§1 点的投影§1 点的投影

§2 直线的投影§2 直线的投影

§3 平面的投影§3 平面的投影

1.1 两投影面体系中点的投影1.1 两投影面体系中点的投影

1.2 三投影面体系中点的投影1.2 三投影面体系中点的投影

1.3 两点的相对位置和重影点1.3 两点的相对位置和重影点

1.4 各种位置点的投影1.4 各种位置点的投影

基本要求基本要求

§1 点的投影

基本要求：

1. 熟练掌握点在第一分角中各种位置的投影特性及作图方法；

2. 熟练掌握点的投影与该点直角坐标的关系；

3. 掌握两点的相对位置及重影点可减刑的判别。

1.1 两投影面体系中点的投影

1.1.5 两面投影图的性质1.1.5 两面投影图的性质

1.1.2 两投影面体系中点的投影1.1.2 两投影面体系中点的投影

1.1.1 两投影面体系的建立1.1.1 两投影面体系的建立

1.1.3 点的两个投影能唯一确定该点的空间位置1.1.3 点的两个投影能唯一确定该点的空间位置

1.1.4 两面投影图的画法1.1.4 两面投影图的画法

V

X O

水平投影面 —— H

正面投影面 —— V 投 影 轴 —— OX

1.1.1 两投影面体系的建立

V

O

点 A 的水平投影 —— a

点 A 的正面投影 —— a

a

AZ

Y

X

a

1.1.2 两投影面体系中点的投影

1.1.3 点的两个投影唯一确定该点的空间位置

1.1.4 两面投影图的画法

H

X

H

V

O

a

a

ax x

z

y

a

1.1.5 两面投影图的性质

1) aaOX 2) aax =Aa , aax =Aa

① aa⊥OX 轴

② aax

aax

=Aa （ A 到 V 面的距离）

=Aa （ A 到 H 面的距离）

点在两面投影体系中的投影规律

1.2.1 三个投影之间的位置关系

a 点 A 的正面投影

a 点 A 的水平投影

a 点 A 的侧面投影规定： 空间点用大写字母表示，点的三个投影都用 同一个小写字母表示，

其中： H 投影不加撇， V 投影加一撇， W 投影加两撇

1.2 三投影面体系中点的投影

将投影面展开得点的正投影图

点的每个投影反映两个坐标： V 投影反映高标和横标，H 投影反映纵标和横标， W 投影反映高标和纵标。

1.2.2 点的投影和坐标的关系

小结 :点的投影规律

① aa⊥OX 轴 ② aax=

aax=aay=

aa⊥OZ 轴=y=Aa （ A 到 V 面的距离）

aaz =x=Aa （ A 到 W 面的距离）aay=z=Aa （ A 到 H 面的距离）

aaz

例：已知点 A(30,20,40) ，求作三投影。

●a

●a

ax

作图步骤

OX

Z

YH

YW

az

30

40

20

●a

根据两点相对于投影面的距离 ( 坐标 ) 不同，即可确定两点的相对位置。 图中 A 点的横标小于 B 点的横标，点 A 在点 B 的右方。 同样，可以判断点 A 在点 B上方；点 A 在点 B 前方 ( 规定距 V 面远为前，距 V 面近为后 ) 。

1.3 两点的相对位置和重影点

1.3.1 两点的相对位置

［例 1 ］如图，已知点 A 的三投影，另一点 B 在点A 上方 8mm ，左方 12mm ，前方 10mm 处，求点B 的三个投影。 作图步骤：

1 ）在 a′ 左方 12mm ，上方 8mm 处确定 b′ ； 2 ）作 b′b⊥OX ，且在 a 前 10mm 处确定 b ； 3 ）按投影关系求得 b″ 。

［例 2 ］试比较如图所示三棱锥四个顶点 S 、 A 、 B 、 C 的相对位置。

当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。

1.3.2 重影点

点 A 、 B 称为对 H 面的重影点。而点 C 、D 则称为对 V 面的重影点。

1.4 各种位置点的投影

1.4.1 四分角中的点

四

三

一

二

第一分角中的点 A; 第二分角中的点 B;

第三分角中的点 C; 第四分角中的点 D;

一般位置点 :

