Upload
ngothuan
View
217
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
СТАНДАРДНИ КОМБИНАЦИОНИ МОДУЛИ
Преглед ......................................................................................................................................................... 3
Декодер ..................................................................................................................................................... 3 Кодер ......................................................................................................................................................... 3
Обичан кодер CD4/2 ............................................................................................................................ 3
Приоритетни кодер CD4/2 .................................................................................................................. 4 Мултиплексер .......................................................................................................................................... 4
Мултиплексер 4/1 ................................................................................................................................ 4 Демултиплексер ....................................................................................................................................... 4
Демултиплексер 1/4 ............................................................................................................................. 5 Инкрементер и декрементер ................................................................................................................... 5
Сабирач и одузимач ................................................................................................................................. 6 Аритметичка, логичка и аритметичко-логичка јединица .................................................................... 6
Компаратор ............................................................................................................................................... 8 ЗАДАТАК 63 (DP1/4_DC2/4_MP4/1) ........................................................................................................ 9
РЕШЕЊЕ .................................................................................................................................................. 9
ЗАДАТАК 64 (INC1_CMP1_MP4/1) ........................................................................................................ 12 РЕШЕЊЕ ................................................................................................................................................ 12
ЗАДАТАК 65 (DEC1_DC2/4_LOG1) ....................................................................................................... 14
РЕШЕЊЕ ................................................................................................................................................ 14
ЗАДАТАК 66 (ADD1_CMP1_DC2/4) ...................................................................................................... 17 РЕШЕЊЕ ................................................................................................................................................ 17
ЗАДАТАК 67 (SUB1_DP1/4_CMP1) ........................................................................................................ 19 РЕШЕЊЕ ................................................................................................................................................ 19
ЗАДАТАК 68 (DP1/4_CD4/2_ADD1) ....................................................................................................... 22
РЕШЕЊЕ ................................................................................................................................................ 22 Објашњење о обичном и приоритетном кодеру ............................................................................. 22
ЗАДАТАК 69 (INC2_CMP1_MP4/1) ........................................................................................................ 26 РЕШЕЊЕ ................................................................................................................................................ 26
Стандардни комбинациони модули имају одређен број улазних и излазних
сигнала. Представљају комбинациону мрежу која реализује неку
прекидачку функцију.
Сваки модул има свој графички симбол, са нацртаним улазним и излазним
сигналима и дефинише зависност излазних сигнала у зависности од
улазних сигнала.
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 3 од 28
ПРЕГЛЕД
Декодер
Декодер је комбинациона мрежа која реализује скуп прекидачких функција:
𝐷0 = 𝑆2𝑛−1 ⋅ … ⋅ 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐸
𝐷1 = 𝑆2𝑛−1 ⋅ … ⋅ 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐸
…
𝐷2𝑛−1 = 𝑆2𝑛−1 ⋅ … ⋅ 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐸
где су:
- Улазни сигнали: 𝑆1, 𝑆2, . . . , 𝑆𝑛 (информациони сигнали) и 𝐸 (сигнал блокирања)
- Излазни сигнали: 𝐷0, 𝐷1, . . . , 𝐷2𝑛−1 .
Кодер
Кодер је комбинациона мрежа чија је функција у основи инверзна функцији декодера. Функцију
кодера је тешко дефинисати у општем случају, па се зато функција кодера разматра за конкретне
примере.
ОБИЧАН КОДЕР CD4/2
- Улазни сигнали 𝐼0, 𝐼1, 𝐼2, 𝐼3
- Излазни сигнали 𝐷1 и 𝐷0
- На улазе обичног кодера не долазе улазни вектори у којима више координата има вредност
један!
- Излазни сигнал 𝑊 одређује да ли су сви улазни сигнали 𝐼0, 𝐼1, 𝐼2, 𝐼3нуле или бар један од њих
има вредност један
𝐼0 𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐷1 𝐷0 𝑊
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1
DC
ED0
...
Sn-1
S0
...
...
...
S1
D
D1
2n-1
CD2
E
W
I1
I0
I3
I2
D1
D0
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 4 од 28
ПРИОРИТЕТНИ КОДЕР CD4/2
- Улазни сигнали 𝐼0, 𝐼1, 𝐼2, 𝐼3
- Излазни сигнали 𝐷1 и 𝐷0
- На улазе приоритетног кодера 𝐼0, 𝐼1, 𝐼2, 𝐼3, долазе 16 могућих улазних вектора и то 0000 до
1111, тј. више координата у улазном вектору може имати вредност 1
- 𝐼3 има највећи приоритет!
- Излазни сигнал 𝑊 одређује да ли су сви улазни сигнали 𝐼0, 𝐼1, 𝐼2, 𝐼3нуле или бар један од њих
има вредност један
𝐼0 𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐷1 𝐷0 𝑊
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 𝑋 1 0 0 0 1 1 𝑋 𝑋 1 0 1 0 1 𝑋 𝑋 𝑋 1 1 1 1
Мултиплексер
Мултиплексер је комбинациона мрежа која реализује прекидачку функцију:
𝐷 = 𝑆𝑛−1 ⋅ … ⋅ 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸 + 𝑆𝑛−1 ⋅ … ⋅ 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼1 ⋅ 𝐸 + ⋯ + 𝑆𝑛−1 ⋅ … ⋅ 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼2𝑛−1 ⋅ 𝐸
где су:
- улазни сигнали: 𝑆𝑛−1, . . . , 𝑆1, 𝑆0 (управљачки или селекциони сигнали), ,
𝐼0, 𝐼1, . . . , 𝐼2𝑛−1 (информациони сигнали) и 𝐸 (сигнал блокирања)
- излазни сигнал је 𝐷.
МУЛТИПЛЕКСЕР 4/1
Мултиплексер 4/1 функционише по следећем закону:
𝐷 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸 + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼1 ⋅ 𝐸 + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼2 ⋅ 𝐸 + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼3 ⋅ 𝐸
Демултиплексер
Демултиплексер је комбинациона мрежа која реализује скуп прекидачких функција:
CD2
E
W
I1
I0
I3
I2
D1
D0
MP2
E
DI1
I0
I3
I2
S0S1
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 5 од 28
𝐷0 = 𝑆𝑛−1 ⋅ … ⋅ 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝐸
𝐷1 = 𝑆𝑛−1 ⋅ … ⋅ 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝐸
…
𝐷2𝑛−1 = 𝑆𝑛−1 ⋅ … ⋅ 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝐸
где су:
- улазни сигнали 𝑆1, 𝑆2, . . . , 𝑆𝑛 (управљачки или селекциони сигнали), 𝐼 (информациони сигнал)
и 𝐸 (блокирајући сигнал)
- излазни сигнали 𝐷0, 𝐷1, . . . , 𝐷2𝑛−1.
