лprTRPHHbIMЛ'п27Г)-1

Тр.Неопределенный интеграл Г08

ЦЕНИЯ

III

Кафедра «Высшая математика»

В.В.Трубаев, А.В.Ряднов, А.И. Маркевцева

Неопределенный интеграл

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний для

студентов специальностей ТМН, ТУП, АЭЛ, АКБ

Москва - 2008

УДК 517.3

Т 77Трубаев В.В., Ряднов А.В.. Маркевцева А.И. Неопределенный интеграл. Методические указания к практическим занятиям- М.: МИИТ, 2008. - 20 с.

Данные методические указания ставят своей целью помочь студенту самостоятельно овладеть методами решения задач из курса высшей математики по разделу «Неопределенный интеграл». В каждом параграфе даны краткие теоретические сведения и приведены формулы, необходимые для решения задач, приводятся также подробно рассмотренные задачи с пояснениями методов их решения. Все задачи являются типовыми, и ознакомление с ними позволяет студенту при самой минимальной помощи со стороны преподавателя овладеть основными методами решения задач данного раздела.

(©Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), 2008

При рассмотрении интегралов от иррациональных функций потребуется использование рациональных функций многих переменных. Поэтому вначале кратко отметим основные свойства рациональных функций многих переменных.Определение:

Рациональной функцией п переменных R(xj, Х2,...,х„ ) называется функцией вида:

R(xl,x2,...,x„) =Р(х1,х 2,...,хп)Q(xl,x 2,...,xJ

где Р и Q - многочлены от переменных xi, Х2,...,х„ , т.е. выражения, представляющие сумму одночленов.Например, выражение

Р(х;у) =Зх2+5у2-4ху+Зх-2у+5

есть многочлен второй степени от переменных х и у.Можно показать, что рациональная функция п

переменных х/, Х2,...,х„ будет получаться всякий раз, как только над переменными xj, Х2,...,хп осуществляются следующие операции: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в целую степень. При образовании сложной функции также получается рациональная функция. Если R(x;y) является рациональной функцией переменных х и у, а переменные х н у являются элементарными функциями переменного t (не обязательно рациональными), т.е. x==tp(t), _y=\|/(t), то получаем рациональную функцию от элементарных функций (риу.

Например, пусть

R(x:y) x- - У X 4 - З х у + у 3 + 2 '

X = cos / , у = sin /.Тогда получаем рациональную функцию от элементарных функций cos / и sin t .

i?(cos/;sin/) =cos2 / - s in 2 /

cos4 / - 3 cos / sin / + sinJ / + 2

Теперь перейдем к рассмотрению интегралов от некоторых видов иррациональных функций.

Интегралы вида

I* х: ' ах + Ъ Viч сх + Ь j

т±' ах+ Ь у ,ycx + b )

dx,

i71 ТУХ УУ1где — - рациональные числа.

пл п2 пкБудем предполагать, что ad-bc Ф 0, так как в

противном случае при делении числителя на знаменатель получили бы число. Предполагаем также, что дроби1Т1 ffl ТУХ не сократимые. Пусть п есть наименьшееи, п2 пк

общее кратное чисел п/ ,п;,---.щ, т.е. число п можно взять вУН УН 171

качестве общего знаменателя дробей ТогдаП \ П 2 П к

_ т, т.дроби — можно записать с одним и тем жеП \ П 2 П к

h L 1знаменателем п в виде 1 где - целые

числа.п и п

Следовательно, рассматриваемый интеграл можно представить в виде:

f ax + b ’ V сх + b

П-\ I \ -к-ах + b |п г сх + Ъ )

dx,

Сделаем в последнем интеграле замену переменной1

t = ax + b у cx + d )

^ „ ax + b1 о гд a t = --------сх + d

Отсюда х ~ dtn -Ьa - c t

Далее находим дифференциал х

dx - ( dt " -Ь Л dt= dnl" 1 (a - c f ) - ( d t n -b X - с п у - 'a - c t {а - ct"У

= R3 (t)dt

Заметим, что производная от рациональной функции одного переменного также является рациональной функцией, которую мы обозначим через Яз(0. При указанной замене переменной получаем:

dx -

Так как в последнем интеграле в подынтегральной функции над переменным t осуществляются только операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень, то под интегралом стоит рациональная функция переменного t. Такой интеграл находится стандартным разложением подынтегрального выражения на простейшей дроби.

