ФГБ ОУ ВПОМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МНИТ)

Кафедра «Прикладная математика-1»

К.А. Волосов, С.О. Синицын, Е.К. Вдовина

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ СТОХАСТИЧЕСКИХ

ПОЛУМАЯТНИКОВ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ

УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА - ФОККЕРА - ПЛАНКА

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

для студентов специальностей

«Прикладная математика и информатика», «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»,

«Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем», «Информационные системы

и техника »

Москва - 2011

УД К 917.95 В 68Волосов К.А., Синицын С.О., Вдовина Е.К. Неподвижные точки стохастических полумаятников и точные решения уравнения Колмогорова - Фоккера - Планка: Учебное пособие. - М.: МИИТ, 2 0 1 1 , - 158 с.

Целью_учебного_пособия_является_методическая_поддержка курса_лекций_«Применение_математических_методов_в_при- кладных_задачах»._Производится_расчет_вторых_моментов_в модели_полумаятника,_находящегося_под_воздействием_узко- полосного_гауссовского_возмущения._Описывается_процедура усреднения_по_Стратоновичу_для_вычисления_вторых_моментов, проводится_исследование_неподвижной_точки_и_построение точных_решений._Излагается методика исследования уравнений методом нефиксированной конструктивной замены переменных. Построены_решения_уравнений_Колмогорова— Фоккера— Планка, Кортевега де Вриза, Бюргерса, Перегрина, Гарри Дима и.т.д. Авторы выражают благодарность В.П. Маслову, М.В.Карасеву, В.Г.Данилову, А.С.Братусю, Д.В. Юрченко, В.М.Хаметову за полезные советы и А.К. Волосовой за помощь в проведении расчетов.

Рецензенты: д.ф.-м.н., проф. Московского государственного технического университета имени Н.Э.Баумана Л.К. Мартинсон;д.ф.-м.н., проф. Московского государственного

университета путей сообщения В.Н. Деснянский.

© ФГБ ОУ ВПОМосковский государственный университет путей сообщения (МИИТ), 2011

Введение

Изучение колебательных процессов имеет фундамен­

тальное значение для науки и практики. В настоящее

время в передовых странах имеет место бурное раз­

витие вычислительной техники и численных методов.

Появилась возможность проводить анализ задач боль­

шой размерности. Однако, для этого необходимо при­

влекать большие вычислительные и материальные ре­

сурсы. Это одна из причин по которой построение точ­

ных решений остается актуальной проблемой.

В подавляющем большинстве случаев, как заметил

В. Ф. Зайцев, не исследователи «управляют методом»,

а метод «управляет исследователями», то есть суще­

ствует возможность получения решения не всегда имен­

но той задачи, которую хотелось бы решить, а той за­

дачи, которая может быть решена данным методом. В

групповых методах можно найти все множество точных

решений и выбрать то, что больше всего «подходит» в

данной конкретной задаче. Как правило, для полно­

го решения сложной задачи симметрий не хватает. Ис­

пользование точного решения позволяет облегчить ана­

лиз и последующее исследование задачи на компьюте­

ре, что значительно уменьшит число вариантов. Таким

образом, теоретический анализ, сочетание точных или

приближенных методов, остается основным инструмен­

том исследования реальных физических явлений и си­

стем. Теоретические исследования важны не только как

инструмент для получения точных или приближенных

результатов, изучения влияния разных параметров на

поведение системы, но и как аппарат для апробирова­

ния новых моделей и методов, их свойств и точности.

Авторы работ [1], [12], [27] и цитируемые в них клас­

сики науки Р. 3 . Сагдеев, П. А. М. Дирак, Л. Д . Лан­

дау придерживаются следующей точки зрения, кото­

рая уже стала общепринятой. Здесь мы приведем эту

мысль.

Исследование любой реальной физической системы,

как правило, требует некоторой идеализации — постро­

ения модели. Одной из таких идеализаций может слу­

жить рассмотрение систем с конечным числом степеней

свободы. Такая модель позволяет не только упростить

исходную задачу, но и сохранить важную информацию

о характерных свойствах системы. В зависимости от

целей поставленной задачи ее можно упростить путем

уменьшения числа степеней свободы. Таким образом,

большинство действующих динамических систем мож­

но моделировать с помощью системы обыкновенных

дифференциальных уравнений, описывающих поведе­

ние конструкции с конечным числом степеней свободы.

Построение и изучение детерминированных моделей

также является идеализацией более сложных явлений,

оказывающих прямое или косвенное влияние на рабо­

ту динамических систем. Так, например, при изуче­

нии движения объекта в турбулентной среде необходи­

мо учитывать влияние случайных турбулентных сил.

Для этого в уравнение динамической модели вводится

случайный процесс с заданными статистическими ха­

рактеристиками, описывающий неопределенности, воз­

никающие в системе. Очевидно, что использование слу­

чайных процессов при моделировании динамических

систем продиктовано целым рядом факторов или их

комбинацией. Природным источником случайных на­

грузок является действие ветра (в особенности на вы­

сотные сооружения и подвесные мосты), сейсмическая

активность, воздействие морских волн на суда и неф­

тяные платформы. Случайные колебания возникают во

время движения по неоднородной поверхности доро­

ги, в результате процесса горения в двигателях ракет,

флуктуаций в радиотехнических приборах. Отметим,

что зачастую параметры самой системы или внешние

силы, действующие на систему могут быть известны не

точно, что может быть компенсировано введением в мо­

дель случайных функций. Наконец, в задачах управле­

ния ошибки измерений и наблюдений приводят к неопре­

деленностям, которые необходимо учитывать при рас­

четах. Приведенные выше примеры говорят о необходи­

мости изучения стохастических динамических систем,

т. е. динамических систем, подверженных действию неко­

торых случайных нагрузок. Динамическое моделиро­

вание таких систем проводится с помощью стохастиче­

ских дифференциальных уравнений.

Такой подход дает ряд преимуществ: уменьшение за­

трат ресурсов, металлоемкости при производстве, вре­

мени анализа и т. п., что особенно важно при анали­

зе крупногабаритных объектов; возможность анализа

критических режимов, которые в реальности привели

бы к разрушению объекта, большим материальным по­

терям и жертвам, экологической катастрофе и т. д.

Это позволяет выполнять анализ объектов

«на микро-, макро- и метауровнях, различающихся

степенью детализации рассмотрения процессов проте­

кающих в объекте».

Таким образом, несмотря на то что компьютеры ста­

новятся более быстрыми и дешевыми, надо ещё и ещё

раз продумать постановку задачи и провести предва­

рительное аналитическое исследование.

Для исследования возможности управления процес­

сом в будущем важной задачей является построение ре­

шения уравнения Колмогорова— Фоккера-Планка. Оно

описывает плотность вероятности измеримых величин,

таких как импульс (количество движения).

В пособии рассмотрены некоторые случаи стохасти­

ческих систем, описывающих колебания полумаятни­

ков. Наличие переменных коэффициентов делает их

анализ сложным. Все рассмотренные в пособии зада­

чи объединяются наличием ряда общих черт и общим

взглядом на построение решений как традиционными

точными и асимптотическими методами, и методом мо­

ментов, так и новыми, недавно появившимися метода­

ми, которые базируются на некотором интересном свой­

стве дифференциальных уравнений с частными произ­

водными, замеченном К. А. Волосовым в [9]-[14]. Пер­

вая публикация по этой теме была в 1994 году. См. исто­

рию вопроса в [12]. С точки зрения классической тео­

рии уравнений с частными производными уравнения

с переменными коэффициентами являются формально

линейными. При этом, как показано в [12], наличие пе­

ременных коэффициентов делает их анализ даже более

сложным, чем анализ нелинейных уравнений с частны­

ми производными, но с коэффициентами зависящими

от самой неизвестной функции (переносимой величи­

ны). Это подтверждает сравнение по значению резуль­

татов главы 3 с результатами главы 4.

Хотя многие думали, что они знают все о методе за­

мены переменных, они заблуждались. Уравнение

Колмогорова-Фоккера—Планка, как и другие уравне­

ния с частными производными, можно записать в мат­

ричном виде- как систему линейных функциональных

уравнений. Новый математический объект- сопутству­

ющая матрица для уравнения с частными производ­

ными впервые построен в (10]. Вычислены собствен­

ные числа сопутствующей матрицы в символьном ви­

де. Показано, что есть связь этих собственных чисел

с характером эволюции решения. Впервые такая связь

для квазилинейных параболических уравнений указа­

на в работах [13], [14].

Если найдутся люди, которые считают, что этот факт

был недостаточно строго доказан, то авторы могут сде­

лать ссылку им следующее высказывание. Как сказал

А. С. Братусь: «Е сли бы лю ди медали, когда м а т е­

м ат ики строго докаж ут свои т еоремы сущ ест во­

вания реш ения , то водопровода сегодня бы не бы­

ло .»

Можно привести другой поучительный пример из

прошлого [1], с .95. Оливер Хевисайд в последней чет­

верти 19 века предложил революционный символиче­

ский метод решения дифференциальных уравнений пу­

тем замены оператора дифференцирования d/dt умно­

жением на параметр р. В то время операторных мето­

дов, преобразования Лапласа не существовало. О. Х е­

висайд опередил свое время. Переход к переменной р

позволяет заменить дифференциальное уравнение ал­

гебраическим. Эта методика была подвергнута беспо­

щадной критике математиками1, имен которых сейчас

никто и не помнит. А ответ О. Хевисайда известен: «

Д о л ж е н л и я от казат ься от своего обеда, если не

до конца поним аю процесс п и щ еварен ия?» Прошло

время, математики «подтянули » теорию, и операцион­

ный метод занял свое достойное место в математике.

Главы 1-5 написаны совместно с С.О. Синицыным и

Е.К . Вдовиной, глава 6 написана совместно с Е .К . Вдо­

виной и А.К. Волосовой, хотя фамилию последней, с её

согласия, мы решили не выносить на титульный лист.1 Во псе времена находите я люди которые «кичате я чоре з мерно горднт< я* своими знаниями пместо

того чтобы ноетаратыя передать их мо тодежи

Отметим, что полный объем вычислений, проведен­

ный автором в рамках метода нефиксированной кон­

ст рукт ивной зам ен ы перем енн ы х (М Н ЕФ КЗП ), до­

вольно значительный с точки зрения человека, который

полагает, что сто строчек выкладок это много. Объем

набора данных (файла) условий разрешимости, напри­

мер, оценивается в 2 М Б. Анализ файлов такого объе­

ма, как показал старший из авторов, дает возможность

получить качественно новые результаты. Эффективны­

ми средствами работы с ними в настоящем являются

системы символьного программирования «Математи­

ки» разных версий, а в будущем — системы сим воль­

ного параллельного программирования.

Обращаясь к историческим аналогиям, можно вспом­

нить случай с Алексисом Клодом Клеро, который про­

делал громоздкие по тем временам выкладки и полу­

чил новые результаты [1], с .229. Леонард Эйлер по

этому поводу писал: « В эт ом вопросе у г. К л е ­

ро, п о ж а л у й , не было си льн ее прот ивника, чем я.

Х от я я и был в эт ом вопросе предш ест венником

г. К леро, у м ен я не хват ило т ерпения пуст ит ься

в ст оль пространные вы числения. »

Далее я хочу поделиться с молодым поколением сво­

ими воспоминаниями о беседах с выдающимся ученым

академиком РАН В.И.Арнольдом в июле 2008 в городе

Суздале на конференции по дифференциальным урав­

нениям. Он был очень заинтересован результатами ра­

боты [12] и рекомендовал применить метод МНФКЗП

к проблемам которые связаны с уравнениями

Колмогорова—Фоккера-Планка (КФП) и т.д. Его мне­

ние коротко можно сформулировать так: «Исследова­

ние ободряю. Я всегда примерно так и думал, но не

знал, что можно написать точные формулы...» Он пе­

речислил те проблемы, к которым следует применить

метод и новую технику. Это получилась целая програм­

ма.

Из беседы с ним запомнилась еще одна беспокоившея

его мысль, частично отраженная в [2]. Может быть

поэтому он так рано ушел от нас?

«Обсуждалась тема: «Злодеи и герои в науке». Исто­

рики науки не уделяют должного внимания этой про­

блеме. А это все в науке и в математике есть... Только

A . С. Пушкин писал о человеческих страстях... о Мо­

царте и Сальери...Каждый человек выбирает свою но­

шу и дистанцию...»

Обсуждая вопрос о происхождении математики на

заседании Французского математического общества,

B . И.Арнольд сказал: «... м ат ем ат ика — эт о част ь

ф изики, являю щ аяся, как и ф изика, эксперим ен ­

т альной наукой : разница т олько в т ом, чт о в фи­

зике эксперим ент ы ст оят обычно м иллионы дол­

ларов, а в м ат ем ат ике — единицы рублей .» [2],

с .10.

Здесь можно только добавить, что стоимость мате­

матического эксперимента значительно выше, чем это

оценил он [13], с .88 .

Во-первых, н у ж н а идея, которая приходит в го­

лову далеко не каж дом у.

Во-вторых, н у ж н о много труда и усидчивост и

для доведения н ет ривиальны х расчет ов до логи­

ческого конца.

В-третьих, н у ж н о осознат ь и обобщит ь р езу л ь ­

таты примеров и понять, что речь идет не об ошиб­

ках вычисления, а о математической закономерности,

математическом открытии.

Еще нужно и м ет ь крепкую нервную сист ем у,

чтобы довест и до коллег полученные результ ат ы.

В качестве образца для подражания приведем ис­

торический пример научной смелости Э.Лоренца, вы­

бравшего простейшую модель — систему всего трех

ОДУ, просчитавшего её на компьютере и сумевшего по­

нять, что он имеет дело не с ошибками вычислений, а

с математическим открытием [1], с .209. Так в матема­

тике появилось понятие аттрактор Лоренца.

В 1986 году К .А . Волосов помогал редактировать

В.П . Маслову книгу [33]. Эта эпопея была школой обу­

чения науке и жизни. Особенностью работы с Виктором

Павловичем было то, что он умел создать в малень­

ком коллективе творческую, напряженную обстановку

конкуренции за математический результат. Его талант

преподавателя заключается в умении поставить учени­

ка в такое положение, что он как спортсмен— прыгун

«выскакивал, лез из кожи» и показывал результат, ко­

торый в обычных условиях не мог бы быть получен.

Громким, командирским, хорошо поставленным голо­

сом он требовал кратко и четко отвечать на поставлен­

ные вопросы: «Отвечайте только да или нет». В целом

его метод простой: «Внимательно рассматривайте фор­

мулы, проверяйте все возможные боковые варианты...»

В книгу входила его статья с В .П . Белавкиным. Идея

этой статьи привела в дальнейшем к развитию идемпо-

тентного анализа в работах В.П . Маслова с другими

учениками. Для студентов МИИТ, которым не читают

курса «общей алгебры » простыми словами эту идею

можно объяснить так: Можно подобрать такие опера­

ции на «кольцах-математических объектах с опреде­

ленным набором аксиом», что некоторые нелинейные

дискретные уравнения Гамильтона- Якоби-Беллмана

обладают относительно этих операций теми же свой­

ствами, что и линейные уравнения.

Далее старший автор начал поиски аналогов задач

в теории уравнений с частными производными, в ко­

торых можно реализовать аналогичную идею. В ма­

тематике, как в каждом из аспектов жизни, есть по­

нятие «красоты», гармонии. Это как чувство юмора,

как красивая шахматная партия — объяснить словами

очень трудно. Если личность развита, то она понимает

о чем идет речь. Просто считать допускаемые данным

уравнением группы преобразований скучно. Такая ра­

бота —как ремесло. Найти что то новое—«изюминку»,

удивиться, получить удовольствие от результата. Е с ­

л и уравнения ст ановят ся линейны м и, то зада­

ча ст ановит ся прощ е, за т ем мооюно удовлетво­

рит ь краевым и начальны м условия?

А.С.Братусь предложил постановки ряда задач оп­

тимального управления. Старший автор их изучил и

отобрал такую задачу в которой решение уравнения

Гамильтона- Якоби-Беллмана выражается через реше­

ние линейной задачи. Нелинейная краевая задача заме­

ной переменных была приведена к задаче для линейно­

го параболического уравнения. Решение последней хо­

рошо изучено и строится. Это отражено в цикле работ

134Ц36].

Поставленный вопрос можно отнести и к интегриру­

емым уравнениям. Результаты поиска замены перемен­

ных сильно упрощающие исходную задачу в интегри­

руемых уравнениях приведены в главе 4.

В главе 4 приведены примеры для известного уравне­

ния Кортевега де Вриза и других известных уравнений.

Издано много книг по этой тематике, написаны сотни

работ в течении пятидесяти лет [28]—[30], [44[. Построе­

ны теории обратной задачи рассеяния, пары Лакса для

интегрирования уравнения К Д В . Были найдены пре­

образования Миуры и Беклунда, которые связывают

решения различных нелинейных уравнений и т.д. Раз­

ными авторами были предприняты сотни попыток на­

писать асимптотические решения, но трудно коррект­

но описать в элементарных функциях решения, в кото­

рые входят эллиптические интегралы - элементарными

функциями.

Существует вариант когда уравнение Кортевега де

Вриза точно приводится к линейному обыкновенному

дифференциальному уравнению. Построено общее ре­

шение ОДУ. Построена сопутствующая матрица к урав­

нению К Д В . Вычислены собственные числа и собствен­

ные вектора сопутствующей матрицы. Построены точ­

ные решения

уравнения Бюргерса, которое приводится к ОДУ и

интегрируются. Уравнения Гарри Дима, Перегрина, Бен­

джамина, Бона и Махони (П ББМ ) также, в некото­

ром случае, приводится к линейным ОДУ и построе­

но общие решения этих ОДУ. Решения всех перечис­

ленных уравнений выражаются через эллиптические

интегралы. Доказано, что уравнение П ББМ имеет та­

кие же решения, что и уравнение К Д В , то есть они

эквивалентны в рассматриваемом случае. Аналогично

исследованы цилиндрическое и обобщенное уравнения

К Д В . Предлагается применять известный метод «ва­

риации пост оянной », но не в ОДУ, а в конст ант ах

в элли п т и чески х инт егралах. Что оказывается по­

лезным для построения решений уравнений Кадомцева

- Петриашвили, Захарова -Кузнецова и Гарри Дима в

случае когда появляется еще одна дополнительная пе­

ременная у.

В последнем параграфе исследовано уравнение тре­

тьего порядка, которое возникает в теории погранич­

ного слоя в гидродинамике ньютоновской и неньюто­

новской проводящей жидкости текущей в поперечном

магнитном поле. Точные решения автомодельное ре­

шение такой задачи исследовано в [38] в переменных

Л.Крокко [39] с .450. Выяснено, что Прандль Л. и Ми-

зес Р. были на верном пути, но не провели выкладки до

конца, так как не знали правильную замену переменны,

которая следует из решения построенного М НЕФКЗП

[39] с.449. Выведены квазилинейные уравнения для нью­

тоновского и неньютоновского случая течения. Теория

построения асимптотических решений для таких урав­

нений значительно развита, что облегчит решение за­

дачи обтекания шороховатой поверхности. Результаты

доложены на конференциях [40]—[42]. Метод НЕФКЗП

переносится и на системы. Недавно, используя его Во­

лосова А .К . построила структуры спиральных волн, ко­

торые существуют в распределенной системе открытого

гиперцикла [43].

Глава 1 . Динамическая система для

полумаятника

1.1. Постановка задачи о стохастических

полумаятниках

В данном параграфе рассмотрены линейные коле­

бания маятника при наличии демпфирования, подвер­

женного действию узкополосного шума.