ДЕМУЛТИПЛЕКСЕР 1/4
Демултиплексер 1/4 функционише по следећем закону:
𝐷0 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝐸
𝐷1 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝐸
𝐷2 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝐸
𝐷3 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝐸
Инкрементер и декрементер
Инкрементер је комбинациона мрежа која реализује сабирање јединице са бинарним бројем.
Уколико је на улазима 𝐴𝑛−1, 𝐴𝑛−2. . . 𝐴0 инкрементера неки бинарни број, на излазима 𝐹𝑛−1, 𝐹𝑛−2. . . 𝐹0
инкрементера је бинарни број са улаза увећан за један. Декрементер је комбинациона мрежа која
реализује одузимање јединице од бинарног броја. Уколико је на улазима 𝐴𝑛−1, 𝐴𝑛−2. . . 𝐴0
декрементера неки бинарни број на излазима 𝐹𝑛−1, 𝐹𝑛−2. . . 𝐹0 декрементера је бинарни број са улаза
умањен за један. Инкрементирање 𝐹 = 𝐴 + 1 и декрементирање 𝐹 = 𝐴 − 1 у i-том разреду се
дефинишу следећим таблицама:
𝐴𝑖 𝐶𝑖 𝐹𝑖 𝐶𝑖 +1 𝐴𝑖 𝐸𝑖 𝐹𝑖 𝐸𝑖+1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0
Комбинационе таблице за i-ти разред инкрементера (лево) и декрементера (десно)
Са 𝐶𝑖 је означен пренос из млађег разреда у i-ти, а са 𝐶𝑖+1 пренос из i-тог разреда у старији. Са 𝐸 𝑖 је означена позајмица из i-тог разреда у млађи, а са 𝐸𝑖+1 позајмица из старијег разреда у i-ти. На основу таблице за инкрементер, добијају се излазни сигнали инкрементера:
𝐹𝑖 = 𝐴𝑖 ⊕ 𝐶𝑖
𝐶𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖
DP
E
I
...
... ...
D0
D1
D2n-1
Sn-1 S1 S0...
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 6 од 28
На основу таблице за декрементер, добијају се излазни сигнали декрементера:
𝐹𝑖 = 𝐴𝑖 ⊕ 𝐸𝑖
𝐸𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐸𝑖
Сабирач и одузимач
Сабирач је комбинациона мрежа која реализује аритметичку операцију сабирања. Одузимач је
комбинациона мрежа која реализује аритметичку операцију одузимања. Нека су 𝐴 = 𝐴𝑛−1𝐴𝑛−2. . . 𝐴0
и 𝐵 = 𝐵(𝑛−1)𝐵𝑛−2. . . 𝐵0 бинарни бројеви. Сабирање 𝐹 = 𝐴 + 𝐵 и одузимање 𝐹 = 𝐴 − 𝐵 у i-том
разреду дефинишу се следећим таблицама:
𝐴𝑖 𝐵𝑖 𝐶𝑖 𝐹𝑖 𝐶𝑖+1 𝐴𝑖 𝐵𝑖 𝐸𝑖 𝐹𝑖 𝐸𝑖+1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Комбинационе таблице за i-ти разред сабирача (лево) и одузимача (десно)
Коришћењем Karnaugh-ових карти за сабирач добијамо:
𝐹𝑖 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖
𝐶𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 Функција 𝐹𝑖 има вредност 1 на четири вектора са непарним бројем јединица, па се може представити и на овај начин:
𝐹𝑖 = 𝐴𝑖 ⊕ 𝐵𝑖 ⊕ 𝐶𝑖
Трансформацијом функције 𝐶𝑖 можемо добити следећи облик:
𝐶𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + (𝐴𝑖 ⊕ 𝐵𝑖) ⋅ 𝐶𝑖
Коришћењем Karnaugh-ових карти за одузимач добијамо:
𝐹𝑖 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐸𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐸𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐸𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐸𝑖
𝐸𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐸𝑖 + 𝐵𝑖 ⋅ 𝐸𝑖 Функција 𝐹𝑖 има вредност 1 на четири вектора са непарним бројем јединица, па се може представити и на овај начин:
𝐹𝑖 = 𝐴𝑖 ⊕ 𝐵𝑖 ⊕ 𝐸𝑖
Трансформацијом функције Ei можемо добити следећи облик:
𝐸𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⊕ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐸𝑖
Аритметичка, логичка и аритметичко-логичка јединица
Аритметичка јединица је комбинациона мрежа која реализује подскуп аритметичких операција. На
пример, четвороразредна аритметичка јединица ARI/4 реализује 4 аритметичке операције са
целобројним вредностима и то: сабирање, одузимање, инкрементирање и декрементирање. За
представљање четвороразредне аритметичке јединице ARI/4 користи се следећи симбол:
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 7 од 28
Логичка јединица је комбинациона мрежа која реализује неки подскуп логичких операција. На
пример, четвороразредна логичка јединица LOG/4 реализује четири логичке операције над
бинарним вредностима и то: И, ИЛИ, ексклузивно ИЛИ и комплементирање. За представљање
четвороразредне логичке јединице LOG/4 користи се следећи симбол:
Графички симбол једноразредне логичке јединице LOG/1 дат је на следећој слици, а закон
функционисања, односно операција које та логичка јединица извршава, приказан је у таблици
испод.
𝑆1 𝑆2 𝐹 операција 0 0 А ⋅ 𝐵 И 0 1 А + 𝐵 ИЛИ
1 0 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐴 ⋅ 𝐵 ексклузивно ИЛИ
1 1 𝐴 инвертовање
Аритметичко-логичка јединица је комбинациона мрежа која реализује неки подскуп аритметичких
и логичких операција. На пример, комбинацијом горе описане аритметичке и логичке јединице,
можемо добити четвороразредну аритметичко-логичку јединицу ALU/4 која реализује четири
аритметичке операције (сабирање, одузимање, инкрементирање, декрементирање) и четири логичке
операције (И, ИЛИ, екслузивно ИЛИ и комплементирање). Графички симбол четвороразредне
аритметичко-логичке јединице дат је на следећој слици.
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 8 од 28
Компаратор
Компаратор је комбинациона мрежа која пореди два бинарна броја и показује њихов однос.
