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数学课堂教学中—数学本质的揭示

华东师范大学数学系

张奠宙

2005. 7. 22 福州！

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教育数学是数学的教育形态： 数学的原始形态： 繁复曲折的数学思考。 书面发表的数学是数学的学术形态： 简洁冰冷的形式化美丽。 教师的责任：把数学的学术形态化为教育形态： 1 高效率地进行火热的思考， 2 揭示数学本质； 3 使学生容易接受。

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数学教育中的“去数学化”倾向 香港科技大学教授项武义认为， 大陆的新课程标准有“去数学化”的倾向。

“去数学化”， 指数学教育只讲“教育学”“心理学”规律， 忽视数学实质的揭示。

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结实数学本质， 才能提高效率 教育不等于认识论。 数学教学是要在很短的时间里， 让学生把握人类几千年来积累的数学知识。掌握数学本质，精中求简，保持核心价值

一万年以后怎么办？ 老是探究， 自己发现，还有效率可谈吗？

没有效率的教学理论是走不远的！

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第一部分

关于数学本质的把握与呈现

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数学教学成功的标志 主要看是否达到教学目标：学生是否理解和

掌握了数学（数学的科学性）， 包括： 数学本质的理解； 数学知识的掌握； 数学能力的形成。教育方式是手段（现在的标准： 学生活跃？合作？

用计算机？ 探究？……游离于数学本身） 奇谈怪论： 结果不是最重要的， 重要的在于参与； 知识不是最重要的， 重要的在于过程。

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项目 因素 优秀 良好 待提高

情意过程

教学环境教学环境      

学习兴趣学习兴趣      

自信心自信心      

认知过程 学习方式学习方式      

思维的发展思维的发展      

解决问题与应用意识解决问题与应用意识      

因材施教 尊重个性差异尊重个性差异      

面向全体学生面向全体学生      

教学方法与手段教学方法与手段      

基本功 扎实、有效扎实、有效      

总评      

 

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数学知识的储备：一个比喻 一缸水和一杯水 一桶水和一杯水 一杯水和一杯水 没有水可以打井取水 教师的作用：鱼， 渔 数学本质的把握需要数学修养

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“ 数学本质”的内涵： 1 。 数学知识的内在联系； 2 。 数学规律的形成过程； 3 。 数学思想方法的提炼； 4 。 数学理性精神的体验。形成数学的教育形态： “ 返朴归真”， “平易近人”， “ 言之有理”，“感悟真情”

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数学本质被两种活动所掩盖：

1 。过度的形式化。 “淡化形式，注重实质”。

2 。教条式的改革。表面热闹、缺乏效率的教学过程。

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例一。 乘法交换律： ab =ba 某杂志刊登的特优教案这样设计： 学生交换位置 （没有说人数不变）； 兔子和鸭子交换任务：兔子摸螺蛳，鸭子拔

青草。 （没有谈不变性） 用柄很长的勺子喝水， 自己喝不到， 互相帮助， 交换勺子喝水。（只有交换， 没有不变的规律）。

交换律的数学本质： 交换后乘积不变。

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例二。三角形内角和问题 姜伯驹院士在政协的提案指出 “三角形内角和等于 180度这样的基本定理，让学生用剪刀将三个角进行拼接实验。只知其然不知其所以然，如何培养思辨能力？”

不鼓励学生问为什么，数学课就失去了灵魂。

李大潜院士：“老是量， 就倒退到尼罗河时代去了”

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三角形内角和定理的价值 没有实际价值， 超越日常经验。 当初古希腊学者不是“量”出来的。 价值在于理性思维， 从公理出发的演绎推理。 建议：要么作公理， 要么进行推理。 例如：所有矩形的四个角都是直角 直角三角形内角和为 180 度 任意三角形内角和为 180 度

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例三。正弦定理的教学 （一个忽视数学实质的设计） 请同桌同学任意画一个三角形，测量它