Запишем уравнение колебаний маятника при нали­

чии демпфирования

тх" + fix' + сх = Ai,

где х (£) — смещение точки от положения равновесия,

т, с, /3, Ai — масса, жесткость, коэффициент демпфи­

рования и внешняя сила соответственно. В детермини­

рованном случае задача хорошо изучена. В стохасти­

ческом случае, когда величина силы зависит от белого

шума, анализ полной задачи затруднен. Поэтому ис­

ходную задачу, следуя И. В. Андрианову, Р. Г. Баран­

цеву, Л. И. Маневичу, С. П. Стрелкову, Д . В . Юрчен­

ко [1], [26], [27], можно упростить в двух различных

случаях.

Здесь возможно два случая толкования такой зада­

чи:

1) если положить о = /3/т, где а — приведенный

коэффициент демпфирования (трения), (3 — исходный

размерный коэффициент демпфирования, то — масса

маятника, Л = Л]/то — приведенная сила. В этом случае

коэффициент жесткости с в квазиупругой силе считаем

малым (равным нулю). В этом приближении x(t) — ско­

рость движения маятника, x'{t) — ускорение. Получим

систему

х' + а х — Xcos(y(t)), у' = aj + £o- (1.1)

Здесь £о — гауссовский белый шум.

2) Во втором случае будем считать равной нулю (ма­

лой) массу г а . Тогда а — с / (3 — приведенный коэффици­

ент жесткости, с — размерный, исходный коэффициент

жесткости, (3 исходный коэффициент демпфирования,

Л = \\/(3 — приведенная сила. В этом приближении x(t)

— перемещение маятника, x'(t) — скорость движения

маятника. Аналогом известной физической ситуации в

детерминированном случае здесь можно считать коле­

бание небольшой массы в вязкой жидкости. В этом слу­

чае полученное уравнение называют «сист ем ой с 1 / 2

ст епени свободы»— полу маятником.

Если рассматривать классический маятник с конеч­

ной массой, с коэффициентом вязкого демпфирования,

с конечным коэффициентом жесткости, то получим

обыкновенное дифференциальное уравнение второго по­

рядка, для которого ставятся два краевых условия. Обо­

им краевым условиям можно удовлетворить. В данном

случае говорят о одной степени свободы [1]. В случае

уравнения первого порядка можно удовлетворить од­

ному краевому условию. В случае действия случайно­

го гауссовского узкополосного шума для приложений

важно вычислить вторые моменты ( аналог дисперсии

) случайной величины x(t).

1.2. Анализ стохастической динамической системы

В данном параграфе изучена стохастическая дина­

мическая система (1 .1). Показано, что существует непо­

движная точка, вычислен коэффициент затухания сто­

хастических колебаний и найдено его от личие от ко­

эффициента затухания в детерминированном случае.

Получены простые, удобные формулы для предельных

моментов [23], [27]. Выяснена зависимость их от пара­

метров задачи.

Движение под действием узкополосного процесса,

описываемое системой первого порядка, является весь­

ма распространенной моделью в задачах механики.

Как правило, задача считается решенной, если извест­

на плотность распределения вероятности (П РВ) пере­

менной состояния. Для того чтобы найти П РВ , необ­

ходимо построить решение уравнения в частных про­

изводных — уравнения Колмогорова—Фоккера—Планка

(КФП).

В связи с тем, что это уравнение с переменными ко­

эффициентами в общем случае может быть многомер­

ным уравнением параболического типа, найти его ана­

литическое решение оказывается сложной задачей, да­

же для систем, подверженных действию белого шума,

распределенного по гауссовскому закону. Существует

ограниченное число систем, для которых решение неко­

торых простых уравнений КФП строится в явном ви­

де [16]. С другой стороны, насколько известно авторам

работ, в которых исследуются аналитические решения

уравнения КФП для системы, находящейся под дей­

ствием узкополосного возмущения, просто не существу­

ет. Следовательно, весьма актуальной является зада­

ча построения аналитических решений уравнения КФП

для систем, подверженных действию узкополосного шу­

ма.

Рассмотрим уравнение движения, описываемое си­

стемой первого порядка, подверженной действию узко­

полосного шума:

х + ах = Aeos(y(£)), у = to + £0. (1.2)

Здесь £о — гауссовский белый шум. Этим уравнениям

соответствует следующее уравнение КФП:

Pt - а { х р )х + \ cos (у) р г + и р'у - £ Руу = 0. (1.3)

Здесь а — аналог безразмерного коэффициента трения

£■ = d/2 < 1 — коэффициент диффузии, Л, и —заданные

константы.

Объясним процедуру усреднения системы (1.2) по

Стратоновичу [25] (см. также [27]) для вычисления вто­

рого момента.

х2 = cos[y(i)], х3 = sin[y(t)}. (1.4)

В результате из ( 1 .2) и (1.4) имеем систему стохастиче­

ских дифференциальных уравнений

х[ = -OCX], + \ Х ‘2, х'2 = - X z [ u + £(Д )],

х'з = ®2[w + 4o(*)]. (1-5)

Применим к анализу данной задачи метод моментов

развитый в работах G. Q. Cai и других авторов, боль­

шой список работ которых приведен в [27]. Посколь­

ку анализ стохастических задач сложен и затруднен,

в работах G. Q. Cai предложены правдоподобные рас­

суждения, позволяющие, при некоторых предположе­

ниях, получение системы детерминированных диффе­

ренциальных уравнений относительно моментов состо­

яния системы разного порядка. Метод моментов позво­

ляет получить точные аналитические результаты для

линейных систем с внешним широкополосным или уз­

кополосным возмущением, а также для систем с широ­

кополосным параметрическим возмущением. Для ли­

нейной системы получить систему уравнений для мо­

ментов разных порядков можно прямо из системы сто­

хастических дифференциальных уравнений, описыва­

ющей движение системы и ее решение.

Примером этого является приведенная в данном па­

раграфе задача. В этом случае явно строится точное

решение и вычисляется его предел при больших вре­

менах. При этом этот предел совпадает с результ а­

том, который дает метод моментов с усреднением по

Стратоновичу.

С другой стороны в нелинейной сит уации , по мне­

нию ряда специалистов, на данный момент времени нет

строгих обоснований того, как соотносятся решения по­

лученной новой задачи и исходной задачи. Однако чис­

ленные эксперименты дают прикладникам возможность

некоторых оптимистичных обоснований для использо­

вания полученных формул в практических расчетах.

Положим Dll = < ^1 1 >) D12 ~< Xi'X’2 >,

где < > обозначает усреднение.

, dx? „ ,Du - < —г- > = 2 < х Лх\ > =

dt2 < X j(—сихi + Ахз) > — —2oiDu -I- 2XDi2- (1.6)

Для того чтобы вычислить < гсг о > в смысле Страто-

новича, надо добавить и вычислить поправочный член.

Общие формулы приведены в [27]. Формула, адаптиро­

ванная для данного случая, имеет вид

< g(z)€o > s t r = 1/2 < cf{x)£о > г1о.

Следовательно,

- < TiX3[^o(i)] > s t r = " < (х / х 3 + X i X 3' )€o {t) > =

= ( -< 2X1 + Ая 2) ( - Я з)£о(*) > i to -

< X l (x 2[w + Ы * Ш о ( 1) > i t o =

= (<2 < XlX2 > < fo(t) > -A < X2X3 >< ^o(t) > ) -

< X\X2 > Ш < &(<) > ~ < XyX2 > < &{t)Zo(t) >= '

так как < £o(0 > = 0, то

= - D i 2Dio(t)/ 2, < £o{t)£o(t) > =

Продолжая аналогично, получим динамическую систе­

му

Теорема 1 .2 .1

Пусть дана система (1.7).

Тогда стохастическая система (1.7) имеет неподвиж­

ную точкуУ

Собственные числа матрицы А стохастической систе­

мы (1.7) имеют вид

Ai 2 = —а — D^/2 d t u i , A3 = —2а, i = у/ -Л.

Собственные вектора имеют вид

Щ.г = ( (± 4 iA i,2)/(П ^ - 2а ± 2ил), 1), Щ - (1,0,0).

□Д оказат ельст во

Добавим в неподвижной точке условие D22 + Д » = 1

— это тригонометрическая единица. Существует ста­

А2(о + D J 2 ) А(о + Dfr/2)2а[ш2 + (а + D(.0/2)2Y 2а[и2 + (а + D J 2 ) 2}'

( 1.8)2а[и)2 + {а + D J 2 ) 2]'

ционарное решение этой системы, т. е. А^ = 0. Ищем

неподвижную точку. Так как функции (1.4) не корре­

лируют, их усреднение на периоде равно нулю, поло­

жим здесь дополнительно А22 = Азз = 5, А2з = 0. Тогда

получим ( 1.8 ).

Система (1.7) точно интегрируется:

А13(t) = [—2а(2а + D )D\\ •+• 4A2A22 — (A + 60)An (t) —

- 2 A n "(£)]/(4A u),

Dl2(t) = (2aD" t P -u '(t>). (19)

Для функции Du (t) получим линейное ОДУ третьего

порядка

Dn '"(t) + (4а + Dz)Dn "(t) +

+ —(А^2 +■ 12А^а + 20 а 2 4- 4 со>2)Ап (£) +

4- -а((А^ 4- 2а)2 + 4u2)D\i(t) — 2А2А22 (£) —

— (А? 4- 2а)А2А22 4- 2А2а>А2з = 0. (1.10)

Предполагая

А22 = А33 = 2 ’ Агз =

приведем решение (1.10)

Dn(t) = С\ exp(t{—6 — 2iu>)/2) + Сгехр(£( —S + 2iui)/2) +

+С*зехр(—2ta) +

+[exp(—1(5 + 2a))SX2[—AD [exp(t<S) + exp(i(5 + 2a)) —

— exp(t(5 + 4a — 2uo)/2) — exp{t(8 -t- 4a 4- 2uS)f2)]au; 4-

+ D 2[ta exp(t(5 4- 4a — 2iu)j2) —

—гаехр(£(<5 + 4a + 2iuS)j2) — a?exp(£<5) + ujexp(t(5 + 2a))] +

+4[—iaexp(t(S + 4a — 2zu?)/2) 4-

4-iaexp(£(<S 4- 4a 4- 2iui)/2) — u;exp(£5) +

+ojexp(t(6 4- 2a))] (a2 4- a?2)]]/[au;(/32 + 4a;2) (S2 + 4a?2)].

( 1. 11)

Здесь /3 = — 2a, 5 = + 2a.

Так как уравнение (1.10) — линейное, отделим веще­

ственную часть решения

ReDn(i) = Ci ехр(—15/2) cos(u?t) -4- Cjexp(—2ta)+

+[exp(—2ta)S А2 ш [D 2(exp(2 t a ) - l ) -

—4 a (1 4- exp(2 t a)) + 4 (exp(2 t a) — l)(a 2 + u)2)\ 4-

4-exp( —£ 5/2)a и [8 S X2 4- C2 p) cos(u;t) +

4-2exp(—t5/2)a5X2{ D 2 — 4(o;2 4 uj2)) sm(ujt)]/(aujp),

( 1.12)

где

p — - 8D^{a2 - lj2) + 16(a2 + u 2)2.

Вычислим предел при t, стремящемся к бесконечно­

сти, и получим стационарное решение (1.8). Констан­

ты Cj, j = 1,2,3, определяются начальными условиями,

которые здесь не приводятся.

□Результат (1.8) при = 0 полностью совпадает с

результатом для детерминированной системы (1.1). Ее

стационарное решение при = 0 есть

_ A[acos(cJt) +ш вш(йД)]Х { 1) — — - ,

or 4- и4

и тогда, усредняя по периоду 2-k/ uj, получаем

Л2< х > - £ / * ■ (t)dt

2 (а2 + и2)

Систему (1.7) можно записать в матричном виде

дdt (D ib A 2 ,D 13r = Ж А ь Д 2 , А зГ +

+ (0, AD22, AD23)r , (1.13)

л =

-2 а 2А

0 - а - D5/ 2

0 и

(1.14)

Верхний индекс Т означает транспонирование, то есть

записаны вектор столбцы. Матрица А имеет вид

- - о ^

—и)

- а - О ф ]

Вычисляем собственные числа и собственные векто­

ра матрицы (1.14), приведенные в т еорем е 1 .2 .1 . По

классификации особых точек данная особая точка яв­

ляется устойчивым фокусом. В книге В . И. Арноль­

да [3] (с. 125) приведены результаты исследования ин­

тегральных кривых в трехмерном случае.

Имеют место два случая.

В первом случае выполнено неравенство

RcAx.2 < A3 < 0, откуда следует, что D^j2 > а\ инте­

гральные кривые показаны на Рис. 1 .1 .

Во втором случае выполнено неравенство

А3 < ReAi,2 < 0, откуда следует, что D^j2 < а ; инте-

гральные кривые показаны на Рис. 1.2 .

В случае а = 1^/2 характер кривых существенно не

отличается. Просто поверхность, аналогичная изобра­

женным на Рис. 1 .1 , 1 .2 , становится конусом, образу­

ющей которого является прямая. Собственные числа в

этом случае равны

Ai 2 — —Df: i и> i, A3 — ~D^.

Собственные векторы имеют вид

Щ.2 = (2Ai .2/w , =Fi, 1), u3 = (1 ,0 ,0 ) ,

что и следует из выражений, приведенных в теореме

1 .2 . 1 .

Рис. 1.1 Случай Rp Aj 2 < A3 < 0. Сжатие по направлению и3, вра­

щение с более быстрым сжатием в плоскости (их-щ)

Р и с 1.2: Случай Л3 < ReAi.2 < 0. Сжатие по направлению и3, вра­

щение с более медленным сжатием в плоскости (u i,u 2)

Из данного исследования следует важный вывод:

коэффициент зат ухания в ст охаст ическом слу­

чае 6 = | — а — D^/2| больш е, чем в дет ерм иниро­

ванном случае, на половину инт енсивност и слу­

чайного ш ума.

Исследование функций позволило обнаружить ло­

кальный максимум, соответствующий «размазанному»

резонансу. Шум мешает системе «настроиться» на ре­

зонанс точно. Приведем графики зависимости П ц от

параметров задачи: Рис. 1 .3 -1 .6 . Трехмерные изобра­

жения поверхностей дополняются кривыми линий уров­

ня.

Р и с 1 . 3 . Зависимость Du от и , Ds . Здесь Л = 1, а = 1

Рис. 1.5: График в других координатах, виден явно выраженный

максимум. Здесь = 1, и> = 1

Теорема 1 .2 .2

Пусть дана стохастическая система (1.7) и её точное

решение (1 .12).

Тогда оценки вторых моментов D u , г = 1 , 2 , 3 , по­

лученной мет одом м омент ов, совпадают с преде­

лом точного реш ения ( 1.12) на больш их врем енах

(при t —* оо). □

Р и с . 1.6 Линии уровней, соответствующие Рис. 1.

Dg = 1, ш = 15. Здесь

Глава 2. Неподвижные точки некоторых

стохастических нелинейных динамических

систем полумаятников

2.1. Нелинейная стохастическая динамическая

система полумаятника с кубическим

возмущением. Неподвижная точка

В параграфе 1.2 изучена стохастическая динамиче­

ская система в линейном случае. Физический смысл та­

ких задач описан во параграфе 1 .1.

Обычно в аналогичной задаче, связанной с уравнени­

ем Дуффинга [27], рассматривается приближение, свя­

занное с учетом второго члена разложения функции

sinx в ряд Тейлора. Цель данного параграфа — по­

казать, что существует локальный максимум момен­

та второго порядка в пространстве параметров. Заме­

тим, что ниже в параграфе 3.3 построено точное реше­

ние уравнения КФП с произвольной функцией т (х ). В

этом параграфе мы выносим пример на первый план,

чтобы читатель не вникал пока в технику метода. Этот

пример является одним из результатов анализа МНФК-

ЗП ( параграф 3.2).

Рассмотрим полумаятник, описываемый системой

первого порядка с кубическим возмущением, подвер­

женной действию узкополосного шума:

х + а х — 7Ж3 = A co s (y (t)) , у ' = ш + £о- (2.1)

Здесь £о — гауссовский белый шум. Этим уравнени­

ям соответствует следующее уравнение Колмогорова-

Фоккера—Планка:

р \ - ( а х р - - у х 3 р) a, + Acos(j() р 'х + и р 'у - Е р уу" = 0.

(2.2)

Здесь а , 7 , А, ш — коэффициенты, смысл которых объ­

ясняется во введении при постановке задачи и в пара­

графе 1 .1 . Здесь е < 1 .

Проведем, как и ранее, усреднение системы (2.1) по

Стратоновичу [25], [27] для вычисления второго момен­

та.

Обозначим

х 2 = cos[f/(t)j, сс3 = sin[y(t)]. (2.3)

В результате имеем систему стохастических дифферен­

те) -

циальных уравнений

х [ = —asci + 7 SC13 + Asc2, х'2 = — х 3[ш + £оОО],

sc' = х 2[ш + &(*)]• (24)

Далее применим метод моментов.

Положим D u = < *iscx > , D X2 = < х хх 2 > , где < >

обозначает усреднение. Получим уравнение

I dxl:£>п = < — - > = 2 < seise. > = < x i ( —acxi + \ x 2) > -f

at+ 2 7 i5 [®i4] = — 2 a £ ?n -f- 2A£?i2 + 2 7 П 11Ц, (2.5)

где D = < £o £0 > — интенсивность шума.

Далее проводим вычисление усреднения в смысле

Стратоновича аналогично параграфу 1 .2 .

Аналогично получаем еще два уравнения:

. 1£>12 — —а£>12 -f- А£>22 — £>1за? — —Х?12£)^ 7 Д 112,

А, 1

£>i3 — —a Z )i3 + А£>2з + £>i2a> — — £>1з£>$ + 7 П 1113 .

( 2 .6)

Здесь D u n = Е [х i4], D m 2 = £[sci3a;2],

£>1113 = £[sc13sc3] — моменты четвертого порядка.

Для того чтобы исследовать эту систему, предполо­

жим, что имеет место квазигауссовское замыкание, то

есть моменты высокого порядка выражаются через мо­

менты второго порядка:

jDiiii — k D n 2, D m 2 = k D u D i2, Dxxx3 = k D u D i3.

Значение коэффициента к = 3 получено Д . В . Юр­

ченко техникой квантильных оценок.

Тогда получим систему стохастических уравнений

.Dxi (t) = 2'ykD u2 — 2o:Dxx -H 2ADx2>

D x2 (t) = ——D 1 2 — q J3x2 + 7 ^ D xxD x2 —£—u)Di3 -f- AD22,

D 13(t) = u)Di 2 — —D i3D^ — aDx3 -f- 7feDxxDx3 +A

+ A D 23. (2.7)

Добавим условие D 22 + D 33 = 1 — тригонометриче­

ская единица. Так как существует стационарное реше­

ние этой системы, т. е. D^- = 0 , ищем неподвижную

точку. Положим здесь дополнительно D 22 = D 33 =

D 23 = 0, поскольку функции (2.3) не коррелируют

и их усреднение на периоде равно нулю.

Система (2.7) в неподвижной точке точно решается.

D 12 = [а £ )ц - 7-D n2]/A ,

£)i3 = [—о :D nD ^ — 2сх2D u -Ь "У-О -Оц2 ■+■ 2ос'уЮц2 -(-

+ 2 a 7 fcDn 2 - 27 2feDu 3 + 2 \ 2D 22} / (2Aw). (2.8)

Для функции jDu получим алгебраическое уравнение

четвертого порядка

7 3£?и 4 — 7 2A i £)113 + 7 A 2.D112 — А з£)ц + А 4 = О,

(2.9)

где

Ai = (JD -j- 2 a + кос)/к,

А 2 = [Г>£2 + 4 а£>£ + 4 a kD ^ + 4 а 2 +

+ 8a 2fc + 4w2]/(4fc2),

A3 = [D(?ot + 4 D^ol2 + 4 а 3 + 2~/\2к + 4 a w 2]/(4fe2),

А4 = (D s + 2 a )A 2/(4fc2) (2.10)

Исследуем непрерывную зависимость £ )ц (7 ) от пара­

метра 7 . Корни алгебраического уравнения (2.9) точно

вычисляются, но имеют довольно громоздкий вид. Хо­

тя эти выражения хорошо рассчитываются на компью­

тере. Например, их можно получить с помощью систе­

мы M athematica.

