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第七章 线性空间与线性变换 §1 线性空间定义与性质. 定义 设 V 为 非空集合， P 为一数域（对四则运算封闭的数集合）。 V 中有两种 运算 ① “加法”：任意 α ， β ∈ V, 唯一确定 γ = α + β ∈ V ； ② “数乘”：任意 α ∈ V 及 任意 k ∈ P, 唯一确定 δ = k α ∈ V. 且满足以下 8 条运算律： α + β = β + α ； ( α + β )+ γ = α +( β + γ ); V 中存在零元素 0 ，使 α +0= 0 + α = α ； - PowerPoint PPT Presentation
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第七章 线性空间与线性变换 §1 线性空间定义与性质 定义 设 V 为非空集合，P 为一数域（对四则运算封闭的数集合）。V 中有两种运算 ① “ 加法”：任意 α， β ∈V, 唯一确定 γ = α+β ∈V ； ② “ 数乘”：任意 α∈V 及任意 k ∈P, 唯一确定 δ= kα∈V.且满足以下 8 条运算律：1. α+β= β +α ；2. (α + β)+ γ= α+(β +γ);3. V 中存在零元素 0 ，使 α+0= 0+α=α ；4. 任意 α∈V ，存在其负元素 -α∈V ，使 α +(- α )= 0 ；5. 1 α= α;6. 任意 k , l∈P,(kl) α=k(lα)=l(kα); 7. k(α+β)= kα+kβ ；8. (k+l)α=kα+lα. 则称 V 为数域 P 上的线性空间 .
第七章 线性空间 与线性变换 §1 线性空间定义与性质 (续 1)
例 1 Rn 对向量的加法和数乘构成 R 上的线性空间。向量空间必为线性空间。线性空间为向量空间的抽象，线性空间中的元素也称为“向量”。
例 2 P[x]n={f(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1|ai ∈ P} ( 次数小于 n 的多项式全体 )对多项式的加法和数乘构成 P 上的线性空间。
n 次多项式全体不是线性空间例 3 Pm×n={A=[aij]m×n|aij∈ P}对矩阵的加法和数乘构成 P 上的线性空间
第七章 线性空间 与线性变换 §1 线性空间定义与性质 (续2)
例 4 设 R+={ 全体正实数 } 。对任意 a,b ∈ R+ ，定义1. 加法： a b=ab; 2. 数乘 :k a⊙ =ak.问： R+ 是否是 R 上的线性空间？
第七章 线性空间 与线性变换 §1 线性空间定义与性质 (续 3)
线性空间线性空间的性质：1 、零元素唯一；2 、任意元素的负元素唯一；3、 0α=0；4 、若 kα=0, 则 k=0或 α=0.
第七章 线性空间 与线性变换 §1 线性空间定义与性质 (续4)定义：设 W 为线性空间 V 的非空子集，若 W对 V 的加法、 数乘也构成线性空间，则称 W为 V 的（线性）子空间。
定理 1 线性空间 V 的非空子集 W为 V 的子空间的充要条件为 W对 V 的加法、数乘封闭 .
如 {0}、 V 均为 V 的子空间，叫作 V 的平凡子空间 . 又如11 12 1
22 2
...0 ...... ... ... ...0 0 ...
n
nij
nn
a a aa a
W a P
a
为 Pn×n 的子空间 .
第七章 线性空间 与线性变换 §2 基、维数、坐标向量空间的理论可平行移到线性空间中来 .
如线性组合、线性表示、线性相关、最大无关组、秩等 . 又1.α1, α 2,…,αm 线性相关的充要条件为： 存在不全为零的数
k1,k2,…,km, 使 k1α1+k2α 2+…+kmαm=0 ；
2. 向量组 A 可由向量组 B 线性表示，则 rA≤rB ；
线性无关的充要条件为： k1α1+k2α 2+…+kmαm=0 时ki 必全为零；
3.设 α1, α 2,…,αm 线性无关， 而 α1, α 2,…,αm ， b 线性相 关，则b 可由 α1, α2,..., αm 唯一地线性表示 .
