要点梳理1. 椭圆的概念 在平面内到两定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数

（大 于 |F1F2| ）的点的轨迹叫 . 这两定点叫做椭圆

的 ，两焦点间的距离叫做 . 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a} ， |F1F2|=2c, 其中

a＞ 0,c＞ 0 ，且 a ， c 为常数：（ 1 ）若 ，则集合 P 为椭圆；（ 2 ）若 ，则集合 P 为线段；（ 3 ）若 ，则集合 P 为空集 .

§9.5 椭圆

基础知识 自主学习

椭圆焦点 焦距

a＞ ca=ca＜ c

2. 椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

图形

)0(12

2

2

2

bab

y

a

x)0(1

2

2

2

2

bab

x

a

y

性质

范围-a≤x≤a-b≤y≤b

-b≤x≤b-a≤y≤a

对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点

顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)

A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)

轴 长轴 A1A2 的长为 2a; 短轴 B1B2 的长为 2b

焦距 |F1F2|=2c

离心率

a,b,c 的关系 c2=a2-b2

)1,0(a

ce

基础自测1. 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离 心率等于 ( ) A. B. C. D. 解析 设长轴长、短轴长分别为 2a 、 2b, 则 2a=4b,

3

1

3

32

1

2

3D

.2

3

2

4 2222

b

bb

a

ba

a

ce

2. 设 P 是椭圆 上的点 . 若 F1 ， F2 是椭圆

的两个焦点，则 |PF1|+|PF2| 等于 （ ）

A.4 B.5 C.8 D.10

解析 由椭圆定义知 |PF1|+|PF2|=2a=10.

11625

22

yx

D

3. 已知椭圆 x2sin -y2cos =1 (0≤ ＜ 2 ) 的 焦点在 y 轴上，则 的取值范围是 （ ）

A. B.

C. D.

解析 椭圆方程化为

∵ 椭圆焦点在 y 轴上，∴

又∵ 0≤ ＜ 2 ，∴ ＜ ＜ .

,4

3

,2

4

3,4

4

3,2

D

.1

cos1

sin1

22

yx

.0sin

1

cos

1

2

4

3

4. 已知椭圆 C 的短轴长为 6 ，离心率为 ，则椭圆 C 的焦点 F 到长轴的一个端点的距离为 （ ） A.9 B.1 C.1 或 9 D. 以上都不对

解析 由题意得 ∴ a=5 ， c=4.

∴a+c=9 ， a-c=1.

5

4

C

,5

4

3

a

c

b

5. 椭圆的两个焦点为 F1 、 F2 ，短轴的一个端点为 A ，

且 F1AF2 是顶角为 120° 的等腰三角形，则此

椭圆的离心率为 .

解析 由已知得∠ AF1F2=30° ，故 cos 30°= ，

从而 e= .

2

3

ac

2

3

题型一 椭圆的定义【例 1 】一动圆与已知圆 O1 ：（ x+3)2+y2=1 外切 ,

与 圆 O2 ：（ x-3 ） 2+y2=81 内切，试求动圆圆心的轨

迹方程 . 两圆相切时 ,圆心之间的距离与两圆 的半径有关 ,据此可以找到动圆圆心满足的条件 .

思维启迪

题型分类 深度剖析

解 两定圆的圆心和半径分别为 O1(-3 ， 0),r1=1 ；

O2(3,0) ， r2=9. 设动圆圆心为 M(x ， y), 半径为 R ，

则由题设条件可得 |MO1|=1+R ， |MO2|=9-R.

∴|MO1|+|MO2|=10.

由椭圆的定义知： M 在以 O1 、 O2 为焦点的椭圆上 ,

且 a=5 ， c=3.∴b2=a2-c2=25-9=16 ，

故动圆圆心的轨迹方程为.1

1625

22

yx

探究提高 平面内一动点与两个定点 F1 、 F2 的距

离之和等于常数 2a，当 2a>|F1F2| 时 ,动点的轨迹

是椭圆；当 2a=|F1F2| 时 ,动点的轨迹是线段 F1F2 ；

当 2a<|F1F2| 时，轨迹不存在 .

已知圆（ x+2 ） 2+y2=36 的圆心为 M ，设 A 为圆上任一点， N （ 2 ， 0 ），线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P ，则动点 P 的轨迹是 （ ）A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线

知能迁移 1

解析 点 P 在线段 AN 的垂直平分线上，

故 |PA|=|PN| ，又 AM 是圆的半径，

∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6 ＞ |MN| ，

由椭圆定义知， P 的轨迹是椭圆 .