Среди корней существует такой, который при зна­

чении параметра 7 = 0 переходит в значение, вычис­

ленное в параграфе 1.2 (первая формула в (1 .8 )). Нас

интересует именно этот корень.

При выбранных значениях параметров график Рис

2.1 имеет место выраженный локальный максимум при

7 = 0 ,2.При изменении параметров максимум сдвигается. В

данном случае нам важно показать, что существует неко­

торая область в пространстве параметров, в которой

находится максимум D u .Оц

Р и с . 2.1 Зависимость дисперсии D u от параметра 7 . Здесь

Л = 5, а = 2, ш — 1, = 1

Из формул (2.8) следует, что моменты второго поряд­

ка £>12(7 ) и £>13(7 ) также имеют локальный максимум.

2.2. Решения уравнения КФП

с произвольным переменным коэффициентом

Результаты данного параграфа следуют из теории

метода М НЕФКЗП, изложенной в главе 5 и работах

[22]—[24]. Условие разрешимости, которое следует из

М НЕФКЗП, позволяет строить не только «простые»

для человеческого глаза решения, но и более сложные

решения, которые остаются записанными в параметри­

ческой форме. Они в пособии не приводятся, но вполне

пригодны для проведения численных расчетов.

В параграфе 3.2 методом М НФКЗП анализируется

уравнение КФП, возникающее в теории стохастических

полумаятников в нестационарном случае:

P t+ u P y-o t(m (x ) p )'x+ \ co s{y ) р х— е р уу" = 0 , (2.11)

где p ( x ,y ,t ) , т {х ) — дважды непрерывно дифферен­

цируемые функции независимых переменных.

Когда точное решение известно, появляется возмож­

ность вернуться к исходным переменным и проверить

его достоверность.

В данном параграфе 2.2 проводится проверка досто­

верности решения в стационарном случае, которое сле­

дует из теоремы 3.3.3. При этом, на данном шаге, мож­

но не вникать в технику М НЕФКЗП. Предлагается сде­

лать подстановку заготовки (анзаца) решений в урав­

нение (2 .11).

В параграфе 3.3 из анализа условий разрешимости

делается вывод о необходимости поиска решения урав­

нения (2 .11) в виде

■циз tuj2p { x ,y ,t ) = е х р [a t + - ------- — ] W { x ,y ,t ) , (2.12)

2е 4е

где функция W ( x ,y ,t ) удовлетворяет линейному па­

раболическому уравнению с переменными коэффици­

ентами

W 't Л cos(?/)(W ) x — е W yy" - a { W m (x ) ) 'x + a W = 0.

(2.13)

Полученное уравнение отличается от исходного урав­

нения (2 .11) появлением симметрии, а именно уравне­

ние становится инвариантным относительно замены пе­

ременной у на —у.

Произвольная непрерывно дифференцируемая функ­

ция т (ж ) , в частности, может моделировать функцию

знака

1, х > О,

sgn(x) = о, х = 0, (2 14)

—1 , х < 0 .к.

Такой функцией является, например,

т (х ) = (ехр (рх) — 1) / ( е х р {рх) + 1) — член после­

довательности, сходящейся к функции sgn х.

Здесь р > 0 — константа. Ее разложение в ряд Мал-

клорена имеет вид т {х ) — р х /2 — р3ж3/ 24 + • • •.

Решение уравнения (2.11) описано в следующей тео­

реме.

Теорема 2 .2 .1

Пусть дано уравнение (2 .11) с нулевыми граничны­

ми условиями на бесконечности и выполнено условие

нормировки

1 -0 0 1 - о о Р ( Х 1 У-> * ) d x d V = 1 -

Тогда точное решение для уравнения (2 .11) в виде

(2.12) неявно задается уравнением

cos(y) - H (x , e x p (—t< r)W (x ,y , t ) ) = 0,

где дважды непрерывно дифференцируемая функ­

ция двух переменных

Н (х ,г } ) , где т] — е х р (—t<r) W (х , у, t)

удовлетворяет уравнению с частными производны­

ми с двумя независимыми переменными ж, tj, которое

имеет вид

Н 'х(х,-п) -

- е Н " т (х,т))[1 - Н 2]/[(Х Н - а т & Ж н 'г ,)2} +

+ [ - е Я ( а , rj) + r]H 'v(-a t — tr +

+ o rm '(x ))]/[\ H (x ,r }) — ос т ( ж ) ] = 0. (2.15)

□К ом м ент арий к доказат ельст ву

В уравнении (2.15) имеются две переменные ж и у.

Фактически при построении формул утверждается, что

в качестве независимых переменных следует выбрать ж

и е х р (—ter) W (x , у, t). Этот вывод следует из анализа,

проведенного в параграфе 3.2 М НЕФ КЗП. (см. Замеча­

ние 3.1.2.) Здесь, когда решение уже известно, его спра­

ведливость можно проверить прямой подстановкой. □

Заметим, что переменная

г] = exp (—tc r)W (x ,y ,t ) < 1 является малой в си­

лу физического смысла задачи и изменяется на отрез­

ке [0,1]. Учитывая этот факт, предлагаем строить ре­

шение уравнения (2.15) в рядах. Справедлива следую­

щая лемма.

Л ем м а 2 .2 .1

Пусть дано нелинейное уравнение (2.15).

Тогда при малых значениях переменной г] решение

уравнения (2.15) имеет вид ряда

На коэффициенты С, выписывается система уравне­

ний. Первое и второе уравнение имеют вид

C \ (x )C i2(x )[—a m ( i ) + ЛС0(ж)] +

+ С '0(х )С 1[\С12(х) + 4\ С 2(х )С 0(х ) -

—АосС2{х )т (х )] + Сх3(ж)[—а — е — а + стг (х)] +■

П(2.16)

С' ъ {х )С х2 (x)[otm (x) — ЛС0(ж)] + 2 еС 2 +

+ е С 12(ж)С0(ж) — 2еС 2(х )С 02(х ) = 0 .

(2.17)

+ е С 3(а:)[—1 + С 02(х)] = 0 (2.18)

соответственно. Третье и последующие уравнения си­

стемы мы не приводим.

К ом м ент арии к доказат ельст ву лем м ы

Уравнение (2.15) является нелинейным. Будем ис­

кать решение в виде ряда

Н (х ,г] ) = C q(x )tj0 + Ci(x)r)0+1 + C2( x ) i f +2 Н-------- ,

(2.19)

где C i(x ) , г = 0 , 1 , 2 , , — произвольные непрерыв­

но дифференцируемые функции. Однако неизвестно,

какое значение степени (3 необходимо выбрать. При­

меним метод многоугольников Ньютона, который хо­

рошо себя зарекомендовал при решении аналогичных

задач. Он удачно применялся для определения возмож­

ных особенностей решений квазилинейных параболи­

ческих и гиперболических уравнений «в окрестности

фронта» (такая терминалогия введена в работах [6], [7],

[8], [18] стр. 50).

О бъясним как работает м ет од Н ью т она.

Подставим (2.19) в уравнение (2.15) и выпишем сла­

гаемые при степенях переменной г]. Выпишем несколь­

к о -

ко показателей этих степеней:

- 2 + 13, - 1 + 13, 1 + 3 (3, 3(3,

2 + 4(3, - 2 + 3(3, . . . (2.20)

Необходимым условием существования решения вида

(2.16) является равенст во нулю коэффициентов при

слагаемых, и м ею щ и х одинаковые ст епени. Пред­

лагается на вспомогательной плоскости (X , Y ) ставить

в соответствии показателю степени у точку. Очевидно,

что по крайней мере два произвольно выбранных пока­

зателя в (2 .20) совпадают, а остальные строго больше

выбранных.

Последовательно рассмотрим все возможные случаи.

В качестве примера, демонстрирующего работу ме­

тода Ньютона, рассмотрим случай, когда равны второй

и шестой показатели в (2 .20):

- 1 + (3 = - 2 + 3 (3.

На вспомогательной плоскости X , Y показателям сте­

пеней (2.20) сопоставим точки M i(X {,Y i). Показателю

степени а (3 + Ь отвечает точка М (а , b) с координатами

X = a, Y = Ь. Таким образом, приведенным степеням

(3.20) соответствуют точки

М 0( 1 , - 2 ) , М Д 1, - 1 ) , М 2(3 , 1 ) , М 3( 3 ,0 ) ,

М 4( 4 , 2 ) , М 5( 3 , - 2 ) , . . . (2.21)

В силу сделанного нами выбора показателей точка М 5

является вершиной многоугольника Ньютона, приве­

денного на Рис. 2.2. Уравнение прямой, проходящей

через точки М г, М 5, с угловым коэффициентом —1 / 2

имеет вид

Y = ( X - Х 0 + У „ (2.22)Л-5 — Л.1

или У = —\(Х — 1) — 1 . Для того чтобы значение /3

реализовалось в данной задаче, необходимо, чтобы все

точки M j , j ф 1, j ф 5, на вспомогательной плоско­

сти X , У лежали выше прямой с отрицательным на­

клоном, проходящей через точки М\ и М 5, определяе­

мой уравнением (2.21). Координаты каждой точки пря­

мой вычисляются по уравнению прямой (2 .22), и с ней

сравниваются координаты всех точек (2.21). Но в дан­

ном случае точка М 0 лежит ниже построенной прямой.

Следовательно, отрезок М ХМ 5 не является стороной

многоугольника Ньютона и сделанное нами предполо­

жение неверно. Таким образом, решение с показателем

степени /3 = 1 /2 не может быть реализовано в дан­

ной задаче. Из оставшихся вариантов остается только

один, когда прямая проходит через точки М 0 и М 5. Все

остальные точки расположены выше. Показатель /3 = 0

соответствует этой прямой. И, следовательно, в форму­

ле (2.19) должно быть выбрано значение /3 = 0, откуда

и следуют формулы леммы 2 .2 .1.

Все рассуждения доказательства проиллюстрирова­

ны на Рис. 2.2.

Доказательство леммы завершено. □

В данном случае есть возможность вернуться к ис­

ходным переменным и построить приближенные реше­

ния уравнений (2 .11), (2.13). Справедлива следующая

теорема

Теорема 2 .2 .2

Пусть дана задача Коши для уравнения (2.15) со спе­

циальными начальными условиями.

Тогда приближенное решение уравнения (2.13) неяв­

но задается уравнением

cos (у) - [Со(ж) + 7]Сх{х) + 7]2С 2(х ) + i f c 3{x )+

rj4C 4(x)] = О,

где г) = = е х р (—ta )W (x , y ,t ) < 1 ,

Ci(x)., i = 0 , 1, 2 , 3 , 4 , — произвольные дважды

непрерывно дифференцируемые функции.

К ом м ент арии к доказат ельст ву

Положим

cos(y) — [С0(сс) + г)Сг{х) + Г}2с 2(х) + Т) 3С 3(ж) +

+ т}4С 4(х )] = 0. (2.23)

Ограничиваемся таким отрезком ряда, потому что ре­

шение алгебраического уравнения четвертого порядка

можно записать аналитически в символьном вида. Су­

ществуют четыре корня алгебраического уравнения (2.23)

записанные в радикалах.

Р и с . 2 . 2 : Вершины многоугольника при расчете значения парамет­

ра 0 методом Ньютона

Выбираем корень, имеющий физический смысл. Ве­

щественная часть приближенного решения уравнения

(2.23) (условно первого корня) легко вычисляется в си­

стеме символьных преобразований «Математика», но

имеет громоздкий вид и не приводится в пособии. Од­

нако эту формулу можно с успехом применять при чис­

ленных расчетах.

r}i = е х р (—tcr)W (x, у, t) = ...

Если параметр а положить равным сг = из2/ (4е) —

а , то переменная t из вышеприведенного выражения

исключается. Действительно, справедливо равенство

т] — exp ( - t (r )W (x ,y , t) =

yuj £cj2= e x p (—t er) exp[—( a t + -------- — )]p(®, y, t).

2e 4eЕсли в этой формуле потребовать, чтобы функция р (х , yj

не зависела от переменной t, то необходимо, чтобы экс­

поненты не зависели от переменной t, а это возможно

при единственном значении параметра а — w2/ ( 4 e ) —a.

Тогда экспоненциальные слагаемые е хр (—t <т) сокра­

щаются (пропадают). Известно, что для решений ал­

гебраического уравнения четвертой степени существу­

ют точные формулы в радикалах. Один из корней име­

ет физический смысл. Берем отрезок ряда до четвертой

степени г)4 включительно. Разрешаем это уравнение от­

носительно у и затем находим W {x ,y ,t ) . Таких выра­

жений для W (х , у , t) четыре. В теореме приведено вы­

ражение для корня, который условно будем называть

первым.

Функции С*,г = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 определяются из системы

(2.17), (2.18). Далее, необходимо проводить численные

исследования системы ОДУ (2.17), (2.18). Это отдель­

ная задача, которая выходит за рамки данного пособия.

Р ассм от рим ст ационарны й случай.

Приведем окончательные формулы для стационар­

ного случая. Как было показано выше, если положить

значение свободного параметра сг — и>2/(4 е ) — а в ре­

шении (2 .12), то получим решение, не зависящее от пе­

ременной t (это тоже следствие теоремы 3.3 .3).

Точное решение уравнения КФП в стационарном слу­

чае имеет вид

A cos (у) (НО х — е W " — a (W т {х )) ' x + olW = 0. (2.25)

Решение стационарного уравнения (2.25) описано в

следующей теореме.

Теорема 2 .2 .3

Пусть дано уравнение (2.25) с нулевыми граничными

условиями на бесконечности и пусть выполнено условие

нормировки

(2.24)

где функция W (ж, у) удовлетворяет уравнению с пере­

менными коэффициентами

IZ o IZ o P (x ^y) d xd v = !■

Тогда точное решение для уравнения (2.25) неявно

задается уравнением

cos(y) - Н (х , W (ж, у)) = О,

где дважды непрерывно дифференцируемая функ­

ция двух переменных

H (x^rf), где г) — W (ж, у )— удовлетворяет уравне­

нию с частными производными с двумя независимыми

переменными ж и 77:

Н 'х{х, г}) -

- е Н " т {х , т/)[1 - Н г\/[(ХН - а т ( а : ) ) ( Я '„ ) 2] +

[ - 4 е * Н (х , rj) + 7) Н '„(о)2 -

4 а е т ' ( ж ) ) ] / [ 4 е(Л H (x ,r j) — а т ( ж ) ) ] = 0.

К ом м ент арий к доказат ельст ву

В уравнении (2.26) фактически утверждается, что в

качестве независимых переменных следует выбрать ж

и W (x ,y ) . Это не догатка, а вывод из анализа метода

М НЕФКЗП. См. Замечание 3.1.2. Этот же метод да­

ет хорошие результаты в [10]-[12] и в главе 4. Здесь,

когда решение уже известно, его справедливость мож­

но проверить прямой подстановкой. Эта замена похо­

жа на переход к переменным Мизеса в гидродинами­

ке жидкости [38], [39], с.450. Заметим, что переменная

т/ — W (ж, у) < 1 является малой в силу физического

смысла задачи и изменяется на отрезке [0,1]. Подстав­

ляем ряд вида (2.16) в уравнение (2.26).

Получим систему уравнений, аналогичную (2.17),

(2.18).

Приведем только первое уравнение:

С '0(х )С 12(х )[а т (х ) — ЛС'о(ж)] + 2 еС 2 +

еС г2(х )С 0(х) - 2еС 2(х )С 02(х) = 0. (2.27)

Следующие уравнения мы не приводим.

Далее переходим к исследованию численными мето­

дами. Полный анализ этой системы выходит за рамки

пособия.

Положим при численных расчетах а = 0.01. Функ­

цию т (х ) можно выбрать в виде

т (х ) = (ехр(рж) — 1)/ (ехр(рж) + 1), (2.28)

где р > 0 — константа. Надо иметь в виду, что в данных

задачах необходимо выполнение нелокального, тради­

ционного в таких задачах, условия нормировки. Оно

должно выполняться с некоторой, наперед заданной

точностью, например, £i = 0 ,0 1 .

На Рис. 2.3 приведены графики функции плотности

вероятности р(0, у) при х = 0 . Изучена зависимость от

параметров.

Р и с . 2 3: Плотность вероятности при х = 0. Здесь а = 0.01. Верх­

ний рисунок соответствует значениям параметров из = 0.6, А = 4;

кривым 1 и 2 соответствуют значения е = 0.6 и е = 1.6. Нижний

рисунок соответствует значениям параметров из — 0 .1, е = 2.5,

кривым 1 и 2 соответствуют значения Л = 2.5 и А = 3.5

Глава з. Уравнение

Колмогорова—Фоккера—Планка как система

функциональных линейных алгебраических

уравнений.

3.1. СФЛАУ вместо уравнения с частными производ­

ными. Условие разрешимости

В этом параграфе объясняется как надо проводить

исследование уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка

(КФП) методом М НЕФ КЗП [22]—[24]. Этот метод и его

название предложены К. А. Волосовым. Многие счита­

ли замену переменных тривиальным приемом и пола­

гали, что они знают все о ней. Однако в работах [9]—[14]

и в данном пособии показано, что они заблуждались.

В указанных работах выяснено, что квазилинейное

уравнение с частными производными с двумя независи­

мыми переменными можно записать как систему функ­

циональных линейных алгебраических уравнений. Ес­

ли независимых переменных больше, то, чтобы урав­

нение с частными производными можно было записать

как систему функциональных линейных алгебраических

уравнений, необходимо сделать некоторые дополнитель­

ные предположения. На основании этого свойства пред­

ложен алгоритм построения точных решений, который

формулируется в предположении, что все используе­

мые функции существуют и они дважды непрерывно

дифференцируемые. Построен новый математический

объект— сопутствующая матрица к уравнению с част­

ными производными. Свойства этой матрица изучались

в [14].

Рассмотрим уравнение движения, описываемое си­

стемой первого порядка, подверженной действию узко­

полосного шума:

х +OLх = X cos(y(t) ) , у = ш + €о- (3.1)

Ограничимся в данном параграфе исследованием ста­

ционарного случая. Нестационарный случай рассмот­

рен ниже. Рассмотрим уравнение КФП, возникающее

в теории стохастических полумаятников, в стационар­

ном случае

и р у - а(ж р ) х + A c o s (у ) р х - £ Руу = 0. (3.2)

Здесь р (х , у) — дважды непрерывно дифференцируе­

мая функция — плотность вероятности,а — аналог ко­

эффициента трения, е < 1 — критерий подобия (ко­

эффициент диффузии) в безразмерном виде, А, ы —

заданные константы.

Сделаем в уравнении (3.2) произвольную замену пе­

ременных

Р ( ж? 2/)U=a;(£, <5), у=у(£, <5) — ( 3 .3 )

Предположим, что якобиан замены переменных

d e tJ = х д — у s 0 не равен нулю. Здесь

t . > \У<-

\ х s Уд у

Тогда существует обратное преобразование

4 = £(ж, у), 6 — 5 {х , у). При этом

д х дд ду ддд£ ду д£ д х ’д х д£ ду д£— = - d e t J — , — = d e t J — . дб ду дб д х

(3.4)

Введем обозначения

дрд хдрду

х=х(£, <5), y=j/(£, S) — У ( £ 5^)5

х=х({, <5), у=у(|, S) = Т ( £ , д ) . (3.5)

Вычислим левые части выражений (3 .3), используя

(3 .2), (3.4). Получим выражения

d U d y d U d yas ds d£ Y(i'S)dP, J'

д и д х d u d xH— — X'(^, 6) detJ. (3.6)

дб дб д£

Уравнение (3.2) после подстановок (3 .3), (3.4) имеет

вид

и)Т + е (х sT '% — х\т' 6) / d e t J + (Л cos (у (£ ,б)) —

<xx(£,6))Y - cdJ(£, б) = 0. (3.7)

Дополним эти соотношения равенством смешанных про­

изводных

р \ х (€ , <5), у (£, б))ху = р"(х(£, б), у(€, б))ух. Это соот­

ношение с учетом (3 .3), (3.4) можно переписать в виде

d x d Y d x d Y д у д Т д у д Т+ - -^7— + — ~ = 0. (3.8)

дб д£ д£ дб дб д£ д£ дб

Исследование условий разрешимости системы (3.6)—(3.8)

проводится в два этапа.

