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数学建模竞赛论文的数学建模竞赛论文的写作与评判写作与评判

国防科技大学 吴孟达国防科技大学 吴孟达

2013 2013 年 年 44 月月

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一、数学建模一、数学建模 ABCABC

A： Assume

如果你的数学学习的经验告诉你，不要超出已知条件。那么，在数学建模中，你要摆脱这种思维的束缚。数学建模是面对实际问题的，而实际问题所给出的已知条件往往是不够的，你必须自己作出假设—关于什么是重要的，什么是不重要的；关于现实背景的某种约定；关于模糊概念的理解等等。

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总之，为你将要建立的模型确定一个边界较清晰的环境。事实上，有观点认为：模型就是假设。假设决定了模型的方向，假设与现实的相容度决定了模型的价值。

对现实与理论之间的平衡度的掌握，简化原则与贴近原则。

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B: B: BorrowBorrow

数学模型是用抽象形式表达我们所观察到的事数学模型是用抽象形式表达我们所观察到的事物的基本特性的一种尝试，这种尝试是否成功，既取决物的基本特性的一种尝试，这种尝试是否成功，既取决于建模者的数学能力，同样（如果不是更多地）取决于于建模者的数学能力，同样（如果不是更多地）取决于建模者关于该事物的实际知识，这种知识可以从建模者建模者关于该事物的实际知识，这种知识可以从建模者以往的经验中获得，也可以从别人的经验中获得，通过以往的经验中获得，也可以从别人的经验中获得，通过文献或交流。文献或交流。

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另外，还取决于建模者的另外，还取决于建模者的建模素养建模素养，这种素养主，这种素养主要不是从课堂讲授中得到的，而主要是从建模者要不是从课堂讲授中得到的，而主要是从建模者的建模实践中获得的，其中包括：目的性，鉴别的建模实践中获得的，其中包括：目的性，鉴别力（信息、方法、模型），建模各个环节的把握力（信息、方法、模型），建模各个环节的把握等等。等等。

对相关信息的获取能力与决策能力。对相关信息的获取能力与决策能力。

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C: C: CriticizeCriticize

建模者必须是一个批判者，批判别人建模者必须是一个批判者，批判别人也批判自己，这也是建模的一个必不可少也批判自己，这也是建模的一个必不可少的环节。建模的过程是一个迭代的过程，的环节。建模的过程是一个迭代的过程，也就是一个批判与改进的过程。也就是一个批判与改进的过程。

对问题本质的洞察能力。 对问题本质的洞察能力。

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二、数学建模的基本要素二、数学建模的基本要素

The capacity to The capacity to understandunderstand, , interpretinterpret, , criticizecriticize, and , and appreciateappreciate models is essential to all. models is essential to all.

The three most fundamental ideas The three most fundamental ideas in mathematical modeling are in mathematical modeling are transiencetransience, , permanencepermanence, and , and optimality.optimality.

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三、数学建模论文的一般结构三、数学建模论文的一般结构

摘要摘要 问题重述与分析问题重述与分析 问题假设问题假设 符号说明符号说明 模型建立与求解模型建立与求解 模型检验模型检验 结果分析结果分析 模型的进一步讨论模型的进一步讨论 模型优缺点模型优缺点

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☻☻ 摘摘要要主要理解 主要方法 主要结果 主要特点

☻☻ 问题重述与分问题重述与分析析

对题意的理解 建模思路分析重要概念的约定

— 向导

““拿到一个数学建模竞赛题之后，首先应尽可能拿到一个数学建模竞赛题之后，首先应尽可能深入了解其实际背景，并在此基础上探讨解决问题深入了解其实际背景，并在此基础上探讨解决问题的方法。的方法。”” ———— 数模竞赛中建好数学模型之研究数模竞赛中建好数学模型之研究

在一定意义下，你的模型的高度取决于你对问在一定意义下，你的模型的高度取决于你对问题理解的深度。题理解的深度。

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05B05B 题题—— DVDDVD 租赁租赁 题意理解问题题意理解问题

（（ 11 ））“保证希望看到该“保证希望看到该 DVDDVD 的会员中至少的会员中至少 50%50% 在在一个月 内能够看到该一个月 内能够看到该 DVD” DVD” ———— 随机需求。随机需求。 PP((ξξ > 0.5 ) ≥ 0.95 . > 0.5 ) ≥ 0.95 .