答案 B

题型二 椭圆的标准方程【例 2 】已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，

且 P 到两焦点的距离分别为 5 、 3 ，过 P 且与长轴垂

直 的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程 .

思维启迪

设椭圆方程为 )0(112

2

2

2

2

2

2

2

baa

y

b

x

b

y

a

x或

根据题意求 a,b 得方程 .

解 方法一 设所求的椭圆方程为

由已知条件得 解得 a=4,c=2,b2=12.

故所求方程为

),0(1)0(12

2

2

2

2

2

2

2

bab

x

a

yba

b

y

a

x或

,35)2(

352222

c

a

.11216

11216

2222

xyyx

或

方法二 设所求椭圆方程为

两个焦点分别为 F1 ， F2.

由题意知 2a=|PF1|+|PF2|=8,∴a=4.

在方程 中，令 x=±c 得 |y|= ,

在方程 中，令 y=±c 得 |x|= ,

依题意有 =3 ，∴ b2=12.

∴ 椭圆的方程为

)0(12

2

2

2

bab

y

a

x

).0(12

2

2

2

bab

x

a

y或

12

2

2

2

b

y

a

xa

b2

12

2

2

2

b

x

a

y

a

b2

a

b2

.11216

11216

2222

xyyx

或

探究提高 运用待定系数法求椭圆标准方程，即设

法建立关于 a、 b的方程组，先定型、再定量，若位

置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，

椭圆方程可设为 mx2+ny2=1 (m ＞ 0,n ＞ 0,m≠n) ，

由题目所给条件求出 m、 n即可 .

知能迁移 2 （ 1 ）已知椭圆以坐标轴为对称轴 , 且 长轴是短轴的 3 倍，并且过点 P （ 3 ， 0 ） , 求椭

圆 的方程； （ 2 ）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称 轴，且经过两点 P1( ， 1) 、 P2(- ， - ) ，

求椭圆的方程 . 解 （ 1 ）若焦点在 x 轴上，设方程为 (a ＞ b ＞ 0).

∵ 椭圆过 P （ 3 ， 0 ），∴

又 2a=3×2b,∴b=1, 方程为

6 3 2

12

2

2

2

b

y

a

x

3,1032

2

2

2

aba

即

.19

22

yx

若焦点在 y 轴上，设方程为

∵ 椭圆过点 P （ 3 ， 0 ），∴ =1,

又 2a=3×2b,∴a=9,

∴ 方程为

∴ 所求椭圆的方程为

).0(12

2

2

2

bab

x

a

y

2

2

2

2 30

ba

.1981

22

xy

.1981

19

222

2

xyy

x 或

b=3.

（ 2 ）设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m ＞ 0,n ＞ 0 且 m≠n).

∵ 椭圆经过 P1 、 P2 点，∴ P1 、 P2 点坐标适合椭圆

方程，

则

① 、②两式联立，解得

∴ 所求椭圆方程为

,123

,16

nm

nm ①

②

.31

,91

n

m

.139

22

yx

题型三 椭圆的几何性质【例 3 】已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点， P 为椭圆

上 一点，∠ F1PF2=60°.

（ 1 ）求椭圆离心率的范围；（ 2 ）求证 :△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关 .

（ 1）在△ PF1F2 中，使用余弦定理和 |P

F1|+|PF2|=2a ，可求 |PF1|·|PF2| 与 a ， c 的关

系，然后利用基本不等式找出不等关系，从而求出 e 的范围；（ 2）利用 |PF1|·|PF2|sin 60° 可证 .

思维启迪

21

21Δ PFFS

（ 1 ）解 设椭圆方程为|PF1|=m,|PF2|=n.

在△ PF1F2 中，由余弦定理可知，

4c2=m2+n2-2mncos 60°.∵m+n=2a ，∴m2+n2= （ m+n ） 2-2mn=4a2-2mn ，∴4c2=4a2-3mn, 即 3mn=4a2-4c2.