На первый взгляд система (3 .6)—(3.8) выглядит, как

нелинейная алгебраическая система относительно про­

изводных х х 6, у\, y's- Однако это не так. Именно

этот факт обнаружен для аналогичных систем, возни­

кающих при решении квазилинейных параболических

уравнений, в работах [8]—[14]. В нижеследующей теоре­

ме, [22]—[24] приведены формулы для решения СФЛАУ

(3 .6 )-(3 .8 ) для уравнения КФП (3.1).

Теорема 3 .1 .1

Пусть задана система (3 .6 )—(3.8).

Тогда нелинейная алгебраическая система (3 .6 )-

(3.8) относительно производных Х\ = х\, Хг = х' $,

Х з — — у 6 разрешима и имеет решение

® * — 9i(Z, ®(£, &), У(£, 6)),

х'б = 0г(£, <5, ж(£, <5), г/(£, <5)),

у\ = <5, ®(£, <5), 3/(€, <5)),

Уб = 9 4 (£ ,д ,х (€ ,д ) ,у (£ ,д ) ) , (3.9)

где

ш(£, S, х (Ь 6), y(S, 6)) = [eTT's - (u T - a U +

+A cos(y (t ,S ) )Y - а х и ,6 ) Г ) и \ ] ( - и \ т '6 +

+ U sT i ) / P 1(£i 6), (3.10)

92{Z,6,x (Z ,6) ,y (Z ,6)) = [eTT'6 - ( u j T - a U +

+Acos(y(^,<5))Y - otx(^ 6) Y ) l f 6] [ l f sT\ -

- I ' s U ' d / P i & S ) , (3.11)

9 з & 6 ,х (£ ,д ) ,у (£ ,6 ) ) = [U\[ocU{Y'dU\ -

- U ' 6Y \ ) + T [Y '6{eT\ - u>u\) + (uU'6 -

- sT'6) Y \]] + Y [U \ {sT 'sT\ + [a x fa S ) -

-A c o s (y (^ 6 ) ) ]Y 'su\] - и ' 6[Е(Т\)2 + [а х {£ ,6) -

A coe(y(*, <5))]^Y 'dJJ/AU, <5) (3.12)

94(Z ,S ,x (£ ,6) ,y (Z ,6)) = [ Y [ - eT'sU'st \ +

+ e {T's)2U'€ -I- (—аж(£, 6) + A cos(y(£, 6)))U\[

- Y ' 6U\ + i f 6Y\\\ + u'siaUiY'sXfs - U'sy \) +

+ T [ y 's(eT\ - и:U\) + {uU's -

- е Г ' л)У /€] ] ] /^ (€ ,Л ) (3.13)

где

6) = Y [ qXJ + ( a * ( £ , 6) - A cos(y(£ , <5)))Y][

- T W 'd + T 2[y 's(£T \ - и>u\) +

+ [ - e T 's + w l/s lY ’d + T [a .U {Y '8u \ - U'6Y \ ) +

+ Y [[u T ' 6 + (<xx(£,6) - \ c o s (y (£ ,d ) ) )Y 'd}u'(: -

- U 's i u T ’z + ( « * ( € ,* ) - A cos(y(£ , <*)))K'€)]]. (3.14)

□К ом м ент арии к доказательству

Доказательство проводится прямыми вычислениями.

Возможностей элементарных преобразований бесконеч­

но много. Мы, следуя [10]—[12], выбираем здесь тот путь,

который ведет к построению матрицы, структура кото­

рой близка к верхней треугольной матрицы. Заметим,

что уравнение (3.8) — линейное относительно перемен­

ных (производных). По нему записывается вторая стро­

ка матрицы А. Поэтому здесь изменен порядок пере­

менных в векторе

X = (Х 4, х 3, х 2, Х ху

Делим первое уравнение (3.6) на Y , а второе — на Т

и вычитаем второе из первого. Тем самым получим ли­

нейное уравнение

У (£) S ^ X .& s - Х 2и \ ] + Г ( е , 6 )[X 3U's - Х Аи\) = 0.

Этому уравнению соответствует первая строка мат­

рицы А , приведенной ниже.

Действуя аналогично, можно из разности второго

уравнения (3.6) и уравнения (3.7) получить линейное

уравнение. Для этого второе уравнение (3.6) надо за­

писать в виде

( ~ f Ш + Ш Щ )/П Ь 6 ) = с1еи,

а уравнение (3.7) — в виде

е { х 6Т \ - х { Г '&)/\шТ + (A cos(y(£ , <5)) —

- a x ( £ , 6 ) ) Y - a U (£ ,6 ) ] = detJ.

Далее вычитаем полученные выражения, исключа­

ем якобиан. Приводим дроби к общему знаменателю,

который отбрасываем. Тогда получим линейное урав­

нение

Х г [ - а и + [-а х (£ ,(5 ) + Л cos(y(£, <5))]У1/'5+

+ T (u U 's - еТ'6)] + X 2[ocU + [ах(£, 6 ) -

—A cos(t/(£, S))]YU'z + Т ( - ч ,и \ + еГ '€)] = 0.

Это уравнение соответствует третьей строке матри­

цы А, приведенной ниже.

Мы можем выразить три производные через четвер­

тую. Например, Х 4 = у 6, Х 3 = у ^ Х 2 = х 8, через

X i = х £. После подстановки их в первое уравнение

(3.6) получим линейное алгебраическое уравнение. Это

первое соотношение (3.9)! Таким образом, имеем систе­

му функциональных линейных алгебраических уравне­

ний (СФЛАУ) А Х = Ь, где А, X и Ъ приведены в тео­

реме 3.1.2. □

Теорема 3 .1 .2

Пусть выполнены условия теоремы 3.1.1.

Тогда СФЛАУ, эквивалентная уравнению (3 .2), име­

ет вид А Х = Ь, где

А — сопутствующая матрица к уравнению с частны­

ми производными (3.2)( - т и \ ти'б - YU 's Y U 's

- т ' € T's Y's

0 0 «33 «34

0 0 0 «44* 3 , X 3i Х г Г , Ь = ( 0 ,0 ,0 ,ь 4) т (знак

\X = (2

в верхнем индексе означает транспонирование),

b4 = 9 iP i (^ d ) ,

a 33 = a U + [а * (£ , S) - A cos(*/(£, 6 ) ) ]Y U 'i+

+ Т (-ы Г /'* Ч-еТ'*),

а 34 = —olU + [—аж(£,<5) + A cos(y(£ , 6 )) }Y U 'S+

+T(u>U'd - e ^ s ) ,

а 44 = P i(£ , 5).

Собственные числа имеют вид А4 = азз,

А2,3 = \[М ± V d ], где

М = T's — Т и \ ,

D = (Т'д)2 + 2T T \ U \ + T [T (U 's)2 - 4U'sT\],

\4 = P i ( t ,s ) .

□Замечание 3.1 .1 .

Здесь имеются большие возможности для дальней­

ших исследований уравнения КФП. Просматривается

связь с устойчивостью решений нелинейных уравнений

с частными производными. Собственные векторы легко

находятся. Обсуждать интересные свойства этих объек­

тов мы здесь не будем. Имеем в виду, что есть возмож­

ность изучать исходное уравнение в базисе из собствен­

ных векторов. Это исследование выходит за рамки дан­

ной работы. См. [13], [14], [24]. □

На втором этапе рассмотрим новую систему урав­

нений первого порядка (3.9) относительно функций

х = х(£,<5), t — £ (£ ,<5). Хорошо известно, что усло­

вие разрешимости такой системы получается вычисле­

нием с помощью (3.9) вторых смешанных производных

функций х = ж(£, S) и t = t(£ , 6) по аргументам £ и S и

приравниванием этих выражений друг другу согласно

равенствам

// // N NX £5 = & У £5 = У 6£’ (3.15)

Свойство, обнаруженное для уравнений с частными

производными с переменными коэффициентами, опи­

санное в теоремах 3.1.1, 3 .1 .2 для уравнения КФП, при­

водит к следующей теореме.

Теорема 3.1.3

Пусть выполнены условия теорем 3.1.1, 3.1.2.

Тогда

1) Имеет место тождество

{ 9 \ 6 9 2 { ) / Т \ х \ = д х , х 6 - 9 2 , у £ = 9 3 , У 5 = 3 4 ~ ’

( 9 з б ~ 9 4 s V ^ l x ' ^ g i , X S = g 2 , y ' - д 3 , у

для любых дважды дифференцируемых функций

Y & 6 ) , Т & 6 ) .

2) Д ва условия разрешимости (3.15) записываются в

виде одного соотношения на три неизвестные функции

U & 6 ) , У(*,<5), Т (£ ,6 ) , а именно

[ # 4 ( £ * х ( € , ^ ) » У ( € , ^ ) ) ] { ] \х ( = g i , х ' в= д 2 ,У ( = 9 з , У б ~ 9 4

(3.16)

□Таким образом, возникающие при дифференцирова­

нии производные

х х\ у у 6 исключаются с помощью подстановки

правых частей

9\i 9 2 , 9з5 9л из (3 .1 0 И 3 .1 3 ) . Тогда получим тож­

дество, описанное в первом пункте теоремы 3.1.3.

Зам ечание 3 .1 .2 для отличников.

« Отличники», говорил В.П.М аслов, «отличаются от

других людей. Они желают странного...»

Описанное свойство позволяет конструировать новые

решения. Но с переменными коэффициентами это не

всегда получается. Соотношение (3.16) содержит вто­

рые производные и переменные коэффициенты. Вый-

грать можно, если обойтись системой первого поряд­

ка в частных производных. В [10]—[12] найден более

простой способ построения решения. Он связан с на­

блюдением, что функции аналогичные дг, <72 содержат

нетривиальный множитель. Можно сделать предполо­

жение ж(£, S) = £, х\ = 1, х 's = 0. Тогда из формулы

аналогичной (3.11) следует связь между функциями У

и Т

Y (£, 6) = [a U m ( x ( t , 6 ))U 'S + Т (е Т '6 - ш U ‘s))/P 0,

Р0 = (Л cos(г/(£, б)) - а т (х (£ , 6)))1/'6

Отметим, что здесь формулы выписаны для стацио­

нарного решения в обобщенной постановке для уравне­

ния (3.31). В теореме 3.1.1 т (х ) = х.

Найдем у s = —d e t J = U 's /T (£ ,5 ) , определяем за­

мену переменных

У« , 0 = МО + (1 / ( R ( ( , U ) ) ) d U .

s(£) дважды непрерывно дифференцируемая функ­

ция.

Здесь вводим функции Т (£ , 6) = i? (£ , £ /(£ , <S)),

у (£ ,£ ) = V ( € i U (£ ,5 ) ) , Из второго условия разре­

шимости (3.15) устанавливаем связь между функциями

R (£ ,U ) — 1 /V 'u и получим нелинейное уравнение

при удовлетворении которого выполнены все уравне­

ния системы и условие разрешимости.

V \ a т (( ) + Acos(V)V'c - ы + U a m ^ V ' u -

- е V 'u u / i V 'u )2 = 0.

Однако оно в данном случае сильно нелинейное и

нам не удалось построить его решения в символьном

виде. Фактически уравнение (2.26) и есть приведен­

ное уравнение, только записанное для другой функции

H (x ,r ]) = H (£ ,U ) . То, что удалось сделать, изложе­

но в параграфе 2.2. Зато такой подход дает хорошие

результаты в главе 4.

3.2. Точные решения уравнения Колмогорова

-ФоккерагПланка в случае трех

независимых переменных

В данном параграфе рассмотрим уравнение КФП,

возникающее в теории стохастических полумаятников

в нестационарном случае

P t + ш Р у - а ( х р)'х + Acos (у) р х - Е Руу = 0. (3.17)

где p ( x ,y , t ) дважды непрерывно дифференцируемая

функция трех независимых переменных.

Большой объем символьных вычислений, анализ

условий разрешимости остается за рамками данного по­

собия, так как описать их не представляется возмож­

ным. Было предпринято много попыток найти наибо­

лее простые конструкции решения. Обнаружена следу­

ющая возможность, позволяющая удовлетворить усло­

вию разрешимости, которая реализована в замене (3.18).

Алгоритм нефиксированной конструктивной замены

переменных применяется два раза. Сначала к уравне­

нию (3.17), а затем еще раз к уравнению (3.19). Здесь

мы выписываем только результаты исследований. Фор­

мулы М НЕФКЗП и условие разрешимости для уравне­

ний с переменными коэффициентами впервые выведе­

ны в [12], стр. 91. История изложена в [13], с. 44. Первая

еще сырая публикация без учета равенства смешанных

производных была в журнале Математические замет­

ки т.56, н.6, с .122, 1994 г. Примеры выкладок и урав­

нения с тремя переменными есть в [10], [11] и [13]. По­

этому здесь мы упрощаем выкладки и не приводим их

подробно.

Пусть решение уравнения (3.17) имеет вид

1 vuj tco2р {х , у , t) = — f == exp [a t + --------— ]W (x , y, t) , (3.18)

2V7r te 2e 4e

где функция W (x , y, t) удовлетворяет линейному па­

раболическому уравнению с переменными коэффици­

ентами

W 't - W /(2t) + ( \ c o s { y ) - x a ) w ' x - £ W yy = 0. (3.19)

Смысл первой замены состоит в том, что полученное

уравнение инвариантно относительно замены у на —у.

Сделаем в уравнении (3.19) замену переменных

W (x , у , £)!*=*(£,й,т),у=у(4,й,т),1==Ц4Ат) = ^ т) ’ (3.20)

Обратная замена восстанавливает решение уравнения

(3.19) W ( x , y , t ) по функции £/(£,<5, т ) :

V i t ) = £ / ( £ , (5 , т ) | ^ — £ ( x , y , t ) , 6 = S ( x , y , t ) , T = T ( x , y , t ) '

Предположим, что якобиан замены переменных d e t J

не равен нулю, где

J =

ж' у ' *' ^

Х6 Уб tfs

\ ХТ У г К /

Предположим, что существует обратное преобразова­

ние

£ = £ ( x ,y , t ) ,6 = й (х ,у , t ) ,T = т (ж ,у , t) . Будем

называть набор ж, у, t «старыми» переменными, а на­

бор 6, т — «новыми» переменными. Приведем только

несколько формул связи производных «новых» пере­

менных по «старым» с производными «старых» пере­

менных по «новым». Полный список этих соотношений

приведен в [13], с. 118.

дтdt

дтду

= (У 6х я 6У t ) /d e t J ,

/ / ! / /= (х gt $ — t sx { ) / detJ,

d e t J = у тх st $ — х ту st $ — у Tt sx $ +

тУ gX £ 4~ x Tt gy £ t Tx gy £ "Ф 0. (3.21)

Введем дифференциальные связи

8 Z .д х

— \ ду

— | dt 1

c=x(e,<5,T),y=s/(4,r5,r),t=t(f Д т ) — ^ ( £ 5 т )э

с=х(£,<5.т),у=у(£,<5,т),4=Ц$Дт) =

c=x(t,6,T),y=y(£,<5,T),t=t((,6,r) = Т (£ , 6, т ) . (3-22)

Используя (3.20), (3 .21), получим три выражения [12],

с. 91 из которых приведем только одно

/ , d U , d U , ч d U r , , , .у т (~ 7 м * 4 + ~д£]1 s) + а ^ у &t * “ 1 sy «1+, г , д и , ас/

1 Л - У 6 - щ + У е -^ -] = - Y (£, Ф T)detJ,

(3 23)

Тогда уравнение (3.19) принимает вид

Щ , 6, т ) - U a , S, r ) / ( 2 t « , 6 , т ) ) - e l ^ - t ' y +

а м , а м ,+ "а г_<5 у + ~ д 7 т у + cos^ ^ ’ ^ ~-а х (£ ,< 5 ,т )]У (£ ,ф т ) = 0. (3 24)

Производные £ у, 6 у ту определяются из (3.21).

Дополним выписанные соотношения равенствами сме­

шанных производных функции W (х , у , t) по перемен­

ным х , у , t в переменных £, <5, т . В данном случае имеем

три таких равенства:

d2W __ d2W d2W d2W d2W _ d2Wдхду дудх’ dxdt dtdx’ 8tdy dydt’

Эти соотношения с учетом (3.21) можно переписать

в развернутом виде [12],с .92, но здесь приведем только

одно из них

ЭМ (£(ж , у , t ) , 6(х , у, *), т(ж, у , t ) )

д У (£(ж, у, t), 6(х , у, £), т(ж, у, £))ду

= 0. (3.25)

После преобразований, учитывающих (3 .21), (3 .22), до­

полнительно получим три уравнения [12], с .92, допол­

няющие систему, из которых приведем только одно:

^ г д М (£, <5, г ) , , д М (£ ,6 ,т ) , 1 ,t т [---------- —-------у д Н----------— -------у €] +

э нд М (£ ,6 ,т )

дт

дб

[у 6* i - t'sy't] +, д М (£ ,6 ,т ) , д М (£ ,< 5 ,т ) ,

у Л------- ^ -------* s ----------- — -------1 d +да дд

д у (а, л, г ) , , / /|£ тж х i-t £j “t~

дбdY(a,6,T)r_, ;[х jt t <Х j] 4"

, 8 Y ( ( , S , t ) , , , ,[ж <5J — 9

д а(3.26)

Как показано в [9]—[12], в случае двух независимых

х, у переменных всегда имеем систему четырех уравне­

ний (смотри, например, в параграф 3.1 систему (3 .6 )-

(3.8) . Эта система всегда является системой функцио­

нальных линейных алгебраических уравнения (СФЛАУ)

В случае трех независимых х, у, t переменных име­

ем систему семи уравнений (3 .2 3 )-(3 .2 6 ) относительно

девяти переменных — производных «старых» перемен­

ных по «новым»

З' ® ^ т) 2/ У 6) У т5 t 6i t Ti которая являет­

ся недоопределенной. Поэтому имеется большой функ­

циональный произвол в новых переменных. Система

не являет ся СФЛАУ в общем случае. Надо сделать

дополнительные предположения. Явно найти собствен­

ные числа такой системы в символьном, аналитическом

виде является нетривиальной проблемой.

Приведем примеры решения этой системы получен­

ные нами. Так как исследуемое уравнение является ли­

нейным параболическим по переменной у с перемен­

ными коэффициентами, то предположения, сделанные

в [10]—[12] не работают. Нужно искать новые подхо­

ды. Приобретенный опыт позволяет сделать следую­

щий вывод. Оказывается, что построить решение урав­

нения (3.19) сложнее, чем квазилинейного уравнения

с коэффициентами не зависящими от независимых пе­

ременных. Можно сравнить результаты с примерами в

главе 4. Поэтому анализ уравнения КФП вынесен на

первое место и на обложку книги.

П р и м ер 3.2.1

Систему семи уравнений (3 .2 3 )-(3 .2 6 ) в общей ситу­

ации не удается разрешить относительно производных

как, в параграфе 3.1.

Проблема состоит в том как найти правильные, удач­

ные соотношения между произвольными функциями

Y (£, 6,т), М (£ ,д ,т ), Т(£,<5, т ) . В процессе иссле­

дования было сделано большое количество предполо­

жений. Некоторые из них привели к успеху.

