ιακρινά αθημανικά Ιecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95851/mod_resource/content/...2.Για κάθε 1 ≤ μ ≤ λ, ο προτασιακός τύπος φμείτε

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές

Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

MYY204MYY204Δ ά Μ θ άΔ ά Μ θ ά IIΔιακριτά ΜαθηματικάΔιακριτά Μαθηματικά II

ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

-- Τυπικές Αποδείξεις-- Τυπικές Αποδείξεις

-- Αποδεικτικές Μέθοδοι και Θεωρήματα

(Σημειώσεις & Παρ. 1.3 βιβλίου EPP)2η Εβδομάδα

Σπύρος Κοντογιάννης – Άνοιξη 2015Τμήμα Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων

Έλεγχος Ορθότητας ΕπιχειρημάτωνΈλεγχος Ορθότητας ΕπιχειρημάτωνΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑ: Μια ακολουθία προτάσεων που καταλήγουν σε μια τελική πρόταση (το συμπέρασμα).

ΕΡΩΤΗΣΗ: Πώς εξασφαλίζεται η εγκυρότητα ενός επιχειρήματος?

ΣΗΜΑΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ: Η εξασφάλιση της ξ φ η ηςεγκυρότητας ενός επιχειρήματος από την ερμηνεία του συμπεράσματος (αγνοώντας τη δομή του επιχειρήματος).

ΣΥΝΤΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ: Η εξασφάλιση της εγκυρότητας ενός επιχειρήματος από τη δομή του ίδιου γ ρ η ς ς χ ρήμ ς η μήτου επιχειρήματος, αγνοώντας το περιεχόμενο (τη σημασία) του συμπεράσματος και/ή των επιμέρους

Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος Κοντογιάννης22

Τμήμα Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: ∆ιακριτά Μαθηματικά (201Τμήμα Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: ∆ιακριτά Μαθηματικά (20133))Τμήμα Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: ∆ιακριτά Μαθηματικά (201Τμήμα Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΠΛΥ210: ∆ιακριτά Μαθηματικά (20133)) Σπύρος ΚοντογιάννηςΣπύρος Κοντογιάννης22

Τμήμα Μηχσνικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ20Τμήμα Μηχσνικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ2044: ∆ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη : ∆ιακριτά Μαθηματικά (Άνοιξη 2015)2015)

προτάσεων.

Σημασιολογική Προσέγγιση (Ι)Σημασιολογική Προσέγγιση (Ι)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΟΣ:1. ΑΝ ο Σωκράτης είναι άνθρωπος ΤΟΤΕ (ο Σωκράτης) είναι θνητός.2. Ο Σωκράτης είναι άνθρωπος.2. Ο Σωκράτης είναι άνθρωπος. Ο Σωκράτης είναι θνητός.Μορφή Επιχειρήματος: 1

p q (p q)

A A A1. p q2. p q

A Ψ Ψ

Ψ Α Αq

ΣΗΜΑΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ:

Γνωρίζω ότι (πράγματι) ο Σωκράτης είναι κάποιος συγκεκριμένος

Ψ Ψ Α

Γνωρίζω ότι (πράγματι) ο Σωκράτης είναι κάποιος συγκεκριμένος άνθρωπος (άρα, με ενδιαφέρουν ΜΟΝΟ οι γραμμές του πίνακα αλήθειας όπου α(p) = A) και επίσης ότι όλοι οι άνθρωποι είναι πράγματι θνητοί (άρα με ενδιαφέρουν ΜΟΝΟ οι γραμμές του πίνακαπράγματι θνητοί (άρα με ενδιαφέρουν ΜΟΝΟ οι γραμμές του πίνακα αλήθειας που έχουν α(pq) = Α).

Με άλλα λόγια: Με ενδιαφέρει ΜΟΝΟ η γραμμή 1 του πίνακα




γ φ ρ η γρ μμήαλήθειας, που εξασφαλίζει α(p) = A) ΚΑΙ α(p q) = Α. Για τη γραμμή αυτή ισχύει ότι α(q)=Α.

Σημασιολογική Προσέγγιση (ΙΙ)Σημασιολογική Προσέγγιση (ΙΙ)ΣΗΜΑΣΙΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ: Με Χρήση Νόμων ΠΛ.