Компаратор дужине n разреда се може конструисати каскадним повезивањем једноразредних
компаратора. До закона функционисања једноразредног компаратора се долази на основу следећих
разматрања која важе за n-то разредни компаратор. Сигнали 𝐺𝑖, 𝐸𝑖 и 𝐿𝑖 представљају да ли је број
𝐴𝑖−1𝐴𝑖−2. . . 𝐴0 до тог разреда (i) у коме упоређујемо бројеве већи, једнак или мањи од бинарног броја
𝐵𝑖−1𝐵𝑖−2. . . 𝐵0. Сигнали 𝐺𝑖+1, 𝐸𝑖+1 и 𝐿𝑖+1 показују да ли је бинарни број 𝐴𝑖𝐴𝑖−1. . . 𝐴0, већи, једнак или
мањи од бинарног броја 𝐵𝑖𝐵𝑖−1. . . 𝐵0, па те сигнале можемо представити следећим изразима:
𝐺𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐺𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖)
𝐸𝑖+1 = 𝐸𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖)
𝐿𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐿𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖)
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 9 од 28
ЗАДАТАК 63 (DP1/4_DC2/4_MP4/1) Наћи минималну ДНФ прекидачке функције 𝑧1, коју реализује комбинациона мрежа са слике:
РЕШЕЊЕ Одговарајуће излазе елемената комбинационе мреже обележићемо излазима од а1 до а11. За сваки
од обележених излаза одредићемо вредности одговарајућих функција:
Прво ћемо одредити законе функционисања стандардних комбинационих модула ове мреже.
Демултиплексер DP функционише према следећем закону:
𝐷0 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝐸
𝐷1 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝐸
𝐷2 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝐸
𝐷3 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝐸
Заменом 𝑆1 = 𝑥1, 𝑆0 = 𝑥4, 𝐼 = 𝑥3, 𝐸 = 1 добијамо:
𝑎1 = 𝐷0 = 𝑥1 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥3 ⋅ 1 = 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝑎2 = 𝐷1 = 𝑥1 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥3 ⋅ 1 = 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝐷2 = 𝑥1 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥3 ⋅ 1 = 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
DC
D0
D1
D2
D3
I0
I1
E
x4
DP
D0
D1
D2
D3
Ix3
E
1
S1 S0
x4
MP D
I0
E
1
S1 S0
x2x3
I1
I2
I3
x1
x3
z1
x1
x2
x3
x2
a8
DC
D0
D1
D2
D3
I0
a4
a5
a6
I1
E
x4
a7
DP
D0
D1
D2
D3
a3
Ix3
E
1
S1 S0
x4
a1
a2
MP D
I0
E
1
S1 S0
x2x3
a10I1
I2
I3
x1
x3
z1
a9x1
x2
a11
x3
x2
a12
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 10 од 28
𝑎3 = 𝐷3 = 𝑥1 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥3 ⋅ 1 = 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
Декодер DC функционише према следећем закону:
𝐷0 = 𝐼1 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸
𝐷1 = 𝐼1 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸
𝐷2 = 𝐼1 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸
𝐷3 = 𝐼1 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸
Заменом 𝐼1 = 𝑥2, 𝐼0 = 𝑥1, 𝐸 = 𝑥4 добијамо:
𝑎4 = 𝐷0 = 𝑥2 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥4
𝐷1 = 𝑥2 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥4
𝑎5 = 𝐷2 = 𝑥2 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥4
𝑎6 = 𝐷3 = 𝑥2 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥4
Мултиплексер MP функционише по следећем закону:
𝐷 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸 + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼1 ⋅ 𝐸 + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼2 ⋅ 𝐸 + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼3 ⋅ 𝐸
Да бисмо израчунали улазне сигнале мултиплексера I0, I1, I2, I3, морамо извести изразе за сигнале
а7, а8 и а9:
𝑎7 = 𝑎1 + 𝑎2 = 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 = 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ (𝑥4 + 𝑥4) = 𝑥1 ⋅ 𝑥3
𝑎8 = 𝑎3 ⋅ 𝑎4 = 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥4 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝑎9 = 𝑎5 + 𝑎6 = 𝑥2 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥4 + 𝑥2 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥4 = 𝑥2 ⋅ 𝑥4 ⋅ (𝑥1 + 𝑥1) = 𝑥2 ⋅ 𝑥4
Заменом ових израза, на улазима мултиплексера добијамо:
𝐼0 = 𝑎7 = 𝑥1 ⋅ 𝑥3
𝐼1 = 𝑎8 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝐼2 = 𝑎9 = 𝑥2 ⋅ 𝑥4
𝐼3 = 𝑥3
Сада можемо да реализујемо функцију излаза за мултиплексер:
𝐷 = 𝑥3 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 1 + 𝑥3 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 1 + 𝑥3 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥4 ⋅ 1 + 𝑥3 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 1
𝐷 = 𝑥3 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 1 + 𝑥3 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 1 + 𝑥3 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥4 ⋅ 1 + 𝑥3 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 1
𝐷 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3
𝑎10 = 𝐷
𝑎11 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3
𝑧1 = 𝑎10 + 𝑎11
𝑧1 = 𝐷 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3
Како је функција f дата у облику ДНФ, можемо одредити дисјунктивни покривач ове функције и
представити дисјунктивну нормалну форму помоћу кубова:
𝑧1(1) = {111𝑋, 0011, 𝑋101, 𝑋00𝑋, 𝑋01𝑋}
Потпуним развијањем ових кубова, можемо одредити све векторе на којима функција f има вредност
један:
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 11 од 28
𝑧1(1) = {1110, 1111, 0011, 0101, 1101, 0000, 0001, 1000, 1001, 0010, 0011, 1010, 1011} =
= { 0, 1, 2, 3, 5, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15}
Затим нацртамо Карноову карту за функцију f која зависи од 4 променљиве и попунимо она поља
где функција има вредност један - 𝑧1(1):
У Карноовој карти налазимо правилне фигуре што је могуће већег ранга, које ћемо заокружити, а
након тога за сваку фигуру исписујемо елементарни производ, који одговара свакој од тих фигура:
𝑧1(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4) = 𝑥2 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥1 ⋅ 𝑥3
1 0
0 4
0 12
1 8
1 1
1 5
1 13
1 9
1 3
0 7
1 15
1 11
1 2
0 6
1 14
1 10
00 01 11 10 X1X2
00
01
11
10
X3X4
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 12 од 28
ЗАДАТАК 64 (INC1_CMP1_MP4/1) Одредити функцију 𝑧1 коју реализује комбинациона мрежа са слике:
РЕШЕЊЕ Одговарајуће излазе елемената комбинационе мреже обележићемо излазима од а1 до а6. За сваки
од обележених излаза одредићемо вредности одговарајућих функција.
Прво ћемо одредити законе функционисања стандардних комбинационих модула ове мреже.
