Upload
ognend
View
63
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Теорија на системи - I дел
Citation preview
TEORIJA NA SISTEMITEORIJA NA SISTEMI
Tatjana Kolemi{evska GugulovskaTatjana Kolemi{evska-Gugulovska
LITERATURALITERATURA
1. Bele{ki za predavawa1. Bele{ki za predavawaD-r Tatjana Kolemi{evska-Gugulovska,
2 Interna skripta2. Interna skriptaD-r Georgi Dimirovski
3 M d C t l S t3. Modern Control SystemsR.Dorf and R. Bishop
4. Control Systems EngineeringN. Nise
SODR@INASODR@INA
VOVED VOVEDMETODI ZA ANALIZA NA
SISTEMITESISTEMITEMODELI VO PROSTOR NA
SOSTOJBISOSTOJBI DVI@EWE NA LINEARNITE
DINAMI^KI SISTEMI STRUKTURNI OSOBINI NA LDSD
1. VOVED1. VOVED
Definirawe na osnovnite poimi;D f r ;realen objekt, sistem, sostojbainformacija, signal, upravuvawe,
jbKategorii na sostojbi {to gikarakteriziraat sistemite (vo voobi~aena smisla);smisla);
po~etna, preodna, stacionarna
Strukturen dijagram na sistem i osnovniStrukturen dijagram na sistem i osnovni spregi;
seriska sprega, paralelna sprega i povratna spregavlezni i izlezni veli~inivlezni i izlezni veli~ini
1 1 Definirawe na osnovnite poimi1.1 Definirawe na osnovnite poimi
[to e sistem?
-
-
1.1 Definirawe na osnovnite poimi1.1 Definirawe na osnovnite poimi
olekcija na objekti soedineti so nekoja forma naolekcija na objekti soedineti so nekoja forma na interakcija ili me|usebna zavisnost;
azmena na informacii (komunikacija) azmena na informacii (komunikacija)
retvorba na informacii (raspoznavawe i spoznavawe)
rganiziranost;r r ;
elishodnost
1.1 Definirawe na osnovnite poimi[to e sistem? [to e sostojba na sistem?
1.1 Definirawe na osnovnite poimi
S f jSpored definicijata vo re~nikot:
Sistem e kolekcija na objekti soedineti so nekoja forma na interakcija ili me|usebna zavisnostforma na interakcija ili me|usebna zavisnost.
Grubo, sostojba na sistem vo bilo koe dadeno vreme e f j binformacijata potrebna da se opredeli povedenieto na
sistemot od toj moment pa natamu.
Cel na tehni~kite nauki:Cel na tehni~kite nauki:proektirawe,gradba, ifizi~ka implementacija na nekoj objekt {to vr{i korisnafizi~ka implementacija na nekoj objekt {to vr{i korisna
rabota za ~ovekot.
1.1 Definirawe na osnovnite poimi1.1 Definirawe na osnovnite poimi
1.1 Definirawe na osnovnite poimi1.1 Definirawe na osnovnite poimi
ANALIZAPERCEPCIJA
OBJEKT VO REALNA OKOLINAI REALNO VREME
KONCEPTUALENMODEL
FORMALENMODEL
Promisluvawei zaklu~uvawe
NabquduvawaI identifikacija
Prou~uvawe vrz osnovana aksiomatski pretpostavkiSISTEMSKI
IN@ENER
objekt - konceptualen model - formalen model
(soglasnost i doslednost)
1.1 Definirawe na osnovnite poimi1.1 Definirawe na osnovnite poimiObjekt, organiziranost, povrzanost i sistem
Norbert Viner "Upravuvawe i komunikacija vo `iviteNorbert Viner Upravuvawe i komunikacija vo `iviteorganizmi i ma{ini" (1948)
Robert E{bi "Mehanizmi po ugled na mozokot" (1950),
Realniot svet, vsu{nost, e izraz na postojanata interakcija ipretvorba na materija, energija i informacija.
Informacijata e kodirana vnatre vo fluktuacijata naInformacijata e kodirana vnatre vo fluktuacijata namaterijata i energijata.
Ne postoi oganiziranost na materijata i energijata bez informacija.
Za koncept sistem nu`no treba da postojat barem dve kategoriiatributi ili objektni elementi i opredeleni vrski pome|u niv,taka {to so sigurnost da se ostvaruva celishodnost i dejstvuvawe.
1.1 Definirawe na osnovnite poimi
Bezsmisleno e da se zboruva za sistem bez negovo sodejstvo sookolinata i bez organiziranost na vnatre{nata struktura.
Za da imame sistem mora da postoi:razmena na informacii (komunikacija) ipretvorba na informacii (raspoznavawe i spoznavawe).r r f r (r )
Kategorija na kibernetski sistemi:
Pretvorbata na informacii e vo funkcija na nekoj oblikPretvorbata na informacii e vo funkcija na nekoj oblikna zaklu~uvawe i odlu~uvawe koi {to generiraatinformacija za potrebni dejstva vnatre vo sistemot i konokolinata, kako bi se obezbedilo opstojuvawe na sistemot vojuokolinata i negova po`elna evolucija.
1.1 Definirawe na osnovnite poimi
Definicija na upravuvawe:
Vo najop{ta smisla na zborot upravuvaweto pretstavuva:(izbor (raspoznavawe i spoznavawe, sledeno so zaklu~uvawe
i odlu~uvawe) irealizacija (fizikalno oblikuvawe i nametnuvawe)
j jspored nekoja logi~ki konzistentna strategija na po`elniteevolutivni sostojbi na sistemot.
Posledici:
1.minimalnata organiziranost na sistemite podrazbira postoewe nanajmalku dve podstrukturi od koi samo vo ednata dominiraatupravuva~kite funkcii.
2. Dokolku ne postoi mo`nost za raspoznavawe, spoznavawe i izbori ostvaruvawe na po`elnite evolutivni promeni vsu{nost ne mo`eda stane zbor za upravuvawe na kibernetski sistem pa takviotda stane zbor za upravuvawe na kibernetski sistem, pa takviotsistem e osuden na evolucija diktirana od okolinata, isklu~ivo, atoa mo`e da bide i uni{tuvawe.
1.1 Definirawe na osnovnite poimi
VJ
vi
SISTEM Wg Upravuvanastruktura
Upravuva~ka struktura
W
OKOLINA
Wi
1.1 Definirawe na osnovnite poimi
Primer za sistem: Fakultet (organiziran fizi~ki sistem)
Fakultetot pretstavuva slo`ena celina koja e sostavena od poodelni edinici:
osnovnata organizacijaosnovnata organizacijastudenti.
Definicija:
Organiziran fizi~ki sistem e mno`estvo edinicifunkcionalno povrzani vo edna celina zaradi ostvaruvawe naodredena cel za koristewe, pretvorawe i razmena na energija,materija i/ili informacija.
Sistem e funkcionalna celina koja ne mora da bide i konstruktivnacelina.
1.1 Definirawe na osnovnite poimi
Naukata koja se bavi so sistemite e teorija na sistemite- gi prou~uva svojstvata na poodelnite delovi od sistemot vo onaa merka vo koja tie vlijaat na svojstvata na celiot sistem.
Sistemite mo`at da bidat razli~ni po priroda:biolo{kibiolo{ki,ekonomski,op{testveni,tehni~ki, ilitehni~ki, ilikombinirani.
Definicija:
Matemati~ki model na sistem e formalen opis so pomo{ namatemati~ki simboli, relacii, operacii, dijagrami i/ilitabeli na dinami~kite i stati~kite svojstva na sistemotnezavisno od po~etnite uslovi, vrednostite na vlezniteveli~ini i karakterot na nivnite promeni.
1.1 Definirawe na osnovnite poimiKlasifikacija na sistemite spored matemati~kite modeli
sistemi
deterministi~ki stohasti~ki
so skoncentrirani parametri so raspredeleni parametri
bbez docnewe so docnewe
vremensko kontinualni vremensko diskretnivremensko kontinualni vremensko diskretni
stacionarni nestacionarni
linearni nelinearni
1.1 Definirawe na osnovnite poimiInformacija i signal
bj jVo realnite objekti sekoga{ postojat organizirani pati{ta narazmena na energetsko-materijalnata sodr`ina vo nivnite sostavnidelovi, a isto taka i procedura za nivna izmena ipretvorba No isto taka postojat vrski preku koi se ostvaruvapretvorba. No, isto taka postojat vrski preku koi se ostvaruvarazmenata na informaciskite sodr`ini.
Vo objektno upravuva~kata struktura ostvaruvaweto nainformaciskite vrski e obezbedeno so fluktuaciite voenergetsko-materijalnite tekovi, {to zna~i so promenite vofizi~kite veli~ini, a prenosniot medium se energetsko-
jmaterijalnite tekovi.
Vo ostanatiot del od sistemot se {to e vo vrska so informaciskite sodr`ini se ostvaruva vo namenski sozdaden ambient i prenosen medium.T bTipi~no, ambientot go ~inat uredi.
1.1 Definirawe na osnovnite poimi
Signal e fizi~ki nositel na informacijata koj se ostvaruva kako prenosen medium pod dadeni uslovi.
Samata informacija pretstavuva podreden entitet od podatoci vo vid na znaci, simboli i pravila {to eden sistem ili negov element gi
b j bdobiva od nekoj drug sistem ili negov element, a koi zboruvaat za opredeleni sostojbi vo emiterot na tie informacii.
Vidovi signali:
analogni- informacijata e kodirana bilo vo magnitudata, bilo vo fazata, bilo vo frekvencijata ili vo nivnata kombinacijavo nivnata kombinacija.
digitalni- informacijata e kodirana vo binarno-logi~ka struktura na reprezentantite na logi~ko 0 ili logi~ko 1.
1.1 Definirawe na osnovnite poimi
Upravuvaweto pretstavuva kodirana informacija za toa kako da se ostvari fizi~ka realizacija samo na po`elnite evolutivniostvari fizi~ka realizacija samo na po`elnite evolutivni sostojbi.
Za da mo`e toa da bide taka, sostavna komponenta nad d d ,upravuvaweto e negovata vnatre{na organiziranost vo soglasnostso namenskata celishodnost na sistemot, poznata pod imetoalgoritam na upravuvawe.
Definicija: Algoritam na upravuvawe pretstavuva organiziranomno`estvo na pravila, spored koi informacijata {to ja primar , r d f r c j j rupravuva~kiot del od sistemot se pretvora vo informacija {tonamenski celishodno go menuva upravuva~koto dejstvo so koe sedejstvuva vrz upravuvaniot del od sistemot.
2. Kategorii na sostojbi {to gi karakteriziraat sistemite
1. Po~etna sostojba koja se opi{uva so po~etnite vrednostina site su{testveni veli~ini za sistemot i va`i samo za edenvremenski mig, konvencionalno nare~en po~eten mig.
0tt )}(),(),(),({ 00000 ttxttuS
u(t0) - upravuva~ki vektoru(t0) upravuva~ki vektor(t0) - naru{uva~ki vektorx(t0) - sostojben vektor(t0) - izlezen vektor.
1 2 Kategorii na sostojbi {to gi karakteriziraat sistemite
2 Preodna sostojba e pretstavena so sevkupnosta na sostojbenite
1.2 Kategorii na sostojbi {to gi karakteriziraat sistemite
2. Preodna sostojba e pretstavena so sevkupnosta na sostojbenitepromeni niz koi minuva sistemot od po~etniot mig na dejstvata odokolnata sredina se do vremenskiot mig na celosnovospostavuvawe na soodvetniot odyiv kako reakcija na odnosniteu d d r c j dnadvore{ni dejstva.
),[ 0tt )}(),(),(),({
),[ 0ttxttuS
tt
t
1.2 Kategorii na sostojbi {to gi karakteriziraat sistemite
3. Stacionarna sostojba e sostojba vo koja e doveden sistemot podvlijanie na nadvore{nite dejstva {to imaat kone~na energija, a po
jbzavr{uvawe na preodnata sostojba.
