五年数学新高考回顾与展望

——谈 2012届数学复习方向

银川二中 陈伟强邮箱： cwq1964@163.com

• 下面侧重以理科大题为例，通过对比这几年已经考过的题型后，可以为我们的高三数学复习指出一些方向 .

•另外，我们还可以关注其它新课标省近年来的考题，对理解新课标、预测新课标下的高考大有裨益 .以下看法仅代表个人观点，如有不当之处，请同仁们批评指正 .

• 还没有考到：化简并研究三角函数的图像与性质；结合向量解三角形与化简求值；测量问题中的追击问题；轮船行驶中的安全问题；从数列是特殊的函数 (如： )出发考查等差、等比；分组求和法等 .

( )nS f n

解： (1) 证明：由已知有 a1 ＋ a2 ＝ 4a1 ＋ 2 ，

解得 a2 ＝ 3a1 ＋ 2 ＝ 5 ，故 b1 ＝ a2 － 2a1

＝ 3.

例 1.(2009· 全国卷Ⅱ理科 ) 设数列 {an} 的

前 n 项和为 Sn ，已知 a1 ＝ 1 ， Sn ＋ 1 ＝ 4an ＋ 2.

(1) 设 bn ＝ an ＋ 1 － 2an ，证明数列 {bn} 是等比数列；

(2) 求数列 {an} 的通项公式 .( 较难 , 可仿照 (1) 降低难

度 )

又 an ＋ 2 ＝ Sn ＋ 2 － Sn ＋ 1 ＝ 4an ＋ 1 ＋ 2 － (4an ＋ 2) ＝ 4an ＋ 1

－ 4an ，于是 an ＋ 2 － 2an ＋ 1 ＝ 2(an ＋ 1 － 2an) ，即 bn ＋ 1 ＝ 2bn.

因此数列 {bn} 是首项为 3 ，公比为 2 的等比数列 .

分析：指向性明确！S n ＋ 1 ＝ 4an ＋ 2,

Sn ＝ 4an-1 ＋ 2(n≥2)

两式相减！

例 1.(2009· 全国卷Ⅱ ) 设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，

已知 a1 ＝ 1 ， Sn ＋ 1 ＝ 4an ＋ 2.

(1) 设 bn ＝ an ＋ 1 － 2an ，证明数列 {bn} 是等比数列；

(2) 求数列 {an} 的通项公式 . ( 较难 , 可仿照 (1) 降低

难度 )

• (I) 基本量法； (II) 分组求和法 .

• 本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力 .

• 本题主要考查辅助角公式，特殊角的三角函数值，正弦定理、余弦定理，并具有探索性 .

• 本题主要考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式 .

• 方法：边化角或角化边 .

• 本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力 .

• 例例 7.(20097.(2009 年陕西理科年陕西理科 17)(17)( 本小题满分本小题满分 1212分分 ))

• (( 救援、追击的角度和距离问题救援、追击的角度和距离问题 ))如图 A ,B 是东西方向的两个观测点， C 点的救援船航行速度为 30 海里 / 小时， D 点是遇难船 . 救援船到达 D 点需要多长时间？

• 还没有考到：前提是一定可以合理选择建系的空间几何体！三棱柱 (底面是正三角形，等腰直角三角形，等腰三角形 )；侧棱垂直于底面的四棱柱 (底面是矩形，菱形，直角梯形 )；某一个侧面垂直于底面的棱柱；再考存在性问题的机会增大 .

• 引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，即将推理论证转化为代数运算 .而如何建立恰当的坐标系，成为用空间向量解题的关键步骤之一．下面是建立空间直角坐标系的三条途径．

• 途径一、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系：当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系．

• 途径二、利用图形中的对称关系建立坐标系：图形中虽没有明显交于一点的三条互相垂直直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱、正四棱锥等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．

• 途径三、利用面面垂直的性质建立坐标系：图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系 .

• 还没有考到：线性回归方程；结合茎叶图考大题 .今后几年以 09~11年考察难度的可能性较大，由于 07， 08年的试题背景与教材有差异，学生不熟悉，得分率太低 .

• 还没有考到：定义法求曲线方程；直线与抛物线的关系问题；再考查最值问题、存在性问题 .

(I) 定义法求曲线方程；(II) 研究直线与圆锥曲线的位置关系，最值问题 .

• 主要考查直线、抛物线、定积分的基本知识 .

• (I) 直译法求轨迹方程；理科 (II)最值问题 .

• (I) >0;△• (II) 探索性、

存在性问题 .

• (I) 直线与椭圆的位置关系；• (II) 探索性、存在性问题 .

• 还没有考到：函数在某闭区间上的最值；由最值引入比较大小或不等式的参数讨论；不单调问题；证明函数不等式等等 .

• 本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的最值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力。

• 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，讨论函数在闭区间内的最值，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力。

• 例 5、例 6分别是单调和不单调的问题 .

• 例 5、例 6分别是单调和不单调的问题 .

• 例 5、例 6分别是单调和不单调的问题 .

(II) 从已知函数 y=f(x) 在区间 [m,2m](m>0)上的最值引入讨论 .

elnx < x.