又 mn≤ （当且仅当 m=n 时取等号） ,

∴4a2-4c2≤3a2 ，∴ ≥ ，即 e≥ .又 0 ＜ e ＜ 1,∴e 的取值范围是

),0(12

2

2

2

bab

y

a

x

22

2a

nm

2

2

a

c

41

21

.1,21

（ 2 ）证明 由（ 1 ）知 mn=

∴ mnsin 60°=

即△ PF1F2 的面积只与短轴长有关 .

,34 2b

21

21Δ PFFS ,33 2b

探究提高 （ 1）椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、 |PF1|+|PF2

|=2a ，得到 a、 c的关系 .

（ 2）对△ F1PF2 的处理方法

定义式的平方余弦定理面积公式

.

sin21

cos24

)2()(

21Δ

212

22

12

2221

PFPFS

PFPFPFPFc

aPFPF

知能迁移 3 已知椭圆 的长、短轴端点分别为 A 、 B, 从椭圆上一点 M （在 x 轴

上方）向 x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 F1 ，

∥ .（ 1 ）求椭圆的离心率 e ；（ 2 ）设 Q 是椭圆上任意一点， F1 、 F2 分别是左、

右 焦点，求∠ F1QF2 的取值范围 .

解 （ 1 ）∵ F1 （ -c ， 0 ），则 xM=-c ， yM= ，

∴kOM=- .∵kAB=- ， ∥ ，

∴- =- ，∴ b=c ，故 e=

)0(12

2

2

2

bab

y

a

x

AB OM

a

b2

ac

b2

a

bOM AB

ac

b2

a

b .2

2

a

c

（ 2 ）设 |F1Q|=r1 ， |F2Q|=r2 ，∠ F1QF2= ，

∴r1+r2=2a ， |F1F2|=2c ，

cos =

当且仅当 r1=r2 时， cos =0,∴

21

221

221

21

222

21

242)(

24

rrcrrrr

rrcrr

,01)

2(

1221

2

21

2

rra

rr

a

.2,0

题型四 直线与椭圆的位置关系

【例 4 】（ 12 分）椭圆 C ： 的两

个焦点为 F1 ， F2 ，点 P 在椭圆 C 上，且 PF1⊥F1F2 ，

|PF1|= ， |PF2|= .

（ 1 ）求椭圆 C 的方程；（ 2 ）若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M ，交

椭圆 C 于 A ， B 两点，且 A ， B 关于点 M 对称，求直线 l

的 方程 .

)0(12

2

2

2

bab

y

a

x

3

4

3

14

（ 1）可根据椭圆定义来求椭圆方程；（ 2）方法一：设斜率为 k，表示出直线方程 ,然后 与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及中点坐 标公式求解； 方法二：设出 A、 B两点坐标 ,代入椭圆方程 ,作 差变形 ,利用中点坐标公式及斜率求解（即点差 法） .

思维启迪

解 （ 1 ）因为点 P 在椭圆 C 上，所以 2a=|PF1|+|PF2|=6 ， a=3. 2 分

在 Rt△PF1F2 中，

故椭圆的半焦距 c= ， 4 分从而 b2=a2-c2=4 ，所以椭圆 C 的方程为 6 分

,5221

2221 PFPFFF

5

.149

22

yx

（ 2 ）方法一 设点 A,B 的坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2).

已知圆的方程为（ x+2 ） 2+(y-1)2=5, 所以圆心 M 的坐标为（ -2 ， 1 ），从而可设直线 l 的方程为：y=k(x+2)+1, 8 分代入椭圆 C 的方程得：(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因为 A ， B 关于点 M 对称，

所以 10 分

所以直线 l 的方程为 y= (x+2)+1,即 8x-9y+25=0.（经检验，所求直线方程符合题意） 12 分

,9

8,2

94

918

2 2

221

kk

kkxx解得

9

8

方法二 已知圆的方程为（ x+2 ） 2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为（ -2 ， 1 ）， 8 分设 A ， B 的坐标分别为（ x1,y1 ） ,(x2,y2).

由题意 x1≠x2,

①

②

由① -② 得：

③因为 A ， B 关于点 M 对称，所以 x1+x2=-4,y1+y2=2,

149

21

21

yx

149

22

22

yx

.04

))((

9

))(( 21212121

yyyyxxxx

代入③得

即直线 l 的斜率为 ， 10 分

所以直线 l 的方程为 y-1= (x+2),

即 8x-9y+25=0.