的各角大小和各边的长，并用计算器分别计算 c/sinC, b/sinB, a/sinA 的值，看看有什么结果？

（学生一个人在画和测量，另一个人在记录和计算，进行合作学习）

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学生

a b c ∠A ∠B ∠C

c/sinC B/cosA A/sinA A/conB B/sinB

A 4.1 3.3 3.75 700 500 600 4.330 9.649 4.363 6.378 4.308

B 5.3 3.1 3.6 107.50 330 39.50

5.660 -10.301 5.557 6.320 5.692

c 3 3 3 600 600 600 2.598 6 2.598 6 2.598

根据你们的计算结果和三个小组的交流情况，你们有什么看法？

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正弦定理是量出来的吗？ 分组测量， 汇报结果， 这是败笔。 数学不能靠大家意见相同得到结论。必须证明。

正弦定理的证明很简单。靠“高”为媒介， 比一下立刻推得。

正弦定理的本质在于找到“三角形的边与角的关系”， 平面几何“大边对大角”的数量化。

三角是几何的定量化，沟通代数和几何的桥梁。

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例四。 Freudenthal 经典情景：

巨人的手（通过“量”掌握数学本质） 比例只是“照片放大”、“地图比例尺”？ 黑板上留下巨人的手印， 请你为巨人设计巨人使用的书籍、桌子和椅子的尺寸。

活动设计： 1 。 用自己的手和巨人的手相比。 2 。 定下“比值” 3 。 量自己的书、桌子、椅子尺寸 4 。 用比例放大 （量得有价值， 有意义）

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例五。坐标活动（长宁） 将教室的课桌并拢，用两根有箭头的绳子做成坐标轴；

坐标对应学生， 请学生自己看坐标； 两坐标都是非负的站起来； 两坐标相等

的站起来； 换一个同学做坐标原点。 这样活动， 抓住了“坐标”的数学实质。

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例六：美国德州 (Austin) 的一个 斜率概念教学设计

为了联系学生生活实际 , 提出情景 : “早上起床时 , 你先要从床上起来 (rise), 然后走到厨房去做早餐 (run)” 由此联系到斜率的概念 : 纵距离与横距离之比 rise over run.

评论：教案设计者只利用了 rise 和 run 这两个词的表面意思 , 并没有突出两者必须存在关联 ,必须研究二者的比例 . 难道每个 rise 和 run 都有斜率的问题 (起床和去厨房这个过程的斜率是什么 ?)

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另一个美国数学教育故事 一组教师引入”二次函数”的方法是首先介绍”

毕达哥拉斯定理” . Cindy 请她们解释为何要用此定理来引入二次函数概念 , 回答是 :

“ 因为那里有平方” . ？！ 数学的本质完全被曲解了。

Cindy继续提问 , 希望他们能意识到问题所在 , 结果惹得众人很不愉快 . 事后 , 那个学区的教师间接告诉 Cindy: “请她以后不要再到我们学区来了 . 我们不欢迎她 !”

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例 7 方程概念 外在的逻辑形式： 含有未知数的等式叫方程。 内在的数学本质： 方程是为了寻求未知数， 在已知数和

未知数之间建立的一种等价关系。 “ 方程”思想的本质在于建立关系 为了认识“未知数”先生， 必须请已知数“先

生为媒介， 找到一种关系， 根据关系就能认识“未知数”先生了。

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方程思想（三根电线的长度） 上海 51中学陈振宣提供 : 他的一个学生在和平饭店做电工。发现地下室到 10楼的三根电线不一样长。 如何测知他们的电阻？

袁枚（清）：“学如箭镞， 才如弓弩； 识以领之， 方能中鹄”。

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例 8 复数的定义 一对有序的实数（ x,y) ， 称做复数。前

者成为实部， 后者成为虚部。（错）

但是，向量也是一对实数！ 复数的本质在于它的乘法： (a,b) · (c,d) = (ac –bd, ad+bc)

