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이산수학

1주차

논리의 기본 개념과 논리연산자

1. 논리와 명제

. 논리(logic)

: 주어진 문제를 객관적으로 명확하게, 그리고 사고의 법칙을 체계적으로 추구하여 분석하는

지의 여부로 결정된다.

. 논리의 응용분야

. 알고리즘의 설계나 증명

. 디지털 논리회로의 설계

. 논리 프로그램 관련 분야

. 관계형 데이터베이스 이론

. 오토마타와 계산이론

. 인공지능 등

. 논리는 크게 명제논리(propositional logic)와 술어논리(predicate logic)로 구분된다.

. 명제논리 : 주어진 명제를 주어와 술어로 구분하지 않고 전체를 하나의 식으로 처리하여 참

또는 거짓을 판별하는 법칙을 다루는 논리

. 술어논리 :주어진 명제를 주어와 술어로 구분하여 참 또는 거짓을 판별하는 법칙을 다루는

논리

정의1

참(true) 또는 거짓(false)을 명확히 구분할 수 있는 문장(statement)이나 수식을 명제

(proposition)라고 한다.

.명제(proposition)

.일반적으로 영어 소문자(p,q,r,…)로 나타냄

.진리값(truth value)

.명제의 진리값이 참이면 T(true), 진리값이 거짓이면 F(false)로 나타냄

그림 4 명제

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그림 5 명제

그림 6 명제

2. 논리 연산

정의2

그림 7 단순명제, 합성명제

. 논리연산자(logical operators) : 단순명제를 연결시켜주는 역할을 하는 ∨,∧,~ 과 같은 연결자

를 의미

. 합성명제의 진리값은 그 명제를 구성하는 단순명제의 진리값과 논리연산자의 특성에 따라 값

이 정해진다. 따라서 진리표(truth table)를 사용한다.

. 단순명제의 진리값은 그 명제가 참이냐 거짓이냐에 따라 T 또는 F로 나타낸다.

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그림 8 논리연산자, 논리 연산자, 부정, 논리곱, 논리합, 배타적 논리합, 함축, 쌍조건문

그림 9 논리곱, 논리합, 부정

그림 10 부정, 진리표

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그림 11 명제, 진리표

그림 12 부정, negation

그림 13 논리곱, 그리고, AND

명제 p, q에 대해 ~q∧p의 집리값을 구하여라.

합성명제의 진리값을 구할 때는 전체명제의 진리값을 한 번에 구하는 것 보다 각 부분의 진리

값을 구한 뒤 전체 합성명제의 진리값을 구하는 편이 낫다.

따라서 ~q∧p의 진리값을 구하는 진리표를 작성하려면 먼저 ~q의 진리값을 구한 뒤 ~q∧p의

진리값을 구한다.

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그림 16 진리값

. 논리기호 ∨, ∧, ~등을 여러 번 사용하여 합성명제를 구성할 경우 합성명제 P(p, q, r, …)의

부분명제 p, q, r 등을 변수(variable)라고 하고, 합성명제의 진리값을 각 변수들의 진리값에 의

해 구할 수 있다.

. 진리표(Truth Table)를 작성하는 방법

1) 진리표의 처음 n개의 열에 단순 명제 변수로 표제를 붙인다.

주어진 합성명제를 구성하는 중간 단계의 합성명제 각각에 대하여 하나의 열을 그 다음에 첨

가하여 결국 주어진 합성명제에 대한 열까지 포함시킨다.

2) 처음 n 개의 표제 밑에 합성명제의 단순 명제에 대한 2n개의 가능한 n-순서쌍 (n-tuple) 진

리값을 나열한다. 각 n-순서쌍을 각각의 행에 나열한다.

3) 나머지 열에 진리값을 계산하여 기입한다.

합성명제 (p∧q)∨(~p)의 진리표를 만들어라.

사용된 단순명제의 수가 2개이므로, 진리표는 22, 즉 4행으로 구성된다.

처음 2개의 열에는 단순명제 p와 q가 취할 수 있는 모든 가능한 진리값의 순서쌍을 나열한다.

나머지 열의 바닥에 쓰인 번호가 해당 열이 채워진 순서를 나타낸다.

그림 19 단순명제, 진리값, 진리표

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그림 20 합성명제, 진리표

그림 21 합성명제, 진리값, 진리표

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그림 23 합성명제, 단순명제, 진리값, 진리표

그림 22 논리합, 또는, OR, 진리표

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그림 24 배타적 논리합, 익스클루시브, OR, XOR, 배타적 논리합에 대한 진리표

명제 p, q에 대하여 의 진리값을 구하여라.

진리표를 이용하여 명제의 진리값을 구한다.

그림 27 진리표, 진리값

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그림 28 함축, implication, 조건, 조건에 대한 진리표

그림 30 충분조건, 필요조건

명제 p, q에 대하여 (p → q)∧(q → p)의 진리표을 구하여라.

(p → q)∧(q → p)의 진리표를 작성하기 위해 먼저 (p → q)와(q → p)의 진리값을 각각 구한

다. 주어진 합성명제 (p → q)∧(q → p)는 함축 (p → q)와 (q → p)를 논리곱으로 연결하고 있

다. 논리곱은 각각의 명제가 모두 참일 때 진리값이 참이다. 결국 다음과 같은 진리표를 작성

할 수 있다.

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그림 35 쌍방조건, 쌍방 조건, 필요충분조건

그림 33 명제 p, q에 대하여 (p → q)∧(q → p)의 진리표

그림 34 쌍조건, 조건에 대한 진리표

그림 36 합성명제, 논리 연산자, 우선순위

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명제 p, q가 주어졌을 때 (p→q)↔(q↔p)의 진리표를 구하여라.

명제의 진리값을 구하기 위해 (p→q)와 (q↔p)의 진리값을 각각 구한 후 그 값을 이용하여 합

성명제 (p→q)↔(q↔p) 의 진리값을 구한다.

그림 39 명제 p, q가 주어졌을 때 (p→q)↔(q↔p)의 진리표

.역(comverse), 이(inverse), 대우(contraposition)

그림 40 역, converse, 이, inverse, 대우, contrapositive, 상호관계

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그림 41 역, 이, 대우, 진리표

3. 항진명제와 모순명제

정의2

그림 43 항진명제, 모순명제, tautology, contradiction

명제 p와 항진 명제 t에 대해 다음 명제들의 진리값을 구하여라.

(1) p∧t (2)~p∨t (3) ~p→~t

항진명제 t는 진리값이 항상 참인 명제이다. 진리표를 이용하여 주어진 명제의 진리값을 구한

다.

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그림 46 항진명제, 진리값, 진리표

그림 47 단순명제, 항진명제, 모순명제, 진리표, 진리값

다음 명제의 진리값을 구하여라.

(1) [p∧(p → q)] → q (2)~p↔(p∨~p)

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진리표를 이용하여 주어진 명제의 진리값을 구한다.

그림 50 항진명제, 진리값

주어진 명제의 진리값이 모두 참이 아니므로 항진명제가 아니다.

.생각해보기 주제

그림 52 합성명제, 진리표

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그림 54 논리적 동치, 논리적동치

.교수님 의견

그림 53 합성명제

※ 핵심키워드 : 명제, 합성명제, 항진명제, 모순명제, 진리값, 진리표,

쌍조건, 부정, 논리, 논리값, 논리합

2차시

논리적 동치관계

1. 논리적 동치

정의1

.합성명제를 간소화 할 때 논리적 동치관계에 있는 명제를 이용한다.

