Το υπόδειγμα επικαλυπτόμενων γεννεών

6. Το Υπόδειγμα των Επικαλυπτόμενων Γενεών:

Ανταλλαγή I

6.1. Ερωτήσεις

Σχολιάστε την εγκυρότητα των παρακάτω προτάσεων. Αν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σωστή κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε αυτές τις προϋποθέσεις. 1 Η κατανάλωση εξαρτάται θετικά από το επιτόκιο. Απάντηση Η πρόταση δεν είναι απαραίτητα σωστή. Ας εξετάσουμε πρώτα την περίπτωση ενός δανειστή, που είναι και η συνήθης περίπτωση σε αυτού του είδους τα υποδείγματα. Το αποτέλεσμα υποκατάστασης που δημιουργείται από μια αύξηση του επιτοκίου τείνει να μειώσει την κατανάλωση της πρώτης περιόδου και να αυξήσει την κατανάλωση της δεύτερης. Από την άλλη μεριά, μια αύξηση του επιτοκίου θα οδηγήσει σε αύξηση του συνολικού του εισοδήματος, διότι με δεδομένη την αποταμίευσή του ο καταναλωτής θα έχει μεγαλύτερο εισόδημα. Επομένως, το άτομο θα τείνει να αυξήσει την κατανάλωση και των δύο περιόδων (θετικό αποτέλεσμα εισοδήματος).1 Αθροίζοντας τα δύο αποτελέσματα, έχουμε ότι για ένα δανειστή το επιτόκιο έχει ένα αβέβαιο συνολικό αποτέλεσμα στην

1 Θα πρέπει να σημειωθεί ότι το εισοδηματικό αποτέλεσμα ή αποτέλεσμα εισοδήματος που αναφέρουμε εδώ διαφέρει από το κοινό εισοδηματικό αποτέλεσμα. Πιο συγκεκριμένα, το συνολικό εισοδηματικό αποτέλεσμα αποτελείται από δύο όρους: το κοινό εισοδηματικό (όταν αυξάνεται μια τιμή μειώνεται η αγοραστική δύναμη του καταναλωτή) και το εισοδηματικό αποτέλεσμα αποθέματος (όταν αυξάνεται το r, αυξάνεται η αξία του συνολικού αποθέματος του καταναλωτή,

21)1( ωω ++ r ). Το πρόσημο του συνολικού αποτελέσματος εξαρτάται από το αν ο καταναλωτής είναι πιστωτής ή χρεώστης.

Κεφάλαιο 6 124

κατανάλωση της πρώτης περιόδου. Αντίθετα, η κατανάλωση της δεύτερης περιόδου εξαρτάται θετικά από το επιτόκιο.

Στην περίπτωση ενός δανειζόμενου, το αποτέλεσμα υποκατάστασης είναι και πάλι αρνητικό πάνω στην κατανάλωση της πρώτης περιόδου και θετικό πάνω στην κατανάλωση της δεύτερης. Το αποτέλεσμα εισοδήματος, από την άλλη μεριά, είναι αρνητικό πάνω στις καταναλώσεις και των δύο περιόδων, επειδή με δεδομένο το ποσό του δανεισμού, ο καταναλωτής πρέπει να πληρώσει μεγαλύτερο τόκο όταν αυξάνεται το επιτόκιο. Επομένως, για ένα δανειζόμενο το επιτόκιο επιδρά αρνητικά πάνω στην κατανάλωση της πρώτης περιόδου και έχει αβέβαιο αποτέλεσμα πάνω στην κατανάλωση της δεύτερης περιόδου. Βλέπουμε λοιπόν ότι η πρόταση είναι σωστή μόνο αν αναφέρεται στην κατανάλωση της δεύτερης περιόδου ενός δανειστή.

2. Η κατανάλωση εξαρτάται αρνητικά από τα αποθέματα. Απάντηση Η συνηθισμένη περίπτωση είναι αυτή κατά την οποία η κατανάλωση και των δύο περιόδων είναι κανονικό αγαθό. Κάτω από αυτήν την προϋπόθεση, η κατανάλωση και των δύο περιόδων εξαρτάται θετικά από τα αποθέματα και επομένως η πρόταση είναι λανθασμένη.

Για λόγους πληρότητας της απάντησης, ας εξετάσουμε και την ασυνήθη περίπτωση του κατώτερου αγαθού. Γνωρίζουμε από τη μικροοικονομική θεωρία, ότι ένα αγαθό είναι κατώτερο όταν μια αύξηση του εισοδήματος, με δεδομένους όλους του άλλους παράγοντες, οδηγεί σε μείωση της ζητούμενης ποσότητας. Υπενθυμίζεται ακόμη ότι στην περίπτωση δύο αγαθών δεν είναι δυνατόν να είναι κατώτερα και τα δύο. Στην προκειμένη περίπτωση, υπάρχουν δύο αγαθά, οι καταναλώσεις των δύο περιόδων. Επίσης, τα αποθέματα έχουν το ρόλο του εισοδήματος και το επιτόκιο το ρόλο της σχετικής τιμής. Επομένως, η πρόταση μπορεί να είναι σωστή μόνο αν αναφέρεται σε μία από τις δύο καταναλώσεις και υπό την προϋπόθεση ότι έχουμε την ασυνήθη περίπτωση όπου η εν λόγω κατανάλωση είναι κατώτερο αγαθό.

Το Υπόδειγμα των Επικαλυπτόμενων Γενεών: Ανταλλαγή Ι 125

3. Μια μεταβολή στο επιτόκιο έχει ένα αρνητικό αποτέλεσμα υποκατάστασης πάνω στην κατανάλωση της πρώτης περιόδου. Απάντηση Η πρόταση είναι σωστή. Το μικτό επιτόκιο 1 r+ είναι η τιμή της κατανάλωσης την πρώτη περίοδο και, όπως γνωρίζουμε από τη μικροοικονομική θεωρία, μια μεταβολή της τιμής έχει ένα αρνητικό αποτέλεσμα υποκατάστασης πάνω στη ζητούμενη ποσότητα. 4. Μια μεταβολή στο επιτόκιο έχει ένα αρνητικό αποτέλεσμα υποκατάστασης πάνω στην κατανάλωση της δεύτερης περιόδου. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Το μικτό επιτόκιο 1 r+ ισούται με το αντίστροφο της τιμής της κατανάλωσης τη δεύτερη περίοδο

( )1 1 .r⎡ ⎤= +⎣ ⎦ Γνωρίζουμε ότι μια μεταβολή της τιμής έχει ένα αρνητικό αποτέλεσμα υποκατάστασης πάνω στη ζητούμενη ποσότητα. Κατά συνέπεια, μια μεταβολή του επιτοκίου θα οδηγήσει σε ένα θετικό αποτέλεσμα υποκατάστασης πάνω στην κατανάλωση της δεύτερης περιόδου. 5. Μια μεταβολή στο επιτόκιο έχει ένα αρνητικό αποτέλεσμα εισοδήματος πάνω στην κατανάλωση της πρώτης περιόδου. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη όταν αναφέρεται σε δανειστή. Μια αύξηση του επιτοκίου θα αυξήσει τον τόκο που θα λάβει ένας δανειστής και επομένως, θα αυξήσει το συνολικό εισόδημα και την κατανάλωση της πρώτης περιόδου. Επομένως, το εισοδηματικό αποτέλεσμα ή αποτέλεσμα εισοδήματος είναι θετικό.

Αντίθετα στην περίπτωση ενός δανειζόμενου (χρεώστη), μια αύξηση του επιτοκίου θα αυξήσει τον τόκο που πρέπει να πληρώσει ο καταναλωτής και επομένως θα μειώσει το συνολικό του εισόδημα και


στη συνέχεια την κατανάλωσή του την πρώτη περιόδου. Σε αυτήν την περίπτωση η πρόταση είναι σωστή. 6. Μια μεταβολή στο επιτόκιο έχει ένα αρνητικό αποτέλεσμα εισοδήματος πάνω στην κατανάλωση της δεύτερης περιόδου. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη όταν αναφέρεται σε δανειστή. Όπως είδαμε στην προηγούμενη ερώτηση μια αύξηση του επιτοκίου θα αυξήσει το εισόδημα ενός δανειστή. Επομένως, θα αυξήσει την κατανάλωση της δεύτερης περιόδου (θετικό εισοδηματικό αποτέλεσμα). Αντίθετα, η πρόταση είναι σωστή όταν αναφέρεται σε χρεώστη. 7. Μια μεταβολή στο επιτόκιο έχει ένα αρνητικό αποτέλεσμα υποκατάστασης πάνω στην αποταμίευση. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Η αποταμίευση βρίσκεται σε αντίθετη σχέση με την κατανάλωση της πρώτης περιόδου (θυμηθείτε ότι

1 1 ).t ts ω c= − Επομένως, αφού, όπως είδαμε στην Ερώτηση 3, το επιτόκιο έχει ένα αρνητικό αποτέλεσμα υποκατάστασης πάνω στην κατανάλωση της πρώτης περιόδου, θα έχει ένα θετικό αποτέλεσμα υποκατάστασης πάνω στην αποταμίευση. 8. Σε μια κλειστή οικονομία η ισορροπία είναι αυτάρκης. Απάντηση Σε μια κλειστή οικονομία η ισορροπία είναι αυτάρκης όταν όλα τα άτομα έχουν τις ίδιες προτιμήσεις και αποθέματα ή δεν επιτρέπεται ο δανεισμός. 9. Σε μια μικρή ανοικτή οικονομία η ισορροπία είναι αυτάρκης.


Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Γενικά η ισορροπία σε μια μικρή ανοικτή οικονομία δεν είναι αυτάρκης και υπάρχουν συναλλαγές με τον υπόλοιπο κόσμο. Η μόνη περίπτωση που αυτό δε συμβαίνει είναι όταν το διεθνές επιτόκιο είναι ίσο με το επιτόκιο που θα επικρατούσε αν η οικονομία ήταν κλειστή Η πιθανότητα να συμβεί κάτι τέτοιο στην πράξη είναι μηδενική. 10. Το μικτό επιτόκιο σχετίζεται με το λόγο των τιμών των καταναλώσεων δύο διαδοχικών περιόδων. Απάντηση Το μικτό επιτόκιο είναι ίσο με τη σχετική τιμή της κατανάλωσης της πρώτης περιόδου. Συγκεκριμένα,

1τιμή της κατανάλωσης την πρώτηπερίοδο1 .τιμή της κατανάλωσης τηδεύτερηπερίοδοtr ++ =

6.2. Ασκήσεις

1. Έστω μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών στην οποία 0Ν = 100 και 2%.n = Υπολογίστε τον αριθμό των νέων ατόμων, τον αριθμό των ηλικιωμένων ατόμων, καθώς επίσης και το συνολικό πληθυσμό την τέταρτη περίοδο (δηλαδή για t = 4). Απάντηση Ο αριθμός των ηλικιωμένων ατόμων την τέταρτη περίοδο είναι ίσος με τον αριθμό των ατόμων που γεννήθηκαν την τρίτη περίοδο2

2 Αγνοούμε το γεγονός ότι ο πληθυσμός πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός.


( )333 0(1 ) 1 0.02 100 106.121N n N= + = + × =

Ο αριθμός των νέων ατόμων την τέταρτη περίοδο είναι ( )4

4 1 0.02 100 108.243N = + × =

Τέλος, ο συνολικός πληθυσμός της οικονομίας την τέταρτη περίοδο είναι

3 4 106.121 108.243 214.364.N N+ = + =

2. Επιβεβαιώστε ότι με τους δεδομένους περιορισμούς στις παραμέτρους β και ρ οι συναρτήσεις

( )1 2 1 , 0,βt t tu c c β+= >

και

( ) ( ) ( )1 2 1 , 0, 0,1 ,ρ ρt t tv c β c β ρ+= + > ∈

είναι αποδεκτές ως συναρτήσεις χρησιμότητας.

Απάντηση Θα πρέπει να δείξουμε ότι οι δεδομένες συναρτήσεις έχουν θετικές οριακές χρησιμότητες και οι καμπύλες αδιαφορίας που προκύπτουν από αυτές είναι κυρτές. Οι άλλες ιδιότητες, όπως ότι οι καμπύλες αδιαφορίας δεν τέμνονται και καλύπτουν όλο το επίπεδο, είναι προφανείς. Ξεκινάμε με την πρώτη συνάρτηση ( )1 2 1 .βt t tu c c +=

Οι οριακές χρησιμότητες είναι θετικές


( )2 1

10,βt

tt

u cc +∂

= >∂

( ) 1

1 2 12 1

0,βt t

t

u β c cc

−+

+

∂= >

∂

όταν τα 1 ,tc 2 1tc + παίρνουν θετικές τιμές και 0.β > Στη συνέχεια θα δείξουμε ότι οι καμπύλες αδιαφορίας είναι κυρτές προς την αρχή των αξόνων ή, με άλλα λόγια, ότι η συνάρτηση είναι οιονεί κοίλη. Σχηματίζουμε πρώτα τη φραγμένη Εσσιανή μήτρα (bordered Hessian) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 1 1 2 11

2 1 2 11 1 2

1 2 1 2 1 1 2 1

0

0

1

β βt t t

β βt t

β β βt t t t t

c β c c

c β c

β c c β c β β c c

+ +−

+ +− − −

+ + +⋅

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Η ορίζουσα 2D είναι ( ) ( )2

2 1 2 1 0.β βt tD β c c −

+= >

Επομένως, ( )2

21 0.D− > Επίσης η ορίζουσα 1D είναι ( )2

1 2 1 0βtD c += − <

και επομένως ( )1 11 0.D− < Δηλαδή ικανοποιείται η ικανή συνθήκη

για να είναι η συνάρτηση οιονεί κοίλη ( )1 0rrD− > για 1, 2.r = 3

Για τη δεύτερη συνάρτηση που δίνεται έχουμε

3 βλ. Sydsaeter and Hammond 1995, σελ. 647.


( ) 1

2 11

0ρtt

t

v ρ cc

−+

∂= >

∂αν 0,ρ >

( ) 1

2 12 1

0ρtt

t

v ρ β cc

−+

+

∂= >

∂ αν , 0.ρ β >

Η φραγμένη Εσσιανή μήτρα είναι ( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )( )

1 11 2 1

1 21 1

1 22 1 2 1

0

1 0

0 1

ρ ρt t

ρ ρt t

ρ ρt t

ρ c ρ β c

ρ c ρ ρ c

ρ β c ρ ρ c

− −+

− −

− −+ +

⋅

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Η ορίζουσα 2D είναι ( )( ) ( ) ( ) ( )2 23 2

2 1 2 1 1 2 11 .ρ ρ ρ ρt t t tD ρ ρ c c c β c− −

+ +⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦

Επομένως με δεδομένο ότι 0ρ > και 0,β > ( )2

21 0,D− > αν 1.ρ < Τέλος, ( ) ( )2 12

1 1 0ρtD ρ c −= − <

και επομένως, ( )1 11 0.D− < 3. Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας

1 2 1ln ln ,t tc β c ++ όπου 0.β >

Βρείτε την κατανάλωση του ατόμου την πρώτη περίοδο και τη δεύτερη περίοδο. Απάντηση


Το άτομο αντιμετωπίζει δύο εισοδηματικούς περιορισμούς, έναν για κάθε περίοδο:

1 1t tc s ω+ = (1)

και ( )2 1 1 21 .t t tc r s ω+ += + + (2)

Συνδυάζοντας αυτούς τους δύο περιορισμούς, εξαλείφοντας την αποταμίευση ,ts παίρνουμε τον δια βίου εισοδηματικό περιορισμό, ο οποίος σε όρους παρούσας αξίας είναι 2 1 2

1 11 1

.1 1

tt

t t

c ωc ωr r+

+ +

+ = ++ +

(3)

Για τη μεγιστοποίηση της συνάρτησης χρησιμότητας

1 2 1ln ln ,t tc β c ++ όπου 0>β (4) υπό τον εισοδηματικό περιορισμό (3) σχηματίζουμε τη συνάρτηση Lagrange

2 121 2 1 1 1

1 1ln ln

1 1t

t t tt t

cωL c β c λ ω cr r

++

+ +

⎛ ⎞= + + + − −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(5)

όπου λ δηλώνει τον πολλαπλασιαστή Lagrange.Οι αναγκαίες συνθήκες για μέγιστο είναι

1 1

10t t

L λc c∂

= ⇒ =∂

(6)

2 1 2 1 1

01t t t

L β λc c r+ + +

∂= ⇒ =

∂ + (7)

και ο εισοδηματικός περιορισμός (εξίσωση 3). Διαιρώντας τις εξισώσεις (6) και (7) κατά μέλη παίρνουμε τη γνωστή σχέση


2 11

11 ,t

tt

c rβ c

++= + (8)

σύμφωνα με την οποία ο οριακός λόγος υποκατάστασης είναι ίσος με το λόγο των τιμών. Συνδυάζοντας την εξίσωση (8) με τον εισοδηματικό περιορισμό (3) έχουμε

11

1

1 ,1 1

tt

t

ωcβ r

+

+

=+ +

(9)

2 1 1,1t tβc ωβ+ +=

+ (10)

όπου ( )1 1 1 21 .t tω r ω ω+ +≡ + + 4 (11)

4. Να επαναληφθεί η Άσκηση 3 χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση χρησιμότητας

1 2 1,ρ ρt t tu c βc += + όπου 0β > και 1 .

2ρ =

Απάντηση Γνωρίζουμε ότι το σημείο μεγιστοποίησης του καταναλωτή περιγράφεται α) από την εξίσωση του ΟΛϒ με το λόγο των τιμών ( 11 tr ++ ) και β) από τον δια βίου εισοδηματικό περιορισμό. Η πρώτη εξίσωση είναι (δείξτε αναλυτικά τον τρόπο εξαγωγής της χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Lagrange)

4 Ας σημειωθεί ότι η συνάρτηση χρησιμότητας, 1 2 1ln ln ,t tc β c ++ δίνει τις ίδιες

συναρτήσεις ζήτησης με τη συνάρτηση χρησιμότητας, 1 2 1,tβtc c ++ αφού η πρώτη

συνάρτηση είναι ένας θετικός μονότονος μετασχηματισμός της δεύτερης (Επιβεβαιώστε το! Βλ. και Παλυβός 2008, Παράδειγμα 6.3)


( )( )

1 21

11 22 1

1 ,tt

t

cr

β c

−

+−+

= +

ή ( )22

2 1 1 11 .t t tc β r c+ += + Αντικαθιστώντας στον δια βίου εισοδηματικό περιορισμό

2 1 21 1

1 1,

1 1t

tt t

c ωc ωr r+

+ +

+ = ++ +

έχουμε

( )2 21 1 1 1

11 ,

1t t tt

ωc β r c ωr++

+ + = ++

ή

( )2

1 1211

111 1t

tt

ωc ωrβ r ++

⎛ ⎞= +⎜ ⎟++ + ⎝ ⎠

(1)

και

( )( )

221 2

2 1 1211

1.

11 1t

ttt

β r ωc ωrβ r

++

++

+ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟++ + ⎝ ⎠

(2)

5. Για τη συνάρτηση χρησιμότητας της Άσκησης 3 να βρείτε τη συνάρτηση αποταμίευσης κάθε νέου ατόμου και τη συνολική συνάρτηση αποταμίευσης. Απάντηση Ο εισοδηματικός περιορισμός της πρώτης περιόδου είναι

1 1 .t ts ω c= − (1) Αντικαθιστώντας τη συνάρτηση κατανάλωσης της πρώτης περιόδου που βρήκαμε στην Άσκηση 3


1 1 21

1 1 ,1 1t

tc ω ω

β r +

⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

έχουμε ότι

1 21

1 1 .1 1t

ts βω ω

β r +

⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(2)

Τέλος, αφού όλα τα άτομα έχουν τις ίδιες προτιμήσεις και τα ίδια αποθέματα, η συνολική συνάρτηση αποταμίευσης είναι το Ν-οστό πολλαπλάσιο της ατομικής συνάρτησης

1 21

1 1 .1 1t t t t

tS N s N βω ω

β r +

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(3)

6. Για τη συνάρτηση χρησιμότητας της Άσκησης 4 να βρείτε τη συνάρτηση αποταμίευσης κάθε νέου ατόμου και τη συνολική συνάρτηση αποταμίευσης Απάντηση Ο εισοδηματικός περιορισμός της πρώτης περιόδου είναι

1 1 .t ts ω c= − Αντικαθιστώντας τη συνάρτηση κατανάλωσης της πρώτης περιόδου που βρήκαμε στην Άσκηση 4 έχουμε ότι

( )2

1 1211

1 .11 1t

tt

ωs ω ωrβ r ++

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟++ + ⎝ ⎠

(1)

Τέλος, η συνολική συνάρτηση αποταμίευσης είναι το Ν-στο πολλαπλάσιο της ατομικής

,t t tS N s= (2) όπου ts δίνεται από την εξίσωση (1).


7. Έστω μια οικονομία στην οποία οι προτιμήσεις περιγράφονται από τη συνάρτηση χρησιμότητας

( )1 2 1 , 1.βt t tu c c β+= =

Υποθέστε επίσης ότι 1 2,ω = 2 0.5,ω = 0 100N = και 0.05.n = Προσδιορίστε το σημείο γενικής ισορροπίας στην περίπτωση μιας κλειστής οικονομίας. Απάντηση Για την οικονομία που εξετάζουμε η συνολική συνάρτηση αποταμίευσης είναι

1 21

1 1 .1 1t t

tS N βω ω

β r +

⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(1)

(Βλ. εξίσωση 3 στην Άσκηση 5).

Επειδή πρόκειται για κλειστή οικονομία, στην ισορροπία 0tS = . Επομένως, από την εξίσωση (1) έχουμε

21

11 ,t

ωr tβω++ = ∀

ή, αντικαθιστώντας τις τιμές των παραμέτρων,

1 0.75 .tr t+ = − ∀ Τέλος, η ισορροπία είναι αυτάρκης και επομένως,

1 2 12 και 0.5 .t tc c t+= = ∀ (Επαληθεύστε τις τιμές για τις δύο καταναλώσεις αντικαθιστώντας την τιμή ισορροπίας του επιτοκίου, 1 0.75tr + = − , στις συναρτήσεις κατανάλωσης που βρέθηκαν στην Άσκηση 3, εξισώσεις 9 και 10).


8. Να προσδιοριστεί η γενική ισορροπία σε μια οικονομία όπου η συνάρτηση χρησιμότητας όλων των ατόμων είναι

1 2 11, 1, ,2

ρ ρt t tv c βc β ρ+= + = =

και τα αποθέματα όλων των ατόμων είναι 1 2ω = και 2 1.ω = Τέλος,

100 .tN t= ∀ Απάντηση Στην ισορροπία 0tS = και επειδή όλα τα άτομα έχουν τις ίδιες προτιμήσεις και τα ίδια αποθέματα 0.ts = Από την Άσκηση 6 γνωρίζουμε ότι με τις συγκεκριμένες προτιμήσεις

( )2

1 1211

1 .11 1t

tt

ωs ω ωrβ r ++

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟++ + ⎝ ⎠

Θέτοντας 0ts = έχουμε

( )2

1 1211

1 .11 1 tt

ωω ωrβ r ++

⎛ ⎞= +⎜ ⎟++ + ⎝ ⎠

Αντικαθιστώντας τις τιμές των παραμέτρων έχουμε

1 1

1 12 2 .2 1t tr r+ +

⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

Κάνοντας πράξεις καταλήγουμε στην εξίσωση δευτέρου βαθμού

21 12 4 1 0t tr r+ ++ + =

η οποία έχει δύο ρίζες


121

2r = − + και 2

21 .2

r = − −

Η δεύτερη ρίζα απορρίπτεται αφού είναι μικρότερη από 1.− Επομένως,

121 0.293 .