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例 9 “圆的认识”这样说， 对吗？ 1 ．用甩动系在细绳上的小球形成圆， 是传统的灌输

方法。 让小朋友排成圆形公平玩套花游戏， 是好的结合学生实践的方法。

2 ．用圆形纸片折纸找圆心的活动，是传统的。 甩动不同长度的细绳形成圆的中心是圆心， 则是探究的好方法。

3 ．用圆规划圆在认识圆之后， 是传统的灌输的。 在认识圆之前使用圆规划圆， 是“过程性“的好方法。

我的看法是， 凡是能够揭示“圆的数学本质”教学方法都有价值的。有的是动态的， 有的是静态的。有的适合找圆心，有的适合找半径， 有的便于表达，有的着重理解。它们没有好坏之分。

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例 10 。 勾股定理（毕达哥拉斯定理）的教学设计 用各种方法发现：方格纸上3， 4， 5 的计算等。 6张工作单：发现猜想

a2 + b2 = c2 换一种思维：将勾股定理直接告诉学生， 用各种美丽的画面， 讲述中外有关历史，包括和外星人联系使用的信息。 把重点放在如何证明上。 多种证明。 最后联系到费马大定理 an + bn = cn (n>3) 。

哪一种更能体现数学本质？

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例 11 。文字代表数的本质： 符号运算 （只代表， 不运算， 没有价值） 项武义教授： “ 文字代表数的本质是不定元和

数字进行相同的运算。 如 (2x + 3x2 ) = x (2+3x) （教材上没有讲为什么可以这样做）。 解二次方程： 因子分解、配方、同解变换 根 数学家之所以有饭吃， 在于能够运用符号

获得结果 （复旦 张荫南）

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数学符号是一种语言 语文靠想象， 将符号（方块字）用语法表示出来。 说话写

下来就是文章。 数学靠理性， 将数学符号通过运算、演绎得到结论。 这是

人为构造的语言。 语文、数学、诗词、定理， 都是符号运作 语文是“饭”， 不吃要死，容易煮熟。便宜 数学是“菜”，不吃菜也可以活，但身体弱。比较

贵。烧菜很难。吃菜必须合理。 诗词是“酒”， 酒可以不喝，酿酒更难。有人喜欢，闲时享受才喝。定理也是酒。

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例 12一个例子怎能概括出负负得正？？ 探究式教学。例：一列每小时 80 公里的火车向西开， 1

2 时火车恰在上海。用上海向东向西表示方向的正负， 12 点之后之前为时间的正负。 问 10 点时火车在什么位置？ 答案：（ -2 ） x （ -80 ） = 160

于是概括得出数的运算的规律负负得正。 （先乘除后加减、颠倒相乘、分数的交换律…… ）

数学不允许这样的概括。 有意义的接受（先做后说）。先有规则， 后有解释。先执行， 然后举例说明其合

理性。反思也是创新的必要步骤。 先举例是探究， 后举例说明是有意义接受。

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例 13 。函数的两个定义： 宏观与微观

人们需要宏观与微观两种观点。政治上的全局与局部；物理学上的宇宙与原子； 艺术上的写意与工笔 …

初中的函数从大局发展着眼， 宏观地观察数量之间彼此依存的关系， 看总体发展趋势。

宏观函数概念的本质是变量之间的依赖性。 高中函数定义讲究微观地、静态地观察， 用两

个数集之间的对应来描述。 微观函数概念的本质在于精确化的对应。 两种定义互有短长，并非高级与低级之分 。

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函数定义中 “唯一”重要吗？ 唯一不是本质。 不唯一成多值函数而已。 多值函数单值化即可。 描写圆的函数， 上半圆和下半圆。 反三角函数

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例 14 。 函数的单调性 单调性的本质是描述函数的变化趋势。

这可以直观地观察， 画图，数列等 但是，单调性概念的数学本质在于处理无限变化的趋势；呈现的方式对“任意”两个自变量 x1 < x2 , 都有 f(x1)< f(x2)