Ramnote`na sostojba- se karakterizira so otsustvo na natamo{ni promeni na nadvore{nite dejstva i vo odyivot nanatamo{ni promeni na nadvore{nite dejstva i vo odyivot na izlezot na sistemot, a kako posledica na postignuvawe na uramnote`enost na energetsko-materijalniot bilans na sistemot soobrazno so kodot ({ifrata) na primenatasistemot soobrazno so kodot ({ifrata) na primenata informacija preku nadvore{nite dejstva. Sledstveno, ramnote`na sostojba mo`e da nastane ako i samo ako od nekoj vremenski mig t>te nadvore{nite dejstva stanat konstantni po magnituda (intenzitet).
},,,{ eeeeee
xuStt
))(()(),(),(),(
}{
ee
eeeeeeee
eeeee
tvvttxxttuu
1 2 Kategorii na sostojbi {to gi karakteriziraat sistemite1.2 Kategorii na sostojbi {to gi karakteriziraat sistemite
Kvazistacionarna ili periodi~no stacionarna sostojba Se ara er z ra so os os a a e a er o o za o o er akarakterizira so vospostavuvawe na periodi~no zakonomerna
stacionarna promena na odyivot, po~nuvaj}i od nekoe vreme t>TC . Nastanuva:
ako vo takva promena popadnat (navlezat) samite ako vo takva promena popadnat (navlezat) samite nadvore{ni dejstva; kaj sistemi {to sodr`at vnatre{ni zatvoreni spregi ili pak kaj avtomatskite sistemi so nadvore{ni zatvoreni j d r rpovratni spregi, so impulsna vozbuda od nadvor, dokolku vo sistemot postojat strukturni i parametarski preduslovi za takvo ne{to.
Vakvata kvazistacionarna sostojba se narekuva samooscilacija.
1.2 Kategorii na sostojbi {to gi karakteriziraat sistemite
)(),(),(),()()}(),(),(),({
CCCCCCCC
CCCCC
C
TtTtxxTtTtututtxttuS
Tt
))(()(),(),(),()(
CC
CCCCCCCC
Ttvv
Nastanska ili diskretno-nastanska sostojba e poseben,izoliran vid na ramnote`na sostojba, koja {to sekarakterizira so dominacija na kvalitativnitekarakteristiki na ramnote`nata sostojba i zanemarlivost
jna preodnite pojavi pri preminot od edna vo druga kone~nasostojba.
Voobi~aeno preodnata sostojba se narekuva dinamika nasistemot, a ramnote`na stacionarna sostojba se narekuva statikana sistemot.
1.3 Strukturen dijagram na sistem
Simboli~kiot prikaz na sistemot so pravoagolnik, kade site bitnivlijanija vrz sistemot se simboli~ki pretstaveni so strelki naso~enikon pravoagolnikot Y i site negovi bitni reakcii simboli~ki
Yprika`ani so strelki naso~eni od pravoagolnikot Y, se narekuvadijagram na sistemot.
SXX2X1
YY2Y1
.
.
.
.
.
.
Xr Yn.
Strukturen dijagram na sistem e dekomponiran, detalen dijagram naj b jsistemot, koj simboli~ki ja pretstavuva strukturata na sistemot, i
koj gi poka`uva site edinici na sistemot i nivnite me|usebnidejstva.
1.3.1 Definicija na vlezni i izlezni veli~iniPrimer: proto~en rezervoar na voda.
Q
H
Qv
Y= Hx = Q
v 1 v
x = Q SHQ
i
x Qv 2 i S
Vlezna veli~ina na sistem e onaa nadvore{na veli~ina koja
Veli~ina koja pretstavuva rezultat na dinami~ko povedenie na sistemot a za ~ija vrednost i promena sme
Vlezna veli~ina na sistem e onaa nadvore{na veli~ina koja bitno vlijae na negovata rabota.
na sistemot, a za ~ija vrednost i promena sme zainteresirani, se narekuva izlezna veli~ina na toj sistem.
Promenata na izleznata veli~ina nastanata poradi dejstvoto na vleznata veli~ina na sistemot se narekuva odziv na sistemot na vlezna veli~ina.
1.3.2 Osnovni spregi
xi 1x
v 1 S1
Definicija: Ako sistemot Y se sostoi od dva potsistema ~ii vlezni veli~ini xv1 i xv2 se ednakvi na vleznata veli~ina xv na celiot
xv
S1
S Sx
i2
x2
vleznata veli~ina xv na celiot sistem, a algebarskiot zbir na nivnite izlezni veli~ini pretstavuva izlezna veli~ina na
xv 2
S2
S3xi
xi
Ap
n
celata sprega, toga{ podsistemite se paralelno povrzani (spregnati), a sistemot Y pretstavuva paralelna sprega na podsistemite Y1 i Y2.
x 1 = x 2 = x
A
S1
Xv 1
Xi 1
xv1 xi11
sprega na podsistemite Y1 i Y2.Paralelna sprega
xv1 = xv2 = xvxi = xi1 + xi2 +
S2
S3
Xv
Xv 2 Xi 2
Xi
xv
xi2xv2
xi
2
S
1.3.2 Osnovni spregi
X=v
xv 1 x = xi 1 v 2 x = xi 2 iS S
Xv= xv1Xi2= xi x = x 1
Seriska (redna) sprega
S1
S2Xi1= xv2
Xi2= xi xv= xv1xi1= xv2xi2= xi
S2
S
S1
Xv Xv 1 Xv 2 Xi 2 XiX =i 1
21Xv xv1 Xi1= Xv2 Xi2 xi
S
Definicija: Ako sistemot Y se sostoi od podsistemi koi se povrzaniYtaka da vleznata veli~ina xv na celiot sistem Y istovremeno e i
edinstvena vlezna veli~ina xv1 na podsistemot Y1, a negovata izleznaveli~ina xi1 e edinstvena vlezna veli~ina xv2 na podsistemot Y2, ~ijaizlezna veli~ina xi2 e istovremeno izlezna veli~ina xi na celiotr csistem Y, toga{ se sistemite Y1 i Y2 redno vrzani (spregnati), asistemot Y pretstavuva nivna seriska sprega.
1.3.2 Osnovni spregi
pn S
1
xv 1 xixi1v1 i1 i Definicija: Ako sistemot Y se
sostoi od dva podsistema Y1 i Y2 pri
C
S
xv 1
x
v1v1
{to edna vlezna veli~ina xv1 na podsistemot Y1 e ednakva na algebarskiot zbir na vleznata veli~ina xv na celiot sistem Y i
S
BA
S2x
v xv
xv 2
xi2
xi2
v2i2v
i2v izleznata veli~ina xi2 na
podsistemot Y2, xv1 = xv+xi2,
a negovata izlezna veli~ina xi1 eS3
X
a negovata izlezna veli~ina xi1 e istovremeno izlezna veli~ina xi na celiot sistem Y i edinstvena vlezna veli~ina xv2 na podsistemot Y2,
S
S3 S
1
Xv X
v 1
XX
Xi
Xi1
-xv
x
xv1 xi1
xv2
xi toga{ podsistemot Y2 se nao|a vo povratnata granka (sprega) na sistemot Y. Toga{ celiot sistem Y pretstavuva sistem so povratnaS
2
S
Xv 2X
i 2 xi2 xv2 pretstavuva sistem so povratna granka (sprega).
2 METODI ZA ANALIZA NA SISTEMITE2. METODI ZA ANALIZA NA SISTEMITE
Analiza na sistemite Sinteza na sistemite
Zada~ata na analizata e da se prou~i dali se ispolneti barawata za dinami~ko povedenie za usvoen ili postoe~ki sistemusvoen ili postoe~ki sistem.
2 METODI ZA ANALIZA NA SISTEMITE2. METODI ZA ANALIZA NA SISTEMITE
Postojat ~etiri osnovni domeni na analiza na sistemite vo ramkite na koi se razvieni
analiza na sistemite vo vremensko podra~je;
razli~ni metodi:
r dr j ;
vo prostorot na sostojbi;
vo kompleksen i frekventen domen;vo kompleksen i frekventen domen;
vo algebarski domen.
2 METODI ZA ANALIZA NA SISTEMITE2. METODI ZA ANALIZA NA SISTEMITE
Me|u dvata domena vremenskiot iMe|u dvata domena, vremenskiot i kompleksniot domen, postoi odredena
vrska koja se vospostavuva so r j umatemati~ki operator:
Laplasova transformacijaLaplasova transformacija.
2.1 Laplasova transformacija i nejzini svojstva
Laplasovata transformacija na funkcijata x(t)pretstavuva slika X(s) na ovaa funkcija, koja e dobiena kako rezultat na nejzinoto integrira~ko preslikuvawe od domenot na nejzini vrednosti vo r u d d j r dkompleksniot domen.
Definicija: Integralnata transformacija
T dttxste
TdttxstesX )(lim0
)()(
T
00
se narekuva direktna Laplasova transformacijase narekuva direktna Laplasova transformacija.
2.1 Laplasova transformacija i nejzini svojstva
x(t) se narekuva original od realnata promenliva od t,
X(s) slika i e analiti~ka funkcija od kompleksnata promenliva s=+j, i se realni promenlivi:
X(s)=L{x(t)}
Za , kade a i b se realni pozitivni broevi integralot konvergira za sekoe s ~ij
btaetx )(
Res>b.
2.1.1 Osnovni svojstva na Laplasovata f jtransformacija
P 1 (T ) N X ( )Pravilo 1: (Teorema za linearnost). Neka X1(s)i X2(s) se Laplasovi transformacii na x1(t) i x2(t), i neka a1 i a2 se konstanti. Toga{
L{a1x1(t)+a2x2(t)}=a1X1(s) + a2X2(s)
Dokaz:
)(22)(110)(220
)(110)](22)(11[ sXasXadt
stetxadtstetxadtstetxatxa
Dokaz:
mi
siXiam
itixiaL 1
)(}1
)({ ii 11
2.1.1 Osnovni svojstva na Laplasovata f jtransformacija
Pravilo 2: (Teorema za sli~nost). Neka L{x(t)}=X(s) i neka e a proizvolen realen broj. Toga{Toga{
asXaatxL
1)}({ za a>0
at - vremenska dilatacija, a konstantata a e koeficient na dilatacija (transformacija na realnoto vreme t vo nerealno vreme =at).
sXdxasedtsteatxatxL 1)(1)()}({ Dokaz:
aXadxeadteatxatxL )(00)()}({
2.1.1 Osnovni svojstva na Laplasovata f jtransformacija
Pravilo 3: (Teorema za pridu{uvawe vo r ( r r u urealnoto podra~je). Neka L{x(t)}=X(s) i neka e a proizvolen kompleksen broj. Toga{
)()}({ asXtxateL Dokaz:
0
)()()(0
)()}({ asXdttxtasedttxsteatetxateL
2.1.1 Osnovni svojstva na Laplasovata f jtransformacija
(Pravilo 4: (Teorema za translacija vo realnoto podra~je). Neka e L{x(t)}=X(s) i neka e a realen pozitiven broj. Toga{r r j
)()}({ sXaseatxL pritoa x(t-a) = 0 za t
2.1.1 Osnovni svojstva na Laplasovata f jtransformacija
Pravilo 5: (Teorema za diferencirawe naPravilo 5: (Teorema za diferencirawe na originalot). Neka postoi L{x'(t)} i neka L{x(t)}=X(s). Toga{
L{x'(t)}=sX(s) x(0+)
Dokaz:Dokaz:
)()0(0
)(0|)(0)(')}('{ ssXxdttxstestxstedttxstetxL
pritoa Res>0, pa zatoa 0)(lim txstet
2.1.1 Osnovni svojstva na Laplasovata f jtransformacija
Pretpostavka: ako postoi najvisokiot izvod x(n)(t) za t>0 i istovremeno postoi i negovata slika L{x(n)(t)}, toga{ va`at slednive soodnosi:{ ( )}, d d
L{x''(t)}=s2X(s)-sx(0+) x'(0+)L{ '''(t)} 3X( ) 2 (0+) '(0+) ''(0+)L{x'''(t)}=s3X(s)-s2x(0+) sx'(0+) x''(0+)
L{x(n)(t)}=sn X(s) - sn-1 x(0+) - sn-2 x'(0+) - - s x(n-2)(0+) x(n-1)(0+)
2.1.1 Osnovni svojstva na Laplasovata f jtransformacija
P 6 (TPravilo 6. (Teorema za integrirawe na originalot). Neka L{x(t)}=X(s), toga{
t X )( t
ssXdxL
0)(})({
Dokaz: tDokaz: t
dxt0
)()( )()( txt 1111 stststst 0 0 0
)}({1)()1(10|)(1)()(1)()}({ txLdtstet
sstet
sstedt
sdtstettL
s
2.1.1 Osnovni svojstva na Laplasovata f jtransformacija
Pravilo 7. (Teorema za diferencirawe naPravilo 7. (Teorema za diferencirawe na slikata). Neka e L{x(t)}=X(s), toga{
L{-tx(t)}=X'(s).{ ( )} ( )Dokaz: X(s) e analiti~ka funkcija vo podra~jeto Res>s0, postojat (spored teoremata na Ko{i) site izvodi na funkcijata X(s).
