Upload
bond
View
100
Download
3
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Школа абитуриента 18 ноября 2010 г. Решение планиметрических задач С4. по материалам ЕГЭ – 2010. Наумова Л.Г. МОУ СОШ №3. Теория и практика. Задачи. №1. №2. №3. №4. №5. №6. Теория. Теорема. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Решение планиметрических
задач С4
Наумова ЛГ
МОУ СОШ 3
Школа абитуриента18 ноября 2010 г
по материалам по материалам
ЕГЭ ndash 2010ЕГЭ ndash 2010
2
Задачи
Теория и практика
1 2
3 4
5 6
3
ТеорияТеорема Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника
Теорема Медиана прямоугольного треугольника проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы
Теорема (обратная) Если медиана треугольника равна половине его стороны к которой она проведена то треугольник прямоугольный
Теорема Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник равен
4
Теорияbull Теорема Если у двух треугольников
равны высоты то их площади относятся как основания
bull Теорема Каждая медиана делится точкой пересечения в отношении 21 считая от вершины
bull Теорема Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников
bull Теорема Отношение площадей треугольников имеющих общий угол равно отношению произведений сторон этого угла
5
bull Теорема Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
bull Теорема Середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма
bull Теорема При проведении биссектрисы угла параллелограмма образуется равнобедренный треугольник
bull Теорема Биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны а биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой
Теория
А
6
bull Теорема (замечательное свойство трапеции) Точка пересечения диагоналей любой трапеции точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
bull Теорема Трапеция разбивается диагоналями на два равновеликих треугольника (примыкающих к боковым сторонам) и два подобных треугольника (примыкающих к основаниям)
bull Теорема Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований а проекция диагонали ndash полуссумме оснований (средней линии)
Теория
В
А
С
D
В
А
С
D
O
H E
7
Пусть окружность вписана в треугольник ABC Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности со стороной AB равно
2
b c ax p a
А
В
С
Оx
x y
y
zz
Доказательство
М
N
К
Мы знаем что центр вписанной в треугольник окружности
лежит на пересечении биссектрис внутренних углов
треугольника значит AM=AK=x BM=BN=y CK=CN=z
Тогда периметр АВС равен откуда
2
Pp x y z
или ( ) x p y z p a
2 2
a b c b c ax p a a
2 2 2P x y z
Вспомогательная задача
8
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение
А
ВС
Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВСи точка D лежит вне отрезка ВС
3ч
D
8ч
А
ВС D
F
E
3ч
8ч
Рассмотрим 1 случай
1
E
F
9
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение
А
ВС
Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС
3ч
D
8ч
Рассмотрим 1 случай
Найдем3 36 8 96
11 11 11 11
BD BC DC BC
9
2 2
AD DC AC AD DCDE
15
2 2
AD BD AB AD BDDF
Значит6 63
2 11
DC BDEF DE DF
Из ADC
Из ADВ
1
E
F
10
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС
5 968
8 596 36
12 5 5
BC DC DC
BD DC BC
9
2 2
AD DC AC AD DCDE
15
2 2
AD BD AB AD BDDF
Значит6
92
DC BDEF DE DF
Из ADC
Из ADВ
А
ВС D
F
E
3ч
8ч Ответ 9 или63
11
1
Рассмотрим 2 случай
11
Точка H ndash основание высоты треугольника со сторонами 10 12 14 опущенной на сторону равную 12 Через точку H проведена прямая отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону равную 10 в точке M Найдите HM
РешениеПусть АВ = 10 ВС = 12 АС = 14
По условию АВСНВМ и имеют общий угол В значит возможны два случая
1 случай ВМН = ВАС
А
ВС Н
1014
12
М
2 случай ВМН = АСВ
2 1
12 6
BHk
BC
2 1
10 5
BHk
AB
2 2 2 100 144 196 1cos
2 2 10 12 5
AB BC ACB
AB BC
АВН ndash прямоугольный BН = АВcosB = 2
значит 1 1 7
14 6 6 3
HM AC
значит 1 1 14
14 5 5 5
HM AC
Ответ 7 14
или 3 5
2
12
1) нижнее основание вдвое больше верхнего BC = a АD = 3a
2) верхнее основание вдвое больше нижнего AD = a BC = 3a
Площадь трапеции ABCD равна 240 Диагонали пересекаются в точке O отрезки соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N Найдите площадь четырехугольника OMPN если одно из оснований трапеции втрое больше другого
А P D
M N
O
В С
Решение
3 42 240 120
2 2 2ABCD
BC AD a aS h h ah ah ah
Возможно два вида трапеции
Найдем площадь ОMPN
В обоих случаях
Рассмотрим первый случай
3
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
13
По условию BC = a АD = 3a аh = 120
1) BOCAOD 1
3 3
BC ak
AD a
по трем угламh
1 3 3 93 120 135
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 3
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 35 высоты трапеции
1 3 1 3 3 9120 54
2 5 2 2 5 20AMP PND
aS S AD h h
2 135 2 54 27MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
2
3 2 3
BC ak
AP a
а
3а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
14
По условию BC = 3a АD = a аh = 120
1) BOCAOD 3
3BC a
kAD a
по трем угламh
1 1 1 1120 15
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 1
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 17 высоты трапеции
1 1 1 1 1 30120
2 7 2 2 7 28 7AMP PND
aS S AD h h
302 15 2 5
7MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
36
2
BC ak
AP a
А P D
M N
O
В С
Ответ 27 или 5
3а
а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
15
DA
B C
DA
B C
4
В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
М N
O
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Возможны два случая1) точка О ndash лежит внутри параллелограмма
Рассмотрим первый случай
2) точка О ndash лежит вне параллелограмма
12
16
DA
B C
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Рассмотрим первый случай
12
1) ABN ndash равнобедренный тк
ВNА=NAD- накрест лежащие
значит ВNА= ВAN и AB=BN=12
АN ndash биссектриса А
тогда 1 1
12 158 8
BM BN
Найдем MN=BN-BM=12-15=105
2) Аналогично DMC ndash равнобедренный MC=DC=12
Тогда NC= MC-MN=12-105=15
3) Значит ВС=ВМ+MN+NC=135
15 105 15
17
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение Рассмотрим второй случай
точка О ndash лежит вне параллелограмма
1)ABМndash равнобедренный тк
Тогда АВ=ВМ=121
8 12 968
BM BN BN
2) Аналогично DNCndash равнобедренный
3) Значит ВС=ВN+NC=96+12=108
DA
B CМ N
O
12
12 12
12
ВMА=MAD- накрест лежащие
значит ВMА= ВAM
АМ ndash биссектриса А
По условию значит1
7
BM
MN
Ответ 135 или 108
тогда NC=DC=12
18
Сторона ромба ABCD равна 4radic7 а косинус угла А равен 075Высота BH пересекает диагональ AC в точке М Найдите длину отрезка ВМ
В прямоугольном треугольнике ABH AH = AB middot cosα = 4radic7 middot 075 = 3radic7
BH2 = AB2 - AC2 = 112 - 63 = 49 BH = 7
Два прямоугольных треугольника ВМС и HMA подобны по двум углам Составим пропорцию BM HM =BC AH = 4 3Пусть BM = x тогда HM = 7 - xx (7 ndash x) = 4 3 3x = 28 - 4x x = 4Ответ 4
5
М
19
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
Решение 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А Треугольник АDF равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 3 Радиус вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
2
Задачи
Теория и практика
1 2
3 4
5 6
3
ТеорияТеорема Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника
Теорема Медиана прямоугольного треугольника проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы
Теорема (обратная) Если медиана треугольника равна половине его стороны к которой она проведена то треугольник прямоугольный
Теорема Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник равен
4
Теорияbull Теорема Если у двух треугольников
равны высоты то их площади относятся как основания
bull Теорема Каждая медиана делится точкой пересечения в отношении 21 считая от вершины
bull Теорема Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников
bull Теорема Отношение площадей треугольников имеющих общий угол равно отношению произведений сторон этого угла
5
bull Теорема Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
bull Теорема Середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма
bull Теорема При проведении биссектрисы угла параллелограмма образуется равнобедренный треугольник
bull Теорема Биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны а биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой
Теория
А
6
bull Теорема (замечательное свойство трапеции) Точка пересечения диагоналей любой трапеции точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
bull Теорема Трапеция разбивается диагоналями на два равновеликих треугольника (примыкающих к боковым сторонам) и два подобных треугольника (примыкающих к основаниям)
bull Теорема Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований а проекция диагонали ndash полуссумме оснований (средней линии)
Теория
В
А
С
D
В
А
С
D
O
H E
7
Пусть окружность вписана в треугольник ABC Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности со стороной AB равно
2
b c ax p a
А
В
С
Оx
x y
y
zz
Доказательство
М
N
К
Мы знаем что центр вписанной в треугольник окружности
лежит на пересечении биссектрис внутренних углов
треугольника значит AM=AK=x BM=BN=y CK=CN=z
Тогда периметр АВС равен откуда
2
Pp x y z
или ( ) x p y z p a
2 2
a b c b c ax p a a
2 2 2P x y z
Вспомогательная задача
8
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение
А
ВС
Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВСи точка D лежит вне отрезка ВС
3ч
D
8ч
А
ВС D
F
E
3ч
8ч
Рассмотрим 1 случай
1
E
F
9
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение
А
ВС
Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС
3ч
D
8ч
Рассмотрим 1 случай
Найдем3 36 8 96
11 11 11 11
BD BC DC BC
9
2 2
AD DC AC AD DCDE
15
2 2
AD BD AB AD BDDF
Значит6 63
2 11
DC BDEF DE DF
Из ADC
Из ADВ
1
E
F
10
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС
5 968
8 596 36
12 5 5
BC DC DC
BD DC BC
9
2 2
AD DC AC AD DCDE
15
2 2
AD BD AB AD BDDF
Значит6
92
DC BDEF DE DF
Из ADC
Из ADВ
А
ВС D
F
E
3ч
8ч Ответ 9 или63
11
1
Рассмотрим 2 случай
11
Точка H ndash основание высоты треугольника со сторонами 10 12 14 опущенной на сторону равную 12 Через точку H проведена прямая отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону равную 10 в точке M Найдите HM
РешениеПусть АВ = 10 ВС = 12 АС = 14
По условию АВСНВМ и имеют общий угол В значит возможны два случая
1 случай ВМН = ВАС
А
ВС Н
1014
12
М
2 случай ВМН = АСВ
2 1
12 6
BHk
BC
2 1
10 5
BHk
AB
2 2 2 100 144 196 1cos
2 2 10 12 5
AB BC ACB
AB BC
АВН ndash прямоугольный BН = АВcosB = 2
значит 1 1 7
14 6 6 3
HM AC
значит 1 1 14
14 5 5 5
HM AC
Ответ 7 14
или 3 5
2
12
1) нижнее основание вдвое больше верхнего BC = a АD = 3a
2) верхнее основание вдвое больше нижнего AD = a BC = 3a
Площадь трапеции ABCD равна 240 Диагонали пересекаются в точке O отрезки соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N Найдите площадь четырехугольника OMPN если одно из оснований трапеции втрое больше другого
А P D
M N
O
В С
Решение
3 42 240 120
2 2 2ABCD
BC AD a aS h h ah ah ah
Возможно два вида трапеции
Найдем площадь ОMPN
В обоих случаях
Рассмотрим первый случай
3
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
13
По условию BC = a АD = 3a аh = 120
1) BOCAOD 1
3 3
BC ak
AD a
по трем угламh
1 3 3 93 120 135
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 3
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 35 высоты трапеции
1 3 1 3 3 9120 54
2 5 2 2 5 20AMP PND
aS S AD h h
2 135 2 54 27MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
2
3 2 3
BC ak
AP a
а
3а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
14
По условию BC = 3a АD = a аh = 120
1) BOCAOD 3
3BC a
kAD a
по трем угламh
1 1 1 1120 15
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 1
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 17 высоты трапеции
1 1 1 1 1 30120
2 7 2 2 7 28 7AMP PND
aS S AD h h
302 15 2 5
7MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
36
2
BC ak
AP a
А P D
M N
O
В С
Ответ 27 или 5
3а
а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
15
DA
B C
DA
B C
4
В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
М N
O
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Возможны два случая1) точка О ndash лежит внутри параллелограмма
Рассмотрим первый случай
2) точка О ndash лежит вне параллелограмма
12
16
DA
B C
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Рассмотрим первый случай
12
1) ABN ndash равнобедренный тк
ВNА=NAD- накрест лежащие
значит ВNА= ВAN и AB=BN=12
АN ndash биссектриса А
тогда 1 1
12 158 8
BM BN
Найдем MN=BN-BM=12-15=105
2) Аналогично DMC ndash равнобедренный MC=DC=12
Тогда NC= MC-MN=12-105=15
3) Значит ВС=ВМ+MN+NC=135
15 105 15
17
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение Рассмотрим второй случай
точка О ndash лежит вне параллелограмма
1)ABМndash равнобедренный тк
Тогда АВ=ВМ=121
8 12 968
BM BN BN
2) Аналогично DNCndash равнобедренный
3) Значит ВС=ВN+NC=96+12=108
DA
B CМ N
O
12
12 12
12
ВMА=MAD- накрест лежащие
значит ВMА= ВAM
АМ ndash биссектриса А
По условию значит1
7
BM
MN
Ответ 135 или 108
тогда NC=DC=12
18
Сторона ромба ABCD равна 4radic7 а косинус угла А равен 075Высота BH пересекает диагональ AC в точке М Найдите длину отрезка ВМ
В прямоугольном треугольнике ABH AH = AB middot cosα = 4radic7 middot 075 = 3radic7
BH2 = AB2 - AC2 = 112 - 63 = 49 BH = 7
Два прямоугольных треугольника ВМС и HMA подобны по двум углам Составим пропорцию BM HM =BC AH = 4 3Пусть BM = x тогда HM = 7 - xx (7 ndash x) = 4 3 3x = 28 - 4x x = 4Ответ 4
5
М
19
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
Решение 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А Треугольник АDF равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 3 Радиус вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
3
ТеорияТеорема Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника
Теорема Медиана прямоугольного треугольника проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы
Теорема (обратная) Если медиана треугольника равна половине его стороны к которой она проведена то треугольник прямоугольный
Теорема Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник равен
4
Теорияbull Теорема Если у двух треугольников
равны высоты то их площади относятся как основания
bull Теорема Каждая медиана делится точкой пересечения в отношении 21 считая от вершины
bull Теорема Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников
bull Теорема Отношение площадей треугольников имеющих общий угол равно отношению произведений сторон этого угла
5
bull Теорема Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
bull Теорема Середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма
bull Теорема При проведении биссектрисы угла параллелограмма образуется равнобедренный треугольник
bull Теорема Биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны а биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой
Теория
А
6
bull Теорема (замечательное свойство трапеции) Точка пересечения диагоналей любой трапеции точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
bull Теорема Трапеция разбивается диагоналями на два равновеликих треугольника (примыкающих к боковым сторонам) и два подобных треугольника (примыкающих к основаниям)
bull Теорема Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований а проекция диагонали ndash полуссумме оснований (средней линии)
Теория
В
А
С
D
В
А
С
D
O
H E
7
Пусть окружность вписана в треугольник ABC Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности со стороной AB равно
2
b c ax p a
А
В
С
Оx
x y
y
zz
Доказательство
М
N
К
Мы знаем что центр вписанной в треугольник окружности
лежит на пересечении биссектрис внутренних углов
треугольника значит AM=AK=x BM=BN=y CK=CN=z
Тогда периметр АВС равен откуда
2
Pp x y z
или ( ) x p y z p a
2 2
a b c b c ax p a a
2 2 2P x y z
Вспомогательная задача
8
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение
А
ВС
Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВСи точка D лежит вне отрезка ВС
3ч
D
8ч
А
ВС D
F
E
3ч
8ч
Рассмотрим 1 случай
1
E
F
9
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение
А
ВС
Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС
3ч
D
8ч
Рассмотрим 1 случай
Найдем3 36 8 96
11 11 11 11
BD BC DC BC
9
2 2
AD DC AC AD DCDE
15
2 2
AD BD AB AD BDDF
Значит6 63
2 11
DC BDEF DE DF
Из ADC
Из ADВ
1
E
F
10
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС
5 968
8 596 36
12 5 5
BC DC DC
BD DC BC
9
2 2
AD DC AC AD DCDE
15
2 2
AD BD AB AD BDDF
Значит6
92
DC BDEF DE DF
Из ADC
Из ADВ
А
ВС D
F
E
3ч
8ч Ответ 9 или63
11
1
Рассмотрим 2 случай
11
Точка H ndash основание высоты треугольника со сторонами 10 12 14 опущенной на сторону равную 12 Через точку H проведена прямая отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону равную 10 в точке M Найдите HM
РешениеПусть АВ = 10 ВС = 12 АС = 14
По условию АВСНВМ и имеют общий угол В значит возможны два случая
1 случай ВМН = ВАС
А
ВС Н
1014
12
М
2 случай ВМН = АСВ
2 1
12 6
BHk
BC
2 1
10 5
BHk
AB
2 2 2 100 144 196 1cos
2 2 10 12 5
AB BC ACB
AB BC
АВН ndash прямоугольный BН = АВcosB = 2
значит 1 1 7
14 6 6 3
HM AC
значит 1 1 14
14 5 5 5
HM AC
Ответ 7 14
или 3 5
2
12
1) нижнее основание вдвое больше верхнего BC = a АD = 3a
2) верхнее основание вдвое больше нижнего AD = a BC = 3a
Площадь трапеции ABCD равна 240 Диагонали пересекаются в точке O отрезки соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N Найдите площадь четырехугольника OMPN если одно из оснований трапеции втрое больше другого
А P D
M N
O
В С
Решение
3 42 240 120
2 2 2ABCD
BC AD a aS h h ah ah ah
Возможно два вида трапеции
Найдем площадь ОMPN
В обоих случаях
Рассмотрим первый случай
3
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
13
По условию BC = a АD = 3a аh = 120
1) BOCAOD 1
3 3
BC ak
AD a
по трем угламh
1 3 3 93 120 135
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 3
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 35 высоты трапеции
1 3 1 3 3 9120 54
2 5 2 2 5 20AMP PND
aS S AD h h
2 135 2 54 27MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
2
3 2 3
BC ak
AP a
а
3а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
14
По условию BC = 3a АD = a аh = 120
1) BOCAOD 3
3BC a
kAD a
по трем угламh
1 1 1 1120 15
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 1
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 17 высоты трапеции
1 1 1 1 1 30120
2 7 2 2 7 28 7AMP PND
aS S AD h h
302 15 2 5
7MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
36
2
BC ak
AP a
А P D
M N
O
В С
Ответ 27 или 5
3а