将直观的自然语言表述为严格的数学语言， 才能获得数学本质的认识

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例 15 数学归纳法的比喻 1 。 通常借喻 多米诺骨牌效应 2 。 火车头带火车。 第一节重要（火车头） ， 然后， 各节车厢一节节地连接好。

3 。 排队。 第一个是 X学校学生， 然后保证后面一个和我同校， X学校学生的队伍排好。

数学归纳法的本质是从有限过渡到无限。以上的比喻都必须注意这个特征。

相比之下， 多米诺骨牌好些。

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例 16 。小学数学课程 1 ， 1 ， 2 ， 1 ， 1 ， 2 , ___, ___, __

_ 应该 是什么？ 乘数、 被乘数。 3 个 5 相加，可以写成 5X3 ， 也可以写

成 3X5 。对吗？ 12 x 4 读做 12 乘以 4 ， 读 12 乘 4

为错。

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例 17 概念教学 : 淡化形式 , 注重实质 . 下列是问题是否妥当 ? 判断下列各例是否正确？

1. （只）有一组对边平行的四边形是梯形2 。 含有未知数的（等）式子叫方程3. （平面上）不相交的两条直线叫平行 线

平行四边形也是梯形， 有何不可？ x - x =0; 0x=0; 是方程吗？ 也许还要加上“在欧氏空间中”？

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例 18 施琅收复台湾丢银币说谎？ 50 银币都朝上， 好兆头， 出兵胜利。 《小学数学教师》 2004 。 9 月文章说： 我们做个实验： 原来丢 50 个银币不是

都朝上。 结论： 说明施琅将军占卦是说谎。 学生没有机械地记忆与模仿， 完全是一

个自主探究主动发展的过程。不

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例 19 。糖水浓度 a -- 溶液（糖水）； b – 溶质（糖） b/a -- 浓度（甜度） 现在向糖水中再放糖 m>0， 糖水变甜； b/a < (b+m) / (a+m)如果 b/a < d/c 是两杯不一样甜的糖水倒再一起， 甜

度会怎样？ b/a < (b+d)/(a+c) < d/c 这不是证明， 却把握了数学过程的

本质

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20 。 放烟火 （ Interactive Mathematics Project) 主题教学 一元二次函数的单元模型。 高楼上放烟火， 形成的曲线。 顶点 落地点 与物理的关系： 抛物线。

大模型， 不是一节课的引入问题

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例 21 。三角函数。 单摆，电磁波 y = ASin(ωt +φ) 周期性。这是基本概念。 举例（波动， 简谐

运动， 课程表， 潮汐…… 和谐性。 这是三角函数的特征。 音乐， 单摆，电磁波。

相位性。理解三角函数变换的难点。 原始性。 不定元 X 可以构造多项式， 分式、无理式； sinx 可以构造各种三角函数，用来逼近其他

函数。 三角恒等变换只是工具而已

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例 22.余弦定理与三点距离问题 -- 表示培养能力 （荷兰）甲离学校 10 公里， 乙离甲 3 公里， 问乙离

学校几公里？ 训练学生的数学表示能力。 甲、乙、学校在一条直线上？ 没有说。 校 乙 甲 乙‘

坐标。参数。复数。空间

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例 23 。四维空间的 4- 方体（苏联中学数学教材的一道空间想象题） 四维空间单位方体的顶点数 .棱数 , 面数 , 三维面数 , 四维体数 ?