Θέλω νδο p q p |= q ή ισοδύναμα (pq) p |= q :Θέλω νδο p q , p |= q, ή ισοδύναμα, (pq) p |= q :

(p q) p Υπόθεση

(p q) p Ν. αντικατάστασης

(p p) (q p) Ν. επιμεριστικότητας

α (q p) Ν αποκλεισμού τρίτου: pp α α (q p) Ν. αποκλεισμού τρίτου: pp α

q p Ν. απορρόφησης: α φ φς

|= q φ χ |= φ, από πίνακες αλήθειας




ΆΡΑ: p q , p |= q

Σημασιολογική Προσέγγιση (ΙΣημασιολογική Προσέγγιση (ΙIIΙ)Ι)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ Λ.13: Επιβεβαιώστε ότι ∆ΕΝ ΕΙΝΑΙ έγκυροοποιοδήποτε επιχείρημα γράφεται στη μορφή:

1. p q r

2. q p r

p r

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

1ος τρόπος: Κάνουμε κοινό πίνακα αλήθειας για να διαπιστώσουμε τελικά ότι ∆ΕΝ ΙΣΧΥΕΙ ότι

p q r , q p r |= p r

2ος τρόπος: ∆είχνουμε ότι ∆ΕΝ ΕΙΝΑΙ ταυτολογία ο τύπος:




(p q r) (q p r) (p r)

Σημασιολογική Προσέγγιση (ΙΣημασιολογική Προσέγγιση (ΙVV))ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ Λ.13 (συνέχεια): Παραθέτουμε την απόδειξη με βάση το 2ο τρόπο.

( p q r) (q p r) (p r)

Ψ

Α Ψ Ψ

Α Α Ψ Α Α Α Ψ Ψ Α Ψ Ψ

Α Α Α ΑΨ Α Α ΑΨΨ Ψ Α Ψ Ψ

Α Α Ψ Α ΑΨ Α Ψ Α ΑΨΨ Ψ Α Ψ Ψ

ΑΡΑ: Για α(p) = A, α(q) = α(r) = Ψ, ο τύπος γίνεται ψευδής, συνεπώς δεν είναι ταυτολογία, και άρα ∆ΕΝ ΕΙΝΑΙ ΕΓΚΥΡΟΣ ό δ ί




ΕΓΚΥΡΟΣ ο ισχυρισμός του παραδείγματος.

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ με Σημασιολογική ΠροσέγγισηΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ με Σημασιολογική Προσέγγιση

Πολλές φορές πρέπει (τελικά) να καταφεύγουμε σε πίνακες αλήθειας.

Πάρα πολλοί κανόνες (πχ, Νόμοι της ΠΛ) που θα πρέπει θ ό ξ ύ (ώ ύνα θυμόμαστε και να αξιοποιούμε (ώστε να αποφύγουμε

τον πίνακα αλήθειας).

Χρειαζόμαστε ένα μηχανικό τρόπο ελέγχου ορθότητας επιχειρημάτων που να βασίζεται σε όσο το δυνατόνεπιχειρημάτων, που να βασίζεται σε όσο το δυνατόν λιγότερα «δόγματα» και να διαθέτει (λίγους αλλά ισχυρούς) κανόνες παραγωγής νέας γνώσης.χ ρ ς) ς ρ γ γής ς γ ης

ΠΩΣ? Με τη Συντακτική Προσέγγιση!!!




η ή ρ γγ η

Προτασιακός ΛογισμόςΠροτασιακός Λογισμός

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛ.6: Ένα ζεύγος <Α,Κ> λέγεται αξιωματικό σύστημα για τον Προτασιακό Λογισμό αν το Α είναι σύνολο προτασιακών τύπων (τα αξιώματα, ή αξιωματικά σχήματα) και το Κ είναι σύνολο σχέσεων που αντιστοιχούν ν-άδες προτασιακών τύπων σε προτασιακούς τύπους (οι αποδεικτικοί κανόνες).