Инкрементер INC1 функционише према следећем закону:
𝐹𝑖 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖
𝐶𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖
Компаратор CMP1 функционише према следећем закону:
𝐺𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐺𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖)
𝐸𝑖+1 = 𝐸𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖)
𝐿𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐿𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖)
Мултиплексер MP функционише према следећем закону:
CMP1
Ei
Li
Gi Gi+1
Ei+1
Li+1
x4
Ai Bi
x2
100
z1
MP D
I0
E
S1 S0
x4
I1
I2
I3
INC1
Ci+1
FiCi
Ai
x2
x3
x1
x3
CMP1
Ei
Li
Gi Gi+1
a3
a4
a5Ei+1
Li+1
x4
Ai Bi
x2
100
z1
MP D
I0
E
S1 S0
x4
a6I1
I2
I3
INC1
Ci+1
Fi
a1
a2Ci
Ai
x2
x3
x1 a7
x3
Ai
Ci
Fi
Ci+1
0 0 0 0
0 1 1 01 0 1 0
1 1 10
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 13 од 28
𝐷 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸 + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼1 ⋅ 𝐸 + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼2 ⋅ 𝐸 + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼3 ⋅ 𝐸
Замена вредности за излазне сигнале 𝑎1 до 𝑎6 и 𝑓.
𝑎1 = 𝐶𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 = 𝑥3 ⋅ 𝑥2 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3
𝑎2 = 𝐹𝑖 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 = 𝑥3 ⋅ 𝑥2 + 𝑥3 ⋅ 𝑥2 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3
𝑎3 = 𝐺𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐺𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖) = 𝑥4 ⋅ 𝑥2 + 1 ⋅ (𝑥4 ⋅ 𝑥2 + 𝑥4 ⋅ 𝑥2) =
= 𝑥2 ⋅ 𝑥4 + 𝑥2 ⋅ 𝑥4 + 𝑥2 ⋅ 𝑥4 = 𝑥4 ⋅ (𝑥2 + 𝑥2) + 𝑥2 ⋅ 𝑥4 = 𝑥4 + 𝑥2 ⋅ 𝑥4 = (𝑥4 + 𝑥2) ⋅ (𝑥4 + 𝑥4) =
= 𝑥2 + 𝑥4
𝑎4 = 𝐸𝑖+1 = 𝐸𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖) = 0 ⋅ (𝑥4 ⋅ 𝑥2 + 𝑥4 ⋅ 𝑥2) = 0
𝑎5 = 𝐿𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐿𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖) = 𝑥4 ⋅ 𝑥2 + 0 ⋅ (𝑥4 ⋅ 𝑥2 + 𝑥4 ⋅ 𝑥2) = 𝑥2 ⋅ 𝑥4
𝑎6 = 𝐷 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸 + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼1 ⋅ 𝐸 + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼2 ⋅ 𝐸 + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼3 ⋅ 𝐸 =
= 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑎2 ⋅ 𝑥1 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑎3 ⋅ 𝑥1 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑎4 ⋅ 𝑥1 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑎5 ⋅ 𝑥1 =
= 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ (𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3) + 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ (𝑥2 + 𝑥4) + 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 0 + 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥4 =
= 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ (𝑥4 + 𝑥4) + 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 =
= 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝑧1 = 𝑎1 + 𝑎6 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 14 од 28
ЗАДАТАК 65 (DEC1_DC2/4_LOG1) Наћи минималну ДНФ прекидачке функције 𝑧1, коју реализује комбинациона мрежа са слике.
𝑆1 𝑆0 операција 0 0 И 0 1 ИЛИ 1 0 ексклузивно ИЛИ 1 1 инвертовање
РЕШЕЊЕ Одговарајуће излазе елемената комбинационе мреже обележићемо излазима од а1 до а6. За сваки
од обележених излаза одредићемо вредности одговарајућих функција.
Прво ћемо одредити законе функционисања стандардних комбинационих модула ове мреже.
Декрементер DEC1 функционише по следећем закону:
𝐹𝑖 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐸𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐸𝑖
𝐸𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐸𝑖
За 𝐴𝑖 = 𝑥2 и 𝐸𝑖 = 𝑥2 добијамо:
𝐹0 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2
DC
D0
D1
D2
D3
I0
I1
E
x1
x2
DEC1
Ei+1
FiEi
Ai
x2
x1
x3
LOG1
Fi
S1 S0
1
Bi
Ai
z1
0
a7
DC
D0
D1
D2
D3
I0
a3
a5
a6
I1
E
x1
x2
DEC1
Ei+1
Fi
a1
a2Ei
Ai
x2
x1
x3
a8
a4
LOG1
Fi
S1 S0
1
a9Bi
Ai
z1
0
Ai
Ei
Fi
Ei+1
0 0 0 0
0 1 1 11 0 1 0
1 1 0 0
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 15 од 28
𝐸1 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2
Декодер DC функционише према следећем закону:
𝐷0 = 𝐼1 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸
𝐷1 = 𝐼1 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸
𝐷2 = 𝐼1 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸
𝐷3 = 𝐼1 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸
Заменом 𝐼1 = 𝑥2, 𝐼0 = x3, 𝐸 = 𝑥1 добијамо:
𝐷0 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥1 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3
𝐷1 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥1 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3
𝐷2 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥1 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3
𝐷3 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥1 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3
Заменићемо вредности да бисмо добили излазне сигнале а7 и а8:
𝑎1 = 𝐸1 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2
𝑎2 = 𝐹0 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2
𝑎3 = 𝐷0 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3
𝑎4 = 𝐷1 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3
𝑎5 = 𝐷2 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3
𝑎6 = 𝐷3 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3
𝑎7 = 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 =
= 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ (𝑥3 + 𝑥3) =
= 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥2 ⋅ (𝑥1 + 𝑥1) = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥2 = (𝑥1 + 𝑥2) ⋅ (𝑥2 + 𝑥2) = 𝑥1 + 𝑥2
𝑎8 = 𝑎1 + 𝑎5 + 𝑎6 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ (𝑥3 + 𝑥3) =
= 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2
У овој комбинационој мрежи код логичке јединице ради се операција ИЛИ, због неактивног улазног
сигнала 𝑆1 и активног улазног сигнала 𝑆0, па добијамо:
𝐹𝑖 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖) + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ (𝐴𝑖 + 𝐵𝑖) + 𝑆1 ⋅ 𝑆0(𝐴𝑖 ⊕ 𝐵𝑖) + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ (𝐴𝑖)
𝐹𝑖 = 0 ⋅ 1 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖) + 0 ⋅ 1 ⋅ (𝐴𝑖 + 𝐵𝑖) + 0 ⋅ 1(𝐴𝑖 ⊕ 𝐵𝑖) + 0 ⋅ 1 ⋅ (𝐴𝑖)
𝐹𝑖 = 𝐴𝑖 + 𝐵𝑖
𝐴𝑖 = 𝑎8 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2
𝐵𝑖 = 𝑎7 = 𝑥1 + 𝑥2
𝑧1 = 𝐹𝑖 = 𝐴𝑖 + 𝐵𝑖 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑥2 ⋅ (𝑥1 + 1) + 𝑥1 ⋅ (𝑥2 + 1) = 𝑥1 + 𝑥2
Како је функција f дата у облику ДНФ, можемо одредити дисјунктивни покривач ове функције и
представити дисјунктивну нормалну форму помоћу кубова:
𝑧1(1) = {1𝑋𝑋, 𝑋0𝑋}
Потпуним развијањем ових кубова, можемо одредити све векторе на којима функција 𝑓 има
вредност један:
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 16 од 28
𝑧1(1) = {100, 101, 110, 111, 000, 001, 100, 101} =
= { 0, 1, 4, 5, 6, 7}
Затим нацртамо Карноову карту за функцију f која зависи од 4 променљиве и попунимо она поља
где функција има вредност један - 𝑧1(1):
Карноовој карти налазимо правилне фигуре што је могуће већег ранга, које ћемо заокружити, а
након тога за сваку фигуру исписујемо елементарни производ, који одговара свакој. На крају
формирамо минималну ДНФ функције, као суму елементарних производа:
𝑧1(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = 𝑥1 + 𝑥2
1 0
0 2
1 6
1 4
1 1
0 3
1 1 5
00 01 11 10 X1X2
0
1
X3
7
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 17 од 28
ЗАДАТАК 66 (ADD1_CMP1_DC2/4) Одредити функцију 𝑧1 коју реализује комбинациона мрежа са слике.
