Зміст

1.ОЗНАЧЕННЯ............................................................................................................ 1

2. Теореми та приклади................................................................................................................. 33. Критерій підгрупи 6

:Список літератури ..................................................................................................................10

1.Означення

Означення 1. Множина Х із заданою на ній бінарною асоціативною операцією називається підгрупою.

Означення 2. Півгрупа з одиничним (нейтральним) елементом називається моноїдом.

Означення 3. Моноїд G, всі елементи якого зворотні, називається групою.

Іншими словами, передбачається, що виконуються наступні аксіоми:

А.1 На множині G визначена бінарна операція: (х, у) х*у.А.2 Операція асоціативна:

(ху)z = x(yz) для всіх x, y, z G.А.3 G має нейтральний (одиничний) елемент е: хе = ех = х

для усіх х G.А.4 Для кожного елемента х G існує обернений х-1: х-1*х =

х*х-1 = е.Означення 4. Групою називається півгрупа, в якій

виконуються обернені операції, тобто для будь-яких елементів а і b кожне з рівнянь ах = b, уа = b має єдиний розв’язок.

Означення 5. Кількість елементів групи називається її порядком: .

Означення 6. Група з комутативною операцією називається комутативною (абелевою).

Означення 7. Мінімальне натуральне число n таке, що хn=е, називається порядком елемента х:

Означення 8. Підмножина H G називається підгрупою групи G, якщо

а) е ;б) h1, h2 H H;в) h H h-1 H.

Підгрупа H G – власна, якщо H e: H G.

Рисунок 1

Групи с1 і с2Групи с1 і с2

Рисунок 2

2. Теореми та приклади

Теорема 1. Перетин будь-якої множини {Hi/i I} підгруп групи G є підгрупою.

Нехай G – група. Якщо М – будь-яка підмножина із G, то існує мінімальна підгрупа, яка містить цю підмножину М, підгрупа, що породжується множиною М; позначається {М}. А саме це буде перетин підгруп групи G, які містять в собі М; однією з таких підгруп буде сама група G.

Підгрупа {М} складається з тих і тільки тих елементів групи G, які хоч би одним способом можуть бути записані в вигляді деякого добутку степенів скінченого числа елементів із М.

Означення 9. Множина М називається множиною твірних підгрупи {М}.

Якщо множина М складається із одного елемента а, то

підмножина {а} групи G, що складається із усіх степенів елемента а є підгрупою групи G.

Означення 10. Підгрупа {а} називається циклічною підгрупою групи G, породженою елементом а.

Означення 11. Група G називається циклічною групою, якщо вона складається із степенів одного із своїх елементів а, тобто співпадає з однією із своїх циклічних підгруп {а}.

Елемент а називається в цьому випадку твірним елементом групи G.

Теорема 2. Порядок будь-якого елемента а G дорівнює порядку {а}. Якщо а – елемент скінченого порядку q, то

{а}=<e, a, …, aq-1> і аk=е k=eq, e Z.

Групи точокГрупи точок

Теорема 3. Переставні елементи а, b будь-якої групи G, що мають взаємно прості порядки s, t, породжують в G циклічну підгрупу порядку st

{a, b}={ab}. Означення 1. Бінарної операцією на множині А

називається відповідність, яка кожній впорядкованій парі елементів а,bА співставляє лише один елемент с цієї ж множини А.

Бінарну операцію будемо позначати с=а*b. Як правило в математиці бінарні операції називають додаванням та множенням.

Означення 2. Множина G, в якій введена одна бінарна операція, відносно якої виконується три вимоги:

( а, b, с)((а*b)*с=а*(b*с));

( е)( а)(а*е=а) (елемент е називається правим

нейтральним елементом);

( а)( а-1)(а*а-1=е) (елемент а-1 називається правим

оберненим елементом).називається групою.Приклади. 1. Множина неособливих матриць n-го порядку є є групою

відносно операції множення матриць.2. Множина парних чисел відносно операції додавання.3. Множина цілих чисел відносно операції додавання.Сукупність перетворень повороту площини навколо

нерухомої точки відносно операції множення поворотів.Доведення проводяться безпосередньо перевіркою вимог

групи.Якщо бінарну операцію називають додаванням, то елемент е

називають нулем і позначають , а елемент а-1 називають протилежним і позначають – а, а саму групу адитивною.

Якщо бінарну операцію називають множенням, то елемент е називають одиничним, а елемент а-1 називають оберненим до а, а саму групу – мультиплікативною.

Кількість елементів скінченої групи називають порядком групи. Якщо бінарна операція є комутативною, то групу називають комутативною або абелевою.

З означення групи випливають такі основні властивості.Властивість 1. Кожний правий обернений елемент є

одночасно і лівим оберненим елементом.

Доведення. Нехай а-1 є правим оберненим елементом, тобто а*а-1=е. Виконаємо бінарну операцію зліва з елементом лівої та правої частини.

Одержимо а-1*(а*а-1)=а-1*е або а-1*(а*а-1)=а-1. Позначимо правий елемент до елемента а-1 через b. Виконаємо бінарну операцію справа з елементом b в останній рівності. Одержимо (а-1*(а*а-1))*b= а-1*b або (а-1*а)*(а-1*b)=е.

Звідси слідує а-1*а=е.Властивість 2. Правий нейтральний елемент групи є

одночасно лівим нейтральним елементів.Доведення. Задано, що а*а-1=е. Виконаємо бінарну операцію з

елементом а справа. Одержимо (а*а-1)*а=е*а. Згідно властивості 1 маємо а*(а-1*а)=е*а або а*е=е*а.

Властивість 3. Нейтральний елемент в групі єдиний.Доведення. Припустимо від супротивного, що в групі є два

різні нейтральні елементи е1 і е2.

Тоді

Що і треба було довести.Аналогічно доводяться:

Властивість 4. ( а,b) ( x)(а*х=b)

Властивість 5. ( а,b) ((а*b)-1=b-1*а-1)

Властивість 6. Кожний елемент а має єдиний обернений елемент а-1

Рисунок 3

3. Критерій підгрупи

Критерій підгрупи:Не порожня підмножина Н мультиплікативної групи G є її підгрупою тоді і тільки тоді,коли Н замкнена відносно«*»елементів та взяття обернених елементів,т.б. Н містить добутки всіх своїх елементів і містить обернені до всіх своїх

елементів.▲Необхідність. Нехай Н< G,покажемо виконання умов:Н1: для будь-яких а, b є Н [аb є Н] [а+b є Н]; Н2: для будь-якого а є Н

Група 1 Група 1 Група 2 Група 2 Група 3 Група 3 Група4Група4

Найбільш зв’язні групиНайбільш зв’язні групи

[а-1є Н]  [-а є Н].Тоді Н сама є групою і за означенням групи аb є Н(замкненість операції над Н),а-1 є Н(існування

обернених е-тів). Достатність.Якщо Н містить добутки своїх елементів

і обернених до них, то виконуються аксіоми (1,4) групи.Асоціативність множення елементів у Н випливає із асоціативності множення у G. Якщо х є Н, то х-1є Н і х*х-1=е=1 є Н. Отже, Н є групою.▲ 

Наслідок.Н є підгрупою G , коли виконується умова:для будь-яких х,у є Н [ху-1 є Н].

Другий критерій підгрупи.Н є G , Н≠0 є підгрупа G , коли виконана умова Н1

/:для будь-яких х,у є Н [ху-1 є Н]  [х-у є Н].▲Покажемо,що Н1Н2 – Н1

/ 1)Нехай є Н1Н2  для будь-якого у є Н  у-1 є Н - (Н2); для будь-

яких х, у є Н ху-1 є Н – (Н1).  Н1/ - виконана. 2) Нехай виконана Н1

/. Покладемо в Н1

/ що х=а, у=b-1,тоді у-1=1, ху-1=аb є Н. Покладемо х=е, у=а. ху-1=еа-1=а-1 є Н  Н1 і Н2 виконано▲.

Т-ма: перетин довільної кількості підгруп G теж є підгрупа групи G. ▲Нехай х,у-довільні елементи Н=∩Ні,і є І. Тоді х,у є Ні.Оскільки кожна Ні – підгрупа групи G,то за наслідком з критерія ху-1 є Ні,і є І.Отже, х,у-1 є ∩Ні=Н,і є І.

▲ Т-ма:будь-яка підгрупа абелевої групи є абелевою▲Оскільки комутативність множення виконується длявсієї групи, то вона буде виконуватись для всих її

підмножин.▲  

Алгебраїчна операція-це функція, що діє з декартового квадрату (АxА→А) в А(не порожня множина).АxА={(а,b),а є А, b є А}.Внутрішня алгебраїчна операція завжди є необмежено виконана, однозначна та замкнена на мн.А. Результат дії операції прийнято позначати с=а f b або с=a*b. Не порожня множина А, на якій задано хоча б одну алгебраїчну операцію, назив.алгебраїчною системою, та познач.: (А;*), де *-алгебраїчне позначення. Наприклад:групи, кільця, тіла.. Непорожня множина G на якій задана бінарна алгебраїчна операція(функція f, що діє з декартового добутку f:Р×А→А) назив.групою,якщо виконуються наступні умови:1) для будь-яких a,b є G, існує і єдиний елемент с є G:[с=a*b]-замкненість ;

2)для будь-яких a,b,с є G:[а*(b*с)=(а*b)*с]-асоціативність;3)для будь-якого a є G існує e є G: [а*e=e*а=а]-існування нейтрального;4) для будь-якого a є G існує х є G:[а*х=х*а=e]-існування симетричного.Якщо крім цього виконується аксіома 5) для будь-яких a,b є G:[а*b=b*а],то група назив. комутативною або абелевою.Групи, у яких «*» означає множення

назив. мультиплікативною, а в яких «*» позначено додавання – адитивною.