（经检验，所求直线方程符合题意） . 12 分

,9

8

21

21 xx

yy

9

8

9

8

探究提高（ 1）直线方程与椭圆方程联立 ,消元后 得到一元二次方程，然后通过判别式Δ来判断直 线和椭圆相交、相切或相离 . （ 2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭 圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和 与两根之积的形式，这是进一步解题的基础 . （ 3）若已知圆锥曲线的弦的中点坐标 ,可设出弦 的端点坐标 ,代入方程，用点差法求弦的斜率 .注 意求出方程后，通常要检验 .

知能迁移 4 若 F1 、 F2 分别是椭圆

（ a ＞ b ＞ 0 ）的左、右焦点， P 是该椭圆上的一个

动点，且 |PF1|+|PF2|=4 ， |F1F2|=2 .

（ 1 ）求出这个椭圆的方程； （ 2 ）是否存在过定点 N （ 0 ， 2 ）的直线 l 与椭

圆 交于不同的两点 A 、 B ，使 ⊥ （其中 O

为坐 标原点）？若存在，求出直线 l 的斜率 k ；若不存 在，说明理由 .

12

2

2

2

b

y

a

x

3

OA OB

解 （ 1 ）依题意，得 2a=4 ， 2c=2 ,所以 a=2,c= ,∴b=

∴ 椭圆的方程为（ 2 ）显然当直线的斜率不存在，即 x=0 时，不满足条件 .设 l 的方程为 y=kx+2,由 A 、 B 是直线 l 与椭圆的两个不同的交点，设 A （ x1 ， y1 ）， B （ x2 ， y2 ），

由 消去 y 并整理，得

3

3 .122 ca

.14

22

yx

,

2

14

22

kxy

yx

（ 1+4k2 ） x2+16kx+12=0.∴Δ=(16k)2-4(1+4k2)×12=16(4k2-3) ＞ 0,解得 k2 ＞ . ①

x1+x2=- ,x1x2=

∵ ⊥ ,∴ · =0 ，

∴ · =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)

=x1x2+k2x1x2+2k （ x1+x2 ） +4

= （ 1+k2 ） x1x2+2k （ x1+x2 ） +4

4

3

241

16

k

k

.

41

122k

OA OB OA OB

OA OB

∴k2=4. ②由①②可知 k=±2,所以，存在斜率 k=±2 的直线 l 符合题意 .

,041

)4(44

41

162

41

12)1(

2

2

222

k

k

k

kk

kk

方法与技巧1. 椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中，长轴 端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离， 且最大距离为 a+c,最小距离为 a-c.2. 过焦点弦的所有弦长中，垂直于长轴的弦是最 短的弦，而且它的长为 .把这个弦叫椭圆 的通径 .3. 求椭圆离心率 e 时 , 只要求出 a,b,c 的一个齐次 方程，再结合 b2=a2-c2就可求得 e (0 ＜ e ＜ 1).

a

b22

思想方法 感悟提高

4. 从一焦点发出的光线，经过椭圆（面）的反射，

反射光线必经过椭圆的另一焦点 .

5. 过椭圆外一点求椭圆的切线 , 一般用判别式 Δ=0

求斜率，也可设切点后求导数（斜率） .

6. 求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断

是否为标准方程，判断的依据是：（ 1 ）中心是否

在原点，（ 2 ）对称轴是否为坐标轴 .

失误与防范1. 求椭圆方程时，在建立坐标系时，应该尽可能 以椭圆的对称轴为坐标轴以便求得的方程为最简 方程——椭圆的标准方程 .2. 求两曲线的交点坐标，只要把两曲线的方程联 立求方程组的解 ,根据解可以判断位置关系，若 方程组有解可求出交点坐标 .3.注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某 一点坐标视为某一函数问题求解时，求函数的单 调区间、最值时有重要意义 .4.判断椭圆标准方程的原则为：长轴、短轴所在 直线为坐标轴，中心为坐标原点 .

5.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中 x2 与 y2 的分母大小，若 x2 的分母比 y2 的分母大，则焦点 在 x 轴上，若 x2 的分母比 y2 的分母小，则焦点在 y 轴上 .

6.注意椭圆的范围，在设椭圆

上点的坐标为 P （ x ， y ）时，则 |x|≤a ，这往往 在求与点 P 有关的最值问题中特别有用，也是容 易被忽略而导致求最值错误的原因 .