РЕШЕЊЕ Одговарајуће излазе елемената комбинационе мреже обележићемо излазима од а1 до а11. За сваки
од обележених излаза одредићемо вредности одговарајућих функција.
Прво ћемо одредити законе функционисања стандардних комбинационих модула ове мреже.
Сабирач ADD1 функционише према следећем закону:
𝐹𝑖 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖
𝐶𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖
Компаратор CMP1 функционише према следећем закону:
𝐺𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐺𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖)
𝐸𝑖+1 = 𝐸𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖)
𝐿𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐿𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖)
CMP1
Ei
Li
Gi Gi+1
Ei+1
Li+1
x3
Ai Bi
x4
010
0
ADD1
Ai
Ci
Bi Ci+1
Fi
x2
x1
DC
D0
D1
D2
D3
I0
I1
E
1
a11
z1
CMP1
Ei
Li
Gi Gi+1
a3
a4
a5Ei+1
Li+1
x3
Ai Bi
x4
010
0
ADD1
Ai
Ci
Bi Ci+1
Fi
a1
a2
x2
x1
DC
D0
D1
D2
D3
I0
a7
a9
a10
I1
E
1
a6
a8 a11
a12z1
Bi
Ci
Fi
Ci+1
0
10
10
10
1
0
01
10
01
1
0
00
01
11
1
Ai
0 0
1 01 0
101 0
0 10 1
11
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 18 од 28
Декодер DC функционише према следећем закону:
𝐷0 = 𝐼1 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸
𝐷1 = 𝐼1 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸
𝐷2 = 𝐼1 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸
𝐷3 = 𝐼1 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸
Замена вредности за излазне сигнале 𝑎1 до 𝑎11 и 𝑓.
𝑎1 = 𝐶𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 0 + 𝑥2 ⋅ 0 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2
𝑎2 = 𝐹𝑖 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 =
= 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 0 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 0 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 0 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 0 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2
𝑎3 = 𝐺𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐺𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖) = 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 0 ⋅ (𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4) = 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝑎4 = 𝐸𝑖+1 = 𝐸𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖) = 1 ⋅ (𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4) = 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝑎5 = 𝐿𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐿𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖) = 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 0 ⋅ (𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4) = 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝑎6 = 𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎5 = 𝑎3 ⋅ 𝑎4 ⋅ 𝑎5 = 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 =
= (𝑥3 + 𝑥4) ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ (𝑥3 + 𝑥4) = (𝑥3 + 𝑥4) ⋅ (𝑥3 + 𝑥4) ⋅ (𝑥3 + 𝑥4) ⋅ (𝑥3 + 𝑥4) =
= (𝑥3 ⋅ 𝑥3 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥4 ⋅ 𝑥4) ⋅ (𝑥3 ⋅ 𝑥3 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥3 ⋅ 𝑥3 + 𝑥4 ⋅ 𝑥4) =
= (𝑥3 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4) ⋅ (𝑥3 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4) = 𝑥3 ⋅ (1 + 𝑥4 + 𝑥4) ⋅ 𝑥3 ⋅ (1 + 𝑥4 + 𝑥4) =
= 𝑥3 ⋅ 𝑥3 = 0
𝑎7 = 𝐷0 = 𝐼1 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸 = 𝑎2 ⋅ 𝑎6 ⋅ 1 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 0 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 1 = (𝑥1 + 𝑥2) ⋅ (𝑥1 + 𝑥2)
𝑎8 = 𝐷1 = 𝐼1 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸=𝑎2 ⋅ 𝑎6 ⋅ 1 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 0 = 0
𝑎9 = 𝐷2 = 𝐼1 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸 = 𝑎2 ⋅ 𝑎6 ⋅ 1 = (𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2) ⋅ 0 = (𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2) ⋅ 1 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2
𝑎10 = 𝐷3 = 𝐼1 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸 = 𝑎2 ⋅ 𝑎6 ⋅ 1 = (𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2) ⋅ 0 = 0
𝑎11 = 𝑎7 + 𝑎8 + 𝑎9 + 𝑎10 = 𝑎7 ⋅ 𝑎8 ⋅ 𝑎9 ⋅ 𝑎10 = (𝑥1 + 𝑥2) ⋅ (𝑥1 + 𝑥2) ⋅ 0 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 0 =
= (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥1 + 𝑥2) ⋅ 1 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 1 = (𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2) ⋅ (𝑥1 + 𝑥2) ⋅ (𝑥1 + 𝑥2) =
= (𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2) ⋅ (𝑥1 + 𝑥2) ⋅ (𝑥1 + 𝑥2) =
= (𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2) ⋅ (𝑥1 ⋅ 𝑥1 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥2 ⋅ 𝑥2
) = (𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2) ⋅ (𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2) =
= 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 = 0
𝑧1(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4) = 𝑎1 + 𝑎11 = 𝑎1 ⋅ 𝑎11 = 𝑥1 + 𝑥2 ⋅ 0 = 𝑥1 + 𝑥2
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 19 од 28
ЗАДАТАК 67 (SUB1_DP1/4_CMP1) Одредити функцију 𝑧1 коју реализује комбинациона мрежа са слике.
РЕШЕЊЕ Одговарајуће излазе елемената комбинационе мреже обележићемо излазима од 𝑎1до 𝑎11. За сваки
од обележених излаза одредићемо вредности одговарајућих функција.