)(')()()1()}({0 0
sXdttxedsddtettxttxL stst
2.1.1 Osnovni svojstva na Laplasovata f jtransformacija
Pravilo 8 (Teorema za po~etna vrednost naPravilo 8. (Teorema za po~etna vrednost na originalot). Neka L{x(t)}= X(s) i neka postojat L{x'(t)} i grani~nite vrednosti
)(lim ssXs
)(lim0
txt
)(lim)(lim0
ssXtxst
,
Res>s0 kade e s0 broj pri koj va`i , tsaetx 0|)(| ,a>0.
2.1.1 Osnovni svojstva na Laplasovata f jtransformacija
Dokaz:
)()0()()(|)()()}({0
00
ssXxdtetxsetxdtetxtxL ststst
D
j jparcijalna integracija:
dttxdveu st
)(
)(txvdtsedu st
dttxdv )( )(txv
0)(lim)}({lim0
dtetxtxL stss 0
0)]0()([lim)}({lim xssXtxLss
)(lim)(lim)0(0
ssXtxxst
2.1.1 Osnovni svojstva na Laplasovata f jtransformacija
Pravilo 9: (Teorema za grani~na vrednost naPravilo 9: (Teorema za grani~na vrednost na originalot). Neka postojat L{x'(t)} i grani~nite vrednosti i i neka L{x(t)}= X(s) ; )(lim
0ssX
s)(lim tx
t neka ponatamu funkcijata sX(s) e analiti~ka vo oblasta Res>0, toga{ e
0s t
)(lim)(lim0
ssXtxst
Dokaz:
2.1.1 Osnovni svojstva na Laplasovata f jtransformacija
)]0()([lim)('lim
)0()()('0
xssXdttxe
xssXdttxe
st
st
)]0()([lim)('
)]0()([lim)(lim0
00
xssXdttx
xssXdttxess
)]()([)(0
0 s
)]0()([lim|)(00
xssXtxs
)(lim)(lim)(
)0()(lim)0()(
0
0
ssXtxx
xssXxx
st
s
0st
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
x(t)=L-1{X(s)} t>0x(t) L {X(s)}, t>0
Klasata funkcii x(t) so koi }e rabotime e klasa na neprekinati funkcii i za niv ovaa operacija e ednozna~na. m jjsb
n
ii
jj
sa
sb
sAsBsX 0)()()( , n>m.
i 0
)()}({)( 11 sBLsXLtx )()}({)(
sA
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
A(s)=0
Korenite na polinomot A(s), t.e.
A(s)=0
mo`at da bidat:
Prosti koreni;
P }Pove}ekratni koreni.
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
1. Prosti koreni
sBsBsX )()()(
ni
n
BBBBsssssssA
21
21))...()(()(
)(
i
i
i
n
n
ssssssss 12
2
1
1 ...
n
ini
iii ss
ssBBss
ssBssssBss
sAsB
)(...)()()(
)()(
2
2
1
1
nsssssss)( 21
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
)()( sBsB )()( sAsA )(')(
)()()(lim
i
i
i
issi sA
sB
sssAsA
sBBi
)('
)()(lim ii
iss
sAss
sAsAi
n
i ii
i
sAsssB
sAsBsX
1 )(')()(
)()()(
ii )()()(
ntsi
ni ie
AsBL
AsB
AsBLtx 11
)(')(1
)(')(
)()()(
i ii ii sAsssAsA 11 )(')(')()(
za t>0za t 0
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
2. Pove}ekratni koreni
Neka A(s)=0 ima vkupno vzaemno razli~ni koreni s1, s2, .,s i neka
korenot s1 se povtoruva N1 pati; korenot s2 se povtoruva N2 pati;
korenot s se povtoruva N pati; N
korenot s se povtoruva N pati;
pritoa N1+ N2+ + N =n kade e n stepenot napritoa N1+ N2+..+ N n, kade e n stepenot na polinomot A(s)
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
)()(
)()(N
sBsAsBsX
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
11
11
1211
1
...)(
...)()(
)()(
1
111
NNNN
N
BBBB
sssA
2
21
2
21
2
22
2
21
11
11
11
...)(
...)()(
)()()(
2
222
111
NNNN
NNN
ssB
ssB
ssB
ssB
ssssssss
1121 ...
)(...
)()(
.............................................................................................
NNNN ss
BssB
ssB
ssB
11121 ......
.............................................................................................)()()(
N
NN
NNN
BBBBB
ssssssss
1 1 111 )()()()( NNNN ssssssssss
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
1 11 1 11
)!()(1)(
NtsN
N
N etNB
ssLBtx , t>0
Nss
sAsB
dsdB
)()()(
)!1(1
)1(
)1(
za site =1, 2, , N.
sssAds )()!1( )(
Poslednovo ravenstvo se dobiva ako ravenstvoto za
Nss )( Poslednovo ravenstvo se dobiva ako ravenstvoto za
se pomno`i so izrazot)()(
sAsB
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
N sssBsssB 1 )()()()(2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
NijN
i B
sssBsssA
)()()()(
ii
jj
jNi
ijNiss
sss1 1
1)()()(
Od poslednite dve ravenstva proizleguva deka
0)()1( s i, zna~i)( ,
BssA
sBdd N
ss)!1()(
)()(lim
)1(
)1(
sAdsss )()1(
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
Primer: Da se opredeli originalot x(t) koj mu pripa|a na slikata
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
pripa|a na slikata
ssssss
sAsBsX
26743
)()()( 2345
ssssssA 2674)(
Re{enie:A( ) 5+4 4+7 3+6 2+2 a e r ore :A(p)=s5+4s4+7s3+6s2+2s ima ~etiri koreni: s1=0, s2= -1-j, s3=-1+j, s4= -1, s5= -1.
33)( sssB
22345 )1)(1)(1(3
26743
)()()(
sjsjsss
ssssss
sAsBsX
1)1(11)1)(22(3 42
241321
22 BBjB
jBBs
1)1(11)1)(22( 222 ssjsjssssss
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
A'(s)=5s4+16s3+21s2+12s+2( )
AB
sAsBB 5.1
23
)0(')0(
)(')( 1
1
jjj
jAjB
AsBB
AsA
25.075.0)1(2
2)1(')1(
)(')(
2)0(')('
22
1
jjAjB
AsBB
jjAsA
25.075.0)1(')1(
)(')(
)1(2)1(')('
33
2
jjAsA )1(')(' 3
3
=4 N =2 i =1 2=4, N4=2 i =1,2
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
|)1(3|)1()( 22 ssBB
2|3
|)1()1)(22(
3|)1()()(
12
2212
41
sps
sssss
sssAsBB
3)1()(1
2|)22(
22
42
12
ssdssBdB
sss
3)22(
612112
)22()1(
)(!1
1222
23
21
42
s
s
sss
sssdss
sAdsB
)22( 1222 ssss
3225.075.025.075.05.1)( jjX)1()1(11
)( 2 ssjsj
jsj
ssX
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
sAsBLtx
)()()( 1
ssjsj
jsj
sL
)1(
3)1(
21
25.075.01
25.075.05.12
1
t
tttjtj
tjtjeteteejej
)sin)(cos25.075.0[()23(5.1
32)25.075.0()25.075.0(5.1 )1()1(
t
t
etttetjtj
jj
)23sin5.0cos5.1(5.1
)]sin)(cos25.075.0(
))([()(
ettt )23sin5.0cos5.1(5.1
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
Pravilo 10: (Teorema za inverzna LaplasovaPravilo 10: (Teorema za inverzna Laplasova transformacija). Neka x(t) e original i neka L{x(t)}=X(s); toga{ vo sekoja to~ka t>0 na svojata neprekinatost originalot x(t) e opredelen soneprekinatost originalot x(t) e opredelen so slednava relacija
jc
jc
jc
st dssXej
sXLtx )(21)}({)( 1 , t>0 jcj
kade e c>s0, a s0 e apscisa na konvergencijata na integralot {to ja definira Laplasovata transformacijar j d f r r f r c j
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
Vo ova podra~je funkcijata X(s) e
ImpImsfu c j ( )analiti~ka.
s0
Repc Res
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
Dokaz: Spored definicijata za Laplasova f jtransformacija
dxesX s )()( )()(0
Mno`ime so est za t>0 i }e go razgledame integralot
dsdxeej
dssXej
Ijc
j
sstjc
j
st
0
)(21)(
21 t>0
jj jcjc 0
0,)(1 )(
tddsexI
jcts
0,)(
2 0 tddsexjI jc
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
0)(sin)(1 tdtI cct 0,)()(0
tdtxeeI cct t t
0,sin)(1 )( tdtxeeI tcct ,)(t
0,sin1
tdtxeeI
tcct
0, tdtxeeI t
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
sin1
tc sinlim1lim
dtxeeI
t
tcct
0,sin)(sin)(1
tdetxdtxee ctctct
dsin )(lim txI )(
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
Od druga strana od prethodno ravenstvo imame:
1 jc
Od druga strana, od prethodno ravenstvo imame:
0,)(21lim
tdssXe
jI
jc
st
0)(1)(
tdXtjc
st 0,)(2
)(
tdssXej
txjc
st
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
A X( ) 0 s bAko X(s) se stremi kon 0 koga s te`i kon beskone~nost, t.e.,
1lim)(lim constKKsX .,lim)(lim constKs
KsXss
i ako t e pozitivno toga{ re{avaweto na integralot zai ako t e pozitivno, toga{ re{avaweto na integralot za inverzna Laplasova transformacija mo`e da se izvr{i neposredno spored teoremata na Ko{i za ostatocite i
} Gpritoa patot na integrirawe }e se zameni so patot G(pri .
)( R
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
ImpImp
Ims
0R
Rep0Res
Ako va`i ravenstvoto za ograni~enost na X(s), toga{ pati{tata na integrirawe se ekvivalentni.
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
j
dssX
stejc
jcdssXste
jtx )()(
21)( j
Spored teoremata na Ko{i za ostatocite:
)]([Re)( sXstezdssXste
)]([Re)( sXsteztx t>0
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
Pravilo 11: (Teorema za konvolucija vo kompleksnoto )podra~je). Neka x1(t) i x2(t) se originali i neka
L{x1(t)}=X1(s) i L{x2(t)}=X2(s). ]e pretpostavime deka s1 e apscisa na konvergencijata na integralotc r c j r
0
)(1)(1 dttxstesX
s2 e apscisa na konvergencijata na integralot
0
)(2)(2 dttxstesX
0 22
jc
jcdqqsXsXjtxtxL )(2)(12
1)}(2)(1{ toga{
kade konstantata c>s1 i Res>s2+c
jcj
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
Dokaz: Spored definicijata za Laplasova transformacija e
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
2121 )()()}()({ dttxtxetxtxL st0
jc
qt dXt )(1)(
jc
qt dqqXej
tx )(2
)( 11
2121 )()(2
1)}()({ dttxdqqXeej
txtxLjc
qtst
02 j jc
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
jct
1 )( dqdttxeqXj
txtxLjc
tqs
)()(21)}()({ 2
0
)(121
Spored pretpostavkite na teoremata 11 integralot X2(s)konvergira za site s, ~ija Res>s2, t.e. . Imaj}i go ova predvid }e ja opredelime apscisata na konvergencija na
tsMetx 2)(2 r j r r j
vnatre{niot integral.
dteMdttxedttxe tsqstqstqs
0
)Re(Re2
0
)(2
0
)( 2)()(
2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija2.1.2 Inverzna Laplasova transformacija
Zna~i za Res>Req+s2 spored definicijata za Laplasova transformacija e
0
)(2)(2)( qsXdttxtqse
Stavaj}i go posledniov izraz vo gornoto ravenstvo, }e dobieme
jc
1 dqqsXqX
jtxtxL
jc
)()(21)}()({ 2121
za c>s1, Res>Req+s2.
3. Prenosni funkcii i karakteristiki na linearnite sistemi
i na nivnite elementi
Edna klasa na ravenki koi imaat aplikacija vo opisot na fizi~kite zakoni e klasata na diferencijalni ravenki.
Diferencijalna ravenka e matemati~ka ravenka za nepoznata funkcija od edna ili pove}e promenlivi koja gi povrzuva vrednostite na samata funkcija i nejzinite izvodi od razli~en red
Strukturniot dijagram ne e sam po sebe dovolen za kvantitativna analiza na performansata na sistemot
nejzinite izvodi od razli~en red.
kvantitativna analiza na performansata na sistemot.
3. Prenosni funkcii i karakteristiki na linearnite sistemi
i na nivnite elementiii
m
ii
i
i
n
ii
i
i dtxdb
dtyda
00n>m
Linearnite sistemi go poseduvaat slednovo svojstvo:s ojs o: ako vlez x1(t) proizveduva izlez y1(t); i vlez x2(t) proizveduva izlez y2(t); toga{ vlez c x (t)+c x (t) proizveduva izlez vlez c1x1(t)+c2x2(t) proizveduva izlez c1y1(t)+c2y2(t) za site parovi vlezovi x1(t) i x2(t) i site parovi konstanti c1 i c2.
Ova svojstvo se narekuva princip na superpozicija.
3. Prenosni funkcii i karakteristiki na linearnite sistemi
i na nivnite elementi
Definicija: Odyivot y(t) na linearen sistem {to se dol`i na nekolku vleza x1(t), x2(t),.., xn(t) koi dejstvuvaat simultano e ednakov na sumata oddejstvuvaat simultano e ednakov na sumata od odyivite na sekoj vlez koga dejstvuva sam, t.e.
n tyty )()(
i
i tyty1
)()(
Za linearnite stacionarni sistemi so skoncentriraniZa linearnite stacionarni sistemi so skoncentrirani parametri kvantitativen pokazatel koj na pogoden na~in gi opi{uva relaciite me|u vleznite i izleznite signali za sekoj blok poodelno e funkcijata na prenos iliza sekoj blok poodelno e funkcijata na prenos ili prenosnata funkcija.
3. Prenosni funkcii i karakteristiki na linearnite sistemi
i na nivnite elementi
Pretpostavka: sistemot e kauzalen ( izlezot zavisi samo od sega{nite i minatite vrednosti na d r dvlezot-fizi~ki realizabilni sistemi).
3 1 Op{ta definicija na funkcija na prenos3.1 Op{ta definicija na funkcija na prenos
m in i xdbyda n>m
i
iii
ii dtb
dta
00
, n>m.
3 1 Op{ta definicija na funkcija na prenos3.1 Op{ta definicija na funkcija na prenos
Re{enieto na diferencijalnata ravenka e sostaveno od:Re{enieto na diferencijalnata ravenka e sostaveno od:
sloboden odyiv i f forsiran odyiv.
Slobodniot odyiv e re{enie na diferencijalnata ra e a o a ezo (t) e e e a o a aravenka koga vlezot x(t) e identi~ki ednakov na nula.
Forsiraniot odyiv e re{enie na diferencijalnata ravenka koga site po~etni uslovi se identi~ki ednakvi na nula
1ndydy010 |,....,|),0( tnt dt
dydtdyy
3 1 Op{ta definicija na funkcija na prenos3.1 Op{ta definicija na funkcija na prenos
)])(([)])(([1
11
1 m i kkiin i kkii XbY ,)])(([)])(([0 0
01
0 00
1
i k
kkiii
i k
kkiii xssXsbyssYsa
|k
k xdxkade 00 | tkdtxkade
sbm ii
)()(
0
0 sXsa
sY n
i
ii
ii
(izrazi od site po~etni uslovi )kk yx 00 ,
)()( sBsB 0i)()()(
)()()( 0
sAsBsX
sAsBsY
)()( sBsB
)()()(
)()()}({)( 0111
sAsBLsX
sAsBLsYLty
3 1 Op{ta definicija na funkcija na prenos3.1 Op{ta definicija na funkcija na prenos
m n 1
n
i
i
iisb
sAsBsS 0)()()(
n
n
i
ii sc
sAsBsS
1
000 )(
)()(i
iisa
sA0
)( i
ii sa
sA0
)(
Operator S(s) se narekuva prenosna funkcija ili funkcija na prenos ili samo prenos na dinami~kiot sistem.sistem.
Operator S0(s) se narekuva operator na po~etni usloviuslovi.
3 1 Op{ta definicija na funkcija na prenos3.1 Op{ta definicija na funkcija na prenos
Funkcijata S(s) e prenosna funkcija na sistem ako i samo ako e koli~nik na Laplasovite transformacii na negovite izlezni i vlezni veli~ini pri site rpo~etni uslovi ednakvi na nula.
Y(s)=S(s)X(s)Y(s) S(s)X(s)
)}()({)}({)( 11 sXsSLsYLty , t>0
S(p)X(p) Y(p)S(s)Y(s)X(s)
3 1 Op{ta definicija na funkcija na prenos3.1 Op{ta definicija na funkcija na prenos
Prenosnata funkcija na sistemot ne zavisi od tekot na vleznata i izleznata veli~ina, tuku zavisi samood strukturata na dinami~kiot sistem, t.e. od d ru ur d , dnegovite konstruktivno-fizi~ki parametri i od negovata konfiguracija.
Spored toa mo`eme da konstatirame deka,
Dinamikata na linearniot sistem e napolno f jopi{ana so negovata prenosna funkcija.
3 1 Op{ta definicija na funkcija na prenos3.1 Op{ta definicija na funkcija na prenos
mmTTT1 22nn
n
mmm
sTsTsTsTsTsTksS ~...~~1
....1)( 2221
2221
1i
ii a
aT
1
0
~
ii
i bbT
1
0
, k=b0/a0 ,
0 0
3 1 Op{ta definicija na funkcija na prenos3.1 Op{ta definicija na funkcija na prenos
Funkcija na prenos mo`e da se definira samo za linearni, stacionarni (so konstantni parametri) sistemisistemi.
Funkcijata na prenos e eden vlezno-izlezen opis na povedenieto na sistemot. d
Opis so funkcija na prenos ne vklu~uva bilo kakva informacija {to se odnesuva na vnatre{nata struktura na sistemot i negovoto povedenie.
3.2 Prenosnata funkcija i odyivot na sistemotr fu c j d
Preodna karakteristika na sistem
X
tetx1)(
1)()( Preodna karakteristika na sistem
)}(1)( 1 sS
sLtyt>0
ssX 1)( s
Impulsna karakteristika na sistem)()}({)( 1 tssSLty
1)( sXx(t)=(t) t>0
S(p)X(p) Y(p)X(s)
S(s)Y(s)
3.2 Prenosnata funkcija i odyivot na sistemotr fu c j d
So sporedba na izrazite
)}(1)( 1 sS
sLty )()}({)( 1 tssSLty
So sporedba na izrazite
is
sledi slednava zavisnost
t dsty )()( sledi slednava zavisnost
)()( tsty dsty0
)()( )()( tsty
3.2 Prenosnata funkcija i odyivot na sistemot
Vkupniot odyiv na sistemot se sostoi od dva dela:
r fu c j d
u
negoviot odyiv yb(t) pri nulti po~etni uslovi prinudno odnesuvawe;r ud d u ;
negoviot odyiv ya(t) pri nulti vlez (sopstveno) slobodno povedenie.( ) d d
y(t)=yb(t)+ya(t)
3.2 Prenosnata funkcija i odyivot na sistemotr fu c j d
O (t) jbOdyivot na sistemot yb(t) za nulta sostojba e opredelen so negoviot impulsen odyiv za nulta sostojba, s(t) i promenata na vleznata veli~ina x(t)
t tpreku konvolucioniot integral
b dstxdtsxty0 0
)()()()()(
Dokaz:Dokaz:
jc
bst
b dssYejty )(
21)( jcj2
3.2 Prenosnata funkcija i odyivot na sistemot
Yb(s)=S(s)X(s)
r fu c j d
jc
stb dssXsSety )()(
1)(Yb(s) S(s)X(s) jcb dssXsSejty )()(2)( )()( dX s 0
)()( dxesX s
1 jc t
0
)()(21)(
dsedexsSj
tyjc
stsb
00
)( )()()(21)(
dtsxddsesSj
xjc
jc
ts
00 j jc
3.2 Prenosnata funkcija i odyivot na sistemotr fu c j d
RezimeRezimePrenosnata funkcija ima nekolku korisni svojstva:
Prenosnata funkcija na sistem e Laplasova Prenosnata funkcija na sistem e Laplasova transformacija od negoviot impulsen odyiv;
Prenosnata funkcija mo`e da bide opredelena od diferencijalnata ravenka na sistemot zemaj}i Laplasova transformacija i ignoriraj}i gi izrazite L r f r c j r r j r{to proizleguvaat od po~etnite vrednosti, t.e.
)()( sYsS )(
)(sX
sS
3.2 Prenosnata funkcija i odyivot na sistemotr fu c j d
Rezime (prodol`enie)Rezime (prodol`enie)
Diferencijalnata ravenka na sistemot mo`e da bide dobiena od prenosnata funkcija zamenuvaj}i jabide dobiena od prenosnata funkcija zamenuvaj}i ja veli~inata s so diferencijalen operator (d/dt);
Imenitelot na prenosnata funkcija izedna~en na nula e karakteristi~nata ravenka na sistemot, a nejzinite koreni se polovi na prenosnata funkcija, j r r fu c j ,odnosno na sistemot. Korenite na polinomot vo broitelot se nuli na sistemot.
3.2 Pretstavuvawe na sistem so blok-dijagram i r u d j rgraf na tek na signali
Zna~eweto na funkcijata na prenos kako relacija na pri~ina-i-efekt e sostoi vo mo`nosta da se pretsta-vat relaciite pome|u veli~inite na sistemot so r c udijagramsko zna~ewe.
Pretstavuvaweto na relaciite vo sistemot so blok-dijagram e op{tova`e~ko (preovladuva~ko) vo sistemskoto in`enerstvo na upravuvawe.sistemskoto in`enerstvo na upravuvawe.
3.2 Pretstavuvawe na sistem so blok-dijagram i r u d j rgraf na tek na signali
Blok-dijagram na sistem e negoviot strukturen dijagram vo koj site podsistemi se opi{ani so svoite prenosni funkcii, a site veli~ini se pretstaveni so r fu c , rsvoite Laplasovi transformacii.
Blok-dijagramot ja sodr`i:
Celata informacija za strukturata na sistemot; Celata informacija za dinami~kite svojstva na C f r c j d jsistemot.
Blok-dijagram na sistem pretstavuva negovBlok dijagram na sistem pretstavuva negov matemati~ki model.
3.2 Pretstavuvawe na sistem so blok-dijagram i r u d j rgraf na tek na signali
Blok-dijagram se sostoi od ~etiri tipa elementi:
blok; blok; sumira~ki to~ki; to~ki na granawe; strelki {to go pretstavuvaat tekot na signalitesignalite
3.2 Pretstavuvawe na sistem so blok-dijagram i r u d j rgraf na tek na signali
M
BlokTo~ka na
Sumira~ka to~ka
Matemati~ki Opis na blokot
granaweX + ZX +Y+
ZY
3.2 Pretstavuvawe na sistem so blok-dijagram i r u d j rgraf na tek na signali
Dva blok-dijagrami se ekvivalentni ako i samo ako ravenkite na povedenie dobieni od niv se me|usebno identi~nime|usebno identi~ni.
(1) Redna (seriska) sprega )()()( 21 sSsSsS S1(s)
Z (s)S2(s)
Y (s)X (s)
S (s)X (s)Y (s)
3.2 Pretstavuvawe na sistem so blok-dijagram i r u d j rgraf na tek na signali
Dokaz:
)()()(
sXsYsS
)()()()()()(
2
1
sZsSsYsXsSsZ
)()()( 2
)()()()( 21 sXsSsSsY )()(
)()()( 21 sSsSsX
sYsS )(
n sSsS )()(
i
i sSsS1
)()(
3.2 Pretstavuvawe na sistem so blok-dijagram i r u d j rgraf na tek na signali
(2) Paralelna sprega
Z (s)S1(s) Y (s)X (s)
Z1 (s)+
S2(s) Z2 (s)+
)()()( SSSS (s)
X (s) Y (s)
)()()( 21 sSsSsS
3.2 Pretstavuvawe na sistem so blok-dijagram i r u d j rgraf na tek na signali
)()()( sXsSsZ
)()()()()()()()()(
22
11
sXsSsZsXsSsZ
)()()( 21 sZsZsY )()()()()( 21 sXsSsXsSsY
)()]()([ 21 sXsSsS )(sY )()()()()(
21 sSsSsSsXsY
n sSsS )()(
i
i sSsS1
)()(
3.2 Pretstavuvawe na sistem so blok-dijagram i r u d j rgraf na tek na signali
(3) Povratna sprega
Y ( )E( )X ( ) S1(s)Y (s)E(s)X (s)
+
S2(s)Z (s)
)()(1)()(
21
1
sSsSsSsS S (s)X (s) Y (s) )()( 21
3.2 Pretstavuvawe na sistem so blok-dijagram i r u d j rgraf na tek na signali
)()()( sZsXsE
)()()()()()(
)()()(
2
ESYsYsSsZ
sZsXsE
)()()( 1 sEsSsY )()()()( 2 sYsSsXsE
)]()()()[()( 21 sYsSsXsSsY )()()]()(1)[( sXsSsSsSsY
)()()( 1 sSsYsS )()()]()(1)[( 121 sXsSsSsSsY
)()(1)()(
21 sSsSsXsS
3.2 Pretstavuvawe na sistem so blok-dijagram i r u d j rgraf na tek na signali
3 2 1 G f3.2.1 Graf na tek na signali
Signalno-tekovniot graf se sostoi od:
granki, koi gi pretstavuvaat sistemite, i jazli, koi gi pretstavuvaat signalite.
X( ) Y( )G(s)X(s) Y(s)
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis na negovoto povedenie
Matemati~ki opis na povedenie na sistem e negovMatemati~ki opis na povedenie na sistem e negov matemati~ki model.
Naj~esto matemati~kite modeli se diferencijalni ravenki.
Dva tipa na ispituvawe na sistemite: K | Kvantitativno ispituvawe-iznao|awe na konkretno re{enie na diferencijalnata ravenka za dadeniot sistem za opredeleni po~etni uslovi;d d r d u ; Kvalitativno ispituvawe-istra`uvawe na uslovite za egzistencija i edinstvenost (needinstvenost) na re{enioeto i prirodata na(needinstvenost) na re{enioeto i prirodata na samoto re{enie pri bilo koi po~etni uslovi.
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis na negovoto povedenie
Primeri na ednostavni mehani~ki sistemiPrimeri na ednostavni mehani~ki sistemiVtoriot Wutnov zakon ima oblik:
)()( xxftxm ),()( xxftxmili ),()( xxftx
(a) Sistem na telo vo sloboden pad bez vlijanie na ( ) d d jatmosferata
00 )0(,)0(,)( xxxxgtx 1
00221)( xtxgt
tx )()( 00)()( ygtxgttxty
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis na negovoto povedenie
Primeri na ednostavni mehani~ki sistemiPrimeri na ednostavni mehani~ki sistemiAko ja vovedeme smenata:
izvornoto ravnstvo }e mo`e da go zapi{eme kako
)()( tytx izvornoto ravnstvo }e mo`e da go zapi{eme kako sistem od dve ravenki:
)( gty )()()( tytx
Da gi pretstavime x i y vo koordinaten sistem na sledniot na~in:
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis
yx y 2na negovoto povedenie
dyydxg
gy
C
Cgxy
222
ydygdxdt
ydt
g
gxCy 22
Parot ( ) vo sekoj moment na vreme ja opredeluvaParot (x,y) vo sekoj moment na vreme ja opredeluva sostojbata na sistemot, pa ravenkite
)()( tytx )()( tytx gty )(
se narekuvaat ravenki na sostojba ili sostojbenise narekuvaat ravenki na sostojba ili sostojbeni ravenki.
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis
(b) Sistem na harmoniski oscilator
na negovoto povedenie
(b) Sistem na harmoniski oscilator
0sin1 g
m
0sin xxx Pri53
0!5!3
sin53
xxxxxx
tBtAeCeCtxjss jtjt sincos)(,01 212,12
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis
Voveduvaj}i smena:
na negovoto povedenie
)()( tytx Voveduvaj}i smena:go dobivame sistemot ravenki:
)()( tytx
)()( tytx )()( txty
Re{enieto na ravenkite go dobivame na sledniot na~in:
xy
yx
22 xy
dtdyy
dtdxx
xy
2
122
22Cyx
Cxy
ydyxdx 1Cyx
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis
Matri~en oblik na ravenki na sostojba
na negovoto povedenie
Matri~en oblik na ravenki na sostojba
(a) Telo vo sloboden pad bez vlijanie na atmosfetata
tytx )()(gtytytx
)()()(
Ako gi zamenime
2
1
xyxx
Ako gi zamenime
i definirame vektor
1xx
x 2x
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis
Matri~en oblik na ravenki na sostojba
na negovoto povedenie
Matri~en oblik na ravenki na sostojba
xxx 10 211 bAxx ggxxx 100 212 Cxy
kade se:
0010
A
10
b 10C, ,
1x
x
1xx
2x
x ,
2xx
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis
Matri~en oblik na ravenki na sostojba
na negovoto povedenie
Matri~en oblik na ravenki na sostojba
(a) Harmoniski oscilator
)()( tytx
Ako gi zamenime
)()()()(txty
tytx
2
1
xyxx
Ako gi zamenime
i definirame vektor
1xx
x 2x
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis
Matri~en oblik na ravenki na sostojba
na negovoto povedenie
Matri~en oblik na ravenki na sostojba
xx 10
12
21
xxxx
2
1
2
1
0110
xx
xx
CxAxx
y
12 A
2
1
xx
x 10C,
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis
Slobodni linearni sistemi od vtor red
na negovoto povedenie
Slobodni linearni sistemi od vtor redDinami~ki sistem od vtor red e opi{an so linearna diferencijalna ravenka od II red ~ij op{t oblik e:diferencijalna ravenka od II red, ~ij op{t oblik e:
02 2 yyy nn Faktor na pridu{uvawe Frekvencija na sopstveni oscilaciin Frekvencija na sopstveni oscilacii
022
22 nnss122,1 nns
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis na negovoto povedenie
Slobodni linearni sistemi od vtor red
tsts eCeCty 21)(
Slobodni linearni sistemi od vtor redRe{enieto na ravenkata e dadeno so:
eCeCty 21 21)( Zavisno od faktorot na pridu{uvawe mo`ni se slednive slu~ai:
slednive slu~ai:
1. s1 i s2 se dvete realni i so ist znak;2. s1 i s2 se dvete realni i so sprotiven znak;2. s1 i s2 se dvete realni i so sprotiven znak;3. s1 i s2 se kowugirano kompleksni so nenulev
realen del;4. s1 i s2 se kowugirano kompleksni so nulev realen
del;
Slobodni linearni sistemi od vtor red Slobodni linearni sistemi od vtor red
1. s1 i s2 se dvete realni i so ist znak
1 012 01 s0
realni koreni i
02 ststs eCeCty 21 21)(
tsts CC)( tsts eCseCsty 21 2211)( Za po~etni uslovi za koi e C1=0 imame:u 1
tseCty 22)( tseCsty 2)( seC
eCsyy
ts
ts
22
222
2 eCsty 222)(
ysyeCy
2
2
Ravenka na prava so negativen naklon
Slobodni linearni sistemi od vtor red Slobodni linearni sistemi od vtor red
Za po~etni uslovi takvi da e C2=0 imame:u 2
tseCty 11)( sC
eCsyts
ts
111
1
1 tseCsty 111)( ysy
eCy ts
1
11
Ravenka na prava so negativen naklon
y
yStabilen jazel
ysy 1 ysy 2
S b Slobodni linearni sistemi od vtor red
Vo slu~aj da se s1 i s2 pozitivni se dobiva nestabilen jazel kako na slikata
Nestabilen jazel
S b Slobodni linearni sistemi od vtor red
22. s1 i s2 se dvete realni i so sprotiven znak;tsts eCeCty 21 21)(
001 s
tsts eCseCsty 21 2211)( Za po~etni uslovi za koi e C1=0 imame:
02 su 1
tseCty 22)( tsC)(
seCeCs
yy
ts
ts
222
2
2 tseCsty 222)(
ysyeCy
2
2
RRavenka na prava so negativen naklon
Slobodni linearni sistemi od vtor red Slobodni linearni sistemi od vtor red
Za po~etni uslovi takvi da e C2=0 imame:u 2
tseCty 11)( sC
eCsyts
ts
111
1
1 tseCsty 111)( ysy
eCy ts
1
11
Ravenka na prava so pozitiven naklon
Sedlesta to~ka
y ysy 1Sedlesta to~ka
y
ysy 2
Slobodni linearni sistemi od vtor red
3. s1 i s2 se kowugirano kompleksni so nenulev
Slobodni linearni sistemi od vtor red
3. s1 i s2 se kowugirano kompleksni so nenulev realen del
10 012 djs 2110 01 )sin()cos()( teCteCty tt
dj2,1)sin()cos()( 21 teCteCty dd
tsts eCseCsty 21 2211)( Geometriskoto mesto na parovi to~ki dobieni za razli~ni vrednosti na t se narekuva
),( yy d r r d r utraektorija na sistem.
Slobodni linearni sistemi od vtor red Slobodni linearni sistemi od vtor red
Traektoriite se logaritamski krivi koi konvergiraat kon koordinatniot po~etok vo r r rdramninata i imaat oblik kako na slikatayy 0
Stabilen fokus
y
y
Slobodni linearni sistemi od vtor red
Vo slu~aj koga realniot rel na korenite e pozitiven se dobiva nestabilen fokus kako na slikatad f u
Netabilen fokus
y
y
Slobodni linearni sistemi od vtor red4. s1 i s2 se kowugirano kompleksni so nulev realen 1 2 u r u r
del
0 j12 njs 2,1
tsts eCseCsty 21)( )sin(2)( 121 tCeCeCty ntjtj nn
eCseCsty 21 2211)( y
Centar
y
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis na negovoto povedenie
Slobodni linearni sistemi od vtor red Slobodni linearni sistemi od vtor red02 2 yyy nn
tsts eCeCty 21 21)( tsts eCseCsty 21)(
So voveduvawe na smenite:
eCseCsty 21 2211)(
1xy
u
221
2
xx
2xy 2122 2 xxx nn
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis na negovoto povedenie
Slobodni linearni sistemi od vtor red Slobodni linearni sistemi od vtor redVoveduvaj}i go vektorot na sostojba
A
2
1
xx
xCxAxx
y
y
10
A 01C nn 22A 01C,
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis na negovoto povedenie
Treba da se naglasi deka izborot na ravenki na sostojba na sistemot ne e ednozna~en.
Poimot za vektor na sostojbi e mnogu po{irok i poapstrakten.
Toj ozna~uva izbor na takvi linearni transformacii so ~ija pomo{ dinami~kiot sistem od n-ti red se sveduva na sistem od n ravenki od I red. du d r d r d,
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis na negovoto povedenie
P Primer :2
1
zy
zy
2122
21
2 zzz
zz
nn
12
1
210 zz
zAz 1ili 222 2 zz nn
1A
CzyMo`e da se poka`e deka postoi nesingularna matrica T takva da va`i ravenkata:
0det, TTzx
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis
1/ TATzzT ATzTz 1na negovoto povedenie
/ TATzzT ATzTz ATTA1
1
tttt 10101TAAT
nnnn tt
tttttt
210
210
22221
1211
2221
12112
222
121122122
21 2 ttttt nn
222122122
222
21112 222 ttttttt nnnnnn
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis
0t
na negovoto povedenie
0 ttt012 tUsvojuvame: 112221 ,0 ttt 1tUsvojuvame: 122 t111 tju 122t
01
1001
TProverka:
yyzzx)(10
01 111
Proverka:
yyzzxT )(10 222
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis
P b b j b
na negovoto povedenie
Postoi beskone~en broj na ekvivalentni izbori na koordinati na sostojba za eden ist sistem.
So ravenkite na sostojbaSo ravenkite na sostojba
21 xx 21
22 2 xxx nn
se opredeleni site sostojbi na LDS od vtor red.
Od poseben interes e edna podvoena sostojba, a toa e ramnote`nata sostojba.
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis
R jb j
na negovoto povedenie
Ramnote`nata sostojba se site konstantni re{enijana diferencijalnata ravenka
A{to zna~i koga e
Axx .constx
bidej}i toa se re{enija koi se nezavisni od argumentot t.
Za da se dobijat ovie re{enija mora da va`i:
0Ax
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis
O j
na negovoto povedenie
Osnovnata ideja e vo razmisluvaweto deka , dokolku sistemot se dvi`i so brzina 0 toj mora da ostane tamu kade {to e. Zatoa ramnote`nata sostojba se nao|a vo koordinatniot po~etok (0,0).
010
ABidej}i va`i
022
nn A
00x021 xx 021 xx
3.3 Poim za dinami~ki sistem i matemati~ki opis
Zaklu~ok:
na negovoto povedenie
Zaklu~ok: Re{enieto na linearen sloboden sistem od vtor red zavisi od parametrite na sistemot; Koordinatniot po~etok e edinstvena ramnote`na Koordinatniot po~etok e edinstvena ramnote`na sostojba; Promenata na parametrite na sistemot vo najgolema merka vlijae na odnesuvaweto na sistemot vo okolina na ramnote`nata sostojba; Vo zavisnost od odnesuvaweto razlikuvame 4 d d u r urazli~ni slu~ai na odnesuvawe na sistemi od II red: (1) ramnote`na sostojba od tip centar, (2) ramnote`na sostojba od tip fokus (3) ramnote`na sostojba od tipsostojba od tip fokus, (3) ramnote`na sostojba od tip jazel i (4) ramnote`na sostojba od tip sedlo.
4. Prostor na sostojbi
Sovremenata teorija se bazira na konceptot sostojbi na sistem (sostojbena veli~ina, vektor na j ( j rsostojbi i prostor na sostojbi).
Konceptot sostojbi na sistem ne bara poznavawe na celata minatost na sistemot za da se analizira odnosot na sega{nite i idnite vrednosti na vleznite i izleznite veli~ini na sistemot.
Koristeweto na sostojbite na sistemot pravi minatosta da e potpolno neva`na za analiza na negovoto idno povedenie.
Pri toa, treba da se podvle~e deka konceptot sostojbi na sistem e svrzan za dinami~kite sistemisostojbi na sistem e svrzan za dinami~kite sistemi.
4. Prostor na sostojbi
Klasi~nata teorija ne ovozmo`uva precizno definirawe na fundamentalnite svojstva na f r fu jsistemite: stabilnost, upravlivost, nabqudlivost, optimalnost, ~uvstvitelnost i adaptabilnost.
j Klasi~nata teorija ni ovozmo`uva: efikasna eksperimentalna analiza na LS sistemi i koristewe na eksperimentalno r rsnimenite frekventni karakteristiki; re{enijata na diferencijalnite ravenki na povedenie na sistemot da se svedat na ~istopovedenie na sistemot da se svedat na ~isto algebarski problemi; razvoj i primena na efikasni grafi~ki i
fgrafoanaliti~ki postapki i metodi za analiza i sinteza na LS sistemi.
4. Prostor na sostojbi
Nedostatoci:
Ne e pogodna za prou~uvawe na golema klasa stacionarni nelinearni sistemi;
Za prou~uvawe na nestacionarni (linearni i nelinearni) sistemi kaj koi eden ili pove}e parametri se menuvaat vo tek na vreme;parametri se menuvaat vo tek na vreme;
sistemi so pove}e vleza i pove}e izleza (t.n. multivarijabilni sistemi);
Za prou~uvawe na vlijanieto na po~etnite uslovi vrz dinami~kite svojstva na sistemot;
Za optimizacija na sistemite i za sinteza na adaptivnite sistemi.
Fizi~ki osnovi za poimot sostojba na sistemFizi~ki osnovi za poimot sostojba na sistem
Normalna ili Ko{ieva forma na sistem diferencijalni ravenki od prv red:
),,...,,,,...,,( 212111 tuuuxxxfx rn),,...,,,,...,,( 212122
212111
tuuuxxxfx rnrn
),,...,,,,...,,( 2121 tuuuxxxfx rnnn
ui(t)- vlezovi, xi(t)- pomo{ni dinami~ki veli~ini, fi -funkcii od (n+r+1) argumentifi funkcii od (n+r+1) argumenti.
Fizi~ki osnovi za poimot sostojba na sistemFizi~ki osnovi za poimot sostojba na sistem
Primer: RLC mre`a
di
1
2211
1
du
ueedtdiLu
)(1 22122 euRi
dtduCi
Fizi~ki osnovi za poimot sostojba na sistem
2121 111 e
Le
Lu
Lddi
Fizi~ki osnovi za poimot sostojba na sistem
2212
212
111 eRC
uRC
iCdt
duLLLdt
RCRCCdt
1110111
eLLiLid .1011 21
2
1
2
1
eRC
LLu
RCC
Ludt
d
BA
1e
1i BeAxx 2ee 2ux BeAxx
Fizi~ki osnovi za poimot sostojba na sistemFizi~ki osnovi za poimot sostojba na sistem
Vektorot x, ~ii komponenti se sostojbeni veli~ini x1 i x2 se narekuva vektor na sostojba ili sostojben vektor. r
Sostojbenite veli~ini se me|usebno nezavisniSostojbenite veli~ini se me|usebno nezavisni veli~ini.
Izbor na sostojbeni veli~ini. Opredeluvawe na vektorska ravenka na sostojbavektorska ravenka na sostojba
I. Spored diferencijalnata ravenka
Sistem od n-ti red e opi{an so skalarna diferencijalna ravenka od n-ti red:
)1()()1()( uuuuyyyy nnn
nn
nn
01)1(
1)(
01)1(
1)(
(1) Poseben slu~aj: uyyyyn
nn
001)1(
1)(
2
1
yxyx
)2(1
nyxZa sostojbeni veli~ini se
usvojuvaat slednite veli~ini:
)1(1
nn
n
yx
yx
Izbor na sostojbeni veli~ini. Opredeluvawe na vektorska ravenka na sostojba
Dobivame sistem od n diferencijalni ravenki od prv red od oblikot :
xxxx
32
21
32
uxxxxxx
nnn
nn
012110
1
buAxx
x1 0
xx
2
1
x
00
b
xx
0b
nx
00010
00100
A
13210 n
Strukturen blok-dijagram spored sostojbeni ravenki
y +u nxnx 1x1x1nx 1nx 1n2n0
(2) Slu~aj koga funkcijata na prenos ima kone~ni nuli:(2) Slu~aj koga funkcijata na prenos ima kone~ni nuli:
uuuuyyyy nnn
nn
nn
01)1(
1)(
01)1(
1)( Izborot na sostojbeni veli~ini se vr{i na sledniov na~in:
ubxy ubxx
ubxy
kkk 1
01
za k 1 2 3 n 1za k=1, 2, 3, , n-1
vrz osnova na koi ravenkata za n-tata sostojbena veli~ina se dobiva vo sledniov oblik: (so soodveten izbor nase dobiva vo sledniov oblik: (so soodveten izbor na koeficientite b0, bn i bk (k=1, n-1)).
b ubxaxaxax nnnn 12110
Dokaz:
uuuuyyyy nnn
nn
nn
01)1(
1)(
01)1(
1)(
01201 ububxubxy 0123012
01201
ubububxububxyububxubxy
)1(0
)2(1
)3(221
)1(
nnnnnnn ubububububxy
)()1()2()1()2()3(2110121010
)(
)
()()(nnnnnn
nnnnn
uuuuuubububububxububxubxy
1210012 ) nnn uuuuuububub
12220111001322110)( ][ nn
n ubububububxxxxy )()1(
1)2(
210)1(
0102
12220111001322110 ][n
nn
nn
nn
n
nn
uuuuuububy
ubuxxxxy nnn )(][ )1(011)(
1322110)(
ubbbbubuxxxxy
nn
nnnnn
)()(][
112211000
0111322110
Spored vovedenite smeni, n-tiot izvod na y mo`e da go zapi{eme kako:
)(0
)1(1
)2(221
)( nnnnnn
n ubububububxy
Ako gi sporedime dvete posledni ravenki (rav. vo zeleniot i rav. vo `oltiot pravoagolnik) }e dobieme:
ubbbbubbbbubbubxxxxx
nnnnn
nnn
nnnnn
)()()()(][
11221100012112011
)1(1011
)(01322110
nnnnn )()( 11221100012112011
Ako koeficientite pred izvodite na u se identi~ki ednakvi na nula gi dobivame slednive ravenstva:ednakvi na nula gi dobivame slednive ravenstva:
00 n b
0
01011 nn
bbbb
bb
012112011 nnn bbbb od kade mo`e da se presmetaat baranite koeficientib i 0 1 s ore s e e re re for :bi, i=0, , n-1, spored slednive rekurentni formuli:
0 nb 0111 nn bb
21120111 nnn bbbb
Ako izrazot vo zagradata pred veli~inata u vo gornata ravenka go ozna~ime so bn
1111000 nnn bbbb ubxxxxx nnnn 1322110
x
bbb
2
1
b
xxx
2
1
x
x
x
2
1
001000000100000010
b
b3b
x
x3x
x
3x
100000
001000
A,
,,
buAxx
nb nx nx 0001 C
143210 n
DuCxybuAxx
0bD
Strukturen blok-dijagram spored sostojbeni ravenkiStrukturen blok dijagram spored sostojbeni ravenki
0b1nb
1x1x1nx 1nx+u nxnx
nb + + y
1n2n0
II. Izbor na sostojbeni veli~ini i ravenki na sostojba spored prenosnata funkcija na sistemotsostojba spored prenosnata funkcija na sistemot
)()( 011
1 sYsssGn
n
)(
)(01
11 sUsss
sG nn
n Voveduvaj}i pomo{na promenliva y1 }e imame:
)()()()(
)()(
)()()( 21
1
1 sGsGsYsY
sUsY
sUsYsG
)(1 sG )(2 sG)(sU )(1 sY )(sY
111)( sG
)(1 )(2
i01
11
1 )( ssssG nnn 01
112 )( sssG nn
)(1)( 1 sYsG )(
)(01
11
1 sUssssG n
nn
)()(][ 1 UYnn )()(][ 1011
1 sUsYsssn
nn
)()()()()( 1011)1(
11)(
1 tutytytytyn
nn )()()()()( 1011111 tutytytyty n
Sostojbenite veli~ini gi birame na sledniov na~in:
12
11
yxyx
32
21
xxxx
)2(
13
nyx
yx
1 xx nn
)1(1
)(11
nn
n
yxyx
)(12110 tuxxxx nnn
Ravenkite na sostojba za prviot blok, zapi{ani vo matri~na forma }e bidat:matri~na forma }e bidat:
)()( tbutAx(t)x )()( 11 txcty
001000000100000010
00
100000
001000
A
0
b,
143210
100000
n 1
00011 c
Za vtoriot blok odnosno za funkcijata naZa vtoriot blok, odnosno za funkcijata na prenos }e imame:)(2 sG
1)(sY01
11
12 )(
)()( sssYsYsG nn
)()()()( 101111
1 sYssYsYssYn
n 1011
)1(11)( yyyty
nn
10211)( xxxty nn ][ 110 n c
)()( tbutAx(t)x )()(
)()(tcx
tbutAx(t)x
ty )()( tcxty
000010 0
001000000100
A
000
b
100000 A
1
0
b,
143210 n 1
][ 110 c ][ 110 nc
Strukturen blok-dijagram spored sostojbeni ravenki
++
2n1n 0
y +u nxnx 1x1x1nx 1nx +
1n2n 2n
0
Sistem opi{an so dif ravenka od n-ti red kade dveteSistem opi{an so dif. ravenka od n ti red, kade dvete strani se so najvisok izvod od n-ti stepen ima funkcija na prenos od oblik:
)()()(
011
1
011
1
sUsY
sssssssG n
nn
nn
nn
)()()()(
)()(
)()()( 21
1
1 sGsGsYsY
sUsY
sUsYsG
)()()( 1 sYsUsU
111)( sG nn 0111 sss nnn 1nn
011
12 )( ssssG nnnn
000010
001000000100000010
A
000
b
100000
A
1
0
b
143210 n
Za funkcijata na prenos }e dobieme:)(2 sG
)()()()()( 101111
11 sYssYsYssYssYn
nn
n )1()(
fu c j r d)(2
1011)1(
11)(
1)( yyyytyn
nn
n odnosno
10211)( xxxxty nnnn d
Bidej}i eBidej}i e)(12110 tuxxxx nnn
proizleguva deka
1021112110 ))(()( xxxtuxxxty nnnnn
)()()()()()(
100211
12211
tuxxxxty nnnnnnnn
)()()( 100211 tuxx nnn )()( 112211 tuxcxcxcxcty nnnnn
11 iniic kade se koeficientite za i=1,. . ., n
Strukturen blok-dijagram spored sostojbeni ravenki
++ +
1nc
nc 1cn
y +u nxnx 1x1x1nx 1nx +
1n2n 2n
0
000010
001000000100000010
A
000
b
100000 A
1
0
b
cccc c d 143210 n
ncccc 321c nd)( u(t)btAx(t)x
)()()()(
tutyu(t)
dtcxbtAx(t)x
)()()(y
Izveduvawe ravenki na sostojba spored korenite na karakteristi~nata ravenka
)()(
)()()( 1
011
1 sNsYssssG nnn
nn
n
)()(
)(01
11 sDsUsss
nn
n (1) Site koreni se prosti:
n 321
n
n
sg
sg
sgg
sDsN
sUsYsG 2
2
1
10)(
)()()()(
kade rezidiumite vo polovite se dadeni so:
)()(lim)(lim0 NsNsGg sNsg ii )()(
)()(lim)(lim0 DsDsGg ss issD
g ii )()(
ggg )(][)(2
2
1
10 sUs
gs
gs
ggsYn
n
)()()( sXgsUgsUg iiii Da razgledame eden op{t ~len od oblikot:
)()( sXgs
gsUs iii
ii
Neka ja izbereme sostojbata kako:
)()(1 sXsUs ii
)()()( sXssXsU iii )()()( txtxtu iii
)()()( tutxtx iii )()()(
n )()()( 01
tugtxgtyi
ii
000001 1
0000000000
3
2
A
11
000000
A
1
b
n00000
1
ngggg 321c 0gd
)()()()(
tutyu(t)
dtcxbtAx(t)x
)()()( tuty dtcx
Strukturen blok dijagram spored sostojbeni ravenkiStrukturen blok-dijagram spored sostojbeni ravenki
+ 1x1x
1
1g
1
+ 2x2x 2g + yu
2
yu
+ nxnx
ng+n
(2) Pove}ekratni koreni
1 e k-kraten koren , a ostanatite koreni se prosti
k
111 3221
k
k
ili
nkkk
patik
321 )1( knn
112110
)()()( kggggsNsYsG
21
11
110 )()()()(
)(
nkk
kk
gggsss
gsDsU
sG
)1(32 knsss
Rezidiumite vo polovite se dadeni so:Rezidiumite vo polovite se dadeni so:
)()(
)()(lim)(lim0
DN
sDsNsGg
ss )()( DsDss
sNsg )()(is
sDsg ii
)()()(
1)()()(
)!1(1
1)1(
)1(
1
ssDsNs
dsd
ig i
i
i
1s
111211 ggggg kk )(])()()(
[)()1(2
1
1
11
1
12
1
110 sUs
gsg
sg
sg
sggsY
kn
nkkkk
Vo ovoj slu~aj se javuvaat i ~lenovi od oblikot:
)1(1
)( jkjg
)1(1)( jks Posledniot ~len so ovoj oblik }e bide daden so:
)(1
1 sUsg k
So zamenaSo zamena
)()(1 sXsU k )()()( 1 sXssXsU kk )()(1s k)()()( 1 txtxtu kk
)()()( 1 txtutx kk
Sledniot ~len od toj oblik e daden so:
)()(1)()( 1)1(1)1(12)1(1 sXgsX
sgsU
sg
kkkkk
Sledniot ~len od toj oblik e daden so:
)( 11 ss
)()()( sXssXsX )()()( 111 sXssXsX kkk )()()( 111 txtxtx kkk )()()( 111 kkk
Za ~lenovite od oblik:
)()()( sXgsUgsUgi )()( sXgs
gsUs iii
ii
se dobiva
)()()( tutxtx iii
Spored toa ravenkite na sostojba i izleznata ravenka se:
xxxxxx
2132
1121
kkk xxx 111
kk
kk
xuxxux
121
1
ugxgxgtyn
ii
k
jj 01)(
k
kk
xux )1(
121
kij 11
nknn xux )1(
1 0001000001
0
1
1
00100
00010
0
0
2
1
000
000
00
00
A
110
b 0gd
)1(00000000000
kn
1
1
nkk gggggg 21)1(11211 c
)()()()(
ttu(t)
dtbtAx(t)x
)()()( tuty dtcx
Strukturen blok dijagram spored sostojbeni ravenki
+ + +
Strukturen blok-dijagram spored sostojbeni ravenki
0g
+ 1x1x+ kxkx + 1kx1kx 2x)1(1 kgkg1 12g
11g +
1
1
1
u
+ y+ 1kx1kx
2
1kg +
+ nxnx ng+
)1( knng
Ekvivalencija na linearni dinami~ki sistemi so konstantni parametrisistemi so konstantni parametri
Razli~nite formi na sostojbeni ravenki i izlezna ravenka koi mo`at da se dobijat za eden sistem giravenka, koi mo`at da se dobijat za eden sistem gi pretstavuvaat negovite sli~ni sistemi.
Iako nivnite reprezentacii vo prostor na sostojbiIako nivnite reprezentacii vo prostor na sostojbi se razli~ni, sli~nite sistemi imaat ista prenosna funkcija, i spored toa, isti polovi i svojstveni vrednostivrednosti.
Dali mo`e da se napravat transformacii pome|u sli~ni sistemi od edno mno`estvo sostojbeni ravenki vo drugo bez da se upotrebi funkcijata na prenos i grafot na sistemot?r f
Ekvivalencija na linearni dinami~ki sistemi so konstantni parametrisistemi so konstantni parametri
Neka se bazi~ni vektori za prosotorot x1x2;21 , xx UU21, zz UU Neka se bazi~ni vektori za prosotorot z1z2;
1x
UxUxx
1z
UzUzz
22211 x
UxUx xxx
22211 z
UzUz zzz
ili
Koja e relacijata pome|u komponentite na x i na zvo ovie ravenki?
Kako da go transformirame vektorot x vo vektor z i obratno?
Ekvivalencija na linearni dinami~ki sistemi so konstantni parametrisistemi so konstantni parametri
22211222121111 xxzxxz UtUtUUtUtU 2111 xxxx
22211222211111 )()( xxxx UtUtzUtUtz zx
22222111122111 )()( xx UtztzUtztz zx
Tzx
2
1
2221
1211
222211
122111
zz
tttt
tztztztz xTz -1
UUT 21 zz UUT
Ekvivalencija na linearni dinami~ki sistemi so konstantni parametrisistemi so konstantni parametri
(1) Transformirawe na sostojbenite ravenki
uAxxB
uxDC y
Neka e
y Tzx
uuA
DCTzBTzzT
y
uuA
DCTzBTTzTz -1-1
yy
Dvata modela se edna alternativna reprezentacija na sistem vo prostor na sostojbi spored toa se sli~nisistem vo prostor na sostojbi, spored toa se sli~ni sistemi i imaat ista funkcija na prenos.
Ekvivalencija na linearni dinami~ki sistemi so konstantni parametrisistemi so konstantni parametri
(2) Dijagonalizacija na sistemska matrica
Definicii:
Svojstven vektor (sopstven vektor) na matrica A se j r ( r) r cnarekuva sekoj vektor, , koj pod transforma-cijata so A stanuva mno`itel od samiot sebe, t.e.
0xi
ii xAxi x2
kade se konstanti.iAx xAx
x1
Ekvivalencija na linearni dinami~ki sistemi so konstantni parametrisistemi so konstantni parametri
(2) Dijagonalizacija na sistemska matrica
Definicii:
Svojstveni vrednosti (sopstveni vrednosti) na matrica A se vrednostite koi go zadovoluvaat gornoto ravenstvo za site .
0xii A
I(djiA-I0 xi(0A
-I A-I0A
-Ix 1-i
i
ii
((( det
adj
0A
-I i(det
Ekvivalencija na linearni dinami~ki sistemi so konstantni parametrisistemi so konstantni parametri
(2) Dijagonalizacija na sistemska matrica
n321 xxxxT
11 xAx 1
000000122 xAx
2 ATTA*
*TAAT1-
000000
3
2A*nn xAx
n
n
000
DVI@EWE NA LINEARNITE DINAMI^KI SISTEMI
Neka razgledame avtonomen LDS opi{an so matri~nata sostojbena ravenka i vektorot na po~etna sostojba:
Axx j r r j
00 )( xx tZa skalaren slu~aj imame:
)()( taxtx )(t)()( taxtx 00 )( xtx Usvojuvame pretpostaveno po~etno re{enie od oblikot:
0)(
000),;( xetxtx tta
DVI@EWE NA LINEARNITE DINAMI^KI SISTEMI
Za da bide x(t; x0,t0) re{enie na diferencijalnata ravenka mora da gi zadovoli slednite uslovi:r r u
za t=t0 da se dobie po~etniot uslov; zameneto re{enieto vo dif ravenka treba zameneto re{enieto vo dif. ravenka treba istata da ja svede na identitet
(a) Za t=t }e dobieme:(a) Za t t0 }e dobieme:
000
0)(
00000),;( xxexetxtx tta
(b) Za sekoe }e imame:),( 0 tt)()(dd ttatta ),;(][)],;([ 000)(
0)(
0000 txtaxxaexe
dtdtxtx
dtd ttatta
DVI@EWE NA LINEARNITE DINAMI^KI SISTEMI
Pri re{avaweto na matri~nata ravenka razlikuvame dva slu~ai:
(1) Prosti svojstveni vrednosti:
n 321(2) Pove}ekratni svojstveni vrednosti:
)1(32111
knpatik
DVI@EWE NA LINEARNITE DINAMI^KI SISTEMI
(1) Prosti svojstveni vrednosti
Axx 00 )( xx tAko e matricata A dijagonalna
},,{ 321 ndiag AAko e matricata A dijagonalna
)()(
0000
)()(
)()( 01
(
(
(01
(1
)02
)01
)02
)01
txtx
ee
txetxe
txtx
tt
tt
tt
tt
)(
)(
00
00
)(
)(
)(
)( 02
((
022
)0
)
)0
)
tx
txe
t
txe
tx
tx
tttt nn
)(00)()( 0(0( )0)0 txetxetx nnn nn
DVI@EWE NA LINEARNITE DINAMI^KI SISTEMI
Spored toa re{enieto e:
0)()()(
00 },,,{),;( 00201 xxtttttt neeediagtxt
Proverka: (a) Za t t dobivame:Proverka: (a) Za t=t0 dobivame:
)()()( }111{}{)( 00002001 diditt tttttt 000)()()(
000 }1,,1,1{},,,{),;( 00002001 xxxx diageeediagtxt tttttt n
DVI@EWE NA LINEARNITE DINAMI^KI SISTEMI
(b) Za proizvolno t
]},,,{[),;( 0)()()(
0000201 eeediag
dtdtxt
dtd tttttt n xx
]),,,[( 0)()()( 00201 eee
dtddiag
dtdttttttt n x
),,,()()()(
0)()(
2)(
100201 eeediag
dt
tttttt
ttn
tttt n x
)(},,{)}(,)(),({),,,(
212211
0)(
02)(
201)(
100201
tdiagtxtxtxdiagxexexediag
nnn
ntt
ntttt n
x
DVI@EWE NA LINEARNITE DINAMI^KI SISTEMI
(2) Pove}ekratni svojstveni vrednosti
)1(32111
knpatik
P bPretpostavuvame deka re{enieto na sistemot e od oblik:
0)(
000),;( xx ttetxt A 000 ),;(
11 2
2A A2!1AI
e 22!2
11 taateat
DVI@EWE NA LINEARNITE DINAMI^KI SISTEMI
Proverka: (a) Za t=t0 dobivame:
00)(
00000),;( xxx
IA ttetxtbidej}i e
I
A2!1
AI 22A 0000)( ((00 tttte tt 2! 0000 ((
DVI@EWE NA LINEARNITE DINAMI^KI SISTEMI
(b) Za proizvolno t
)( 0 ](([][);( xxx tt ttttdedtxtd 22A A1
AI
( ) r
000
000000
](([
](([][),;(
x
xxx
tttt
ttttdt
edt
txtdt
232
A3!3
A2!2AI0
A2!AI
0)(
000
000
0](([
((
xx ttetttt A22 A
A2!1
AIA3!2!