Предлагается выразить функции

У (£,< 5,т), М ( £ ,ф т ) , Т (£,<5,т) из соотношений

(3.23) и вычислить их производные. Например, Щ , .

Аналогично вычисляются первые и вторые производ­

ные функций М , Т . Подставим эти производные в урав­

нения (3.26) и убедимся, что эти уравнения удовлетво­

ряются тождественно.

Подставим вычисленные производные в урав-

нение (3.24) получим одно соотношение на функции

*(£,<5,т), х(£ ,6 ,т ) у(£,д,т).

Размер файла с этим выражением в системе

Mathematica 4 составляет 1,16 Мбайт . Поэтому это

выражение мы здесь не приводим. Оказывается, что

это соотношение удовлетворяется при

t(€ ,« ,T ) = [Ci + C2S (x (£ , 5, т ) ,у (£ , <5, т))]1/(£, .5, т )2,

где функция S ( x , у) удовлетворяет уравнению с част­

ными производными, которое приведено ниже. Таким

образом построено точное решение уравнения (3.19). В

данном случае возможно вернуться к исходным «ста­

рым» переменным.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3 .2 .1

Точное решение уравнения (3.19) имеет вид

W (х , у , t) = y/t/{C i + C 2S (x , у )) , где дважды непре­

рывно дифференцируемая функция двух переменных

S (x ,y ) удовлетворяет уравнению с частными производ-

2(ж а - Л cos(y ))S x(x ,y ) + 2eS"yy{x ,y ) -

3 C 2 e (S 'y)2/ [C 1 + C 2S (x ,y ) ] = 0. (3.27)

□Комментарий к доказательству

В этой теореме проведена редукция уравнения (3.19).

Вместо функции трех переменных W (х , у, t) имеем урав

нение для функции двух переменных S ( x ,y ) . Далее в

случае С\ = 0 для исследования решения уравнения

(3.27) можно применить метод В К Б -М аслова [17].

Пример 3.2.2

Другое решение которое удалось найти с помощью

данного подхода описано в следующей теореме.

Теорема 3.2.2

Точное решение уравнения (3.19) в параметрической

форме имеет вид

cos(y) = Н (в ,г }) , где в = х — С 2 е х р (—ta )) ,

у = C iW ( x ,y ,t ) /y / t . Здесь дважды непрерывно

дифференцируемая функция двух переменных Н (в , у)

удовлетворяет уравнению с частными производными с

двумя новыми независимыми переменными в и rj, ко­

торое в упрощенном случае при С х = 1, С 2 = 1 имеет

вид

Н 'в(0, rj) - £H "VT1(e, r j)(H 2 - 1 ) / [ ( а 0 - - А Н ) *

* (Н '„ )2] + е Н (в , г ,)/[а в - АН (в , rj)] = 0. (3.28)

□К ом м ен т арий к доказательству

Как и в теореме 3.2.1, соотношение, полученное в

итоге преобразований из условия разрешимости, удо­

влетворяется на неявной функции

cos (у(£,<5,т)) = Н ( 0 , ц ) ,

где в = х(£ , 6, т ) - С 2 e x p ( - t ( £ , <5, т ) а ) ,

rj = C iU (£, 6, т)/ y/t(£, S, т ) , а дважды непрерывно

дифференцируемая функция двух переменных Н (в , rj)

удовлетворяет нелинейному параболическому уравне­

нию с частными производными с двумя независимыми

переменными в и у (3 .28). В этой теореме проведена ре­

дукция уравнения (3 .19), так называют процедуру от­

деления одной переменной. Решение уравнения (3.28)

можно искать в виде рядов, как показано ниже.

П рим ер 3.2.3

В данном примере построено решение, которое вы­

ше, для того чтобы не отвлекать читателя на вычисле­

ния, связанные с М НЕФ КЗП, вынесено в параграф 2.2.

В данном параграфе рассмотрим уравнение КФП,

обобщающее уравнения возникающие в теории стоха­

стических полумаятников в нестационарном случае

p t+ w p '#- Q ( m ( x ) P) *+ A co s(y ) р х- е р Уу == 0, (3.29)

где р(ж, у , £), т (х ) — дважды непрерывно дифферен­

цируемые функции независимых переменных.

Непрерывно дифференцируемая функция т {х ) , в

частности, может гладким образом аппроксимировать

функцию знака

sgn(z:) =1, х > О,

-1, х < О

Например, в параграфе 2.2 мы рассматриваем функ­

цию

т (х )е0х - 1 еР* + 1 ’

/3 > 0.

Пусть решение уравнения (3.29) имеет вид

уш tuj2p ( x ,y ,t ) = exp [a t + —-------— ] W ( x ,y ,t ) , (3.30)

2e 4e

где функция W (x, y, t) удовлетворяет линейному па­

раболическому уравнению с переменными коэффици­

ентами

w't + \ co s(y ){W )'x - £ W y y -o c {W m (x ) ) 'x + c*w = 0.(3.31)

Смысл (3.35) замены состоит в том, что полученное

уравнение инвариантно относительно замены у на —у.

Однако она отличается от замены (3.18).

Теорема 3.2.3

Точное решение уравнения (3.29) в параметрической

форме имеет вид

c o s (y (jc ,y ,t)) = Н { х , у), где г/ = e x p (-to r) W ( x ,y , t).

Здесь дважды непрерывно дифференцируемая функ­

ция двух переменных Н (ж, у) удовлетворяет уравне­

нию с частными производными с двумя новыми неза-

Н 'х(х, ту) - еН " т (х, т])(—Н 2 + 1 ) / [ - ( а т ( ж ) +

+Л Н )(Д \,)2] + [ - £ # ( * , ту) + т7н \ ,( - а - <г +

+ Q m ' ( i ) ) ] / [ - a x + ЛН(ж,г7)] = 0. (3.32)

□Комментарий к доказательству

Далее повторяем схему построения решения

М НЕФКЗП. Различие заключается в том, что ранее в

уравнении (3.17) предполагалось, что т (х ) = ж, а те­

перь это дважды непрерывно дифференцируемая функ­

ция. Как показано в параграфе 2.2 если положить

сг = w2/ (4 е) — а , то получим стационарное решение.

Глава 4. Уравнение Кортевега де Вриза

приводится к линейному ОДУ.

4.1. Уравнение Кортевега де Вриза приводится к ли­

нейному ОДУ

Большое количество ссылок на работы по тематике

связанной с теорией солитонов приведено в [29]—[31].

Попытки построить общее решение уравнения Корте­

вега де Вриза (К Д В ) и Бюргерса были [44]. Долгое вре­

мя считалось, что это сильно нелинейная проблема. Это

привело к развитию многих полезных теорий важных

в более общих случаях. Применение к интегрируемым

уравнениям из |29]-|31] метода М НЕФ КЗП [9]-[14]

позволило получить новые результаты данной главы,

которые дополнили общую теорию. В ряде случаев про­

блема сводится к анализу линейных ОДУ.

Уравнение К Д В описывает слабо нелинейную, слабо

диспергирующую систему плоских волн.

Рассмотрим уравнение К Д В

Z t Ь Z Z x + Z ххх — 0. (4.1)

Если бы выкладки были тривиальные, то описываемый

факт был бы давно известен. Приведенный ниже алго­

ритм работает в предположении, что все используемые

функции имеют необходимую гладкость.

Сделаем произвольную замену переменных

t)|x=z(£, <5),t=i(£,<5) — (4-2)

Обратная замена, восстанавливает решение Z (х , t)

уравнения (4.1) по функции U (£, б)

(4.3)

если якобиан (определитель матрицы Якоби) заме­

ны переменных d e t J = x\t s — t $х s ф 0 не равен

нулю. Тогда существует обратное преобразование £ =

£ (х , t), 6 = б(х, t).

При этом существуют формулы пересчёта производ­

ных старых переменных х , t по новым переменным £, 6:

д х дб dt дд—— = d e t J — . —— = —d e t J — , д£ dt д£ д хд х д£ dt д£—- = —d e t J — , — = d e t J — . дб dt дб д х

(4.4)

Далее « уст ановим дифференциальные связи»

— | дхd Z~dt

d Y ( £ ( x , t ) , 6 ( x , t ) )дх

:=х(£, S), t=t(£, <5) — Y (£ ,(5 ) ,

|х=х(£, tf), 6) — Y ( ^ , 6 )

e=x({, <5), t=t({, 6) = M (£ ,< 5 ) .(4 5)

Здесь Y ( £ , 6), T (£ , 6 ) , M (£ , 6) произвольные трижды

непрерывно дифференцируемые функции по всем пе­

ременным. Излагается вариант не связанный с закона­

ми сохранения. Вариант ы введения функции М (£, <5)

учитывающие законы сохранения такснсе были

изучены и они приводят в итоге к т ем сисе р е­

зульт ат ам. См. ниже.

Используя (4.4) из (4 .5), получим выражения

f d U d t d U d t 'V д£ дб дб д£

^ = ^ ( £ ; <5)[z V<5 - t f Xs ] , (4.6)

d U д х d U дх\ cu / / / / . . ч------------- 1------------ = Т ( £ ,6 ) [ x c t s - t £x d . 4 7

д£ дб дб d £ j п * 4 di v 1

Вопрос ст удента: Объясните более подробно, как

получаются вырамсения (4-6 )?

Рассмотрим первое соотношение (4.5). Дифференци­

руем сложную функцию и пересчитываем с помощью

формулы (4.4) связи «ст а р ы х » переменных по «но­

вым»:

^ х\х—хЦ, 6), t=t(£, 6) = U x ( € ( X ) & (х , ^)) =

= (и \ £ 'х + U's6'x) = ( t / ^ - /d e t J .

Получим соотношение (4.6). Аналогично преобразу­

ется второе соотношение (4 .5). Тогда получим соотно­

шение (4.7).

Вопрос студента: Объясните более подробно, как

преобразуется т рет ья дифференциальная связь в

(4 .5 ) .

Продифференцируем функцию Y ( £ ( x , t ) , 6 ( x , t ) ) как

сложную функцию:

d Y ( £ ( x , t ) ,6 ( x , t ) )д х

8 Y д£ d Y дб д£ д х дб дх

(4.8)

Используя формулы (4.5), получаем

d Y dt ~д£~дб

d Y dt~ддд£ = [x^t's — t^x's] M (£ , <5).

(4.9)

Аналогично дифференцируем по х функцию

M ( £ ( x , t ) ,6 ( x , t ) ) . Уравнение (4.1) принимает вид

гд М {£ ,5 ) dtT (£ ,6 ) + b U (Z ,6 )Y (Z ,6 ) + (-

д£ дбд М dt , , > > , ,

— д б ~ д ^ ^ Х 5 ~ t ^ = °* (4Л0)

Удобно для дальнейшего анализа переписать это соот­

ношение в виде

d e t J -f-д М dt ~ д £ д б

д М dt ~дб~д£

/ [ Т + b и Y ] = 0.

(4.11)

Соотношения первых двух дифференциальных свя­

зей (4 .5), можно записать в виде можно переписать в

виде

Z X{x ,t ) = [У(£э ^)] l^=C(x,t), <5=<5(x,t) !

Z t(X)t) — [ T ^ , <5)] |$=$(a:,t), <5=<5(x,t) •

С необходимостью должно быть выполнено соотно­

шение равенства смешанных производных в перемен­

ных £, д:

д , д , — Z х — — <2? t • dt д х

(4.12)

Вопрос ст удента: «Насколько я знаю, для два­

ж ды непрерывно дифференцируемых функций см е­

шанные производные т о ж д ест венн о равны.»

Авторы: Если функция Z ( x , t ) явно задана, то

действительно для неё справедлива теорема Шварца

и вы правы. Но в данном случае функция Z ( x , t ) —

неизвестная и это — решение уравнения (4 .1), поэтому

равенство (4.12) является условием, а не тождеством.

Вокруг этого пункта на докладах старшего автора не

раз разгоралась горячая дискуссия. Такой вопрос зада­

вали и доктора и академики.

Применим оператор ~ к Z 'x:

i , ( z ' . f x , «)) = | ( У « , S)) + £ ( Y ( ( , <5)) <('„

далее используем формулы (4.4):

£ t = —x s /d e t J , 8‘t = x \ /d e tJ .

Аналогично применяем оператор к Z't:

£ (z't(x, t ) ) = £ ( T ) £ + £ (t )s'„

и используем формулы (4.4):

^ — t s I detJ) & j — d e t J •

Тогда это соотношение, с учетом (4 .4 ),(4 .5 ) можно

записать в виде

d x d Y d x d Y+

dt d T dt d T+ 0.

dd d£ ' d£ dd d d d £ ' d £ d d (413^

Система пяти уравнений (4 .6), (4 .7), (4 .9), (4 .11), (4.13)

на первый взгляд кажется переопределенной системой

нелинейных уравнений. Однако уравнение (4.13) явля­

ется линейным, и мы воспроизводим доказательство то­

го факта, что вся система является СФЛАУ.

В отличии от уравнений с частными производными

второго порядка рассмотренными в [В]—[14] здесь имеем

систему п я т и уравнений первого порядка с четырьмя

неизвестными производными х х s, t ' t ' g .

Сравни с параграфом 2.2. Здесь имеем пят ь вари­

антов решений этой системы линейных функциональ­

ных уравнений ( СФЛАУ).

Проблема заключается в том, что надо найти пра­

вильные соотношения между произвольными функ­

циями Y (£, <5), Т (£ , 5 ), М (£ , <5), чтобы все пять вариан­

тов были зависимыми и система пяти уравнений имела

единственное решение.

Разработан следую щ ий алгорит м анализа пере­

определенной сист ем ы (4 .6), (4 .7), (4 .9), (4.11), (4.13).

I пункт алгоритма. Выбираем любые четыре урав­

нения системы, сейчас для определенности выкладок

примера, возьмем уравнения (4 .7 ),(4 .9 ), (4.11), (4.13) и

рассматриваем её как СФЛАУ относительно производ­

ных х х «5, t £, t s- Уравнение (4.6) в данном примере

остается пока избыточным.

Алгебраическая система (4 .7 ),(4 .9 ), (4 .11), (4.13) от­

носительно производных х $ , х 'S-, t t's, имеет един­

ственное решение, обозначим его через

д х д хеё = *>«•*>• « = **«•*>• (4.14)

dt

О** з ( & * ) ,

dtдб Ф4 (С, Л). (4.15)

Это новая система, где Ф Д £,й ), j — 1 -Ь 4 определе­

ны. Решение СФЛАУ строится аналогично процедуре

описанной в комментариях к теореме 3.1.1 и [11]—[13].

Вычисляем значение якобиана d e t J , то есть подстав­

ляем в него найденные выражения х'%, х t t $.

I I пункт алгоритма. Подставим найденные выра­

жения производных (4.14), (4.15) в оставшееся первое

избыточное уравнение (4.6). Свойство уравнения К ДВ

и других интегрируемых уравнений (см. список их при­

веден ниже) заключается в том, что во всех вариантах

в полученное соот ношение входит функция Т (£ , 6)

без своих производных. Это выражение в каждом из

вариантов существует и имеет свой оригинальный вид.

В данном варианте имеем

Т (£ ,6 ) = (М {M \ U \s - М 'ди \ ) + Y { Y \ { M 'S +

+Ь u u 's ) - y '6{M \ + ь и и \ ) ) ) /Р 2, (4.16)

где Р 2 = - Y 'e & s + Y 'SU\.

Это выражение в данном варианте получено из ал­

гебраического уравнения относительно функции Т , ко­

торое следует из (4.6). Таким же образом, будем посту­

пать во всех остальных вариантах, выбираем в качестве

связи функции Т (£ , б) с функциями

Y (£, <5), М (£ , 6) и их производными. Далее вычисля­

ем первые производные Т (£ , S) и подставляем в правые

части, то есть уточняем первый раз правые части выра­

жений (4.14), (4.15) х £, х si t £, t*$ и d e t J полученные

в первом пункт е алгорит ма. d e t J — уточненное вы­

ражение для якобиана уже на зависит от производных

<5? ** <5 *

В [10]—[14] вводится новый математический объект-

сопут ст вую щ ая матрица к уравнению с частными

производными. В этом пункте можно построить сопут ­

ст вующ ую м ат рицу к уравнению К Д В . Уравнение

(4.7) дает

первую строку матрицы А х. Равенство смешанных

производных (4.13) соответствует второй строке матри­

цы. После преобразований связанных с исключением

функции Т и её производных из уравнения (4.9) сле­

дуют коэффициенты третьей строки матрицы а 33, а 34.

Преобразованное уравнение К Д В (4.11) дает четвер­

тую строку. Таким образом, в данном варианте имеем

СФЛАУ А х X = Ь.

Теорема 4-1-1

Пусть дана система (4 .7 ),(4 .9 ), (4.11), (4.13) и функ­

ция Т(£,<5) определена выражением (4.16).

Тогда система (4 .7 ),(4 .9 ), (4 .11), (4.13) эквивалентна

уравнению (4.1) и может быть записана как СФЛАУ

АхХ = Ь. Эта система имеет вид

( и '5 - и \ 0 0 s ( Л ( h \

- Y ' s Y 't - T 's T\ x i 0

0 0 - Y 's &3

S’1оо

U J Y 'V

Здесь Ai - сопутствующая матрица, вектор

X = (х'$, x 'j , t '€, t '$ )r , а вектор b = (Ьь О, Ь3, Ь4)т,

где Ъ\ = Т d e t J , 63 — М d e tJ ,

Ь4 = (Т + Ъ U Y ) d e t J г.

Собственные числа имеют вид

Ai ,2 = [ - Y 's + М \ ± у / Щ / 2 ,

Аз,4 = [У#€ + U's ± у / Щ / 2 ,

где

D x = (Y 's ? + 2 Y 's M 's + (М \ )2 - 4 Y'^M 's,

D 2 = (Y 's )2 - 2 Y \ U '6 + (U '6)2 + 4 U 'sY's. □

Зам ечание 4-1-1

Собственные числа матрицы в данном случае — функ­

ции Xi(x, t), i — 1 -г 4, но мы оставляем общепринятую

терминологию. Как показано в [13J, [14], [24] для ква­

зилинейных параболических собственные числа игра­

ет специальную роль при анализе характера эволюции

решений нелинейных уравнений. Мы предполагаем и

определенно надеемся, что и здесь со временем будет

выявлена их важная роль. Сейчас эта задача выходит'Знак т означает транспонирование.

за рамки пособия. □

I I I пункт алгорит ма. Обратим внимание на тот

факт, что выражения для функций Ф3>4 имеют нетри­

виальный множитель. (Аналогия с функциями дх,г

(3.10), (3.11) в параграфе 3.1. См. замечание 3.1.2.)

Это соображение позволяет просто построить новые ре­

шения предполагая t(£, <5) = £, t\ = 1 , t's = 0 и обойти

общее условие разрешимости — см., например, теорему

3.1.3. В работах [10]— [13] использовано это предполо­

жение и оно дало хороший результат. Сделаем его и

здесь. В разных вариантах нетривиальный множитель

имеет различный вид, но в итоге приводит к одному

и тому же результату сформулированному ниже. Так

как t's = 0 , следует приравнят ь к нулю в данном

варианте множитель

М U's - Y Y's = 0.

Таким образом получим связь между функциями

и Y(£,<5) и в данном варианте имеет вид

М = Y Y ' s/ U ’s- (4.17)

Сделаем ещё одно предположение о виде функции

Y (Z ,6 ) = R ( t , U ( ( , d ) ) . (4 18)

Вычислим производные и подставляем и второй раз

уточняем «новую» систему (4 .14), (4.15) уже изменен­

ную на втором шаге алгоритма.

Кроме того из условия t \ = 1 , во всех вариантах,

следует уравнение (4 .21), которое не случайно совпада­

ет с уравнением которое следует из условий разреши­

мости.