Пример. Найти интеграл

Данный интеграл является интегралом рассмотренного выше типа, так как

dx

и над функциями л/2х + Г и М2х + \ проделаны только указанные выше пять действий. Общий знаменатель дробей

1 1 1— и — есть —.2 3 6

Следовательно, полагаем t - (2х + l)e

Тогда 2х + 1 - / 6

х = —(гь-т), dx ~ — ■ 6t5dt = 3t5dt 2 V ' 2

Далее

yflx + l = (2х + 1)б = (2x + ])

V2x + 1 =(2х + 1)б (lx + l)e

Следовательно, получаем интеграл от рациональной функции

dxл/ 2х +1 + \] 2х +1

r 3 t5dtV +Г ~ J7+T

Разделив уголком числитель на знаменатель, получим

1 \/ = 3| ■t + ] - -f +

dt = 3V j !

2 + t ■31ПГ + 1 + C:

3 3( 2 x + 1 ) ls

2(2х + 1)б + 3 • (2x + 1)б - 3 ln(2x + 1)

26

= V2x + l - Ij2x + f + 3^/27+T - - ln(2x + l) + C .2 2

§2. Интеграл от дифференциального бинома.

Рассмотрим применение изложенного выше метода к нахождению интеграла от так называемого дифференциального бинома.

Это интеграл вида: I = |( йг + Ьха У х 7 dx

где а и b - действительные числа, а ,р ,у - рациональныетчисла, т.е. числа вида — , где т - целое число,п

п - натуральное число. Сделаем замену t - х а .у

Тогда x = t a

, 1 - i .dx = — t a dt а

Интеграл принимает вид:L 1 i_| 1 „ \ 7~

р I а — t а dt = — I (a+ bt)" Г dt a a J

Теперь рассмотрим следующие варианты, при которых интеграл сводится к рассмотренному выше типу интегралов.

L Пусть /7- целое число. Так как / + ] -1 - числоа

трациональное, т.е. представимо как — , где п - натуральноеп

число, т - целое число, то интеграл имеет вид:

1 тI = - f(fl + b t f t " dt

a J

Таким образом, в случае целого/3 получаем интеграл

вида \Rх: ' ах + Ь к сх + d

in

dx ах + bгде роль выражения--------сх + d

играет t.Далее этот интеграл сводится к интегралу от

рациональной функции.

П>сть р = ( L tlК «

\- целое число. Получаем интеграл

У|(ц + b t f t p dt который относится к рассмотренному ранее

интегралу вида I* х; ах + b V Kcx + d у

dx,

ax + b ,причем роль выражения-------- играет [а +cx + d

у + 13. Пусть теперь ни/?, ни ---------1 не являются целыми

ачислами. Сделаем небольшое преобразование подынтегрального выражения

]_а

|(я + 6 /У 7^ i-,1

>dl = 1 Ла + bt) i J

\P H - it^ dt -

1 t( а + ЫЛР t \ ~ - up) a

r a+ oiF 7 - dt

( у +1Если теперь p = -------- 1 + /3 \ есть целое число, то

V аснова получаем интеграл рассмотренного ранее вида 1 г( а + Ыrfa + b t Y ,, ,-------- t d t , где роль выражения

JV ta a + bt

ax + b cx + d

играет

tТаким образом, в этом случае интеграл снова

преобразуется стандартным путем к интегралу от рациональной функции.

Русский математик П.Л. Чебышев показал, что при всех других соотношениях между числами а,/3 и у интеграл от дифференциального бинома Fie выражается через элементарные функции.

Рассмотрим примеры на интеграл от дифференциального бинома.