2r t= − + ≅ − ∀

Τέλος, η ισορροπία είναι αυτάρκης και επομένως

1 2 12 και 1 .t tc c t+= = ∀ (Επιβεβαιώστε την τελευταία πρόταση αντικαθιστώντας την τιμή του επιτοκίου, 1 1 2 2tr + = − + , στις συναρτήσεις ζήτησης για κατανάλωση που βρήκαμε στην Άσκηση 4, εξισώσεις 1 και 2). 9. Να επαναληφθεί η Άσκηση 8 όταν 1β = , 1 2ω = , 2 0.5,ω =

0 100N = και 0.05.n = Απάντηση Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία όπως στην Άσκηση 8 καταλήγουμε πάλι στην εξίσωση

( )2

1 1211

1 .11 1 tt

ωω ωrβ r ++

⎛ ⎞= +⎜ ⎟++ + ⎝ ⎠

Αντικαθιστώντας τις νέες τιμές των παραμέτρων έχουμε

1 1

1 0.52 2 .2 1t tr r+ +

⎛ ⎞= +⎜ ⎟+⎝ ⎠


Κάνοντας και πάλι πράξεις καταλήγουμε στην εξίσωση δευτέρου βαθμού:

21 14 8 3 0t tr r+ ++ + =

η οποία έχει δύο λύσεις

112

r = − και 23 ,2

r = −

από τις οποίες απορρίπτουμε τη δεύτερη επειδή είναι μικρότερη από

1.− Επομένως,

11 .2tr t+ = − ∀

Τέλος, η ισορροπία είναι αυτάρκης και επομένως,

1 2 12 και 1 2 .t tc c t+= = ∀ (Επιβεβαιώστε την τελευταία πρόταση αντικαθιστώντας στις εξισώσεις 1 και 2 της Άσκησης 4). 10. Έστω μια οικονομία με τα δεδομένα της Άσκησης 7. Στην προκειμένη όμως περίπτωση πρόκειται για μια ανοικτή οικονομία η οποία συναλλάσσεται σε ένα διεθνές επιτόκιο ίσο με τη μονάδα σε κάθε περίοδο. Να προσδιοριστεί η διαχρονική γενική ισορροπία. Απάντηση Όπως και στην Άσκηση 7 η ατομική συνάρτηση αποταμίευσης είναι

1 21

1 1 .1 1t

ts βω ω

β r +

⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(1)

Αντικαθιστώντας τις τιμές των παραμέτρων έχουμε

0.875 .ts t= ∀


Επίσης οι συναρτήσεις ζήτησης για κατανάλωση είναι

11 2 1 1

1

1 και c , ,1 1 1

tt t t

t

ω βc ω tβ r β

++ +

+

= = ∀+ + +

όπου ( )1 1 1 21 .t tω r ω ω+ += + + Αντικαθιστώντας και πάλι τις τιμές των παραμέτρων 1 2, ,β ω ω και του επιτοκίου, 1tr + βρίσκουμε

1 2 11.125 και 2.25 .t tc c t+= = ∀ 11. Έστω μια μικρή ανοικτή οικονομία όπου οι προτιμήσεις όλων των ατόμων περιγράφονται από τη συνάρτηση

( ) ( )1 2 11, 0, .2

ρ ρt t tu c β c β ρ+= + > =

Τα αποθέματα όλων των ατόμων είναι 1 2ω = και 2 1.ω = Επίσης

1β = , 0 100,N = 0.05n = και το διεθνές επιτόκιο σε κάθε περίοδο είναι ίσο με τη μονάδα. Να προσδιοριστεί η γενική ισορροπία. Απάντηση Η συνάρτηση αποταμίευσης κάθε ατόμου είναι (βλ. Άσκηση 6)

( )2

1 1211

1 .11 1t

tt

ωs ω ωrβ r ++

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟++ + ⎝ ⎠

Αντικαθιστώντας τις τιμές των παραμέτρων και του επιτοκίου έχουμε

1.167 .ts t= ∀ Επίσης οι συναρτήσεις ζήτησης για κατανάλωση είναι


( )2

1 1211

111 1t

tt

ωc ωrβ r ++

⎛ ⎞= +⎜ ⎟++ + ⎝ ⎠

και

( )( )

221 2

2 1 1211

111 1

tt

tt

β r ωc ωrβ r

++

++

+ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟++ + ⎝ ⎠

(βλ. Άσκηση 4). Αντικαθιστώντας και πάλι τις τιμές των παραμέτρων και του επιτοκίου έχουμε

1 2 10.833 και 3.333 .t tc c t+= = ∀ 12. Να επαναληφθεί η Άσκηση 11 με τα νέα δεδομένα: 1,β = 1ω = 2, 2 0.5,ω = 0 100N = και 0.05.n = Το διεθνές επιτόκιο παραμένει ίσο με 1. Απάντηση Αντικαθιστώντας στις συναρτήσεις κατανάλωσης της Άσκησης 4 βρίσκουμε

1 2 10.75 και 3 .t tc c t+= = ∀ Προσέξτε ότι η μόνη διαφορά μεταξύ των Ασκήσεων 11 και 12 είναι ότι μειώθηκε το απόθεμα της δεύτερης περιόδου. Η μείωση αυτή του αποθέματος οδήγησε σε μείωση της κατανάλωσης και των δύο περιόδων όπως προβλέπει η θεωρία. Τέλος, η αποταμίευση μετά τη μείωση του επιτοκίου θα είναι

1.25 .ts t= ∀


Ανταλλαγή ΙΙ


Σχολιάστε την εγκυρότητα των παρακάτω προτάσεων. Αν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σωστή κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε αυτές τις προϋποθέσεις. 1. Σε μια οικονομία όπου τα άτομα έχουν διαφορετικές προτιμήσεις, η ισορροπία είναι αυτάρκης. Απάντηση Η πρόταση δεν είναι απαραίτητα σωστή. Σε μια οικονομία όπου τα άτομα έχουν διαφορετικές προτιμήσεις υπάρχει χώρος για αμοιβαία επωφελείς συναλλαγές. Αυτό γιατί τα άτομα δίνουν διαφορετική αξία στην τωρινή ή στη μελλοντική κατανάλωση και επομένως έχουν συμφέρον να συνάψουν συναλλαγές μεταξύ τους. 2. Σε μια οικονομία όπου τα άτομα έχουν διαφορετικά αποθέματα, η ισορροπία είναι αυτάρκης. Απάντηση Η πρόταση δεν είναι απαραίτητα σωστή. Σε μια οικονομία όπου τα άτομα έχουν διαφορετικά αποθέματα υπάρχει χώρος για αμοιβαία επωφελείς συναλλαγές. Για παράδειγμα, θεωρείστε δύο άτομα, από τα οποία το ένα έχει ψηλό απόθεμα την πρώτη περίοδο της ζωής και το άλλο τη δεύτερη περίοδο. Τα δύο αυτά άτομα έχουν συμφέρον να συνάψουν δάνειο για να εξομαλύνουν την κατανάλωσή τους διαχρονικά.

Κεφάλαιο 7

142

3. Σε μια οικονομία όπου τα άτομα έχουν τις ίδιες προτιμήσεις και τα ίδια αποθέματα, η ισορροπία είναι αυτάρκης. Απάντηση Η πρόταση δεν είναι απαραίτητα σωστή. Για παράδειγμα, σε μια μικρή ανοιχτή οικονομία η ισορροπία δε θα είναι γενικά αυτάρκης, έστω και αν τα άτομα έχουν τις ίδιες προτιμήσεις και τα ίδια αποθέματα. Η πρόταση είναι σωστή υπό την προϋπόθεση ότι η οικονομία είναι κλειστή. 4. Σε μια οικονομία όπου τα άτομα έχουν διαφορετικές προτιμήσεις, η συνολική αποταμίευση είναι θετική. Απάντηση Η πρόταση δεν είναι απαραίτητα σωστή. Αν δεν υπάρχει η δυνατότητα αποθήκευσης του αγαθού τότε η συνολική αποταμίευση θα είναι μηδέν. Αν όμως υπάρχει η δυνατότητα αποθήκευσης του αγαθού, τότε, εκτός από πολύ ειδικές περιπτώσεις, η ατομική και η συνολική αποταμίευση θα είναι θετικές, ανεξαρτήτως του αν τα άτομα έχουν διαφορετικές προτιμήσεις ή όχι (βλ. Παλυβός 2008, Κεφάλαιο 9). 5. Σε μια οικονομία όπου τα άτομα έχουν διαφορετικά αποθέματα, η συνολική αποταμίευση είναι θετική. Απάντηση Η πρόταση δεν είναι απαραίτητα σωστή. Αν τα άτομα έχουν διαφορετικά αποθέματα τότε θα έχουν και διαφορετική αποταμίευση, κάποια άτομα θα έχουν θετική και κάποια αρνητική αποταμίευση. Αν όμως δεν υπάρχει η δυνατότητα μεταφοράς του αγαθού στην επόμενη περίοδο (αποθήκευση) τότε η συνολική αποταμίευση θα είναι μηδέν. Από την άλλη μεριά, αν υπάρχει η δυνατότητα αποθήκευσης του αγαθού, τότε, εκτός από πολύ ειδικές περιπτώσεις, η ατομική και η

Το Υπόδειγμα των Επικαλυπτόμενων Γενεών: Ανταλλαγή ΙΙ

143

συνολική αποταμίευση θα είναι θετικές, ανεξαρτήτως του αν τα άτομα έχουν διαφορετικά αποθέματα ή όχι (βλ. Παλυβός 2008, Κεφάλαιο 9). 6. Το επιτόκιο ισορροπίας είναι πάντα θετικός αριθμός. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Το (καθαρό) επιτόκιο πρέπει να είναι μεγαλύτερο από 1,− έτσι ώστε το μικτό επιτόκιο, που αποτελεί την τιμή της κατανάλωσης της πρώτης περιόδου, να είναι θετικός αριθμός.1


1. Έστω μια οικονομία όπου 100=tN t∀ και 1 2( , ) (5,14)ω ω = i∀ . Στην οικονομία αυτή ζουν 2 ομάδες, Α και Β, με 50 μέλη η κάθε ομάδα. Οι προτιμήσεις της ομάδας Α περιγράφονται από τη συνάρτηση

1 2 1,t t tu c cΑ Α Α+=

ενώ της Β από τη ( )2

1 2 1 .t t tu c cΒ Β Β+=

Να βρεθούν οι ατομικές συναρτήσεις κατανάλωσης και αποταμίευσης καθώς επίσης και η συνολική συνάρτηση αποταμίευσης. Απάντηση Θα πρέπει να βρεθούν πρώτα οι ατομικές καταναλώσεις. Το πρόβλημα των ατόμων που ανήκουν στην ομάδα Α είναι:

1 Υπενθυμίζεται ότι το μικτό επιτόκιο είναι ίσο με τη μονάδα συν το καθαρό.

Κεφάλαιο 7

144

Να μεγιστοποιηθεί ως προς 1tcΑ και 2 1tcΑ+ η συνάρτηση

1 2 1,t t tu c cΑ Α Α+= (1)

υπό τον περιορισμό

1 2 1 1 21 1

1 1 .1 1t t

t tc c ω ω

r rΑ Α Α Α

++ +

+ = ++ +

(2)

Η λύση περιγράφεται από δύο εξισώσεις: α) τον δια βίου εισοδηματικό περιορισμό (εξίσωση 2) και β) τη γνωστή συνθήκη

11 .t trΑ

+ΟΛϒ = + (3)

Από την εξίσωση (1) προκύπτει, ότι για τη συγκεκριμένη συνάρτηση χρησιμότητας, η εξίσωση (3) μπορεί να γραφεί ως

2 11

11 .t

tt

c rc

Α+

+Α = + (4)

Αντικαθιστώντας την εξίσωση (4) στον δια βίου εισοδηματικό περιορισμό (εξίσωση 2) έχουμε

21 1

12

1tt

ωc ωr

ΑΑ Α

+

= ++

,

ή

21 1

1

1 .2 1t

t

ωc ωr

ΑΑ Α

+

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

+⎝ ⎠ (5)

Στη συνέχεια, αντικαθιστώντας την (5) στην (4) βρίσκουμε

1 22 1 1

1

1 .2 1

tt

t

r ωc ωr

ΑΑ Α++

+

⎛ ⎞+= +⎜ ⎟

+⎝ ⎠ (6)


145

Οι εξισώσεις (5) και (6) αποτελούν τις ατομικές συναρτήσεις κατανάλωσης των ατόμων που ανήκουν στην ομάδα Α. Η ατομική τους συνάρτηση αποταμίευσης προκύπτει από τον εισοδηματικό περιορισμό της πρώτης περιόδου

1 1 ,t ts ω cΑ Α Α= −

ή, μετά από αντικατάσταση της εξίσωσης (5),

( )1 2

1.

2 2 1tt

ω ωsr

Α ΑΑ

+

= −+

(7)

Από την εξίσωση (5) έπεται ότι το επιτόκιο επηρεάζει αρνητικά την κατανάλωση της πρώτης περιόδου (ποιο αποτέλεσμα υπερισχύει;), ενώ από την εξίσωση (6) έχουμε ότι επηρεάζει θετικά την κατανάλωση της δεύτερης περιόδου. Τα αποθέματα επηρεάζουν θετικά και τις δύο καταναλώσεις. Από την εξίσωση (7) έχουμε ότι το επιτόκιο επηρεάζει θετικά την αποταμίευση. Τέλος όπως αναμένεται, τα αποθέματα της πρώτης και της δεύτερης περιόδου επηρεάζουν θετικά και αρνητικά, αντίστοιχα, την αποταμίευση.

Το πρόβλημα της ομάδας Β είναι τελείως ανάλογο. Τα άτομα αυτά συμπεριφέρονται ως εξής:

Να μεγιστοποιηθεί ως προς 1tcΒ και 2 1tcΒ+ η συνάρτηση

( )2

1 2 1t t tu c cΒ Β Β+= (8)

υπό τον περιορισμό

1 2 1 1 21 1

1 1 .1 1t t

t tc c ω ω

r rΒ Β Β Β

++ +

+ = ++ +

(9)

Οι συναρτήσεις ζήτησης για κατανάλωση προκύπτουν από την ταυτόχρονη λύση των εξισώσεων (9) και

11 .t trΒ

+ΟΛϒ = + (10)

Κεφάλαιο 7

146

Για τη συγκεκριμένη συνάρτηση χρησιμότητας της ομάδας Β, η εξίσωση (10) γράφεται

2 11

11 ,t

tt

c rc

Β+

+Β = + (11)

την οποία αν αντικαταστήσουμε στην (9) βρίσκουμε

21 1

1

1 .3 1t

t

ωc ωr

ΒΒ Β

+

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

+⎝ ⎠ (12)

Αντικαθιστώντας την (12) πίσω στην εξίσωση (11) παίρνουμε

( ) 22 1 1 1

1

2 1 .3 1t t

t

ωc r ωr

ΒΒ Β+ +

+

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

+⎝ ⎠ (13)

Τέλος, η ατομική συνάρτηση αποταμίευσης των ατόμων της ομάδας Β είναι

( )2

1 1 11

2 1 .3 3 1t t

t

ωs ω c ωr

ΒΒ Β Β Β

+

= − = −+

(14)

(Αναλύστε τις ιδιότητες των συναρτήσεων ζήτησης για κατανάλωση και αποταμίευση της ομάδας Β).

Η συνολική συνάρτηση αποταμίευσης είναι το άθροισμα των ατομικών αποταμιεύσεων. Δηλαδή 50 50 ,t t tS s sΑ Β= +

ή, αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (7) και (14),

( )1 2 2

11 1

2 150 .2 2 1 3 3 1t

t t

ω ω ωS ωr r

Α Α ΒΒ

+ +

⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦ (15)


147

Μπορούμε να απλοποιήσουμε τις συναρτήσεις που βρήκαμε αντικαθιστώντας τις δεδομένες τιμές για τα αποθέματα. Συγκεκριμένα, θέτοντας ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , 5,14ω ω ω ωΑ Α Β Β= = έχουμε

11

5 7 ,2 1t

tc

rΑ

+

= ++

(16)

1

2 117 5 ,

2t

trcΑ +

++

= + (17)

1

5 7 ,2 1t

ts

rΑ

+

= −+

(18)

1

1

5 14 1 ,3 3 1t

tc

rΒ

+

= ++

(19)

( )2 1 1

28 10 1 ,3 3t tc rΒ

+ += + + (20)

1

10 14 1 .3 3 1t

ts

rΒ

+

= −+

(21)

Τέλος, αντικαθιστώντας στην εξίσωση (15) και κάνοντας πράξεις βρίσκουμε

1

1750 1 1 .3 2 1t

tS

r +

⎛ ⎞= −⎜ ⎟+⎝ ⎠

(22)

2. Να βρεθεί το σημείο γενικής ισορροπίας σε μια οικονομία με τα δεδομένα της Άσκησης 1. Απάντηση Στην οικονομία που εξετάζουμε δεν είναι δυνατή η αποθήκευση και δεν υπάρχουν περιουσιακά στοιχεία. Επομένως, στην ισορροπία, η

Κεφάλαιο 7

148

συνολική αποταμίευση θα είναι ίση με μηδέν. Θέτοντας 0,tS = όπου

tS δίνεται από την εξίσωση (22) της Άσκησης 1, βρίσκουμε το επιτόκιο ισορροπίας 1.tr =

Αντικαθιστώντας την τιμή του επιτοκίου στις εξισώσεις (16)-(22) έχουμε

1 2 16, 12, 1 ,t t tc c s tΑ Α Α+= = = − ∀

1 2 14, 16, 1 .t t tc c s tΒ Β Β

+= = = ∀

Επομένως, τα άτομα της ομάδας Α καταναλώνουν περισσότερο από τα αποθέματά τους την πρώτη περίοδο. Τη διαφορά την καλύπτουν με δανεισμό, έχουν δηλαδή αρνητική αποταμίευση. Τη δεύτερη περίοδο καταναλώνουν ποσότητα μικρότερη από το απόθεμά τους και η διαφορά είναι ίση με τους τόκους που πληρώνουν ( )( )11 2 .t tr s++ =

Τα άτομα της ομάδας Β καταναλώνουν την πρώτη περίοδο λιγότερο από ότι τους επιτρέπει το απόθεμά τους. Έχουν δηλαδή θετική αποταμίευση. Τη δεύτερη περίοδο φυσικά καταναλώνουν ποσότητα μεγαλύτερη από το απόθεμά τους. Η διαφορά μεταξύ της κατανάλωσης τη δεύτερη περίοδο και του αποθέματός τους είναι ίση με τους τόκους που εισπράττουν. Η συνολική αποταμίευση είναι ίση με μηδέν. Επομένως, η ποσότητα που αποταμιεύει και δανείζει η ομάδα Β είναι ακριβώς ίση με την αρνητική αποταμίευση της ομάδας Α. Επιπλέον, επειδή οι δύο ομάδες είναι ισοπληθείς, η ποσότητα που δανείζει κάθε άτομο της ομάδας Β είναι ίση με την ποσότητα που δανείζεται κάθε άτομο της ομάδας Α. (Δείξτε ότι αν οι δύο ομάδες ζουν σε απομόνωση τότε το επιτόκιο στην οικονομία Α θα είναι 9 5 ενώ το επιτόκιο στην οικονομία Β θα είναι 2 3. Όπως δηλαδή αναμένεται, το επιτόκιο στη μικτή οικονομία είναι μεταξύ των δύο επιτοκίων αυτάρκειας. Εξηγήστε).

8. Ιδιότητες της Ισορροπίας


Σχολιάστε την εγκυρότητα των παρακάτω προτάσεων. Αν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σωστή κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε αυτές τις προϋποθέσεις. 1. Μια ανταγωνιστική ισορροπία είναι στατικά αποτελεσματική. Απάντηση Όταν υπάρχει πλήρης πληροφόρηση και δεν υπάρχουν εξωτερικές επιδράσεις, τότε η πρόταση είναι σωστή. Πρόκειται για το Πρώτο Θεώρημα της Οικονομικής της Ευημερίας. 2. Μια ανταγωνιστική ισορροπία είναι δυναμικά αποτελεσματική. Απάντηση Η πρόταση δεν είναι απαραίτητα σωστή. Μια ανταγωνιστική οικονομία δεν είναι πάντα δυναμικά αποτελεσματική, ακόμη και αν είναι στατικά αποτελεσματική. Για παράδειγμα, αν περιοριστούμε σε στάσιμες οικονομίες, τότε αν ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού είναι μεγαλύτερος από το επιτόκιο, η οικονομία δεν είναι δυναμικά αποτελεσματική. 3. Μια δυναμικά αποτελεσματική ισορροπία είναι και στατικά αποτελεσματική. Απάντηση


Η πρόταση είναι σωστή. Η στατική αποτελεσματικότητα είναι απαραίτητη προϋπόθεση για δυναμική αποτελεσματικότητα. Σχηματικά, δυναμικά αποτελεσματική στατικά αποτελεσματική ⇒

4. Μια στατικά αποτελεσματική ισορροπία είναι και δυναμικά αποτελεσματική. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Μια στατικά αποτελεσματική οικονομία δεν είναι απαραίτητα και δυναμικά αποτελεσματική. Σχηματικά, στατικά αποτελεσματική ⇒δυναμικά αποτελεσματική .

5. Μια ανταγωνιστική ισορροπία είναι δυναμικά αποτελεσματική αν το επιτόκιο είναι μεγαλύτερο από το ρυθμό μεταβολής του προϊόντος. Απάντηση Για τις οικονομίες που εξετάζουμε, ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής του προϊόντος. Επομένως, η πρόταση είναι σωστή, υπό την προϋπόθεση ότι η ανταγωνιστική ισορροπία είναι ήδη στατικά αποτελεσματική. 6. Μια ανταγωνιστική ισορροπία είναι δυναμικά αποτελεσματική αν το επιτόκιο είναι μεγαλύτερο από το ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού. Απάντηση Η πρόταση είναι σωστή, υπό την προϋπόθεση ότι η ανταγωνιστική ισορροπία είναι ήδη στατικά αποτελεσματική.

Ιδιότητες της Ισορροπίας 151

7. Μια κατανομή είναι στατικά αποτελεσματική αν και μόνο αν είναι εφικτή. Απάντηση Μια στατικά αποτελεσματική κατανομή είναι ακριβώς εφικτή και επομένως εφικτή. Δηλαδή στατικά αποτελεσματική ακριβώς εφικτή εφικτή.⇒ ⇒

Όμως μια εφικτή κατανομή δεν είναι απαραίτητα στατικά αποτελεσματική, πρώτον γιατί μπορεί να μην είναι ακριβώς εφικτή και δεύτερο γιατί μπορεί η δεύτερη συνθήκη για στατική αποτελεσματικότητα (εξίσωση όλων των οριακών λόγων υποκατάστασης) να μην ισχύει. Επομένως, μόνο το «μόνο αν» τμήμα της πρότασης είναι σωστό. εφικτή ⇒ ακριβώς εφικτή ⇒στατικά αποτελεσματική.

8. Μια κατανομή είναι στατικά αποτελεσματική αν και μόνο αν είναι ακριβώς εφικτή. Απάντηση Μια στατικά αποτελεσματική κατανομή είναι απαραίτητα ακριβώς εφικτή. Όπως όμως και στην Ερώτηση 7 μια ακριβώς εφικτή κατανομή δεν είναι απαραίτητα στατικά αποτελεσματική, αφού η δεύτερη προϋπόθεση (εξίσωση όλων των ΟΛϒ ) μπορεί να μην ισχύει. Επομένως, μόνο το «μόνο αν» τμήμα της ερώτησης είναι σωστό. 9. Μια κατανομή είναι δυναμικά αποτελεσματική αν και μόνο αν είναι εφικτή. Απάντηση


Μια δυναμικά αποτελεσματική κατανομή είναι απαραίτητα ακριβώς εφικτή και επομένως εφικτή. Μια εφικτή κατανομή όμως δεν είναι απαραίτητα δυναμικά αποτελεσματική αφού μπορεί να μην είναι ούτε καν στατικά αποτελεσματική. Σχηματικά, δυναμικά αποτελεσματική στατικά αποτελεσματική

ακριβώς εφικτή εφικτή.⇒ ⇒

⇒

Όμως, εφικτή ⇒ακριβώς εφικτή ⇒ στατικά αποτελεσματική

⇒δυναμικά αποτελεσματική .

10. Μια κατανομή είναι δυναμικά αποτελεσματική αν και μόνο αν είναι ακριβώς εφικτή. Απάντηση Το «μόνο αν» τμήμα της πρότασης είναι σωστό. Μια κατανομή είναι δυναμικά αποτελεσματική μόνο αν είναι ακριβώς εφικτή. Αν όμως είναι ακριβώς εφικτή τότε δεν είναι απαραίτητα δυναμικά αποτελεσματική. 11. Η ανταγωνιστική ισορροπία σε μια μικρή ανοικτή οικονομία είναι αποτελεσματική. Απάντηση Η πρόταση δεν είναι απαραίτητα σωστή. Μια ανταγωνιστική ισορροπία σε μια μικρή ανοικτή οικονομία είναι στατικά αποτελεσματική αν υπάρχει πλήρης πληροφόρηση και δεν υπάρχουν εξωτερικές επιδράσεις. Το αν είναι όμως δυναμικά αποτελεσματική ή όχι εξαρτάται από τη σχέση του ρυθμού μεταβολής του πληθυσμού και του επιτοκίου. 12. Μια ανταγωνιστική ισορροπία σε μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών στην οποία ο αριθμός των περιόδων/γενεών είναι περιορισμένος είναι στατικά και δυναμικά αποτελεσματική.


Απάντηση Η πρόταση είναι σωστή, υπό την προϋπόθεση και πάλι ότι υπάρχει πλήρης πληροφόρηση και δεν υπάρχουν εξωτερικές επιδράσεις. Ας δούμε γιατί. Έστω ένας πεπερασμένος αριθμός ατόμων, ας πούμε 5, τα οποία βρίσκονται πάνω σε μια γραμμή (βλ. Σχήμα 1).

Σχήμα 1. Κάθε διανομή μεταξύ ενός πεπερασμένου αριθμού ατόμων είναι άριστη κατά Pareto.

Κάθε ένα από αυτά τα άτομα έχει δύο σοκολάτες. Στη συνέχεια ας υποθέσουμε ότι κάθε ένας από αυτούς δίνει μια σοκολάτα στο άτομο που βρίσκεται στα δεξιά του, δηλαδή ο 5 δίνει μια σοκολάτα στον 4, ο 4 στον 3, κ.ο.κ. Στο τέλος όλοι θα έχουν πάλι δύο σοκολάτες εκτός από τον 1 που θα έχει τρεις και τον 5 που θα έχει μία. Κατά συνέπεια η αναδιανομή που έγινε δεν αποτελεί βελτίωση κατά Pareto αφού ο 1 κέρδισε αλλά ο 5 έχασε. Το ίδιο συμβαίνει με οποιαδήποτε άλλη αναδιανομή. Αν για παράδειγμα, το κάθε άτομο δώσει μια σοκολάτα σε αυτόν που βρίσκεται στα αριστερά του, δηλαδή ο 1 δώσει μια σοκολάτα στον 2, ο 2 στον 3, κ.ο.κ. στο τέλος ο 1 θα είναι χαμένος και ο 5 κερδισμένος, δηλαδή και πάλι η αναδιανομή δεν αποτελεί βελτίωση κατά Pareto. Όλα αυτά συμβαίνουν επειδή η αρχική κατανομή είναι άριστη, γεγονός που σημαίνει ότι ξεκινώντας από αυτή δεν μπορεί να υπάρξει βελτίωση.

1 2 3 4 5



1. Έστω μια οικονομία για την οποία ισχύουν τα εξής δεδομένα: 0 50,N = 0,n = 100tY ,= 1 3 / 4c = και 2 1/ 2,c = 1t∀ ≥ . Εξετάστε

αν η δεδομένη κατανομή είναι εφικτή καθώς επίσης και αν είναι ακριβώς εφικτή. Απάντηση Αφού ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού ( n ) είναι ίσος με το μηδέν έχουμε 50 .tN t= ∀ Επομένως η συνολική κατανάλωση είναι

1 250 50 .t t tc c C+ = Εφικτή είναι κάθε κατανομή για την οποία ισχύει

1 250 50 100t tc c+ ≤

και ακριβώς εφικτή κάθε κατανομή για την οποία η παραπάνω σχέση ισχύει μόνο ως ισότητα. Για τη συγκεκριμένη κατανομή, όπου

1 3 4c = και 2 1 2c = , έχουμε 3 1 12550 50 100.