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그림 55 논리적 동치, 논리적동치

그림 56 역동법칙, 역동 법칙, 항등법칙, 항등 법칙, 부정법칙, 부정 법칙, 이중부정법칙, 이중 부정 법칙, 교환법칙, 교환 법칙, 결합법칙, 결합 법칙, 분배법칙, 분배 법칙, 흡수법칙, 흡수 법칙, 드모르간법칙, 드 모르간 법칙, 조건법칙, 조건 법칙, 대우법칙, 대우 법칙

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그림 57 논리적 동치, 결합법칙

그림 59 논리적 동치

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그림 60 쌍조건문, 진리값, 진리표

그림 61 논리적 동치법

2. 한정기호

정의2

그림 62 명제함수, 명제 함수, 명제술어, 명제 술어, 술어논리, 술어 논리

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명제함수(propositional function)

.논의영역 D 에 포함되는 변수 x 에 대한 문장 P(x) 논의영역(universe of discourse, D)

.문장이 명제로 명확하게 구분되기 위해 문장 속의 변수가 속하는 범위

그림 63 명제함수, 논의영역

그림 64 명제함수, 진리값

그림 65 한정기호, 모든 것에 대하여, for all, 존재한다, there exist

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정의3

그림 66 전체 한정자, 전체한정자, 필요충분조건

그림 68 정수, 참, 거짓

그림 70 전체 한정자

정의4

그림 71 존재 한정자, 존재한정자, 필요충분조건

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정의5

그림 76 전체한정자, 전체 한정자

정의6

그림 77 존재 한정자, 존재한정자

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※ 핵심키워드 : 논리적 동치, 역동 법칙, 항등 법칙, 부정 법칙, 이중 부정 법칙, 교환 법칙, 결합 법칙, 분배 법칙, 흡수 법칙, 드 모르간 법칙, 조건 법칙, 대우 법칙, 한정기호, 명제 함수, 명제 술어, 술어 논리, 전체 한정자, 존재 한정자

2주차

1차시

집합의 기본개념과 연산

1. 집합의 기본개념

정의1

집합(set)이란 수학적 성질을 가지는 객체(objects)의 모임이다. 집합은 정확하게 정의되어야 하

며, 어떤 객체가 그 집합에 속하는지 아닌지를 분명히 구분할 수 있어야 한다.

.집합을 표시할 때는 알파벳 대문자 A, B, C, ... , Z등으로 표시

.집합을 구성하는 원소(element 또는 member)는 알파벳 소문자 a, b, c,…,z등으로 표시

.집합을 S라 하고 하나의 원소를 a라 하면, 원소 a가 집합 S에 속할 경우 이를 ‘a는 집합 S의

원소이다’라고 하고, a∈S로 나타낸다.

원소 a가 집합 S에 속하지 않을 경우에는 ‘a는 집합 S의 원소가 아니다’라고 하고, a∈S로 나타

낸다.

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. 집합을 표현하는 방법

. 원소나열법

. 집합에 속하는 모든 원소를 콤마(,)를 이용하여 { } 안에 하나씩 나열하는 방식 S={1,2,3,4,5}

. 여기서 의미가 명확한 경우 모든 원소를 나열하는 대신에 을 이용할 수 있다.

A={a, b ,c, ,z}

. 조건제시법

. 집합에 속하는 원소들의 공통적인 특징을 조건식으로 제시하는 방식

S={x|x는 자연수이고 1≤ x ≤5}

그림 81 조건제시법

그림 82 원소나열법

정의2

집합 S내에 있는 서로 다른 원소들의 개수를 그 집합의 카디날리티(cardinality) 또는 원소의 개

수라고 하고 |S|로 나타낸다.

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정의3

그림 84 공집합, 전체집합

전체집합(universal set)

. 일정한 모임 전체의 원소를 포함하는 집합

. U로 표시

공집합(empty set)

. 하나의 원소도 포함하고 있지 않은 집합

. { } 또는 ∅로 표시

그림 85 전체집합

그림 86 정수의 집합, 실수의 집합

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정의4

집합 S의 원소의 개수가 유한인 경우, 집합 S를 유한집합(finite set)이라 하며, 집합 S가 유한집

합이 아니면, 집합 S를 무한 집합(infinite set)이라고 한다.

다음 집합들이 유한집합인지 무한집합인지 구별해 보자.

(1)대한민국에 사는 모든 공대생들의 집합

(2)5의 배수인 자연수의 집합

(1)유한집합

(2)무한집합

정의5

상등

.두 집합 A 와 B 가 동일한 원소를 가짐

.서로 같다(equal)

.A=B로 표시

.a∈A면 a∈B고, a∈B면 a∈A일 때 A=B다.

. A=B ⇔ (a∈A ↔ a∈B)

정의6

그림 91 부분 집합, 진부분 집합, 부분집합, 진부분집합, subset, proper subset

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부분집합(subset)

. A와 B가 집합이고 A의 모든 원소가 B에 포함될 때 A를 B의 부분집합이라고 정의

. A⊆B로 표시

. A⊆B ⇔ (a∈A → a∈B), ∀a

진부분집합(proper subset)

. A가 B의 부분집합이지만 A와 B가 같지 않은 경우

. A⊂B로 표시

그림 94 공집합, 부분집합

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그림 95 필요충분조건, 부분집합

2. 집합의 연산

. 벤 다이어그램(Venn diagram)

: 주어진 집합들 사이의 관계와 집합의 연산에 대하여 이해하기 쉽도록 그림으로 나타낸 것

. 전체집합U는 사각형으로 표시

. 전제집합 U의 부분집합들은 사각형 안에 원으로 표시

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[그림2] 여러 가지 집합의 표현

정의7

그림 98 여집합

여집합 (complement)

. 전체집합 U 의 부분집합 A에 대하여 x∈U고 x A인 원소 x들의 모임

. A={x| x∈U ∧ x A}

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정의8

합집합(union)

. 두 집합 A와 B에 모두 속하거나 둘 중 어느 한곳에 속하는 원소들의 모임

. A∪B={x| x∈A∨x∈B

정의9

교집합(intersection)

. 두 집합 A와 B에 모두 속하는 원소들의 모임

. A∩B={x| x∈A∧x∈B

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정의10

정의11

서로소(disjoint)

. 두 집합 A와 B에 대하여 A∩B=.인 경우

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정의12

그림 110 대칭 차집합, 대칭차집합

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그림 113 유한집합

그림 114 유한집합

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그림 115 서로소

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집합의 대수법칙

그림 119 멱등법칙, 항등법칙, 지배법칙, 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙, 드 모르간의 법칙

그림 120 분배법칙, 결합법칙

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정의13

그림 121 쌍대, duality

. 특정 명제에 대해 쌍대가 존재하는 성질을 쌍대성의 원리(principle of duality)라고 한다.

※ 핵심키워드 : 집합, 원소, 원소나열법, 조건제시법, 공집합, 전체집합,

카디날리티, 정수의 집합, 실수의 집합, 무한 집합, 유한 집합, 상등, 부분

집합, 진부분 집합, 공집합, 벤 다이어그램, 여집합, 합집합, 교집합, 차집

합, 서로소, 대칭 차집합, 멱등법칙, 항등법칙, 지배법칙, 교환법칙, 결합법

칙, 분배법칙, 드 모르간의 법칙, 쌍대, 쌍대성의 원리

2차시

곱집합과 집합의 분할

1. 곱집합과 멱집합

. 순서쌍(ordered pair)

. 하나의 순서쌍은 순서로 구분되는 원소들의 쌍으로서 (a,b)와 같이 나타낸다.