（（ 22 ） ） “当前需要处理的“当前需要处理的 10001000 位会员的在线订单”位会员的在线订单” ———— 第二问一次分配第二问一次分配。。

（（ 33 ））““ 95%95% 的会员得到他想看的的会员得到他想看的 DVD”DVD” —— ——11 张？张？ 33 张？张？ 66 张？ 张？

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☻☻ 问题假设问题假设

☻☻ 符号说明符号说明

☻☻ 模型建立与求解模型建立与求解

模型的完整性与正确性模型的完整性与正确性

一般，以一个模型为主一般，以一个模型为主

解法思路描述的清晰性与简洁性解法思路描述的清晰性与简洁性

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,

1

(0) (0)

min {max }

. .

( , )

(1 ) , 0 1

ijp j

ik ii k i

j j n

j j j mj j

i i i i i

i mi

q

s t p p P

u f p p

u q r u q

p v t p p v t

p p

模型二：当模型一无可行解时，以安全裕度利用率最小为目标，调整各机组出力。线路安全裕度 rj ，安全裕度利用率 qj

例 ： 2004 B 题 电力市场的输电阻塞管理

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“ “ 经验、想象力、洞察判断能力以及直觉、灵感等经验、想象力、洞察判断能力以及直觉、灵感等在建模过程起很大作用。在建模过程起很大作用。 无法给出若干条普遍使用的建模准则和技巧。面对无法给出若干条普遍使用的建模准则和技巧。面对竞赛题目，最基本的准则就是具体问题具体分析。不过竞赛题目，最基本的准则就是具体问题具体分析。不过还是有些一般性的准则还是有些一般性的准则 (( 经验经验 )) ：： 1. 1. 先要对问题进行全面分析，简明建模的依据。先要对问题进行全面分析，简明建模的依据。 2. 2. 尽量采用成熟的数学方法和已有的模型。尽量采用成熟的数学方法和已有的模型。 3. 3. 有时针对问题的具体情况，可以先建立简单的、有时针对问题的具体情况，可以先建立简单的、基本的模型，再作改进或修正。基本的模型，再作改进或修正。 4. 4. 当然，也要注意应用新方法。”当然，也要注意应用新方法。” ———— 数模竞赛中建好数学模型之研究数模竞赛中建好数学模型之研究

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☻☻ 模型检模型检验验稳定性检验 敏感性检验 误差分析

仿真检验

☻☻ 结果分结果分析析清晰、完整的表达

结果合理性解释

算法复杂度分析

不同模型、不同算法的对比

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☻☻ 模型进一步讨论模型进一步讨论

模型的改进与拓广

对题意不同理解下的模型

有意义、有价值的设想（ Valuable idea ）

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四、数学建模竞赛论文的评判标准四、数学建模竞赛论文的评判标准 假设的合理性假设的合理性 假设是建模的基础，具有导向性，容易被忽视。假设是建模的基础，具有导向性，容易被忽视。常犯错误有缺少假设或假设不切实际。例如常犯错误有缺少假设或假设不切实际。例如 9797年赛年赛题“零件参数设计” 。题“零件参数设计” 。

对一些关键性的或对结果有重大影响的条件或对一些关键性的或对结果有重大影响的条件或参数应该在假设中明确约定。 参数应该在假设中明确约定。

假设具有导向性作用，不同的假设可能导致截然假设具有导向性作用，不同的假设可能导致截然不同的结果。例如不同的结果。例如 0404年赛题“电力市场的输电阻塞年赛题“电力市场的输电阻塞管理”。管理”。

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作假设的两个原则：作假设的两个原则： ① ① 简化原则简化原则：抓住主要矛盾，舍弃次要因素，：抓住主要矛盾，舍弃次要因素，

方便 数学处理。方便 数学处理。 ② ② 贴近原则贴近原则：贴近实际。：贴近实际。

以上两个原则是相互制约的，要掌握好“度”。以上两个原则是相互制约的，要掌握好“度”。通常是先建模后假设。通常是先建模后假设。

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CMCM—96A(CMCM—96A( 最优捕鱼策略最优捕鱼策略 ))