4 2 2+ = <

Επομένως, η κατανομή αυτή είναι εφικτή, αλλά όχι ακριβώς εφικτή. 2. Να βρεθεί η γραμμή καταναλωτικών δυνατοτήτων για μια οικονομία με τα δεδομένα της Άσκησης 1. Απάντηση Η γραμμή καταναλωτικών δυνατοτήτων είναι

1 250 50 100,t tc c+ =

ή

2 12 .t tc c= −


3. Να εξετασθεί αν είναι δυναμικά αποτελεσματικές οι ισορροπίες στις Ασκήσεις 6.7, 6.8 και 6.9. Απάντηση Για να είναι μια κατανομή σε μια στάσιμη οικονομία, όπως αυτές που εξετάζουμε, δυναμικά αποτελεσματική θα πρέπει να είναι α) στατικά αποτελεσματική και β) το επιτόκιο να είναι μεγαλύτερο ή ίσο με το ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού. Υπενθυμίζεται ακόμη ότι για στατική αποτελεσματικότητα σε μια ανταλλακτική οικονομία απαιτείται α) η κατανομή να είναι ακριβώς εφικτή και β) οι ΟΛΥ όλων των ατόμων ν είναι ίσοι μεταξύ τους.

Στις Ασκήσεις 6.7, 6.8 και 6.9, η ισορροπία είναι αυτάρκης, δηλαδή, 1 1tc ω= και 2 2 .tc ω t= ∀ Επομένως,

1 1 2 1 1 2t t t t t t tN c N c Y N ω N ω− −+ = = +

και η ισορροπία είναι ακριβώς εφικτή (βρίσκεται δηλαδή πάνω στη γραμμή καταναλωτικών δυνατοτήτων).

Επίσης, κάθε άτομο εξισώνει τον οριακό του λόγο υποκατάστασης με 11 .tr ++ Με κοινό επιτόκιο για όλα τα άτομα, οι οριακοί λόγοι υποκατάστασης είναι αναγκαστικά ίσοι μεταξύ τους. Κατά συνέπεια και στις τρεις οικονομίες η ισορροπία είναι στατικά άριστη.

Στην ισορροπία της Άσκησης 6.7, 0.75tr t= − ∀ , ενώ 0.05.n = Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η ισορροπία δεν είναι δυναμικά άριστη. Το ίδιο συμβαίνει και στην Άσκηση 6.8, όπου 0.293 0,tr n= − < = και στην Άσκηση 6.9, όπου 0.5 0.05.tr n= − < =

9. Αποθήκευση


Σχολιάστε την εγκυρότητα των παρακάτω προτάσεων. Αν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σωστή κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε αυτές τις προϋποθέσεις.

1. Σε μια οικονομία με αποθήκευση η ανταγωνιστική ισορροπία είναι αποτελεσματική. Απάντηση Η πρόταση δεν είναι απαραίτητα σωστή. Καταρχήν, η ανταγωνιστική ισορροπία είναι πάντα στατικά αποτελεσματική, υπό τις προϋποθέσεις της πλήρους πληροφόρησης και της έλλειψης εξωτερικών επιδράσεων. Για να είναι όμως και δυναμικά αποτελεσματική θα πρέπει το επιτόκιο ισορροπίας, το οποίο είναι ίσο με το ποσοστό απόδοσης της αποθήκευσης, να είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού. 2. Σε μια οικονομία με αποθήκευση, στην ισορροπία, η συνολική αποταμίευση είναι ίση με το μηδέν. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Σε μια οικονομία με αποθήκευση, στην ισορροπία, η συνολική αποταμίευση είναι ίση με το συνολικό προϊόν που αποθηκεύεται. 3. Σε μια οικονομία με αποθήκευση το επιτόκιο ισορροπίας είναι μεγαλύτερο από το ποσοστό απόδοσης από την αποθήκευση. Απάντηση


Η πρόταση είναι λανθασμένη. Σε μια οικονομία με αποθήκευση το επιτόκιο ισορροπίας είναι ίσο με το ποσοστό απόδοσης της αποθήκευσης. Αν το επιτόκιο ήταν μεγαλύτερο από το ποσοστό απόδοσης από την αποθήκευση, τότε κανείς δε θα ήθελε να αποθηκεύσει και όλοι θα ήθελαν να δανείσουν προϊόν. Κάτι τέτοιο όμως δεν είναι δυνατόν, αφού για να υπάρχουν δανειστές θα πρέπει να υπάρχουν και δανειζόμενοι. 4. Σε μια οικονομία με αποθήκευση το επιτόκιο ισορροπίας είναι διαχρονικά σταθερό. Απάντηση Η πρόταση δεν είναι απαραίτητα σωστή. Το επιτόκιο ισορροπίας είναι ίσο με το ποσοστό απόδοσης από την αποθήκευση. Επομένως, αν το ποσοστό απόδοσης είναι σταθερό τότε θα είναι σταθερό και το επιτόκιο. 5. Τα άτομα δεν αποθηκεύουν μονάδες του αγαθού αν το ποσοστό απόδοσης είναι ίσο με 1− . Απάντηση Η πρόταση είναι σωστή. Αν το ποσοστό απόδοσης φ είναι ίσο με 1− τότε για κάθε μονάδα που αποθηκεύεται την επόμενη περίοδο το άτομο θα λάβει 1 1 1 0.φ+ = − = Επομένως, αν όπως υποθέτουμε, δεν υπάρχει σημείο κορεσμού, το άτομο προτιμά να καταναλώσει τη μονάδα του αγαθού την πρώτη περίοδο. Ουσιαστικά, όταν 1φ = − δεν υπάρχει η δυνατότητα αποθήκευσης. 6. Η ανταγωνιστική ισορροπία σε μια οικονομία στην οποία το ποσοστό απόδοσης της αποθήκευσης είναι μεγαλύτερο από το ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού είναι στατικά και δυναμικά αποτελεσματική. Απάντηση

Αποθήκευση 159

1c

2c

Η πρόταση είναι σωστή. Καταρχήν, οι υποθέσεις περί μεγιστοποίησης διασφαλίζουν ότι όλα τα άτομα καταναλώνουν τα αποθέματά τους και επομένως η οικονομία βρίσκεται πάνω στην καμπύλη καταναλωτικών δυνατοτήτων. Επίσης, κάθε άτομο εξισώνει τον ΟΛϒ του με 1 φ+ και επομένως όλοι οι ΟΛϒ είναι ίσοι μεταξύ τους. Όλα τα παραπάνω εξασφαλίζουν ότι η ανταγωνιστική ισορροπία είναι στατικά αποτελεσματική.

Επιπλέον, αφού ,φ r n= > ο κοινωνικός σχεδιαστής δεν είναι σε θέση να βελτιώσει τη θέση ενός ατόμου χωρίς να χειροτερεύσει τη θέση κάποιου άλλου. Διαγραμματικά η καμπύλη καταναλωτικών δυνατοτήτων που προκύπτει όταν ο κοινωνικός σχεδιαστής χρησιμοποιεί την αποθήκευση είναι στα δεξιά αυτής που προκύπτει όταν βασίζεται στην μεταβολή του πληθυσμού. Η πρώτη μέθοδος αποταμίευσης (αποθήκευση) είναι διαθέσιμη και στα άτομα. Επομένως, ο κοινωνικός σχεδιαστής δεν μπορεί να πετύχει τίποτα που δεν μπορούν να πετύχουν τα άτομα από μόνα τους. Διαγραμματικά αυτό παρουσιάζεται στο Σχήμα 1.

Σχήμα 1. Δυναμική αποτελεσματικότητα σε μια οικονομία με αποθήκευση )( n>φ

κλίση = )1( n+−

κλίση = )1( φ+−

1ω

1)1( ωφ+

1)1( ωn+



1. Έστω μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών στην οποία όλα τα άτομα έχουν τις ίδιες προτιμήσεις:

1 2 11ln ln .

1t t tu c cρ += +

+ (1)

Όλα τα άτομα λαμβάνουν απόθεμα 1ω μόνο στην πρώτη περίοδο του βίου τους, δηλαδή 2 0.ω = Κάθε άτομο έχει τη δυνατότητα να αποθηκεύσει όσες μονάδες επιθυμεί. Για κάθε μονάδα που αποθηκεύεται το άτομο λαμβάνει την επόμενη περίοδο 1 ,φ+ όπου

1.φ ≥ − Να βρεθούν οι συναρτήσεις ζήτησης για κατανάλωση και η συνάρτηση αποταμίευσης. Απάντηση Τα άτομα μεγιστοποιούν τη συνάρτηση χρησιμότητας (1) υπό τους δύο εισοδηματικούς περιορισμούς

1 1,t tc s ω+ = (2)

( )2 1 1 .t tc φ s+ = + (3)

Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (2) και (3) έχουμε 2 1

1 1.1t

tcc ωφ++ =+

(4)

Στη συνέχεια σχηματίζουμε τη συνάρτηση του Lagrange για το παραπάνω πρόβλημα μεγιστοποίησης.

2 11 2 1 1 1

1ln ln .1 1

tt t t t

cL c c λ ω cρ φ

++

⎛ ⎞= + + − −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠


Οι αναγκαίες συνθήκες για μέγιστο, εκτός του εισοδηματικού περιορισμού (4), είναι

1

1 ,tt

λc

= (5)

2 1

1 1 1 .1 1t

tλ

ρ c φ+

=+ +

(6)

Διαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις (5) και (6) έχουμε ότι 2 1

1

1 .1

t

t

c φc ρ+ +=

+ (7)

Αντικαθιστώντας την (7) στην (4) έχουμε 1

1 1,1

tt

cc ωρ

+ =+

ή

1 11 .2t

ρc ωρ

+=

+ (8)

Αντικαθιστώντας την εξίσωση (8) στην (7) έχουμε

2 1 11 .2tφc ωρ+

+=

+ (9)

Οι εξισώσεις (8) και (9) αποτελούν τις συναρτήσεις ζήτησης για κατανάλωση την πρώτη και τη δεύτερη περίοδο, αντίστοιχα.

Αντικαθιστώντας την εξίσωση (8) στην εξίσωση (2) παίρνουμε τη συνάρτηση αποταμίευσης

11 .

2ts ωρ

=+

(10)


2. Να βρεθεί η γενική ισορροπία για την οικονομία της Άσκησης 1. Απάντηση Στην ισορροπία το επιτόκιο είναι ίσο με το ποσοστό απόδοσης της αποθήκευσης, δηλαδή 1.tr φ t= ∀ ≥

Επίσης από την προηγούμενη άσκηση έχουμε ότι

1 1 2 1 11 1 και .2 2t t

ρ φc ω c ωρ ρ+

+ += =

+ +

3. Έστω η οικονομία της Άσκησης 1 με 3.0=φ και 03.0=n . Να προσδιοριστεί αν η ανταγωνιστική ισορροπία (βλ. Άσκηση 2) είναι δυναμικά αποτελεσματική. Απάντηση Έστω tΚ το ποσό που αποθηκεύεται την περίοδο t. Το σύνολο καταναλωτικών δυνατοτήτων για αυτήν την οικονομία είναι

1 1(1 ) ,t t t tC N ω φ −+Κ = + + Κ (1) όπου tC η συνολική κατανάλωση. Από την Άσκηση 1 γνωρίζουμε ότι

11

2ts ωρ

=+

και επομένως

11 .

2t t tS N ωρ

Κ = =+

(2)

Επίσης, εξ’ ορισμού


1 2 1 ,t t t t tC N c N c−= + (3)

όπου

2 112tφc ωρ

+=

+ και 1 1

1 ,2t

ρc ωρ

+=

+ (4)

όπως βρέθηκαν στην Άσκηση 1. Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (2), (3) και (4), στη σχέση (1), βλέπουμε ότι αυτή ισχύει ως ισότητα. Κατά συνέπεια, η ισορροπία είναι ακριβώς εφικτή.

Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι ο κάθε καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του όταν (βλ. εξίσωση 7 στην Άσκηση 1) 2 1

1

(1 ) 1tt

t

ρ c φc

++ΟΛΥ = = + (5)

και επομένως οι ΟΛΥ όλων των καταναλωτών είναι ίσοι μεταξύ τους. Αφού η ισορροπία είναι ακριβώς εφικτή και οι ΟΛΥ όλων των ατόμων είναι ίσοι μεταξύ τους, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η ισορροπία που βρέθηκε στην Άσκηση 2 είναι στατικά αποτελεσματική.

Τέλος, 0.3 0.03.tφ r n= = > =

Επομένως, η ισορροπία είναι και δυναμικά αποτελεσματική.


Παραγωγή


Οι παρακάτω ερωτήσεις αναφέρονται στο βασικό υπόδειγμα οικονομικής μεγέθυνσης σε μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών με προτιμήσεις ( )1 2 1 ,βt t tu c c += συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas και χωρίς τεχνολογική πρόοδο. Σχολιάστε την εγκυρότητα των προτάσεων. Αν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σωστή κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε αυτές τις προϋποθέσεις. 1. Χώρες με ψηλότερο ποσοστό αποταμίευσης θα έχουν ψηλότερο κατά κεφαλήν εισόδημα. Απάντηση Η πρόταση είναι σωστή, υπό την προϋπόθεση ότι όλα τα άλλα χαρακτηριστικά των χωρών παραμένουν τα ίδια. Για παράδειγμα, η βασική εξίσωση διαφορών που περιγράφει τη μεταβολή του κεφαλαίου όταν οι προτιμήσεις είναι ( )1 2 1

βt t tu c c += και η

συνάρτηση παραγωγής 1 ,α αt t tY A K L −= είναι

( )1

1 1 ,1 1

αt t

βk α Akn β+ = −

+ + (1)

όπου .t t tk K L≡ Με τις συγκεκριμένες προτιμήσεις το ποσοστό αποταμίευσης είναι (1 )β β+ . Το Σχήμα 1 δείχνει την επίδραση μιας αύξησης στην παράμετρο β και επομένως στο ποσοστό αποταμίευσης.


Σχήμα 1. Μια αύξηση στο ποσοστό αποταμίευσης θα οδηγήσει σε ψηλότερο κεφάλαιο ανά εργαζόμενο

* *2 1( ).k k>

2. Χώρες με ψηλότερη αποτελεσματικότητα στην παραγωγή (μεγαλύτερη τιμή για τη σταθερά Α στη συνάρτηση παραγωγής) θα έχουν ψηλότερο κατά κεφαλήν εισόδημα. Απάντηση Η πρόταση είναι σωστή. Διαγραμματικά μια αύξηση στην παράμετρο A είναι ανάλογη μιας αύξησης στο β (βλ. εξίσωση 1 της προηγούμενης άσκησης και Σχήμα 1). 3. Χώρες που ξεκινούν από διαφορετικές αρχικές συνθήκες τείνουν να συγκλίνουν ως προς το βιοτικό τους επίπεδο. Απάντηση Η πρόταση δεν είναι απαραίτητα σωστή. Χώρες που ξεκινούν από διαφορετικές αρχικές συνθήκες αλλά είναι πανομοιότυπες ως προς

045 Ψηλότερο β

*1k *

1k tk

1tk +

Το Υπόδειγμα των Επικαλυπτόμενων Γενεών: Παραγωγή 197

όλα τα άλλα χαρακτηριστικά συγκλίνουν ως προς το βιοτικό τους επίπεδο. Αν όμως διαφέρουν, για παράδειγμα, ως προς το ποσοστό αποταμίευσης ή την παραγωγικότητά τους, τότε δε θα συγκλίνουν (βλ. Ερωτήσεις 1 και 2). 4. Το βασικό υπόδειγμα οικονομικής μεγέθυνσης που αναφέρεται σε μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών χωρίς τεχνολογική πρόοδο είναι σε θέση να εξηγήσει τα τυποποιημένα χαρακτηριστικά της οικονομικής μεγέθυνσης. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Το συγκεκριμένο υπόδειγμα δεν μπορεί να εξηγήσει, για παράδειγμα, την παρατηρούμενη διαρκή αύξηση στο κατά κεφαλήν εισόδημα. 5. Στο βασικό υπόδειγμα οικονομικής μεγέθυνσης που αναφέρεται σε μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών χωρίς τεχνολογική πρόοδο η ισορροπία σταθερής καταστάσεως είναι μοναδική και ευσταθής ακόμη και με συναρτήσεις παραγωγής διαφορετικές από την Cobb-Douglas. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Για παράδειγμα, με συνάρτηση παραγωγής σταθερής ελαστικότητας υποκατάστασης, γνωστή ως CES, ( )

11 , , 0, 1,

ρρ ρt t tY A αK α L A α ρ

−− −⎡ ⎤= + − > > −⎣ ⎦

μπορούν να προκύψουν πολλαπλές ισορροπίες όπως αυτές που εμφανίζονται στο Σχήμα 2.


Σχήμα 2. Με συναρτήσεις παραγωγής διαφορετικές από την Cobb-Douglas μπορούν να προκύψουν πολλαπλές ισορροπίες.

6. Στο βασικό υπόδειγμα οικονομικής μεγέθυνσης που αναφέρεται σε μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών χωρίς τεχνολογική πρόοδο ο ρυθμός αύξησης του κατά κεφαλήν προϊόντος στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως είναι μηδέν. Απάντηση Η πρόταση είναι σωστή. Στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως το κεφάλαιο ανά εργαζόμενο k είναι σταθερό. Κατά συνέπεια και το προϊόν ανά εργαζόμενο ( ) αy f k Ak= = είναι σταθερό, όπως είναι

και το κατά κεφαλήν προϊόν ( )1 .t t tY N N −+ Επομένως, ο ρυθμός μεταβολής όλων αυτών των μεταβλητών είναι μηδέν. 7. Στο βασικό υπόδειγμα οικονομικής μεγέθυνσης που αναφέρεται σε μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών χωρίς τεχνολογική πρόοδο ο

2k∗ 1k∗ tk

1+tk


ρυθμός αύξησης του συνολικού προϊόντος στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως είναι μηδέν. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως, το προϊόν ανά εργαζόμενο είναι σταθερό και κατά συνέπεια, το συνολικό προϊόν, ,t t tY N y=

αναπτύσσεται με ρυθμό ίσο με το ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού.


1. Να βρεθούν οι συναρτήσεις ζήτησης για κεφάλαιο και εργασία όταν υπάρχει φυσική απόσβεση του κεφαλαίου με ρυθμό δ . Απάντηση Όταν υπάρχει φυσική απόσβεση του κεφαλαίου με ρυθμό δ το κέρδος της επιχείρησης είναι 1 ,A K L w L r K K−Π = − − −α α δ (1)

όπου Π είναι το κέρδος, K το κεφάλαιο, L η εργασία, w ο μισθός. και r το επιτόκιο. Μεγιστοποιώντας το κέρδος ως προς K και L έχουμε ( )0 1 ,A K L w

L−∂Π

= ⇒ − =∂

α αα (2)

1 10 .A K L rK

− −∂Π= ⇒ = +

∂α αα δ (3)

Σύμφωνα με τις σχέσεις (2) και (3), η αξία του οριακού προϊόντος κάθε συντελεστή, που γενικά είναι ίση με την τιμή του προϊόντος επί


το οριακό προϊόν του συντελεστή, πρέπει να είναι ίση με την τιμή του συντελεστή. Αυτό ισχύει διότι η αξία του οριακού προϊόντος ενός συντελεστή μετράει την αύξηση στα έσοδα της επιχείρησης από την απασχόληση μιας επιπλέον μονάδας του συντελεστή, ενώ η τιμή του συντελεστή μετράει την αύξηση στο κόστος. Στην προκειμένη βέβαια περίπτωση, η τιμή του προϊόντος έχει τυποποιηθεί στη μονάδα, ή, με άλλα λόγια, οι τιμές των συντελεστών είναι σε πραγματικούς όρους. Εναλλακτικά, η εξίσωση (1) μπορεί να γραφεί ως 1 ,p A K L W L R K K−′Π = − − −α α δ (1′ )

όπου , p W και R συμβολίζουν την τιμή του προϊόντος, τον ονομαστικό μισθό και το ονομαστικό επιτόκιο, αντίστοιχα. Η μεγιστοποίηση της (1′ ) οδηγεί στις ( )1 ,p A K L W−− =α αα ( 2′ )

1 1 .p A K L R− − = +α αα δ ( 3′ ) Θέτοντας 1, p W w= = και R r= στις ( 2′ ) και ( 3′ ) παίρνουμε τις εξισώσεις (2) και (3).

Στη συνέχεια, θεωρήστε την περίπτωση όπου η διεύθυνση μιας επιχείρησης εξετάζει αν θα πρέπει να απασχολήσει έναν ακόμη εργαζόμενο με σκοπό πάντα την αύξηση του κέρδους. Η πρόσθεση ενός επιπλέον εργαζόμενου στο προσωπικό της επιχείρησης θα αυξήσει τα έσοδα της κατά το οριακό προϊόν της εργασίας, δηλαδή κατά ( ) 11 A K L −− α αα και το κόστος της κατά w . Επομένως, αν

( ) 11 A K L w−− >α αα η επιχείρηση θα πρέπει να προσλάβει έναν

εργαζόμενο, ενώ αν ( ) 11 ,A K L w−− <α αα θα πρέπει να απολύσει τον τελευταίο εργαζόμενο που προσέλαβε. Στο σημείο όπου τα κέρδη της επιχείρησης μεγιστοποιούνται θα πρέπει η αύξηση στα έσοδα να είναι ίση με την αύξηση του κόστους. Ανάλογες παρατηρήσεις ισχύουν και για το συντελεστή κεφάλαιο.

Τέλος, σε όρους κεφαλαίου/εργασίας, k K L≡ , οι εξισώσεις (2) και (3) μπορούν να γραφούν ως


( )1 ,Ak w− =αα (4)

1 .Ak r− = +αα δ (5) 2. Σε μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών με προτιμήσεις ( )1 2 1 ,βt t tu c c += συνάρτηση παραγωγής 1α α

t t tY A K L −= και ρυθμό απόσβεσης του κεφαλαίου δ να βρεθεί η εξίσωση διαφορών που περιγράφει την εξέλιξη του κεφαλαίου ανά εργαζόμενο. Απάντηση Στην ισορροπία η συνολική αποταμίευση των νέων θα πρέπει να είναι ίση με το συνολικό κεφάλαιο της επόμενης περιόδου, δηλαδή 1,t t tN s K +=

όπου tN ο πληθυσμός της γενεάς t και ts η αποταμίευση κάθε μέλους αυτής γενεάς. Επειδή, ( )1 1t tN n N+ = + και t tL N= , δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού είναι σταθερός και η απασχολούμενη εργασία είναι ίση με τον αριθμό των νέων κάθε περιόδου, έχουμε ( ) 11 ,t ts n k += + (1)

όπου 1 1 1.t t tk K L+ + += Γνωρίζουμε ότι με τις συγκεκριμένες προτιμήσεις

1t tβs wβ

=+

και επομένως, η εξίσωση (1) γράφεται ως


( ) 11 ,1 t tβ w n kβ += +

+

ή, επειδή ο μισθός ισορροπίας είναι ( )1 α

t tw α Ak= − (βλ. εξίσωση 4 της προηγούμενης άσκησης), ( )1

1 1 .1 1

αt t

βk α kn β+ = −

+ +

Βλέπουμε δηλαδή ότι η βασική εξίσωση διαφορών του υποδείγματος δε μεταβάλλεται όταν υπάρχει απόσβεση κεφαλαίου (συγκρίνετε την παραπάνω εξίσωση με την εξίσωση 1 της Ερώτησης 1). Αυτό συμβαίνει διότι με τις συγκεκριμένες προτιμήσεις η αποταμίευση είναι ανεξάρτητη του επιτοκίου.

Γενικά όμως έχουμε ότι η αποταμίευση είναι συνάρτηση τόσο του μισθού όσο και του επιτοκίου, ( )1,t ts w r + . Σε αυτήν τη γενική περίπτωση ( ) ( )1 1, 1 .t t ts w r n k+ += +

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις ( )1 α

t tw α Ak= − και 1αt tr δ α Ak −+ =

(βλ. εξισώσεις 4 και 5 της προηγούμενης άσκησης), βλέπουμε ότι στη γενική περίπτωση ο ρυθμός αποταμίευσης εμφανίζεται στη βασική εξίσωση διαφορών του υποδείγματος. 3. Σε μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών με προτιμήσεις ( )1 2 1

βt t tu c c +=

και συνάρτηση παραγωγής στην εντατική μορφή ( ) ,αt tf k Ak=

όπου ,100=A 1 3a = , 0.01n = , 0.99β = να βρεθούν τα επίπεδα κεφαλαίου και εισοδήματος ανά εργαζόμενο στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως.


Απάντηση Γνωρίζουμε ότι σε μια οικονομία με τις συγκεκριμένες προτιμήσεις, η συνάρτηση αποταμίευσης είναι

,1t tβs wβ

=+

όπου tw ο μισθός ισορροπίας. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση ισορροπίας στην αγορά περιουσιακών στοιχείων ( ) 11 ,t ts n k += + έχουμε

11 ,

1 1t tβk w

n β+ =+ +

(1)

ή, επειδή ο μισθός ισορροπίας είναι ( )1 ,αt tw α Ak= + έχουμε ( )1

1 1 .1 1

αt t


+ + (2)

Σύμφωνα με τον ορισμό της ισορροπίας σταθερής καταστάσεως

1 .t tk k k∗+ = = Επομένως, η εξίσωση (2) γράφεται ως ( ) ( )1 1 ,

1 1αβk α A k

n β∗ ∗= −

+ +

ή

( )1

11 1 .1 1

aβk α An β

−∗ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

(3)

Μετά από αντικατάσταση των ,100=A 1 3a = , 0.01n = , 0.99β = βρίσκουμε


188.2.k∗ = Τέλος, το εισόδημα ανά εργαζόμενο είναι ( ) ,t ty f k= (4)

ή στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως και με τη συγκεκριμένη συνάρτηση παραγωγής

( )13 573.y A k∗ ∗= =

4. Να επαναληφθεί η Άσκηση 3 όταν 110,A = 1 3,α = 0.01n = και

0.98.β = Απάντηση Μετά από απλή αντικατάσταση στην εξίσωση (3) της προηγούμενης άσκησης έχουμε

( ) ( )

321 0.98 2110 215.4.

1 0.01 1 0.98 3k∗ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

Επίσης, μετά από αντικατάσταση

( )13 659.4.y A k∗ ∗= =

5. Θεωρήστε την οικονομία της Άσκησης 5. Αναλύστε την επίδραση μιας μεταβολής στις παραμέτρους A και β πάνω στο επίπεδο του κεφαλαίου. Απάντηση Γνωρίζουμε ότι


( )

111 1 .

