
0 0
xx
X X
e xF x p t dt
x
(1)串联 . Z=min{ξ ,η} FZ(z)=1-[1-Fξ (z)][1-Fη(z)]
1 0( ) ( )
0 0
yy
Y Y
e yF y p t dt
y
0001 )(
zze z
( )( ) 0( ) '( )
0 0
z
Z Z
e zp z F z
z
(2) 并联 . Z=Max {ξ ,η} FZ(z)=Fξ (z)Fη(z)
000)1)(1(
zzee zz
( )
( ) '( )
( ) 0
0 0
Z Z
z z z
p z F z
e e e z
z
§3.6 多维连续型随机变量变换的概率分布
).,(),(
),,(
),,(
),,(),(
21,21
2122
2111
21,21
21
21
yyp
f
f
xxp
的联合密度函数求
且
的联合密度函数为设
一、变量变换的雅可比方法
要求有 3 个
),(
),(
2122
2111
xxfy
xxfy1 、 有唯一反函数
2 、有连续偏导数
3 、雅克比行列式
),(
),(
2122
2111
yyxx
yyxx
0),(
),(
21
21
yy
xxJ
则
的值域属于变换 2121
212211,21,
,),(
,)),(),,((),(2121
ffyyIf
Jyyxyyxpyyp
例、设 ξ 和 η 独立同分布,都服从N(μ,σ2)
V
U
求 (U,V) 的联合密度函数 p(u,v)
增补变量法
可增补一个变量 ζ2 = g2(X, Y) ,
若要求 ζ1 = g1(X, Y) 的密度 pζ1(y1) ,
先用变量变换法求出 (ζ1, ζ2) 的联合密度 p (y1, y2) ,然后再由联合密度 p (y1, y2) ,去求出边际密度pζ1(y1) 用此方法可以求出卷积公式、差的公式、积的公式、商的公式
设 ξ 和 η 的联合密度为 p (x ,y), 求 Z=ξ +η的密度 .
解 : Z=ξ +η 的分布函数是 : FZ(z)=P(Z≤z)=P(ξ +η ≤ z)
D
dxdyyxp ),(
这里积分区域 D={(ξ,η): ξ +η ≤z}
是直线 ξ +η =z 左下方的半平面 .
例如、两个随机变量和的分布 (方法一)
化成累次积分 , 得
zyx
Z dxdyyxpzF ),()(
yz
Z dydxyxpzF ]),([)(
固定 z和 η, 对方括号内的积分作变量代换 , 令 x =u-y, 得
z
Z dyduyyupzF ]),([)(
zdudyyyup ]),([
变量代换
交换积分次序
由概率密度与分布函数的关系 , 即得 Z=ξ +η
的概率密度为 :
由 ξ 和 η 的对称性 , pZ (z)又可写成
dyyyzpzFzp ZZ ),()()( '
以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式 .
dxxzxpzFzp ZZ ),()()( '
z
Z dudyyyupzF ]),([)(
特别,当 ξ 和 η 独立,设 (ξ ,η) 关于 ξ ,η 的边际密度分别为 px (ξ ) , py(η) , 则上述两式化为 :
这两个公式称为卷积公式 . 记为:
dxxzpxpzp
dyypyzpzp
YXZ
YXZ
)()()(
)()()(
)()( ypxp YX
dxxzpxpdyypyzpypxp YXYXYX )()()()()()(
两个随机变量和的分布 (方法二)
变量变换方法:
例,设 ξ ,η 是两个相互独立的随机变量,它们都服从 N(0,1) 分布,其概率密度为:
求 ζ=ξ +η 的概率密度。
,,2
1)(
,,2
1)(
2
2
2
2
Ryeyp
Rxexp
y
x
解:由卷积公式:( ) ( ) ( )
Z X Yp z p x p z x dx
2 2( )
2 21
=2
x z x
e e dx
22( )
4 21
=2
z zx
e e dx
用类似的方法可以证明 : 2 2 2
1 2 1 2~ ( , )n nZ N
若 相互独立 ,
2~ ( , ), ( 1,2, , ),i i iX N i n 结论又如何呢 ?
若 ξ 和 η 独立 , 具有相同的分布N(0,1),则 ζ=ξ +η 服从正态分布 N(0,2).
iX
为确定积分限 ,先找出使被积函数不为 0 的区域
例 若 ξ 和 η 独立 , 具有共同的概率密度
求 Z=ξ +η 的概率密度 .
其它,0
10,1)(
xxp
dxxzpxpzpZ )()()(
解 : 由卷积公式
10
10
xz
x 也即
zxz
x
1
10
为确定积分限 ,先找出使被积函数不为 0 的区域
其它,0
21,2
10,
)(1
1
0
z
z
Z zzdx
zzdx
zp
如图示 :
10
10
xz
x 也即
zxz
x
1
10
于是
dxxzpxpzp YXZ )()()(
差的公式
积的公式
商的公式
111
212121
)()(
~,
dxyxxpyp
xxp
,,
,,,(
22
22
212121
1),()(
~,
dxx
xx
ypyp
xxp
,,
,,,(
2222
212121
),()(
~,
dxxxyxpyp
xxp
例、设 ξ 与 η 独立同分布于 U( 0 ,a ),
others
yaayp,0
0,1
)(
求 ζ=ξ/η 的概率密度函数
二、 n 个独立的标准正态变量在正交变换下的不变性 (略)
例、设 ξ 与 η 独立同分布,其共同的密度函数为
判断 α=ξ+η与 β=η 是否相互独立
1,0
0ln)(
others
yyp
y