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛ.7: Το αξιωματικό σύστημα <Α0,Κ0> ορίζεται ως εξής:

• Αξιώματα (ή Αξιωματικά Σχήματα – ΑΣ) του Α0 : ∆εχόμαστε(ΜΟΝΟ) την αλήθεια των ακόλουθων συντακτικών μορφών:[ ΑΣ1 ] α (β α)[ ΑΣ1 ] α (β α)[ ΑΣ2 ] [ α (β γ) ] [ (α β) (α γ) ][ ΑΣ3 ] ( α β ) [ (α β) α ]

• Κανόνας του Κ0: ∆εχόμαστε (ΜΟΝΟ) την ισχύ των ακόλουθων ταυτολογικών συνεπαγωγών:[ Modus Ponens (MP) ] α , α β |= β




[ ( ) ] β | β[ Modus Tollens (ΜΤ) ] β , α β |= α

Τυπική ΑπόδειξηΤυπική Απόδειξη

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛ.8: Αν μας δίνεται ένα σύνολο προτασιακών τύπων Τ = χ1 , ... , χκ , που θεωρούμε ως ΑΡΧΙΚΕΣ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ,τυπική απόδειξη για έναν τύπο φ, λέγεται οποιαδήποτε πεπερασμένη ακολουθία προτασιακών τύπων φ1,...,φλ τ.ώ.:1 λ

1. Ο τύπος φ να ταυτίζεται με τον φλ, και

θ2. Για κάθε 1 ≤ μ ≤ λ, ο προτασιακός τύπος φμ είτε ανήκει στο Α0Τ (ΑΣ ή αρχική υπόθεση), ή προκύπτει από τους τύπους του συνόλου

Α0 Τ 1νκ-1 φν κάνοντας χρήση του αποδεικτικού κανόνα Μodus Ρonens.

ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: Τ |– φ ή χ1 , ... , χκ |– φ.

ΑΝ |– φ (ή αλλιώς, |– φ) ΤΟΤΕ ο φ καλείται τυπικό θεώρημα.




| φ (ή ς, | φ) φ ρημ

Παραδείγματα Τυπικών Αποδείξεων (Ι)Παραδείγματα Τυπικών Αποδείξεων (Ι)

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ ΠΛ.14: Αποδείξτε ότι είναι τυπικό θεώρημαο προτασιακός τύπος φφ.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Μας ζητείται να αποδείξουμε ότι | φφ. Θα πρέπει να β ύ ΜΟΝΟ ΑΣ1 ΑΣ2 ΑΣ3 ΜΡ ΜΤβασιστούμε ΜΟΝΟ στους ΑΣ1,ΑΣ2,ΑΣ3 και στα ΜΡ ΜΤ, αφού το σύνολο των αρχικών μας υποθέσεων είναι ΚΕΝΟ Ας δούμε όμως πώς μπορούμε να το κάνουμε:ΚΕΝΟ. Ας δούμε όμως πώς μπορούμε να το κάνουμε:

1. φ[(φφ)φ] [φ(φφ)](φφ) ΑΣ2

2. φ[(φφ)φ] ΑΣ1

3 [φ(φφ)](φφ) 1 2ΜΡ3. [φ(φφ)](φφ) 1,2ΜΡ

4. φ(φφ) ΑΣ1




5. φφ 3,4ΜΡ

Παραδείγματα Τυπικών Αποδείξεων (ΙΙ)Παραδείγματα Τυπικών Αποδείξεων (ΙΙ)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ ΠΛ.15: Αποδείξτε ότι για οποιοδήποτε ζεύγος

προτασιακών τύπων φ,ψ, ισχύει ότι: φ |– [(ψ φ) ψ].

Ο β λ ό | έ ή ΤΥΠΙΚΗΣ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗΣΟ συμβολισμός |– παραπέμπει σε παροχή ΤΥΠΙΚΗΣ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗΣ.

ΣΚΕΠΤΙΚΟ (όχι τυπική απόδειξη): Ζητούμενο = [(ψ φ)ψ].

Τι θα χρειαζόμαστε για να αποδείξουμε το ζητούμενο?

Ο ό έ ΚΑΠΟΙΑΣ ή ΑΣ3 Ομοιότητα με συμπέρασμα ΚΑΠΟΙΑΣ μορφής του ΑΣ3:[ψ φ] [(ψ φ)ψ]

ΑΡΑ: Θα αρκούσε νδο (δεδομένων των αρχικών υποθέσεων) ισχύει ο τύπος ψ φ. Αυτό όμως «θυμίζει» ΑΣ1:

φ (ψ φ)

για το οποίο αληθεύει η υπόθεση της συνεπαγωγής (δόθηκε σαν αρχική υπόθεση).




Ποια είναι λοιπόν η ζητούμενη τυπική απόδειξη???

Παραδείγματα Τυπικών Αποδείξεων (ΙΙΙ)Παραδείγματα Τυπικών Αποδείξεων (ΙΙΙ)ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ ΠΛ.15 (συνέχεια): Αποδείξτε ότι για

οποιοδήποτε ζεύγος προτασιακών τύπων φ,ψ, ισχύει: φ | [( φ) ] φ | [(ψ φ) ψ]

∆ημιουργώ την τυπική απόδειξη, ακολουθώντας ημ ργ η ή ξη, ςανάποδα το προηγούμενο σκεπτικό:

1 φ Υπόθεση1. φ Υπόθεση

2. φ (ψφ) ΑΣ1φ ( ψ φ)

3. ψ φ 1,2ΜΡ

4. ( ψ φ ) [ (ψ φ) ψ ] ΑΣ3




5. (ψ φ) ψ 3,4ΜΡ

Παραδείγματα Τυπικών Αποδείξεων (ΙΠαραδείγματα Τυπικών Αποδείξεων (ΙVV))

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ ΠΛ.16: Αν εφαρμόσουμε τον ΑΣ3 για τους υποτύπους φ και ψ = χ έχουμε:

(φ χ) [(φ χ) φ].

Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι επίσης ισχύει:

(φ χ) [(φ χ) φ]

(ως άμεση εφαρμογή του ΑΣ3)?

ΑΠΑΝΤΗΣΗ:

ΟΧΙ(αν θέλουμε να είμαστε απόλυτα ακριβείς με το αξιωματικό σύστημα που θεωρούμε).




Επιπρόσθετοι Αποδεικτικοί ΚανόνεςΕπιπρόσθετοι Αποδεικτικοί Κανόνες Γενίκευση: φ |= φ χ

Ειδίκευση: φ χ |= φ Ειδίκευση: φ χ |= φ

Απαλοιφή: φ χ , φ |= χ

∆ιαχωρισμός Περιπτώσεων: φ χ φ ψ χ ψ |= ψ φ χ , φ ψ , χ ψ | ψ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Οι συγκεκριμένοι κανόνες ∆ΕΝ ΕΙΝΑΙ απαραίτητοι (βλ. παρακάτω Θεωρήματα Εγκυρότητας –Πληρότητας) για να αποδείξουμε την ορθότητα ενός

ή λλά έ έ β θ ύεπιχειρήματος, αλλά μερικές φορές βοηθούν.

ΑΣΚΗΣΗ: Αποδείξτε τον ∆ιαχωρισμό Περιπτώσεων με




ΑΣΚΗΣΗ: Αποδείξτε τον ∆ιαχωρισμό Περιπτώσεων με χρήση Νόμων της ΠΛ (σημασιολογική προσέγγιση).

Βασικά Θεωρήματα της ΠΛ (Ι)Βασικά Θεωρήματα της ΠΛ (Ι)

ΠΡΟΤΑΣΗ ΠΛ.2 [Θεώρημα της Απαγωγής]:

Για οποιοδήποτε ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ σύνολο ήπροτασιακών τύπων Τ Τ(Γ0), και οποιουσδήποτε προτασιακούς τύπους φ,ψ Τ(Γ0),

ΑΝ Τ φ |- ψ ΤΟΤΕ Τ |- (φ ψ)

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ ΠΛ 17: Αξιοποιώντας το Θ της ΑπαγωγήςΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ ΠΛ.17: Αξιοποιώντας το Θ. της Απαγωγής, να αποδείξετε τα ακόλουθα ΤΥΠΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ:

Τ.Θ. ∆ιπλής Άρνησης: | φ φ ΚΑΙ | φ φ

Τ Θ Μεταβατικότητας: Τ.Θ. Μεταβατικότητας:| (φ ψ) [ (ψ χ) (φ χ) ]




Τ.Θ. Αντιθετοαναστροφής: | (φ ψ) (ψ φ)

Απόδειξη για Τ.Θ. ΑντιθετοαναστροφήςΑπόδειξη για Τ.Θ. ΑντιθετοαναστροφήςΤ Θ Α θ ή | ( ) ( ) Τ.Θ. Αντιθετοαναστροφής: | (φ ψ) (ψ φ)

Αρκεί νδο (2 Χ Θ.Απαγωγής): φ ψ , ψ | φ

1 ψ Υπόθεση1. ψ Υπόθεση

2. φ ψ Υπόθεση

3 ( φ ψ) [( φ ψ) φ]3. (φ ψ) [(φ ψ) φ] ΑΣ3

4. φ φ Τ.Θ. |- α α

5. (φ φ) [ (φ ψ) (φ ψ)] Τ.Θ. |- (αβ) [(βγ) (αγ)]