. 순서쌍(a,b)는 쌍의 원소들 간의 순서에 의해 구분되므로 a≠b이면 (a,b) ≠(b,a)이다. 그리고 두

순서쌍이 (a,b)=(c,d)이면, a=c이고 b=d이다.

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정의1

. 곱집합 A×B의 카디날리티(cardinality)는 | A×B|=|A|×|B|이다. 이때 A, B는 유한집합이다.

가나 여행사를 이용하면 다음과 같은 곳을 여행할 수 있다.

x=시드니, y=괌, z=하와이 또한 다음과 같이 여행 기간을 선택할 수 있다.

a=10박 11일, b=5박6일 이때 여행 장소의 모임을 집합 S, 여행기간의 모임을 집합 T 라고

하면, S×T는 무엇을 의미하는가?

S={x, y, z}, T={a, b}라고 하면 S×T는 가나 여행사에서 제공하는 하나의 여행 장소에 따른 일

정한 여행기간의 모임이 된다. 즉, 선택한 기간에 맞춰 각각의 여행 장소 일정을 정할 수 있다.

예를 들면 S×T의 순서쌍(y, a)는 괌을 10박 11일 동안 여행하는 상품이 되고, (x, b)는 시드니

를 5박 6일 동안 여행하는 상품이 된다.

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그림 128 순서, 임의의 집합

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그림 133 멱집합

{ }SSP

SAASP

2)(

|)(

=

Í=

정의2

어떤 집합 A에 대하여 A의 원소의 개수가 n개일 때 A의 부분집합 의 개수는 개이다. 이것

을 집합 A의 카디날리티로 표현하면 개가 되는데, 이러한 임의의 집합 A에 대하 부분집합들

의 모임을 집합류(class)라고 한다. 즉, 집합류란 집합의 집합이다.

정의3

임의의 집합 s에 대하여, S의 모든 부분집합을 원소로 가지는 집합을 집합 S의 멱집합(power

set)이라 한다. 이것을 통상 P(S)로 표시하는 데 로 표기하기도 한다.

. P(S)의 카디날리티는 집합 S의 부분집합의 개수를 의미한다.

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그림 135 멱집합

그림 136 멱집합

. 임의의 집합 A에 대하여 P(A)의 원소들을 나타내기 위하여 A1, A2,…,An과 같이 A 밑에 첨자

(index)를 붙여서 표기한다. 이러한 첨자가 붙은 집합류에서 그들의 합집합과 교집합의 연산은

다음과 같이 표기한다.

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2. 집합의 분할

정의4

S를 공집합이 아닌 임의의 집합이라고 할 때, 집합 S의 분할(partition) π는 다음과 같은 3가지

조건을 만족시켜야 한다.

π ={A1, A2, A3, …, Ai, …, Ak}

⑴ i=1,2,3, …, k에 대하여, Ai 는 공집합이 아닌 집합 S의 부분집합이다.

⑵ S= A1∪ A2 ∪ A3 ∪ … ∪ Ai ∪ … ∪ Ak

⑶ Ai 들 사이에서는 서로소이다. 즉 i≠j이면, Ai ∩ Aj = ∅이다.

. 여기서 분할의 원소인 Ai를 분할의 블록(Block)라고 한다.

. 예 : 대한민국은 여러 개의 도로 분할된다.

그림 139 집합의 분할, 집합 s의 분할

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그림 140 분할

※ 핵심키워드 : 곱집합, 카티시안 곱, 멱집합, 순서쌍, 집합류, 집합의 분할, 블록

3주차

1차시

수학적 귀납법

1. 증명의 방법론

정의1

증명(proof)이란 논리적 법칙을 이용하여 주어진 가정으로부터 결론을 유도해내는 추론의 한

방법으로서, 어떠한 명제나 논증이 적절하고 타당한지를 입증하는 작업이다.

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. 공리(axiom): 별도의 증명 없이 참(true)으로 사용되는 명제

. 예 : ‘1은 자연수이다.’는 ‘n이 자연수이면 n+1도 자연수이다.’라는

명제의 공리

. 정리 (theorem) : 참으로 확인된 명제

. 하나의 명제를 참으로 확정하는 과정을 증명(proof)이라고 한다.

그림 143 증명의 단계적 접근 방법

. 수학이나 컴퓨터와 관련된 여러 분야에서도 증명 과정은 매우 중요

. 소프트웨어를 개발하는 과정에서는 프로그램 검증 과정을 통해 프로그램

오류를 줄이고, 빠른 시간 안에 정확한 프로그램을 개발할 수 있게 함.

. 증명은 다양한 분야의 개념을 확립할 때 중요한 역할 담당

. 증명의 종류 : 수학적 귀납법, 직접 증명법, 간접증명법 등

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2. 수학적 귀납법

. 연역법(deduction)

: 주어진 사실들과 공리들에 입각하여 추론을 통하여 새로운 사실을 도출하는 것

.귀납법(induction)

: 관찰과 실험에 기반한 가설을 귀납추론을 통하여 일반적인 규칙을 입증하는 것

그림 144 마우로리코, 수학적 귀납법, 공리, 무한하강의 방법

그림 145 수학적 귀납법

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. 명제 p1, p2, p3, …,pn이 사실이라고 할 때 pn+1의 경우에도 성립한다는 것을 보이게 된다.

따라서 n이 1인 경우에 성립하는 것을 보이고 또한 모든 양의 정수 n에 대해 성립한다고 가정

하면 n+1의 경우에도 성립하는 것을 보여주면 된다.

. 여기서 출발점이 되는 n의 값을 기본 단계(basis)라고 하며, p1, p2, p3,…,pn 을 귀납가정

(inductive assumption), pn+1 의 경우에 성립됨을 보이는 것을 귀납단계(inductive step)라고

한다.

. 논리식 증명에 이용되는 경우

. 모든 정수 n에 대해 어떤 명제 p(n)이 주어졌을 경우 p(n)이 n≥1인 모든 정수에 대해 참이라

는 것을 증명하기 위한 방법은 다음과 같다.

(1) 기본 단계(basis) : p(1)이 참임을 보인다.

(2) 귀납가정(inductive assumption) : p(n)이 참이라고 가정한다.

(3) 귀납단계(inductive step) : 명제 pn 이 참이라고 할 때(즉, 귀납가정에 입각하여) p(n+1)

이 참임을 보인다.

그림 147 수학적 귀납법

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그림 148 수학적 귀납법

그림 149 수학적 귀납법

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그림 150 수학적 귀납법

그림 152 수학적 귀납법

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그림 153 수학적 귀납법

그림 154 수학적 귀납법

그림 155 분배법칙

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그림 156 수학적 귀납법

그림 157 기초단계, 귀납가정, 귀납단계

제 2 수학적 귀납법 / 강한 귀납법(Strong Induction)

어떤 정수 n 에 관한 명제 p(n)에 대하여 다음 두 조건이 성립한다고 하자.

(1) p(1)은 참이다.

(2) 임의의 정수 k ≥1에 대해 p(1)∧p(2)∧…∧ p(k) 참이면 p(k+1)도 참이다.

이 때 정수n에 대하여 p(n)은 참이다.