)0(12

2

2

2

bab

y

a

x

一、选择题

1. （ 2008· 上海春招， 14 ）已知椭圆 =1 ，长轴在 y 轴上，若焦距为 4 ，则 m 等于（ ） A.4 B.5 C.7 D.8 解析 椭圆焦点在 y 轴上，∴ a2=m-2 ， b2=10-m. 又 c=2 ，∴ m-2- （ 10-m ） =22=4.∴m=8.

定时检测

210

22

m

y

m

x

D

2. 已知点 M （ ， 0 ） , 椭圆 =1 与直线 y=k(x+ ) 交于点 A 、 B, 则△ ABM 的周长为 （ ） A.4 B.8 C.12 D.16 解析 直线 y=k(x+ ) 过定点 N(- ,0), 而 M 、 N

恰为椭圆 的两个焦点，由椭圆定义知△ ABM 的

周长为 4a=4×2=8.

32

2

4y

x

B

3 3

14

22

yx

3

3. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积 的最大值为 1 ，则椭圆长轴的最小值为 （ ） A.1 B. C.2 D.2

解析 设椭圆 ，则使三角

形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短

轴端点，

∴S= ×2c×b=bc=1≤

∴a2≥2.∴a≥ .∴ 长轴长 2a≥2 ，故选 D.

D

2 2

)0(12

2

2

2

bab

y

a

x

2

1.

22

222 acb

2 2

4. （ 2009·浙江文， 6 ）已知椭圆

(a＞ b＞ 0) 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，点 B 在

椭圆上，且 BF⊥x 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P. 若

=2 ，则椭圆的离心率是 （ ）

A. B. C. D.

12

2

2

2

b

y

a

x

2

1

3

1

2

2

2

3

AP PB

解析 如图，由于 BF⊥x 轴，

故 xB=-c,yB= , 设 P （ 0,t ） ,

∵ =2 ，

∴ （ -a,t ） =2

∴a=2c,∴e=

答案 D

a

b2

AP PB

,,2

t

a

bc

.2

1

a

c

5. 已知 F1 ， F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆

长 轴垂直的直线交椭圆于 A 、 B 两点，若△ ABF2 是

等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）

A. B. C. D.

解析 ∵△ ABF2 是等腰直角三角形，∴ |AF1|=|F1F2| ，

将 x=-c 代入椭圆方程

从而 即 a2-c2=2ac, 整理得 e2+2e-1=0, 解得 e=-1± , 由 e∈(0,1), 得 e= -1.

2

3

2

212 2

C

),,(12

2

2

2

2

a

bcA

b

y

a

x 得

,22

ca

b

22

6.(2009·江西理 ,6) 过椭圆 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ， F2 为右

焦 点，若∠ F1PF2=60°, 则椭圆的离心率为（ ）

A. B. C. D.

解析 由题意知点 P 的坐标为

∵∠F1PF2=60°,

∴ 即 2ac= b2= (a2-c2).

∴ e2+2e- =0,∴e= 或 e=- (舍去 ).

)0(12

2

2

2

bab

y

a

x

3

3

2

22

13

1

B

,,,22

a

bc

a

bc 或

,322

ab

c3 3

3 33

33

二、填空题7. （ 2009·广东理， 11 ）已知椭圆 G 的中心在坐

标 原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，且 G 上一点 到 G 的两个焦点的距离之和为 12, 则椭圆 G 的方程

为 .

解析 设椭圆的长半轴为 a ，由 2a=12 知 a=6,

又 e= = , 故 c=3 ，∴ b2=a2-c2=36-27=9.

∴ 椭圆标准方程为

2

3

a

c

2

33

.1936

22

yx

.1936

22

yx

8. 设椭圆 （ m ＞ 0,n ＞ 0 ）的右焦点与抛

物线 y2=8x 的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的

标准方程为 . 解析 抛物线 y2=8x 的焦点是（ 2,0 ） ,∴ 椭圆

的半焦距 c=2, 即 m2-n2=4, 又 e= ∴m=4,n2=12. 从而椭圆的方程为

12

2

2

2

n

y

m

x

2

1

11216

22

yx

,2

1222

mm

nm

.11216

22

yx

9.B1 、 B2 是椭圆短轴的两端点， O 为椭圆中心，过

左焦点 F1 作长轴的垂线交椭圆于 P, 若 |F1B2| 是

|OF1| 和 |B1B2| 的等比中项，则 的值是 .