解：顶点数： 23 =16 。 棱数：（ 16 · 4 ） /2 = 32 二维面：（ 16· C4

2 ） /4 = 24 三维面： （ 16 C4

3 ） /8 = 8 四维面： 1 一般地 （ 2 +1 ） n = 2n + n2n-1 +… + 1 爱因斯坦的四维时空可以进入中学数学

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例 24 。微积分的问题驱动 （ 1 ） 全局的问题。抛物线 y = x2 , 可

以用许多方法研究， 试观察它的切线。 （ 2 ）关键的问题。割线的极限位置 （ 3 ）增量的重要性微积分是增量分析 （ 4 ）增量比的极限克服极限

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例 25 增量分析： 微积分的本质。 y = f(x) , y 随 x 的变化而变化 。 销量随

价格的变化而变化。太普通 增量的提法： 价格变一元， 销量变多少？很重要。所以我们要研究 y 的增量和 x 的增量之比的极限。

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例 26 。瞬时速度 瞬时速度是出发点？ 还是微积分的应用？

瞬时速度是原始概念， 快车赶上慢车的一刹那。

小学里没有面积的概念， 就可以求面积。 道理是一样的。

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例 27 。概率的统计本质传统：掷骰子 等可能性 排列组合 理论概率 计算概率（考试）

现代：掷骰子 实验 频率 经验概率 理论概率 排列组合 理论概率计算 统计方法

。

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理论概率和经验概率 等可能性出发定义概率 （北师大版） 传统。形式化处理。但是片面。 不能解

释降水概率、次品率、事故率等等 用实验方法以频率取代概率（华东师大版）可能比较难以捉摸。但是符合实际。

两种不同的思想体系。怎样呈现概率的“教育形态”， 是一个理论问题， 也是实践问题。

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信息时代的数学新课题：算法 算法并不陌生。 先乘除， 后加减； 分

数通分；高斯消去法；求最大公约数的辗转相除法； 珠算口诀……

算法是人和计算机相通的语言。 算法成为公民科学素质的一部分。 印度

的经验。 赋值语句，条件语句，循环语句。

例 28 。用迭代方法解决问题（录自美国数学课程标准， 2000 ）

一位女生在打排球时膝盖受伤。

她的医生要她在 10天内每 8 小时服用两粒 220毫克的药片， 以减轻伤痛。

如果她的身体每 8 小时吸收 60%的药物， 那么 10天后， 她身体中还有多少毫克的药物？

一位女生在打排球时膝盖受伤。

她的医生要她在 10天内每 8 小时服用两粒 220毫克的药片， 以减轻伤痛。

如果她的身体每 8 小时吸收 60%的药物， 那么 10天后， 她身体中还有多少毫克的药物？

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迭代进入中学数学

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下时段 = 0.4(现在 ) + 440, start at 440下时段 = 0.4(现在 ) + 440, start at 440

a1 = 440 and an + 1 = 0.4an + 440 for 1 ≤ n ≤ 31a1 = 440 and an + 1 = 0.4an + 440 for 1 ≤ n ≤ 31

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第二部分

数学文化的孕育与体现

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数学文化：支撑数学的基础 音乐 不等于 音符节拍 美术 不等于 线条颜色 数学 不等于 逻辑程式

光彩照人的女王 X 光照片下的骨架！

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丘成桐

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数学之为学，有其独特之处，可说是人文科学和自然科学的桥梁。

数学的文采，表现于简洁，寥寥数语，便能道出不同现象的法则。

我的老师陈省身先生创作的陈氏类，就文采斐然，令人赞叹。它在扭曲的空间中找到简洁的不变量，在现象界中成为物理学界求量子化的主要工具，可说是描述大自然美丽的诗篇，直如陶渊明“采菊东篱下，悠然见南山”的意境。

从欧氏几何的公理化，到笛卡儿创立的解析几何，到牛顿、莱布尼兹的微积分，到高斯、黎曼创立的内蕴几何，一直到与物理学水乳相融的近代几何，都以简洁而富于变化为宗，其文采绝不逊色于任何一件文学创作，它们轫生的时代与文艺兴起的时代相同，绝对不是巧合。

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江山代有人才，能够带领我们进入新的境界的都是好的数学。

好的工作应当是文已尽而意有余，大部分数学文章质木无文，流俗所好，不过两三年耳。但是有创意的文章，未必为时所好，往往十数年后始见其功。

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。 气有清浊，如何寻找数学的魂魄，视乎我们的文化修养 王国维在《人间词话》中说：“词以境界为最