1 1αβk α A

n β−∗ ⎡ ⎤

= −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

Επομένως, μετά από απλή παραγώγιση έχουμε

( )1

11 1 1 01 1 1

αααdk β α A

dA α n β

∗ −1−⎡ ⎤

= − >⎢ ⎥− + +⎣ ⎦

και

( )

1111 1 11 0.

1 1 1 1

αααdk βα A

dβ α n β β

∗ −− ⎛ ⎞⎡ ⎤= − >⎜ ⎟⎢ ⎥− + + +⎣ ⎦ ⎝ ⎠

Δηλαδή μια αύξηση στην αποτελεσματικότητα της παραγωγής (= αύξηση στην παράμετρο Α) θα αυξήσει το κεφάλαιο ανά εργαζόμενο στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως. Το ίδιο αποτέλεσμα ποιοτικά θα έχει και μια αύξηση στην παράμετρο β , που ισοδυναμεί με αύξηση του ποσοστού αποταμίευσης 1β β+ . 6. Έστω μια οικονομία με τα ακόλουθα δεδομένα:

)(ln)(ln),( 121121 ++ += tttt ccccu β , 0.99,β = ( ) ,αf k Ak= 1,A = 0.3,α = και 0.01n = . Υπολογίστε το χρονικό διάστημα στο οποίο η

οικονομία θα καλύψει το 60% της απόστασης ∗− kk1 . Απάντηση Γνωρίζουμε ότι (βλ. Παλυβός 2008, σελ. 328-330) 11

11 ,ttk k α

k k−

∗

−= −

− (1)

όπου tk το κεφάλαιο ανά εργαζόμενο τη χρονική στιγμή t , 1k η

αρχική τιμή του κεφαλαίου και k∗ η τιμή του στην ισορροπία


σταθερής καταστάσεως. Ζητείται να προσδιοριστεί η χρονική στιγμή κατά την οποία το αριστερό μέλος της (1) λαμβάνει την τιμή 0.6.

Έχουμε 11 0.6,tα −− =

ή, κάνοντας τις απαραίτητες πράξεις, ln 0.41 1.76.

lnt

α= + =

12. Τεχνολογική Πρόοδος


Οι παρακάτω ερωτήσεις αναφέρονται στο βασικό υπόδειγμα οικονομικής μεγέθυνσης σε μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών με προτιμήσεις ( )1 2 1 ,βt t tu c c += συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas και εξωγενή τεχνολογική πρόοδο. Σχολιάστε την εγκυρότητα των προτάσεων. Αν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σωστή κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε αυτές τις προϋποθέσεις. 1. Χώρες με ψηλότερο ποσοστό αποταμίευσης θα έχουν ψηλότερο κατά κεφαλήν εισόδημα. Απάντηση Πρόταση είναι σωστή, υπό την προϋπόθεση ότι όλα τα άλλα χαρακτηριστικά των χωρών είναι τα ίδια. Η εξήγηση είναι ακριβώς η ίδια με εκείνη που δώσαμε στην Ερώτηση 11.1. Ότι ισχύει στο υπόδειγμα χωρίς τεχνολογική πρόοδο, για το κεφάλαιο ή το προϊόν ανά εργαζόμενο, ισχύει στο παρόν υπόδειγμα για τα ίδια μεγέθη ανά μονάδα αποτελεσματικής εργασίας. 2. Χώρες που ξεκινούν από διαφορετικές αρχικές συνθήκες τείνουν να συγκλίνουν ως προς το βιοτικό τους επίπεδο. Απάντηση Η πρόταση δεν είναι απαραίτητα σωστή. Χώρες που ξεκινούν από διαφορετικές αρχικές συνθήκες αλλά είναι πανομοιότυπες ως προς όλα τα άλλα χαρακτηριστικά συγκλίνουν ως προς το βιοτικό τους επίπεδο. Αν όμως διαφέρουν, για παράδειγμα, ως προς το ποσοστό αποταμίευσης τότε δε θα συγκλίνουν.


3. Το βασικό υπόδειγμα οικονομικής μεγέθυνσης που αναφέρεται σε μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών με προτιμήσεις

( )1 2 1 ,βt t tu c c += συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas και εξωγενή τεχνολογική πρόοδο είναι σε θέση να εξηγήσει τα τυποποιημένα χαρακτηριστικά της οικονομικής μεγέθυνσης. Απάντηση Η πρόταση είναι σωστή. Στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως, το προϊόν ανά εργαζόμενο (Y L ) αυξάνει διαχρονικά με ρυθμό ίσο με εκείνο της τεχνολογικής προόδου (πρώτο τυποποιημένο χαρακτηριστικό). Επίσης, το κεφάλαιο αυξάνεται με ρυθμό ίσο με το άθροισμα του ρυθμού μεταβολής του πληθυσμού και του ρυθμού μεταβολής της τεχνολογικής προόδου. Κατά συνέπεια, ο λόγος κεφαλαίου προϊόντος ( K Y ) παραμένει διαχρονικά σταθερός (δεύτερο τυποποιημένο χαρακτηριστικό). Επιπλέον, ο λόγος κεφαλαίου-εργασίας αυξάνεται διαχρονικά με ρυθμό ίσο με εκείνο της τεχνολογικής προόδου.

Η αμοιβή του κεφαλαίου είναι ( )ˆ ,r f k′= όπου k̂ είναι το

κεφάλαιο ανά αποτελεσματική μονάδα εργασίας. Στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως το k̂ είναι σταθερό και επομένως το r είναι σταθερό. Τέλος, σε ότι αφορά τα μερίδια των παραγωγικών συντελεστών, έχουμε ότι το μερίδιο του κεφαλαίου είναι ( )

( )ˆ ˆ

.ˆ

f k krKY f k

′=

Αφού το k̂ παραμένει σταθερό, σταθερό παραμένει και το μερίδιο του κεφαλαίου. Σταθερό είναι και το μερίδιο της εργασίας, αφού με σταθερές αποδόσεις κλίμακας, το μερίδιο αυτό μπορεί να γραφεί ως

1 .wL rKY Y

= −

Τεχνολογική Πρόοδος 209

4. Στο βασικό υπόδειγμα οικονομικής μεγέθυνσης που αναφέρεται σε μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών με προτιμήσεις

( )1 2 1 ,βt t tu c c += συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas και εξωγενή τεχνολογική πρόοδο η ισορροπία σταθερής καταστάσεως είναι μοναδική και ευσταθής ακόμη και με συναρτήσεις παραγωγής διαφορετικές από την Cobb-Douglas. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Ότι ισχύει στο συγκεκριμένο θέμα για το υπόδειγμα χωρίς τεχνολογική πρόοδο, ισχύει και όταν υπάρχει τεχνολογική πρόοδος (βλ. Ερώτηση 11.5). 5. Στο βασικό υπόδειγμα οικονομικής μεγέθυνσης που αναφέρεται σε μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών με προτιμήσεις

( )1 2 1 ,βt t tu c c += συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas και εξωγενή τεχνολογική πρόοδο ο ρυθμός αύξησης του κατά κεφαλήν προϊόντος στην τροχιά ισόρροπης μεγέθυνσης είναι μηδέν. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Το προϊόν ανά αποτελεσματική μονάδα εργασίας ( )Y A L f k∗= παραμένει σταθερό στην ισορροπία

σταθερής καταστάσεως. Επομένως, το προϊόν ανά εργαζόμενο όπως και το κατά κεφαλήν προϊόν αυξάνονται με ρυθμό ίσο με αυτόν της μεταβολής της τεχνολογικής περιόδου 1( )t t tA A A+ − . 6. Στο βασικό υπόδειγμα οικονομικής μεγέθυνσης που αναφέρεται σε μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών με προτιμήσεις

( )1 2 1 ,βt t tu c c += συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas και εξωγενή τεχνολογική πρόοδο ο ρυθμός αύξησης του συνολικού προϊόντος στην τροχιά ισόρροπης μεγέθυνσης είναι μηδέν. Απάντηση


Η πρόταση είναι λανθασμένη. Στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως το προϊόν ανά αποτελεσματική μονάδα εργασίας παραμένει σταθερό. Επομένως, το συνολικό προϊόν αυξάνεται με ρυθμό ίσο με το άθροισμα του ρυθμού μεταβολής της εργασίας και του ρυθμού μεταβολής της τεχνολογικής προόδου. Δηλαδή 1 1 1 .t t t t t t

t t t

Y Y L L A AY L A

+ + +− − −= +

7. Σύμφωνα με τα υπάρχοντα στατιστικά στοιχεία το κατά κεφαλήν προϊόν των περισσότερων χωρών παραμένει διαχρονικά σταθερό. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Το κατά κεφαλήν προϊόν, που αποτελεί και μέτρο του βιοτικού επιπέδου, αυξάνεται διαχρονικά στις περισσότερες χώρες.


1. Αναλύστε τις προβλέψεις του διευρυμένου υποδείγματος οικονομικής μεγέθυνσης που αναφέρεται σε μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών με προτιμήσεις ( )1 2 1 ,βt t tu c c += συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas και εξωγενή τεχνολογική πρόοδο σχετικά με τη σύγκλιση οικονομιών που είναι πανομοιότυπες εκτός από το αρχικό επίπεδο του κεφαλαίου ανά εργαζόμενο. Απάντηση Η εξέλιξη του κεφαλαίου ανά μονάδα αποτελεσματικής εργασίας περιγράφεται από την εξίσωση ( )1

1 1ˆ ˆ1 ,1 1 1

αt t

βk α kg n β+ = −

+ + +

Τεχνολογική Πρόοδος 211

όπου g ο ρυθμός μεταβολής της τεχνολογικής προόδου (βλ. Παλυβός 2008, εξίσωση 12.13). Η διαγραμματική παρουσίαση αυτής της εξίσωσης παρουσιάζεται στο Σχήμα 1.

Σχήμα 1. Σύγκλιση υπό συνθήκη.

Επομένως, ότι ισχύει για όλες τις μεταβλητές ανά εργαζόμενο στο υπόδειγμα χωρίς τεχνολογική πρόοδο, ισχύει στο παρόν υπόδειγμα για τις αντίστοιχες μεταβλητές ανά μονάδα αποτελεσματικής εργασίας. Κατά συνέπεια, οι όποιες διαφορές στις προβλέψεις των δύο υποδειγμάτων οφείλονται σε διαφορές στην τεχνολογία ( A ). Στο παρόν όμως υπόδειγμα, η τεχνολογία είναι «μάννα εξ’ ουρανού». Δεν υπάρχουν λόγοι που να δικαιολογούν διαφορές χωρών ως προς την τεχνολογία. Η τελευταία μπορεί εύκολα και ανέξοδα να αντιγραφεί. Επομένως, χώρες που είναι πανομοιότυπες εκτός από το αρχικό επίπεδο του κεφαλαίου ανά εργαζόμενο θα συγκλίνουν.

k̂∗

1t̂k +

t̂k

( )t̂g k

45

13. Ενδογενής Οικονομική Μεγέθυνση


Οι παρακάτω ερωτήσεις αναφέρονται σε υποδείγματα ενδογενούς οικονομικής μεγέθυνσης με συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas, θετικές εξωτερικότητες στην παραγωγή και προτιμήσεις

( )1 2 1β

t t tu c c += . Σχολιάστε την εγκυρότητα των προτάσεων. Αν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σωστή κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε αυτές τις προϋποθέσεις. 1. Χώρες με ψηλότερο ποσοστό αποταμίευσης θα έχουν ψηλότερο κατά κεφαλήν εισόδημα. Απάντηση Η πρόταση είναι σωστή. Χώρες με ψηλότερο ποσοστό αποταμίευσης έχουν μεγαλύτερη συσσώρευση του κεφαλαίου και ψηλότερο ρυθμό οικονομικής μεγέθυνσης. Επομένως, ακόμη και αν ξεκινάει με χαμηλότερο αρχικό κεφάλαιο, μια χώρα Α που έχει ψηλότερο ποσοστό αποταμίευσης από μια χώρα, Β θα έχει τελικά ψηλότερο κατά κεφαλήν εισόδημα. 2. Χώρες που ξεκινούν από διαφορετικές αρχικές συνθήκες τείνουν να συγκλίνουν ως προς το βιοτικό τους επίπεδο. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Στα υποδείγματα ενδογενούς οικονομικής μεγέθυνσης, χώρες που είναι πανομοιότυπες εκτός από τις αρχικές συνθήκες θα έχουν τον ίδιο ρυθμό οικονομικής μεγέθυνσης και επομένως οι αρχικές τους διαφορές δε θα εξαλειφθούν ποτέ.


3. Τα υποδείγματα ενδογενούς οικονομικής μεγέθυνσης που βασίζονται σε θετικές εξωτερικότητες είναι σε θέση να εξηγήσουν τα τυποποιημένα χαρακτηριστικά της οικονομικής μεγέθυνσης. Απάντηση Η πρόταση είναι σωστή αν η συνάρτηση παραγωγής είναι σταθερών αποδόσεων ως προς το κεφάλαιο. Με αυτήν την προϋπόθεση α) το προϊόν ανά εργαζόμενο αυξάνεται διαχρονικά με σταθερό ρυθμό, όπως και το κεφάλαιο β) ο λόγος κεφαλαίου-προϊόντος παραμένει σταθερός, αφού τα δύο μεγέθη αυξάνονται με τον ίδιο ρυθμό γ) ο λόγος κεφαλαίου-εργασίας αυξάνεται διαχρονικά με σταθερό ρυθμό δ) η αμοιβή του κεφαλαίου παραμένει διαχρονικά σταθερή αν ο πληθυσμός παραμένει διαχρονικά σταθερός και ε) τα μερίδια του κεφαλαίου και της εργασίας παραμένουν διαχρονικά σταθερά.

Για παράδειγμα, αν η συνάρτηση παραγωγής είναι ( ) ( )1 ,α α

t t t tY B K L −= όπου ( ) ( ) και 1,

η ηtB A K L α η= + = (1)

τότε το επιτόκιο είναι 1 1 ,α α

t t t tr α B K L− −= ή, μετά από αντικατάσταση της (1), ( ) ( ) ( ) ( )1 1 ,

η ηα αt t t tr α A K K L L− −=

ή, επειδή και ,K K L L= = ( )1 ,α η

t tr α A L − +=

Ενδογενής Οικονομική Μεγέθυνση 215

το οποίο είναι σταθερό αν η απασχολούμενη ποσότητα εργασίας είναι σταθερή. Επίσης, το μερίδιο του κεφαλαίου είναι ( )

( )

1

1 .α η

t tt tα ηα η

t t t

α A L Kr K αY A K L

− +

− ++= =

Ο μισθός δίνεται από την εξίσωση ( ) ( ) ( )11 ,α α

t t t tw α B K L −= − ή, μετά από αντικατάσταση της (1), ( ) ( )1 .α η

t t tw α A K L − += − Επομένως, το μερίδιο της εργασίας είναι ( ) ( )

( )

1

1

11 .

α ηt tt t

α ηt t t

α A K Lw L αY A K L

− +

− +

−= = −

Με άλλα λόγια, τόσο το μερίδιο του κεφαλαίου όσο και το μερίδιο της εργασίας παραμένουν διαχρονικά σταθερά. 4. Στα υποδείγματα ενδογενούς οικονομικής μεγέθυνσης που βασίζονται σε θετικές εξωτερικότητες η ισορροπία σταθερής καταστάσεως είναι μοναδική και ευσταθής ακόμη και με συναρτήσεις παραγωγής διαφορετικές από τη Cobb-Douglas. Απάντηση Η πρόταση δεν είναι απαραίτητα σωστή. Όπως και σε προηγούμενα υποδείγματα, αν η συνάρτηση παραγωγής είναι διαφορετική από Cobb-Douglas υπάρχει η δυνατότητα ύπαρξης πολλαπλών ισορροπιών. Σε αυτά τα υποδείγματα όμως είναι δυνατόν να υπάρχουν ασταθείς ισορροπίες σταθερής καταστάσεως ακόμη και με τη συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas, αν το οριακό προϊόν του


κεφαλαίου στο σύνολο της οικονομίας είναι αύξον. Για παράδειγμα, υποθέστε ότι ( ) ( )1 ,α α

t t tY B K L −= όπου ( ) ( ) και 1.

η ηt tB A K L α η= + >

Τότε ο μισθός δίνεται από τη σχέση ( ) ( ) ( )1 ,α α

t t tw α B K L −= − ή, μετά από αντικατάσταση, ( ) ( ) ( )1 .α η α η

t tw α A K L+ − += − Η ισορροπία στην αγορά περιουσιακών στοιχείων είναι 1 ,t tK L s+ = όπου

.1t tβs wβ

=+

Επομένως, ( ) ( ) ( )1 1 ,

1α η α η

t tβK L α A K Lβ

+ − ++ = −

+

ή ( )1 ,α η

t tK K ++ = Γ (1)

όπου ( ) 11 0.

1α ηβ α A L

β− +Γ = − >

+

Η εξέλιξη του κεφαλαίου όταν 1α η+ > δίνεται στο Σχήμα 1.


tK

1+tK

Σχήμα 1. 1α η+ > Πολλαπλά σημεία ισορροπίας σταθερής καταστάσεως.

Όπως φαίνεται από το Σχήμα 1, το σημείο σταθερής καταστάσεως K ∗ είναι ασταθές. Αν η οικονομία έχει αρχικό κεφάλαιο μικρότερο από K∗ τότε θα οδηγηθεί στην αρχή των αξόνων, ενώ αν το αρχικό κεφάλαιο είναι μεγαλύτερο από K∗ , τότε θα μεγεθύνεται διαρκώς. 5. Στα υποδείγματα ενδογενούς οικονομικής μεγέθυνσης που βασίζονται σε θετικές εξωτερικότητες ο ρυθμός αύξησης του κατά κεφαλήν προϊόντος στην τροχιά ισόρροπης μεγέθυνσης είναι μηδέν. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Ο ρυθμός αύξησης του κατά κεφαλήν προϊόντος σε ένα υπόδειγμα ενδογενούς οικονομικής μεγέθυνσης είναι θετικός. Θυμηθείτε ότι ο βασικός λόγος που οδήγησε στην

45

K ∗


ανάπτυξη αυτών των υποδειγμάτων είναι η εξήγηση του διαρκώς αυξανόμενου βιοτικού επιπέδου στην πλειοψηφία των σύγχρονων οικονομιών. 6. Στα υποδείγματα ενδογενούς οικονομικής μεγέθυνσης που βασίζονται σε θετικές εξωτερικότητες ο ρυθμός αύξησης του συνολικού προϊόντος στην τροχιά ισόρροπης μεγέθυνσης είναι μηδέν. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Ο ρυθμός μεταβολής του κατά κεφαλήν προϊόντος (βλ. Ερώτηση 5) και κατά μείζονα λόγο και ο ρυθμός μεταβολής του συνολικού προϊόντος είναι θετικός. 7. Χώρες με μεγαλύτερο πληθυσμό αναπτύσσονται πιο γρήγορα. Απάντηση Η πρόταση εξαρτάται από την εξειδίκευση της συνάρτησης παραγωγής. Για παράδειγμα, υποθέστε ότι ( ) ( )1 ,α α

t t tY B K L −= (1) όπου ( ) ( ) και 1.

η ηt tB A K L α η= + = (2)

Υποθέστε επίσης ότι ο πληθυσμός παραμένει σταθερός. Συνεπώς και η ποσότητα της εργασίας παραμένει σταθερή, αφού στην ισορροπία

.L N= Ο μισθός δίνεται από τη σχέση ( ) ( ) ( )1 ,α α

t t tw α B K L −= − (3) ή, μετά από αντικατάσταση της εξίσωσης (2) και των σχέσεων ισορροπίας K K= και L L= , ( ) ( )1 .α η

t tw α AK L − += − (4)


Η ισορροπία στην αγορά περιουσιακών στοιχείων είναι 1 ,t tK L s+ = (5) όπου

.1t tβs wβ

=+

(6)

Επομένως, ( ) ( )1 1 ,

1α η

t tβK L α AK Lβ

− ++ = −

+ (7)

ή 1 ,t tK K+ = Γ (8) όπου ( ) 11 0.

1α ηβ α A L

β− +Γ = − >

+ (9)

Έπεται από την εξίσωση (8) ότι ο ρυθμός μεταβολής του κεφαλαίου και του προϊόντος (συνολικού και κατά κεφαλήν, αφού ο πληθυσμός παραμένει σταθερός) είναι 1 1 1.t

t

KK+ − = Γ −

Απλή παραγώγιση δείχνει ότι ( ) 21

2 0,1

α ηβη A LL β

− +∂ Γ −= >

∂ +

αφού 1α η+ = και επομένως 1 α η− = . Κατά συνέπεια, στην περίπτωση αυτή υπάρχουν «αποτελέσματα κλίμακας» (scale effects).

Στη συνέχεια υποθέστε ότι αντί της εξίσωσης (2) έχουμε

, 1,η

tt

KB A a ηL

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠


δηλαδή η τεχνολογία εξαρτάται από το λόγο κεφαλαίου-εργασίας. Όλα τα άλλα χαρακτηριστικά της οικονομίας παραμένουν τα ίδια. Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση (4) γίνεται ( ) ( ) ( )1 α η

t tw α AK L − += − και οι εξισώσεις (8) και (9) 1 ,t tK K+ ′= Γ όπου ( )1 0.

1β α Aβ

′Γ = − >+

Έπεται λοιπόν ότι ο ρυθμός μεταβολής του (συνολικού και του κατά κεφαλήν) κεφαλαίου και προϊόντος είναι 1 1 1,t

t

KK+ ′− = Γ −

ο οποίος, προφανώς, είναι ανεξάρτητος από το επίπεδο της εργασίας και του πληθυσμού. 8. Για να υπάρξει ισόρροπη μεγέθυνση με θετικό ρυθμό μεταβολής του κατά κεφαλήν προϊόντος πρέπει η τεχνολογία να είναι σταθερών αποδόσεων κλίμακας. Απάντηση Η πρόταση δεν είναι απαραίτητα σωστή. Για να υπάρξει ισόρροπη μεγέθυνση με θετικό ρυθμό μεταβολής του κατά κεφαλήν προϊόντος θα πρέπει η τεχνολογία να είναι σταθερών αποδόσεων κλίμακας ως προς το κεφάλαιο. Δηλαδή μετά την αντικατάσταση των όρων που περιγράφουν την τεχνολογία ή των δημόσιων δαπανών να μπορεί να γραφεί ως ,t tY A K=

όπου A ένας σταθερός όρος.


Ρυθμός Οικονομικής Μεγέθυνσης

9. Μια αύξηση στη φορολογία θα αυξήσει το ρυθμό ανάπτυξης της οικονομίας Απάντηση Η πρόταση δεν είναι απαραίτητα σωστή. Καταρχήν, η ορθότητα της πρότασης εξαρτάται από το σκοπό για τον οποίο επιβάλλεται η φορολογία. Για παράδειγμα, αν τα έσοδα της φορολογίας χρησιμοποιούνται για μη παραγωγικούς σκοπούς, τότε η πρόταση είναι λανθασμένη. Ακόμη όμως και αν τα έσοδα χρησιμοποιούνται για τη χρηματοδότηση παραγωγικών δημοσίων δαπανών, η πρόταση δεν είναι απαραίτητα σωστή, αφού συνήθως υπάρχει ένα άριστο μέγεθος των δημόσιων δαπανών ως ποσοστό του ΑΕΠ. Αν η οικονομία βρίσκεται πριν από το άριστο μέγεθος, τότε μια αύξηση του φορολογικού συντελεστή τ θα αυξήσει το ρυθμό οικονομικής ανάπτυξης. Αν όμως, η οικονομία βρίσκεται στα δεξιά του άριστου μεγέθους, τότε μια αύξηση του φορολογικού συντελεστή θα μειώσει το ρυθμό οικονομικής ανάπτυξης (βλ. Σχήμα 2).

Σχήμα 2. Άριστο μέγεθος του δημόσιου τομέα.