第七章 线性空间 与线性变换 §2 基、维数、坐标（续 1 ）定义 设 V 为数域 P 上的线性空间， V 中向量 α1, α2,..., αr 满足：
称 k1,k2,...,kr为 α 在基 α1, α2,..., αr 下的坐标 .
1) α1, α2 , ... ,αr 线性无关；
α =k1 α 1 +k2 α 2+...+kr α r
2) V 中任意向量 α 均可由 α1, α2,..., αr 线性表示：
则称 α1, α2,..., αr为 V 的一组基，称 V为 r 维线性空间 （ dimV=r） .
1
21 2( , ,..., )
...r
r
kk
k
第七章 线性空间 与线性变换 § 2 基、维数、坐标（续 2 ）例 1 求 P[x]n （次数小于 n 的多项式全体）的一组基与维数 .
解： 1,x,x2,…,xn-1 线性无关，( 当 k0+k1x +k2x2+ …+kn-1 xn-1 = 0 时， ki 必全为 0 ）
又对任意 f(x)=a0+a1x +a2x2+ …+an-1 xn-1 P[x]∈ n,
显然 f(x) 可由 1,x,x2,…,xn-1 线性表示，∴1,x,x2,…,xn-1为 P[x]n 的一组基， dim P[x]n=n.
第七章 线性空间 与线性变换 § 2 基、维数、坐标（续3 ）
解：设 Eij ∈ Pm×n ，且其第 i 行第 j 列元素 aij=1 ，其余元素均为 0 ，则 Eij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) 线性无关，例 2 求 Pm×n={A=[aij]m×n|aij∈ P} 的一组基与维数 .
又对任意 A=[aij]m×n ∈ Pm×n,
A 可由 Eij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) 线性表示 :
∴ Eij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)为 Pm×n 的一组基， 1 1
m n
ij iji j
A a E
dim Pm×n=m×n
第七章 线性空间 与线性变换 § 2 基、维数、坐标（续4 ）
设 α1, α2 , ... ,αr 为线性空间 V 的一组基 ,
则 V =L(α1, α2,..., αr) ={ k1α1+k2α2+ ... +krαr |ki P} ∈
第七章 线性空间 与线性变换 § 2 基、维数、坐标（续 5 ）
2;2 1;
1.
cb ca b c
例 3 P[x]3 中，求 f(x)=2x2-x+1 在基Ⅰ :1,x,x2 与基Ⅱ : 1,x+1,(x+1)2 下的坐标 .
解： f(x) 在基Ⅰ下的坐标为 1， -1， 2 ；设 f(x)=a+b(x+1)+c(x+1)2,
则 f(x)=a+b+c+(b+2c)x+cx2
∴f(x) 在基Ⅱ下的坐标为 :4,-5,2.
2;5;4.
cba
第七章 线性空间 与线性变换 §3 基变换与坐标变换
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...............
...
n n
n n
n n n nn n
a a aa a a
a a a
定义：设Ⅰ： ξ1， ξ2，…， ξn及Ⅱ： η1,η2,…,ηn 为线性空间 Vn 的两组基，且有基变换公式：
记作：
称 A=[aij]n×n 为从基Ⅰ到基Ⅱ的过渡阵 .
11 12 1
21 22 21 2 1 2
1 2
...