а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
15
DA
B C
DA
B C
4
В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
М N
O
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Возможны два случая1) точка О ndash лежит внутри параллелограмма
Рассмотрим первый случай
2) точка О ndash лежит вне параллелограмма
12
16
DA
B C
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Рассмотрим первый случай
12
1) ABN ndash равнобедренный тк
ВNА=NAD- накрест лежащие
значит ВNА= ВAN и AB=BN=12
АN ndash биссектриса А
тогда 1 1
12 158 8
BM BN
Найдем MN=BN-BM=12-15=105
2) Аналогично DMC ndash равнобедренный MC=DC=12
Тогда NC= MC-MN=12-105=15
3) Значит ВС=ВМ+MN+NC=135
15 105 15
17
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение Рассмотрим второй случай
точка О ndash лежит вне параллелограмма
1)ABМndash равнобедренный тк
Тогда АВ=ВМ=121
8 12 968
BM BN BN
2) Аналогично DNCndash равнобедренный
3) Значит ВС=ВN+NC=96+12=108
DA
B CМ N
O
12
12 12
12
ВMА=MAD- накрест лежащие
значит ВMА= ВAM
АМ ndash биссектриса А
По условию значит1
7
BM
MN
Ответ 135 или 108
тогда NC=DC=12
18
Сторона ромба ABCD равна 4radic7 а косинус угла А равен 075Высота BH пересекает диагональ AC в точке М Найдите длину отрезка ВМ
В прямоугольном треугольнике ABH AH = AB middot cosα = 4radic7 middot 075 = 3radic7
BH2 = AB2 - AC2 = 112 - 63 = 49 BH = 7
Два прямоугольных треугольника ВМС и HMA подобны по двум углам Составим пропорцию BM HM =BC AH = 4 3Пусть BM = x тогда HM = 7 - xx (7 ndash x) = 4 3 3x = 28 - 4x x = 4Ответ 4
5
М
19
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
Решение 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А Треугольник АDF равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 3 Радиус вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
4
Теорияbull Теорема Если у двух треугольников
равны высоты то их площади относятся как основания
bull Теорема Каждая медиана делится точкой пересечения в отношении 21 считая от вершины
bull Теорема Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников
bull Теорема Отношение площадей треугольников имеющих общий угол равно отношению произведений сторон этого угла
5
bull Теорема Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
bull Теорема Середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма
bull Теорема При проведении биссектрисы угла параллелограмма образуется равнобедренный треугольник
bull Теорема Биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны а биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой
Теория
А
6
bull Теорема (замечательное свойство трапеции) Точка пересечения диагоналей любой трапеции точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
bull Теорема Трапеция разбивается диагоналями на два равновеликих треугольника (примыкающих к боковым сторонам) и два подобных треугольника (примыкающих к основаниям)
bull Теорема Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований а проекция диагонали ndash полуссумме оснований (средней линии)
Теория
В
А
С
D
В
А
С
D
O
H E
7
Пусть окружность вписана в треугольник ABC Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности со стороной AB равно
2
b c ax p a
А
В
С
Оx
x y
y
zz
Доказательство
М
N
К
Мы знаем что центр вписанной в треугольник окружности
лежит на пересечении биссектрис внутренних углов
треугольника значит AM=AK=x BM=BN=y CK=CN=z
Тогда периметр АВС равен откуда
2
Pp x y z
или ( ) x p y z p a
2 2
a b c b c ax p a a
2 2 2P x y z
Вспомогательная задача
8
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение
А
ВС
Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВСи точка D лежит вне отрезка ВС
3ч
D
8ч
А
ВС D
F
E
3ч
8ч
Рассмотрим 1 случай
1
E
F
9
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение
А
ВС
Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС
3ч
D
8ч
Рассмотрим 1 случай
Найдем3 36 8 96
11 11 11 11
BD BC DC BC
9
2 2
AD DC AC AD DCDE
15
2 2
AD BD AB AD BDDF
Значит6 63
2 11
DC BDEF DE DF
Из ADC
Из ADВ
1
E
F
10
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС
5 968
8 596 36
12 5 5
BC DC DC
BD DC BC
9
2 2
AD DC AC AD DCDE
15
2 2
AD BD AB AD BDDF
Значит6
92
DC BDEF DE DF
Из ADC
Из ADВ
А
ВС D
F
E
3ч
8ч Ответ 9 или63
11
1
Рассмотрим 2 случай
11
Точка H ndash основание высоты треугольника со сторонами 10 12 14 опущенной на сторону равную 12 Через точку H проведена прямая отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону равную 10 в точке M Найдите HM
РешениеПусть АВ = 10 ВС = 12 АС = 14
По условию АВСНВМ и имеют общий угол В значит возможны два случая
1 случай ВМН = ВАС
А
ВС Н
1014
12
М
2 случай ВМН = АСВ
2 1
12 6
BHk
BC
2 1
10 5
BHk
AB
2 2 2 100 144 196 1cos
2 2 10 12 5
AB BC ACB
AB BC
АВН ndash прямоугольный BН = АВcosB = 2
значит 1 1 7
14 6 6 3
HM AC
значит 1 1 14
14 5 5 5
HM AC
Ответ 7 14
или 3 5
2
12
1) нижнее основание вдвое больше верхнего BC = a АD = 3a
2) верхнее основание вдвое больше нижнего AD = a BC = 3a
Площадь трапеции ABCD равна 240 Диагонали пересекаются в точке O отрезки соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N Найдите площадь четырехугольника OMPN если одно из оснований трапеции втрое больше другого
А P D
M N
O
В С
Решение
3 42 240 120
2 2 2ABCD
BC AD a aS h h ah ah ah
Возможно два вида трапеции
Найдем площадь ОMPN
В обоих случаях
Рассмотрим первый случай
3
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
13
По условию BC = a АD = 3a аh = 120
1) BOCAOD 1
3 3
BC ak
AD a
по трем угламh
1 3 3 93 120 135
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 3
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 35 высоты трапеции
1 3 1 3 3 9120 54
2 5 2 2 5 20AMP PND
aS S AD h h
2 135 2 54 27MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
2
3 2 3
BC ak
AP a
а
3а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
14
По условию BC = 3a АD = a аh = 120
1) BOCAOD 3
3BC a
kAD a
по трем угламh
1 1 1 1120 15
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 1
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 17 высоты трапеции
1 1 1 1 1 30120
2 7 2 2 7 28 7AMP PND
aS S AD h h
302 15 2 5
7MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
36
2
BC ak
AP a
А P D
M N
O
В С
Ответ 27 или 5
3а
а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
15
DA
B C
DA
B C
4
В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
М N
O
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Возможны два случая1) точка О ndash лежит внутри параллелограмма
Рассмотрим первый случай
2) точка О ndash лежит вне параллелограмма
12
16
DA
B C
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Рассмотрим первый случай
12
1) ABN ndash равнобедренный тк
ВNА=NAD- накрест лежащие
значит ВNА= ВAN и AB=BN=12
АN ndash биссектриса А
тогда 1 1
12 158 8
BM BN
Найдем MN=BN-BM=12-15=105
2) Аналогично DMC ndash равнобедренный MC=DC=12
Тогда NC= MC-MN=12-105=15
3) Значит ВС=ВМ+MN+NC=135
15 105 15
17
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение Рассмотрим второй случай
точка О ndash лежит вне параллелограмма
1)ABМndash равнобедренный тк
Тогда АВ=ВМ=121
8 12 968
BM BN BN
2) Аналогично DNCndash равнобедренный
3) Значит ВС=ВN+NC=96+12=108
DA
B CМ N
O
12
12 12
12
ВMА=MAD- накрест лежащие
значит ВMА= ВAM
АМ ndash биссектриса А
По условию значит1
7
BM
MN
Ответ 135 или 108
тогда NC=DC=12
18
Сторона ромба ABCD равна 4radic7 а косинус угла А равен 075Высота BH пересекает диагональ AC в точке М Найдите длину отрезка ВМ
В прямоугольном треугольнике ABH AH = AB middot cosα = 4radic7 middot 075 = 3radic7
BH2 = AB2 - AC2 = 112 - 63 = 49 BH = 7
Два прямоугольных треугольника ВМС и HMA подобны по двум углам Составим пропорцию BM HM =BC AH = 4 3Пусть BM = x тогда HM = 7 - xx (7 ndash x) = 4 3 3x = 28 - 4x x = 4Ответ 4
5
М
19
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
Решение 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А Треугольник АDF равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 3 Радиус вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
5
bull Теорема Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
bull Теорема Середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма
bull Теорема При проведении биссектрисы угла параллелограмма образуется равнобедренный треугольник
bull Теорема Биссектрисы смежных углов параллелограмма перпендикулярны а биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой
Теория
А
6
bull Теорема (замечательное свойство трапеции) Точка пересечения диагоналей любой трапеции точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
bull Теорема Трапеция разбивается диагоналями на два равновеликих треугольника (примыкающих к боковым сторонам) и два подобных треугольника (примыкающих к основаниям)
bull Теорема Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований а проекция диагонали ndash полуссумме оснований (средней линии)
Теория
В
А
С
D
В
А
С
D
O
H E
7
Пусть окружность вписана в треугольник ABC Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности со стороной AB равно
2
b c ax p a
А
В
С
Оx
x y
y
zz
Доказательство
М
N
К
Мы знаем что центр вписанной в треугольник окружности
лежит на пересечении биссектрис внутренних углов
треугольника значит AM=AK=x BM=BN=y CK=CN=z
Тогда периметр АВС равен откуда
2
Pp x y z
или ( ) x p y z p a
