我们已经介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征 .

但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的 .

例如，某零件的真实长度为 a ，现用甲、乙两台仪器各测量 10 次，将测量结果 X 用坐标上的点表示如图：

若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？

a

甲仪器测量结果

a

乙仪器测量结果 较好

测量结果的均值都是 a

因为乙仪器的测量结果集中在均值附近

又如 , 甲、乙两门炮同时向一目标射击 10 发炮弹，其落点距目标的位置如图：

你认为哪门炮射击效果好一些呢 ?

甲炮射击结果 乙炮射击结果乙炮

因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .

中心 中心

为此需要引进另一个数字特征 , 用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度 .

这个数字特征就是我们要介绍的

方差

一、方差的定义

采用平方是为了保证一切

差值 X-E(X) 都起正面的作用

由于它与 X 具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用 .

方差的算术平方根 称为标准差)(XD

设 X 是一个随机变量，若 E[(X-E(X)]2<∞ ，则称 D(X)=E[X-E(X)]2 (1)

为 X 的方差 .

若 X 的取值比较分散，则方差较大 .

若方差 D(X)=0, 则 r.v X 以概率 1 取常数值 .

方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .

若 X 的取值比较集中，则方差较小；

D(X)=E[X-E(X)]2

X 为离散型，

P(X=xk)=pk

由定义知，方差是随机变量 X 的函数g(X)=[X-E(X)]2 的数学期望 .

,)()]([

,)]([)(

2

1

2

dxxfXEx

pXExXD

k

kkk

X 为连续型，

X~f(x)

二、计算方差的一个简化公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2 展开

证： D(X)=E[X-E(X)]2

=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}

=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2

=E(X2)-[E(X)]2

利用期望

性质

请自己用此公式计算常见分布的方差 .

例 1 设 r.v X 服从几何分布，概率函数为P(X=k)=p(1-p)k-1, k=1,2,… ， n

其中 0<p<1, 求 D(X)

解： 记 q=1-p

1

1)(k

kkpqXE

1

)'(k

kqp

1

)'(k

kqp )'1

(q

qp

p

1

求和与求导

交换次序

无穷递缩等比

级数求和公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

1

122 )(k

kpqkXE

])1([1

1

1

1

k

k

k

k kqqkkp

1

)(k

kqqp +E(X)pq

qqp

1)

1(

pqqp

1

)1(

23

pp

q 122 2

2

p

p

2

2

p

p

2

1

p

2

1

p

p

三、方差的性质

1. 设 C 是常数 , 则 D(C)=0;

2. 若 C 是常数 , 则 D(CX)=C2 D(X); 3. 若 X1 与 X2 独立，则 D(X1+X2)= D(X1)+D(X2);

n

ii

n

ii XDXD

11

)(][

可推广为：若 X1,X2,…,Xn 相互独立 , 则

n

iii

n

iii XDCXCD

1

2

1

)(][

X1 与 X2 不一定独立时，D(X1 +X2 )= ？

请思考

4. D(X)=0 P(X= C)=1 ， 这里 C=E(X)

xC

1

P(X= x)

下面我们用一例说明方差性质的应用 .

例 2 二项分布的方差设 X~B(n,p), 则 X 表示 n 重贝努里试验中

的“ 成功” 次数 . 若设

次试验失败如第次试验成功如第

i

iX i 0

1i=1,2 ，…， n

故 D(Xi)= E(Xi2)-[E(Xi)]2

E(Xi)=P(Xi=1)= p, E(Xi2)= p,

则 是 n 次试验中“成功” 的次数

n

iiXX

1

= p- p2= p(1- p)

于是

i=1,2 ，…， n

D(Xi)= E(Xi2)-[E(Xi)]2 = p- p2= p(1- p)

由于 X1,X2,…,Xn 相互独立

n

iiXDXD

1

)()(

= np(1- p)

四、切比雪夫不等式 设随机变量 X 有期望 E(X) 和方差 ，则对于任给 >0,

2

或 由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件 {|X-E(X)|< } 的概率越大，即随机变量 X 集中在期望附近的可能性越大 .

2

2

2

1}|)({| XEXP

2

2

}|)({| XEXP

由此可体会方差的概率意义：

它刻划了随机变量取值的离散程度 .

如图所示

当方差已知时，切比雪夫不等式给出了 r.v

X 与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .

如取 3

2

2

}|)({| XEXP

111.09

}3|)({|2

2

XEXP

可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，则 r.v X 取值偏离 E(X) 超过 3

的概率小于 0.111 .

2

例 3 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是 7300 ，均方差是 700 .

利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在 5200~9400之间的概率 .

解：设每毫升白细胞数为 X

依题意， E(X)=7300,D(X)=7002

所求为 P(5200 X 9400)

P(5200 X 9400) =P(5200-7300 X-7300 9400-7300)

= P(-2100 X-E(X) 2100)

2)2100(

)(1

XD

= P{ |X-E(X)| 2100}由切比雪夫不等式 P{ |X-E(X)| 2100}

2)2100

700(1

9

8

9

11

即估计每毫升白细胞数在 5200~9400之间的概率不小于 8/9 .

例 4 在每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求： n 需要多大时，才能使得在 n 次独立重复试验中 , 事件 A 出现的频率在 0.74~0.76之间的概率至少为 0.90?

解：设 X 为 n 次试验中，事件 A 出现的次数，

E(X)=0.75n,

的最小的 n .

900760740 .)..( n

XP

则 X~B(n, 0.75)

所求为满足D(X)=0.75*0.25n=0.1875n

=P(-0.01n<X-0.75n< 0.01n)

2)01.0(

)(1

n

XD

= P{ |X-E(X)| <0.01n}

20001.0

1875.01

n

n

n

18751

P(0.74n< X<0.76n )

)76.074.0( n

XP

)76.074.0( n

XP 可改写为

在切比雪夫不等式中取 n ，则0.01 = P{ |X-E(X)| <0.01n}

187509.01

1875

n

解得

依题意，取 9.01875

1 n

即 n 取 18750 时，可以使得在 n 次独立重复

试验中 , 事件 A 出现的频率在 0.74~0.76之间的

概率至少为 0.90 .

我们介绍了随机变量的方差 .

它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征 .

下面我们将介绍刻划两 r.v间线性相关程度的一个重要的数字特征：

相关系数