. 제2 수학적 귀납법을 이용한 증명은 p(1),p(2), …, p(k)가 모두 참임을 이용하여 p(k+1)도 참

이 됨을 보이면 된다.

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그림 158 제 2 수학접 귀납법

그림 160 제 2 수학적 귀납법

그림 161 제 2 수학적 귀납법※ 핵심키워드 : 수학적 귀납법, 증명의 방법론, 증명, 공리, 정리, 연역법,

귀납법, 귀납단계, 귀납가정, 기본단계, 논리식 증명, 제 2 수학적 귀납법,

강한 귀납법

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2차시

여러 가지 증명 방법

1) 직접 증명법 (direct proof)

주어진 유용한 정보로부터 추론을 통하여 목적하는 결론에 도달할 수 있도록 유도하는 증명법

을 직접 증명법(direct proof)이라고 하며, 명제 p.q의 직접 증명은 논리적으로 p의 진리값이

참(true)일 때 q도 참임을 보이는 증명방법이다.

명제의 함축 p→q 가 참이 됨을 증명하는 방법

명제 p 를 참이라고 가정하고, 여러 가지 정리와 식을 이용하여 명제 q 또한 참이 됨을 증명

두 짝수의 합은 항상 짝수가 됨을 증명하여라.

a 와 b를 모두 임의의 짝수라고 하자.

짝수의 정의에 따라 임의의 정수 m과 n에 대해,

a=2m

b=2n

으로 나타낼 수 있다. a와 b를 합하면

a+b=2m+2n

=2(m+n)

m+n은 정수이므로 a+b=2(m+n)은 항상 정수값의 1의 배수이므로 짝수가 된다.

따라서 두 짝수의 합은 항상 짝수가 됨이 성립한다.

두 유리수의 합이 유리수임을 직접증명법으로 증명하여라.

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2) 간접 증명법(indirect proof)

증명하고자 하는 명제를 논리에 어긋나지 않는 범위에서 증명하기 쉬운 명제로 변환하여 증

명하는 방법

유형

. 대우증명법

. 모순증명법

. 반례증명법

① 대우증명법(proof by contraposition)

증명하고자 하는 명제의 대우 명제를 이용하는 방법으로, 명제의 함축 p→q와 ~q→ ~p가 대

우관계로서 논리적 동치가 됨을 이용하여, ~q→ ~p 가 참인 것을 증명함으로써 p→q가 참이

되는 것을 보여주는 증명방법을 대우증명법이라 한다.

명제의 함축 p→q 이 참이면 그 대우인 ~q→ ~p도 참이고 두 명제가 서로 동치인 것을 이용

주어진 명제의 대우명제가 참임을 증명함으로써 증명하고자 하는 명제도 참임을 증명하는 방법

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그림 169 대우증명법, 대우 증명법

② 모순증명법

주어진 문제의 명제를 일단 부정해 놓고 논리를 전개하여, 그것이 모순됨을 보임으로써 본래의

명제가 참임을 증명하는 방법을 모순증명법이라 한다. 기존의 전통적인 방법으로는 주어진 문

제를 쉽게 증명할 수 없는 경우에 매우 유용하며, 귀류법이라고도 한다.

p→q가 참인 것과 p∧~q가 거짓임은 동티이므로 p∧~q가 참이라고 가정 하고 모순이 유도되면

원래의 명제가 참임을 증명하게 된다.

함축 p→q 와 ~(p∧~q)가 동치인 것을 이용하여 증명하는 방법 (p∧~q)가 참이라고 한 뒤 그

결과가 모순되면 ~(p∧~q) 가 참이 되고 이와 동치인 함축 p→q 도 참이 됨을 이용

그림 170 모순증명법, 모순 증명법

- 53 -

그림 172 모순 증명법, 모순증명법

③ 반례에 의한 증명 (반례 증명법)

∀xp(x)이 거짓임을 보이기 위해 ~∀xp(x)와 동치인 ∃x~(px)에서 p(x)를 만족하지 않는 x가 적어

도 하나 존재함을 보이면 된다. 이때 x를 반례(counter example)라고 하며, 이러한 증명방법을

반례에 의한 증명법(proof by counter example)라고 한다.

어떤 명제가 참 또는 거짓임을 입증하기 상당히 어려운 경우, 주어진 명제에 모순이 되는 간단

한 하나의 예를 보임으로써 비교적 쉽게 증명할 수 있는 방법 중의 하나이다.

주어진 명제에 모순되는 간단한 예를 하나 보임으로써 명제를 증명하는 방법 다른 증명 방법

으로 증명하기 어려운 예제들을 증명할 때 유용

- 54 -

그림 173 반례증명법, 반례 증명법

그림 174 반례증명법, 반례 증명법

2. 재귀법

. 재귀법(recursion)

재귀법을 이용하여 문제를 해결하기 위해서는 일련의 규칙을 찾아 문제를 다시 정의해야 한다.

여기서 초기조건은 하나 이상일 수 있다.

. 초기조건(initial condition) 정의

. 재귀조건(recursion condition) 정의

- 55 -

그림 176 재귀조건, 재귀법

- 56 -

그림 178 재귀법

그림 180 재귀법

3. 프로그램 검증

. 프로그램 검증(program verification)

. 프로그램이 주어짂 명세와 일치하는지를 알아보기 위해 수학적 증명 방법을 통해 특정한 성

질들을 증명하는 작업.

. 다양한 프로그래밍언어를 이용하여 프로그램을 개발한 뒤에는 반드시 작성한 프로그램이 올

바르게 작동하는지 검증해야 한다. 즉 실제 사용되는 데이터를 입력하기 전에 수학적 증명 방

법들을 통해 프로그램의 결과가 정확한지, 프로그램이 정상 종료되는지, 변수들의 값이 어떻게

변하는지 등을 검증하는 것이다.

- 57 -

프로그램 명령문

. 순서문

.명령들을 순서대로 실행

. 조건문

.주어진 조건이 참인지 거짓인지에 따라 명령문을 선택하여 실행

. 반복문

.조건이 참인 동안 명령문을 반복 실행

. 프로그램 명령문 순서도

. 순서문 조건문 반복문

. 명령문에 맞게 작성되었는지 확인

. 이를 위해 입력 데이터에 맞게 출력이 생기는지 확인

그림 182 알고리즘, 상수값

- 58 -

그림 183 절대값, 알고리즘

풀이

그림 185 수학적 귀납법, 알고리즘

- 59 -

※ 핵심키워드 : 직접 증명법, 간접 증명법, 대우 증명법, 모순 증명법, 반

례 증명법, 재귀법, 초기조건, 재귀조건, 프로그램 검증, 프로그램 명령문,

순서문, 조건문, 반복문

4주차

1차시

관계의 기본개념과 관계의 표현

1. 관계의 기본개념

. 관계(relation)

. 객체들 간의 연관성을 표현하는 구조

. 관계의 예

. 가족 : 부모와 자식 간의 관계, 형제관계, 남매관계 등

. 성적 프로그램 : 변수들 사이의 관계, 사용한 프로그래밍언어와 명령어와의 관계 등

. 집합을 구성하는 원소들 사이에 존재하는 연관성을 나타내기 위해 사용되는 구조로 원소들

사이의 순서를 고려한 것.

관계의 이론적 배경이 되는 곱집합(Cartesian product)

. A 와 B 는 각각 집합을 의미

A, B 가 유한집합일 때 의 원소의 개수

|||||| BABA ×=´

ABBA ´¹´

- 60 -

표현

. 이항관계(binary relation)

. 두 집합의 원소들 사이에 관계를 표현할 때는 두 개의 원소로 구성된 순서쌍(ordered pair)을

사용하는데, 이러한 순서쌍의 집합을 이항관계라고 한다.