Демултиплексер DP функционише према следећем закону:
𝐷0 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝐸
𝐷1 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝐸
𝐷2 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝐸
𝐷3 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝐸
Заменом 𝑆1 = 𝑥3, 𝑆0 = 𝑥4, 𝐼 = 𝑥2, 𝐸 = 1 добијамо:
𝑎3 = 𝐷0 = 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥2 ⋅ 1 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝐷1 = 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥2 ⋅ 1 = 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥2
𝑎4 = 𝐷2 = 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥2 ⋅ 1 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝑎5 = 𝐷3 = 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥2 ⋅ 1 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
Одузимач SUB1 функционише према следећем закону:
x3 x4
DP
D0
D1
D2
D3
I
E
1
S1 S0
CMP1
Ei
Li
Gi Gi+1
Ei+1
Li+1
Ai Bi
0
SUB1
Ei+1
Fi
Ai
Ei
Bi
x3
0x2
x4
x2
x2
x2z1
DP
D0
D1
D2
D3
a3
I
E
1
S1 S0
x3
a1
x4
a2
CMP1
Ei
Li
Gi Gi+1 a9
a10Ei+1
Li+1
Ai Bi
0
SUB1
Ei+1
Fi
a4
a5
Ai
Ei
Bi
x3
0x2
a8
x4
a7a6
x2
x2
x2z1
a11
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 20 од 28
𝐹𝑖 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐸𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐸𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐸𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐸𝑖
𝐸𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐸𝑖 + 𝐵𝑖 ⋅ 𝐸𝑖
Можете приметити да су изрази за 𝐹𝑖и за сабирач и одузимач исти. Заменом 𝐴𝑖 = 0, 𝐵𝑖 = x2, 𝐸𝑖 = 𝑥3
добијамо:
𝐹𝑖 = 1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 0 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 0 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3
𝐸𝑖+1 = 0 ⋅ 𝑥2 + 0 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 = 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3
𝑎1 = 𝐸𝑖+1
𝑎2 = 𝐹𝑖
Компаратор CMP1 функционише према следећем закону:
𝐺𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐺𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖)
𝐸𝑖+1 = 𝐸𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖)
𝐿𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐿𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖)
Да бисмо израчунали 𝐴𝑖 и 𝐵𝑖 на улазима компаратора CMP1, морамо да израчунамо излазе И,
ИЛИ и НИ елемената, 𝑎6, 𝑎7 и 𝑎8:
𝑎6 = 𝑎1 ⋅ 𝑎3 = (𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3) ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 =
= 𝑥2 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥3 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝑎7 = 𝑎4 + 𝑎5 + 𝑎6 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ (𝑥4 + 𝑥4) + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 =
= 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝑎8 = 𝑎2 ⋅ 𝑥4 = 𝑎2 + 𝑥4 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥4 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥4 = (𝑥2 + 𝑥3) ⋅ (𝑥2 + 𝑥3) + 𝑥4 =
= 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥4
𝐴𝑖 = 𝑎7 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝐵𝑖 = 𝑎8 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥4
Затим ћемо у изразима за компаратор да заменимо ове вредности:
𝐺𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 0 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖) = (𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4) ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥4
𝐸𝑖+1 = 𝑥2 ⋅ ((𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4) ⋅ (𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥4) +
𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥4
𝐿𝑖+1 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ (𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥4) +
𝑥2 ⋅ ((𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4) ⋅ (𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥4) + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥4)
Даљим сређивањем добијамо следеће:
Bi
Ei
Fi
Ei+1
0
10
10
10
1
0
01
10
01
1
0
00
01
11
1
Ai
0 0
1 11 1
101 0
0 00 0
11
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 21 од 28
𝑎9 = 𝐸𝑖+1 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝑎10 = 𝐿𝑖+1 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥4 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3
𝑧1(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4) = 𝑎9 + 𝑎10 = 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥4 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 22 од 28
ЗАДАТАК 68 (DP1/4_CD4/2_ADD1) Одредити функције 𝑧1 и 𝑧2 које реализује комбинациона мрежа са слике и обе функције написати у
облику минималне ДНФ:
РЕШЕЊЕ Одговарајуће излазе елемената комбинационе мреже обележићемо излазима од 𝑎1 до 𝑎8. За сваки
од обележених излаза одредићемо вредности одговарајућих функција.
Објашњење о обичном и приоритетном кодеру На улазе обичног кодера 𝐼0, 𝐼1, 𝐼2, 𝐼3 долазе само улазни вектор 0000 у коме све четири координате
имају вредност 0 и улазни вектори 1000, 0100, 0010 и 0001 у којима само једна од четири координате
има вредност 1, док преостале три координате имају вредност 0. На улазе обичног кодера не долазе
улазни вектори у којима више координата имају вредност један. Комбинациона таблица обичног
кодера CD 4/2 изгледа овако:
𝐼0 𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐷1 𝐷0 𝑊 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1
За разлику од обичног кодера, на улазе приоритетног кодера 𝐼0, 𝐼1, 𝐼2, 𝐼3, долазе 16 могућих улазних
вектора и то 0000 до 1111, тј. више координата у улазном вектору може имати вредност 1. Код
CDD1
D0
E
1
DP
D0
D1
D2
D3
Ix1
E
S1 S0
x4
I0
I1
I2
I3
x3
x4
x2
x1
x3
x2
W
1
z2
ADD1
Ai
Ci
Bi Ci+1
Fi z1
CDD1
D0
a4
a5
E
1
DP
D0
D1
D2
D3
a3
Ix1
E
S1 S0
x4
a1
a2
a6
I0
I1
I2
I3
x3
x4
x2
x1
x3
x2
W
a7
a8
1
z2
ADD1
Ai
Ci
Bi Ci+1
Fi
a10
a9z1
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 23 од 28
приоритетног кодера улазни сигнали 𝐼0, 𝐼1, 𝐼2, 𝐼3, пресликавају се на излазне сигнале 𝐷1 и 𝐷0, тако да
бинарна вредност излазних сигнала 𝐷1 и 𝐷0 одређује улазни сигнал 𝐼0, 𝐼1, 𝐼2, 𝐼3, који је највишег
приоритета и има вредност 1. Излазни сигнал 𝑊одређује да ли су сви улазни сигнали 𝐼0, 𝐼1, 𝐼2, 𝐼3 нуле
или бар један од њих има вредност један. 𝑰𝟑 има највећи приоритет! Комбинациона таблица за
приоритетни кодер изгледа овако:
𝐼0 𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐷1 𝐷_0 𝑊 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Напомена: вредност 1 која је највећег приоритета у вектору означена је жутом бојом!