6. (φ ψ) (φ ψ) 4,5ΜΡ

7. φ ψ 2,6ΜΡ

8. (φ ψ) φ 7,3ΜΡ

9. ψ (φ ψ) ΑΣ1

10. φ ψ 1,9ΜΡ




11. φ 10,8ΜΡ

Εξάσκηση στην ΑπαγωγήΕξάσκηση στην ΑπαγωγήΑΣΚΗΣΗ: Νδο

1. | (φ ψ) (φ ψ)

2 | (φ ψ) (φ ψ)2. | (φ ψ) (φ ψ)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

1. Αρκεί νδο (Θ. Απαγωγής) : φ ψ | φ ψ

1. φ ψ Υπόθεση

2. φ φ Τ.Θ. ∆ιπλής Άρνησης

3. [φ φ] [ (φ ψ) (φ ψ) ] Τ.Θ. Μεταβατικότητας

4 (φ ψ) ( φ ψ) 2 3 ΜΡ4. (φ ψ) (φ ψ) 2,3 ΜΡ

5. φ ψ 1,4 ΜΡ

2. Όμοια απόδειξη (αφήνεται ως εξάσκηση).




Βασικά Θεωρήματα της ΠΛ (ΙΙ)Βασικά Θεωρήματα της ΠΛ (ΙΙ)

ΠΡΟΤΑΣΗ ΠΛ.3 [Θεώρημα της Αντιθετοαναστροφής]:Για κάθε σύνολο προτασιακών τύπων Τ Τ(Γ0) και

δή ύ ύ Τ(Γ ) ύ όοποιουσδήποτε προτασιακούς τύπους φ,ψ Τ(Γ0), ισχύει ότι:

Τφ | ψ ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ Τψ | φ

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ ΠΛ.18: Για οποιουσδήποτε προτασιακούς τύπους φ,ψ, νδο είναι τυπικό θεώρημα του ΠΛ ο τύπος:

| φ [ψ (φ ψ) ]ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αρκεί νδο: φ ψ | (φψ) ( Θ Απαγωγής x2 ) Αρκεί νδο: φ, ψ | (φψ) ( Θ. Απαγωγής x2 ) Ισοδύναμο με: φ, φψ | ψ (Θ. Αντιθετοαναστροφής).

1.φ Υπόθεση2 Υ όθ2.φ ψ Υπόθεση3.ψ 1,2ΜΡ4.ψ ψ Τυπικό Θεώρημα | α α




ψ ψ ρημ |5.ψ 3,4ΜΡ

Συνεπή και Αντιφατικά ΣύνολαΣυνεπή και Αντιφατικά Σύνολα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛ.9: Ένα σύνολο προτασιακών τύπων Τ Τ(Γ0) είναι συνεπές αν και ρ ( 0) ςμονο αν ∆ΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ προτασιακός τύπος ψ Τ(Γ0) τέτοιος ώστε Τ | ψ ΚΑΙ Τ | ψ. ∆ιαφορετικά το Τ είναι αντιφατικό.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ Λ.19: Έστω ένας οποιοσδήποτε τύπος φ.

Το σύνολο φ, φ είναι...

... αντιφατικό αφού ισχύει ότι φ, φ |– φ, και βέβαια ισχύει επίσης ότι φ, φ |– φ.

ΕΡΩΤΗΣΗ: Τι σχέση έχει η συνέπεια / αντιφατικότητα με την ικανοποιησιμότητα / μη ικανοποιησιμότητα ενός συνόλου τύπων Τ?




Βασικά Θεωρήματα της ΠΛ (ΙΙΙ)Βασικά Θεωρήματα της ΠΛ (ΙΙΙ)

ΠΡΟΤΑΣΗ ΠΛ.4 [Θεώρημα της Απαγωγής Σε Άτοπο]:Για κάθε πεπερασμένο σύνολο προτασιακών τύπων Τ και οποιοδήποτε προτασιακό τύπο φ ισχύει ότι:οποιοδήποτε προτασιακό τύπο φ, ισχύει ότι:

ΑΝ το Τ φ είναι αντιφατικό ΤΟΤΕ Τ | φ.