정의1

그림 192 이항관계, 정의역, 치역

그림 193 정의역, 치역

- 61 -

두 집합 A={2,3,4}, B={4,5,6,7,8,9}에 대한 이항관계 R에서 aRb를 a2=b라고 할 때 관계 R을 순

서쌍으로 나타내어라.

관계 R은 첫 번째 원소를 제곱한 값이 두 번째 원소가 되는 순서쌍들의 집합이다.

R={(2,4), (3,9)}

그림 196 이항관계, 정의역, 치역

정의2

. n 항 관계(n-ary relation)

2 개 이상의 집합의 원소들 사이의 관계

- 62 -

그림 198 n항 관계

그림 199 n 항 관계

정의3

그림 200 역관계

- 63 -

관계 R의 정의역은 R-1의 치역이 되고, 관계 R의 치역은 R-1에서의 정의역이 된다.

그림 201 역관계

그림 202 정의역, 치역

2. 관계의 표현

. 관계의 표현

(1) 집합 사이의 관계를 표현하는 방법

① 서술식방법 : ‘집합 A={1,2,3}에서 원소 a,b가 a≥b인 관계’와 같이 표현

② 나열식방법 : 순서쌍들의 집합으로 표현

(2) 순서쌍의 원소들 간의 관계를 표현하는 방법

① 화살표도표(arrow diagram)

② 좌표도표(coordinate diagram)

③ 방향그래프(directed graph)

④ 관계행렬(relation matrix)

- 64 -

1) 화살표도표(arrow diagram)

: a∈A이고 b∈B일 때, (a, b)∈R일 경우, 집합 A에서 있는 원소 a에서 집합 B에 있는 원소 b로

화살표를 그려서 관계를 표현하는 방법

2) 좌표도표(coordinate diagram)

: a∈A이고 b∈B일 때, (a, b)∈R일 경우, 집합 A의 원소를 x축 위의 점으로 표시하고, 집합 B

의 원소를 y축 위의 점으로 표시하여, (a, b)∈R일 경우, a를 가리키는 x 좌표축과 b를 가리키

는 y 좌표축이 만나는 곳에 점으로 표시하여 관계를 표현하는 방법

3) 방향그래프(directed graph)

: 관계 R이 두 집합 A와 B 사이의 관계가 아니고 하나의 집합 A에 대한 관계일 때, 집합 A의

각 원소를 그래프의 정점으로 표시하고, a, b∈A에 대해 (a, b)∈R 일 경우 a에서 b로의 화살표

가 있는 연결선(edge)으로 표현하여 관계를 표현하는 방법

다음과 같은 관계 R이 주어졌을 때, 관계를 방향그래프로 나타내시오.

R={(a, b), (b, a), (a, d), (d, c), (c, c), (c, a)}

- 65 -

관계의 각 순서쌍에 대해 첫 번째 원소로부터 두 번째 원소로 화살표를 그리면 된다.

다음과 같은 방향그래프로 표현되는 관계 R에 관한 순서쌍을 나타내어라.

그림 209 방향그래프, 방향 그래프

(1)R={(x, x), (x, y), (y ,x)}

(2)R={(a, a), (a, b) ,(b, c), (c, a), (c, b)}

4) 관계 행렬(relation matrix)

: 부울 행렬(boolean matrix)을 이용하여 관계를 표현하는 방법

. a∈A이고 b∈B일 때, (a, b)∈R일 경우, 관계행렬의 행에는 집합 A의 원소를, 열에는 집합 B

의 원소로 표시하는데, 행렬의 각 요소(element)의 값은 a∈A와 b∈B 의 관계가 있으면 1, 관

계가 없으면 0으로 표현하는 방법

. 예 : 관계 R={(1,2),(1,3),(3,2)인 경우

- 66 -

. 일반적인 표현으로 나타낼 경우

. |A|=n, |B|=m일 때, A={a₁, a₂, ∙∙∙, a}이고 B={b₁, b₂, ∙∙∙, bm}이라 하자.

R이 집합 A와 집합 B사이의 관계라고 하면 R의 관계 행렬은 n개의 행과 m개의 열을 가지는

n×m행렬 M이고, M의 각 원소들은 다음과 같이 정의된다.

- 67 -

그림 215 정의역, 치역

※ 핵심키워드 : 관계, 관계의 표현, 이항관계, 정의역, 치역, n항 관

계, 역관계, 서술식방법, 나열식방법, 화살표도표, 좌표도표, 방향그래

프, 관계행렬, 부울행렬

2차시

관계의 성질

1. 관계의 성질

. 관계의 성질은 집합에 관한 관계를 분류하는데 사용된다.

. 집합 A에 대한 관계 R은 다음과 같이 분류된다.

(1) 모든 a∈A에 대하여 aRa 일 때 R은 반사관계(reflexive relation)이다.

(2) 모든 a, b∈A에 대하여 aRb 이면 bRa일 때 R은 대칭관계(symmetric relation)이다.

(3) 모든 a, b ,c∈A에 대하여 aRb이고 bRc이면 aRc일 때 R은 추이관계(transitive relation)이다.

. 이 외에도 비반사관계(irreflexive relation), 반대칭관계(antisymmetric relation) 등으로도 나타

낼 수 있다.

(1) 모든 a∈A에 대하여 일 때 R은 비반사관계이다.

(2) 모든 a, b∈A에 대하여 (a, b)∈R이고 (b, a)∈R이면 a=b일 때 R은 반대칭관계이다.

(1) 반사관계와 비반사관계

정의1

- 68 -

정의2

그림 218 비반사관계, 비반사 관계

그림 219 반사관계

. 관계 R에 대한 방향그래프에서 모든 정점에 대해 자기 자신을 가리키는 화살표가 존재하면

반사관계가 성립한다.

그림 220 반사관계

- 69 -

그림 221 반사관계

그림 222 반사관계

그림 223 반사관계, 비반사관계

- 70 -

그림 225 반사관계, 비반사관계

그림 224 순서, 반사관계, 관계행렬

(2) 대칭관계와 반대칭관계

정의3

. 관계R을 방향그래프로 나타내었을 때 하나의 정점에서 다른 정점으로 화살표 모양의 에지가

그려지면 반대로 다른 정점에서 그정점으로 다시 화살표 모양의 에지가 그려지면 대칭관계가

성립한다.

. 관계 R을 관계행렬로 나타내었을 때 관계행렬의 주대각선을 중심으로 행렬의 각 원소가 서로

대칭되면 즉,

이면 대칭관계가 성립한다.

- 71 -

그림 228 대칭관계

그림 230 대칭관계, 관계행렬

- 72 -

그림 231 대칭관계, 방향그래프

정의4

그림 232 반대칭 관계, 반대칭관계

그림 233 대칭관계, 반대칭 관계

- 73 -

그림 234 반대칭 관계, 반대칭관계

그림 235 대칭관계, 반대칭관계

그림 236 대칭관계, 반대칭관계

- 74 -

그림 237 대칭관계, 반대칭관계

(3) 추이관계

정의5

그림 240 추이관계

- 75 -

그림 241 추이관계

2. 관계의 연산

정의6

그림 242 합성관계

그림 243 부울곱, 합성관계

- 76 -

그림 244 합성관계, 순서쌍

그림 246 합성관계

- 77 -

정의7

그림 248 항등관계, 항등 관계

. 하나의 관계 R 에 대한 합성관계는 거듭제곱 형태로 정의 될 수 있다.