Зам ечание 4-1.2

Условие разрешимости системы (4.14),

(4.15) получается вычислением с помощью вторых

смешанных производных функций х =■ сс(£, <5) и t ~

i(£,<5) по аргументам £ и S и приравниваем этих выра­

жений друг другу согласно равенствам

п п н их — х t £$ — t (4.19)

См. комментарии в параграфе 3.1 к теореме 3.1.3. Здесь

все значительно проще и условия разрешимости прове­

ряются на системе (4.20).ПОкончательно получаем тео­

рему

Теорема 4-1-2

Пусть дано уравнение К Д В (4.1) и справедливы пред­

положения (4.16), (4 .17),(4 .18) и t(£,<5) = £.

Тогда «новая» система (4 .14), (4.15) имеет вид

= Ъ U (С 8) + (Я 'и (£ , U ) ) 2 + R Ft 'uu +

+u's/R(£,U),

х 6 = U'S/R(Z, U) , t '€ = 1, i 6 = 0 . (4.20)

Якобиан d e t J — —U'6/R (£ , U ). Первое условие разре­

шимости (4.19) выполняется если удовлетворяется урав­

нение

Ь R %/R 2 + 3R и R ии + R R иии — 0- (4.21)

Второе условие разрешимости (4.19) выполняется тож­

дественно.

К ом м ент арии к доказат ельст ву

Зам ечание 4-1-3

Во всех пяти вариантах результирующее уравнение

имеет вид (4.21).П

С т удент : А чт о будет если кто-то запиш ет

функцию М ( £ , 8 ) по другому, учит ывая законы со­

хранения ?

Авт оры: Так как число вариантов конечное, мы

просчитали все пять. Промежуточные выражения раз­

ные, но принципиально в итоге ничего не изменяется.

Законам сохранения в уравнении К Д В (4.1) уделено

много внимания в [29]—[31J.

Действительно, пусть функция М (£ , б) в (4.5) опре­

делена по другому, с учетом законов сохранения

(6 Z 2/ 2 + Y X(£(x , t ) , <5(ж> *)))1*=®(с, s), t=t((,6) =

= М( Ь <5). (4.22)

Тогда уравнение К Д В примет вид

Т ( £ , 6 ) + M ' x($(x , t ) ,d(x , t ) )\x=x^ sh t=t(^ ) = 0 . (4.23)

После преобразований с учетом (4.4) из уравнения КДВ

(4.1 ) получим

М st — М (t $ = Т d etJ. (4.24)

Далее выкладки опускаем, так как результат тот же

самый и он приведен в теореме 4.1.2.

Таким образом построены точные решения приве­

денные в теореме

Теорема 4 . 1 .3

Пусть верно утверждение теоремы 4.1.1 и теоремы

4.1.2.

Тогда существует точное решение уравнения КДВ

вида (4.1), гдеfU(S,6)

*) = s ( 0 + / (U/R(£, U))dU,Ju 0

t t e , S ) = £ , (4 25)

где s(£) трижды непрерывно дифференцируемая функ­

ция, н0 - константа. Якобиан d e t J = —U's/R(£, U).

Функция R (£, U ) является решение уравнения с част­

ными производными

b + R %/R 2 + 3R и R иц + R R иии — 0- (4.26)

Решение которого имеет вид R ( £ , U ) = W ( a £ + U),

где функция W (0 ) , в — ос £ + U удовлетворяет ОДУ

Ь + a W ' / W 2 + 3 W' W" + W W m = 0. (4.27)

Первый интеграл уравнения (4.27) имеет вид

- C i + Ъ в — a / W + ( W ' ) 2 + W W ” = 0 . (4.28)

Уравнение (4.28) имеет решение W (в) = \ /Q (0), где

функция Q(0) удовлетворяет ОДУ

- 2 а + s/Q{0)(2 С 1 - 2 Ь в - Q" {в)) = 0. (4.29)

□К ом м ент арии к доказат ельст ву

Заметим, что уравнение (4.29) при а = 0 уравне­

ние линейное !!!. Можно построить асимптотическое

решение используя в качестве главного члена решение

линейного уравнения 2 — 2 b в — Q" — 0 приведен­

ные ниже, и вычислить поправку при малом параметре

а < 1 .

Вернемся в исходные переменные ж, t. Этот случай

с точки зрения теории М НЕФ КЗП является вырожден­

ным, якобиан равен нулю. Поэтому это описание двух

различных, но связанных семейств решений.

Теорема 4-1-4

Пусть дано уравнение (4.1).

Тогда уравнение К Д В (4.1) приводится к линейном у

О Д У

2 6 + Q '"(0 )) = О, (4.30)

где в = Z ( x , t ), после замены переменных

Z'x( x , t ) — у/Q( Z( x , t)). (4.31)

Общее решение уравнения К Д В дается квадратурой

fz0ix,t) ( i / V K i + к 2 е + к 3 в * - е 3 ъ / з ) de =

— X + C 0t,

Zq— константа, C q = (a-i + аг + аз) 6 / 3.

□К ом м ент арии к доказат ельст ву

Продифференцируем уравнение (4.1) по переменной

х , и подставим в это выражение вычисленные произ­

водные (4.31) по переменным х и t до четвертого поряд­

ка. Подставляем несколько раз, делая несколько ите­

раций. Все лишние слагаемые сокращаются. В данном

пособии уже отмечалось, что везде предполагается су­

ществование необходимого количества производных.

Первую производную по переменной t исключим с по­

мощью уравнение К Д В (4.1).

Приведем новые точные решения уравнения К Д В

полученные из теоремы 4.1.4. Уравнение (4.30) легко

интегрируется

Q{0) = К у + К 2 в + К 3 в2 - в3 6 /3 .

Общее решение К Д В следует из (4.31). Kj , j = 1 , 2, 3 -

возможно являются функциями переменной t— време­

ни. Этот вопрос следует отдельно исследовать и он вы­

ходит за рамки пособия.

Для нахождения «красивых» формул решения поли­

ном лучше представить в виде произведения сомножи­

телей.

К г = Ь (а! а2 а3)/3,К 2 = — Ъ (ах а2 + ®х а3 + а2 а3)/3,Кз = Ь (ах + а2 -Ь а3)/3.

Это ведет к некоторому сужению класса функций,

но позволяет записать решение в неявной, параметри­

ческой форме.

Т е о р е м а 4 -1 -5

Пусть справедливо утверждение теоремы 4.1 .4 и ре­

шение ОДУ (4.30)в виде

Q(0) = (ai - 0)(a2 - в ) ( а з - 0)6/3. (4.32)

Тогда уравнение К Д В (4.1) имеет точное решение в

неявной, параметрической форме

2 E lip t ic F [ A r c S in [ \ /a i — а3/ у /а г + Z],

( а г — а2)/(ах — а2)]/л/ах - а2 +

+ л/б cc/v^ + С 3 t = 0. (4.33)

aj, j = 1 ,2 , 3 —константы,

Сз — (o-i + 02 + оз)Ь3/ 2/ ( 3 л /3)— скорость волны .□

К ом м ент арии к доказат ельст ву

Выберем точное решение ОДУ (4.30) в виде (4.32).

Рассматриваем замену (4.31) как уравнение первого

порядка по переменной х. Его решение дается форму­

лой (4.33). Интеграл

ElipticF[ip, т] = f * [ 1 / \ / (1 — m S in 2(<;))]d <; -

эллиптический интеграл первого рода. В уравнении

(4.31) соответствующее К Д В на фазовой плоскости име­

ем три особые точки. См. (4.32). Интересно сравнить с

результатами аналогичного исследования для уравне­

ния Бюргерса приведенного ниже. Там особых точки

четыре.

Среди семейства решений (4.33)присутствует клас­

сический солитон- уединенная волна. Надо положить

ai = 0 , 02 = 0 , в этом случае интеграл вычисляется и

решение записывается явно.

Например, Z ( z , t ) — 3 k2S e c h 2( k ( x —k2t /2) ) [28],с .13,

Рис 4.1 кривая 1, Рис. 4.2. Классическому солитону со­

ответствует кривая 1, например, Z ‘х/ А — Z у/2 — Z на

Рис.4.1 и краевые условия

% х\х—>ioo — о , Z\x—>±оо — 0 . к — 2 , А здесь

амплитуда решения (высота волны).

Кривая 2 на Ри с.4.1 соответствует краевым условиям

Z' х\х ->±оо - 0 , Z\x ->±оо = co n s t. В этом случае (4.31)

имеет вид Z'х/ А = (Z + 1 /2 )-\ /3 /2 — Z. Классическая

уединенная волна— солитон показан на Рис.4 .2 .

В ы в о д В случае д в у х п е р е м е н н ы х х , t уравнение

К Д В - искаою енное н е л и н е й н ы м преобразованием

(4.31) линейное О Д У (4.30).

З а м е ч а н и е 4-1-4

Обобщенное уравнение К Д В

Z t + Z х + Z xxx — о

заменой (4.31) приводится к ОДУ

2 <р'(0) + Q"\0) = 0 .

Здесь <p(Z) произвольная дважды непрерывно диф­

ференцируемая функция. Очевидно, что первый инте­

грал имеет вид

2 <р(0) + Q"(0) = С г. П

З а м е ч а н и е 4-1-5

Обобщенное цилиндрическое уравнение К Д В

z't + <p{Z) z 'x + Z"'xxx + fjL(t)Z = 0

заменой (4.31) приводится к ОДУ

Q3/2[2 у>'(0) + <?'"(©)] + M (t)(2Q - 0Q '(0 )) = 0.

Рис. 4.1: Зависимость Z'x or Z на фазовой плоскости для клас­

сического солитона. Кривая 1. Здесь Ь = —3, a i = 0, аг = 2, А —

амплитуда солитона (высота)

2 ж

Рис. 4.2 Классический солитоп. На фазовой плоскости ему соот­

ветствует кривая 1. Рис.4.1.

Здесь (p(Z),n(t) произвольные дважды непрерывно

дифференцируемые функции.

Требования того, что функции имеют две производ­

ных возникают из общего условия разрешимости ана­

логичного (3.16) в теореме аналогичной теореме 3.1.3. В

нашем алгоритме сформулированном в параграфе 4.1

мы его обходим, но оно существует и выполнено на по­

строенном решении. □

Зам ечание 4 . 1 .6 . Задача на собст венные числа

А для уравнения К Д В .

Из (4 .30)следует, что можно поставить краевую за­

дачу для ОДУ Q"(6) + 2 (6 в — К 3) = ЛQ{6). Краевые

условия имеют вид Q (0) = 0 , Q(ai) = 0 . Смотри Рис.

4.1.

Собственные функции уравнения К Д В связаны с квад­

ратурой уравнения первого порядка (4.31), где

Q(6) = Ах ехр(#-\/Л) + А 2 ехр (—в л/Л) -(-

-+-2(6 в — К 3) /А. Здесь К 3, Ах, А 2- константы.

Собственные числа вещественные разных знаков

± \/Х, следовательно в точке Z( x , t) = 6 = ох имеет

место особая точка «седло». Интегральная кривая от-

- ill -

вечающая солитону входит в особую точку по направ­

лению собственного вектора. □

Зам ечание ^ .1 .7 .

Аналогично Вдовина Е .К . проанализировала в дис­

сертации задачи на собственные числа и собственные

функции во всех остальных случаях рассмотренных в

главе 4. Все не рассмотренные в пособии варианты разо­

браны там же.П

4.2. Уравнения Бюргерса, Гарри Дима, П ББМ приво­

дятся к ОДУ

В данном параграфе приведем точные решения неко­

торых интегрируемых уравнений. Близким к уравне­

нию К Д В является уравнение Гарри Дима (ГД) [30],

с.59.

Z\ + bZa z'"xxx = 0. (4.34)Теорема 4-2.1

Пусть дано уравнение (4.34).

Тогда уравнение ГД (4.34) приводится к линейном у

оду

в оГ(0 ) + a Q"(0) = о. (4.35)

заменой

Z'x ( x , t ) = \/Q (Z{x \ t j ) . (4.36)

Решение (4.35) имеет вид

Q (0 ) = в2~а О Д П 1 - а ) (2 - а )) + С 2 + в С 3. (4.37)

Общее решение уравнения (4.34) строится как решение

уравнения (4.36) аналогично теореме 4.1.4.

К ом м ент арии к доказат ельст ву

Доказательство аналогично доказательству проведен­

ному в предыдущем параграфе. Из формулы (4.37) сле­

дует, что параметр а ф 1, а ф 2. При значениях

а = 0 , а = — 1 константы можно подобрать так, что

полином можно разложить на множители и вычислить

интеграл. Тогда интеграл уравнения (4.36) выражает­

ся через эллиптические интегралы и похож на (4.33).

Это доказательство существования среди таких реше­

ний солитонов. О возможности зависимости Cj, j =

1, 2, 3 от переменной t см. замечание 4.1 .7 и замечание

в конце введения. □

Зам ечание Задача на собст венные числа

Л для уравнения ГД .

Из (4 .35)следует, что можно поставить краевую за­

дачу для ОДУ в Q '(6) -Ь 2 Q' (в) + А 0 = AQ(0).

Здесь рассмотрено значение параметра а = 3, кото­

рое имеет физический смысл. Краевые условия имеют

вид Q (a i) = 0, Q (a 2) = 0 . Смотри Рис. 4.1, кривая

2 должна быть сдвинута вправо. Солитоны появляют­

ся здесь только при положительных значениях ai >

0 , а 2 > 0 в определенном диапазоне изменения А.

Собственные функции уравнения ГД связаны с квад­

ратурой уравнения первого порядка (4.36), где

Q(6) = А о/А + А\ B e s s e l l ( 1, 2 V в A )-f

-(-2 A 2 B e s s e l K ( l , 2 V 0 А ). Здесь A q, A x, A 2 кон­

станты.

В это выражение входят модифицированные функ­

ции первого и второго рода соответственно. Удовлетво­

ряем краевым условиям и получаем выражение зависи­

мости Q(6) — Qi ( a 1? a 2, А, в). Существует определен­

ная область параметров в которой появляется солитон.

Про это исследование говорится в замечании 4.1.7. Там

же разобраны варианты с другими значениями пара­

метра а . □

Вывод В случае двух перем енны х х , t уравне­

ние Г Д - и ск а ж ен н о е нелинейны м преобразовани­

ем (4.36) линейное О Д У (4.35).

Регуляризованное уравнение длинных волн или урав­

нение Перегерина, Бенжамена, Бона и Махони (П Б­

БМ ). Это уравнение «конкурирует» с уравнением К Д В

при описании волн в прямоугольном канале в случае

когда длина волны больше чем длина канала. [30], с.

56.

Z t~\~OLZx - \ - b Z Z х + 'у Z txx — 0* (4.38)

Справедливо утверждение аналогичное теореме 4.1.4.

Теорема 4-2.2

Пусть дано уравнение П ББМ (4.38) и справедливы

соотношения (4 .2 )-(4 .5 ) и справедливы следующие пред­

положения

r « , i ) = H ( € , ! / « , « ) ) . (4.39)

Г (£ , <5) = - ( 7 + R ( b U + cx + 7 # V ) ) / ( 1 +

+ 7 (-Rf/)2 + 1 R R ии)? (4.40)

M = Y Y ' u , t(*,<5) = £. (4.41)

Тогда уравнение П ББМ (4.38) приводится к л и н ей ­

ному О Д У т рет ьего порядка с перем енны м и ко­

эффициентами относительно функции

Q(\n(Z{x,t) )) = Р ( 0 ) , Z (x , t) = в > О,

7 03 ( а + Ъ в) Р + 7 в2 [6 а + 5 b в] Р" +

+ 3 7 в [3 а + Ъ в] Р ' -

- 2 5 7 0 Р(0 ) - 2 5 0 = 0 , (4.42)

линеаризующей заменой

£) = Z ( x , t ) y/Q(ln(Z(x, t)) ) . (4.43)

Решение уравнения (4.42) имеет вид

Р ( 0 ) = ЗА^ос/Ь — 1/7 + А т 2/ в 2 + A m i/0 + Ai 0.

Общее решение уравнения П ББМ имеет вид анало­

гичный общему решению уравнения К Д В приведенно­

му в теореме 4.1 .4 и выражается через эллиптические

интегралы (4.33).

К ом м ент арии к доказат ельст ву

Доказательство в этом случае несколько сложнее чем

доказательство проведенное в предыдущем параграфе,

однако в данном пособии опущены детали. См. замеча­

ние 4.1.7.

Вычислим все смешанные производные до четверто­

го порядка включительно от (4.43). Продифференци­

руем уравнение (4.38) по переменной х и подставим в

неё вычисленные производные, делаем несколько ите­

раций. Производную Z 't исключим используя уравне­

ние П ББМ (4.38). Получим линейное уравнение для

функции

Q(ln(Z(x , £))) = Р( в) . Уравнение (4.42) имеет реше­

ние

Q(ln(Z(x, £))) = Р ( 0 ) = [ А т 2 Ъ 7 + A m i by 0 +

+ ( 3 а 7 Аг - Ь) 0 2 + А х Ъ у 0 3] / ( 0 2 Ь у).

Числитель этого выражения можно представить в

виде произведения аналогичного (4.32).

Q i(0) = (а г - 0 ) ( а 2 - в)(аз - в ) А 1 Ь у.

Здесь

А т 2 — — Аг ( а х а 2 а 3),

= А х (аг а 2 + а х а 3 + а 2 а 3),

A y = b / [ 7 ( ( a i + 0 2 + a 3) 6 + 3 a ) ] . Отсюда следует,

что множества решений уравнений К Д В и П ББМ сов­

падают и они эквивалентны. Про исследование задачи

на собственные числа говорится в замечании 4.1.7.

□Вывод В случае двух перем енн ы х ж, t уравнение

П Б Б М - и ск а ж ен н о е н елин ейны м преобразовани­

ем (4.43) линейное О Д У (4.42).

Уравнение Бюргерса ошибочно считается в [30], с. 61

самым простым из нелинейных уравнений. Наше иссле­

дование, приведенное ниже показывает, что это урав­

нение (4.44) является нелинейным, а становится линей­

ным только при значениях параметра Ь = 2.

Z t Ъ Z Z х — Z хх = 0. (4.44)

Разрешимость его обсуждается во всех книгах [28]- [30]

и связана с хорошо известным преобразованием

Z ( x , t ) = V ' x/ V ( x , t ) , 6 = 2 , которое приводится

к линейному параболическому уравнению V\ = V"хх-

Это не противоречит нашим преобразованиям. Резуль-

Теорема 4-2.3

Пусть дано уравнение Бюргерса (4.44) и его решение—

непрерывно дифференцируемая функция Z ( x , t ) имеет

необходимое число производных.