I = \ - ^ = d x = \VTxTT

c i у1 + .X2 x 2dx

Этот интеграл от дифференциального бинома. Делая замену' переменного, находим:

1/ = х 1; x = t 2', dx = 2tdt

t 2dtТогда 1 = j(l f /) 2 1 ■ ltdt - 2 147+Г

Получили интеграл рассмотренного выше вида.Далее, делая стандартную замен}/ переменной,

получим:и — V/ +1 ; и2 - t + 1 : t = uJ -1 ; dt - 2udu

I , 2 = 4 / ( a - -2 u - + 1>U -

= — w ’ — n + 4 и + c = — — |л/7"+Т У + a47+ 1 + c =4 , 8 я— w — i5 3

^ ^ 1)5- 8| Я + 1)Г + 4 И +С

Пример 2. dx

^ % т И (1+Л'з;пл

Это интеграл от дифференциального бинома. Делаем замену переменной.

' 1 -1-t - х г ; х = / 3 ; dx = — t 3 dt

3

Тогда / - |(l + t)~ it 3 dtЗдесь мы имеем третье из рассмотренных выше

соотношений между числами а ,/? и у ,когда ни /3, ни у +1-------- 1 не являются целыми числами.

аПрименяя стандартное преобразование, получим

4 f('±Т>, „ ,__2 1

Г3У c i , A \ \ - LЪ j{ f -Lt + \J

Далее, делая замену

J > t ,3 .и = I ----- j ; ------ = uJ: t =t + l ) t +1

dt 3 u-

■«" (l - u )получим интеграл от рациональной функции

du

j _ 1 г Зм2(] - u3)du _ r du J (л з V з J1 _(l--w3) V

Разлагая подынтегральную функцию на простейшие дроби, находим

_ i f du 1 г (u + 2 )du3 •* и — 1 3 и 1 + и + 1

1 2 и ,,+ —т=г arctv — + Cл/з V3

— In 3

* 1 + -- In 6

X2 -1- - х

-\/х3 + 1 р а ) 2 3 V/х3+ 1 ■

x1 2 л+ —j= arctv — = r ■ — = = = = = + C

л/3 л/з Vx3+1

■= JO 2 л*

Пример 3.

' - Ь =xVl + хЭто интеграл от дифференциального бинома.

1 1 --замену: / = х 3; x = t 3; d x - ~ t 3dt.

Тогда

/ = { ( ! + / ) --- 1 ~- 3 -~t 4 tЛд

f(l + /)"2 - t 'd t - ~ J - dt3 J i Jt +

Делая замену, находим

и = л/7+ 1; и2 = / + 1; У = м2 -1 ; dt = 2udu

Следовательно

т _ f 2woIw= 2 In и -1

и + 1+ С =

T* W + 1 +

+

Делаем

+с— 2 In 4 х ъ + i - i

л /г Ч Т -hl

К интегралу от дифференциального бинома сводятся интегралы вида:Jsin x-cos'' xdx , где р и q - рациональные числа. В самом

деле, делая замену cos x - t , находим

dt = - sin xdx ; sin x = л/1 ~ t 2 .

dx ~ ^ ^ dtsinx V l - c o s 2 x

Следовательно

jsin'’ xcos? xdx = - j\'(l - t 2У’ q dt v i - t 2

j ( l- t 2)P2 t qdt

Таким образом, получаем интегралдифференциального бинома. При этом исходный интеграл jsin р х- cos4 xdx выражается через элементарные функции

тогда и только тогда, когда через элементарные функции выражается интеграл от дифференциального бинома

р—I

1= j ( l ~ / 2)“ . t 'd t

Пример.

I = j-y==£Х—= = - j(sin х )~2 (cos х)~г dx J V sinxcos3 x

Сделаем замену

cos x = t ; sin x = л/i - ,f2 ; dt = - sin xdx = —VI — t 2 dx

л/Г -/2Тогда

( w J>В результате получили интеграл от дифференциального бинома.

§3. Интегрирование некоторых иррациональностей, содержащих квадратный трехчлен.