空间点的三个坐标值X 、 Y 、 Z 均不为零，称该点为一般位置点。

一般位置点（ X 、 Y 、 Z ）

V 面上点（ X 、 0 、 Z ） H 面上点（ X 、 Y 、 0 ） W 面上点（ 0 、 Y 、 Z ）

3. 原点上的点 : （ 0 、 0 、 0 ）

X 轴上点 （ X 、 0 、0 ） Y 轴上点 （ 0 、 Y 、0 ） Z 轴上点 （ 0 、 0 、Z ）注意 : 点的各个投影一定要写在它所属的投影面区域内。

1. 投影面上的点：空间点的坐标值有一个为零。

2. 投影轴上点 : 空间点的坐标值有两个为零。

1.4.2 特殊位置点 :

特殊位置点的投影

X

特殊位置点的投影

§2 直线的投影

2.1 各种位置直线

⒈ 一般位置直线

⒉ 投影面平行线

⒊ 投影面垂直线

2.1.1 一般位置直线

直线与 H 、 V 和 W 三投影面的夹角分别用 α 、 β 、 γ 表示。

ab=ABcos αa’b’=ABcos βa”b”=ABcos γ

一般位置直线投影特性 各投影的长度均小于直线本身的实长

直线的各投影均不平行于各投影轴

b

a

a

b

b

a

X

Z

YH

YWba

ab

ab

X

Z

YH

YW

b

a

a

a b b

X

Z

YW

水平线

YH

1 ）在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。2 ）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。

侧平线正平线

投 影 特 性：

与 H 面的夹角 :α 与 V 面的角 :β与 W 面的夹角 : γ

实长

βγ

γ

实长α

实长α

β

2.1.2 投影面平行线

投影面平行线

名称 立体图 投影图 投影特性

水平线

（∥H ）

正平线

（∥V ）

侧平线

（∥W ）

(1)ab∥OX,

ab∥OYW ；

(2)ab=AB ；

(3) 反映夹角、大小

(1)ab∥OX,ab∥OZ ；

(2)ab=AB ；

(3) 反映夹角、大小(1)ab∥OYH,

ab∥OZ ；(2)ab=AB ；(3) 反映夹角、大小

且垂直于相应的投影轴。

（ 2 ） 另外两个投影 , 反映线段实长，（ 1 ） 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投 影 特 性 :

侧垂线●

e f

e f

e(f)

X

Z

o

YH

YW

正垂线●

c(d)

c

d

d c

X

Z

o

YH

YW

铅垂线

●

a

b

a(b)

a

bX

Z

o YW

YH

2.1.3 投影面垂直线

投影面垂直线

名称 立体图 投影图 投影特性

铅垂线（ H ）

正垂线（ V ）

侧垂线（ W ）

(1)H 投影为一点，有积聚性；

(2)abOX, abOYW ；

(3)ab=ab =AB(1)V 投影为一点，有积聚性；

(2)abOX, abOZ ；(3)ab=ab =AB(1)W 投影为一点，有积聚性；(2)abOYH, abOZ ；(3)ab=ab =AB

AB 、 BC 为水平线； AC 为侧垂线；SB 为侧平线； SA 、 SC 为一般位置直线 。

AB 为正平线；

AC 为正垂线；

AD 为铅垂线 。

2.2 求线段的实长和倾角

本节介绍用直角三角形法求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角。

2.2.1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角

A

B

CX O

V

H

b

a

a

b

ΔZ

AB

ab

ΔZ

分析：过 A 点作 AC∥ab ，则得到直角三角形 ABC 。在该三角形中 AC ＝ ab ，BC ＝ Bb － Aa ＝ ΔZ ΔZ(A 、 B 两点的 Z 坐标差 ) ，而∠ BAC 即 α 角，斜边即 AB 实长。

AB

AB

ΔZ

ab

b

ΔZ

X

a

A

B

CX O

V

H

b

a

b

a

a

b

ΔZ

ΔZ

AB

ab

ΔZ作图步骤：

方法一：以 ab 为一直角边，以 ΔZ 为另一直角边，作出直角三角形 aB1b ，则在该直角三角形中， aB1

边长为线段 AB 的实长，∠ baB1 为线段 AB 的 α角 。

作图步骤： 方法一 方法二

方法二：略

直角三角形法求一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角。知二求二 : 任何一个直角三角形都可以找出四个条件 , 只要知道其中两个条件 , 就能求出另外两个条件。 实长 AB---H 投影长（ ab) ----Z 坐标差 |zA-zB| --- 角 实长 AB---V 投影长（ ab ） ----Y 坐标差 |yA-yB| --- 角 实长 AB---W 投影长（ ab ） ----X 坐标差 |xA-xB| --- 角

AB

ab

ΔZ

2.2.2 小 结：

注意对应关系 !