上。有境界则自成高格。”他并因此而区分了“造境”与“写境”，“有我之境”与“无我之境”等。

解除名利的束缚，俾欣赏大自然的直觉毫无拘束地表露出来，乃是数学家养气最重要的一步。

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数学文化的建设 数学文化 ≠ 数学史 数学文化要从数学思想和一般文化的互动中进行考察。

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揭示数学背后隐藏的文化价值

数学通过了考试， 是否获得了理性思维的训练。 猪八戒吃人参果？

数学教学要把数学的文化价值展现， 帮助学生体会。

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例 1.“ 对顶角相等”是否要证明？数学与民主古希腊城邦实行奴隶主的民主

政治。 民主要求说服、说服需要证明、公理化方法得到应用。

几何原本。 命题 15 ：对顶角相等。用公理 3 ：等量减等量， 其差相等。

A BC

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中国古代数学是官方管理数学 春秋战国， 百家争鸣。 实行谋士向君王建议治国之道。与古希腊统治阶级实行民主政治不同。

中国数学为帝王的统治服务。 九章算术：丈量田亩、计算税收、分摊徭役、计算土方、运输计费… 没有“对顶角相等”。

勾股定理 古希腊与中国都有 古希腊重证明； 中国重算法。 理性思维 -- 数学的德育教育功能。

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例 2 对称和对仗 对称是几何变换。 变换之后有不变的量。轴

对称、中心对称后图形不变、长度角度都不变。 中国的对仗：“明月松间照，清泉石上流”

（王维诗句）。 “明月” 对“清泉”， 变中有不变。形容词对形容词， 名词对名词， 自然景物仍然是自然景物。

文化上看， 二者异曲同工。只是数学更加准确、比较抽象而已。

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例 3 。 时间和空间 初唐诗人陈子昂诗云：“前不见古人， 后不见来者， 念天地之悠悠， 独怆然而涕下。”这是古人乃只今天人们对时间与空间的认识。

时间的模型是一条两端无限的直线：诗人处在原点。 天地各为两个平面， 悠悠地、无限地伸展着。 我们的几何就是在这样的空间里展开的。 实际上， 地球上的几何就超出了这个范围： 非欧几何。揭示数学的文化内涵

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其他数学意境 孤帆远影碧空尽， 惟见长江天际流。

（徐利治：极限意境）众里寻他千百度，蓦然回首， 那

人却在灯火阑珊处。 （王国维《人间词话》）

（解题意境）

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例 4 。 丘成桐谈《史记》 2002 年 8 月 20 日早上中央电视台东方时空的“东方之子”栏目 （方静采访）

“ 我读《史记》象欣赏歌剧， 一幕幕地展开。” 华彩乐章如：高山仰止， 景行景止。。

历史是宏观的。 学习历史会使人用宏观观点考察事物。 我提出的数学想法往往和别人的不一样， 就是得力于《史记》

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例 5 。 变化中的不变量 与时俱进， 但是主要民族传统不变。 物理学的能量守恒、动量守恒 数学中的不变规律：对称；分数的不同表示， 交换率， 方程的同解； 恒等式 sin2x + cos2x =1;

（数学思想方法之一） 几何不变量，代数不变量。 拓扑不变量： 多面

体欧拉定理， 七桥问题。 陈类

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例 6 。 微积分中的中国史料 李善兰、伟列亚力译：《代微积拾级》

（ 1859 ） 日本学者学习微积分的唯一通道（ 187

0 年以前） 京师同文馆，除“经学”和“数学”外，

物理、化学、博物等全聘外国人。 数学教习就是李善兰。

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中国最早的微积分译作 李善兰（ 1811 – 1882 ）

禾彳天 意思是

∫ dx

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清末中国数学的亮点 李善兰恒等式 :