Приклади:Адетивні гр. (Z;+),(Q;+),(R;+),(C;+).Мультиплікативні абелеві гр. (Q\{0};*),        ( R\{0};·), (С\{0};*).

Загальна лінійна гр.(GLn(R);·) в якій GLn(R)-множина не вироджених матриць n-го порядку над полем R; Р(х)-(поліном), Мm,n-(матриці) -групи. Мn – не група, особливі матриці.

Нехай G група.Пiдгрупа H групи G називається пронормальною,якщо для кожногоg ∈ G пiдгрупи H i Hg

є спряженими у пiдгрупi hH,Hg i. iдослiджуютьсянеперiодичнi групи,пiдгрупи яких

абопронормальнi,абосубнормальнi. Для багатьо хважливих типiв пiдгруп угрупi iснують їх антиподи,тобто пiдгрупи,власти-

востi яких дiаметрально протилежнi властивостям даних пiдгруп.Таким антиподом нормальних пiдгруп є контранормальн iпiдгрупи.ЗгiднозД.Роусом[1],пiдгрупа H групи G

називається контранормальною, якщоHG= G.Контранормальнi пiдгрупи можуть розглядатися I якантиподи такиху загальненьнормальних пiдгруп, як пiдгрупи,що є вiдмiнними

вiд своїх нормалiзаторiв,та субнормальнi пiдгрупи.Нацевказують такi вiдомi критерiї

нiльпотентностi скiнченних груп:скiнченна група G є нiльпотентною тодi I тiльки тодi,коли

кожна її пiдгрупа є субнормальноюв G;скiнченна група G єнiльпотентною тодi I тiльки тодi,коли вона немiстить власних

контранормальних пiдгруп.

Підгрупою групи G називається підмножина H групи G, що сама є групою щодо операції, визначеної в G.

Підмножина H групи G є її підгрупою тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє такі умови:

містить добуток будь-яких двох елементів з H,містить разом зі всяким своїм елементом h обернений до

нього елемент  .У разі скінченних і періодичних груп перевірка умови 2 є

зайвою.Еквівалентно H є підгрупою, якщо виконується умова:

Приклади Підмножина групи G, що складається з одного елементу  , буде, очевидно, підгрупою, і ця підгрупа називається одиничною підгрупою групи G.

Сама   також є своєю підгрупою.

Ця група має дві власні підгрупи: J={0,4} і H={0,2,4,6}, де J є також підгрупою H. Таблиця Келі H є верхньою лівою чвертю таблиці Келі групи G. Група G є циклічною, як і її підгрупи.

ВластивостіТеоретико-множинний перетин будь-яких двох підгруп

групи   є підгрупою групи G.Теоретико-множинне об'єднання підгруп, взагалі кажучи, не

зобов'язане бути підгрупою. Об'єднанням підгруп H і K називається підгрупа, породжена об'єднанням множин  .

Нехай   — гомоморфізм груп. Тоді якщо H є підгрупою G, то  є підгрупою  . Якщо   є підгрупою  , то  є підгрупою G.

Якщо дані дві групи і кожна з них ізоморфна деякій власній підгрупі іншої, то звідси ще не слідує ізоморфізм самих цих груп

ормальна підгрупа (інваріантна підгрупа) — це особлива підгрупа, в яких лівий і правий клас суміжності збігаються. Інваріантні підгрупи дозволяють будувати факторгрупу по заданій групі.

Підгрупа N групи G називається нормальною, якщо вона інваріантна щодо спряження, тобто:

Наступні умови нормальності підгрупи є еквівалентними:

Множини лівих і правих суміжних класів   в   збігаються..

Умова (1) слабша, чим (2), а умова (3) слабша, ніж (4). Тому умови (1) та (3) часто використовують при доведенні нормальності підгрупи.

Приклади  та   — завжди нормальні підгрупи G. Вони називаються тривіальними. Якщо інших нормальних підгруп немає, то група   називається простою.

Центр групи — нормальна підгрупа.Комутант групи — нормальна підгрупа.Довільна характеристична підгрупа є нормальною, бо її

спряження завжди є автоморфізмом.Всі підгрупи N абелевої групи Gнормальні, тому що  .

Неабелева група, в якої всі підгрупи нормальні називається гамільтоновою.

Властивості Нормальність зберігається при епіморфізмах (сюр'єктивних гомоморфізмах) і взятті обернених образів.

Нормальність зберігається при побудові прямого добутку.

Нормальна підгрупа нормальної підгрупи не обов'язково є нормальною в групі, тобто нормальність не транзитивна. Але характеристична підгрупа нормальної підгрупи є нормальною.

Список літератури: 1. Курош А.Г.  (1967). Теория групп (вид. третє).

Москва: Наука. с. 648. ISBN 5-8114-0616-9.2. Винберг Э.Б.  (2002). Курс алгебры (вид. 3-е). Москва:

Факториал Пресс. с. 544. ISBN 5-88688-060-7.