解析 由已知 2bc=a2=b2+c2,∴b=c=

设 P （ x0 ， y0 ），则 x0=-c ， |y0|=|PF1|.

2

1

OB

PF2

2

.2

2a

.2

2.2

11

,1)(

2

12

2

2

2

2

20

2

20

2

2

OB

PF

a

b

a

c

b

y

b

y

a

c

三、解答题10.根据下列条件求椭圆的标准方程： （ 1 ）已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为 ，过 P 作长 轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；

（ 2 ）经过两点 A （ 0 ， 2 ）和 B

解（ 1 ）设椭圆的标准方程是 或

532

534 和

.3,21

12

2

2

2

b

y

a

x

,12

2

2

2

b

x

a

y

则由题意知 2a=|PF1|+|PF2|=2 ，∴ a= .

在方程 中令 x=±c 得 |y|=

在方程 中令 y=±c 得 |x|=

依题意并结合图形知 = .∴b2= .

即椭圆的标准方程为

5 5

12

2

2

2

b

y

a

xab2

12

2

2

2

b

x

a

yab2

ab2

532

310

.1103

51

103

5

2222

xyyx 或

（ 2 ）设经过两点 A （ 0 ， 2 ）， B 的椭圆标

准方程为mx2+ny2=1 ，代入 A 、 B 得

∴ 所求椭圆方程为 x2+ =1.

3,21

,

41

1

1341

14

n

m

nm

n

4

2y

11. （ 2008·辽宁文， 21 ）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点（ 0 ， - ）、（ 0 ， ）的距 离之和等于 4 ，设点 P 的轨迹为 C. （ 1 ）写出 C 的方程； （ 2 ）设直线 y=kx+1 与 C 交于 A 、 B 两点， k 为

何值时 ⊥ ?此时 | | 的值是多少 ? 解 (1) 设 P （ x ， y ），由椭圆的定义可知，点 P 的轨迹 C 是以 (0,- ) 、 (0, ) 为焦点，长半 轴长为 2 的椭圆，它的短半轴长 b=

故曲线 C 的方程为 x2+ =1.

3 3

OA OB AB

3 3

,1)3(2 22

4

2y

(2) 设 A （ x1,y1) 、 B （ x2,y2 ），其坐标满足

消去 y 并整理得（ k2+4 ） x2+2kx-3=0 ，

故 x1+x2=- ,x1x2=- .

若 ⊥ ，则 x1x2+y1y2=0.

而 y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1,

于是 x1x2+y1y2=

化简得 -4k2+1=0, 所以 k=± .

,1

,14

22

kxy

yx

4

22 k

k

4

32 k

OA OB

,014

2

4

3

4

32

2

2

2

2

k

k

k

k

k

2

1

当 k=± 时， x1+x2=± ,x1·x2=- ,

| |=

=

而 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1·x2

2

117

4

17

12

AB2

212

21 )()( yyxx

221

2 )(1 xxk

.17

654

2

5

17

138

4

11

17

138

.17

524

17

124

17

42

22

AB

12. 已知椭圆 C ： =1 (a ＞ b ＞ 0) 的离心率

为 , 且经过点 P （ 1 ）求椭圆 C 的标准方程； （ 2 ）设 F 是椭圆 C 的左焦点 ,判断以 PF 为直径的 圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说 明理由 .

2

2

2

2

b

y

a

x

2

1.

2

3,1

解 （ 1 ）∵椭圆 =1 （ a＞ b＞ 0 ）的离心

率为 ，且经过点 P

∴ 椭圆 C 的标准方程为

2

2

2

2

b

y

a

x

2

1,

2

3,1

.3

,4

.14

91

,043

,14

91

,2

1

2

2

22

22

22

22

b

a

ba

ba

ba

a

ba

解得即

.134

22

yx

（ 2 ）∵ a2=4 ， b2=3 ，∴ c=

∴ 椭圆 C 的左焦点坐标为（ -1 ， 0 ） .

以椭圆 C 的长轴为直径的圆的方程为 x2+y2=4, 圆心

坐标是（ 0 ， 0 ），半径为 2.

以 PF 为直径的圆的方程为 x2+ 圆心

坐标是 半径为 .

由于两圆心之间的距离为

故以 PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切 .

.122 ba

,16

25

4

32

y

,4

3,0

4

5

,4

52

4

30

4

3)00(

22

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