1τ α∗ = − τ



1. Έστω μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών με προτιμήσεις ( )1 2 1 , 0,β

t t tu c c β+= > (1) και συνάρτηση παραγωγής 1 .α α

t t tY B K L −= (2) Ο πληθυσμός και επομένως και η ποσότητα εργασίας παραμένει διαχρονικά σταθερή. Ο όρος tB μεταβάλλεται διαχρονικά και συγκεκριμένα ,η η

t tB A K L−= (3) όπου K και L είναι η μέση ποσότητα κεφαλαίου και εργασίας. Ο αριθμός των επιχειρήσεων είναι 1Ω ≥ . Τέλος, όλες οι αγορές είναι ανταγωνιστικές. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του κεφαλαίου όταν

1α η+ = και να αποδειχθεί ότι οι μεταβλητές 1 2, ,Y c c και s αναπτύσσονται με σταθερό ρυθμό (υπάρχει δηλαδή ισόρροπη ανάπτυξη). Απάντηση Τα άτομα μεγιστοποιούν τη συνάρτηση χρησιμότητας (1) υπό τους εισοδηματικούς περιορισμούς 1t t tc s w+ = (4) και ( )2 1 11 .t t tc r s+ += + (5)

Η λύση αυτού του προβλήματος οδηγεί στις παρακάτω συναρτήσεις κατανάλωσης και αποταμίευσης


1

1 ,1t tc w

β=

+ (6)

( )2 1 111t t tβc r wβ+ += +

+ (7)

και

.1t tβs wβ

=+

(8)

Η ισορροπία στην αγορά περιουσιακών στοιχείων είναι 1,t t tN s K += Ω (9)

όπου το αριστερό μέλος της εξίσωσης (9) δηλώνει τη συνολική αποταμίευση στην οικονομία και το δεξιό τη συνολική ζήτηση για κεφάλαιο. Επίσης, η ισορροπία στην αγορά εργασίας απαιτεί ,tN L t= Ω ∀ (10)

δηλαδή η προσφορά εργασίας tN είναι ίση με τη ζήτηση ( LΩ ) και οι τιμές είναι ( )1 ,α α

t t t tw α B K L−= −

1 1 ,α αt tr α B K L− −=

ή, στην ισορροπία, όπου t tK K= και L L= , ( )1 ,α η α η

t t tw α A K L+ − += − (11)

1 1 .α η α ηt tr α A K L+ − − += (12)

Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (8), (9), (10) και (11) έχουμε

1 ,α ηt tK K ++ = Γ (13)

όπου


( ) 11 0.1

α ηβα A Lβ

− +Γ = − >+

Επειδή 1,α η+ = ο (καθαρός) ρυθμός μεταβολής του κεφαλαίου είναι 1 1 1.t

t

KK+ − = Γ − (14)

Το προϊόν δίνεται από την εξίσωση (2) η οποία σε συνδυασμό με την εξίσωση (3) μας δίνει 1 ,α α η η

t tY A K L K L−= (14) ή 1 .α η

t tY A K L − += (15) Οι όροι και A L είναι σταθεροί. Επομένως, 1

1 1 .α ηt tY A K L − ++ += (16)

Διαιρώντας τις (15) και (16) κατά μέλη έχουμε 1 1 ,t t

t t

Y KY K+ +=

όπου 1t tK K+ = Γ από την εξίσωση (14). Επομένως, ο (καθαρός) ρυθμός μεταβολής του προϊόντος είναι 1 1 1,t

t

YY+ − = Γ − (17)

ο οποίος είναι σταθερός. Επίσης, ο μισθός δίνεται από τη σχέση (11). Κατά συνέπεια, 1 1 .t t

t t

w Kw K+ += = Γ (18)

Συνεπώς, από τις εξισώσεις (6) και (8) έχουμε


1 1

1

t

t

cc+ = Γ (19)

και 1 .t

t

ss+ = Γ (20)

Απομένει να προσδιορίσουμε το ρυθμό μεταβολής της κατανάλωσης τη δεύτερη περίοδο του βίου των ατόμων. Για το σκοπό αυτό πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το ρυθμό μεταβολής του επιτοκίου, το οποίο δίνεται από την εξίσωση (12). Αφού 1α η+ = έχουμε 1 ,α η

tr α A L r− += = δηλαδή το επιτόκιο παραμένει διαχρονικά σταθερό. Επομένως, από την εξίσωση (7) έχουμε 2 2

2 1.t

t

cc

+

+

= Γ

2. Στην προηγούμενη άσκηση να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του κεφαλαίου ανά εργαζόμενο. Απάντηση Ο συνολικός αριθμός των εργαζομένων είναι LΩ . Επομένως, το κεφάλαιο ανά εργαζόμενο είναι tK LΩ . Βλέπουμε ότι ο παρανομαστής του κλάσματος είναι σταθερός και επομένως ο ρυθμός μεταβολής του κλάσματος είναι ίσος με αυτόν του αριθμητή, ο οποίος στην προηγούμενη άσκηση βρέθηκε ίσος με 1Γ− . Με άλλα λόγια, σε μια οικονομία όπου το εργατικό δυναμικό δε μεταβάλλεται, ο ρυθμός μεταβολής του κεφαλαίου ανά εργαζόμενο είναι ίδιος με το ρυθμό μεταβολής του συνολικού κεφαλαίου.


3. Υποθέστε ότι στην οικονομία της Άσκησης 1 ο πληθυσμός αυξάνεται με ρυθμό 0>n . Τι συμβαίνει στο ρυθμό μεγέθυνσης του προϊόντος; Μπορείτε να δώσετε μια εναλλακτική εξειδίκευση στην εξίσωση (3) της Άσκησης 1 έτσι ώστε να αποφύγετε αυτήν τη συνέπεια; Απάντηση Η ισορροπία στην αγορά εργασίας απαιτεί η προσφορά ( tN ) να είναι ίση με τη ζήτηση για εργασία ( tLΩ ). Επίσης, η ισορροπία στην αγορά περιουσιακών στοιχείων περιγράφεται από την εξίσωση 1,t t tN s K += Ω ή 1.t t tL s K +Ω = Ω (1)

Αντικαθιστώντας την εξίσωση για την αποταμίευση (βλ. εξίσωση 8 στην Άσκηση 1)

1t tβs wβ

=+

(2)

και την εξίσωση για το μισθό (βλ. εξίσωση 12 στην Άσκηση 1) ( )1 ,α η α η

t t tw α A K L+ − += − (3) έχουμε ( ) 11 ,

1α η α η

t t t tβL α K L Kβ

+ − ++− =

+

ή 1 ,t t tK K+ ′= Γ (4) όπου ( ) 11

1α η

t tβ α Lβ

− +′Γ = −+

(θυμηθείτε ότι 1α η+ = ). Η εξίσωση (4) περιγράφει την εξέλιξη του συνολικού κεφαλαίου. Προσέξτε ότι το t′Γ αυξάνεται διαχρονικά


αφού αυξάνεται ο όρος tL . Επομένως, ο καθαρός ρυθμός μεταβολής του συνολικού κεφαλαίου είναι 1 1 1.t

tt

KK+ ′− = Γ −

Δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής του συνολικού κεφαλαίου αυξάνεται διαχρονικά, γεγονός που δε βρίσκει εμπειρική επαλήθευση στα στατιστικά στοιχεία των περισσότερων χωρών. Το ίδιο συμβαίνει και στο ρυθμό μεταβολής του κεφαλαίου ανά εργαζόμενο 1

11

.tt

t

KkL

++

+

=

Συγκεκριμένα, διαιρώντας με 1tL + και τα δύο μέλη της εξίσωσης (4) έχουμε ( ) 1

11 1 .

1 1α η

t t tβk α k L

n β− +

+ = −+ +

Επομένως, ο ρυθμός μεταβολής του tk είναι ( ) 11 11 1 1,

1 1α ηt

tt

k β α Lk n β

− ++ − = − −+ +

ο οποίος αυξάνεται διαχρονικά.

Ας υποθέσουμε στη συνέχεια ότι ο όρος tΒ που απεικονίζει την εξέλιξη της τεχνολογικής προόδου είναι συνάρτηση του μέσου λόγου κεφαλαίου-εργασίας, t tK L . Δηλαδή αντί της εξίσωσης (3) της Άσκησης 1 έχουμε

.η

tt

t

KB AL

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5)

Με την εξειδίκευση που δίνεται από την εξίσωση (5) ο μισθός είναι ( )1 ,α α

t t t tw α B K L−= −


ή ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ,

η ηα αt t t t tw α A K K L L

−−= − ή ( )1 ,t tw α Ak= − (6)

αφού 1α η+ = και στην ισορροπία t tK K= και t tL L= . Επομένως, η εξίσωση που περιγράφει την ισορροπία στην αγορά περιουσιακών στοιχείων είναι 1t t tN s K += Ω , ή 1,t t tL s K +=

ή, αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (2) και (6), ( ) 11 ,

1t t tβL α Ak Kβ +− =

+

ή ( )1

1 1 .1 1t t


+ +

Κατά συνέπεια, ο ρυθμός μεταβολής του κεφαλαίου ανά εργαζόμενο είναι διαχρονικά σταθερός ( )1 11 1 1.

1 1t

t

k β α Ak n β+ − = − −

+ +

4. Έστω μια οικονομία σαν και αυτήν που περιγράφεται στην Άσκηση 1 με τη διαφορά ότι αντί της εξίσωσης (3) έχουμε ( ) , 0.

ηt tB A K η= > (1)

Να προσδιορίσετε το ρυθμό οικονομικής μεγέθυνσης. Απάντηση


Σε αυτήν την οικονομία ο μισθός είναι ίσος και πάλι με το οριακό προϊόν της εργασίας. Επομένως, ( )1 ,α α

t t tw α B K L−= − ή, αντικαθιστώντας την(1), ( ) ( )1 ,

ηα αt t tw α A K K L−= −

ή, επειδή στην ισορροπία t tK K= , ( )1 .αt tw α A K L−= − (2)

Η ισορροπία στην αγορά περιουσιακών στοιχείων είναι και πάλι 1,t t tN s K += Ω ή, επειδή ,tN L= Ω 1.t tLs K +=

Αντικαθιστώντας την εξίσωση που δίνει την ατομική αποταμίευση έχουμε

1,1 t tβL w Kβ +=

+

ή, μετά από αντικατάσταση της εξίσωσης (2), 1 ,t tK K+ ′′= Γ όπου ( ) 11 .

1αβα A L

β−′′Γ = −

+

Επομένως, ο ρυθμός μεταβολής του συνολικού κεφαλαίου είναι 1 1 1.t

t

KK+ ′′− = Γ −


Το συνολικό προϊόν δίνεται από τη σχέση 1 ,α α

t t tY B K L −= ή, μετά από αντικατάσταση της εξίσωσης (1), ( ) 1 ,

ηα αt t tY A K K L −=

ή 1 ,α η α

t tY A K L+ −= ή 1 .αt tY A K L −=

Επομένως, ο ρυθμός μεταβολής του συνολικού προϊόντος είναι ίσος με αυτόν του συνολικού κεφαλαίου, δηλαδή 1 1 .t t

t t

Y KY K+ +=

Τέλος, ο ρυθμός οικονομικής μεγέθυνσης, δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής του κατά κεφαλήν προϊόντος, είναι ίσος με αυτόν του συνολικού προϊόντος, αφού ο πληθυσμός της οικονομίας παραμένει διαχρονικά σταθερός. 5. Έστω μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών με προτιμήσεις ( )1 2 1 .βt t tu c c += (1)

Ο πληθυσμός διατηρείται σταθερός. Επίσης, η συνάρτηση παραγωγής είναι 1 ,α α

t t tY B K L −= (2) όπου ( ) ( ) , 1,

η ηt t tB A K L α η= + = (3)


και και K L συμβολίζουν τα μέσα επίπεδα κεφαλαίου και εργασίας ανά επιχείρηση. Η κυβέρνηση επιβάλλει φορολογία στο εισόδημα από κεφάλαιο για να χρηματοδοτήσει τις δαπάνες της, δηλαδή τα φορολογικά έσοδα tT είναι ίσα με t tτ r K Ω . Ο προϋπολογισμός είναι κάθε περίοδο ισοσκελισμένος. Να βρεθεί ο ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης. Πως εξαρτάται αυτός από το φορολογικό συντελεστή τ ; Εξηγήστε. Απάντηση Οι συναρτήσεις κατανάλωσης και αποταμίευσης δίνονται από τη μεγιστοποίηση της (1) υπό τους εισοδηματικούς περιορισμούς 1t t tc s w+ = , (4) ( )( )2 1 11 1 .t t tc τ r s+ += − + (5)

Η συνάρτηση Lagrange είναι ( ) ( ) ( )( )1 2 1 1 1 2 1 2 11 1 ,β

t t t t t t t t t tL c c λ w c s λ τ r s c+ + +⎡ ⎤= + − − + − + −⎣ ⎦ όπου 1tλ και 2tλ οι πολλαπλασιαστές Lagrange. Οι αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης για μέγιστο είναι

( )2 1 11

0 ,βt t

t

L c λc +∂

= ⇒ =∂

(6)

( )1 2 1 2

2 10 ,β

t t tt

L βc c λc +

+

∂= ⇒ =

∂

(7)

( )( )1 2 10 1 1t t t

t

L λ λ τ rs +∂

= ⇒ = − +∂

(8)

και οι δύο εισοδηματικοί περιορισμοί. Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (6)-(8) έχουμε ( )( )2 1

11

1 1 .tt

t

c β τ rc+

+= − + (9)


Επίσης, συνδυάζοντας τις εξισώσεις (4) και (5) έχουμε

( )( )1 2 11

1 .1 1t t t

tc c w

τ r ++

+ =− +

(10)


11

1t tc wβ

=+

(11)

και από την (4)

.1t tβs wβ

=+

(12)

Ο μισθός και το επιτόκιο είναι ( ) ( )1 ,α α

t t tw α B K L−= −

( ) 1 1 ,α αt t tr α B K L− −=

ή, μετά από αντικατάσταση της εξίσωσης (3) και των εξισώσεων

t tK K= , L L= και 1,α η+ = ( ) ( )1 ,α η

t tw α A K L − += − (13)

( )1 .α ηtr α A L − += (14)

Η ισορροπία στην αγορά περιουσιακών στοιχείων απαιτεί 1,t t tN s K += Ω ή, επειδή ,tN L= Ω 1.t tL s K += (15)

Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (12) και (13) στην (15) έχουμε


( ) 11 ,1

α ηt t

βL α A K L Kβ

− ++− =

+

ή 1 ,t tK K+ = Γ (16) όπου ( ) 11 .

1α ηβ α A L

β− +Γ = −

+

Από την εξίσωση (16) έχουμε ότι ο ρυθμός οικονομικής ανάπτυξης, 1 1 1,t

t

KK+ − = Γ −

είναι ανεξάρτητος του φορολογικού συντελεστή τ. Ο λόγος είναι απλός. Η επιβολή της φορολογίας επηρεάζει το ποσοστό απόδοσης ( )( )11 1 tτ r +− + για τους αποταμιευτές. Με τις συγκεκριμένες όμως προτιμήσεις, η αποταμίευση είναι ανεξάρτητη του ποσοστού απόδοσης. Αποτέλεσμα αυτού είναι να μην εξαρτάται ο ρυθμός συσσώρευσης του κεφαλαίου (= ρυθμό οικονομικής μεγέθυνσης) από το ποσοστό απόδοσης του κεφαλαίου και επομένως από το φορολογικό συντελεστή τ . 6. Θεωρήστε μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών με προτιμήσεις ( )1 2 1 , 0,β

t t tu c c β+= > (1) και συνάρτηση παραγωγής

( )1

1 , 0,α

α αtt t

GY A K L A−

−⎛ ⎞= >⎜ ⎟Ω⎝ ⎠ (2)

όπου tG οι κρατικές δαπάνες και Ω ο αριθμός των επιχειρήσεων. Ο πληθυσμός παραμένει διαχρονικά σταθερός. Η κυβέρνηση επιβάλλει ένα φορολογικό συντελεστή τ σε όλο το εισόδημα των ατόμων και ισοσκελίζει τον κρατικό προϋπολογισμό κάθε περίοδο. Σε μια τέτοια


οικονομία αποδεικνύεται ότι ο ρυθμός μεταβολής του συνολικού κεφαλαίου είναι

( )1

1 1 1 1,α

t α

t

K τ τK

−+ ′− = Γ − − (3)

όπου

( )1 1

11

αα αβ α A L

β

−

′Γ = −+

(βλ. Παλυβός 2008 σελ.378). Να αποδειχθεί ότι όλες οι άλλες μεταβλητές του υποδείγματος έχουν σταθερό ρυθμό μεταβολής σε κάθε περίοδο και επομένως, το σύστημα θα μεταβεί στιγμιαία σε μια τροχιά ισόρροπης μεγέθυνσης. Απάντηση Η κυβέρνηση ισοσκελίζει τον προϋπολογισμό κάθε περίοδο, δηλαδή ,t tG τ Y= Ω (4)

ή, χρησιμοποιώντας την (2), 1 1 1 ,α α α α

t t tG τ A K G L− − −= Ω Ω ή

( )11

.αααt tG τ A K L−

= Ω (5)

Επομένως, 1 1 .t t

t t

G KG K+ + ′= = Γ (6)

Επίσης, από την εξίσωση (4) έχουμε 1 1 .t t

t t

G YG Y+ + ′= = Γ

Ο μισθός είναι

( ) ( )1

1 ,α

α αtt t

Gw α A K L−

−⎛ ⎞= − ⎜ ⎟Ω⎝ ⎠ (7)


ή, αντικαθιστώντας την εξίσωση (5) στην (7),

( )1 1 1 2

1 ,α αα α α

t tw α τ A K L− −

= − (8)

από την οποία έπεται ότι 1 .t

t

ww+ ′= Γ

Επίσης, το επιτόκιο είναι

( )1

1 1 ,α

α αtt t

Gr α A K L−

− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟Ω⎝ ⎠

ή

( ) ( ) ( )2(1 )11 1 1 ,

ααα α αααt t tr α A K τ A K L L−−

− − −=

ή 1 1 1

,α αα α αr α τ A L− −

=

δηλαδή το επιτόκιο παραμένει διαχρονικά σταθερό. Επιπλέον, η κατανάλωση της πρώτης και δεύτερης περιόδου και η αποταμίευση δίνονται από τις εξισώσεις ( )1

1 1 ,1t tc τ w

β= −

+

( ) ( )22 1 11 1

1t t tβc τ r wβ+ += − +

+

και ( )1 .

1t tβs τ wβ

= −+

Επομένως, 1 2 1, και t t tc c s+ μεταβάλλονται με καθαρό ρυθμό 1′Γ − .

14. Κοινωνική Ασφάλιση σε Ανταλλακτικές Οικονομίες


Σχολιάστε την εγκυρότητα των παρακάτω προτάσεων. Αν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σωστή κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε αυτές τις προϋποθέσεις. 1. Μια κρίση χρηματοδότησης ενός διανεμητικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης μπορεί να αντιμετωπιστεί με αλλαγές

(i) στο δημόσιο χρέος

(ii) στα οφέλη που παρέχει το σύστημα

(iii) στις ασφαλιστικές εισφορές

(iv) στα έτη ασφάλισης (έτη που πληρώνονται εισφορές) και

(v) στην ηλικία συνταξιοδότησης

Απάντηση (i) Η πρόταση είναι σωστή. Σε ένα διανεμητικό σύστημα κοινωνικής ασφάλισης 1 ,t t t tT N τ G N b−= = = (1) ή ( )1 .b n τ= + (2)

Μια κρίση στο σύστημα μπορεί να προέλθει από μια μείωση στο ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού σε .n n′ < Σε αυτήν την περίπτωση με αμετάβλητες της τιμές των τ και b έχουμε ( ) ( )1 1b n τ n τ′= + > + (3) και επομένως, .t tG T> (4)


Η διαφορά μεταξύ των εσόδων και των εξόδων μπορεί να καλυφθεί με δανεισμό της κυβέρνησης, αυξάνοντας έτσι το δημόσιο χρέος. Όπως θα δούμε βέβαια στο Κεφάλαιο 17, αυτός ο τρόπος αντιμετώπισης της κρίσης είναι προσωρινός. Η κυβέρνηση δεν μπορεί να δανείζεται στο διηνεκές. (ii) Η πρόταση είναι σωστή. Από τη σχέση (3) έχουμε ότι η ισότητα μεταξύ εσόδων και εξόδων μπορεί να αποκατασταθεί αν μειωθούν οι συντάξεις (οφέλη που παρέχει το σύστημα) σε b′ , όπου ( )1 .b n τ′ ′= +

(iii) Η πρόταση είναι σωστή. Και πάλι από τη σχέση (3) βλέπουμε ότι η ισότητα μπορεί να αποκατασταθεί αν αυξηθούν οι ασφαλιστικές εισροές σε τ′ , όπου ( )1 .b n τ′ ′= +

(iv) Η πρόταση είναι σωστή. Αυτή η μεταβολή όμως δεν μπορεί να παρουσιαστεί σε όρους του υποδείγματος, αφού τα άτομα εργάζονται μια χρονική περίοδο σταθερού μήκους. Είναι προφανές ότι στην πράξη, αν αυξηθούν τα έτη κατά τα οποία πληρώνουν εισφορές τα άτομα, τότε τα έσοδα της κυβέρνησης θα αυξηθούν έτσι ώστε να μπορεί να καλύψει τα έξοδα. (v) Η πρόταση είναι σωστή. Η περίπτωση αυτή στην πράξη ενισχύει την προηγούμενη, αφού όταν ένας εργαζόμενος πληρώνει εισφορές εξυπακούεται ότι δεν εισπράττει σύνταξη. Αυτό βέβαια δεν είναι απαραίτητο, αφού θα μπορούσαν τα άτομα να σταματήσουν να εργάζονται σε μια δεδομένη ηλικία αλλά να αρχίζουν να εισπράττουν σύνταξη σε κάποια άλλη μεγαλύτερη. Σε αυτήν την περίπτωση, ένας ορισμένος αριθμός εργαζομένων θα συντηρεί λιγότερους συνταξιούχους.

Τέλος, θα πρέπει να σημειωθεί ότι όλες οι παραπάνω προτάσεις αναφέρουν εφικτούς τρόπους αντιμετώπισης μιας κρίσης χρηματοδότησης ενός διανεμητικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης. Χωρίς επιπρόσθετη πληροφόρηση, δεν πλεονεκτεί μία εξ’ αυτών έναντι των άλλων.

Κοινωνική Ασφάλιση σε Ανταλλακτικές Οικονομίες 259

2. Αν η ανταγωνιστική ισορροπία είναι δυναμικά αναποτελεσματική τότε η εισαγωγή ενός διανεμητικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης αποτελεί βελτίωση κατά Pareto. Απάντηση Η πρόταση είναι σωστή. Η ισορροπία είναι αναποτελεσματική αν n r> . Επομένως με δεδομένη την αποταμίευση, τα άτομα θα λαμβάνουν από το σύστημα κοινωνικής ασφάλισης περισσότερα απ’ όσα λαμβάνουν από την αγορά πίστεως. Θυμηθείτε ότι το ποσοστό απόδοσης στην αγορά πίστεως είναι r και στο διανεμητικό σύστημα κοινωνικής ασφάλισης n, αφού στο τελευταίο ( )1 .b n τ= + 3. Αν η ανταγωνιστική ισορροπία είναι δυναμικά αποτελεσματική τότε η εισαγωγή ενός διανεμητικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης αποτελεί βελτίωση κατά Pareto. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Όταν η ισορροπία είναι αποτελεσματική n r≤ . Επομένως με δεδομένη την αποταμίευση, η αγορά πίστεως αποφέρει τουλάχιστον όσα και ένα διανεμητικό σύστημα κοινωνικής ασφάλισης. 4. Αν η ανταγωνιστική ισορροπία είναι δυναμικά αναποτελεσματική τότε η εισαγωγή ενός ανταποδοτικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης αποτελεί βελτίωση κατά Pareto. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Το ποσοστό απόδοσης από ένα κεφαλαιοποιητικό σύστημα είναι το ίδιο με αυτό στην αγορά πίστεως. Κατά συνέπεια, η εισαγωγή ενός τέτοιου συστήματος δεν επηρεάζει την ευημερία των ατόμων.


5. Αν η ανταγωνιστική ισορροπία είναι δυναμικά αποτελεσματική τότε η εισαγωγή ενός ανταποδοτικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης αποτελεί βελτίωση κατά Pareto. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Όπως αναφέρθηκε και στην απάντηση της προηγούμενης ερώτησης, ένα κεφαλαιοποιητικό σύστημα κοινωνικής ασφάλισης και μία αγορά πίστεως που λειτουργεί απρόσκοπτα αποφέρουν το ίδιο ποσοστό απόδοσης. Επομένως, η εισαγωγή ενός κεφαλαιποιητικού συστήματος αποτελεί απλώς αλλαγή στην ονομασία των καταθέσεων που διατηρούν η εργαζόμενοι. 6. Η μετατροπή του συστήματος κοινωνικής ασφάλισης από διανεμητικό σε κεφαλαιοποιητικό αποτελεί βελτίωση κατά Pareto. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Με τη μετατροπή από διανεμητικό σε κεφαλαιοποιητικό η γενεά που είναι στη σύνταξη θα είναι χαμένη αφού, ενώ εκείνη πλήρωσε για τη συνταξιοδότηση της προηγούμενης γενεάς, δε θα υπάρχει κανείς να πληρώσει για τη δική της. Θυμηθείτε ότι στο κεφαλαιοποιητικό σύστημα κάθε εργαζόμενος εισπράττει τις εισφορές του με υστέρηση μιας περιόδου. 7. Η μετατροπή του συστήματος κοινωνικής ασφάλισης από κεφαλαιοποιητικό σε διανεμητικό αποτελεί βελτίωση κατά Pareto. Απάντηση Η πρόταση είναι σωστή όταν η ισορροπία είναι αναποτελεσματική, δηλαδή n r> . Σε αυτήν την περίπτωση, το ποσοστό απόδοσης ενός διανεμητικού συστήματος ( n ) είναι μεγαλύτερο από το ποσοστό απόδοσης ενός κεφαλαιοποιητικού συστήματος ( r ). Αντίθετα αν η ισορροπία είναι αποτελεσματική, δηλαδή ,n r≤ τότε η μετατροπή του συστήματος μειώνει την ευημερία όλων των ατόμων πλην της αρχικής γενεάς.



1. Να εξετάσετε τις επιπτώσεις της εισαγωγής ενός πλήρως ανταποδοτικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης στην ευημερία των ατόμων όταν δεν υπάρχει εσωτερική αγορά πίστεως στην οποία μπορούν να δανειστούν τα άτομα αλλά υπάρχει η δυνατότητα μόνο για την κυβέρνηση να επενδύσει στις διεθνείς χρηματαγορές. Απάντηση Σε αυτήν την περίπτωση, υπάρχει η δυνατότητα βελτίωσης της ευημερίας των ατόμων με την εισαγωγή ενός πλήρως ανταποδοτικού συστήματος. Θεωρήστε την περίπτωση που παρουσιάζεται στο Σχήμα 1. Πριν την εισαγωγή του συστήματος κοινωνικής ασφάλισης τα άτομα ισορροπούν στο σημείο Α όπου καταναλώνουν μόνο την πρώτη περίοδο 1ω μονάδες. Εάν το επιτόκιο ήταν αρκετά ψηλό θα ήθελαν να αποταμιεύσουν μέρος του εισοδήματός τους, αλλά αυτό δεν είναι εφικτό επειδή δεν υπάρχει εσωτερική αγορά πίστεως.

Σχήμα 1. Η ισορροπία πριν και μετά από ένα διανεμητικό σύστημα κοινωνικής ασφάλισης χωρίς αγορά πίστεως.

(1 )r τ−

1c 1ω τω −1

2c

E

A


Η εισαγωγή ενός συστήματος κοινωνικής ασφάλισης τους δίνει τη δυνατότητα να εξομαλύνουν την κατανάλωσή τους ισορροπώντας, για παράδειγμα, στο σημείο Ε όπου καταναλώνουν 1ω τ− την πρώτη περίοδο και ( )1 r τ+ τη δεύτερη. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, ο συνδυασμός που δίνεται από το σημείο Ε παρέχει ψηλότερο επίπεδο ευημερίας από το σημείο αυτάρκειας Α. 2. Έστω μια οικονομία στην οποία τα άτομα λαμβάνουν αποθέματα μόνο την πρώτη περίοδο του βίου τους. Να εξετάσετε τις επιπτώσεις της εισαγωγής ενός πλήρως ανταποδοτικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης στην ευημερία των ατόμων όταν δεν υπάρχει η δυνατότητα δανεισμού ( )0≥ts . Απάντηση Εφόσον τα άτομα λαμβάνουν αποθέματα μόνο την πρώτη περίοδο του βίου τους, ο περιορισμός της θετικής αποταμίευσης δεν είναι δεσμευτικός. Τα άτομα δεν μπορούν να δανειστούν, αφού τη δεύτερη περίοδο, όταν θα πρέπει να αποπληρώσουν το δάνειο, δε θα έχουν εισόδημα. Επομένως, όπως και στην περίπτωση χωρίς τον περιορισμό στην αποταμίευση, η εισαγωγή ενός ανταποδοτικού συστήματος κοινωνική ασφάλισης δεν επηρεάζει την ευημερία των ατόμων. Υπόβαθρο για τις Ασκήσεις 3-7. Οι Ασκήσεις 3-7 αφορούν μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών στην οποία η συνάρτηση χρησιμότητας των ατόμων παίρνει τη μορφή .121 += ttt ccu (1)

Επίσης, το απόθεμα των ατόμων, ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού και το διεθνές επιτόκιο είναι ,10001 =ω 02.0=n και 01.0=r , αντίστοιχα. Η ασφαλιστική εισφορά είναι τ και το όφελος b (βλ. παρακάτω). Η συμπεριφορά των ατόμων περιγράφεται από τη λύση του προβλήματος:


Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση (1) υπό τους περιορισμούς ,11 τω −=+ tt sc (2)

bsrc tt ++=+ )1(12 . (3)

H λύση του προβλήματος οδηγεί στις εξισώσεις

1 11 1 ,2 1

c br

ω τ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥+⎣ ⎦ (4)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++−

+= b

rrc

11

2)1(

12 τω (5)

και 1 1.s cω τ= − − (6)

Οι τιμές των μεταβλητών 1 2, , , ,c c s bτ και της συνάρτησης u εμφανίζονται (στρογγυλοποιημένες στην πλησιέστερη ακέραια μονάδα) στον Πίνακα 1. Στον ίδιο πίνακα εμφανίζεται και η παρούσα αξία του δια βίου εισοδήματος των ατόμων: )1(1 rb ++− τω . Στην αρχή του ορίζοντα δεν υπάρχει σύστημα κοινωνικής ασφάλισης. Μετά από αντικατάσταση των παραμέτρων και των τιμών 0=τ και

0=b προκύπτουν η κατανάλωση της πρώτης και δεύτερης περιόδου, η αποταμίευση, το δια βίου εισόδημα και το επίπεδο χρησιμότητας που απολαμβάνουν τα άτομα. Την περίοδο 2 ανακοινώνεται ότι την επόμενη περίοδο ( 3t = ) θα δημιουργηθεί ένα διανεμητικό σύστημα κοινωνικής ασφάλισης με ασφαλιστική εισφορά 300=τ . Η γενεά 2 δεν πληρώνει ασφαλιστικές εισφορές, αφού το σύστημα ξεκινά την περίοδο 3,t = και είναι η πρώτη που θα εισπράξει όφελος, αφού την περίοδο 3 τα μέλη της θα είναι ηλικιωμένοι. Οι τιμές για τις μεταβλητές αυτής της γενεάς προκύπτουν μετά από αντικατάσταση στις εξισώσεις (4), (5) και (6) των τιμών 0τ = και (1 )b n τ= +

1.02 300 306= × = . Η γενεά 3 πληρώνει εισφορές 300=τ και απολαμβάνει όφελος

ίσο με 30002.1306 ×==b . Οι μεταβλητές που αναφέρονται σε αυτήν τη γενεά προκύπτουν μετά από αντικατάσταση των παραπάνω τιμών στις εξισώσεις (4), (5) και (6).


Στη συνέχεια ας εξετάσουμε τη χρησιμότητα της γενεάς 4. Η γενεά αυτή πληρώνει φόρους (εισφορές) ίσες με 300=τ . Τυγχάνει όμως την επόμενη περίοδο όταν αυτή η γενεά θα είναι στη σύνταξη να έχει αυξηθεί ο αριθμός των γεννήσεων (ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού αυξάνεται από 0.02 σε 0.03). Επομένως όταν η γενεά 4 θα είναι στη σύνταξη θα υπάρχουν ακόμη περισσότεροι εργαζόμενοι ανά συνταξιούχο. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα κάθε εργαζόμενος να συνεισφέρει στο σύστημα 300=τ και κάθε συνταξιούχος να λαμβάνει 309=b . Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι η γενεά που προηγείται μιας αύξησης της γεννητικότητας (baby boom) ωφελείται ακόμη περισσότερο από ότι συνήθως από ένα διανεμητικό σύστημα κοινωνικής ασφάλισης.

Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι την περίοδο 6 ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού μειώνεται σε 0.01. Αυτό σημαίνει ότι κάθε άτομο της γενεάς με την ψηλή γεννητικότητα (baby boomers) όταν θα βρεθεί στη σύνταξη θα εισπράξει όφελος 30330001.1 =×=b . Η γενεά που προηγείται μιας μείωσης της γεννητικότητας θα αντιμετωπίσει μια μείωση στο δια βίου εισόδημά της σε σχέση με το εισόδημα των προηγούμενων γενεών.

Την περίοδο 8 ο ρυθμός του πληθυσμού μειώνεται ακόμη περισσότερο στο μηδέν. Τα μέλη της γενεάς 7 πλήρωσαν την περίοδο 7 300=τ και εισπράττουν την περίοδο 8 30030000.1 =×=b . Επομένως, η παρούσα αξία του εισοδήματος τους έχει μειωθεί. Το γεγονός ότι rn < σημαίνει ότι τα άτομα χάνουν χρήματα από το σύστημα κοινωνικής ασφάλισης. Μια λύση που φαίνεται να υπάρχει είναι να αντικατασταθεί το διανεμητικό σύστημα από ένα κεφαλαιοποιητικό. Ας υποθέσουμε ότι αυτό αποφασίζεται να γίνει την περίοδο 9. Το μεγάλο πρόβλημα είναι η γενεά 8: η γενεά η οποία πλήρωσε εισφορές την προηγούμενη περίοδο και της οποίας είναι η σειρά τώρα να εισπράξει συντάξεις. Με την αλλαγή του συστήματος η γενεά αυτή δε θα πάρει τίποτα.


Πίνακας 1. Οι Επιδράσεις Διαφόρων Δημογραφικών Αλλαγών σε ένα Σύστημα Κοινωνικής Ασφάλισης

Περίοδος και Γενεά

Μετα- βολές

1c

2c

s

τ

b

rb+

+

−

1

1 τω

21ccu =

1 ΧΚΑ 500 505 500 0 0 1000 252500

2 » 652 658 349 0 306 1303 428687

3 Δ 502 507 199 300 306 1003 254017

4 » 503 508 197 300 309 1006 255524

5 03.0=n 500 505 200 300 303 1000 252500

6 0.01n = 500 505 200 300 303 1000 252500

7 » 499 504 202 300 300 997 250995

8 0=n 350 354 350 300 0 700 123725

9 Κ 500 505 200 300 303 1000 252500

10 » 500 505 200 300 303 1000 252000

»

Σημειώσεις: Αρχικές τιμές την περίοδο 1=t , ,10001 =ω

02.0=n , 01.0=r . ΧΚΑ: Χωρίς Κοινωνική Ασφάλιση, Δ: Διανεμητικό, Κ: Κεφαλαιοποιητικό.


3. Υποθέστε ότι η δημιουργία του προγράμματος κοινωνικής ασφάλισης δεν είχε ανακοινωθεί την περίοδο 2 και επομένως τα μέλη της γενεάς 2 δεν το γνώριζαν όταν ήταν νέοι. Συμπληρώστε τα στοιχεία του Πίνακα 1 κάτω από αυτό το σενάριο. Απάντηση Αν τα μέλη της γενεάς 2 δε γνώριζαν τη δημιουργία του προγράμματος κοινωνικής ασφάλισης και επομένως το όφελος που θα είχαν τη δεύτερη περίοδο του βίου τους, τότε δε θα λάβουν υπόψη αυτό το ποσό στην απόφασή τους για το πόσο θα καταναλώσουν την πρώτη περίοδο και πόσο θα αποταμιεύσουν για τη δεύτερη. Επομένως η κατανάλωση της πρώτης περιόδου και η αποταμίευση προκύπτουν από τις εξισώσεις (4) και (6) θέτοντας 0τ = και 0b = . Το όφελος

(1 ) 1.02 300 306b n= + = × =τ είναι κάτι που το μαθαίνουν την περίοδο 3. Θα αλλάξουν μόνο τα στοιχεία της δεύτερης γραμμής

Πίνακας 2. Οι Επιδράσεις Διαφόρων Δημογραφικών Αλλαγών σε ένα Σύστημα Κοινωνικής Ασφάλισης



1c

2c

s

τ

b

rb+

+

−

1

1 τω

21ccu =

2 ΧΚΑ 500 811 500 0 306 1303 405500

Σημειώσεις: Βλ. Πίνακα 1.

4. Την περίοδο 5 ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού αυξάνεται. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα το κάθε μέλος της γενεάς 4 να λαμβάνει μεγαλύτερη σύνταξη ( 309b = ), αφού την περίοδο 5 υπάρχουν περισσότεροι εργαζόμενοι ανά συνταξιούχο. Εναλλακτικά, μπορεί να διατηρηθεί το όφελος που εισπράττει η γενεά 4 σταθερό ( 306=b ) και να μειωθεί η εισφορά κάθε μέλους της γενεάς με την ψηλή


γεννητικότητα. Συμπληρώστε τον Πίνακα 1 κάτω από αυτό το σενάριο. Απάντηση Σε αυτή την περίπτωση θα αλλάξουν τα στοιχεία της πέμπτης γραμμής. Τα μέλη της πέμπτης γενεάς πληρώνουν χαμηλότερη εισφορά και το δια βίου εισόδημά τους αυξάνεται. Πιο συγκεκριμένα, η εισφορά που πληρώνουν τα μέλη της πέμπτης γενεάς είναι

/(1 ) 306 /1.03 297.b nτ = + = = Πίνακας 3. Οι Επιδράσεις Διαφόρων Δημογραφικών Αλλαγών σε

ένα Σύστημα Κοινωνικής Ασφάλισης



1c

2c

s

τ

b

rb+

+

−

1

1 τω

21ccu =

5 0.03n = 502 507 202 297 303 1303 254017


5. Την περίοδο 6 ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού μειώνεται. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα το κάθε μέλος της γενεάς 5 να λαμβάνει μικρότερη σύνταξη ( 303b = ), αφού την περίοδο 5 υπάρχουν περισσότεροι εργαζόμενοι ανά συνταξιούχο. Εναλλακτικά, για να διατηρηθεί το όφελος της γενεάς 5 στα προηγούμενα επίπεδα, μπορεί να αυξηθεί η ασφαλιστική εισφορά των εργαζομένων. Συμπληρώστε τον Πίνακα 1 κάτω από αυτό το σενάριο. Απάντηση Με την αύξηση της εισφοράς, το εισόδημα των μελών της πέμπτης γενεάς μειώνεται. Τα στοιχεία της έκτης γραμμής θα αλλάξουν. Συγκεκριμένα, η νέα εισφορά είναι /(1 ) 309 /1.01 306.b nτ = + = =


Πίνακας 4. Οι Επιδράσεις Διαφόρων Δημογραφικών Αλλαγών σε

ένα Σύστημα Κοινωνικής Ασφάλισης



1c

2c

s

τ

b

rb+

+

−

1

1 τω

21ccu =

6 0.01n = 497 502 197 306 303 1303 249479


6. Την περίοδο 9 γίνεται η μετατροπή από ένα διανεμητικό σε ένα κεφαλαιοποιητικό σύστημα κοινωνικής ασφάλισης. Τα μέλη της γενεάς 8 είναι ηλικιωμένοι αυτήν την περίοδο. Με τη μετατροπή του συστήματος δε θα λάβουν σύνταξη. Ένας τρόπος για να αποζημιωθούν είναι να φορολογηθούν οι μελλοντικές γενεές. Ζητείται να βρεθεί ο φόρος που πρέπει να επιβληθεί σε έναν ορισμένο αριθμό γενεών για να καταστεί δυνατή η πλήρης αποζημίωση. Απάντηση Ο φόρος δίνεται από τον τύπο (βλ. Παλυβός 2008, σελ. 406)

111(1 )

nrz r

r n

χ

τ

+⎛ ⎞− ⎜ ⎟+⎝ ⎠= +−

, (1)

όπου χ ο αριθμός των γενεών που θα φορολογηθούν και z το ύψος του φόρου. Λύνοντας την εξίσωση (1) ως προς z έχουμε

( ) 1(1 ) 11

1

r nzr n

r

χ

τ −=

+ +⎛ ⎞− ⎜ ⎟+⎝ ⎠

. (2)


Αντικαθιστώντας στην (2) τις δεδομένες τιμές των παραμέτρων έχουμε

1.4851 0.995

z χ=−

. (3)

Αν η φορολογία επιβληθεί μόνο σε μια γενεά, οπότε 1=χ , τότε η τιμή του z είναι φυσικά 300, όσο δηλαδή είναι και το κόστος. Αν η φορολογία επιβληθεί σε δύο γενεές ( 2=χ ) τότε το z είναι περίπου 150.37, σε τρεις περίπου 100.5, κ.ο.κ.

Αξίζει να σημειωθεί ότι αν 0n = τότε

2.971 0.99

z χ=−

.

Επομένως, αν η φορολογία επιβληθεί σε μια γενεά η τιμή του φόρου είναι και πάλι 300. Αν επιβληθεί σε δύο γενεές τότε ο φόρος είναι περίπου 150.75, σε τρεις γενεές περίπου 101, κ.ο.κ. Βλέπουμε λοιπόν ότι, όπως αναμένεται, για τιμές του χ μεγαλύτερες του 1, καθώς ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού αυξάνεται, ο απαιτούμενος φόρος μειώνεται. Η πρόταση αυτή μπορεί να αποδειχθεί μετά από παραγώγιση της (2)

[ ]2

1(1 ) 1 ( )1 0 αν 1 και .

1(1 )(1 ) 11

nn n r ndz r r ndn nr n

r

χ

χ

χτ χ

+⎛ ⎞− + + + + −⎜ ⎟+⎝ ⎠= < > >⎡ ⎤+⎛ ⎞+ + − +⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Ο αναγνώστης καλείται να δείξει με τη μέθοδο της τέλειας επαγωγής ότι αν r n> τότε

[ ]1(1 ) 1 ( ) 0,1

nn n r nr

χ

χ+⎛ ⎞− + + + + − ≤⎜ ⎟+⎝ ⎠

όπου η ισότητα ισχύει όταν 1.χ = Θυμηθείτε επίσης ότι η περίπτωση της μετατροπής ενός διανεμητικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης σε κεφαλαιοποιητικό, την οποία και εξετάζουμε, έχει νόημα μόνο αν r n> .


7. Να επαναληφθεί Άσκηση 6 όταν 0n = αλλά 02.0=r . Απάντηση Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (2) της Άσκησης 6 έχουμε

5.8821 0.98

z χ=−

.

Επομένως, αν η φορολογία επιβληθεί μόνο σε μια γενεά, τότε η τιμή του z είναι 300. Αν η φορολογία επιβληθεί σε δύο γενεές τότε το z είναι περίπου 151.49, σε τρεις περίπου 102, κ.ο.κ.

Συγκρίνοντας αυτές τις τιμές με εκείνες στην Άσκηση 6, όταν 0n = και 0.01,r = βλέπουμε ότι, για τιμές του χ μεγαλύτερες του 1,

σε ψηλότερες τιμές του επιτοκίου αντιστοιχεί ψηλότερος φόρος. Η πρόταση αυτή μπορεί να αποδειχθεί μετά από παραγώγιση της εξίσωσης (2) της Άσκησης 6

[ ]2

2

1(1 ) 1 ( )1 0 αν 1 και

1(1 ) 11

nn n r ndz r r ndr nr

r

χ

χ

χτ χ

+⎛ ⎞+ − + + −⎜ ⎟+⎝ ⎠= > > >⎡ ⎤+⎛ ⎞+ − +⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(βλ. και την Άσκηση 6). Η εξήγηση βέβαια γι’ αυτήν την πρόταση είναι ότι μια αύξηση του επιτοκίου μειώνει την παρούσα αξία ενός δεδομένου ποσού χρημάτων.

15. Κοινωνική Ασφάλιση σε Παραγωγικές Οικονομίες

15.1. Ερωτήσεις Σχολιάστε την εγκυρότητα των παρακάτω προτάσεων. Αν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σωστή κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε αυτές τις προϋποθέσεις. 1. Ένα διανεμητικό σύστημα κοινωνικής ασφάλισης δεν επηρεάζει τη συσσώρευση του κεφαλαίου. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Ένα διανεμητικό σύστημα κοινωνικής ασφάλισης επηρεάζει την αποταμίευση των ατόμων και επομένως και τη συσσώρευση του κεφαλαίου. 2. Ένα κεφαλαιοποιητικό σύστημα κοινωνικής ασφάλισης δεν επηρεάζει τη συσσώρευση του κεφαλαίου. Απάντηση Η πρόταση είναι σωστή. Σε μια οικονομία στην οποία η κυβέρνηση έχει την ίδια διαπραγματευτική δύναμη με τους ιδιώτες στην αγορά κεφαλαίου και το κόστος διαχείρισης των εισφορών είναι μηδαμινό, ένα κεφαλαιοποιητικό σύστημα κοινωνικής ασφάλισης δεν επηρεάζει τη συσσώρευση του κεφαλαίου. Κάθε άτομο μειώνει την αποταμίευσή του κατά το ποσό της ασφαλιστικής εισφοράς. Η κυβέρνηση επενδύει στην αγορά κεφαλαίου αυτήν την εισφορά για λογαριασμό κάθε εργαζομένου. Επομένως, η συνολική αποταμίευση παραμένει η ίδια και η ποσότητα του κεφαλαίου δεν επηρεάζεται.


3. Αν η ανταγωνιστική ισορροπία είναι δυναμικά αναποτελεσματική τότε η εισαγωγή ενός διανεμητικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης αποτελεί βελτίωση κατά Pareto. Απάντηση Η πρόταση είναι σωστή. Η εισαγωγή ενός διανεμητικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης θα μειώσει το κεφάλαιο ανά εργαζόμενο. Επομένως, αν η ισορροπία είναι δυναμικά αναποτελεσματική (υπάρχει δηλαδή υπερ-συσσώρευση κεφαλαίου) τότε θα οδηγήσει σε αύξηση της ευημερίας των ατόμων. 4. Αν η ανταγωνιστική ισορροπία είναι δυναμικά αποτελεσματική τότε η εισαγωγή ενός διανεμητικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης αποτελεί βελτίωση κατά Pareto. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, η εισαγωγή ενός διανεμητικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης θα μειώσει το κεφάλαιο ανά εργαζόμενο. Επομένως, αν η ισορροπία είναι δυναμικά αποτελεσματική θα οδηγήσει σε μείωση της ευημερίας των ατόμων εκτός από αυτήν της αρχικής γενεάς. Η ευημερία της αρχικής γενεάς αυξάνεται διότι λαμβάνει σύνταξη χωρίς να έχει πληρώσει εισφορές. 5. Αν η ανταγωνιστική ισορροπία είναι δυναμικά αναποτελεσματική τότε η εισαγωγή ενός ανταποδοτικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης αποτελεί βελτίωση κατά Pareto. Απάντηση Η πρόταση είναι λανθασμένη. Όπως αναφέρθηκε και στην απάντηση της Ερώτησης 2, ένα κεφαλαιοποιητικό σύστημα κοινωνικής ασφάλισης δεν επηρεάζει την ποσότητα του κεφαλαίου. Επομένως, δεν επηρεάζει και την ευημερία των ατόμων. Η κυβέρνηση κάνει απλώς αυτό που θα έκαναν έτσι και αλλιώς άτομα που μεγιστοποιούν την δια βίου χρησιμότητά τους.

Κοινωνική Ασφάλιση σε Παραγωγικές Οικονομίες 273

6. Αν η ανταγωνιστική ισορροπία είναι δυναμικά αποτελεσματική τότε η εισαγωγή ενός ανταποδοτικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης αποτελεί βελτίωση κατά Pareto. Απάντηση Η απάντηση είναι η ίδια με αυτήν που δόθηκε στην Ερώτηση 5.


1. Έστω μια οικονομία με τα ακόλουθα δεδομένα: ( )1 2 1 ,t t tu c c β+=

( ) ,f k Akα= 100A = , 1 3α = , 0.01n = , και 0.99β = . Η κυβέρνηση ξεκινάει ένα διανεμητικό πρόγραμμα κοινωνικής ασφάλισης με ασφαλιστική εισφορά .20=τ Να βρεθούν τα επίπεδα κεφαλαίου και εισοδήματος ανά εργαζόμενο καθώς επίσης και οι ποσότητες που καταναλώνονται και αποταμιεύονται στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως. Αποτελεί η εισαγωγή του προγράμματος βελτίωση κατά Pareto; Εξηγήστε. Απάντηση Μεγιστοποιώντας τη συνάρτηση χρησιμότητας ( )1 2 1 ,βt t tu c c += (1) υπό τους περιορισμούς 1t t tc s w τ+ = − (2) και ( )2 1 1 11 ,t t t tc r s b+ + += + + (3)

καταλήγουμε στις συναρτήσεις ζήτησης για κατανάλωση και αποταμίευση


1 1

1

1 1 ,1 1t t t

tc w τ b

β r ++

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(4)

( )12 1 1

1

1 1 ,1 1

tt t t

t

β rc w τ b

β r+

+ ++

+ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(5)

( ) 1

1

1 .1 1 1

tt t

t

bβs w τβ β r

+

+

= − −+ + +

(6)

Επίσης, αφού το σύστημα είναι διανεμητικό, ( )1 .b n τ= + (7)

Αντικαθιστώντας την (7) στις (4), (5) και (6) οδηγούμαστε στις

11

1

1 ,1 1

tt t

t

n rc w τβ r

+

+

⎛ ⎞−= +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(8)

( )1 12 1

1

11 1

t tt t

t

β r n rc w τβ r+ +

++

+ ⎛ ⎞−= +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(9)

και ( )

( )( )1

11 .

1 1 1t

t tt

r nβs w τβ β r

+

+

⎛ ⎞−= − −⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

(10)

Στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσουμε το μισθό και το επιτόκιο. Η συνάρτηση παραγωγής στην εντατική μορφή είναι α

t ty Ak= και επομένως, ο μισθός και το επιτόκιο δίνονται από τις εξισώσεις ( )1 ,αt tw α Ak= − (11) 1.α

t tr α Ak −= (12) Στην ισορροπία, ( ) 11 .t ts n k += + (13)


Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (6), (11) και (12) στην (13) καταλήγουμε στην εξίσωση

( )( )( )

11

1 11

1 1 1 .1 1 1 1

αα t

t t αt

α Ak nβk α Ak τn β β α Ak

−+

+ −+

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠⎣ ⎦

(14)

Λύνοντας την εξίσωση (14), μετά από αντικατάσταση των τιμών

100A = , 1 3α = , 0.01n = , 0.99β = , 20τ = και του ορισμού της ισορροπίας σταθερής καταστάσεως 1 ,t tk k k∗

+ = = βρίσκουμε 165.8.k∗ =

Στη συνέχεια, αντικαθιστώντας στις εξισώσεις (11) και (12), έχουμε ότι στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως 366.2 και 1.104.w r= =

Τέλος, μετά από αντικατάσταση στις εξισώσεις (8), (9) και (10) βρίσκουμε ότι οι ποσότητες που καταναλώνονται και αποταμιεύονται στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως είναι 1 2178.8, = 372.5 και s 167.4.c c= =

Θέτοντας 0τ = στην εξίσωση (14) έχουμε ότι χωρίς το

διανεμητικό σύστημα κοινωνικής ασφάλισης το κεφάλαιο ανά εργαζόμενο είναι 188.2.XKAk∗ =

(Βλ. επίσης Άσκηση 11.3, όπου αναλύεται η συγκεκριμένη οικονομία χωρίς κοινωνική ασφάλιση. Επίσης στην Άσκηση 3, αναλύεται η συγκεκριμένη οικονομία με ένα κεφαλαιοποιητικό σύστημα κοινωνικής ασφάλισης και επομένως το κεφάλαιο ανά εργαζόμενο είναι το ίδιο με αυτό που υπάρχει στην οικονομία χωρίς κοινωνική ασφάλιση). Βλέπουμε από τα παραπάνω ότι η εισαγωγή του διανεμητικού συστήματος μείωσε το κεφάλαιο ανά εργαζόμενο. Ο


λόγος γι’ αυτό είναι ότι, πριν την εισαγωγή του νέου συστήματος, η ισορροπία ήταν δυναμικά αποτελεσματική (το επιτόκιο χωρίς κοινωνική ασφάλιση είναι 1.015 0.01n> = ). Συνάγεται επίσης το συμπέρασμα ότι και η κατανάλωση των μελλοντικών γενεών μειώνεται. Πράγματι, θέτοντας 0τ = βρίσκουμε ότι χωρίς κοινωνική ασφάλιση

1 2192 και 383.XKA XKAc c∗ ∗= = Επομένως, στη συγκεκριμένη άσκηση, η εισαγωγή ενός διανεμητικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης δεν αποτελεί βελτίωση κατά Pareto. 2. Αναλύστε τις επιπτώσεις ενός διανεμητικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης όταν η ασφαλιστική εισφορά είναι ένα σταθερό ποσοστό του μισθού. Εξετάστε αναλυτικά τις επιπτώσεις στην κατανάλωση της πρώτης και της δεύτερης περιόδου, στην αποταμίευση και στο επίπεδο του κεφαλαίου. Αποτελεί η εισαγωγή ενός τέτοιου προγράμματος βελτίωση κατά Pareto; Εξηγήστε. Σχεδιάστε ένα διάγραμμα φάσης για να εξηγήσετε τα αποτελέσματά σας. Απάντηση Ξεκινάμε καταρχήν αναλύοντας το πρόβλημα των ατόμων το οποίο συνοψίζεται ως εξής: ( )1 2 1max ,βt t tu c c += (1)

υπό τους περιορισμούς ( )1 1t t tc s τ w+ = − (2)

και ( )2 1 1 11 ,t t t tc r s b+ + += − + (3)

όπου τ δηλώνει το ποσοστό του μισθού που παρακρατείται ή αποδίδεται ως ασφαλιστική εισφορά. Συνδυάζοντας τις (1) και (2) καταλήγουμε στον δια βίου εισοδηματικό περιορισμό


( )1 2 1 11 1

1 11 .1 1t t t t

t tc c τ w b

r r+ ++ +

+ = − ++ +

(4)

Για να μεγιστοποιήσουμε την (1) υπό τον περιορισμό (4) σχηματίζουμε πρώτα τη συνάρτηση Lagrange

( ) ( )1 2 1 1 1 2 11 1

1 11 ,1 1

βt t t t t t t

t tL c c λ τ w b c c

r r+ + ++ +

⎡ ⎤= + − + − −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

όπου tλ είναι ο πολλαπλασιαστής Lagrange. Οι συνθήκες πρώτης τάξης για μέγιστο είναι

( )2 11

0 ,βt t

t

L c λc +∂

= ⇒ =∂

(5)

( ) 11 2 1

2 1 1

101

βt t t

t t

L c β c λc r

−+

+ +

∂= ⇒ =

∂ + (6)

και ο εισοδηματικός περιορισμός (4). Διαιρώντας τις (5) και (6) κατά μέλη οδηγούμαστε στη γνωστή σχέση ότι ο ΟΛϒ πρέπει να είναι ίσος με το λόγο των τιμών: 2 1

1 1

1 .1

t

t t

cβc r

+

+

=+

(7)

Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (4) και (7) βρίσκουμε τις συναρτήσεις ζήτησης για κατανάλωση

( )1 11

1 11 ,1 1t t t

tc τ w b

β r ++

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

(8)

( ) ( )12 1 1

1

1 11 .1 1

tt t t

t

β rc τ w b

β r+

+ ++

+ ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

(9)

Επίσης συνδυάζοντας τις εξισώσεις (2) και (8) προκύπτει η συνάρτηση αποταμίευσης


( ) 1

1

11 .1 1 1

tt t

t

bβs τ wβ β r

+

+

= − −+ + +

(10)

Σε ένα διανεμητικό σύστημα κοινωνικής ασφάλισης κάθε περίοδο t τα νέα άτομα πληρώνουν ως εισφορά .tτ w Η κυβέρνηση ισοσκελίζει τα έσοδα με τα έξοδα κάθε περίοδο. Επομένως,

1 ,t t t tN τ w N b+ =

ή ( )1 .t tb τ n w= + (11)

Αντικαθιστώντας την εξίσωση (11) στις (8), (9) και (10) έχουμε

11

1

1 1 ,1 1

tt t

t

n rc w τβ r

+

+

⎛ ⎞−= +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(12)

( )1 12 1

1

11

1 1t t

tt

β r n rc τβ r+ +

++

+ ⎛ ⎞−= +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(13)

και

( )( )1

11 .