有的队假设产卵的过程服从正态分布，这样有的队假设产卵的过程服从正态分布，这样的假设是可以的，但大大增加了问题的难度。在不的假设是可以的，但大大增加了问题的难度。在不失生物学的真实的前提下，使模型的分析尽量简单失生物学的真实的前提下，使模型的分析尽量简单的假设应该是假设鱼群的个体在后四个月的第一天的假设应该是假设鱼群的个体在后四个月的第一天集中一次产卵。集中一次产卵。

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CMCM—05B(DVDCMCM—05B(DVD 租赁租赁 ))

（（ 11 ））需求分布需求分布

一般用样本均值代替总体均值一般用样本均值代替总体均值 ,, 即认为即认为

DVD1DVD1 的需求为的需求为 2000020000 张，这样得到第张，这样得到第

一问结果为一问结果为 62506250 。“要点”为二项分布。“要点”为二项分布

B (n,p), B (n,p), 近似为正态分布近似为正态分布 N(np,npq), N(np,npq),

取置信度为取置信度为 0.950.95 ，这样得到第一问结果，这样得到第一问结果

为为 63156315 。 。

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（（ 22 ）还碟时间分布）还碟时间分布

最简单的一种是假定最简单的一种是假定 6060 ％的会员月中还，％的会员月中还， 4040

％的会员月底还，在此假定下，每张碟的每月使％的会员月底还，在此假定下，每张碟的每月使

用次数为用次数为 1.61.6 次。还有其他种种假定。 次。还有其他种种假定。

（（ 33 ）“）“ 9595 ％的会员看到他想看的％的会员看到他想看的 DVD”DVD” 的的理解。 理解。

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结果的正确性结果的正确性 模型的正确性。模型的正确性。 计算的正确性（方法、结果）。计算的正确性（方法、结果）。 例一：例一： 9999年“自动化车床”，在计算刀具 发生年“自动化车床”，在计算刀具 发生故障后的损失时未考虑条件概率，导致计算错误。故障后的损失时未考虑条件概率，导致计算错误。

例二：例二： 9898年“投资组合策略”，使用均方年“投资组合策略”，使用均方风险函数，违背题义要求。风险函数，违背题义要求。

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例三：例三： 9696年“最优捕鱼策略”，死亡率意义理解年“最优捕鱼策略”，死亡率意义理解错。“自然死亡率为错。“自然死亡率为 0.80.8 （（ 1/1/年）”被理解为每年平年）”被理解为每年平均死亡均死亡 80%80% ，事实上应理解为单位时间内死亡的鱼的，事实上应理解为单位时间内死亡的鱼的数量与鱼的总量之比，是瞬时死亡率概念。数量与鱼的总量之比，是瞬时死亡率概念。

例四：例四： 9595年“天车与冶炼炉调度”，对题目要求年“天车与冶炼炉调度”，对题目要求的理解有误。“各台天车的作业率尽量均衡（考虑到设的理解有误。“各台天车的作业率尽量均衡（考虑到设备及人员安全等因素，一般天车作业率不超过备及人员安全等因素，一般天车作业率不超过 7070%% ）”。）”。

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建模的创造性建模的创造性

创造性是灵魂，文章要有闪光点。创造性是灵魂，文章要有闪光点。 好创意、好想法应当既在人意料之外，又在好创意、好想法应当既在人意料之外，又在

人人意料之中。意料之中。 新颖性（独特性）与合理性皆备。新颖性（独特性）与合理性皆备。

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误区之一：误区之一：数学用得越高深，越有创造性数学用得越高深，越有创造性。。 解决问题是第一原则，最合适的方法是最解决问题是第一原则，最合适的方法是最

好的方法。好的方法。

误区之二：误区之二：创造性主要体现在建模与求解上。创造性主要体现在建模与求解上。 创造性可以体现在建模的各个环节上，并创造性可以体现在建模的各个环节上，并

且可以有多种表现形式。 且可以有多种表现形式。

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误区之三：误区之三：好创意来自于灵感，可遇不可求好创意来自于灵感，可遇不可求。。 好创意来自于对数学方法的掌握程度与好创意来自于对数学方法的掌握程度与

对问题理解的透彻程度。 对问题理解的透彻程度。

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例一：例一： 9494 年年 BB 题：锁具装箱。题：锁具装箱。