ΔY

ab

ΔX

ab

ΔY

ab

例： 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角。

AB

ab

ΔY 方法一 方法二

例： 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角。

a

a

b

X

b

AB

ab

AB

ab

ΔYAB

ΔY

ΔY

方法一

方法二

［例］已知线段 AB ＝ 25mm 及其投影 ab 和a′ ， 试求该线段的 V 投影 a′b′ 。

解： 利用 ab 和 AB ＝ 25mm ，确定 A 、 B 两点的高标差 bB1 ，从而求出 b′( 有两解 ) ，或利用ΔY 和 AB ＝ 25mm ，确定 a′b′ 的长度，求出 b′ 。

25ΔY

ΔY

ΔY

25ΔY

ab

ab

ab

2.3.1 直线上的点

2.3 直线上的点

若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。如图所示， C∈AB 。

在图中， D 、 E 两点均不满足上述条件，所以，都不在 AB 直线上。

反之，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点在直线上。

注 意 : 对于一般位置直线 ,只要观察两个投影即可确定。 但对于投影面平行线 , 则应察看直线所平行的那个投影面上的投影。

a

b

●k

a

bk

a

b

k

●

●

X o

YH

YW

Z

2.3.2 点分割线段成定比

AC/CB =ac/cb = ac / cb

直线上的点分割线段之比等于其投影之比。即：

A

B

C

V

H

bc

cb

a

a

X O

［例 1 ］试在 AB 线段上取一点 C ，使 AC∶CB ＝1∶2 ， 求 : 分点 C 的投影。

abc

ab

c

X

C1

B1

分析：分点 C 的投影，必在 AB 线段的同面投影上，　　　且 ac∶cb ＝ a′c′∶c′b′ ＝ 1∶2　　　可用比例作图法作图。

作图步骤：1 ）过 a( 或 b) 任作一直线 aB1 （或 bB1) ；

5 ）过 c作 X 轴的垂线与 a′b′交于 c′ 。

则 c、 c′ 即所求分点 C 的投影。

2 ）在 aB1 上取 C1 ，使 aC1∶C1B1 ＝ 1∶2 ；3 ）连接 B1 、 b ；

4 ）过 C1 作 C1c∥B1b ，与 ab交于 c；

a

k

b

a

b

K1

X

[例 2] 已知直线 AB 及点 K 的二投影， 试判断点 K是否在直线 AB 线上。

作图步骤：应用简单比定理

A1

K1

。K 。K1

1 ）在 H 投影上，过 b （或 a ）任作一条直线 bA1;

2) 在 bA1 上取 bK1=bk,K1A1= ka;3) 连接 A1a ，过 K1 作直线平行于 A1a ，与 ab交于 k1 ；因为已知投影 k与 k1 不重合，

所以点 K 不在直线 AB 上。

2.3.3 直线的迹点

直线与投影面的交点，称为直线的迹点。

直线与水平投影面的交点称为水平面迹点， 用 M 标注。

与正面投影面的交点称为正面迹点， 用 N 标注。

与侧面投影面的交点称为侧面迹点， 用 S 标注。

迹点投影特点：

1 ）因迹点是直线上的点，所以迹点的投影必在直线的同面投影上 。 2 ）因迹点是投影面上的点，所以迹点的一个投影必在投影轴上。

［例］试求直线 AB 的 M 、 N迹点。

1 ）延长 a′b′ ，使之与 X 轴交于点 m′ ；2 ）由 m′引 X 轴的垂线，与 ab 的延长线交于 m ；3 ）延长 ab ，使其与 X 轴交于点 n ；4 ）由 n 引 X 轴的垂线，与 a′b′ 的延长线交于 n′ 。