1 1 1t

t tt

r nβs w τβ β r

+

+

⎡ ⎤⎛ ⎞−= − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+ + +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(14)

Από την (14) φαίνεται ότι αν 1,tn r += τότε μια αύξηση στην εισφορά κατά 1% θα μειώσει την αποταμίευση ως ποσοστό του μισθού, ,t ts w κατά 1%. Αντίστοιχα αν 1 ,tr n+ > τότε η μείωση στο λόγο t ts w είναι μικρότερη από 1%, ενώ αν 1 ,tr n+ < τότε η μείωση είναι μεγαλύτερη από 1%. Τα αποτελέσματα αυτά μπορούν να κατανοηθούν καλύτερα αν θεωρήσουμε την ιδιωτική αποταμίευση και την κοινωνική ασφάλιση σαν δύο εναλλακτικούς τρόπους για να μεταφέρει κανείς εισόδημα στη δεύτερη περίοδο του βίου του. Τα ποσοστά απόδοσης από αυτούς τους δύο τρόπους είναι 1tr + και n αντίστοιχα. Μια αύξηση στο ποσό που τοποθετείται στη μία μορφή επένδυσης είναι


φυσικό να προκαλεί μείωση στο ποσό που τοποθετείται στην άλλη μορφή. Το ακριβές ποσό της μείωσης εξαρτάται από το ποσοστό απόδοσης της κάθε μιας μορφής, έτσι ώστε να επιτυγχάνεται το συνολικό ποσό που επιθυμεί να επενδύσει-αποταμιεύσει ο καταναλωτής.

Η συνάρτηση παραγωγής είναι 1 ,α α

t t tY A K L −= (15)

ή, στην εντατική μορφή, .αt ty Ak= (16)

Επίσης, αν οι αγορές κεφαλαίου και εργασίας είναι

ανταγωνιστικές, 1,α

t tr α Ak −= (17)

( )1 .αt tw α Ak= − (18)

Τέλος, η ισορροπία στην αγορά περιουσιακών στοιχείων

υπαγορεύει ότι η αποταμίευση ανά εργαζόμενο είναι ίση με το κεφάλαιο της επόμενης περιόδου ανά εργαζόμενο ( ) 11 .t ts n k += + (19)


( ) ( )( )1

11

1 1 ,1 1 1

tt t

t

r nβn k w τβ β r

++

+

⎧ ⎫⎡ ⎤−⎪ ⎪+ = − −⎢ ⎥⎨ ⎬+ + +⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

ή, αν ονομάσουμε

( )( )1

11

11 1

tt

t

r nβ r+

++

−Ω = −

+ +

και χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση (18),


( )1 11 1 .

1 1α

t t tβk α Ak τ

n β+ +⎛ ⎞

= − −Ω⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ (20)

Αν θέσουμε 0,τ = τότε η εξίσωση (20) γίνεται ( )1

1 1 ,1 1

αt t


+ +

που είναι η εξίσωση που περιγράφει την εξέλιξη του κεφαλαίου σε μια οικονομία χωρίς κοινωνική ασφάλιση. Η επίδραση του θεσμού της κοινωνικής ασφάλισης πάνω στην τροχιά του κεφαλαίου εξαρτάται από την τιμή του 1.t+Ω Κάνοντας πράξεις έχουμε ( )1

11

1 11 0.1 1

tt

t

β r nβ r

++

+

+ + +Ω = >

+ +

Επομένως, όταν υπάρχει κοινωνική ασφάλιση, η καμπύλη που περιγράφει τη μεταβολή του κεφαλαίου (εξίσωση 20) βρίσκεται χαμηλότερα από την αντίστοιχη καμπύλη όταν δεν υπάρχει κοινωνική ασφάλιση. Αυτό συμβαίνει επειδή, σύμφωνα με την εξίσωση (20), για κάθε επίπεδο tk , η τιμή του κεφαλαίου 1tk + είναι μικρότερη με κοινωνική ασφάλιση απ’ ότι είναι χωρίς αυτή. Με άλλα λόγια, μια αύξηση στο ποσοστό της ασφαλιστικής εισφοράς τ θα μειώσει την αποταμίευση των ατόμων και επομένως και το κεφάλαιο της επόμενης περιόδου, αφού με την ψηλότερη ασφαλιστική εισφορά τα άτομα αναγκάζονται να στραφούν περισσότερο προς την εναλλακτική μορφή επένδυσης, σε σχέση με την ιδιωτική αποταμίευση, που έχουν για να μεταφέρουν εισόδημα στη δεύτερη περίοδο του βίου τους. Η μετατόπιση της καμπύλης που περιγράφει το 1tk + ως συνάρτηση του

tk φαίνεται στο Σχήμα 1. Η μία καμπύλη περιγράφει τη συσσώρευση του κεφαλαίου χωρίς και η άλλη με κοινωνική ασφάλιση ( KA ). Χωρίς κοινωνική ασφάλιση το επίπεδο του κεφαλαίου ανά εργαζόμενο στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως είναι .k∗


Σχήμα 1. Η επίδραση ενός διανεμητικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης πάνω στη συσσώρευση του κεφαλαίου.

Η συσσώρευση του κεφαλαίου είναι μικρότερη σε κάθε επίπεδο κεφαλαίου όταν υπάρχει κοινωνική ασφάλιση. Κατά συνέπεια και το επίπεδο κεφαλαίου στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως είναι επίσης μικρότερο .Kk k

Α

∗ ∗< Όπως αναφέραμε, αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι με κοινωνική ασφάλιση τα άτομα αποταμιεύουν λιγότερο.

Στο σημείο αυτό ας θυμηθούμε ότι η εισαγωγή ενός διανεμητικού προγράμματος κοινωνικής ασφάλισης ωφελεί πάντα την τρέχουσα γενεά αφού αυτή θα λάβει συντάξεις χωρίς να πληρώσει εισφορές. Ας θυμηθούμε επίσης ότι μια μείωση στο επίπεδο του κεφαλαίου ανά εργαζόμενο θα μειώσει ή θα αυξήσει το επίπεδο της κατανάλωσης ανά εργαζόμενο ανάλογα με το αν η οικονομία είναι δυναμικά αποτελεσματική ή όχι. Συγκεκριμένα, αν η οικονομία είναι δυναμικά αποτελεσματική, nr > , τότε μια μείωση στο κεφάλαιο k θα μειώσει

Χωρίς ΚΑ

Με ΚΑ

0k *ΚΑk tk *k

1+tk


την κατανάλωση c . Αντίθετα, αν η οικονομία είναι δυναμικά αναποτελεσματική, δηλαδή αν nr < , τότε μια μείωση στο κεφάλαιο θα αυξήσει την κατανάλωση. Επομένως, αν η οικονομία είναι δυναμικά αποτελεσματική η εισαγωγή ενός διανεμητικού προγράμματος κοινωνικής ασφάλισης θα αυξήσει την ευημερία της τρέχουσας γενεάς αλλά θα μειώσει αυτήν των μελλοντικών γενεών, αφού θα οδηγήσει σε μείωση της αποταμίευσης και επομένως του κεφαλαίου ανά εργαζόμενο. Αντίθετα, αν η οικονομία είναι δυναμικά αναποτελεσματική, τότε η εισαγωγή ενός διανεμητικού προγράμματος κοινωνικής ασφάλισης θα αυξήσει την ευημερία τόσο της τρέχουσας γενεάς όσο και των μελλοντικών. Με άλλα λόγια, η εισαγωγή του συγκεκριμένου προγράμματος θα μειώσει και ενδεχομένως να εξαλείψει, για μεγάλες τιμές του ποσοστού ασφαλιστικής εισφοράς τ , τη δυναμική αναποτελεσματικότητα. 3. Έστω μια οικονομία με τα ακόλουθα δεδομένα: ( )1 2 1 ,t t tu c c β

+=

( ) ,f k Akα= 100A = , 1 3α = , 0.01n = , και 0.99β = . Η κυβέρνηση ξεκινάει ένα κεφαλαιοποιητικό πρόγραμμα κοινωνικής ασφάλισης με ασφαλιστική εισφορά 20τ = . Να βρεθούν τα επίπεδα κεφαλαίου και εισοδήματος ανά εργαζόμενο καθώς επίσης και οι ποσότητες που καταναλώνονται και αποταμιεύονται στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως. Να συγκριθούν τα αποτελέσματα με αυτά των Ασκήσεων 1 (στο παρόν κεφάλαιο) και 11.3. Αποτελεί η εισαγωγή του προγράμματος βελτίωση κατά Pareto; Απάντηση Οι συναρτήσεις ζήτησης για κατανάλωση και αποταμίευση είναι οι ίδιες με αυτές που βρέθηκαν στην Άσκηση 1

1 11

1 1 ,1 1t t t

tc w τ b

β r ++

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(1)

( )12 1 1

1

1 1 ,1 1

tt t t

t

β rc w τ b

β r+

+ ++

+ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(2)


( ) 1

1

1 .1 1 1

tt t

t

bβs w τβ β r

+

+

= − −+ + +

(3)

Επίσης, αφού το σύστημα είναι κεφαλαιοποιητικό, ο προϋπολογισμός της κυβέρνησης μπορεί να γραφεί ως ( )1 11 .t tb r τ+ += + (4)

Αντικαθιστώντας την (4) στις (1) και (2) επιβεβαιώνουμε ότι οι συναρτήσεις κατανάλωσης δεν επηρεάζονται από την εισαγωγή ενός κεφαλαιοποιητικού συστήματος

11 ,

1t tc wβ

=+

(5)

( )12 1

1.

1t

t tβ r

c wβ+

++

=+

(6)

Επίσης, από την εξίσωση (3), έχουμε ότι

.1t tβs w τβ

= −+

(7)

Επομένως, η επιβολή της ασφαλιστικής εισφοράς μειώνει την ιδιωτική αποταμίευση ένα προς ένα.

Η ισορροπία στην αγορά περιουσιακών στοιχείων επιβάλλει

1 ,t t tK S N τ+ = +

ή

1 ,t t t tK N s N τ+ = +

ή, διαιρώντας και τα δύο μέλη με 1tN + ,


1

1 1 ,1 1t tk s τ

n n+ = ++ +

ή, αντικαθιστώντας την (7),

11 ,

1 1t tβk w

n β+ =+ +

(8)

όπου ο μισθός δίνεται από την εξίσωση ( )1 .αt tw α Ak= − (9)

Αντικαθιστώντας την (9) στην (8) έχουμε ( )1

1 1 ,1 1

αt t


+ +

ή, μετά από αντικατάσταση των τιμών 100A = , 1 3α = , 0.01n = και

0.99β = 1 3

1 32.837 .t tk k+ = (10)

Θέτοντας 1t tk k k∗+ = = στην (10) και λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε 188.2.k∗ =

Ας σημειωθεί ότι το επίπεδο του κεφαλαίου ανά εργαζόμενο είναι ακριβώς το ίδιο με εκείνο που υπάρχει σε μια οικονομία χωρίς κοινωνική ασφάλιση (βλ. και Άσκηση 11.3). Αυτό συμβαίνει διότι όπως γνωρίζουμε ένα κεφαλαιοποιητικό σύστημα κοινωνικής ασφάλισης δεν επηρεάζει τη συσσώρευση του κεφαλαίου.

Επίσης μετά από αντικατάσταση στις εξισώσεις (5), (6) και (7) έχουμε ότι στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως

1 2192, 383 και 170.c c s= = =


Βλέπουμε δηλαδή ότι οι ποσότητες που καταναλώνονται από κάθε άτομο στην πρώτη και δεύτερη περίοδο του βίου του είναι ακριβώς οι ίδιες με εκείνες χωρίς κοινωνική ασφάλιση. Επομένως, η εισαγωγή του προγράμματος δεν αποτελεί βελτίωση κατά Pareto.

Τέλος, όπως προκύπτει από την Άσκηση 1, στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως, τόσο το κεφάλαιο ανά εργαζόμενο όσο και οι ποσότητες της κατανάλωσης είναι ψηλότερες από εκείνες που ισχύουν σε μια οικονομία με τα ίδια δεδομένα αλλά με ένα διανεμητικό σύστημα κοινωνικής ασφάλισης. Η εξήγηση είναι η ίδια με αυτήν που δόθηκε στην Άσκηση 1 όταν έγινε σύγκριση μεταξύ της ισορροπίας χωρίς σύστημα κοινωνικής ασφάλισης και της ισορροπίας με ένα διανεμητικό σύστημα. 4. Αναλύστε τις επιπτώσεις ενός κεφαλαιοποιητικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης όταν η ασφαλιστική εισφορά είναι ένα σταθερό ποσοστό του μισθού. Εξετάστε αναλυτικά τις επιπτώσεις στην κατανάλωση της πρώτης και της δεύτερης περιόδου, στην αποταμίευση και στο επίπεδο του κεφαλαίου. Επηρεάζονται οι μεταβλητές αυτές και με ποιο τρόπο; Αποτελεί η εισαγωγή ενός τέτοιου προγράμματος βελτίωση κατά Pareto; Εξηγήστε. Σχεδιάστε ένα διάγραμμα φάσης για να εξηγήσετε τα αποτελέσματά σας. Απάντηση Σε ένα κεφαλαιοποιητικό σύστημα το πρόβλημα που περιγράφει τη συμπεριφορά των ατόμων δε μεταβάλλεται. Επομένως, ισχύουν οι ακόλουθες εξισώσεις (βλ. Άσκηση 2).

( )1 11

1 11 ,1 1t t t

tc τ w b

β r ++

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

(1)

( ) ( )1

2 1 11

1 11 ,1 1

tt t t

t

β rc τ w b

β r+

+ ++

+ ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

(2)

( ) 1

1

11 .1 1 1

tt t

t

bβs τ wβ β r

+

+

= − −+ + +

(3)


Επίσης, ο κρατικός προϋπολογισμός είναι ( )1 11 ,t t tb r τ w+ += + (4)

όπου το αριστερό μέλος δηλώνει τη σύνταξη κάθε εργαζόμενου και το δεξιό τις εισφορές ( tτ w ) μαζί με τους τόκους που δημιουργούνται την επόμενη περίοδο ( 1t tr τ w+ ). Η αντικατάσταση της (4) στις εξισώσεις (1), (2) και (3) θα μας δώσει τις συναρτήσεις κατανάλωσης και αποταμίευσης

11 ,

1t tc wβ

=+

(5)

( )12 1

1,

1t

t tβ r

c wβ+

++

=+

(6)

.

1t t tβs w τ wβ

= −+

(7)

Βλέπουμε ότι οι εξισώσεις που δίνουν τις συναρτήσεις κατανάλωσης είναι ακριβώς οι ίδιες με αυτές που παρατηρούνται σε μια οικονομία χωρίς κοινωνική ασφάλιση. Όσον αφορά την αποταμίευση, η επιβολή ασφαλιστικής εισφοράς μειώνει την ιδιωτική αποταμίευση ένα προς ένα. Αυτό φυσικά αναμένεται αφού το ποσοστό απόδοσης από την αποταμίευση είναι ακριβώς το ίδιο με εκείνο της κοινωνικής ασφάλισης, 1.tr +

Απομένει να εξετάσουμε την επίδραση στο επίπεδο του κεφαλαίου. Η ισορροπία στην αγορά περιουσιακών στοιχείων υπαγορεύει ότι

1 ,t t t tK S N τ w+ = +

ή

1 ,t t t t tK N s N τ w+ = +

ή, διαιρώντας και τα δύο μέλη με 1tN + ,


1

1 1 .1 1t t tk s τ w

n n+ = ++ +

(8)

Αντικαθιστώντας την (7) στην (8) έχουμε

11 ,

1 1t tβk w

n β+ =+ +

ή, επειδή ( )1 ,αt tw α Ak= − ( )1

1 1 ,1 1

αt t


+ +

η οποία είναι ακριβώς ίδια με την εξίσωση που περιγράφει τη συσσώρευση του κεφαλαίου όταν δεν υπάρχει κοινωνική ασφάλιση.

Σχήμα 2. Η επίδραση ενός κεφαλαιοποιητικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης πάνω στη συσσώρευση του κεφαλαίου.

Με και Χωρίς ΚΑ

0k *k tk

1+tk


Επομένως, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η εισαγωγή ενός πλήρως κεφαλαιοποιητικού συστήματος κοινωνικής ασφάλισης δεν επηρεάζει τη συσσώρευση του κεφαλαίου, ακόμη και όταν η ασφαλιστική εισφορά είναι ένα ποσοστό του μισθού. Τόσο κατά τη διάρκεια της μετάβασης όσο και στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως η ποσότητα του κεφαλαίου ανά εργαζόμενο παραμένει σταθερή (βλ. Σχήμα 2).

Τέλος, έπεται από τις εξισώσεις (5) και (6) ότι, αφού δε μεταβάλλεται η ποσότητα του κεφαλαίου με την εισαγωγή του προγράμματος, οι ποσότητες που καταναλώνονται από κάθε άτομο την πρώτη και δεύτερη περίοδο του βίου του θα παραμείνουν αμετάβλητες. Συνάγεται λοιπόν το συμπέρασμα ότι η εισαγωγή του προγράμματος δεν αποτελεί βελτίωση κατά Pareto. Όσον αφορά την αποταμίευση, η επιβολή ασφαλιστικής εισφοράς μειώνει την ιδιωτική αποταμίευση ένα προς ένα με αποτέλεσμα η συνολική αποταμίευση να παραμένει σταθερή.

17. Δημόσιο Χρέος


Σχολιάστε την εγκυρότητα των παρακάτω προτάσεων. Αν πιστεύετε ότι μια πρόταση είναι σωστή κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις τότε να αναφέρετε αυτές τις προϋποθέσεις. 1. Ο κρατικός δανεισμός ισοδυναμεί με αναδιανομή του πλούτου σε βάρος των μελλοντικών γενεών. Απάντηση Η απάντηση δεν είναι απαραίτητα σωστή. Καταρχήν θα πρέπει τα χρήματα που δανείζεται η κυβέρνηση να δαπανηθούν προς όφελος της σημερινής γενεάς, ενώ οι φόροι που είναι απαραίτητοι για να αποπληρωθούν να δάνεια να επιβληθούν στις μελλοντικές γενεές. Επιπλέον εξαρτάται αν το χρέος είναι εσωτερικό ή εξωτερικό, αν δηλαδή η κυβέρνηση και κατ’ επέκταση η κοινωνία χρωστά σε πολίτες της ίδιας της χώρας ή σε πολίτες άλλων χωρών. 2. Η ύπαρξη δημόσιου χρέους μπορεί να οδηγήσει σε βελτίωση κατά Pareto. Απάντηση Η πρόταση είναι σωστή. Παραδείγματα όπου το δημόσιο χρέος οδηγεί σε βελτίωση κατά Pareto είναι η περίπτωση που δεν υπάρχει αγορά πίστεως ή η οικονομία είναι Samuelson, δηλαδή όταν 0,b = 1tr n+ < και η ισορροπία είναι αναποτελεσματική. 3. Μια κυβέρνηση μπορεί να δανειστεί ένα απεριόριστο ποσό.


Απάντηση Η πρόταση δεν είναι σωστή. Η κυβέρνηση δεν μπορεί να δανειστεί ένα απεριόριστο ποσό. Το ποσό που μπορεί να δανειστεί καθορίζεται από τα χαρακτηριστικά της οικονομίας. 4. Μια κυβέρνηση μπορεί να δανείζεται επ’ άπειρον. Απάντηση Γενικά η πρόταση δεν είναι σωστή. Η κυβέρνηση μπορεί να δανείζεται επ’ άπειρον και να μετακυλίει το χρέος διαρκώς μόνο αν εκδώσει ένα συγκεκριμένο επίπεδο δημόσιου χρέους ανά νέο κάτοικο. 5. Μια ισορροπία στην οποία υπάρχει δημόσιο χρέος δεν μπορεί να είναι άριστη κατά Pareto. Απάντηση Η πρόταση δεν είναι σωστή. Για παράδειγμα, σε μια Samuelson οικονομία μια ισορροπία με δημόσιο χρέος μπορεί να είναι άριστη κατά Pareto. 6. Μια αύξηση στο δημόσιο χρέος θα μειώσει την ποσότητα του κεφαλαίου. Απάντηση Η πρόταση είναι σωστή. Μια αύξηση του δημόσιου χρέους θα αυξήσει το επιτόκιο και θα μειώσει την ποσότητα του κεφαλαίου. 7. Η επίδραση του δημόσιου χρέους στο κεφάλαιο εξαρτάται από το ποιος κρατάει τα κρατικά ομόλογα, οι εγχώριοι ή οι ξένοι επενδυτές. Απάντηση

Δημόσιο Χρέος 323

Η πρόταση είναι σωστή. Στην περίπτωση που το δημόσιο χρέος βρίσκεται στα χέρια των εγχώριων επενδυτών (εσωτερικό δημόσιο χρέος) μια αύξηση του χρέους θα μειώσει το κεφάλαιο (στην ευσταθή ισορροπία) περισσότερο από την περίπτωση που το δημόσιο χρέος βρίσκεται στα χέρια ξένων επενδυτών. Ο λόγος είναι ότι στην περίπτωση του εξωτερικού δημόσιου χρέους, οι εγχώριοι επενδυτές θα επενδύσουν και σε κρατικά ομόλογα και επομένως θα αγοράσουν αναλογικά λιγότερο κεφάλαιο. Με άλλα λόγια, το δημόσιο χρέος εκτοπίζει μερικώς το ιδιωτικό κεφάλαιο.


1. Έστω μια οικονομία όπου όλα τα άτομα έχουν τις ακόλουθες προτιμήσεις

1 2 1( ) , 0.98.t t tu c c += =β β Ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού είναι σταθερός και τα αποθέματα των ατόμων είναι 501 =ω και .202 =ω Να βρεθεί η τιμή του δημόσιου χρέους που η κυβέρνηση μπορεί να μετακυλίει επ’ άπειρον. Απάντηση Τα άτομα μεγιστοποιούν τη συνάρτηση χρησιμότητας

1 2 1( ) ,t t tu c c += β (1) υπό τον δια βίου εισοδηματικό περιορισμό 2 1 2

1 11 1

.1 1

tt

t t

c ωc ωr r+

+ +

+ = ++ +

(2)

Η μεγιστοποίηση αυτή οδηγεί στις εξισώσεις


2

1 11

1 ,1 1t

t

ωc ωβ r +

⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(3)

( )1 22 1 1

1

1.