Комбинациона таблица за приоритетни кодер се може концизније представити на следећи начин
(сматрамо да Х може имати вредност 0 или 1):
𝐼0 𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐷1 𝐷0 𝑊 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 X 1 0 0 0 1 1 X X 1 0 1 0 1 X X X 1 1 1 1
Ово пресликавање може се реализовати у два степена. У првом степену се реализује пресликавање
улазних сигнала 𝐼0, 𝐼1, 𝐼2, 𝐼3 на еђусигнале 𝐼0′ , 𝐼1
′ , 𝐼2′ , 𝐼3
′ дато следећом таблицом:
𝐼0′ 𝐼1
′ 𝐼2′ 𝐼3
′ 𝐷1 𝐷0 𝑊 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1
Пресликавање у првом степену се може представити следећим функцијама:
𝐼0′ = 𝐼0 ⋅ 𝐼1 ⋅ 𝐼2 ⋅ 𝐼3
𝐼1′ = 𝐼1 ⋅ 𝐼2 ⋅ 𝐼3
𝐼2′ = 𝐼2 ⋅ 𝐼3
𝐼3′ = 𝐼3
Сигнали 𝐼0′ , 𝐼1
′ , 𝐼2′ , 𝐼3
′ , су или сви нуле или само један од њих има вредност један, што одговара
вредностима улазних сигнала за обичан кодер. Пресликавање у другом степену се може представити
на следећи начин:
𝐷1 = 𝐼2′ + 𝐼3
′
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 24 од 28
𝐷0 = 𝐼1′ + 𝐼3
′
𝑊 = 𝐼0′ + 𝐼1
′ + 𝐼2′ + 𝐼3
′
𝐷1 = 𝐼2 ⋅ 𝐼3 + 𝐼3
𝐷0 = 𝐼1 ⋅ 𝐼2 ⋅ 𝐼3 + 𝐼3
𝑊 = 𝐼0 ⋅ 𝐼1 ⋅ 𝐼2 ⋅ 𝐼3 + 𝐼1 ⋅ 𝐼2 ⋅ 𝐼3 + 𝐼2 ⋅ 𝐼3 + 𝐼3
Демултиплексер DP функционише према следећем закону:
𝐷0 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝐸
𝐷1 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝐸
𝐷2 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝐸
𝐷3 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼 ⋅ 𝐸
Заменом 𝑆1 = 𝑥4, 𝑆0 = 𝑥4, 𝐼 = 𝑥4, 𝐸 = 𝑥2 добијамо:
𝑎1 = 𝐷0 = 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝑎2 = 𝐷2 = 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝑎3 = 𝐷3 = 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
Приоритетни кодер CD функционише према следећем закону:
𝐷1 = 𝐼2 ⋅ 𝐼3 + 𝐼3
𝐷0 = 𝐼1 ⋅ 𝐼2 ⋅ 𝐼3 + 𝐼3
𝑊 = 𝐼0 ⋅ 𝐼1 ⋅ 𝐼2 ⋅ 𝐼3 + 𝐼1 ⋅ 𝐼2 ⋅ 𝐼3 + 𝐼2 ⋅ 𝐼3 + 𝐼3
Заменом 𝐼0 = 𝑥4, 𝐼1 = 𝑥2, 𝐼2 = 𝑥1, 𝐼3 = 𝑥3 добијамо:
𝑎4 = 𝐷1 = 𝑥1 ⋅ 𝑥3 + 𝑥3 = 𝑥1 ⋅ 𝑥3 + 𝑥3
𝑎5 = 𝐷0 = 𝑥2 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥3 + 𝑥3 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥3
Даљом заменом добијамо:
𝑎6 = 𝑎1 + 𝑎2 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥4 ⋅ (𝑥3 + 𝑥3) = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥4
𝑎8 = 𝑎5 ⋅ 𝑎6 = (𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥3) ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥4 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝑎7 = 𝑎3 + 𝑎4 = 𝑎3 ⋅ 𝑎4 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥3 + 𝑥3 = (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4) ⋅ (𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥3) =
= (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4) ⋅ ((𝑥1 + 𝑥3) ⋅ 𝑥3) = (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4) ⋅ (𝑥1 ⋅ 𝑥3 + 𝑥3 ⋅ 𝑥3) =
= 𝑥1 ⋅ 𝑥3 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 = 𝑥1 ⋅ 𝑥3 + 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 = 𝑥1 ⋅ 𝑥3
Сабирач ADD1 функционише према следећем закону:
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 25 од 28
𝐹𝑖 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖
𝐶𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐵𝑖 ⋅ 𝐶𝑖
𝑧1 = 𝐹𝑖 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 1 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 0 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 1 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 ⋅ 0 =
= 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 + 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 =
= 𝑥1 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥3 + 𝑥1 ⋅ 𝑥4 + 𝑥1 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝑧2 = 𝐶𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 1 + 𝐵𝑖 ⋅ 1 = 𝐴𝑖 ⋅ (𝐵𝑖 + 1) + 𝐵𝑖 = 𝑥1 ⋅ 𝑥3 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
Даље можемо да одредим 𝑓(1) и 𝑔(1)
𝑧1(1) = { 11𝑋𝑋, 1𝑋1𝑋, 1𝑋𝑋0, 0𝑋0𝑋, 𝑋10𝑋, 𝑋𝑋00 }
𝑧1(1) = { 0, 1, 4, 5, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15 }
𝑧1(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4) = 𝑥1 ⋅ 𝑥3 + 𝑥1 ⋅ 𝑥3 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 + 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝑧2(1) = { 0𝑋1𝑋, 1001 }
𝑧2(1) = { 2, 3, 6, 7, 9}
𝑧2(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4) = 𝑥1 ⋅ 𝑥3 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
Bi
Ci
Fi
Ci+1
0
10
10
10
1
0
01
10
01
1
0
00
01
11
1
Ai
0 0
1 01 0
101 0
0 10 1
11
1 0
1 4
1 12
1 8
1 1
1 5
1 13
0 9
0 3
0 7
1 15
1 11
0 2
0 6
1 14
1 10
00 01 11 10 X1X2
00
01
11
10
X3X4
0 0
0 4
0 12
0 8
0 1
0 5
0 13
1 9
1 3
1 7
0 15
0 11
1 2
1 6
0 14
0 10
00 01 11 10 X1X2
00
01
11
10
X3X4
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 26 од 28
ЗАДАТАК 69 (INC2_CMP1_MP4/1) Одредити функцију 𝑧1 коју реализује комбинациона мрежа са слике.
РЕШЕЊЕ Одговарајуће излазе елемената комбинационе мреже обележићемо излазима од а1 до а8. За сваки од
обележених излаза одредићемо вредности одговарајућих функција.