戴煦数 tan x =Σ ( Dn / (2n-1)!) x2n-1 . 欧拉数 secx =Σ ( En / 2n!) x2n

Dn 1 ， 2 ， 16 ， 272 ， 7936 ， 353792 ，…… ( 可惜不懂微积分，没有用泰勒公式）

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例 7 。 线性组合与通解（项武义） 《孙子算经》中国剩余定理 同余式组： x = b1 (mod m1), x = b2 (mod m2) x = b3 (mod m3)可以归结为 b1 b2 b3 为（ 1 ， 0 ， 0 ），（ 0 ， 1 ， 0 ）（ 0 ， 0 ， 1 ）时的特解，

然后可以用系数乘特解的线性组合得到通解。

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例 8 。 伟大的期望值 中国的麻将为什么不能产生概率论？ 概率是一定会有的。 数学期望才是催生理性思考的问题 有一笔赌金， 甲、乙两人竞赌， 输赢的概率各

为 1/2 ， 以先累计达到 5盘胜利者获得这笔赌金。在进行过程中， 因故突然终止。 此时， 甲赢了 4 局， 乙赢了 3 局。 问这笔赌金该如何分配才合理？

4/7 和 3/7 比较合理 ？

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例 9 战后： 1948年的数学地图

1948： 美国仙农发表《信息的数学理论》 1948：维纳发表《控制论》。信息、控制是数学吗？ 1948 ： von Neuman 计算机方案形成 中国缺乏这样的数学偶像

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例 10 。 1970年走出布尔巴基的光环

布尔巴基的结构主义 冲破“函数论”王国 用“代数结构、序结构、拓扑结构”统一数学。

集合论、测度论、李群论、抽象代数、代数拓扑、泛函分析…… 融为一体。

不能包括微分几何、数论、概率统计、计算数学、离散数学……

1950 年。吴文俊在《科学通报》介绍布尔巴基。 无人喝彩。

1970 年。 年轻数学家走出布尔巴基的影响 1980 年。 中国大规模介绍布尔巴基学派。

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最后：

谨慎地接受西方的教育理论！

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建构主义的某些主张并不新鲜 知识是学生自己建构的 学生不是一张白纸 学生的头脑不是一张空桶 知识是不能灌输的。 建构主义教育建议：自主、探究、合作。

我们都同意！以前也是这样提倡的！

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能动的反映论 教师为主导， 学生为主体。 师傅领进门， 修行在个人。 启发式教学，师生讨论， 反对满堂灌。

谁说“学生是一张白纸？” “能动的反映论”！

知识是不能传授的？科学传授 + 主动接受是好的教育？

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认识论 教学论 教育要讲究效率， 因为我们是把人类几千年积累的知识， 取其精华， 在“很短的时间内， 让学生掌握， 并形成能力。

建构主义是认识论。 《实践论》也是解决认识论问题。 建构主义认识论比较精致， 但是有唯心倾向。

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建构主义的定义(http://www.mathforum）建构主义是一种科学理论， 不能庸俗化。台湾的失败。 （知识是个人学习的， 大白话。）• “ 什么是建构主义？如下的解释能够同意吗 ?

• “ 学生需要对每一个数学概念构造自己的理解， 使得“教”的作用不再是演讲、解释、或者企图去“传送”知识， 而是为促使学生进行心智建构创设学习环境和条件。这种教学方法的关键， 是将每一个数学概念按皮亚杰的知识理论分解成许多发展性的步骤，这些步骤的确定要基于对学生的观察和谈话

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人的知识多半是主动接受而来大多是间接经验， 少量的直接经验 书籍、报刊的阅读， 电视的传播，世纪大讲堂。 领导的讲话， 听名人报告。 政府颁布的法律，遵守就是了 交通规则的遵守， 学开车知道照办 这些都是“单向传输的” 为什么教师在课堂讲授就是错误的？ 西方课堂上教师与学生讲话 8： 1 香港是 16 ： 1 （ TIMSS 调查， 1999）

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数学教育的核心是让学生掌握数学本质；

教育数学的目标是为学生提供优质数学。

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