2 2
a b c b c ax p a a
2 2 2P x y z
Вспомогательная задача
8
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение
А
ВС
Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВСи точка D лежит вне отрезка ВС
3ч
D
8ч
А
ВС D
F
E
3ч
8ч
Рассмотрим 1 случай
1
E
F
9
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение
А
ВС
Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС
3ч
D
8ч
Рассмотрим 1 случай
Найдем3 36 8 96
11 11 11 11
BD BC DC BC
9
2 2
AD DC AC AD DCDE
15
2 2
AD BD AB AD BDDF
Значит6 63
2 11
DC BDEF DE DF
Из ADC
Из ADВ
1
E
F
10
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС
5 968
8 596 36
12 5 5
BC DC DC
BD DC BC
9
2 2
AD DC AC AD DCDE
15
2 2
AD BD AB AD BDDF
Значит6
92
DC BDEF DE DF
Из ADC
Из ADВ
А
ВС D
F
E
3ч
8ч Ответ 9 или63
11
1
Рассмотрим 2 случай
11
Точка H ndash основание высоты треугольника со сторонами 10 12 14 опущенной на сторону равную 12 Через точку H проведена прямая отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону равную 10 в точке M Найдите HM
РешениеПусть АВ = 10 ВС = 12 АС = 14
По условию АВСНВМ и имеют общий угол В значит возможны два случая
1 случай ВМН = ВАС
А
ВС Н
1014
12
М
2 случай ВМН = АСВ
2 1
12 6
BHk
BC
2 1
10 5
BHk
AB
2 2 2 100 144 196 1cos
2 2 10 12 5
AB BC ACB
AB BC
АВН ndash прямоугольный BН = АВcosB = 2
значит 1 1 7
14 6 6 3
HM AC
значит 1 1 14
14 5 5 5
HM AC
Ответ 7 14
или 3 5
2
12
1) нижнее основание вдвое больше верхнего BC = a АD = 3a
2) верхнее основание вдвое больше нижнего AD = a BC = 3a
Площадь трапеции ABCD равна 240 Диагонали пересекаются в точке O отрезки соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N Найдите площадь четырехугольника OMPN если одно из оснований трапеции втрое больше другого
А P D
M N
O
В С
Решение
3 42 240 120
2 2 2ABCD
BC AD a aS h h ah ah ah
Возможно два вида трапеции
Найдем площадь ОMPN
В обоих случаях
Рассмотрим первый случай
3
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
13
По условию BC = a АD = 3a аh = 120
1) BOCAOD 1
3 3
BC ak
AD a
по трем угламh
1 3 3 93 120 135
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 3
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 35 высоты трапеции
1 3 1 3 3 9120 54
2 5 2 2 5 20AMP PND
aS S AD h h
2 135 2 54 27MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
2
3 2 3
BC ak
AP a
а
3а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
14
По условию BC = 3a АD = a аh = 120
1) BOCAOD 3
3BC a
kAD a
по трем угламh
1 1 1 1120 15
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 1
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 17 высоты трапеции
1 1 1 1 1 30120
2 7 2 2 7 28 7AMP PND
aS S AD h h
302 15 2 5
7MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
36
2
BC ak
AP a
А P D
M N
O
В С
Ответ 27 или 5
3а
а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
15
DA
B C
DA
B C
4
В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
М N
O
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Возможны два случая1) точка О ndash лежит внутри параллелограмма
Рассмотрим первый случай
2) точка О ndash лежит вне параллелограмма
12
16
DA
B C
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Рассмотрим первый случай
12
1) ABN ndash равнобедренный тк
ВNА=NAD- накрест лежащие
значит ВNА= ВAN и AB=BN=12
АN ndash биссектриса А
тогда 1 1
12 158 8
BM BN
Найдем MN=BN-BM=12-15=105
2) Аналогично DMC ndash равнобедренный MC=DC=12
Тогда NC= MC-MN=12-105=15
3) Значит ВС=ВМ+MN+NC=135
15 105 15
17
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение Рассмотрим второй случай
точка О ndash лежит вне параллелограмма
1)ABМndash равнобедренный тк
Тогда АВ=ВМ=121
8 12 968
BM BN BN
2) Аналогично DNCndash равнобедренный
3) Значит ВС=ВN+NC=96+12=108
DA
B CМ N
O
12
12 12
12
ВMА=MAD- накрест лежащие
значит ВMА= ВAM
АМ ndash биссектриса А
По условию значит1
7
BM
MN
Ответ 135 или 108
тогда NC=DC=12
18
Сторона ромба ABCD равна 4radic7 а косинус угла А равен 075Высота BH пересекает диагональ AC в точке М Найдите длину отрезка ВМ
В прямоугольном треугольнике ABH AH = AB middot cosα = 4radic7 middot 075 = 3radic7
BH2 = AB2 - AC2 = 112 - 63 = 49 BH = 7
Два прямоугольных треугольника ВМС и HMA подобны по двум углам Составим пропорцию BM HM =BC AH = 4 3Пусть BM = x тогда HM = 7 - xx (7 ndash x) = 4 3 3x = 28 - 4x x = 4Ответ 4
5
М
19
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
Решение 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А Треугольник АDF равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 3 Радиус вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
6
bull Теорема (замечательное свойство трапеции) Точка пересечения диагоналей любой трапеции точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
bull Теорема Трапеция разбивается диагоналями на два равновеликих треугольника (примыкающих к боковым сторонам) и два подобных треугольника (примыкающих к основаниям)
bull Теорема Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований а проекция диагонали ndash полуссумме оснований (средней линии)
Теория
В
А
С
D
В
А
С
D
O
H E
7
Пусть окружность вписана в треугольник ABC Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности со стороной AB равно
2
b c ax p a
А
В
С
Оx
x y
y
zz
Доказательство
М
N
К
Мы знаем что центр вписанной в треугольник окружности
лежит на пересечении биссектрис внутренних углов
треугольника значит AM=AK=x BM=BN=y CK=CN=z
Тогда периметр АВС равен откуда
2
Pp x y z
или ( ) x p y z p a
2 2
a b c b c ax p a a
2 2 2P x y z
Вспомогательная задача
8
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение
А
ВС
Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВСи точка D лежит вне отрезка ВС
3ч
D
8ч
А
ВС D
F
E
3ч
8ч
Рассмотрим 1 случай
1
E
F
9
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение
А
ВС
Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС
3ч
D
8ч
Рассмотрим 1 случай
Найдем3 36 8 96
11 11 11 11
BD BC DC BC
9
2 2
AD DC AC AD DCDE
15
2 2
AD BD AB AD BDDF
Значит6 63
2 11
DC BDEF DE DF
Из ADC
Из ADВ
1
E
F
10
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС
5 968
8 596 36
12 5 5
BC DC DC
BD DC BC
9
2 2
AD DC AC AD DCDE
15
2 2
AD BD AB AD BDDF
Значит6
92
DC BDEF DE DF
Из ADC
Из ADВ
А
ВС D
F
E
3ч
8ч Ответ 9 или63
11
1
Рассмотрим 2 случай
11
Точка H ndash основание высоты треугольника со сторонами 10 12 14 опущенной на сторону равную 12 Через точку H проведена прямая отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону равную 10 в точке M Найдите HM
РешениеПусть АВ = 10 ВС = 12 АС = 14
По условию АВСНВМ и имеют общий угол В значит возможны два случая
1 случай ВМН = ВАС
А
ВС Н
1014
12
М
2 случай ВМН = АСВ
2 1
12 6
BHk
BC
2 1
10 5
BHk
AB
2 2 2 100 144 196 1cos
2 2 10 12 5
AB BC ACB
AB BC
АВН ndash прямоугольный BН = АВcosB = 2
значит 1 1 7
14 6 6 3
HM AC
значит 1 1 14
14 5 5 5
HM AC
Ответ 7 14
или 3 5
2
12
1) нижнее основание вдвое больше верхнего BC = a АD = 3a
2) верхнее основание вдвое больше нижнего AD = a BC = 3a
Площадь трапеции ABCD равна 240 Диагонали пересекаются в точке O отрезки соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N Найдите площадь четырехугольника OMPN если одно из оснований трапеции втрое больше другого
А P D
M N
O
В С
Решение
3 42 240 120
2 2 2ABCD
BC AD a aS h h ah ah ah
Возможно два вида трапеции
Найдем площадь ОMPN
В обоих случаях
Рассмотрим первый случай
3
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
13
По условию BC = a АD = 3a аh = 120
1) BOCAOD 1
3 3
BC ak
AD a
по трем угламh
1 3 3 93 120 135
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 3
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 35 высоты трапеции
1 3 1 3 3 9120 54
2 5 2 2 5 20AMP PND
aS S AD h h
2 135 2 54 27MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
2
3 2 3
BC ak
AP a
а
3а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
14
По условию BC = 3a АD = a аh = 120
1) BOCAOD 3
3BC a
kAD a
по трем угламh
1 1 1 1120 15
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 1
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 17 высоты трапеции
1 1 1 1 1 30120
2 7 2 2 7 28 7AMP PND
aS S AD h h
302 15 2 5
7MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
36
2
BC ak
AP a
А P D
M N
O
В С
Ответ 27 или 5
3а
а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
15
DA
B C
DA
B C
4
В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
М N
O
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Возможны два случая1) точка О ndash лежит внутри параллелограмма
Рассмотрим первый случай
2) точка О ndash лежит вне параллелограмма
12
16
DA
B C
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Рассмотрим первый случай
12
1) ABN ndash равнобедренный тк
ВNА=NAD- накрест лежащие
значит ВNА= ВAN и AB=BN=12
АN ndash биссектриса А
тогда 1 1
12 158 8
BM BN
Найдем MN=BN-BM=12-15=105
2) Аналогично DMC ndash равнобедренный MC=DC=12
Тогда NC= MC-MN=12-105=15
3) Значит ВС=ВМ+MN+NC=135
15 105 15
17
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение Рассмотрим второй случай
точка О ndash лежит вне параллелограмма
1)ABМndash равнобедренный тк
Тогда АВ=ВМ=121
8 12 968
BM BN BN
2) Аналогично DNCndash равнобедренный
3) Значит ВС=ВN+NC=96+12=108
DA
B CМ N
O
12
12 12
12
ВMА=MAD- накрест лежащие
значит ВMА= ВAM
АМ ndash биссектриса А
По условию значит1
7
BM
MN
Ответ 135 или 108
тогда NC=DC=12
18
Сторона ромба ABCD равна 4radic7 а косинус угла А равен 075Высота BH пересекает диагональ AC в точке М Найдите длину отрезка ВМ
В прямоугольном треугольнике ABH AH = AB middot cosα = 4radic7 middot 075 = 3radic7
BH2 = AB2 - AC2 = 112 - 63 = 49 BH = 7
Два прямоугольных треугольника ВМС и HMA подобны по двум углам Составим пропорцию BM HM =BC AH = 4 3Пусть BM = x тогда HM = 7 - xx (7 ndash x) = 4 3 3x = 28 - 4x x = 4Ответ 4
5
М
19
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
Решение 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А Треугольник АDF равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 3 Радиус вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
7
Пусть окружность вписана в треугольник ABC Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности со стороной AB равно
2
b c ax p a
А
В
С
Оx
x y
y
zz
Доказательство
М
N
К
Мы знаем что центр вписанной в треугольник окружности
лежит на пересечении биссектрис внутренних углов
треугольника значит AM=AK=x BM=BN=y CK=CN=z
Тогда периметр АВС равен откуда
2
Pp x y z
или ( ) x p y z p a
2 2
a b c b c ax p a a
2 2 2P x y z
Вспомогательная задача
8
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение
А
ВС
Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВСи точка D лежит вне отрезка ВС
3ч
D
8ч
А
ВС D
F
E
3ч
8ч
Рассмотрим 1 случай
1
E
F
9
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение
А
ВС
Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС
3ч
D
8ч
Рассмотрим 1 случай
Найдем3 36 8 96
11 11 11 11
BD BC DC BC
9
2 2
AD DC AC AD DCDE
15
2 2
AD BD AB AD BDDF
Значит6 63
2 11
DC BDEF DE DF
Из ADC
Из ADВ
1
E
F
10
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС
5 968
8 596 36
12 5 5
BC DC DC
BD DC BC
9
2 2
AD DC AC AD DCDE
15
2 2
AD BD AB AD BDDF
Значит6
92
DC BDEF DE DF
Из ADC
Из ADВ
А
ВС D
F
E
3ч
8ч Ответ 9 или63
11
1
Рассмотрим 2 случай
11
Точка H ndash основание высоты треугольника со сторонами 10 12 14 опущенной на сторону равную 12 Через точку H проведена прямая отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону равную 10 в точке M Найдите HM
РешениеПусть АВ = 10 ВС = 12 АС = 14
По условию АВСНВМ и имеют общий угол В значит возможны два случая
1 случай ВМН = ВАС
А
ВС Н
1014
12
М
2 случай ВМН = АСВ
2 1
12 6
BHk
BC
2 1
10 5
BHk
AB
2 2 2 100 144 196 1cos
2 2 10 12 5
AB BC ACB
AB BC
АВН ndash прямоугольный BН = АВcosB = 2
значит 1 1 7
14 6 6 3
HM AC
значит 1 1 14
14 5 5 5
HM AC
Ответ 7 14
или 3 5
2
12
1) нижнее основание вдвое больше верхнего BC = a АD = 3a
2) верхнее основание вдвое больше нижнего AD = a BC = 3a
Площадь трапеции ABCD равна 240 Диагонали пересекаются в точке O отрезки соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N Найдите площадь четырехугольника OMPN если одно из оснований трапеции втрое больше другого
А P D
M N
O
В С
Решение
3 42 240 120
2 2 2ABCD
BC AD a aS h h ah ah ah
Возможно два вида трапеции
Найдем площадь ОMPN
В обоих случаях
Рассмотрим первый случай
3
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
13
По условию BC = a АD = 3a аh = 120
1) BOCAOD 1
3 3
BC ak
AD a
по трем угламh
1 3 3 93 120 135
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 3
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 35 высоты трапеции
1 3 1 3 3 9120 54
2 5 2 2 5 20AMP PND
aS S AD h h
2 135 2 54 27MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
2
3 2 3
BC ak
AP a
а
3а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
14
По условию BC = 3a АD = a аh = 120
1) BOCAOD 3
3BC a
kAD a
по трем угламh
1 1 1 1120 15
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 1
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 17 высоты трапеции
1 1 1 1 1 30120
2 7 2 2 7 28 7AMP PND
aS S AD h h
302 15 2 5
7MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
36
2
BC ak
AP a
А P D
M N
O
В С
Ответ 27 или 5
3а
а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
15
DA
B C
DA
B C
4
В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
М N
O
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Возможны два случая1) точка О ndash лежит внутри параллелограмма
Рассмотрим первый случай
2) точка О ndash лежит вне параллелограмма
12
16
DA
B C
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Рассмотрим первый случай
12
1) ABN ndash равнобедренный тк
ВNА=NAD- накрест лежащие
значит ВNА= ВAN и AB=BN=12
АN ndash биссектриса А
тогда 1 1
12 158 8
BM BN
Найдем MN=BN-BM=12-15=105
2) Аналогично DMC ndash равнобедренный MC=DC=12
Тогда NC= MC-MN=12-105=15
3) Значит ВС=ВМ+MN+NC=135
15 105 15
17
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение Рассмотрим второй случай
точка О ndash лежит вне параллелограмма
1)ABМndash равнобедренный тк
Тогда АВ=ВМ=121
8 12 968
BM BN BN
2) Аналогично DNCndash равнобедренный
3) Значит ВС=ВN+NC=96+12=108
DA
B CМ N
O
12
12 12
12
ВMА=MAD- накрест лежащие
значит ВMА= ВAM
АМ ndash биссектриса А
По условию значит1
7
BM
MN
Ответ 135 или 108
тогда NC=DC=12
18
Сторона ромба ABCD равна 4radic7 а косинус угла А равен 075Высота BH пересекает диагональ AC в точке М Найдите длину отрезка ВМ
В прямоугольном треугольнике ABH AH = AB middot cosα = 4radic7 middot 075 = 3radic7
BH2 = AB2 - AC2 = 112 - 63 = 49 BH = 7
Два прямоугольных треугольника ВМС и HMA подобны по двум углам Составим пропорцию BM HM =BC AH = 4 3Пусть BM = x тогда HM = 7 - xx (7 ndash x) = 4 3 3x = 28 - 4x x = 4Ответ 4
5
М
19
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
Решение 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А Треугольник АDF равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 3 Радиус вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
8
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение
А
ВС
Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВСи точка D лежит вне отрезка ВС
3ч
D
8ч
А
ВС D
F
E
3ч
8ч
Рассмотрим 1 случай
1
E
F
9
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение
А
ВС
Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС
3ч
D
8ч
Рассмотрим 1 случай
Найдем3 36 8 96
11 11 11 11
BD BC DC BC
9
2 2
AD DC AC AD DCDE
15
2 2
AD BD AB AD BDDF
Значит6 63
2 11
DC BDEF DE DF
Из ADC
Из ADВ
1
E
F
10
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС
5 968
8 596 36
12 5 5
BC DC DC
BD DC BC
9
2 2
AD DC AC AD DCDE
15
2 2
AD BD AB AD BDDF
Значит6
92
DC BDEF DE DF
Из ADC
Из ADВ
А
ВС D
F
E
3ч
8ч Ответ 9 или63
11
1
Рассмотрим 2 случай
11
Точка H ndash основание высоты треугольника со сторонами 10 12 14 опущенной на сторону равную 12 Через точку H проведена прямая отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону равную 10 в точке M Найдите HM
РешениеПусть АВ = 10 ВС = 12 АС = 14
По условию АВСНВМ и имеют общий угол В значит возможны два случая
1 случай ВМН = ВАС
А
ВС Н
1014
12
М
2 случай ВМН = АСВ
2 1
12 6
BHk
BC
2 1
10 5
BHk
AB
2 2 2 100 144 196 1cos
2 2 10 12 5
AB BC ACB
AB BC
АВН ndash прямоугольный BН = АВcosB = 2
значит 1 1 7
14 6 6 3
HM AC
значит 1 1 14
14 5 5 5
HM AC
Ответ 7 14
или 3 5
2
12
1) нижнее основание вдвое больше верхнего BC = a АD = 3a
2) верхнее основание вдвое больше нижнего AD = a BC = 3a
Площадь трапеции ABCD равна 240 Диагонали пересекаются в точке O отрезки соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N Найдите площадь четырехугольника OMPN если одно из оснований трапеции втрое больше другого
А P D
M N
O
В С
Решение
3 42 240 120
2 2 2ABCD
BC AD a aS h h ah ah ah
Возможно два вида трапеции
Найдем площадь ОMPN
В обоих случаях
Рассмотрим первый случай
3
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
13
По условию BC = a АD = 3a аh = 120
1) BOCAOD 1
3 3
BC ak
AD a
по трем угламh
1 3 3 93 120 135
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 3
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 35 высоты трапеции
1 3 1 3 3 9120 54
2 5 2 2 5 20AMP PND
aS S AD h h
2 135 2 54 27MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
2
3 2 3
BC ak
AP a
а
3а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
14
По условию BC = 3a АD = a аh = 120
1) BOCAOD 3
3BC a
kAD a
по трем угламh
1 1 1 1120 15
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 1
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 17 высоты трапеции
1 1 1 1 1 30120
2 7 2 2 7 28 7AMP PND
aS S AD h h
302 15 2 5
7MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
36
2
BC ak
AP a
А P D
M N
O
В С
Ответ 27 или 5
3а
а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
15
DA
B C
DA
B C
4
В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
М N
O
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Возможны два случая1) точка О ndash лежит внутри параллелограмма
Рассмотрим первый случай
2) точка О ndash лежит вне параллелограмма
12
16
DA
B C
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Рассмотрим первый случай
12
1) ABN ndash равнобедренный тк
ВNА=NAD- накрест лежащие
значит ВNА= ВAN и AB=BN=12
АN ndash биссектриса А
тогда 1 1
12 158 8
BM BN
Найдем MN=BN-BM=12-15=105
2) Аналогично DMC ndash равнобедренный MC=DC=12
Тогда NC= MC-MN=12-105=15
3) Значит ВС=ВМ+MN+NC=135
15 105 15
17
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение Рассмотрим второй случай
точка О ndash лежит вне параллелограмма
1)ABМndash равнобедренный тк
Тогда АВ=ВМ=121
8 12 968
BM BN BN
2) Аналогично DNCndash равнобедренный
3) Значит ВС=ВN+NC=96+12=108
DA
B CМ N
O
12
12 12
12
ВMА=MAD- накрест лежащие
значит ВMА= ВAM
АМ ndash биссектриса А
По условию значит1
7
BM
MN
Ответ 135 или 108
тогда NC=DC=12
18
Сторона ромба ABCD равна 4radic7 а косинус угла А равен 075Высота BH пересекает диагональ AC в точке М Найдите длину отрезка ВМ
В прямоугольном треугольнике ABH AH = AB middot cosα = 4radic7 middot 075 = 3radic7
BH2 = AB2 - AC2 = 112 - 63 = 49 BH = 7
Два прямоугольных треугольника ВМС и HMA подобны по двум углам Составим пропорцию BM HM =BC AH = 4 3Пусть BM = x тогда HM = 7 - xx (7 ndash x) = 4 3 3x = 28 - 4x x = 4Ответ 4
5
М
19
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
Решение 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А Треугольник АDF равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 3 Радиус вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
9
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение
А
ВС
Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС
3ч
D
8ч
Рассмотрим 1 случай
Найдем3 36 8 96
11 11 11 11
BD BC DC BC
9
2 2
AD DC AC AD DCDE
15
2 2
AD BD AB AD BDDF
Значит6 63
2 11
DC BDEF DE DF
Из ADC
Из ADВ
1
E
F
10
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС
5 968
8 596 36
12 5 5
BC DC DC
BD DC BC
9
2 2
AD DC AC AD DCDE
15
2 2
AD BD AB AD BDDF
Значит6
92
DC BDEF DE DF
Из ADC
Из ADВ
А
ВС D
F
E
3ч
8ч Ответ 9 или63
11
1
Рассмотрим 2 случай
11
Точка H ndash основание высоты треугольника со сторонами 10 12 14 опущенной на сторону равную 12 Через точку H проведена прямая отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону равную 10 в точке M Найдите HM
РешениеПусть АВ = 10 ВС = 12 АС = 14
По условию АВСНВМ и имеют общий угол В значит возможны два случая
1 случай ВМН = ВАС
А
ВС Н
1014
12
М
2 случай ВМН = АСВ
2 1
12 6
BHk
BC
2 1
10 5
BHk
AB
2 2 2 100 144 196 1cos
2 2 10 12 5
AB BC ACB
AB BC
АВН ndash прямоугольный BН = АВcosB = 2
значит 1 1 7
14 6 6 3
HM AC
значит 1 1 14
14 5 5 5
HM AC
Ответ 7 14
или 3 5
2
12
1) нижнее основание вдвое больше верхнего BC = a АD = 3a
2) верхнее основание вдвое больше нижнего AD = a BC = 3a
Площадь трапеции ABCD равна 240 Диагонали пересекаются в точке O отрезки соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N Найдите площадь четырехугольника OMPN если одно из оснований трапеции втрое больше другого
А P D
M N
O
В С
Решение
3 42 240 120
2 2 2ABCD
BC AD a aS h h ah ah ah
Возможно два вида трапеции
Найдем площадь ОMPN
В обоих случаях
Рассмотрим первый случай
3
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
13
По условию BC = a АD = 3a аh = 120
1) BOCAOD 1
3 3
BC ak
AD a
по трем угламh
1 3 3 93 120 135
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 3
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 35 высоты трапеции
1 3 1 3 3 9120 54
2 5 2 2 5 20AMP PND
aS S AD h h
2 135 2 54 27MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
2
3 2 3
BC ak
AP a
а
3а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
14
По условию BC = 3a АD = a аh = 120
1) BOCAOD 3
3BC a
kAD a
по трем угламh
1 1 1 1120 15
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 1
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 17 высоты трапеции
1 1 1 1 1 30120
2 7 2 2 7 28 7AMP PND
aS S AD h h
302 15 2 5
7MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
36
2
BC ak
AP a
А P D
M N
O
В С
Ответ 27 или 5
3а
а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
15
DA
B C
DA
B C
4
В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
М N
O
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Возможны два случая1) точка О ndash лежит внутри параллелограмма
Рассмотрим первый случай
2) точка О ndash лежит вне параллелограмма
12
16
DA
B C
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Рассмотрим первый случай
12
1) ABN ndash равнобедренный тк
ВNА=NAD- накрест лежащие
значит ВNА= ВAN и AB=BN=12
АN ndash биссектриса А
тогда 1 1
12 158 8
BM BN
Найдем MN=BN-BM=12-15=105
2) Аналогично DMC ndash равнобедренный MC=DC=12
Тогда NC= MC-MN=12-105=15
3) Значит ВС=ВМ+MN+NC=135
15 105 15
17
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение Рассмотрим второй случай
точка О ndash лежит вне параллелограмма
1)ABМndash равнобедренный тк
Тогда АВ=ВМ=121
8 12 968
BM BN BN
2) Аналогично DNCndash равнобедренный
3) Значит ВС=ВN+NC=96+12=108
DA
B CМ N
O
12
12 12
12
ВMА=MAD- накрест лежащие
значит ВMА= ВAM
АМ ndash биссектриса А
По условию значит1
7
BM
MN
Ответ 135 или 108
тогда NC=DC=12
18
Сторона ромба ABCD равна 4radic7 а косинус угла А равен 075Высота BH пересекает диагональ AC в точке М Найдите длину отрезка ВМ
В прямоугольном треугольнике ABH AH = AB middot cosα = 4radic7 middot 075 = 3radic7
BH2 = AB2 - AC2 = 112 - 63 = 49 BH = 7
Два прямоугольных треугольника ВМС и HMA подобны по двум углам Составим пропорцию BM HM =BC AH = 4 3Пусть BM = x тогда HM = 7 - xx (7 ndash x) = 4 3 3x = 28 - 4x x = 4Ответ 4
5
М
19
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
Решение 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А Треугольник АDF равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 3 Радиус вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
10
В треугольнике АВС АВ=15 ВС = 12 СА = 9 Точка D лежит на прямой ВС так что BDDC = 38 Окружности вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E и F Найдите длину отрезка EF
Решение Возможны два случая точка D лежит на отрезке ВС
и точка D лежит вне отрезка ВС
5 968
8 596 36
12 5 5
BC DC DC
BD DC BC
9
2 2
AD DC AC AD DCDE
15
2 2
AD BD AB AD BDDF
Значит6
92
DC BDEF DE DF
Из ADC
Из ADВ
А
ВС D
F
E
3ч
8ч Ответ 9 или63
11
1
Рассмотрим 2 случай
11
Точка H ndash основание высоты треугольника со сторонами 10 12 14 опущенной на сторону равную 12 Через точку H проведена прямая отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону равную 10 в точке M Найдите HM
РешениеПусть АВ = 10 ВС = 12 АС = 14
По условию АВСНВМ и имеют общий угол В значит возможны два случая
1 случай ВМН = ВАС
А
ВС Н
1014
12
М
2 случай ВМН = АСВ
2 1
12 6
BHk
BC
2 1
10 5
BHk
AB
2 2 2 100 144 196 1cos
2 2 10 12 5
AB BC ACB
AB BC
АВН ndash прямоугольный BН = АВcosB = 2
значит 1 1 7
14 6 6 3
HM AC
значит 1 1 14
14 5 5 5
HM AC
Ответ 7 14
или 3 5
2
12
1) нижнее основание вдвое больше верхнего BC = a АD = 3a
2) верхнее основание вдвое больше нижнего AD = a BC = 3a
Площадь трапеции ABCD равна 240 Диагонали пересекаются в точке O отрезки соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N Найдите площадь четырехугольника OMPN если одно из оснований трапеции втрое больше другого
А P D
M N
O
В С
Решение
3 42 240 120
2 2 2ABCD
BC AD a aS h h ah ah ah
Возможно два вида трапеции
Найдем площадь ОMPN
В обоих случаях
Рассмотрим первый случай
3
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
13
По условию BC = a АD = 3a аh = 120
1) BOCAOD 1
3 3
BC ak
AD a
по трем угламh
1 3 3 93 120 135
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 3
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 35 высоты трапеции
1 3 1 3 3 9120 54
2 5 2 2 5 20AMP PND
aS S AD h h
2 135 2 54 27MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
2
3 2 3
BC ak
AP a
а
3а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
14
По условию BC = 3a АD = a аh = 120
1) BOCAOD 3
3BC a
kAD a
по трем угламh
1 1 1 1120 15
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 1
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 17 высоты трапеции
1 1 1 1 1 30120
2 7 2 2 7 28 7AMP PND
aS S AD h h
302 15 2 5
7MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
36
2
BC ak
AP a
А P D
M N
O
В С
Ответ 27 или 5
3а
а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
15
DA
B C
DA
B C
4
В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
М N
O
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Возможны два случая1) точка О ndash лежит внутри параллелограмма
Рассмотрим первый случай
2) точка О ndash лежит вне параллелограмма
12
16
DA
B C
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Рассмотрим первый случай
12
1) ABN ndash равнобедренный тк
ВNА=NAD- накрест лежащие
значит ВNА= ВAN и AB=BN=12
АN ndash биссектриса А
тогда 1 1
12 158 8
BM BN
Найдем MN=BN-BM=12-15=105
2) Аналогично DMC ndash равнобедренный MC=DC=12
Тогда NC= MC-MN=12-105=15
3) Значит ВС=ВМ+MN+NC=135
15 105 15
17
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение Рассмотрим второй случай
точка О ndash лежит вне параллелограмма
1)ABМndash равнобедренный тк
Тогда АВ=ВМ=121
8 12 968
BM BN BN
2) Аналогично DNCndash равнобедренный
3) Значит ВС=ВN+NC=96+12=108
DA
B CМ N
O
12
12 12
12
ВMА=MAD- накрест лежащие
значит ВMА= ВAM
АМ ndash биссектриса А
По условию значит1
7
BM
MN
Ответ 135 или 108
тогда NC=DC=12
18
Сторона ромба ABCD равна 4radic7 а косинус угла А равен 075Высота BH пересекает диагональ AC в точке М Найдите длину отрезка ВМ
В прямоугольном треугольнике ABH AH = AB middot cosα = 4radic7 middot 075 = 3radic7
BH2 = AB2 - AC2 = 112 - 63 = 49 BH = 7
Два прямоугольных треугольника ВМС и HMA подобны по двум углам Составим пропорцию BM HM =BC AH = 4 3Пусть BM = x тогда HM = 7 - xx (7 ndash x) = 4 3 3x = 28 - 4x x = 4Ответ 4
5
М
19
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
Решение 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А Треугольник АDF равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 3 Радиус вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
11
Точка H ndash основание высоты треугольника со сторонами 10 12 14 опущенной на сторону равную 12 Через точку H проведена прямая отсекающая от треугольника подобный ему треугольник и пересекающая сторону равную 10 в точке M Найдите HM
РешениеПусть АВ = 10 ВС = 12 АС = 14
По условию АВСНВМ и имеют общий угол В значит возможны два случая
1 случай ВМН = ВАС
А
ВС Н
1014
12
М
2 случай ВМН = АСВ
2 1
12 6
BHk
BC
2 1
10 5
BHk
AB
2 2 2 100 144 196 1cos
2 2 10 12 5
AB BC ACB
AB BC
АВН ndash прямоугольный BН = АВcosB = 2
значит 1 1 7
14 6 6 3
HM AC
значит 1 1 14
14 5 5 5
HM AC
Ответ 7 14
или 3 5
2
12
1) нижнее основание вдвое больше верхнего BC = a АD = 3a
2) верхнее основание вдвое больше нижнего AD = a BC = 3a
Площадь трапеции ABCD равна 240 Диагонали пересекаются в точке O отрезки соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N Найдите площадь четырехугольника OMPN если одно из оснований трапеции втрое больше другого
А P D
M N
O
В С
Решение
3 42 240 120
2 2 2ABCD
BC AD a aS h h ah ah ah
Возможно два вида трапеции
Найдем площадь ОMPN
В обоих случаях
Рассмотрим первый случай
3
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
13
По условию BC = a АD = 3a аh = 120
1) BOCAOD 1
3 3
BC ak
AD a
по трем угламh
1 3 3 93 120 135
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 3
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 35 высоты трапеции
1 3 1 3 3 9120 54
2 5 2 2 5 20AMP PND
aS S AD h h
2 135 2 54 27MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
2
3 2 3
BC ak
AP a
а
3а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
14
По условию BC = 3a АD = a аh = 120
1) BOCAOD 3
3BC a
kAD a
по трем угламh
1 1 1 1120 15
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 1
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 17 высоты трапеции
1 1 1 1 1 30120
2 7 2 2 7 28 7AMP PND
aS S AD h h
302 15 2 5
7MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
36
2
BC ak
AP a
А P D
M N
O
В С
Ответ 27 или 5
3а
а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
15
DA
B C
DA
B C
4
В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
М N
O
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Возможны два случая1) точка О ndash лежит внутри параллелограмма
Рассмотрим первый случай
2) точка О ndash лежит вне параллелограмма
12
16
DA
B C
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Рассмотрим первый случай
12
1) ABN ndash равнобедренный тк
ВNА=NAD- накрест лежащие
значит ВNА= ВAN и AB=BN=12
АN ndash биссектриса А
тогда 1 1
12 158 8
BM BN
Найдем MN=BN-BM=12-15=105
2) Аналогично DMC ndash равнобедренный MC=DC=12
Тогда NC= MC-MN=12-105=15
3) Значит ВС=ВМ+MN+NC=135
15 105 15
17
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение Рассмотрим второй случай
точка О ndash лежит вне параллелограмма
1)ABМndash равнобедренный тк
Тогда АВ=ВМ=121
8 12 968
BM BN BN
2) Аналогично DNCndash равнобедренный
3) Значит ВС=ВN+NC=96+12=108
DA
B CМ N
O
12
12 12
12
ВMА=MAD- накрест лежащие
значит ВMА= ВAM
АМ ndash биссектриса А
По условию значит1
7
BM
MN
Ответ 135 или 108
тогда NC=DC=12
18
Сторона ромба ABCD равна 4radic7 а косинус угла А равен 075Высота BH пересекает диагональ AC в точке М Найдите длину отрезка ВМ
В прямоугольном треугольнике ABH AH = AB middot cosα = 4radic7 middot 075 = 3radic7
BH2 = AB2 - AC2 = 112 - 63 = 49 BH = 7
Два прямоугольных треугольника ВМС и HMA подобны по двум углам Составим пропорцию BM HM =BC AH = 4 3Пусть BM = x тогда HM = 7 - xx (7 ndash x) = 4 3 3x = 28 - 4x x = 4Ответ 4
5
М
19
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
Решение 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А Треугольник АDF равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 3 Радиус вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
12
1) нижнее основание вдвое больше верхнего BC = a АD = 3a
2) верхнее основание вдвое больше нижнего AD = a BC = 3a
Площадь трапеции ABCD равна 240 Диагонали пересекаются в точке O отрезки соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N Найдите площадь четырехугольника OMPN если одно из оснований трапеции втрое больше другого
А P D
M N
O
В С
Решение
3 42 240 120
2 2 2ABCD
BC AD a aS h h ah ah ah
Возможно два вида трапеции
Найдем площадь ОMPN
В обоих случаях
Рассмотрим первый случай
3
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
13
По условию BC = a АD = 3a аh = 120
1) BOCAOD 1
3 3
BC ak
AD a
по трем угламh
1 3 3 93 120 135
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 3
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 35 высоты трапеции
1 3 1 3 3 9120 54
2 5 2 2 5 20AMP PND
aS S AD h h
2 135 2 54 27MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
2
3 2 3
BC ak
AP a
а
3а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
14
По условию BC = 3a АD = a аh = 120
1) BOCAOD 3
3BC a
kAD a
по трем угламh
1 1 1 1120 15
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 1
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 17 высоты трапеции
1 1 1 1 1 30120
2 7 2 2 7 28 7AMP PND
aS S AD h h
302 15 2 5
7MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
36
2
BC ak
AP a
А P D
M N
O
В С
Ответ 27 или 5
3а
а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
15
DA
B C
DA
B C
4
В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
М N
O
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Возможны два случая1) точка О ndash лежит внутри параллелограмма
Рассмотрим первый случай
2) точка О ndash лежит вне параллелограмма
12
16
DA
B C
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Рассмотрим первый случай
12
1) ABN ndash равнобедренный тк
ВNА=NAD- накрест лежащие
значит ВNА= ВAN и AB=BN=12
АN ndash биссектриса А
тогда 1 1
12 158 8
BM BN
Найдем MN=BN-BM=12-15=105
2) Аналогично DMC ndash равнобедренный MC=DC=12
Тогда NC= MC-MN=12-105=15
3) Значит ВС=ВМ+MN+NC=135
15 105 15
17
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение Рассмотрим второй случай
точка О ndash лежит вне параллелограмма
1)ABМndash равнобедренный тк
Тогда АВ=ВМ=121
8 12 968
BM BN BN
2) Аналогично DNCndash равнобедренный
3) Значит ВС=ВN+NC=96+12=108
DA
B CМ N
O
12
12 12
12
ВMА=MAD- накрест лежащие
значит ВMА= ВAM
АМ ndash биссектриса А
По условию значит1
7
BM
MN
Ответ 135 или 108
тогда NC=DC=12
18
Сторона ромба ABCD равна 4radic7 а косинус угла А равен 075Высота BH пересекает диагональ AC в точке М Найдите длину отрезка ВМ
В прямоугольном треугольнике ABH AH = AB middot cosα = 4radic7 middot 075 = 3radic7
BH2 = AB2 - AC2 = 112 - 63 = 49 BH = 7
Два прямоугольных треугольника ВМС и HMA подобны по двум углам Составим пропорцию BM HM =BC AH = 4 3Пусть BM = x тогда HM = 7 - xx (7 ndash x) = 4 3 3x = 28 - 4x x = 4Ответ 4
5
М
19
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
Решение 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А Треугольник АDF равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 3 Радиус вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
13
По условию BC = a АD = 3a аh = 120
1) BOCAOD 1
3 3
BC ak
AD a
по трем угламh
1 3 3 93 120 135
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 3
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 35 высоты трапеции
1 3 1 3 3 9120 54
2 5 2 2 5 20AMP PND
aS S AD h h
2 135 2 54 27MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
2
3 2 3
BC ak
AP a
а
3а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
14
По условию BC = 3a АD = a аh = 120
1) BOCAOD 3
3BC a
kAD a
по трем угламh
1 1 1 1120 15
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 1
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 17 высоты трапеции
1 1 1 1 1 30120
2 7 2 2 7 28 7AMP PND
aS S AD h h
302 15 2 5
7MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
36
2
BC ak
AP a
А P D
M N
O
В С
Ответ 27 или 5
3а
а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
15
DA
B C
DA
B C
4
В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
М N
O
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Возможны два случая1) точка О ndash лежит внутри параллелограмма
Рассмотрим первый случай
2) точка О ndash лежит вне параллелограмма
12
16
DA
B C
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Рассмотрим первый случай
12
1) ABN ndash равнобедренный тк
ВNА=NAD- накрест лежащие
значит ВNА= ВAN и AB=BN=12
АN ndash биссектриса А
тогда 1 1
12 158 8
BM BN
Найдем MN=BN-BM=12-15=105
2) Аналогично DMC ndash равнобедренный MC=DC=12
Тогда NC= MC-MN=12-105=15
3) Значит ВС=ВМ+MN+NC=135
15 105 15
17
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение Рассмотрим второй случай
точка О ndash лежит вне параллелограмма
1)ABМndash равнобедренный тк
Тогда АВ=ВМ=121
8 12 968
BM BN BN
2) Аналогично DNCndash равнобедренный
3) Значит ВС=ВN+NC=96+12=108
DA
B CМ N
O
12
12 12
12
ВMА=MAD- накрест лежащие
значит ВMА= ВAM
АМ ndash биссектриса А
По условию значит1
7
BM
MN
Ответ 135 или 108
тогда NC=DC=12
18
Сторона ромба ABCD равна 4radic7 а косинус угла А равен 075Высота BH пересекает диагональ AC в точке М Найдите длину отрезка ВМ
В прямоугольном треугольнике ABH AH = AB middot cosα = 4radic7 middot 075 = 3radic7
BH2 = AB2 - AC2 = 112 - 63 = 49 BH = 7
Два прямоугольных треугольника ВМС и HMA подобны по двум углам Составим пропорцию BM HM =BC AH = 4 3Пусть BM = x тогда HM = 7 - xx (7 ndash x) = 4 3 3x = 28 - 4x x = 4Ответ 4
5
М
19
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
Решение 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А Треугольник АDF равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 3 Радиус вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
14
По условию BC = 3a АD = a аh = 120
1) BOCAOD 3
3BC a
kAD a
по трем угламh
1 1 1 1120 15
2 4 8 8AODS AD h ah
Значит высота AOD равна 1
4h тогда
2) BMCAMP по трем углам
Тогда высота треугольника АМР равна 17 высоты трапеции
1 1 1 1 1 30120
2 7 2 2 7 28 7AMP PND
aS S AD h h
302 15 2 5
7MONP AOD AMPS S S 3) Находим искомую площадь
36
2
BC ak
AP a
А P D
M N
O
В С
Ответ 27 или 5
3а
а
SMONP=SAOD ndash SAMP ndash SPND
15
DA
B C
DA
B C
4
В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
М N
O
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Возможны два случая1) точка О ndash лежит внутри параллелограмма
Рассмотрим первый случай
2) точка О ndash лежит вне параллелограмма
12
16
DA
B C
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Рассмотрим первый случай
12
1) ABN ndash равнобедренный тк
ВNА=NAD- накрест лежащие
значит ВNА= ВAN и AB=BN=12
АN ndash биссектриса А
тогда 1 1
12 158 8
BM BN
Найдем MN=BN-BM=12-15=105
2) Аналогично DMC ndash равнобедренный MC=DC=12
Тогда NC= MC-MN=12-105=15
3) Значит ВС=ВМ+MN+NC=135
15 105 15
17
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение Рассмотрим второй случай
точка О ndash лежит вне параллелограмма
1)ABМndash равнобедренный тк
Тогда АВ=ВМ=121
8 12 968
BM BN BN
2) Аналогично DNCndash равнобедренный
3) Значит ВС=ВN+NC=96+12=108
DA
B CМ N
O
12
12 12
12
ВMА=MAD- накрест лежащие
значит ВMА= ВAM
АМ ndash биссектриса А
По условию значит1
7
BM
MN
Ответ 135 или 108
тогда NC=DC=12
18
Сторона ромба ABCD равна 4radic7 а косинус угла А равен 075Высота BH пересекает диагональ AC в точке М Найдите длину отрезка ВМ
В прямоугольном треугольнике ABH AH = AB middot cosα = 4radic7 middot 075 = 3radic7
BH2 = AB2 - AC2 = 112 - 63 = 49 BH = 7
Два прямоугольных треугольника ВМС и HMA подобны по двум углам Составим пропорцию BM HM =BC AH = 4 3Пусть BM = x тогда HM = 7 - xx (7 ndash x) = 4 3 3x = 28 - 4x x = 4Ответ 4
5
М
19
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
Решение 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А Треугольник АDF равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 3 Радиус вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
15
DA
B C
DA
B C
4
В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
М N
O
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Возможны два случая1) точка О ndash лежит внутри параллелограмма
Рассмотрим первый случай
2) точка О ndash лежит вне параллелограмма
12
16
DA
B C
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Рассмотрим первый случай
12
1) ABN ndash равнобедренный тк
ВNА=NAD- накрест лежащие
значит ВNА= ВAN и AB=BN=12
АN ndash биссектриса А
тогда 1 1
12 158 8
BM BN
Найдем MN=BN-BM=12-15=105
2) Аналогично DMC ndash равнобедренный MC=DC=12
Тогда NC= MC-MN=12-105=15
3) Значит ВС=ВМ+MN+NC=135
15 105 15
17
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение Рассмотрим второй случай
точка О ndash лежит вне параллелограмма
1)ABМndash равнобедренный тк
Тогда АВ=ВМ=121
8 12 968
BM BN BN
2) Аналогично DNCndash равнобедренный
3) Значит ВС=ВN+NC=96+12=108
DA
B CМ N
O
12
12 12
12
ВMА=MAD- накрест лежащие
значит ВMА= ВAM
АМ ndash биссектриса А
По условию значит1
7
BM
MN
Ответ 135 или 108
тогда NC=DC=12
18
Сторона ромба ABCD равна 4radic7 а косинус угла А равен 075Высота BH пересекает диагональ AC в точке М Найдите длину отрезка ВМ
В прямоугольном треугольнике ABH AH = AB middot cosα = 4radic7 middot 075 = 3radic7
BH2 = AB2 - AC2 = 112 - 63 = 49 BH = 7
Два прямоугольных треугольника ВМС и HMA подобны по двум углам Составим пропорцию BM HM =BC AH = 4 3Пусть BM = x тогда HM = 7 - xx (7 ndash x) = 4 3 3x = 28 - 4x x = 4Ответ 4
5
М
19
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
Решение 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А Треугольник АDF равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 3 Радиус вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
16
DA
B C
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение
O
М N
Пусть О ndash точка пересечения биссектрис
По условию значит М лежит между точками В и N1
17
BM
MN
Рассмотрим первый случай
12
1) ABN ndash равнобедренный тк
ВNА=NAD- накрест лежащие
значит ВNА= ВAN и AB=BN=12
АN ndash биссектриса А
тогда 1 1
12 158 8
BM BN
Найдем MN=BN-BM=12-15=105
2) Аналогично DMC ndash равнобедренный MC=DC=12
Тогда NC= MC-MN=12-105=15
3) Значит ВС=ВМ+MN+NC=135
15 105 15
17
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение Рассмотрим второй случай
точка О ndash лежит вне параллелограмма
1)ABМndash равнобедренный тк
Тогда АВ=ВМ=121
8 12 968
BM BN BN
2) Аналогично DNCndash равнобедренный
3) Значит ВС=ВN+NC=96+12=108
DA
B CМ N
O
12
12 12
12
ВMА=MAD- накрест лежащие
значит ВMА= ВAM
АМ ndash биссектриса А
По условию значит1
7
BM
MN
Ответ 135 или 108
тогда NC=DC=12
18
Сторона ромба ABCD равна 4radic7 а косинус угла А равен 075Высота BH пересекает диагональ AC в точке М Найдите длину отрезка ВМ
В прямоугольном треугольнике ABH AH = AB middot cosα = 4radic7 middot 075 = 3radic7
BH2 = AB2 - AC2 = 112 - 63 = 49 BH = 7
Два прямоугольных треугольника ВМС и HMA подобны по двум углам Составим пропорцию BM HM =BC AH = 4 3Пусть BM = x тогда HM = 7 - xx (7 ndash x) = 4 3 3x = 28 - 4x x = 4Ответ 4
5
М
19
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
Решение 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А Треугольник АDF равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 3 Радиус вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
17
4 В параллелограмме ABCD AB=12 биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками M и N так что BMMN=17 Найдите ВС
Решение Рассмотрим второй случай
точка О ndash лежит вне параллелограмма
1)ABМndash равнобедренный тк
Тогда АВ=ВМ=121
8 12 968
BM BN BN
2) Аналогично DNCndash равнобедренный
3) Значит ВС=ВN+NC=96+12=108
DA
B CМ N
O
12
12 12
12
ВMА=MAD- накрест лежащие
значит ВMА= ВAM
АМ ndash биссектриса А
По условию значит1
7
BM
MN
Ответ 135 или 108
тогда NC=DC=12
18
Сторона ромба ABCD равна 4radic7 а косинус угла А равен 075Высота BH пересекает диагональ AC в точке М Найдите длину отрезка ВМ
В прямоугольном треугольнике ABH AH = AB middot cosα = 4radic7 middot 075 = 3radic7
BH2 = AB2 - AC2 = 112 - 63 = 49 BH = 7
Два прямоугольных треугольника ВМС и HMA подобны по двум углам Составим пропорцию BM HM =BC AH = 4 3Пусть BM = x тогда HM = 7 - xx (7 ndash x) = 4 3 3x = 28 - 4x x = 4Ответ 4
5
М
19
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
Решение 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А Треугольник АDF равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 3 Радиус вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
18
Сторона ромба ABCD равна 4radic7 а косинус угла А равен 075Высота BH пересекает диагональ AC в точке М Найдите длину отрезка ВМ
В прямоугольном треугольнике ABH AH = AB middot cosα = 4radic7 middot 075 = 3radic7
BH2 = AB2 - AC2 = 112 - 63 = 49 BH = 7
Два прямоугольных треугольника ВМС и HMA подобны по двум углам Составим пропорцию BM HM =BC AH = 4 3Пусть BM = x тогда HM = 7 - xx (7 ndash x) = 4 3 3x = 28 - 4x x = 4Ответ 4
5
М
19
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
Решение 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А Треугольник АDF равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 3 Радиус вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
19
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
Решение 1) окружность с центром О вписана в угол с вершиной А Треугольник АDF равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 3 Радиус вписанной окружности равен
Находим площадь SABOD = SAOB+ SAOD=
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
20
Дан параллелограмм АВСD АВ=2 ВС=3 угол А равен 60о Окружность с центром в точке О касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма исходящих из вершины одного его острого угла Найдите площадь четырехугольника АВОD
6
E
2) окружность вписана в угол с вершиной C Треугольник АDУ равнобедренный Так как угол А равен 60о то этот треугольник равносторонний со стороной 2 Радиус вписанной окружности равен r = 2 2tg60
o = 1 radic3= radic3 3
Находим площадь SABOD = SABCD ndash SBOC - SDOC
В треугольниках ВОС и DОС высота равна радиусу окружности значит
=3 radic3 ndash 053radic3 3 ndash - 052radic3 3 = 13radic3 3
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg
21
httpofficemicrosoftcomru-ruimagesresultsaspxqu=D181D0BCD0B0D0B9D0BBD18B
Использованные ресурсы
Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина
httpalexlarinnarodruegehtml
Рисунок на слайде 2
Для создания шаблона презентации использовалась картинка httpwwwbox-minfouploadsposts2009-041238954029_1jpg