2!
pa spored toa e
),;(),;( 000)(
000 txtetxt tt xxx AA
A
DVI@EWE NA LINEARNITE DINAMI^KI SISTEMI
Eksponencijalno matri~nata funkcija
22A A2!1
AI00
)( ((0 tttte tt 2!
se narekuva prevodna ili fundamentalna matricana linearniot dinami~ki sistem i se ozna~uva:
A)( tt
A0
)( (0 tte tt
DVI@EWE NA LINEARNITE DINAMI^KI SISTEMI
D
SISTEMI
Dvi`eweto na dinami~ki avtonomen sistem so vremenski nepromenlivi parametri e determinirano od fundamentalnata matrica
0000 (),;( xx tttxt a po~etnite uslovi, odnosno vektorot na po~etna sos-tojba, samo go determiniraat inicijalnoto vozbudno dejstvo.
DVI@EWE NA LINEARNITE DINAMI^KI SISTEMI
Kolonite na fundamentalnata matrica davaat nnezavisni re{enija za vektorot na sostojba
SISTEMI
nezavisni re{enija za vektorot na sostojba,
Spored toa elementite vo poodelnite koloni na fundamentalnata matrica se linearno nezavisni.fundamentalnata matrica se linearno nezavisni.
Toa zna~i deka determinantata na fundamentalnata matrica sekoga{ e razli~na od 0r c r d
ttzatt 00(det 0
odnosno, fundamentalnata matrica e nesingularna matrica. )(1 adj
)(det)()(1
adj
DVI@EWE NA LINEARNITE DINAMI^KI SISTEMI
Od ovde proizleguva deka:
SISTEMI
Od ovde proizleguva deka:
Za dadeni po~etni uslovi postoi samo edno re{enie, odnosno samo edna traektorija.re{enie, odnosno samo edna traektorija.
Spored toa, traektoriite na linearen dinami~ki sistem vo prostorot na sostojbi nikoga{ ne se se~at. r r j
Koordinatniot po~etok e posebna traektorija(re{enie vo koe prviot izvod e sekoga{ ednakov na nula).
Toa singularno re{enie dava edna ramnote`na jbsostojba na sistemot, odnosno koordinatniot po~etok
pretstavuva traektorija na miruvawe na sistemot.
Re{enie na matri~nata ravenka preku Laplasova transformacijar f r c j
Razgleduvame avtonomen linearen dinami~ki sistem.
Axx 00 )( xx t)()( 0 sss AXxX 0)()( xXAI ss
001 )()()( xxAIX sss
}){)( 11 AI sLt
Dvi`ewe na nesloboden vremenski nepromenliv sistem vo prostor na sostojbi
)()()( ttt AxxBu
)( xx t)()( tty x
C 00 )( xx t)( tt
A
)()]()([
/)()()()()(
)(
00
0
tetteettt
tttt
tt
Bu
BuA-A-
- A
AxxAxx
)()()(
)()]()([)()()( 000 tetete
tettetttttt Bu
uA-A-A- Axx
Spored teoremata za izvod na matri~ni funkcii imame:
)()()()()]()([ tdtddXYYXYX
)()()()()]()([ tdt
tdt
ttdt
XYYX
Dvi`ewe na nesloboden vremenski nepromenliv sistem vo prostor na sostojbi
Levata strana na poslednoto ravenstvo mo`e da sezapi{e kakozapi{e kako
tdetdeted tttt
tt )()()]([ )()(
)( 00
0xxx
A-
- AA-
dtet
dtte
dt)()]([
11
A2!1
AI 22A-00
)( 0 ](([][ tt ttttdtde
dtd
AA
A2!1
A-I
2A2!1
A0 A-22 )(000
0](([( ttetttttt
Dvi`ewe na nesloboden vremenski nepromenliv sistem vo prostor na sostojbi
Od druga strana e pa }e dobieme:)()( t
dttd XX
dt
)()()]([ )()()( 000 teteted tttttt xxxAA-A-A- )()()]([ tetete
dtxxx A
Ravenkata go dobiva sledniov oblik:
)()]([ )()( 00 teted ttttBuA-A- x
d d
)()]([ tetedt
Bux
Ako ja integrirame ovaa ravenka vo granicite od t0 do t:
Dvi`ewe na nesloboden vremenski nepromenliv sistem vo prostor na sostojbinepromenliv sistem vo prostor na sostojbi
)()( 00 )(0)( dete
t
t
ttt BuA-A- xx])([)( 00
0
)()( deett
ttt
t
BuA-A xx ])([)(0
0 deett Buxx
dttdeett
t
t
t
ttt 0 )()(])()( 00)(0)( Bu- tBuA-A xxxtt 00
Osobini na fundamentalnata matrica
Fundamentalnata matrica e definirana vo op{t slu~aj so matricantot preku Neuman-oviot redslu~aj so matricantot preku Neuman oviot red
))(()()(),( 0 AAVVAVIAW ttt
t
d0
)()( AAV e integralen operatorVrz osnova na ovaa definicija i konvergentnosta na Neuman-oviot red taa gi ima slednive svojstva:
),()(),( 00 tttttd
A 1. ),()(),( 00dt2. I ),( 00 tt3. ),(),(),( 011202 tttttt
Osobini na fundamentalnata matrica
Vrz osnova na ovie osobini mo`e da se doka`e edin-stvenosta na re{enieto.stvenosta na re{enieto.
)(0010
)(1
)()(
),()( 01 xxx ttettt
tt
A
A
Ako zememe za po~etni uslovi toga{
0020)(
2 ),()( 02 xxx ttettt A
),( 11 txfundamentalnata matrica }e go prevede sistemot vo momentot t2 vo sostojba x2 pa }e imame:
)()( ttA
1)(
212)( xx ttet A
Vrz osnova na ova dobivame:Vrz osnova na ova dobivame:
Osobini na fundamentalnata matrica
0)()(
0)()(
1)(
2
)()()(]][[][)( 0112011212
xxxxxx
ttttteeeeet tttttttttt
AAAAA
Od druga strana
001122 ),(),()( xx ttttt
0020)(
2 ),()( 02 xxx ttettt A
Vrz osnova na tretata osobina dobivame deka re{e-nieto e edinstveno bez razlika na momentot na raz
00202 ),()( xxx ttet
nieto e edinstveno bez razlika na momentot na raz-gleduvawe, odnosno po~etnite uslovi.
Od tuka sledi i sledniov zaklu~ok: Za dadeni Od tuka sledi i sledniov zaklu~ok: Za dadeni po~etni uslovi re{enieto na diferencijalnata ravenka e edinstveno, odnosno va`i ravenstvoto
),(),( 121
21 tttt
Osobini na fundamentalnata matrica
Dokaz: Bidej}i za sekoja matrica, koja e nesingularna, j j r j u rtaka i za fundamentalnata va`i: I ),(),( 12121 tttt ),(),( 1212
a spored osobinite (2) i (3) u{te iI)( )()()( I ),( 11 tt ),(),(),( 122111 tttttt
)(/)()()()( 11 tttttttttt ),(),(),(),(),(),(
),(/),(),(),(),(
121
1221121
12121
1212211212
tttttttttttttttttttttt
),(),( 21121 tttt
Osobini na fundamentalnata matrica
Za slu~aj koga e matricata A=const., odnosno za vremenski nepromenliv sistem, fundamentalnata matrica gi ima i slednive svojstva:
)()()( tt )()(1 tt Dokaz: Koga e A const va`iDokaz: Koga e A=const. va`i
tetA )( Ae )(
)()()( ) teeet tt AAA )()()( teeet
Osobini na fundamentalnata matrica
Za slu~aj t )()()0( tt a spored osobina (2) I )0(pa }e dobieme :
1
)()()()()(/)()(
11
1
ttttttt
I
I
)()()()()()(
1 tt
Osobini na fundamentalnata matrica
Fundamentalnata matrica ja zadovoluva svojata diferencijalna ravenka, bidej}i taa poteknuva od nea, a toa zna~i deka taa mora da bide re{enie na diferencijalnata ravenka.d f r c j r
Dokaz: Ako go zamenime vo dif. rav. re{enieto
)( tt ),( 0tt}e dobieme:
),(),( 00 ttttdtd A 00dt
)],(,),,(),,([),( 0)(
0)2(
0)1(
0 ttttttttn
)],(,),,(),,([)],(,),,(),,([ 0)(
0)2(
0)1(
0)(
0)2(
0)1( tttttttttttt
dtd nn A
Osobini na fundamentalnata matrica
Spored pravilata za presmetuvawe so matrici dekom-ponirani vo blokovi
1AA n21n
2 BBBA
AAB
Pravilo 1:
n
BA
BABA
AAB 2
121
Pravilo 1:
BA
B
A
AB
nn
n21n21 ABABABBBBAAB Pravilo 2:
Osobini na fundamentalnata matrica
za desnata strana na diferencijalnata ravenka }e dobieme:
)],(,),,(),,([)],(,),,(),,([ 0)(
0)2(
0)1(
0)(
0)2(
0)1( tttttttttttt nn AAAA
Levata strana pak na dif. ravenka }e ima oblik:
)],(,),,(),,([)],(,),,(),,([ 000000
dddd
pa diferencijalnata ravenka mo`e da ja zapi{eme vo
)],(,),,(),,([)],(,),,(),,([ 0)(
0)2(
0)1(
0)(
0)2(
0)1( tt
dtdtt
dtdtt
dtdtttttt
dtd nn
pa diferencijalnata ravenka mo`e da ja zapi{eme vo oblik:
)],(,),,(),,([)],(,),,(),,([ 0)(
0)2(
0)1(
0)(
0)2(
0)1( ttttttttdttdttd nn AAA )],(,),,(),,([)],(,),,(),,([ 000000 ttttttttdtttdtttdt
Osobini na fundamentalnata matrica
Od ovde dobivame sistem od n diferencijalni ravenki vo matri~en oblik:
),(),( 0)1(
0)1( tttt
dtd A
),(),(
)()(
0)2(
0)2(
00
ttttdtddt
A
)()( )()( ttttd
dt
nn A
Dokolku sekoj od vektor-kolonite na fund. matrica ja zadovoluva j f j f
),(),( 0)(
0)( tttt
dtnn A
svojata diferencijalna ravenka, zaklu~uvame deka i samata funda-mentalna matrica }e ja zadovoli svojata diferencijalna ravenka.
Osobini na fundamentalnata matrica
Treba da se poka`e deka va`i ravenstvoto
),(),( 0)(
0)( tttt
dtd kk A
f j }
za (k=1, 2, . . . , n) ili deka e ),( 0)( ttk
edno re{enie na diferencijalnata ravenka, pa }e va`i i za vektor kolonite od fundamentalnata matrica da ja zadovoluvaat taa ravenka.r c d j d u r
Osobini na fundamentalnata matrica
Da pretpostavime sega deka edno re{enie na dadenata diferencijalna rav