1. Интегралы вида [ - ----- —=d ах ~ + bx + с

Интегралы такого вида сводятся к одному из табличных интегралов:

г dx г dxJ / 2 . О J Г 2 2dx •+• Я do -х

путем выделения из квадратного трехчлена полного квадрата.Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Найти интеграл [ .W 2 jc2 + 4х + 20

Выделяя из квадратного трехчлена полный квадрат, получим

dxV2 J(x + l)2 + 3 :

= [/ = x + l] = - ^ jdt

? J . Вл/г +9

V2In f + Vr2 +9 + C = -p r In

V2x + \ + \ x 2, + 2jc -f 1 0[ 4- C

Пример 2.

Найти интегралtic

V~ x~ — 2.x + 8 Выделяя полный квадрат, находим

л Р х 2 - 2.x + 8 J + 2x^8) J/ - (x2 + 2 x + 1 -”9)

- J -j (x + l) г л r dt . t. ------------------- [/ = x + 1] = f~j== = =r ■--- arcsin — + C ~

' V F - t + i y \ i r - - r 3

• x +1= arcsin-------+ C3

2. Интегралы вида / = j {Ax + B)a'x

Vox2 + bx + L

Эти интегралы сводятся к рассмотренному выше интегралу путем представления выражения Ах + В в виде

некотороеlax + b + d , где lax + b — {ax2 + bx + c) , d~ ЧИСЛО.Рассмотрим на примере.

Пример.

Найти интеграл Зх + 2

'1х2 + Х += dx . 2

Находим (х2 + х + 2) = 2х +1Преобразуем числитель подынтегрального выражения

2 4 1х + — .. 2х н— _ 2х + 1 и—/ = 3 —J L = d x = — [ - - = = J= (ix- = — f - -------- dx =J / .2 . . Т 9 J ГГ . „ 9 J ГЗ' Vx" + x + 2

3 f (2x + l>£c 1Vx‘ + x + 2 dx

X' 4 X 4 2

2 V i2 + x + 2 2. -Jx* + x + 2

Найдем интегралы по отдельности.

_ [4 ^ 2 ) = [,, д + , + 2]= Й « \Г ч,Vxz +x + 2 "Vx2 +x + 2

■ + C — 1-yft + C -z 2v x + x + z + C

Интеграл j* <ix1 2V x + x + 2

найдем методом выделения полного

квадрата.

Г— Ф — = г■fx1 +х + 2

_ f Ш

Px + 2 + yx~ + x + 2

йбс- J -

x + - V 2

x2 + 2 ■ x + 2 f x +2 4 4 J l x +

' 2 7+ -

t = x + ■ dt , I 2 7= lnr + J r + - + C =

— In + C

Окончательно получаем:

1/ = Зл/х2" + x + 2 + — lnlx + 2 + d x 2 + x ■ 2

+ C

3. Интегралы вида | dxxxlax2 + bx + c

Интегралы этого вида путем несложных преобразований и замены переменной сводятся к интегралу вида

I dx

л/Ct 4- bt 4 G

А именно: j dx dx

хл]ах2 4 bx 4 с Г 1х Ja + b — + c

- J- V* t = -у

+ ь{ п

)

- fdt

+ a\ct~ + bt + a

Интеграл этого вида был рассмотрен ранее.К такому же интегралу сводится и интеграл вида

(тх т я) V ах1 + Ьх + с

Сделав замену переменного t = шх + п, получим

I - п , 1 ,х = ------, dx - — at,

т т

ах2 + Ьх + с — a.t2 + bxt + с, .Следовательно, снова получаем рассмотренный интеграл вида

/ = 1т

г dt•L / т т ~

выше

Учебно-методическое издание

Трубаев Владимир Васильевич

Ряднов Александр Васильевич

Маркевцева Анна Игоревна

Неопределенный интеграл

Методические указания к практическим занятиям

Подписано в печать 07.OZ.OS. Заказ № 6 0 Изд. Кч/ S-OS

Уел.- печ. л. -У, 25. Тираж 200 экз. Форм ат

127994, Москва, ул. Образцова, 15. Типография МИИТа