- 78 -

정의8

그림 251 귀납적

그림 252 합성관계

그림 254 관계행렬

- 79 -

그림 255 추이관계, 수학적 귀납법

그림 257 추이관계

. 관계 행렬을 사용하여 두 관계 R1과 R2에 대한 R1 ∪ R2, R1 ∩ R2 를 나타내면 다음가 같다.

- 80 -

그림 259 관계행렬

※ 핵심키워드 : 관계의 성질, 반사관계, 대칭관계, 추이관계, 비반사관계, 반대칭관계, 합성관계, 항등관계, 관계행렬

5주차

1차시

동치관계

1. 관계의 폐포

정의1

R이 집합 A에서의 관계라 하면, 관계에서 중요한 성질들, 특히 반사성, 대칭성, 추이성의 성질

들을 P라 할 때 집합A에 대한 관계 S가 R을 포함 하면서 관계의 성질 P를 갖는 모든 관계의

부분집합이면 S를 P에 관한 R의 폐포(Closure of R, 닫힘)라고 한다.

- 81 -

. R의 폐포는 관계 R이 어느 특정한 성질을 가지고 있지 않으면 그 성질을 가질 때 까지 관계

R에 관련 순서쌍들을 가능하면 적은 수의 새로운 순서쌍을 추가하여 우리가 원하는 성질을 가

지며 관계 R을 포함하는 최소의 관계S가 존재하도록 하는 것이다.

1) 반사폐포(reflexive closure)

집합 A={1,2,3}에 대한 관계 R={(1,2), (1,3), (2,2), (3,2)}이 반사관계가 성립되도록 하기 위해서

는 R에 최소한 (1,1)과 (3,3)이 포함 되어야 한다. 이렇게 만들어진 새로운 관계를 R의 반사폐포

라 한다.

반사폐포는 관계 R 을 포함하고 반사적이며, R이 포함된 모든 반사관계 안에 포함된다.

R 이 집합 A 에 대한 관계일 때 R 의 반사폐포는 다음과 같다.

}|),{( AaaaR ÎU

2) 대칭폐포(symmetric closure)

집합 A={1,2,3}에 대한 관계 R={(1,1),(1,3),(2,1),(3,1),(3,2)}에 대칭관계가

성립되도록 하기 위해서는 R에 최소한 (1,2)와 (2,3)이 포함 되어야 한다.

이렇게 만들어진 새로운 관계를 R의 대칭폐포라 한다.

대칭폐포는 관계 R 을 포함하고 대칭적이며, R이 포함된 모든 대칭관계 안에 포함된다.

R 이 집합 A 에 대한 관계일 때 R 의 대칭폐포는 다음과 같다.

}),(|),{( RbaAAabR δÎU

1-RRU

- 82 -

3) 추이폐포(transitive closure)

집합 A={1,2,3,4}에 대한 관계 R={(1,3),(2,4),(3,2), (4,3)}이 추이관계가 성립 되도록 순서쌍을 추

가해 본다. 먼저 관계 R이 추이적 성질을 가지게 하기 위해서 순서쌍(1,2),(2,3),(3,4),(4,2)를 추가

해야 할 것이다. 그러나 이 경우 역시 추이관계가 성립하지 않는다. 그 이유는 관계R의 순서쌍

(1,3)과 추가할 순서쌍(3,4)에서 새로 만들어져야할 순서쌍 (1,4)가 없기 때문이다.

추이폐포는 반사폐포나 대칭폐포를 만드는 것에 비해 매우 복잡하다. 새로운 순서쌍을 추가할

필요가 없을 때까지 반복적으로 순서쌍 추가해야 한다. 추이폐포를 만들기 위해서는 방향그래

프에서 경로로 연결되어 있는 정점들의 쌍을 결정해야 한다.

정의2

방향그래프 G 에서 a 에서 b 로의 경로(path)

. x0=a, xn=b라고 할 때 한 개 이상의 에지 (x0, x1), (x1, x2), ···, (xn-1, xn)로 구성

길이 n인 경로

. x0, x1, x2, ···, xn-1, xn으로 나타냄

정의3

연결관계(connectivity relation) R *

.관계 R 에 적어도 길이 1이면서 a 에서 b 로의 경로가 있는 쌍 (a, b)로

.R n 은 길이 n 이면서 a 에서 b 로의 경로가 있는 쌍 (a, b)로 구성

.R * 는 R n 의 합집합:

n

n

n RRRRRR ULUUUU 32

1

* ==¥

=

- 83 -

집합 A={1,2,3} 에 대한 관계 R={(1,2),(2,3),(3,1)}의 연결관계 R*를

구하여라.

연결관계 R*를 구하려면 경로의 길이에 상관 없이 첫 번째 정점에서 두 번째 정점

까지 경로가 있는 모든 순서쌍을 구하면 된다. 이것을 관계 행렬을 사용하여 구해본다.

그림 272 연결관계

- 84 -

그림 273 연결관계, 추이폐포, 추이관계

- 85 -

2. 동치관계

정의4

동치관계(equivalence relation)

.반사관계, 대칭관계, 추이관계가 모두 성립하는 관계 R

.동치관계 R의 중요한 성질은 R이 서로 공통부분이 없으면서 공집합이 아닌 클래스들로 S를

분할 한다는 점이다.

.어떤 대상들에 대한 연관성이나 유사성을 이용하여 그 성질을 조합하는 관계

그림 278 동치관계, 대칭관계, 반사관계

- 86 -

그림 279 동치관계, 추이관계

정의5

그림 280 동치류

R 에 대한 a 의 동치류(equivalence classes)

. 집합 A 의 각 원소 a 에 대하여 [a]

. [a]={x| (a, x)∈R}

이때 집합 A의 동치류의 모임을 A의 몫집합(quotient set)이라 하고, 로 나타낸다.

[ ]{ }AaaRA

Î= |

- 87 -

그림 284 동치류

그림 285 동치관계, 순서쌍, 블록

(1)관계 R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3)}은 추이관계가

성립하지 않으므로 동치관계가 아니다.

(2) 관계 R={(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1)}은 반사관계가 성립하지

않으므로 동치관계가 아니다.

- 88 -

그림 288 동치류

[1]=[5]={1, 5}, [2]=[6]={2, 6}, [3]={3}, [4]={4}

그림 290 동치관계, 순서쌍

※ 핵심키워드 : 동치관계, 관계의 폐포, 폐포, 반사폐포, 대칭폐포, 추이

폐포, 연결관계, 추이관계, 반사관계, 대칭관계, 동치류

2차시

부분순서관계

1. 부분순서관계

정의1

그림 291 부분순서단계, 부분 순서 단계, 부분순서집합, 부분 순서 집합

- 89 -

. 집합 A 에 대한 관계 R 이 반사관계, 반대칭관계, 추이관계가 성립할 때의 관계 R

. 이 때 A 는 부분순서집합(partially ordered set, poset)

. (A, R)로 나타냄

그림 292 부분순서관계

양의 정수 집합에 대한 관계 R이 a가 b로 나누어 떨어지는 관계(a|b)일 때 이 관계는 부분순서

관계인가?

반사관계, 반대칭관계, 추이관계가 모두 성립하므로 부분순서관계이다.