直线侧面迹点 S 的求法

空间两直线的相对位置分为：平行、相交、相错。

2.4.1 平行两直线

空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。

2.4 两直线的相对位置

2.4.2 相交两直线

若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。 反之亦然。

在右图中，因 AB

是侧平线，察看侧面投影， a″b″ 和 c

″ｄ″虽然相交，但该交点与 k′ 的连线与 Z 轴不垂直，故此两直线不相交。

若只凭 V 、 H 两投影来判断，则需看简单比 (abk) 与(a′b′k′) 是否相等，若相等则相交，不相等则不相交。

2.4.3 相错两直线

同面投影可能相交，但交点不符合空间一个点的投影规律。 交点是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。

若两直线既不平行又不相交，则它们是相错直线。

两种特殊情况：

1 ） 当两直线有两个投影均互相平行，且又同时平行于第三个投影面时，一般应观察该两直线所平行的那个投影面上的投影来判断两直线是否平行。

2 ） 当直线的两个投影都相交，且其中一直线平行于第三个投影面时，一般应观察投影面平行线所平行的那个投影面上的投影，或按线上点的等比关系，来判断两直线是否相交。

2.5 直角的投影 直角投影定理： 若直角的两边( 相交或相错 ) ，有一边平行于某个投影面 ( 另一边不垂直于该投影面 ) ，则此直角在该投影面上的投影仍为直角。

逆定理：若两直线 ( 相交或相错 ) 在某个投影面上的投影互相垂直，且其中有一直线平行于该投影面，则此两直线必互相垂直。

［例］试求 A 点至水平线 BC 的距离 ( 投影和实长 ) 。

1 ）作 ak⊥bc ， ak∩bc ＝ k ；

2 ）由 k 求得 k′∈b′c′ ，则 ak 、 a′k′ 为距离的两投影；

3 ）求距离的实长。

三、如何在平面上确定直线和点。

二、熟悉各种位置平面的投影特性， 尤其是特殊位置平面的投影特性。

一、掌握（以平面图形的表示为主） 三面投影的作图方法。

本节重点掌握：

§3 平面的投影

3.1 平面的表示法3.1.1 用几何元素表示平面

b

a

a

c

b

c

b

a

a

c

b

c

a

a

b

c

b

c

a

b c

ab c

d

d

3.1.2 用平面的迹线表示平面 平面和投影面的交线，称为平面的迹线。

平面和 H 面的交线，称为水平迹线， 和 V 面的交线，称为正面迹线， 和 W 面的交线，称为侧面迹线。

两相交迹线

两平行迹线

3.1.3 平面迹线的求法

1 ）作直线 AB 的 H 面迹点 M1 和 V 面迹点N1 ； 2 ）作直线 AC 的 H 面迹点 M2 和 V 面迹点N2 ； 3 ）连接M1 、 M2 得Ｐ H ，连接 N1 、 N2 得Ｐ V 。

3.2 各种位置平面

平面对于三投影面的位置可分为三类：

1) 一般位置平面； 2) 投影面垂直面； 3) 投影面平行面。 后两种平面又称特殊位置平面。

3.2.1 一般位置平面

一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平行，所以，如用平面形表示一般位置平面，则它的三个投影均不是实形，但具有相仿性。

3.2.2 投影面垂直面

只垂直于一个投影面的平面，称为投影面垂直面。

根据其所垂直的投影面不同，可以分为三种： 1)铅垂面——垂直于 H 面； 2)正垂面——垂直于 V 面； 3)侧垂面——垂直于W 面。

P

PH

1 ．铅垂面

投影特性 (1) abc 积聚为一条线 (2) abc、 abc为 ABC 的类似形 (3) abc 与 OX 、 OY 的夹角反映、角的真实大小

A

B

Ca

cb

a'

b'

a"b"

b

a

b"

c

c"c'

Q

QV

2 ．正垂面

投影特性 (1) abc 积聚为一条线 (2) abc 、 abc 为 ABC 的类似形 (3) abc 与 OX 、 OZ 的夹角反映 α 、 角的真实大

小

Ac

C

a

b

B

b"

a'

b'

a"

b

a

c"c'

c

SWS

3 ．侧垂面

投影特性 (1) abc积聚为一条线 (2) abc 、 abc为 ABC 的类似形 (3) abc与 OZ 、 OY 的夹角反映 α 、 β 角的真实大小

Ca"

b"

A

B

c"

b"

β

a'

b'

a"

b

a

c" c'

c

投影面垂直面的投影特性是： 1) 在其所垂直的投影面上，投影为斜直线，有积聚性；该斜直线与投影轴的夹角反映该平面对相应投影面的倾角； 2) 在另外两个投影面上的投影不是实形，但有相仿性。

3.2.3 投影面平行面

垂直于两个投影面的平面，平行于第三个投影面。

1) 水平面——平行于 H 面； 2) 正平面——平行于 V 面； 3) 侧平面——平行于 W 面。

1 ．水平面

投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 水平投影 abc 反映 ABC 实形

C

A B a"b"

c'

ba

c

a' b'

c"

c

a b' b"

b

a

a"c c"

2 ．正平面

投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 正平面投影 abc 反映 ABC 实形

c"

a"

b"b'

a'

c'

bc a

b'

a'

c'a"

b"

c"

bc a

C

B

A

投影特性： (1) abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 侧平面投影 abc 反映 ABC 实形

3 ．侧平面

a'

b' b"

b

a"

c' c"

c

a

b"c'

b

a

c

a'b'

c"C

A

B

a"

投影面平行面的投影特性是： 1) 如平面用平面形表示，则其在所平行的投影面上的投影，反映平面形的实形； 2) 在另外两个投影面上的投影均为直线段，有积聚性，且平行于相应的投影轴。

3.3 平面上的直线和点

点在平面上的条件： 如果点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上 。

直线在平面上的条件： 1 、通过平面上的两个点。

2 、通过平面上的一个点，且平行于平面上的一条直线 。

[ 例 1] 已知 ABC 给定一平面，试判断点 D 是否属于该平面。

d'

de

e'

［例 1 ］已知三棱锥 SAB 面上一点 K 的 V 投影k′ ， 试求其 H 投影 k 。

1 、过 k′ 作 s′m′ ；求出 sm ；在 sm 上求出 k 。 2 、或者过 k′ 作 k′m′∥s′a′ ；由 m′ 求出 m ；过m 作直线平行于 sa ；在该直线上求出 k 。

在迹线平面上：已知 K 点的 V 投影 k′ ，求该点 H 投影k 。

1 ）连接 a 、 c 和 a′c′ 得辅助线 AC 的两投影；

ｄ′

a′

c′

b

ｄ

b′

a

c

X

2 ）连接 b 、ｄ， bｄ交 ac于 e；3 ）由 e在 a′c′ 上求出 e′ ；

4 ）连接 b′e′ ， 在 b′e′ 上求出ｄ′；

5 ）分别连接 a′ｄ′及 c′ｄ′，即为所求。

e

e′

［例 2 ］已知四边形平面 ABCD 的 H 投影 abcｄ和ABC 的 V 投影 a′b′c′ ，试完成其 V 投影 。

3.4 平面上的特殊位置直线 3.4.1 平面上的投影面平行线

平面上的投影面平行线，有平面上的水平线、正平线和侧平线三种

平面上的投影面平行线 迹线平面上的投影面平行线

P

属于平面的水平线和正平线

PV

PH

求迹线平面上的投影面平行线

3.4.2 平面上的最大斜度线

平面上和某投影面倾角最大的直线，称为该平面对某投影面的最大斜度线。 在 ABC 平面上，过 A 点所作的直线中，以垂直于水平线的直线 AK 对 H 面的倾角最大。直线 AK

就是 ABC 平面对 H 面的最大斜度线，而角 α是ABC 平面和 H 面构成的二面角的平面角，也就是ABC 平面对 H 面的倾角。

［例］试求△ ABC 对 H 面和 V 面的倾角 α 和 β 。

求 α 角的作图步骤： 1 ）求△ ABC 对 H 面的最大斜度线； 2 ）用直角三角形法，求出最大斜度对H 面的倾角 α ，则 α角就是△ ABC 对 H

面的倾角。

用类似的作图方法，可求出△ ABC

对 V 面的最大斜度线（垂直于△ ABC

上的正平线 ) ，并求出最大斜度线对 V

面的倾角 β ，则 β角就是△ ABC 对 V

面的倾角 。

求迹线平面对 H 面和 V 面的倾角 α 和 β 。

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