电白林头中学 郑孟圣

人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修 2

2.3.1 直线与平面垂直的判定（二）

2.3.1 直线与平面垂直的判定（二）

2008-12-19

l

P

如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，

记作 ．l

平面 的垂线

直线 l 的垂面垂足

回顾复习：

旗杆与底面垂直

生活中的线面垂直现象：

大桥的桥柱与水面垂直

生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？

军人与地面垂直

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

ba

l

A

al bl ab

Aba

l

作用：判定直线与平面垂直．

二、直线与平面垂直判定定理：二、直线与平面垂直判定定理：

线不在多，相交就灵记忆：线线垂直，则线面垂直

回顾复习：

ba b a，（ 3） aba ,)2(

上节思考题，你完成了吗？上节思考题，你完成了吗？

（（ 11 ）如图，点）如图，点 P P 是平行是平行四边形四边形 ABCD ABCD 所在平面外一所在平面外一点，点， O O 是是对角线对角线 ACAC 与与 BDBD 的交点，且的交点，且PA =PC PB =PD .PA =PC PB =PD . 求证：求证： POPO⊥⊥ 平面平面 ABCDABCD

C

A

B

D

O

P

P

A B

C

O

（（ 33 ）探究：）探究： PA⊥⊙o PA⊥⊙o 所所在平面，在平面， AB AB 是⊙是⊙ o o 的直径，的直径，C C 是圆周上一点，则图中有是圆周上一点，则图中有几个直角三角形几个直角三角形 ?? 由此你认由此你认为三棱锥中最多有几个直角为三棱锥中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？三角形？四棱锥呢？

（（ 22 ）课本）课本 P74 P74 练习练习 22

l

P

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示．

直线与平面的一条边垂直

新课讲解：

观察下面四个图，有什么结论？

（ 1 ）

P

l

（ 2 ）

P

l

（ 4 ）

P

l（ 3 ）

P

l

（ 1 ）、（ 2 ）：

（ 3 ）、（ 4 ）：

过空间一点 P 作直线 l 的垂面只有一个；

过空间一点 P 作 的垂线只有一条；

P

A O

四、直线和平面所成的角： 如图所示，一条直线 PA和平面 相交，但不垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点 A叫做斜足。

过斜线上斜足以外的一点 P向平面引垂线 PO ，过垂足 O和斜足 A的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角。

0 90 范围： ，斜线

斜足

射影

1 1 1 1

1 1 1

( 2). , ,

.

ABCD ABC D

AB ABCD

课本例 如图所示 在正方体 中求直线 和平面 所成的角

A B

CD

1A1B

1C1D

O

例题讲解：

如图，直四棱柱 （侧棱与底面垂直的棱柱成为直棱柱）中，底面四边形 满足什么条件时， ？

ABCDDCBA

ABCDDBCA

A

A

B

B

C

C

D

D 底面四边形 对角线相互垂直．

ABCD

课堂练习：1. 判断题：

(1)

(2) , , , ;

(3) , , .

l l

m n l m l n l

l m m n l n

与 相交；（ ）

（ ）

（ ）

F

T

T

2. 求证：平面外一点与这个平面内各点的连线段中， 垂直于平面的线段最短。

1 ．直线与平面垂直的概念

（ 1）利用定义；（ 2）利用判定定理．

3．数学思想方法：转化的思想

空间问题 平面问题

知识小结知识小结

3 ．直线与平面垂直的判定

线线垂直 线面垂直

垂直于平面内任意一条直线

2. 线面角的概念及范围 0 90 范围： ，

P

A B

C

O

1、如图，圆 O 所在一平面为 ，AB 是圆 O 的直径， C 是圆周上一点 , 且 PA AC, PA AB, 求证：（ 1 ） PA BC （ 2 ） BC 平面 PAC

, ,

,

AB AC

AB AC A

PA AC PA AB

PA

BC

PA BC

解：（1）

且

又

PACBC

PABC

ACBC

AB，OC

面得由

为直径一点为圆

1

（ 2 ）

2 、如图，空间中直线 L 和三角形的两边 AC,BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边 AB 的位置关系是（ ）

A 平行B 垂直C 相交D 不确定 A B

C

B

L