1 1t

tt

β r ωc ωβ r+

++

+ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(4)

Επίσης, η συνάρτηση αποταμίευσης είναι 1 1t ts ω c= − ή

21

1

1 .1 1t

t

ωs βωβ r +

⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(5)

Απομένει να βρεθεί το επιτόκιο για να ολοκληρωθεί ο προσδιορισμός της γενικής ισορροπίας. Η συνθήκη ισορροπίας στην αγορά δανειακών κεφαλαίων είναι ,t t tN s B= (6) όπου tB είναι το χρέος της κυβέρνησης, ή ,t ts b= (7) όπου tb είναι το χρέος ανά νέο άτομο. Επίσης, ο κρατικός προϋπολογισμός είναι ( )1 11 ,t t tB B r+ += + (8) ή, επειδή ο αριθμός των μελών κάθε γενεάς tN είναι σταθερός, ( )1 11 .t t tb b r+ += + (9) Συνδυάζοντας τις (5), (7) και (9) έχουμε

( )1 21

.1t

tt

bb ωβω β b+ =

− + (10)


Η εξίσωση (10) είναι μια εξίσωση διαφορών (μη γραμμική και πρώτης τάξης) η οποία επιδέχεται δύο ισορροπίες σταθερής καταστάσεως. Η πρώτη είναι η μηδενική και η δεύτερη είναι η ( )1 2

1 .1

b βω ωβ

= −+

(11)

(Απλώς θέστε 1 ,t tb b+ = δηλαδή τον ορισμό της ισορροπίας σταθερής καταστάσεως στην εξίσωση 10). Αντικαθιστώντας τις τιμές 0.98,β =

1 50ω = και 2 20ω = έχουμε 14.646.b∗ = Αυτή είναι και η τιμή του δημόσιου χρέους το οποίο η κυβέρνηση μπορεί να μετακυλίει επ’ άπειρον.

Τέλος, το επιτόκιο ισορροπίας όταν το δημόσιο χρέος είναι 14.646b∗ = είναι μηδέν (= με το ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού

n ). Αυτό προκύπτει από την εξίσωση (9)

( )11 ,tb b r∗ ∗+= +

ή 1 0 .tr t+ = ∀ 2. Να επαναληφθεί η Άσκηση 1 όταν 1 20,ω = 502 =ω και ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού είναι 0.05. Απάντηση Σε αυτήν την περίπτωση όπου 0n > η εξίσωση (9) της προηγούμενης άσκησης γίνεται 1

11 .1

tt t

rb bn+

++

=+

( 9′ )

Συνδυάζοντας την (9′ ) με τις εξισώσεις (5) και (7) της προηγούμενης άσκησης έχουμε, αντί της (10) στην προηγούμενη άσκηση, την


( )2

11

.1 1

tt

t

bωbn βω β b+ =

+ − + (10′ )

Η εξίσωση (10′ ) είναι και αυτή μια εξίσωση διαφορών η οποία επιδέχεται δύο ισορροπίες σταθερής καταστάσεως, τη μηδενική και τη 2

11 .

1 1ωb βω

β n∗ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

(11′ )

(Απλώς θέστε 1t tb b+ = , που είναι ο ορισμός της ισορροπίας σταθερής καταστάσεως στην 10′ ). Αντικαθιστώντας 0.98,β = 1 20,ω =

2 50ω = και 0.05n = στην (11′ ) έχουμε 14.15.b∗ = − Επομένως, η κυβέρνηση δεν μπορεί να μετακυλίει επ’ άπειρον ένα θετικό επίπεδο του δημόσιου χρέους. 3. Να εξετασθεί το ερώτημα της Άσκησης 1 για μια ανοικτή οικονομία με τα ίδια δεδομένα όταν το διεθνές επιτόκιο είναι 0.02. Απάντηση Οι εξισώσεις (3), (4) και (5) της Άσκησης 1 εξακολουθούν να ισχύουν. Η εξίσωση (6) δεν είναι σε ισχύ, αφού το επιτόκιο δεν προσδιορίζεται στην εγχώρια αγορά αλλά επιβάλλεται από τη διεθνή αγορά κεφαλαίου. Ο προϋπολογισμός της κυβέρνησης είναι ( )1 1 ,t tB B r+ = + ή ( )1

1 11 ,t t t

t t t

B N B rN N N

+

+ +

= +

ή

11 .1t t

rb bn+

+=

+ (1)


Αντικαθιστώντας τις τιμές 0.02r = και 0n = στην εξίσωση (1) έχουμε 1 1.02 .t tb b+ = (2) Η εξίσωση (2) είναι μια εξίσωση διαφορών. Η γραφική της παράσταση δίνεται στο Σχήμα 1.

Σχήμα 1. Γραφική παράσταση της εξίσωσης διαφορών (2).

Προφανώς, υπάρχει μια μοναδική ισορροπία σταθερής καταστάσεως, η οποία είναι η αρχή των αξόνων. Η ισορροπία αυτή είναι ασταθής, γεγονός που σημαίνει ότι η κυβέρνηση δεν μπορεί να δανειστεί καθόλου. Οποιαδήποτε αρχική τιμή 0 0b > θα οδηγήσει γρήγορα σε υπέρογκο δανεισμό. 4. Να εξετασθεί το ερώτημα της Άσκησης 2 για μια ανοικτή οικονομία με τα ίδια δεδομένα όταν το διεθνές επιτόκιο είναι 0.02.

1 1.02t tb b+ =

45

1tb +

tb 0b


Απάντηση Προφανώς στην περίπτωση αυτή η εξίσωση ( 9′ ) της Άσκησης 2 ισχύει ακόμη. Η εξίσωση (10′ ) όμως της ίδιας άσκησης δεν ισχύει, αφού ο δανεισμός της κυβέρνησης δεν είναι απαραίτητα ίσος με την εγχώρια αποταμίευση. Αντικαθιστώντας 0.05n = και 0.02r = στην εξίσωση (9′ ) έχουμε 1 0.97 .t tb b+ = (1) Η γραφική παράσταση της εξίσωσης διαφορών (1) δίνεται στο Σχήμα 2.

Σχήμα 2. Γραφική παράσταση της εξίσωσης διαφορών (1).

Υπάρχει μία μόνο ισορροπία σταθερής καταστάσεως, η οποία είναι η αρχή των αξόνων, δηλαδή μηδενικό δημόσιο χρέος. Σε αντίθεση με την προηγούμενη άσκηση, βλ. Σχήμα 1, η μηδενική ισορροπία είναι ευσταθής. Όποια κι αν είναι η αρχική ισορροπία, η οικονομία θα οδηγηθεί σε μια κατάσταση με μηδενικό χρέος ανά νέο άτομο. Αυτό συμβαίνει διότι σε συνολικούς όρους, το χρέος αυξάνεται με ρυθμό r

1 0.97t tb b+ =

45

1tb +

tb 0b


(θυμηθείτε ότι ( )1 1t tB r B+ = + , όπου r το διεθνές επιτόκιο) αλλά η «παραγωγική» δυνατότητα της οικονομίας αυξάνεται με ρυθμό n r> Πράγματι, ο ρυθμός μεταβολής του συνολικού προϊόντος tY είναι n : ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

1 1 21

1 1 2

1 1 2 1 1 2

1 1 2

1 1 2 1 1 2

1 1 2

1 1

1 1

.

t tt

t t t

t t t t

t t

t t t t

t t

N ω N ωYY N ω N ω

N ω N ω N ω N ωN ω N ω

n N ω n N ω N ω N ωN ω N ω

n

++

−

+ −

−

− −

−

+− = −

+

+ − +=

+

⎡ ⎤+ + + − +⎣ ⎦=+

=

5. Έστω μια οικονομία όπου όλα τα άτομα έχουν τις ακόλουθες προτιμήσεις

121 += ttt ccu . Ο ρυθμός μεταβολής του πληθυσμού είναι σταθερός και η συνάρτηση παραγωγής είναι 1/ 2( ) .f k k= Το δημόσιο χρέος της οικονομίας βρίσκεται στα χέρια ξένων επενδυτών. Να βρεθεί το κεφάλαιο ανά εργαζόμενο στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως όταν το δημόσιο χρέος ανά εργαζόμενο είναι α) μηδέν και β) 2 μονάδες. Απάντηση α) Τα άτομα μεγιστοποιούν τη συνάρτηση χρησιμότητας 1 2 1,t t tu c c += (1) υπό τους περιορισμούς 1 ,t t t tc s w τ+ = − (2) ( )2 1 11 ,t t tc r s+ += + (3)


όπου tτ ένας κεφαλικός φόρος. Η λύση του παραπάνω προβλήματος μεγιστοποίησης οδηγεί στις ακόλουθες συναρτήσεις κατανάλωσης και αποταμίευσης. ( )1

1 ,2t t tc w τ= − (4)

( )12 1

12

tt t t

rc w τ++

+= − (5)

και ( )1 .

2t t ts w τ= − (6)

Το επιτόκιο και ο μισθός δίνονται από τις εξισώσεις

1 21 ,

2t tr k−= (7)

1 21 ,2tw k= (8)

όπου η (7) εξισώνει το οριακό προϊόν του κεφαλαίου με το επιτόκιο ( ( )r f k′= ) και η (8) το οριακό προϊόν της εργασίας με το μισθό (θυμηθείτε ότι σε όρους της εντατικής μορφής το οριακό προϊόν της εργασίας είναι ( ) ( )f k f k k′− ).

Επίσης η εξίσωση του κρατικού προϋπολογισμού είναι ( )1 11 ,t t t t tB r B N τ+ += + − (9)

όπου tB είναι το συνολικό δημόσιο χρέος την περίοδο t και tN ο πληθυσμός της γενεάς t . Η εξίσωση (9) γράφεται ως

( )111 ,t t

t tt t

B Br τN N+

+= + −

ή ( ) ( )1 11 1 .t t t tn b r b τ+ ++ = + −

Με σταθερό b έχουμε


( )1 .t tτ b r n+= − (10) Τέλος, η ισορροπία στην αγορά περιουσιακών στοιχείων απαιτεί ( ) 11 .t ts n k += + (11)

Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (6), (10) και (11) έχουμε

( ) ( )1 111 ,2t t tn k w b r n+ +⎡ ⎤+ = − −⎣ ⎦

ή, αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (7) και (8),

( ) 1 2 1 21 1

1 1 11 .2 2 2t t tn k k b k n−

+ +⎡ ⎤⎛ ⎞+ = − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(12)

Καταρχήν, θέτοντας 0b = στην εξίσωση (12) έχουμε ( ) 1 2

111 .4t tn k k++ = (13)

Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον ορισμό της ισορροπίας σταθερής καταστάσεως 1 ,t tk k k∗

+ = = οπότε η εξίσωση (13) γράφεται ως

( )( )1 2 11 ,4

n k∗+ =

από την οποία προκύπτει ότι

( )21 .

16 1k

n∗ =

+ (14)

Η εξίσωση (14) δίνει το κεφάλαιο ανά εργαζόμενο σε μια οικονομία με τα παραπάνω χαρακτηριστικά και χωρίς δημόσιο χρέος. β) Στη συνέχεια εξετάζουμε την περίπτωση που το δημόσιο χρέος είναι ίσο με 2. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (12) 2b = έχουμε


( ) 1 2 1 2

1 11 11 .4 2t t tn k k k n−

+ ++ = − + (15)

Εφαρμόζοντας τον ορισμό της ισορροπίας σταθερής καταστάσεως,

1 ,t tk k k∗+ = = έχουμε

( ) ( ) ( )1 2 1 21 11 ,

4 2n k k k n

−∗ ∗ ∗+ = − + (16)

ή, πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της (16) με ( )1 2,k∗

( )( ) ( )3 2 1 21 11 0.

4 2n k k n k∗ ∗ ∗+ − − + = (17)

Η εξίσωση (17) είναι μια εξίσωση τρίτου βαθμού ως προς ( )1 2x k∗= .

Για να γίνουμε πιο συγκεκριμένοι και να απλοποιήσουμε την εξίσωση, ας υποθέσουμε ότι 0n = (σταθερός πληθυσμός). Σε αυτήν την περίπτωση η εξίσωση (17) γίνεται ( )3 2 1 1 0.

4 2k k∗ ∗− + = (18)

Η εξίσωση (18) όμως δεν έχει καμιά θετική ρίζα. Δηλαδή η οικονομία δεν είναι αρκετά παραγωγική για να έχει δημόσιο χρέος ίσο με 2 μονάδες. Στη συνέχεια υποθέστε ότι 0.005.b = Αντικαθιστώντας αυτήν την τιμή και 0n = στην εξίσωση (12) έχουμε 1 2 1 2

1 11 0.005 .4 4t t tk k k−

+ += − (19)

Αντικαθιστώντας τον ορισμό της ισορροπίας σταθερής καταστάσεως

1t tk k k∗+ = = στην εξίσωση (19) έχουμε

( ) ( )1 2 1 21 0.005 ,

4 4k k k

−∗ ∗ ∗= −


ή, θέτοντας 1 2 ,k x≡ 3 21 0.005 0.

4 4x x− + = (20)

Η εξίσωση (20) επιδέχεται δύο λύσεις

1 20.088 και 0.225.x x= = Επομένως, από τον ορισμό 1 2 ,x k≡ προκύπτουν δύο ισορροπίες σταθερής καταστάσεως για το κεφάλαιο ανά εργαζόμενο

1 20.008 και 0.051.k k∗ ∗= =

Η ισορροπία για 0,b = 0.005b = και 2b = παρουσιάζεται στο Σχήμα 3.

Σχήμα 3. Ισορροπία για 3 διαφορετικές τιμές του δημόσιου χρέους ανά εργαζόμενο.

2b =

0b =

45 1tk +

tk

0.005b =


Προσέξτε ότι το επίπεδο του κεφαλαίου που αντιστοιχεί σε 0b = είναι μεγαλύτερο από εκείνο που αντιστοιχεί σε 0b > . Επίσης από τα δύο σημεία ισορροπίας στην περίπτωση που 0.005,b = το πρώτο ( 1 0.008k∗ = ) είναι ασταθές και το δεύτερο ( 2 0.051k∗ = ) ευσταθές. 6. Θεωρήστε μια οικονομία επικαλυπτόμενων γενεών στην οποία τα άτομα μεγιστοποιούν τη συνάρτηση χρησιμότητας ( )1 2 1 , 0.β

t tu c c β+= > (1) Την πρώτη περίοδο του βίου τους τα άτομα εργάζονται και κερδίζουν το μισθό ισορροπίας και τη δεύτερη ζουν από τις αποταμιεύσεις τους. Επομένως, οι περιορισμοί κάθε ατόμου για την πρώτη περίοδο του βίου του αντίστοιχα είναι 1t t t tc s w τ+ = − (2) και ( )2 1 11t t tc r s+ += + , (3)

όπου tτ είναι ένας κεφαλικός φόρος. Η συνάρτηση παραγωγής είναι .αt ty Ak= (4)

Όλες οι αγορές είναι ανταγωνιστικές. Επίσης, η εξίσωση του κρατικού προϋπολογισμού είναι

( )1 11 ,t t t t tB r B N τ+ += + − όπου tB είναι το συνολικό χρέος την περίοδο t και tN ο πληθυσμός της γενεάς t . Υποθέστε ότι όλο το δημόσιο χρέος της οικονομίας βρίσκεται στα χέρια ξένων επενδυτών. Να αναλυθεί η επίδραση του χρέους στο κεφάλαιο στην περίπτωση που ο κεφαλικός φόρος tτ είναι μηδέν και το χρέος μετακυλίεται.


Απάντηση Η μεγιστοποίηση της εξίσωσης (1) υπό τους εισοδηματικούς περιορισμούς (2) και (3) οδηγεί στις ακόλουθες συναρτήσεις κατανάλωσης

11 ,

1t tc wβ

=+

(5)

12 1 1

tt t

β rc wβ+

+ =+

(6)

και

1t tβs wβ

=+

(7)

(θυμηθείτε ότι ο φόρος 0tτ = ).

Ο μισθός και το επιτόκιο δίνονται από τις εξισώσεις

( )1 αt tw α Ak= − (8)

και 1.α

t tr α Ak −= (9)

Με μηδενικό φόρο, η εξίσωση του κρατικού προϋπολογισμού είναι

( )1 11 ,t t tB r B+ += + ή ( ) ( )1 11 1 ,t t tn b r b+ ++ = + (10)

όπου tb το δημόσιο χρέος ανά εργαζόμενο. Με σταθερό b η εξίσωση (10) συνεπάγεται 1 ,tr n+ = (11) ή 0.b = (12)

Αν υποθέσουμε ότι ισχύει η (11) τότε το κεφάλαιο ανά εργαζόμενο προσδιορίζεται αποκλειστικά από την εξίσωση (11). Πράγματι, αν

1tr n t+ = ∀ τότε


11 ,α

tα Ak n t−+ = ∀

ή 1

11 .

αt

α Ak kn

−∗+

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(13)

Όμως, στο επίπεδο του κεφαλαίου που δίνεται από την εξίσωση (13) θα πρέπει να είναι σε ισορροπία και η αγορά περιουσιακών στοιχείων, δηλαδή θα πρέπει

( ) 11 ,t tn k s++ = ή

( ) 11 ,1t tβn k wβ++ =

+

ή ( ) ( )11 1 .

1α

t tβn k α Akβ++ = −

+ (14)

Προφανώς, τίποτα δεν εγγυάται ότι το επίπεδο του κεφαλαίου ανά εργαζόμενο που δίνεται από την (13) ικανοποιεί την εξίσωση (14). Πιο συγκεκριμένα, έχουμε δύο εξισώσεις την (11) και την (14) που πρέπει να ικανοποιούνται για την ίδια τιμή του .k∗ Από την εξίσωση (11) προκύπτει η εξίσωση (13). Αντίθετα από την εξίσωση (14) προκύπτει η εξής λύση:

( )( )( )

111

.1 1

αβ α Ak

β n

−∗ ⎡ ⎤−= ⎢ ⎥

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦ (15)

Τα δεξιά μέλη των εξισώσεων (13) και (15) πρέπει να είναι ίσα μεταξύ τους. Αυτό θα ισχύει μόνο αν ( )

( )( )1

,1 1β αα

n β n−

=+ +

(16)

γεγονός που μόνο κατά σύμπτωση μπορεί να συμβεί, αφού η εξίσωση (16) περιέχει τρεις ανεξάρτητους παραμέτρους , και α β n . Το γενικό


συμπέρασμα είναι ότι ισχύει η εξίσωση (12) και επομένως το επίπεδο του δημόσιου χρέους που μετακυλίεται είναι μηδέν. 7. Να επαναληφθεί η Άσκηση 5 για την περίπτωση του εσωτερικού δημόσιου χρέους. Απάντηση Ισχύουν και πάλι οι συναρτήσεις κατανάλωσης που δίνονται από τις εξισώσεις (4), (5) και (6) της Άσκησης 5. Επίσης, το επιτόκιο και ο μισθός δίνονται από τις εξισώσεις (7) και (8) της ίδιας άσκησης. Ακόμη, χρησιμοποιώντας την εξίσωση του προϋπολογισμού καταλήγουμε και πάλι στην εξίσωση (10) που μας δίνει το φόρο ως συνάρτηση του δημόσιου χρέους ανά εργαζόμενο και της διαφοράς μεταξύ του επιτοκίου και του ρυθμού μεταβολής του πληθυσμού. Τέλος, η ισορροπία στην αγορά περιουσιακών στοιχείων απαιτεί ( )( )11t ts n k b+= + + , (1)

όπου το αριστερό μέλος της (1) δηλώνει τη ζήτηση για περιουσιακά στοιχεία και το δεξιό την προσφορά. Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (6) και (10) της Άσκησης 5 με την παραπάνω εξίσωση (1) έχουμε ( )( ) ( )1 1

11 ,2t t tn k b w b r n+ +⎡ ⎤+ + = − −⎣ ⎦ (2)

ή, αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (7) και (8) της Άσκησης 5,

( )( ) 1 2 1 21 1

1 1 11 .2 2 2t t tn k b k b k n−

+ +⎡ ⎤⎛ ⎞+ + = − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(3)

Θέτοντας 0b = στην εξίσωση (3) έχουμε

( ) 1 21

114t tn k k++ =


και τελικά, χρησιμοποιώντας τον ορισμό της σταθερής καταστάσεως

1t tk k k∗+ = = ,

( )21 ,

16 1k

n∗ =

+ (4)

που είναι ίδια με την εξίσωση (14) της Άσκησης 5. Όταν το δημόσιο χρέος είναι μηδέν, δεν υπάρχει καμία διαφορά μεταξύ εξωτερικού και εσωτερικού δημόσιου χρέους και η ισορροπία στις δύο οικονομίες είναι η ίδια.

Στη συνέχεια θα εξετάσουμε την περίπτωση που το δημόσιο χρέος είναι ίσο με 2. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (3) 2,b = έχουμε ( )( ) 1 2 1 2

11 11 2 .4 2t t tn k k k n−

++ + = − + (5)

Εφαρμόζοντας τον ορισμό της ισορροπίας σταθερής καταστάσεως,

1 ,t tk k k∗+ = = έχουμε

( ) ( ) ( )1 2 1 21 11 2.

4 2n k k k n

−∗ ∗ ∗+ = − − − (6)

Για λόγους απλοποίησης και χωρίς καμία απώλεια της γενικότητας ας θέσουμε 0n = . Η εξίσωση (6) μπορεί να γραφεί ως

( ) ( )1 2 1 21 1 2 0,4 2

k k k−∗ ∗ ∗− + + =

ή ( ) ( )3 2 1 21 12 0.

4 2k k k∗ ∗ ∗− + + = (7)

Η εξίσωση (7) είναι μια εξίσωση τρίτου βαθμού ως προς 1 2x k≡ . Όπως και στην Άσκηση 5 (εξίσωση 18) έτσι και εδώ, η εξίσωση δε δέχεται καμία θετική ρίζα. Το επίπεδο του δημόσιου χρέους 2b = είναι πολύ ψηλό για να μπορεί η κυβέρνηση να το μετακυλίει επ’ άπειρον και ταυτόχρονα να υπάρχει μια παραγωγική δομή στην οικονομία.


Ας υποθέσουμε στη συνέχεια μια χαμηλότερη τιμή για το δημόσιο χρέος, π.χ. 0.005b = όπως και στην Άσκηση 5. Αντικαθιστώντας αυτήν την τιμή για το b και 0n = στην εξίσωση (3) έχουμε 1 2 1 2

1 11 0.005 ,4 4t t tk k k b−

+ += − − (8)

ή, στην ισορροπία σταθερής καταστάσεως,

( ) ( )1 2 1 21 0.005 0.005 0,4 4

k k k−∗ ∗ ∗− + + =

ή, πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με ( )1 2k∗ ,

( ) ( )3 2 1 21 0.0050.005 0.

4 4k k k∗ ∗ ∗− + + = (9)

Η εξίσωση (9) είναι μια εξίσωση τρίτου βαθμού ως προς 1 2x k≡ . Επιδέχεται δύο θετικές λύσεις

1 20.118 και 0.188.x x= = Επομένως, από τον ορισμό του 1 2x k= έχουμε

1 20.014 και 0.035.k k∗ ∗= =

Η διαγραμματική παρουσίαση της ισορροπίας για διαφορετικές τιμές του b είναι παρόμοια με αυτήν του Σχήματος 3. Στην περίπτωση των δύο ισορροπιών σταθερής καταστάσεως, η χαμηλότερη είναι και πάλι ασταθής ενώ η ψηλότερη είναι ευσταθής. Τέλος, προσέξτε ότι στην περίπτωση του θετικού εσωτερικού δημόσιου χρέους η γραμμή φάσης μετατοπίζεται χαμηλότερα από ότι στην περίπτωση του εξωτερικού δημόσιου χρέους. Ο λόγος είναι ότι τα νέα άτομα, με δεδομένο το εισόδημά τους θα κρατήσουν στα χέρια τους περισσότερο δημόσιο χρέος και επομένως θα μειώσουν την ποσότητα κεφαλαίου που θα αγοράσουν. Με άλλα λόγια, το δημόσιο χρέος εκτοπίζει μερικώς το ιδιωτικό κεφάλαιο. Αυτός είναι ο λόγος που στις οικονομίες της


Άσκησης 5 και της παρούσας η ασταθής ισορροπία είναι ψηλότερη και η ευσταθής χαμηλότερη (βλ. Σχήμα 4).

Σχήμα 4. Σύγκριση ισορροπιών με εξωτερικό και εσωτερικό δημόσιο χρέος.

8. Έστω μια οικονομία ίδια με αυτήν της Άσκησης 6 με τη μόνη διαφορά ότι όλο το δημόσιο χρέος είναι εσωτερικό, κρατείται δηλαδή από πολίτες της χώρας. Να αναλυθεί η επίδραση του εσωτερικού δημόσιου χρέους στο κεφάλαιο στην περίπτωση που ο φόρος είναι μηδέν και όλο το χρέος μετακυλίεται. Απάντηση Ισχύουν οι εξισώσεις (5)-(10) της Άσκησης 6. Από την εξίσωση (10) προκύπτει και πάλι η εξίσωση (11) της Άσκησης 6 1 ,tr n+ = (11) ή 0.b = (12)

Εξωτερικό δημόσιο χρέος 45

1tk +

tk

Εσωτερικό δημόσιο χρέος


Από την (11) προκύπτει η εξίσωση (13) της Άσκησης 6 1 1

.αα Ak

n

−∗ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (13)

Αυτή η τιμή του κεφαλαίου θα πρέπει να επαληθεύει την εξίσωση που καθορίζει την ισορροπία στην αγορά περιουσιακών στοιχείων. Η τελευταία είναι

( )( )11 ,t tn k b s++ + = ή ( )( ) ( )11 1

1α

t tβn k b α Akβ++ + = −

+ (14′ )

και αποτελεί τη μόνη διαφορά μεταξύ αυτής της άσκησης και της Άσκησης 6 (συγκρίνετε την εξίσωση 14′ με την εξίσωση 14 της Άσκησης 6). Αντικαθιστώντας την εξίσωση (13) στην (14′ ) έχουμε

( ) ( )1

1 11 1 .

1

αα αα A β α An b α A

n β n− −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(*)

Η τελευταία εξίσωση είναι μια εξίσωση που περιέχει μόνο παραμέτρους. Μια τέτοια εξίσωση μόνο κατά σύμπτωση μπορεί να ισχύει. Συγκεκριμένα, η παραπάνω εξίσωση (*) μας δίνει την μοναδική τιμή του δημόσιου χρέους που είναι συμβατή με την ισορροπία του συστήματος. Η τιμή αυτή είναι

( ) ( )

11 11 1 1 .

1 1

αα αβ α A α Ab α n

n β n n− −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= − Α − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Οποιαδήποτε άλλη τιμή του δημόσιου χρέους δεν μπορεί να μετακυληθεί επ’ άπειρον.

Documents

Το υπόδειγμα επικαλυπτόμενων γεννεών