Βασικά Θεωρήματα της ΠΛ (ΙΒασικά Θεωρήματα της ΠΛ (ΙVV))

ΠΡΟΤΑΣΗ Λ.5 [Θεώρημα Εγκυρότητας -- Πληρότητας]:Για οποιοδήποτε σύνολο προτασιακών τύπων Τ δή ό ύ ύ όΤ = φ1,...,φκ, και οποιοδήποτε προτασιακό τύπο ψ, ισχύει ότι:

ΑΝ Τ | ψ ΤΟΤΕ Τ |= ψ (θ. Εγκυρότητας)

ΑΝ Τ |= ψ ΤΟΤΕ Τ | ψ (θ. Πληρότητας)

ΑΣΚΗΣΗ: Εξηγήστε για ποιον λόγο ένα σύνολο προτασιακών τύπων είναι μη ικανοποιήσιμο ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ είναι αντιφατικό. ε α μη α ο ο ήσ μο Ο Ο ε α α φα ό




Βασικά Θεωρήματα της ΠΛ (Βασικά Θεωρήματα της ΠΛ (VV))

ΠΡΟΤΑΣΗ Λ.6 [Θεώρημα Συμπάγειας]: Έστω Τ ένα άπειρο σύνολο προτασιακών τύπων. Αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του Τ είναι ικανοποιήσιμο τότε και το Τ είναι ικανοποιήσιμο

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ

Έστω (για χάρη της απαγωγής σε ΑΤΟΠΟ) ότι κάθε πεπερασμένο Τ0 Τ

ικανοποιήσιμο, τότε και το Τ είναι ικανοποιήσιμο.

(γ χ ρη ης γ γής ) ρ μ 0 είναι ικανοποιήσιμο, αλλά το Τ είναι μη ικανοποιήσιμο.

α : μια οποιαδήποτε αντίφαση.

τ = α : μια ταυτολογία τ = α : μια ταυτολογία.

Ττ = Τα : ΜΗ ικανοποιήσιμο

Ττ = Τα : Αντιφατικό (θ. Πληρότητας).

Τ | τ : (θ. απαγωγής σε άτοπο).

Σ = ψ1 ,..., ψκ : (Πεπερασμένο) σύνολο των βημάτων τυπικής απόδειξης.

Τ0 = ΣΤ : Πεπερασμένο υποσύνολο αρχικών υποθέσεων.Τ0 ΣΤ : Πεπερασμένο υποσύνολο αρχικών υποθέσεων.

Τ0 | α : Από ορισμό του Σ.

Τ0 |= α : (θ. Εγκυρότητας).

Τ | Ο δή ύ λ ύ ά λ ί




Τ0 |= α = τ : Οποιοδήποτε σύνολο τύπων συνεπάγεται μια ταυτολογία.

Το Τ0 ∆ΕΝ είναι ικανοποιήσιμο (ΑΤΟΠΟ)

Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (Ι)Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (Ι)ΑΣΚΗΣΗ ΕΠ.1 Έστω φ, ψ προτασιακοί τύποι. Ποιες από τις παρακάτω

προτάσεις αληθεύουν και ποιες όχι;

i Αν φ→ ψ |– ψ→ φ τότε ο προτασιακός τύπος (φ→ ψ) →i. Αν φ→ ψ | ψ→ φ, τότε ο προτασιακός τύπος (φ→ ψ) → (ψ→ φ) είναι τυπικό θεώρημα.

ii. Το φ→ ψ |– ψ→ φ αποτελεί άμεση συνέπεια της εφαρμογής του Θεωρήματος Απαγωγής στο |– (φ→ ψ) → (ψ→ φ) .φ)

iii. Έστω ότι |– (φ→ ψ) → (ψ→ φ). Το γεγονός ότι ο ό ύ ( ) ( ) ί λ ίπροτασιακός τύπος (φ→ ψ) → (ψ→ φ) είναι ταυτολογία

αποτελεί άμεση συνέπεια του θεωρήματος εγκυρότητας του προτασιακού λογισμού.

iv. Η ισοδυναμία των φ→ ψ, ψ |– φ και φ→ ψ, φ |– ψαποτελεί άμεση συνέπεια του Θεωρήματος




αποτελεί άμεση συνέπεια του Θεωρήματος Αντιθετοαναστροφής.

Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (ΙΙ)Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (ΙΙ)ΑΣΚΗΣΗ ΕΠ.2 Έχετε ξεχάσει τα γυαλιά σας και κάνετε τους εξής

συλλογισμούς:(α) ΑΝ τα γυαλιά είναι στο τραπέζι της κουζίνας γκζ( ) γ ρ ζ ης ζ ς γ ζ

ΤΟΤΕ τα είδα την ώρα του πρωινού επρ

(β) ∆ιάβαζα εφημερίδα στο καθιστικό εκθΉ (διάβαζα εφημερίδα) στην κουζίνα εκζ

(γ) ΑΝ διάβαζα εφημερίδα στο καθιστικό εκθΤΟΤΕ α αλ ά εί α σ ο ρα εζά ο αφέ φΤΟΤΕ τα γυαλιά είναι στο τραπεζάκι του καφέ γκφ

(δ) ∆ΕΝ είδα τα γυαλιά μου κατά τη διάρκεια του πρωινού επρ

(ε) ΑΝ διάβαζα το βιβλίο μου στο κρεβάτι βκρΤΟΤΕ τα γυαλιά μου είναι στο κομοδίνο γκμ

(ζ) ΑΝ διάβαζα εφημερίδα στην κουζίνα εκζΤΟΤΕ τα γυαλιά μου είναι στο τραπέζι της κουζίνας γκζ

ί ύ ί ά ώ ή ό ξ θό




Βρείτε πού είναι τα γυαλιά. ∆ώστε τυπική απόδειξη για την ορθότητα του επιχειρήματός σας.

Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (ΙΜερικές Ασκήσεις Επανάληψης (ΙIIII))ΑΠΑΝΤΗΣΗ άσκησης 2:

1. γκζ επρ Υπόθεση

2 εκθ εκζ εκθ εκζ εκθ εκζ Υπόθεση2. εκθ εκζ εκθ εκζ εκθ εκζ Υπόθεση

3. εκθ γκφ Υπόθεση

4. επρ Υπόθεσηρ η

5. βκρ γκμ Υπόθεση

6. εκζ γκζ Υπόθεση

7. γκζ 1,4 Modus Tollens

8. εκζ 6,7 Modus Tollens

9 εκθ 2 8 Modus Tollens9. εκθ 2,8 Modus Tollens

10. εκθ εκθ Τ.Θ. | φ φ

11. εκθ 9,10 Modus Ponens,

12. γκφ 11,3 Modus Ponens




Τα γυαλιά βρίσκονται στο τραπεζάκι του καφέ.

Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (ΙΜερικές Ασκήσεις Επανάληψης (ΙVV))ΑΣΚΗΣΗ ΕΠ.3 Έστω p1 και p2 προτασιακές μεταβλητές. Ποιες από τις παρακάτω δηλώσεις είναι σωστές? Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σαςΑιτιολογήστε τις απαντήσεις σας.

(1) Ο προτασιακός τύπος (p1 p2) ( p2 p1) είναι ταυτολογίαταυτολογία.

(2) Ο προτασιακός τύπος (p1 p2) ( p1 p2) είναι(2) Ο προτασιακός τύπος (p1 p2) (p1 p2) είναι αντίφαση.

(3) p1 p1 |= p2 p2.

(4) (p1 p1) p2 |= p2.




Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (VV))ΑΣΚΗΣΗ ΕΠ.4 Εξετάστε μεταξύ των τύπων φ = p (q r)και χ = (p q) r, αν κάποιος συνεπάγεται ταυτολογικά τον άλλον Τεκμηριώστε την απάντηση που θα δώσετετον άλλον. Τεκμηριώστε την απάντηση που θα δώσετε.




Τέλος Ενότητας

Χρηματοδότηση• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του

εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο

Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του

εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος

«Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την

Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς

πόρους.

Σημειώματα

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου

Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0.

Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις:

• Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ.http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1289.

http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1289

Σημείωμα Αναφοράς

Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης. «Διακριτά Μαθηματικά Ι. Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1289.

Σημείωμα Αδειοδότησης• Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative

Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση – Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη.

• [1] https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/

Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση:που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο.που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο.που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο.

Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1289

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/

Documents

ιακρινά αθημανικά Ιecourse.uoi.gr/pluginfile.php/95851/mod_resource/content/...2.Για κάθε 1 ≤ μ ≤ λ, ο προτασιακός τύπος φμείτε