Тогда уравнение Бюргерса (4.44) заменой перемен­

ных

Z'x(x , t ) = y/Q( Z( x , t ) ) . (4.45)

приводится к ОДУ второго порядка

4 Ь Q3/2 + (Q ')2 - 2 Q Q" = 0, (4.46)

где Q (0 ), в = Z ( x , t ) и следующему из него О Д У

первого порядка

Q'e ± х/ 8 Ь Q3/2 + C iQ = 0 . (4.47)

Решение уравнений (4.46), (4.47) имеет вид

Q (0) = [(С а)2 - % Ь 2 С Х (С2)2 + 16 64 (С 2)4 +

+ [± 1 6 Ъ2 Ci С 2 + 64 Ъ4 С 23]в +

+ [ —8 Ь2 С х + 96 Ь4 С 22] в2 +

+ 64 Ь4 С 2 Q3 + 16 Ь4 в4] / (64 Ь2). (4.48)

Общее решение уравнения (4.44) определяется интегра­

лом уравнения (4.45). При b = ± 1 / 2 , b = ± г / 2 проис­

ходит суженное множества решений и (4.48) имеет вид

Q{0) — (a i — в) ( a 2 — в) (a 3 — в) (a 4 — б ).(4.49)

Уравнение (4.44) имеет точное решение в неявной, па­

раметрической форме

[—2/(\/а2 — а3 Vai — a4)] *

*ElipticF[ArcSin[\/a2 — a3 д/ a i+ Z /

/ {у/а\ — 0,3 \/a2 4- Z)],

(a i - a 2) ( a 2 — a 4) / ( ( a 2 - a 3)(o i - a 4))] +

+ V b (x + C 0 t ) / ( 8 6) = 0 . (4.50)

□К ом м ент арии к доказат ельст ву Вычислим все

производные до четвертого порядка включительно от

(4 .45 ) . Продифференцируем уравнение (4.44) по пере­

менной х и подставим в него все производные, делая

несколько итераций. Исключим первую производную

с помощью уравнения Бюргерса (4.44). Получим ОДУ

(4.46) !!!. На фазовой плоскости уравнение (4.45) имеет

четыре особые точки, а соответствующее уравнение для

К Д В имеет три особые точки. Сравни (4.32)и (4.49).

Из картины интегральных кривых на фазовой плос­

кости следует, что уравнение Бюргерса допускает ре­

шения типа волн перепада. Возможность зависимости

a,j, j = 1 , 2 , 3 ,4 от переменной t не ясна. Более по­

дробно смотри замечание 4.1.7. и это выходит за рамки

пособия. □

Зам ечание 4-2.2. Задача на собст венные числа

Л для уравнения Бюргерса.

Из (4.46)следует, что можно поставить краевую за­

дачу для ОДУ

4 Ь Q3/ 2 + (Q' ) 2 - 2 Q Q” = AQ(0) .

Один раз интегрируя уравнение получим

Я'{в) = ± у/Щ в) у/Сг + 8 Ь v ' W T - A ln|Q(0)|.

Здесь C i- константа.

Анализ показывает, что краевые условия Q (oi) =

О, Q (a 2) — 0 такой функцией не удовлетворяются. Это

и означает, что диссипация не дает возможности су­

ществовать солитонам. Решение задачи на собственные

числа здесь не существует. □

Вывод В случае двух перем енны х ж, t уравнение

Бюргерса - нелинейное уравнение и ст ановит ся

линейн ы м т олько при зн а ч ен и и парамет ра Ь — 2.

Асимптотические свойства решения обобщенного урав

нения Бюргерса

Z t + <p(Z) Z х — Z хх = 0. (4.51)

изучены в Г.М . Хенкиным в [32].

Результаты [32] важны так как в данном случае ОДУ

значительно сложнее и общее решение записывается в

квадратурах и полностью на вычисляется. Результаты

[32] хорошо согласуются с нашими. Частные случаи ре­

шения уравнения Бюргерса приведены в теоремах при­

веденных ниже.

Теорема 4-2.4

Пусть дано уравнение (4.51) и его решение— непре­

рывно дифференцируемая функция Z ( x , t) имеет необ­

ходимое число производных для предложенного реали­

зации алгоритма.

Тогда обобщенное уравнение Бюргерса (4.51) заме­

ной переменных

Z'x{ x , t ) = y/Q( Z( x , t ) ) . (4.52)

приводится к ОДУ второго порядка

4 <р'(в) + (Q ')2 - 2 Q Q" = 0. (4.53)

Решение уравнения (4.52) дается квадратурой

/го1* ’4 ( l / v / Ш ) dfl = х + C„t,

Z 0, Со— константы.

□К ом м ен т арии к доказат ельст ву Поведение ин­

тегральных кривых уравнения (4 .52), (4.53) исследова­

но на фазовой плоскости. См. замечание 4.1.7.

Рассмотрим объединенное уравнение Бюргерса и

К Д В которое возникает, в частности, в математической

теории транспортных потоков в книге Гасникова А .В .,

Кленова С .Л ., Нурминского Е .А ., Холодова Я .А ., Ша-

мрай Н .Б. [31]

Z t + х ~~ хх — I^Z ххх = о . (4.54)

Во всех рассмотренных выше и ниже случаев можно

сформулировать теоремы о точном решении построен-

ном методом М НЕФКЗП похожие на теорему 4.1.2. Вы­

бирая в качестве главного члена точное решение может

быть построено асимптотическом решении по некоторо­

му малому параметру. См. замечание 4.1.7.

Теорема 4-2.5

Пусть верны обозначения (4 .2)—(4.5) и верны соотно­

шения

Ш , 6) = (М [(р м \ + е у \ ) и ' б -

(р М ’6 + е Y 's ) U\] + Y [У\(1л М ’6 - <p(U) U '6) +

+ Y ’s(-p . М \ + сp(U) C/'c) ] ) /P 2, (4.55)

где P 3 = Y e ll 's - Y ’sU\.

Пусть верны соотношения

M = Y Y ’s / U 's, Y { £ , 6 ) = R { £ , U ( Z , 6 ) ) , t (£ ,< 5 )= £ .

(4.56)

Тогда существует точное решение объединенного урав­

нения Бюргерса и К Д В вида (4.54), гдеrua,s)

x ( i , S ) = s ( 0 + ( l / R ( t , U ) ) d U ,J u Q

t ( Z , S ) = £ , (4.57)

где s(£) трижды непрерывно дифференцируемая функ­

ция. Якобиан d e t J — —U 's / R ( £ , U ) . Функция R ( £ , U )

является решение уравнения с частными производны­

ми

—р (U) + е R ии — R t / R 2 ■+■ 3 /х R и R ии +

-f/x R R иии — 0- (4.58)

Решение которого представим в виде

Я (£ , и ) = W ( U ) + a W X{U) + 0 (с * 2) ..., где главный

член асиптотического решения— функция W ( U ) , в —

U, ос —> 0 удовлетворяет ОДУ

-у ? (0 ) -f е W" + 3 /х W' W" +

+/х W { 6 ) W'" = 0. (4.59)

Первый интеграл уравнения (4.59) имеет вид

- С г - <р(в) + е W " + /х ( W ' ) 2 +

+ ц W(Q) W" = 0 . (4.60)

Уравнение (4.60) имеет решение W ( 9 ) = \/Q(9), где

функция Q(6) удовлетворяет ОДУ первого порядка

2 е y/Q + 2 C i в - 2 J ср(в) d6 +

Q '(0) = С 2. (4.61)

□

К о м м е н т а р и и к д о к а з а т е л ь с т в у

Заметим, что уравнение (4.61) и асимптотическое ре­

шение, поправка при малом параметре а < 1 исследо­

вано нами. См. замечание 4.1.7.

Вернемся в исходные переменные х , t.

Теорема 4-2 .6

Пусть дано уравнение (4.54).

Тогда уравнение объединенное уравнение Бюргерса

и К Д В (4.54) приводится к О Д У первого п орядка

2 £ t/ Q - 2 C 1 6 - 2 J ip(U) dU +

+ р Q \U) = С 2, (4.62)

где 6 — Z ( x , t ) , после замены переменных

Z'x( x , t ) = y/Q(Z(x, t)) . (4.63)

□К о м м е н т а р и и к д о к а з а т е л ь с т в у

Вычислим все производные до пятого порядка вклю­

чительно от (4.54). Продифференцируем уравнение

(4.54) по переменной х и подставим в него все произ­

водные, делая несколько итераций. Исключим первую

производную с помощью уравнения объединенного урав­

нения Бюргерса и К Д В (4.54). Получим ОДУ третьего

порядка

2 ¥>"(<?)-£ (<Э'„)2/ ( 2 Q 3'2) - s Q " / s/ Q - h Q'" = 0 , (4.64)

где Q(e) , в = Z ( x , t ) и следующему из него О Д У

в т о р о го порядка

2 у>'(0) - в Q 'e/y /Q ~ n Q " + Cj = 0. (4.65)

Отсюда следует ОДУ (4.62). Из картины интегральных

кривых на фазовой плоскости следует, что объединен­

ное уравнение (4.54) допускает решения типа солито-

нов и волн «перепада». Это зависит от начальных и

граничных условий. Задавая различный вид функции

(в) можно получить формулы решения.

4.3. Новые уравнения пограничного слоя

Это важная задача — решена с инженерной точки

зрения давно. Те тонкости решения которые обсужда­

ют математики инженеров не беспокоят. Ошибка в рас­

четах 5-10 процентов их устраивает. Однако при обте­

кании шороховатой пластины ошибка, при смещении

в потоке вправо по течению, резко возрастает. Боль­

шое количество ссылок на работы по теме обтекания

пластины приведено в [37]—[39]. Многократные уси­

лия для построения асимптотического решения задачи

в разных приближениях предпринимались С. Капли-

ном, Г.И. Карриа, С.С. Лином, В .Р . Дином, В .Г. Дани­

ловым, М.В.Макаровой и другими. Применение к урав­

нению пограничного слоя из [37]—[39] метода М НЕФК­

ЗП [9]-[14] позволило свести задачу к краевой задаче

для квазилинейного параболического уравнения. Это

позволит, возможно, более просто построить асимпто­

тическое решение задачи обтекания шороховатой по­

верхности.

Запишем уравнения описывающие общую задачу об­

текания пластины неньютоновской проводящей жидко­

стью со степенным реологическим законом в попереч­

ном магнитном поле в безындукционном приближении

(Подробные ссылки на работы других авторов, где сде-

лана постановка задачи приведены в [38]—[39])

< w, V > и = ( 1 / 2 )(U l2(x )) 'x +л

+<т В 2(х) ( и г(х) - и) + — (и'у)п,ду

divw — 0. (4.66)

Здесь w = i u ( x ,y ) + j v ( x ,y )— вектор скоростей тече­

ния,

п — реологический коэффициент, учитывающий от­

личие вязкости нелинейной жидкости от ньютоновской

жидкости,

ег— безразмерный коэффициент, отношение проводи­

мости среды к её плотности,

В ( х ) — функция индукции магнитного поля направ­

ленного перпендикулярно к пластине.

При значении коэффициентов п = 1, а — 0 — эта за­

дача переходит в классическую задачу обтекания пла­

стины ньютоновской жидкостью. Градиент давления ра­

вен f ( x ) = V p = ( 1 /2 )U i2(x) x + cr B 2(x) U i(x).

В него вносит вклад поперечное магнитное поле.

Граничные условия имеют вид

и(ж, 0) = 0, v (x , 0) = 0,

u ( * ? y ) l w - o o = U i(x). ( 4 . 6 7 )

такие граничные условия описывают прилипание жид­

кости на пластине и сшивание скорости с внешним по­

током вне пограничного слоя. Поскольку речь идет сей­

час о выводе уравнения, ограничимся здесь нулевым

условием прилипания на гладкой пластине (4.67). По­

граничный слой ограничен некоторой кривой S (x ,y ) =

0 — см. Рис 4.3. В случае ньютоновской жидкости это

гипотетическая кривая ограничивающая слой в кото­

ром для значения продольной скорости справедливо

неравенство

0 < и < L. Толщина вытеснения L — толщина по­

граничного слоя, это некоторое соглашение [38] с .459.

В случае течения проводящей неньютоновской жидко­

сти эта кривая становится физически реальной и по­

граничный слой локализован при значениях параметра

n > 1 [38].

Принято вводить функцию тока

и (х ,у ) = ф'у, v (x ,y ) = —ф'х, тогда получим одно

уравнение третьего порядка

/ I и'Ф у ф х у ~ Ф х Ф у у ~

- ^ ( Ф " у у ) п ~ f (X) + а‘о(Ж) -Ф'у ~ °* (4 68)

Здесь ето(х) = а В 2(х).

Р и с . 4 3 ’ Обтекание пластины неныотоновской проводящей жид­

костью в магнитном поле

К уравнению (4.68) применим метод МНФКЗП.

Сделаем произвольную замену переменных

Ф ( х 1 2 / ) | х = х ( £ , <5),у=у(£,<5) = ^ ) * ( 4 . 6 9 )

Обратная замена, восстанавливает решение ф ( х , у ) урав­

нения (4.68) по функции t/(£,<5)

Ф ( х 1 2/) ~ ^ ) | ^ = ^ ( х ,y ) , 6 = d ( x , y ) i ( 4 7 0 )

если якобиан (определитель матрицы Якоби) замен

переменных d e t J = х\у 6 — y'^x's ф 0 не равен нулю

Тогда существует обратное преобразование

€ = € (х ,у ) ,6 = б(х, у).

При этом существуют формулы пересчёта производи

ных старых переменных х , у по новым переменным £, 8

д х дб ду дб—— = d e t J - —, —— = —d e t J ---- ,д£ ду д£ д хд х _ . . тд £ д У _ ,дб ду дб д х

( 4 . 7 1 )

Далее « уст ановим дифф еренциальные связи»

д'Ф|х=а:(£, д), у=у(£, 5) =

с(€> <*), <5) —

дх дгрdt

d Y { £ ( x ,t ) ,6 ( x ,y ) )д х

= М (£ ,б ) .

Ix=x(5, <5), y - y ( i , 6) —

(4.72)

Здесь Y (£, 5), Т (£ , б), М (£ , <5) произвольные трижды

непрерывно дифференцируемые функции по всем пе­

ременным.

8 U ду dU ду ~д£~дб ~~ ~дд~д£

Y (£, 6)[х\у s - у \ х 6], (4.73)

д и д х ~дд +

dU д х~дбЪЦ

= Т (^ ,д )[х ^ у 6 - y\x's]• (4.74)

Вопрос ст удент а: О бъяснит е более подробно, как

получаю т ся вы раж ен ия (4-73).

Рассмотрим первое соотношение (4 .5). Дифференци­

руем сложную функцию и пересчитываем с помощью

формулы (4.71) связи « ст ары х» переменных по «но­

вы м »:

Ф x l x = s c ( £ , 5), у = у (£ , 5 ) = 2 / ) ’ 2 / ) ) =

= + U ’sS’x) = ( у 1 ( У , - U'sy'( ) /d e t J .

Получим соотношение (4.73). Аналогично преобра­

зуется второе соотношение (4.72). Тогда получим соот­

ношение (4.74).

Вопрос ст удент а: О бъяснит е более подробно, как

преобразует ся т рет ья дифф еренциальная связь в

(4-72).

Продифференцируем функцию Т (£ (х , у ), 6 (х , у)) как

сложную функцию:

(4.75)

d T ( j ( x ,y ) ,S ( x ,y ) ) = 8 T d i от asду д£ ду дб ду

Используя формулы (4.71), получаем

д Т д х t д Т д х~дЦЪб + дб

= d e t J М (£ , б).

(4.76)

Аналогично дифференцируем по у функцию

ч/), 5(а:, 1/)) ниже. Уравнение (4.68) принима­

ет вид

T ( ( , S )д Т (£ (х ,у ) ,б (х ,у ) )

- Y ( t , 6 )д Т (£ (х ,у ) ,б (х ,у ) )

дуп —1

_ п ^ат (€(х ’ У)’ * (х *У ))^

* ( 9 M (Z(x i y ) i s (x ,y ) )V ду

- / ( * ( £ , <5)) + <Т0(Я5( , 6))Т{£ , б) = 0. (4.77)

Подробно все выкладки для случая неньютоновской

жидкости приведены в диссертации Вдовиной Е .К . Здесь

приведем для простоты окончательное уравнение для

ньютоновской жидкости п = 1, <То = О

d e t J f { x ( £ , d ) ) = T

_ д х / д М (£ , б)д £ \ дб +д х ( д М (£ ,6 )

+ дб \ +

( д т (ц ,б )дуv d i дбд Щ ,б ) \

дб ) +д Т ( ^ б ) \

д£ ) '

д Т (£ , б) ду\ дб д $ )

( 4 . 7 8 )

Соотношения первых двух дифференциальных свя­

зей (4 .73), можно записать в виде можно переписать в

виде

Ф х ( х ’ У ) ~ ^ )] к=С(х,у), 6=6( х , y) l

Ф t ( x i у) = [ ^ Ч £ > ^ ) ] к = € ( я , у ) , 8 = в ( х , у ) '

С необходимостью должно быть выполнено соотно­

шение равенства смешанных производных в перемен­

ных б:

д , д , a t * 1 ~ а^'ф »•

( 4 . 7 9 )

Вопрос ст удент а: «Насколько я знаю, для два­

жды непрерывно дифференцируемых функций смешан­

ные производные тождественно равны.»

Авт оры:

Мы подробно же отвечали на такой вопрос в пара­

графе 4.1, смотри (4.12). Здесь только переменная t за­

менена на переменную у.

Тогда это соотношение, с учетом (4.71) можно запи­

сать в виде

d x d Y d x d Y d y d T d y d T ~~d6~d£ + d£~dd ~ d6~d£ + dl'dS ~ °* ^ 8°

Система пяти уравнений (4 .73), (4 .74), (4 .77),

или [(4.78)] (4 .76), (4.80) на первый взгляд кажет­

ся переопределенной системой нелинейных уравнений.

Однако уравнение (4.13) является линейным, и мы как

и ранее в этой главе покажем, что вся система является

СФЛАУ.

В отличии от уравнений с частными производными

второго порядка рассмотренными в [8]—[14] здесь имеем

систему пят и уравнений первого порядка с четырьмя

неизвестными производными х х ' у у 6.

В параграфе 4.1 мы объяснили как надо найти пра­

вильны е соотношения между произвольными функ­

циями У (£ , 5 ), Т (£ , <5), М (£ , д), чтобы все пять вариан­

тов были зависимыми и система пяти уравнений имела

единственное решение.

Здесь м ы видоизм еняем алгорит м анализа пере­

определенной сист ем ы изложенный в параграфе 4.1,

подчиняясь логике данной задачи.

I пункт алгорит ма. Выбираем любые четыре урав­

нения системы, сейчас для определенности выкладок

примера, возьмем другой набор уравнений (4 .73),(4 .74),

(4 .76), (4.80) и рассматриваем её как СФЛАУ относи­

тельно производных х x's, У £, У в• Уравнение (4.78)

( или (4 .78)) в данном примере, остается пока избыточ­

ным. Сознаемся, что на самом деле мы выбрали для

разбора и демонстрации в пособии вариант в котором

самые простые формулы. Но были просчитаны все пять

вариантов.

Алгебраическая система (4 .73),(4 .74), (4 .76), (4.80)

относительно производных х х у у 5, имеет един­

ственное решение, обозначим его через

ду дуа ! = *>«-*>• а Ь * ^

(4.81)

д хФз(4,Я),

д х~дё * 4 ( 6 * ) , (4.82)

Это новая система, где

Ф х ( £ , * ) = [’у т \ ( и '6 т\ - т \и\) +

u\{T ( - y 's t \ + t '6y \) +

М (Y's и \ - У \ и 'д)])/Р ,(* , 8), (4.83)

Ф2(4,(5)) = [Y Т '6{Т\ U\ - T '6U\ ) +

+ U 'S[T (T'sY'z - Y 'ST\) +

+ М (Y '6U\ - U'5Y \ )]/P z{Z, 8), (4.84)

Ф 3(£, 8) = [M U\ - Г Г'*] [U'6T\ -

-и \ т '6]/Р г{а,8) (4.85)

<5) = [Т Т \ - М U'6}[и\т'6 -

- Т \ и 'д)/Р з(^ 8 ), (4.86)

где

Р 3(^, 8) = Т 2 [~ Y 'dT\ + Y'^t 's] +

+ м [ У ( с / ' . т 'е - т'ди\]) +

+ Т (y 's и 't - и ' sY \)), (4.87)

Вычисляем значение якобиана d e t J , то есть подставля­

ем в него найденные выражения х\ , x's, у ' у $■

I I пункт алгорит ма. Подставим найденные выра­

жения производных (4 .81), (4.82) в оставшееся избы­

точное преобразованное уравнение (4.77)или уже пре­

образованное уравнение (4.78). Обратим внимание на

тот факт, что выражения для функций \J/3i4 (4.85), (4.86)

имеют нетривиальный множитель. Это соображение поз­

воляет просто построить новые решения предполагая

х (£ , <5) — £» х 't — П х>6 = 0 и обойти общее условие

разрешимости — см., например, теорему 3.1.3. В раз­

ных вариантах нетривиальный множитель имеет раз­

личный вид, но в итоге приводит к одному и тому же

результату сформулированному ниже. Так как x's = О,

следует приравнят ь к нулю в данном варианте мно­

житель

М U ' s - T Т '6 - 0.