Прво ћемо одредити законе функционисања стандардних комбинационих модула ове мреже. Закон
функционисања инкрементера INC2 можемо одредити на два различита начина. Први начин је да
извршимо директну замену помоћу израза за инкрементер INC1. Подсетимо се израза за
инкрементер INC1:
𝐹𝑖 = 𝐴𝑖 ⊕ 𝐶𝑖
𝐶𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖
Дворазредни инкрементер реализоваћемо преко истих израза за једноразредни инкрементер
заменом i са i+1 :
𝐹𝑖+1 = 𝐴𝑖+1 ⊕ 𝐶𝑖+1
𝐶𝑖+2 = 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐶𝑖+1
Заменом 𝐶𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 добијамо:
𝐹𝑖+1 = 𝐴𝑖+1 ⊕ 𝐶𝑖+1 = 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐶𝑖+1 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐶𝑖+1 = 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖
𝐶𝑖+2 = 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐶𝑖+1 = 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖
INC2
Ai+1
Fi+1
Ci+2
FiCi
Ai
x1
x3
0
CMP1
Ei
Li
Gi Gi+1
Ei+1
Li+1
x4
Ai Bi
x2
001
z1
MP D
I0
E
I1
I2
I3
S1 S0
x3x2
x1
INC2
Ai+1
Fi+1
Ci+2
Fi
a1
a2
Ci
Ai
x1
x3
0a3
a4
CMP1
Ei
Li
Gi Gi+1
a5
a6
a7Ei+1
Li+1
x4
Ai Bi
x2
001
z1
MP D
I0
E
a8I1
I2
I3
a9
S1 S0
x3x2
x1
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 27 од 28
На тај начин добили смо изразе за инкрементер INC2. Други начин је да попунимо комбинациону
таблицу за инкрементер INC2:
𝐴𝑖+1 𝐴𝑖 𝐶𝑖 𝐶𝑖+1 𝐹𝑖+1 𝐹𝑖 𝐶𝑖+2
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0
0 1 1 1 1 0 0
1 0 0 0 1 0 0
1 0 1 0 1 1 0
1 1 0 0 1 1 0
1 1 1 1 0 0 1
У таблици имамо улазни вектор који се састоји од три улазна сигнала Ai+1, Ai и Ci на основу којих
формирамо вредности три излазна сигнала 𝐹𝑖+1, 𝐹𝑖 и 𝐶𝑖+2. Да бисмо попунили таблицу,
посматраћемо дворазредни инкрементер, као серијски везана два једноразредна инкрементера. Због
тога ћемо у таблици додати помоћну колону 𝐶𝑖+1, која није део улазног вектора већ интерни пренос
између два разреда инкрементера. Сада на основу вредности за 𝐴𝑖 и 𝐶𝑖 попуњавамо излаз Fi и
помоћну колону Ci+1, на исти начин као што смо то радили код једноразредног инкрементера. Затим
на основу 𝐴𝑖+1 и 𝐶𝑖+1 попуњавамо излазне колоне 𝐹𝑖+1 и 𝐶𝑖+2, на исти начин као што смо то радили
код једноразредног инкрементера. Сада занемаримо колону 𝐶𝑖+1 и директно из таблице можемо да
добијемо изразе за 𝐹𝑖+1, 𝐹𝑖 и 𝐶𝑖+2:
𝐹𝑖+1 = 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖
𝐹𝑖 = 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖
𝐶𝑖+2 = 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐶𝑖+1
Јендоставним трансформацијама од добијених израза, можемо добити исте изразе које смо добили
у првом случају:
𝐹𝑖+1 = 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 =
= 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ (𝐶𝑖 + 𝐶𝑖) + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 = 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 =
= 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ (𝐴𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖) = 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ (𝐴𝑖 + 𝐴𝑖) ⋅ (𝐴𝑖 + 𝐶𝑖) =
= 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ (𝐴𝑖 + 𝐶𝑖) = 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖
𝐹𝑖 = 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 =
= (𝐴𝑖+1 + 𝐴𝑖+1) ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + (𝐴𝑖+1 + 𝐴𝑖+1) ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖
𝐶𝑖+2 = 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖
Дакле, изрази које ћемо у наставку користити као закон функционисања инкрементера INC2 су:
𝐹𝑖 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖
𝐹𝑖+1 = 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖
𝐶𝑖+2 = 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖
Компаратор CMP1 функционише према следећем закону:
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Основи рачунарске технике 1
Вежбе на табли Страна 28 од 28
𝐺𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐺𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖)
𝐸𝑖+1 = 𝐸𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖)
𝐿𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐿𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖)
Мултиплексер MP функционише по следећем закону:
𝐷 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸 + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼1 ⋅ 𝐸 + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼2 ⋅ 𝐸 + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼3 ⋅ 𝐸
Замена вредности за излазне сигнале 𝑎1 до 𝑎8 и 𝑓.
𝑎1 = 𝐶𝑖+2 = 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 = 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 0 = 0
𝑎2 = 𝐹𝑖+1 = 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖+1 ⋅ 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 = 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 0 + 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 0 = 𝑥1 ⋅ 0 = 𝑥1
𝑎3 = 𝐹𝑖 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐶𝑖 = 𝑥3 ⋅ 0 + 𝑥3 ⋅ 0 = 𝑥3
𝑎4 = 𝑎2 ⋅ 𝑎3 = 𝑥1 ⋅ 𝑥3
𝑎5 = 𝐺𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐺𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖) = 𝑥4 ⋅ 𝑥2 + 0 ⋅ (𝑥4 ⋅ 𝑥2 + 𝑥4 ⋅ 𝑥2) = 𝑥2 ⋅ 𝑥4
𝑎6 = 𝐸𝑖+1 = 𝐸𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖) = 0 ⋅ (𝑥4 ⋅ 𝑥2 + 𝑥4 ⋅ 𝑥2) = 0
𝑎7 = 𝐿𝑖+1 = 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐿𝑖 ⋅ (𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖 + 𝐴𝑖 ⋅ 𝐵𝑖) = 𝑥4 ⋅ 𝑥2 + 1 ⋅ (𝑥4 ⋅ 𝑥2 + 𝑥4 ⋅ 𝑥2) =
= 𝑥4 ⋅ 𝑥2 + 𝑥2 ⋅ 𝑥4 + 𝑥2 ⋅ 𝑥4 = 𝑥2 ⋅ (𝑥4 + 𝑥4) + 𝑥2 ⋅ 𝑥4 = 𝑥2 + 𝑥2 ⋅ 𝑥4 = (𝑥2 + 𝑥2) ⋅ (𝑥2 + 𝑥4) =
= 𝑥2 + 𝑥4
𝑎8 = 𝐷 = 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼0 ⋅ 𝐸 + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼1 ⋅ 𝐸 + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼2 ⋅ 𝐸 + 𝑆1 ⋅ 𝑆0 ⋅ 𝐼3 ⋅ 𝐸 =
= 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑎4 ⋅ 𝑥1 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑎5 ⋅ 𝑥1 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑎6 ⋅ 𝑥1 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑎7 ⋅ 𝑥1 =
= 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥1 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥1 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥4 ⋅ 𝑥1 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 0 ⋅ 𝑥1 + 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ (𝑥2 + 𝑥4) ⋅ 𝑥1 =
= 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥2 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4
𝑧1(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4) = 𝑎9 = 𝑎1 + 𝑎8 = 0 + 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥4