广义相对论课堂 21Schwarzschild时空轨道

2011.11.25

课程安排• 复习内容：• 讨论内容：惯性系斜交坐标测量意义• 新内容： Schwarzschild时空应用• 下次课：经典检验• 测验• 发草稿纸——助教• 课后发调查表

测验目的• 了解大家的学习困难、不足、效果• 确保掌握重点和难点

改进

‘动钟变慢’误导吗？• ‘动’ =速度不为零 =钟尺测量速度 =相对于坐标钟

• 加速钟 dτ2=γ-2dt2

• 双生子佯谬 =为什么反过来不可以？–钟尺网格– Marzke-Wheeler坐标

• 实验不需理论引入钟尺网格

试图在球面上构造全局性惯性系 skew坐标

• Φ——测地线• θ——非测地线，除赤道圈

– θ换成Φ'–也用测地线，赤道圈上某一点 P=第二极点O' –相对于北极点O – OO'大圆上坐标失效，无能区分不同点——非全局！

–对比极点（ θ，Φ）坐标简并• θ、Φ类似匀加速系直线 +曲线网格

三种理论 4种钟尺网格理论 参考系（惯性

v、加速）坐标系（正交、非正交）

钟与钟、尺与尺钟与尺不同网格之间跨系

事件坐标符号意义？

事件之间差值微分、差分？

牛顿 相对静止同步化刚性

t,x,y,z dt与 Δt

SR 惯性系 Lorentz坐标惯性系 skew坐标加速系正交加速系非正交

相对静止 t,x,y,zt',x,y,z或 t,x',y,z

GR 任意正交 (史瓦西为例 )任意非正交：Cook

t,r,θ,Φ

无非是将平直时空（事件集合）用网格划分网格点标记

• 数学的威力—— Einstein求助• 重要的是数学表达了什么物理

第一个活动惯性斜交坐标系

写在纸上• 不要太潦草——上交我查看• 多留空白、隔行写——方便批改• 尽量文字说明你的推理要点、步骤

测量钟与尺相对运动平直时空坐标网格

• 三位一体• 惯性系 skew坐标

–钟的世界线–尺子原点刻度的世界线

• 和钟的世界线重合吗？• 类时、切矢量• 类空 =尺子延展方向、分量表达

–与坐标网格的关系–线元和度规

• i方向的基准尺子相对基准钟运动– 不是 j方向

• 另选尺子相对不动的总能做到吗？• Cook没讲到：钟尺相对运动

0g i0 线元存在时空交叉项基准钟尺相对运动？

• 转盘系• Schwarzschild时空 Eddington-Finkelstein坐标

• Kerr时空 Boyer-Lindquist坐标– 未解之谜： Kerr环奇点

• 转动宇宙 Godel度规

0g i0 应用

进一步可探讨• 对比习题 7.21

• Cook雷达回波、 t',x坐标下

第二个活动匀加速正交坐标系

匀加速正交坐标系完美类比

平面几何及坐标系欧式平面几何半曲线正交原点同心射线+同心圆

距离平方和 都是尺子延展空间线

闵氏平直时空同心“圆”

距离平方减 钟尺世界线 +尺子延展类空线

第四点：测地线方程（组）

径向方程

测试粒子和光线的测地运动三个初积分／运动常数／守恒量

• 单位质量粒子能量 e( 因为在远处 )， 无量纲 , 物理意义 !• 单位质量粒子角动量 L( 因为 L=rv)• 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动： 1 。直观地看，任何偏离平面的运动都受到非向心力，破坏了球对称

• 2 。教材 9.22， L=0，初始 dφ/dτ=0，则以后沿测地线处处为 dφ/dτ=0， φ=Const.在一个平面上

• 3. 解测地线方程，附录 B， LightmanP404• 可以证明平面运动是稳定的 , 小扰动后回• 坐标轴重新取向，约定在赤道面上讨论 θ=π/2• 第三个初积分，四速度归一 /0 化，即线元• 四速度只有三个非零分量，利用三个初积分方程，可用

e,L表达

第五点：有效势

机械能 = 径向动能 + 有效势能（势能 + 角向动能 =离心势能）牛顿情

况

C

eff

effr

VT

TV V

V TE

2Newton

2

2Newton

2

mc

Ee

2

1e

1e

e,1mc

Emce

《牛顿低速

给定 M，首先按照角动量分类• 牛顿 L=0 径向可到达 r=0,实际情况星体表面

阻挡－－外力，不再有机械能守恒分析；径向远离， E≥0可逃逸到无穷远（势能为 0)，E<0 会回落

• L≠0不可到达 r=0，• 1 。 E≥0 散射，双曲线 (E>0)或抛物线 (E=0)• 2 。 E<0 椭圆束缚轨道• 3 。特别地，势能曲线最低点 E=V_min=-

1/2L^2(与熟知结果一致 )圆周，且稳定

微分应用：分析曲线形状• 1.R->0,V->-L^2/R^3->-∞;R->∞,V->-1/R->0; 中间 V-

>L^2/2R^2• 2.0=V,R01,02=;L≥4 ；随 L分别为减函 2<R01<4、增函数 >4

• 3.0=dV/dR,Rmin,max=;Vmin,max=下标指的是 V 最小最大 Rmin>Rmax;L≥3.46;Vmax 给出给定 e 粒子的俘获截面

• 4. d^2V/dR^2><=0• 按单位质量角动量分类 L=l/M• 1.L<3.46, 两种轨道 :向外 ε>0 逃逸，其余投入或回落• 2.L=3.46,同上＋拐点 R=L^2/2 处 ε=V不稳定圆周轨道• 3.3.46<L≤4, 最高点不稳定 + 最低点稳定圆周＋束缚

(Vmin<ε<0)• 4.L>4,+ 散射轨道 0<ε<Vmax

第六点：有效势曲线分析原理

势能曲线的分析原理• d/dτ 径向方程后，得到 dr/dτ=0 或 d^2r/dτ^2=-

V’= 有效力，所以碰到势垒会反弹；散射和束缚由 d^2r/dτ^2 连续性仍然有 d^2r/dτ^2=-V’= 有效力；问题：在 ε=V， dr/dτ=0是否可以保持圆周运动？答：不会－－

• 1 。仍然有效力不为 0,V’≠0;牛顿情况，某个高度上，速度大（小）于圆周速度，离心力大（小）于引力，双曲（抛物）（椭圆）；测地线方程 d^2r/dτ^2 ＝ -Γ^r_tt(u^t)^2-Γ^r_φφ(u^φ)^2-Γ^r_rr(u^r)^2

势能曲线的分析原理：续• 2.Cauchy 定解，运动方程总是二阶微分方程（例如从变分原理看 L(v,x)，所有力学都是从牛顿力学比拟而来），初始位置确定（静态时空）则时空点确定，初始三个速度确定，则定解。即 L, ε 决定了一条且仅仅一条测地线（当然，不一定遍历，如一开始就在 V 最高点则只有从 R<R_min 或 R>R_max过来的圆周运动部分）

• 所以，任意力学中势能曲线可以看成地面上起伏山坡（无磨擦无空气阻力）上粒子运动，地面支承力＋重力＝有效力，即所谓势能曲线分析

反省 3 问题• 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用的是什么？– 如果不是，请问哪些你没学到？– 如果不确定，请解释原因。

• 2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？• 3、不清楚的原因是

– 讲课不够清楚？– 缺少提问的机会？– 你事先没有准备？– 缺乏课堂讨论？– 其他？

回补 +进一步• 牛顿力学练习题

– 链条滑落光滑球面时速度– 常引力场中光滑锥面上运动最低点

• Zeldovich 《相对论天体物理》库仑力场

第六点：轨道类型

六个量• 四个变量 τ,t,r,φ, 两两组合数 6种， 5个速度（三个固有速度＋两个坐标速度）＋ 1个形状量（写成杨辉三角 4 层 4321）

• 仅取决于三个方程： e,L, 径向方程

径向运动• dφ ／ dτ ＝ 0 ， φ ＝ Const. ，无角动量 L=0,V=-1/R 仅牛顿势， dτ=±dr/√2(ε+1/r) ， ε≥1/2

• 径向自由下落，取负号， ε=0, e=1,无穷远 e=dt/dτ=γ=1静止，解得

• 教材用 r=0 定标，到黑洞讲；从某个 r 到 2M，粒子固有时有限；从无穷远当然无限

• 坐标时间，从某个 r 到 2M无限， r->2M ， 9.40 最后一项 ->+∞，这是史瓦西坐标在近 2M 出错的一个迹象

• 例子 9.1，径向逃逸（到无穷远 0 渐近静止 ,e=1）速度，在施瓦希坐标半径 R 处静止观者（只有 u^t不为零）测量 V,E=γmV(LIF 中消除引力影响，观者自身标架为 LIF 中随动标架）， g_tt*u^t=e=1

圆周轨道• 不稳定圆周轨道 3M<r_max<6M 随 L 增大而减• 稳定圆周轨道 r_min>6M 随 L 增大而

增， L=3.46 最小，三个施瓦西半径• 定义坐标角速度，实测设计：遥远一圈静止钟

(同步化），接受圆周运动粒子径向光脉冲，因为圆对称，不同 φ 光线受的引力时间膨胀一样，测出 Δt ； Δφ ＝圆弧长 /圆周长

• V’=0+ε=V=>9.45，也适用于非稳定圆周轨道• 得到与 Kepler第三定律（圆周轨道）相同形式，不是固有时角速度，在无穷远回到 Kepler

束缚轨道的形状• 方程，椭圆函数， u=1/R后，补齐量纲，常数项为牛顿能量＋高阶小量

• 从内转折点 r_1（近星点）到外转折点 r_2 （远星点） ，再回到内转折点＝ 1 圈 turn

• 一般 1圈后 Δφ≠2π不闭合，顺着轨道转动方向进动（相对论修正项为正），每圈进动角相同（因为球对称） δφ ＝ Δφ － 2π，不闭合的主轴进动椭圆；但对一组 E(L) ， m圈后Δφ=n(2π) 闭合， m≠n，习题 13

近日点进动• 图 9.5不同 L（勘误）和 E，参数取值边界为

稳定和不稳定圆周轨道之间，大角动量离星体远、相对论效应小－－太阳系行星近日点进动

• 类似 Binet方程 , 微扰方法求解， D’inverno 15.3 节

• 习题 15方法，反比于 L^2 （ L 越小，越接近引力体越大） ,用天文测量数据表达，半主轴 a越小、偏心率，小行星 Icarus、水星依次为最 . Einstein: 不但牛顿理论从 GR 中作为一级近似导出，水星进动作为二级近似