Таким образом получим связь между функциями

M (£ ,S ) и Т(£,<5) и в данном варианте имеет вид

М = Т T s /U 's . (4.88)

Далее вычисляем первые производные М (£, 6) и под­

ставляем в правые части, то есть уточняем первый раз

правые части выражений (4.81), (4.82) х\, x's, у\, y's

и d e t J полученные в первом пункт е алгорит ма.

d e t J — уточненное выражение для якобиана уже на

зависит от производных х x's, y's ■

В этом пункте можно построить сопут ст вую щ ую

м ат рицу к уравнению пограничного слоя, но мы про­

пустим этот пункт. Матрица приведена в диссертации

Вдовиной Е.К .

Из х $ = 1, следует уравнение

- У Т 'д + T Y ' s - Т \ и '6 + T '6U\ = 0. (4.89)

Решение этого уравнения имеет вид

У(£> б) = Co(S) T + I n t * Т (£ , <5),

I n t = [ [и ’ч Т '& ц ) - J о

т'„£/'(€, Ч){]/(Т(С , г,))Чц = 0. (4.90)

Сделаем ещё одно предположение о виде функции

т « . <5) = R(t, U ((, 6)) = Я « , в). (4.91)

Все выкладки для нелинейной неньютоновской

жидкости проведены в диссертации Вдовиной Е .К . Здесь

ограничимся более простыми формулами для ньюто­

новской жидкости.

Окончательно получаем теорему

Теорема 4-3.1

Пусть переопределенная система (4 .73),(4 .74),(4 .76),

(4 .78),(4 .80) справедливы предположения (4.88),

(4 .90), (4.91) и

ж(£, <5) = £, п = 1, сг0 — 0.

Тогда «новая» система имеет вид

у\ = - с „ ( 0 - Int +

y's = U 'i /T ( ( ,S ) , х\ = 1, x's = 0. (4.92)

Решение системы имеет вид

» ({> * ) = » « ) + / [ Е Л /Г « , <5)] d 6. (4.93)

Якобиан d e tJ = —U 's /T (£ ,6 ) . Первое условие раз- // //

решимости у ~ У выполняется, если удовлетворя­

ется уравнение

Я'* - (я '* )2 - Я ti'ee + f ( x ) / R = 0,

Т(£, <5) = Я(£, (*, 6)) = Я(£, 0). (4.94)

К ом м ент арии к доказат ельст ву Теорема дока­

зана всеми приведенными рассуждениями. Рассмотрим

пример.

П рим ер 4-3.1

Можно построить точное решение уравнения (4.94)

методом разделения переменных.

R (x ,0 ) = г ( х ) д{в),

г (х ) = —1 / (Ai х + C i), (4.95)

д (в) = ± \ fC ~2 \ / а 1 — О л/а2 — в *

*у /аз — в / ( в у/а\ а2 аз). (4.96)

Константы связаны соотношениями

a i ■+• а 2 + аз = 0, Лх = —3 С г /(2 a i а 2 аз),

Лг — — ((аг)2 + агаз + (аз)2) *

* С г / ( 2 аг аз (аг + а з )). (4.97)

В данном случае градиент убывает по переменой х . Ре­

шение уравнения (4.68) и задачи (4.66) записывается в

параметрическом, неявном виде

С 3 + U i у/ a i 02 аэ \/a i — £7 *

*у/ (а3 - и ) / ( у/С2 (а2 - U )) +

+ [2-y/ai а2 аз[а2(а 2 — U ) + ах(®2 + С /)]/(\ /С 2 *

* у / а 2 — a i ( a 2 — £ 7 ) ) ] *

*E llip ticE [i A rcsin h [y /a i — a2j y f a 2 — 1 7 ] ,

(о2 — ®з)/(а 2 — ах)] ±

i [ 2 &х у/сьх о-ч о-з/ ( \/С2 \/а2 — Ох] *

*.E/Zipitc.F[i A rcsm Z i[V o i^ -a 2/> /a 2^-t^]»

(а2 - а3)/(а2 - ах)]. ( 4 . 9 8 )

Интеграл

ElipticF[ip ,m ] = J0v’[ l / \ / ( l — тп S in 2(s))]d я - эллиптический интеграл первого рода,

ElipticE[ip, т] = Jq [\/(1 — т S m 2(^))]d я- эллиптический интеграл второго рода.

Вернемся в исходные переменные х , t.

Выяснено, что Прандль Л. и Мизес Р. были на вер­

ном пути, но не провели выкладки до конца, так как не

знали правильную замену переменны, которая следует

из решения построенного М НЕФКЗП [39] с .449. Урав­

нение (4.99) интересно сравнить с уравнением Прантля

-М изеса.

Осмысливая теорему 4.3.3 можно описать другое се­

мейство решений отличающееся от решения описанного

в теореме 4.3.1.

Теорема 4-3 .2

Пусть дано уравнение (4.68).

Тогда уравнение пограничного слоя (4.68) для нью­

тоновской жидкости п = 1,<то = 0 приводится к пара­

болическому уравнению

Q'(X, в) - y/Q(x,e) Q"ee - 2 f { x ) = 0, (4.99)

где в = if)(x,y), после замены переменных

ф'х{я,у) = (4.100)

□К ом м ент арии к доказат ельст ву Вычислим про­

изводные (4.100) до третьего порядка. Подставим в урав­

нение (4.68) несколько раз. Все лишние слагаемые со­

кращаются.

Для случая неньютоновской жидкости справедливо

утверждение

Теорема 4-3 .3

Пусть дано уравнение (4.68).

Тогда уравнение пограничного слоя (4.68) для тече­

ния неньютоновской проводящей жидкости в попереч­

ном магнитном поле в безындукционном приближении

приводится уравнению

<Э'(х,в) - 2 ^ п s jQ (x ,0 ) (Q'e)n- 1 Q"ee -

- 2 f ( x ) + 2<To V Q ( x , 0 ) = 0, (4.101)

где в = гр(х,у) , после замены переменных

ф'х(х,у) = y/Q (x,il> (x,y)). (4.102)

□К ом м ент арии к доказат ельст ву

Вычислим производные (4.102) до третьего порядка.

Подставим в уравнение (4.68)несколько раз. Все лиш­

ние слагаемые сокращаются. Более подробные выклад­

ки можно найти в диссертации Вдовиной Е.К .

Литература

[1] Андрианов И .В ., Баранцев Р.Г., Маневич Л.И.

Асимптотическая математика и синергетика-

М.,Изд.Едиториал У Р С С ,2004.-300 с.

[2] АрнольдВ.И. Что такое математика.-

М .,Изд.М ЦНМ О,2008.-103 с.

[3] Арнольд В .И . Дополнительные главы теории

обыкновенных дифференциальных уравнений.

М .:Наука, 1978, 274 с.

[4] Афанасьев В.Н.,Колмановский В.Б.,Н осов В.Р.

Математическая теория конструирования систем

управления.-М.:Высшая школа,2003.-614 с.

[5] Братусь А .С ., Волосов К .А . Точные решения урав­

нения Гамильтона -Якоби -Веллмана для задач оп­

тимальной коррекции с ограниченным суммарным

ресурсом управления / / Прикл. Мат. Мех. - 2004.

- Т. 68, N 5. - С. 819-832.

[6] Вайнберг М .М ., Треногин В.А . Теория ветвления

нелинейных уравнений.-М.: Наука, 1969.-528 с.

[7] Волосов К .А ., Федотов И.А. Асимптотическое

представление решения квазилинейного параболи­

ческого уравнения в окрестности фронта. / /Ж В М

и М Ф .-1983.- Т5.-№ 5.- С .93-101. Volosov К.А.

Fedotov I.A. Asymptotic representations of the

solution of a quasilinear parabolic equation in the

vicinity of a front. (Russian), //Zh.V ychisl.M at.i

M at.Fiz.-1983.-V ol.23.- N o.5.-P.1249- 1253.

[8] Волосов К .А ., Данилов В .Г., Маслов В.П . Струк­

тура слабого разрыва решений квазилинейных вы­

рождающихся параболических уравнений.//М ат.

зам.- 1988.-Т. 43.-№ б.-С.829-839.

[9] Волосов К .А . Новый способ построения реше­

ний квазилинейных параболических уравнений

в параметрическом ви де.// Диф. урав.— 2007.—

Т.43.— JY«4.- С .492-497 . English transl. Differential

Equations. - 2007.-V ol.43.-N o. 4 .-P .5 0 7 -5 1 2 .

[10] Волосова А .К ., Волосов К .А . Конструирова­

ние решений уравнений с частными произ­

водными. Международный журнал Матема­

тики и Математических наук-International

Journal of M athematics and M athematical

Sgiences. / / V .2009, Article ID, 319268,17 p.

http://w w w .hindaw i.com /journals/ijm m s/2009

/319269.htm l.doi:10.1155./2 0 0 9 /3 1 9 2 6 9

[11] Волосов К.А. Конструирование решений квази­

линейных уравнений с частными производными.

Сибирский журнал индустриальной математики

2008,т.11, н.2 (3 4 ),С .29-39.English transl.in Journal of

Applied and Industrial M athematics, 2009, Vol. 3, No.

4, pp. 519-527.

[12] Волосов К .A ./ / Диссертация на соискание уч.ст.

д.ф-м.н., "Методика анализа эволюционных систем

с распределенными параметрами 2007, МИЭМ.

Диссертация выставлена на сайте "Мир диффе­

ренциальных уравнений h t tp :/ / eqworld.ipmnet.ru,

в разделе диссертаций.

[13] Волосов К .А ., Вдовина Е .К ., Волосова А.К.

Новые точные решения уравнений с част­

ными производными параболического ти­

па. М .: МИИТ, 2010. www.aplsmath,ru,

httprsites.google .com/ site/inproblem s/hom e

[14] А. К. Волосова К теории нелинейной диффузии и

теплопроводности. / / Труды М Ф ТИ.т.3,н.1(9) 2011.

http: / /m ipt.ru/nauka/53conf/M atetialy-b

53+konferenzii/07-FU PM l-view-arpggxyjmcg.pdf

[15] Зайцев В.Ф ., Полянин А .Д . Справочник по диф­

ференциальным уравнениям с частными производ­

ными: Точные решения.- М.-.Международная про­

грамма образования,1996.-496.

[16] Лагно В .И ., Стогний В.И . Симметрия и разде­

ление переменных для уравнения Колмогорова

/ Материалы научной конфер. «Герценовские чте­

ния» (14-19 апреля 2008). — С.-Петербург, Изд.

С.-Петербургского педагогического университета,

2008, с. 79-83 .

[17] Маслов В.П . Операторные методы. — М.: Наука,

1973. — 400 с.

[18] Маслов В .П ., Данилов В .Г ., Волосов К .А . Матема­

тическое моделирование процессов тепломассопе-

реноса (эволюция диссипативных структур) С до­

бавлением Н.А.Колобова, М .:Н аука,1987.-352 с.

[19] Мартинсон Л .К ., Малов Ю.И. Дифференциальные

уравнения математической физики.М .:Изд.М ГТУ

им. Н .Э.Баумана, 1996.— 366 с.

[20] Мышкис А .Д . Прикладная математика. Специаль­

ные курсы. — М .: Физматлит, 2007. — 688 с.

[21] Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные

уравнения. Введение в теорию и приложения. Пер.

с англ. Н.И.Королевой и А.И.М атасова под. ред.

В.Б.Колмановского-М .: Мир, 000 "Издательство

ACT 2003,-408 с.ил.-М .:Н аука,1981.—399с.

[22] Синицын С.О. Уравнение Фоккера-Планка в за­

даче случайных колебаний полумаятника. X Все­

российский симпозиум по прикладной и про­

мышленной математике. 19-24 мая 2009. Санкт-

Петербург.Журнал Обозрение прикладной и про­

мышленной математики. т.16,н.З,с.477-479.

[23] Синицын С.О. Метод моментов в задаче случай­

ных колебаний полу-маятника для системы перво­

го порядка. X Всероссийский симпозиум по при­

кладной и промышленной математике.9-14 октября

2009. Сочи-Догомыс. Ж урнал Обозрение приклад­

ной и промышленной математики. т.16,н.4,с.709-

711.

[24] Синицын С.О.,Волосов К .А ., Волосова А .К ., Вдо­

вина Е .К . Стохастическая система полумаятников

под воздействием периодического и белого шума

и альтернативная классификация решений урав­

нений с частными производными. Национальный

технический университет "Харьковский политех­

нический эксперимент,” при поддержке Института

механики национальной Академии наук Украины,

Национальный комитет управления по теоретиче­

ской и прикладной механике.Труды третьей меж­

дународной конференции по нелинейной динами­

ке. 21-24 сентября 2010.

[25] Стратонович Р.Л . Условные марковские процессы.

- М.: М ГУ, 1966. - 350 с.

[26] Стрелков С.П.Введение в теорию колебаний.

М .:И зд.Л ань,2005.-440с.

[27] Юрченко Д .В ., Оптимальное управление и матема­

тическое моделирование в стохастических задачах

механики. Диссертация на соискание уч. ст. д.ф.-

м.-н., М, М ГУ Путей сообщения, 2006.

[28] Солитоны. Редакторы Р.Буллаф, Ф.Кодри. пере­

вод с англ. Б .А . Дубровина, И.М . Кричевер, под

ред. С.П. Новикова. М .:М ир,1983.-408с.

[29] Н. Н. Ахмедиев, А. Анкевич. Солитоны. Пер. с

англ. М., 2003

[30] Ф. Калоджеро, А. Дегасперис Спектральные

преобразования и солитоны. Пер. с англ. М ., 1985.

[31] Гасников А .В ., Кленов С .Л ., Нурминский Е.А .,

Холодов Я .А ., Шамрай Н .Б. Введение в ма­

тематическое моделирование транспортных пото­

ков. Учебное пособие. Под редакцией А .В. Гас-

никова., с приложениями М .Л . Бланка, Е .В .

Гасниковаой, А.А.Замятина и В .А . Малышева,

А.В.Колесникова, А.М . Райгородского. М .: МФ­

ТИ. 2010. http ://zoneos.com /traffic/

[32] Хенкин Г.М . Асимптотические структуры реше­

ния задачи Коши для уравнения типа Бюргерса.

J . Fixed Point Theory and Applications. Online First.

2007. DOI 10 .1 0 0 7 /s l 1784-007-0019-4.

[33] Belavkin V .P ., Maslov V .P. Design of optimal

Dynamic Analyzer, in M athem atical Aspects of

Computer Engineering. Edited by V .P. Maslov, K.A.

Volosov. M IR, M ., 1988.-C . 146-237.

[34] Regularization of the Hamilton-Jacobi-Bellman

equation with nonlinearity of the module type in

optimal control problems Journal of M athematical

Sciences, vol. 126, no. 6, pp. 1542-1552, 2005

[35] Братусь А .С ., Волосов К.А. Точные решения урав­

нения Гамильтона - Якоби - Веллмана для задач

оптимальной коррекции с ограниченным суммар­

ным ресурсом управления / / Прикл. Мат. Мех. -

2004. - Т. 68, N 5. - С. 819-832. E xact solutions of

the Hamilton-Jacobi-Bellman equation for problems

of optimal correction with a constrained overall

control resource Journal of Applied M athematics and

Mechanics, vol. 68, no. 5, pp. 731-742, 2004

[36] E xact solutions to the Hamilton-Jacobi-Bellman

equation for optimal correction with an integral

constraint on the total resource of control Doklady

M athematics, vol. 66, no. 1, pp. 148-151, 2002

E xact solution of Hamilton-Jakoby-Bellman equation

for problems of optimal correction with integral

restriction on the total resources of control Doklady

Akademii Nauk, vol. 385, no. 3, pp. 319-323, 2002.

[37] Danilov V.G.,M aslov V.P. and Volosov

K .A . M athem atical Modelling of H eat and

Mass Transfer Processes. Kluver Academic

publishers .Dor drecht /Boston/London 1995.-316

P-

[38] Волосов K .A ., Павлов К .Б ., Федотов И.А. К

теории пограничного слоя проводящей неньюто­

новской жидкости в поперечном магнитном по­

ле. Магнитная гидродинамика, 1980, N.4, с .39-43.

w w w .adsabs.harvard.edu/abs/1980/M agG i........39V

[39] Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.:

Наука, 1978.

[40] Волосов К .А .,Волосова А .К ., Вдовина Е.К .

Сопутствующая матрица и дополнительные сооб­

ражения к теории уравнения Кортевега де Фриза.

Математический институт им. В . А. Стек лова,

Московский государственный университет

им. М . В . Ломоносова, Владимирский государ­

ственный университет. Суздаль , 1-7 июля, 2011.

[41] Волосов К .А .,Волосова А .К ., Вдовина Е .К . К тео­

рии семейства уравнений Кортевега де Фриза.

Международный конгресс — 8 ISAAC. Москва,

РУ Д Н ., 22-27 августа 2011.

[42] Волосов К.А.,Волосова А .К ., Вдовина Е .К . Реше­

ния уравнений теретьего порядка. IV Междуна­

родная конференция имени академика Ляшко И.И.

Киев, 9-10 сентября 2011.

[43] Волосова А.К. Исследование нелинейной динами­

ки окрытой системы гиперцикла. Дис. на соиск. уч.

ст. к.ф.-м.н. М.: МИИТ, 2011г.

[44] Clyde М. Deverpont. The General Analytical

Solution for the Burgers and KDV equations,

hom e.com cast.net/~ cmdaven. 2000.

Содержание

Введение 3

Глава 1. Динамическая система для полумаятника 20

1.1 Постановка задачи о стохастических

п о л ум ая тн и к ах...................................................... 20

1.2 Анализ стохастической динамической си­

стемы ............................................................................ 22

Глава 2. Неподвижные точки некоторых стохасти­

ческих нелинейных динамических систем полума­

ятников 39

2.1 Нелинейная стохастическая динамическая

система полумаятника с кубическим

возмущением. Неподвижная точка . . . . 39

2.2 Решения уравнения КФП

с произвольным переменным коэффици­

ентом ............................................................................. 45

Глава 3. Уравнение Колмогорова-Фоккера-Планка

как система функциональных линейных алгебраи­

ческих уравнений. 62

3.1 СФЛАУ вместо уравнения с частными про­

изводными. Условие разрешимости . . . . 62

3.2 Точные решения уравнения Колмогорова

-Фоккера-Планка в случае трех

независимых п е р е м е н н ы х ............................... 75

Глава 4. Уравнение Кортевега де Вриза приводится

к линейному ОДУ. 89

4.1 Уравнение Кортевега де Вриза приводит­

ся к линейному ОДУ ....................................... 89

4.2 Уравнения Бюргерса, Гарри Дима, П Б­

БМ приводятся к ОДУ .......................................112

4.3 Новые уравнения пограничного слоя . . . 127

Литература 146

Волосов Константин Александрович, Сергей Олегович Синицын,

Вдовина Елена Константиновна

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ СТОХАСТИЧЕСКИХ

ПОЛУМАЯТНИКОВ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ

УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА- ФОККЕРА-ПЛАНКА

Учебное пособие.

Подписано в печать Формат 60*84/16Тираж 200 экз.

Усл.-печ.л.- Заказ №

150048, Ярославль, Московский пр. д. 151. Типография

Ярославского ж.д. техникума-филиала МИИТ