집합 {1,2,3}에 대한 관계 R={(1,1),(2,2),(2,3),(3,3)}이 부분순서 관계인지 판별하여라.

반사관계, 반대칭관계, 추이관계가 모두 성립하므로 부분순서관계이다.

그림 297 부분순서관계, 일반화, 순서화

- 90 -

정의2

그림 298 부분순서집합, 비교가능, 선형순서집합, 선형순서관계, 선형순서

집합 A={1,2,3,6,9,18}에 대한 관계 R이 ‘a가 b로 나누어 떨어지는 관계(a| b) ’일 때 , 3과 8은

비교가능한가?

18 | 3이 될 수 있으므로 비교가능하다.

정의3

그림 301 부분순서집합, 곱집합문자열을 순서화 하는 특수한 경우이며, 에 대한 부분순서로 부터 구성된다. 또한 n개의 부분

순서집합들의 카르테시안 곱으로 확장될 수 있다.

그림 302 부분순서집합, 사전식 순서

- 91 -

0<1인 순서일 때 다음 비트 문자열에 대한 사전식 순서를 구하여라.

0<0001<001<01<0101<011<11

2. 하세도표

정의4

그림 305 커버, 하세도표, 하세 도표

그림 306 부분순서집합, 하세도표, 반사관계, 루프, 부분순서관계

- 92 -

그림 308 하세도표

집합 A={1,2,3,6,8,12}에 대한 관계 R이 a가 b로 나누어 떨어지는 관계(a|b)일 때 하세도표를 그

려라.

먼저 방향 그래프로 나타내면 다음과 같다.

그림 311 하세도표

- 93 -

그림 312 멱집합, 하세도표, 부분순서집합

정의5

그림 313 부분순서집합, 극대원소, 극소원소

공집합이 아니고 유한한 모든 부분순서 집합(A, <-)는 극소원소를 갖는다.

부분순서집합에서 극대원소와 극소원소는 각각 하나 이상 있을 수 있다.

(Z,≤)와 같은 부분순서집합의 경우에는 극대원소와 극소원소가 모두 존재하지 않을 수도 있다.

부분순서집합 (Z-,≤)의 경우에는 극대원소는 있으나 극소원소가 없으며, 부분순서집합 (Z+,≤)의

경우에는 극소원소는 있으나 극대원소가 없다.

- 94 -

다음 하세도표에서 극대원소와 극소원소를 찾아라.

극대원소는 3과 4이고, 극소원소는 1이다.

정의6

* 만일 최대원소가 존재한다면 단 하나만 존재한다. 그것은 최소원소에 대해서도 마찬가지이다.

* 최대원소는 하세도표에서 가장 위에 있는 원소이고, 최소원소는 하세도표에서 가장 아래에

있는 원소이다.

다음 하세도표에서 최대원소와 최소원소를 찾아라.

최대원소는 없고, 최소원소는 1이다.

- 95 -

그림 321 하세도표, 극대원소, 극소원소, 최대원소, 최소원소

정의7

그림 323 양립, 위상정렬

- 96 -

그림 325 부분순서집합, 위상정렬, 극소원소

- 97 -

그림 328 극소원소, 부분순서집합. 극소원소가 2개 이상일 경우에는 어떤 것을 선택해도 상관이 없다.

즉, 어떤 극소원소를 선택하느냐에 따라서 정렬 결과는 달라질 수 있다.

※ 핵심키워드 : 부분순서단계, 부분순서집합, 비교 가능, 선형 순서 집합,

선형 순서 관계, 선형 순서, 하세도표, 커버, 극대원소, 극소원소, 최대원

소, 최소원소, 위상정렬, 양립

6주차

1차시

함수의 기본개념과 성질

1. 함수의 기본 개념

. 함수(function)

. 관계(relation)의 특수한 형태로서 첫번쨰 원소가 같지 않은 순서쌍들의 집합

. 즉, 한 집합의 원소들과 다른 집합의 원소들 간의 관계를 나타내는 순서쌍 중에서, 앞에 있는

집합의 모든 원소가 한 번씩만 순서쌍에 포함될 경우를 의미

- 98 -

그림 329 공집합, 사상, 정의역, 공변역, 공역

. 예

. 교수가 학점을 매길 때 시험 본 점수에 따라 어떤 법칙을 이용하여 학점을 준다고 하면, 그

법칙은 점수와 학점간의 대응관계를 정의하는 함수가 된다.

. 이산수학을 수강하는 학생을 하나의 집합이라 하고, 학점을 또 다른 집합이라 할 때, 모든 학

생들은 각 개인별로 하나의 학점을 가지게 되므로 이것은 함수가 된다.

정의1

함수(function)

. 공집합이 아닌 두 개의 집합 X, Y 가 있을 때 집합 X 로부터 집합 Y 로의 함수 f는 집합 X의

각각의 원소에 집합 Y 의 원소를 단 하나씩만 대응시킨 것

. 집합 X 로부터 집합 Y 로의 함수 f

. f : X→Y 로 나타냄

. 집합 X 에서 집합 Y 로의 사상(mapping)

. 집합 X 는 함수 f 의 정의역(domain): dom(f )

. 집합 Y 는 함수 f 의 공변역(codomain, 공역): codom(f )

. 함수의 정의역, 공변역, 치역을 나타내는 일반적인 다이어그램은 <그림 1>과 같다.

그림 330 정의역, 공변역, 치역

- 99 -

. 두 함수 f와 g가 같은 정의역과 공변역을 가지고, 정의역에 있는 모든 원소

x에 대하여 f(x)=g(x)가 성립하면, 함수f와 g는 서로 같다(equal)라고 하고 f=g로 표기한다.

그림 331 함수

그림 332 함수

그림 333 함수

- 100 -

그림 334 함수, 정의역, 치역, 공변역정의2

그림 335 함수, 상, 원상, 치역함수 f : X→Y 일 때 집합 X 의 원소 x 가 집합 Y 의 원소 y에 대응된다면 f(x)=y 로 나타냄

. y 는 x 의 상(image, value)

. x 는 y 의 원상(pre-image)

치역(range)

. X 의 원소에 대응되는 모든 상의 집합: range(f )

. range(f )⊆Y

그림 336 함수, 정의역, 공변역, 치역

- 101 -

그림 337 함수, 순서쌍, 집합, 좌표

- 102 -

그림 339 함수, 순서쌍, 집합, 좌표

- 103 -

(1), (2), (5)(6)은 x의 모든 실수 값에 y의 실수 값이 하나씩만 대응되므로 모두 함수가 된다.

그러나, (3)과 (4)는 함수가 아니다.

(3)의 경우에 x=0일 때 y의 값이 2개 대응하고,

(4)의 경우에는 x=0일 때 대응되는 y의 값이 없기 때문이다.

그림 343 정의역, 공변역, 치역

(1) 치역은 {75, 82, 79, 69, 65}이다.

(2) 치역은 {75, 97, 114, 111, 101}이다.

정의3

실수 R에서 R로 가는 두 함수 f(x)=x2+1과 g(x)=x-2가 있을 때 f+g와 fg를 구하여라.

(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x2+1)+(x-2)=x2+x-1

fg(x)=f(x)g(x)=(x2+1)(x-2)=x3-2x2+x-2

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그림 352 전사함수, 반영함수

정의4

그림 349 단사함수

정의5

그림 351 전사함수

정의6

. 전단사함수

. 집합 A의 모든 원소들이 집합 B의 모든 원소와 하나씩 대응되는 함수

. 일대일 대응 함수(one-to-one correspondence function)라고도 함

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<그림 2> 단사함수, 전사함수, 전단사함수

2. 함수의 성질

.함수 BAf ®: 에서 함수 f의 특성은 다음과 같다.