① ① 将锁具按照槽高之和将锁具按照槽高之和 HH 为奇数与偶数分为奇数与偶数分为两大类，每一类装为两大类，每一类装 4949 箱。最优性证明。箱。最优性证明。

② ② 随机销售方式与序贯销售方式 。随机销售方式与序贯销售方式 。

③ ③ 抱怨程度的度量。 抱怨程度的度量。

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例二：例二： 9595 年年 MCM AMCM A 题：螺旋线交点问题。题：螺旋线交点问题。

关键是计算速度与计算精度的平衡问题。牛顿关键是计算速度与计算精度的平衡问题。牛顿迭代法有很高的精度，但速度较慢；线性近似法速迭代法有很高的精度，但速度较慢；线性近似法速度很快，可以满足实时要求，但精度稍差。度很快，可以满足实时要求，但精度稍差。

““ Rabbit , Turtle and Hunter” Rabbit , Turtle and Hunter”

抓住了问题的主要方面抓住了问题的主要方面————速度。速度。 创造性体现在对问题的理解程度上，进而体现创造性体现在对问题的理解程度上，进而体现

在建模思路上。 在建模思路上。

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表达的清晰性表达的清晰性 好的文章 好的文章 = = 好的内容 好的内容 + + 好的表达好的表达 替读者着想。该交代的要交代，如对题目的理解，关替读者着想。该交代的要交代，如对题目的理解，关键指标或参数的引入，建模的思路，结果的分析等。键指标或参数的引入，建模的思路，结果的分析等。

写好摘要，包括：建模主要方法、主要结果，模型主写好摘要，包括：建模主要方法、主要结果，模型主要优点。要优点。

专人负责写作，及早动手。考虑写作的过程也是构思专人负责写作，及早动手。考虑写作的过程也是构思框架、理清思路的过程，有利于从总体上把握建模的框架、理清思路的过程，有利于从总体上把握建模的思路，反过来促进建模。思路，反过来促进建模。

适当采用图表，增加可读性。 适当采用图表，增加可读性。

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附：附： 9494 年年 BB 题：锁具装箱 题：锁具装箱 某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有 55 个槽，个槽，每个槽的高度从每个槽的高度从 11 ，， 22 ，， 33 ，， 44 ，， 55 ，， 66 这这 66 个数中个数中任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对 55 个槽个槽的高度还有两个限制：至少有的高度还有两个限制：至少有 33 个不同的数；相邻两槽个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为的高度之差不能为 55 。满足以上条件的所有互不相同的。满足以上条件的所有互不相同的锁具称为一批。锁具称为一批。

从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中“一把钥从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中“一把钥匙开一把锁”。但是在当前工艺条件下，对于同一批中匙开一把锁”。但是在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对两个锁具是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对应的应的 55 个槽的高度中有个槽的高度中有 44 个相同，另一个槽的高度差个相同，另一个槽的高度差为为 11 ，则可能互开；在其他情况下，不可能互开。 ，则可能互开；在其他情况下，不可能互开。

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原来，销售部门在一批锁具中随意地取每原来，销售部门在一批锁具中随意地取每 6060 个装个装一箱出售。团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们抱一箱出售。团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们抱怨购得的锁具会出现互开的情形。现聘你为顾问，回怨购得的锁具会出现互开的情形。现聘你为顾问，回答并解决以下的问题：答并解决以下的问题：

（（ 11 ）每一批锁具有多少个，装多少箱。）每一批锁具有多少个，装多少箱。（（ 22 ）为销售部门提出一种方案，包括如何装箱，如何）为销售部门提出一种方案，包括如何装箱，如何

给箱子以标志，出售时如何利用这些标志，使团体顾给箱子以标志，出售时如何利用这些标志，使团体顾客不再或减少抱怨。客不再或减少抱怨。

（（ 33 ）采取你的方案，团体顾客的购买量不超过多少箱，）采取你的方案，团体顾客的购买量不超过多少箱，就可以保证一定不会出现互开的情形。就可以保证一定不会出现互开的情形。

（（ 44 ）按照原来的装箱办法，如何定量地衡量团体顾客）按照原来的装箱办法，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。 果）。

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谢 谢 ！谢 谢 ！