유한집합 A, B에 대하여 함수 f : A→B 일 때

①함수 f 가 단사함수면 |A|≤|B|이다.

②함수 f 가 전사함수면 |A|≥|B|이다.

③함수 f 가 전단사함수면 |A|=|B|이다.

그림 356 단사함수, 전사함수, 전단사함수

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그림 357 함수, 단사함수, 전사함수, 전단사함수

그림 358 단사함수, 전사함수, 공변역, 정의역

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그림 360 함수, 단사함수, 전사함수, 전단사함수

※ 핵심키워드 : 함수, 사상, 정의역, 공변역, 공역, 치역, 상, 원상, 단사함

수, 전사함수, 반영함수, 전단사함수, 일대일 대응 함수

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2차시

여러 가지 함수

1. 합성함수

정의1

<그림1> 합성함수

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그림 365 합성함수

그림 367 합성함수, 교환법칙

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그림 369 단사함수, 전사함수 ,전단사함수

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x∈R일 때 세 함수 f(x)=x2+1, g(x)=5x-3, h(x)=1/x에 대해 다음의 값을 구하시오.

⑴ h . (g . f) ⑵(h . g) . f

2. 여러 가지 함수

1) 항등함수

정의2

그림 376 항등함수

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집합 X={-1, 0, 1} 일 때 모든 x∈X에 대한 f(x)=x3은 항등함수인가?

f(-1)=-1, f(0)=0, f(1)=1이므로 항등함수이다.

2) 역함수

정의3

그림 380 전단사함수, 역함수

그림 381 역함수, 가역함수

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그림 383 역함수

f:{0,1,2}.{a,b,c}가 다음과 같은 그래프로 정의될 경우 이에 대응되는 역함수를 구하시오.

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그림 387 역함수, 전단사함수

3) 상수함수

정의4

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정의역의 모든 원소 x에 대한 f(x)의 값이 모두 2이므로 상수함수이다.

그림 393 상수함수

4) 특성함수

정의5

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그림 395 특성함수

전체집합 U={1,2,3,4,5,6,7}일 때 부분집합 A={2,3,4,5,6}에 대한 특성함수를 구하고, 화살표도표

로 나타내어라.

그림 398 특성함수

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5) 바닥함수와 천정함수

정의6

그림 402 바닥함수, 내림함수, 천정함수, 올림한수

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※ 핵심키워드 : 합성함수, 항등함수, 역함수, 가역함수, 상수함수, 특성함

수, 바닥함수, 내림함수, 천정함수, 올림함수

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<핵심내용 종합요약>

1. p→q와 ~p∨q는 논리적으로 동치이다. 따라서 p→~q가 참인 경우 ~p∨~q는 참이 된다.

(함축법칙)

2. 명제함수 P(x)가 x+2>3x, ∀x∈Z일 때 x=1인 경우 3〉3이 성립하지 않음을 알 수 있다. 따라서

∀xP(x)에 대해 성립하는 것은 아니므로 거짓이다.

3. 명제함수 P(x)를 'x2-7x+12=0'이라 했을 때 p(3)와 p(2)의 진리값은 p(3):T, P(2)=F 이다.

=> P(3)=9-21+12=0이므로 식이 성립하여 참이고, 진리값은 T이다. P(2)=4-14+12=2≠0ᅵ므로

식이 성립하지않고, 진리값은 F가 된다.

4. U={1, {4,5}, 4}은 {{4,5}}⊂U, {4,5}∈U로 표현할 수 있다.

5. 집합 A={1,2,3}이라고 할 때 A의 멱집합의 원소의 개수는 8개 이다.

=> A의 멱집합의 원소의 개수는 집합A의 부분집합의 개수와 같으므로 23=8이다.

6. 집합 A={1,2}, B={x,y}일때 A×B={(1,x),(2,x),(1,y),(2,y)}이다.

7. 집합 A={a,b,c}, B={1,2,3,4}일 때 곱집합 A×B의 원소의 개수는 12개 이다.

=> n(A×B)=n(A)×n(B)=3×4=12 이다.

8. 집합 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}라고 할 때 S의 분할인 것은 π={{1,4,5}, {2,6},{3},{7,8,9}}

=> π가 S의 분할이기 위해서는 πi가 모두 집합 S의 공집합이 아닌 부분집합이며, π1∪π2

∪...∪πi=S일 때 모든 πi가들에 대하여 i≠j이면 S의 분할이다. 이러한 조건을 만족하는 것은

π={{1,4,5}, {2,6},{3},{7,8,9}}이다.

9. 간접증명법에는 대우증명법, 모순증명법, 반례증명법 등이 있다.

10. 반례 증명법에서는 반례가 되는 단 하나의 경우만 예를 들면 된다.

11. 집합 A={1,2,3,4}에서

합성관계 SºR은? R={(1,1),(1,3),(3,2),(3,1),(4,2)}<br>S={(2,1),(3,3),(3,4),(4,1)}

=> SºR={(1,3),(1,4),(3,1),(4,1)}

12. 집합 A={a,b,c,d}에 대해 (a,a),(b,b),(c,c),(d,d)를 모두 포함하고 있는

{(a,a),(a,b),(b,a)(b,b),(c,c),(c,d),(d,d)}와 반사적인 관계이다.

13. 집합 {1,2,3,4}에 대한 동치관계 R={(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,2),(4,4)}일 때,

동치류는 [1]=[3]={1,3}, [2]=[4]={2,4}이다.

14. 극대원소는 부분순서관계 (A, ≤)가 있을 때, A의 원소 a에 대하여 a<b인 원소 b가 존재하지

않으면 원소 a를 극대원소라고 하며, b<a인 원소 b가 A에 존재하지 않으면 원소 a를 극소원

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소라고 한다.

따라서, 아래 하세도표에서 극대원소: 6,12 극소원소 :2 이다.

15. f:{x,y}→{1,4,5}이고, f(x)=4, f(y)=5라고 할 때, 함수f는 단사함수이다.

단사함수는 x1≠x2일때, f(x1)≠f(x2)인 함수이다.

16. f(x)=x-1(-2≤x≤1), g(x)=x2+1에 대하여 gºf의 치역은 {y|1≤y≤10}이다.

=> (gºf)(x)=g(f(x))=(x-1)2+1, (-2≤x≤1)d서 y의 범위를 구한다

17. f:x→-2x+k, g:x→3x+1일 때, (gºf)=(fºg)가 성립하도록 상수 k를 구하면?

=> g(f(x))=f(g(x))에서 3(-2x+k)+1=-2(3x+1)+k이다.

그러므로, 2k=-3에서 k=-3/2이다.

18. A={1,2}, B={a,b,c,d} 일때 f:A→B에서 단사함수 f의 개수는 12가지 이다.

=> 단사함수는 x1≠x2일때, f(x1)≠f(x2)인 함수이다.

19. 역함수가 존재하는 전단사함수를 가역함수(invertible function)이라 한다.

20. (a,b)=(a2, b2)의 순서쌍이 성립하기 위해서는 순서쌍의 정의에 의해 a=a2, b=b2에서

a(a-1)=0, b(b-1)=0이므로 a=0 또는 1, b=0 또는 1이다.