...( , ,..., ) ( , ,..., )
... ... ... ......
n
nn n
n n nn
a a aa a a
a a a
第七章 线性空间 与线性变换 §3 基变换与坐标变换（续 1 ）
1
2
..
n
xx
X
x
定理 2 设 A 为从基Ⅰ： ξ1， ξ2，…， ξn 到基Ⅱ： η1,η2,…,ηn 的过渡阵，则（ 1 ） A 可逆 , 且从基Ⅱ到基Ⅰ的过渡阵为 A -1 ；（ 2 ）若向量 α在两组基下的坐标分别为
及
X=AY (Y=A-1X)
1
2
...
n
yy
Y
y
则
第七章 线性空间 与线性变换 §4 子空间的维数与基 维数公式
定理 3 设Ⅰ： ξ1， ξ2，…， ξt 与 Ⅱ ： η1,η2,…,ηs是线性空间 V 中的两个向量组，则（ 1 ） L(ξ1， ξ2，…， ξt)=L(η1,η2,…,ηs)的充要条件为： 组Ⅰ与组Ⅱ等价；（ 2） dim L(ξ1， ξ2，…， ξt)=rⅠ.
第七章 线性空间 与线性变换 §4 子空间的维数与基 维数公式（续 1 ） 定义 设W1，W2 是线性空间 V 的两个子空间，则 V 的子集 W1∩W2={α | α W∈ 1且 α ∈ W2} ， W1+W2={α 1+ α 2| α1 W∈ 1， α 2∈ W2 }分别称为这两个子空间的交与和 .
定理 4 线性空间 V 的两个子空间W1，W2 的交与和仍是 V 的子空间 .
第七章 线性空间 与线性变换 §4 子空间的维数与基 维数公式（续 2 ）
dimW1+dimW2 = dim(W1+ W2)+dim(W1∩W2)
定理 5 ( 维数公式 )设W1，W2 是线性空间 V 的两个子空间，则
第七章 线性空间 与线性变换 §5 线性变换及其矩阵表示
则称 T为 V 上的线性变换 .
定义：设 V 是数域 P 上的线性空间 ,T是从 V到 V 的一个变换，且满足：1 ）对任意 α， β∈ V, 有 T(α + β)=T(α)+T(β);2 ）对任意 α∈ V 及任意 k ∈ P, 有 T(k α)=kT(α).
设 γ= T(α) ，称γ为 α 的像， α为 γ 的原像 .
第七章 线性空间与线性变换 §5 线性变换及其矩阵表示 (续1)
1. T(θ)= θ, T(-α)= - T(α);
线性变换的简单性质：
2. T(k1α1+k2α2 +…+ksαs) =k1T(α1)+k2T(α2) +…+ksT(αs)
3. 若 α1,α2 ,…, αs 线性相关，则 T(α1),T(α2) ,…,T(αs) 线性相关 .
反之未必 .
第七章 线性空间与线性变换 §5 线性变换及其矩阵表示 (续2)
几种特殊的线性变换：1. 单位变换（恒等变换） I:
任意 α V,I(∈ α)= α.
2. 零变换 O:
任意 α V,O(∈ α)= θ.
3. 数乘变换 K:
任意 α V,K(∈ α)= kα.
第七章 线性空间与线性变换 §5 线性变换及其矩阵表示 (续3)
例 1 P[x]n 中，∨ f(x), 定义 Ð(f(x))=f/(x)
则 Ð为 P[x]n 上的线性变换 .
Rn 中的线性变换 Y=AX与 n 阶方阵一一对应 .
第七章线性空间与线性变换 §5 线性变换及其矩阵表示 (续 4)
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
( ) ...( ) ...
............( ) ...
n n
n n
n n n nn n
T a a aT a a a
T a a a
定义：设Ⅰ ： ξ1， ξ2，…， ξn 为线性空间 V 的一组基，T为 V 上的线性变换，且
记作：
称 A=[aij]n×n为 T 在基Ⅰ下的矩阵 .
11 12 1
21 22 21 2 1 2
1 2
...
...( ( ), ( ),..., ( )) ( , ,..., )
... ... ... ......
n
nn n
n n nn
a a aa a a
T T T
a a a
第七章线性空间与线性变换 §5 线性变换及其矩阵表示 (续 5)
任意 β ∈ V ，设 β =k1ξ1+k2ξ2+…+knξn
所以 T由 T(ξ1)， T(ξ2)，…， T(ξn) 确定，即由 A 确定 .
取定 V 的一组基，则 T 与 A 一一对应 .
11 12 1
21 22 21 2 1 2
1 2
...
...( , ,..., ) ( , ,..., )
... ... ... ......
n
nn n
n n nn
a a aa a a
T
a a a
则 T(β) =k1T(ξ1)+k2T(ξ2)+…+knT(ξn)
第七章 线性空间与线性变换 §5 线性变换及其矩阵表示 (续6)几种特殊的线性变换的矩阵：
1. 单位变换 I ( 在任何基下 ) 的矩阵为 :
2. 零变换 O ( 在任何基下 ) 的矩阵为 :
3. 数乘变换 K ( 在任何基下 ) 的矩阵为 :
E( 单位矩阵 ).
O( 零矩阵 ):
1 2 1 2
0 ... 00 ... 0
( ( ), ( ),..., ( )) ( , ,..., )... ... ... ...0 0 ...
n n
kk
K K K
k
kE.
第七章 线性空间与线性变换 §5 线性变换及其矩阵表示 (续7)
例 1 P[x]n 中，∨ f(x), 定义 Ð(f(x))=f/(x)
取基 1,x,x2,…,xn-1,求 Ð 在此基下的矩阵 A.
解 : Ð(1)=0, Ð(x)=1, Ð(x2)=2x, ……
Ð(xn-1)=(n-1)xn-2,
0 1 0 0 ... 00 0 2 0 ... 00 0 0 3 ... 0... ... ... ... ... ...0 0 0 0 ... 10 0 0 0 ... 0
A
n
第七章 线性空间与线性变换 §5 线性变换及其矩阵表示 (续8)例 2 R3 中，取两组基，
Ⅱ： α1=(2,2,1)T, α2=(1,1,-1)T , α3=(-1,0,1)T
σ是 R3 上的线性变换：1 2 3
1 0 0( ) 0 , ( ) 1 , ( ) 0
1 1 1
Ⅰ:ε1=(1,0,0)T, ε2=(0,1,0)T ,ε3=(0,0, 1)T
分别求 σ 在基Ⅰ , Ⅱ 下的矩阵 A和 B.
第七章 线性空间 与线性变换 § 5 线性变换及其矩阵表示 (续9) 定理 6 设 T 为线性空间 V 上的线性变换，从基Ⅰ： ξ1， ξ2，…， ξn到基Ⅱ： η1,η2,…,ηn 的过渡阵为 P ，T 在两组基下的矩阵分别为 A和 B ，则
证： T(ξ1， ξ2，…， ξn)=(ξ1， ξ2，…， ξn)A T(η1,η2,…,ηn)= (η1,η2,…,ηn)B
右边 =(ξ1， ξ2，…， ξn)PB
左边 =T((ξ1， ξ2，…， ξn)P) =(T(ξ1， ξ2，…， ξn))P =(ξ1， ξ2，…， ξn)AP
∴AP=PB, 即 B=P-1AP
B=P-1AP
第七章 线性空间与线性变换 §5 线性变换及其矩阵表示 (续 10)
2 1 12 1 01 1 1
P
1 2 3
1 0 0( ) 0 , ( ) 1 , ( ) 0
1 1 1
1 2 3 1 2 3
1 0 0( ) ( ) 0 1 0
1 1 1
Ⅱ:α1=(2,2,1)T, α2=(1,1,-1)T , α3=(-1,0,1)T
例 2 中 , :Ⅰ ε1=(1,0,0)T, ε2=(0,1,0)T ,ε3=(0,0, 1)T
求 σ 在基Ⅰ , Ⅱ下的矩阵 A和 B.
解 : 设 (α1α2 α3)=(ε1ε2ε3)P,得Ⅰ到Ⅱ的过渡阵
1 0 00 1 01 1 1
A
1
7 2 11 8 1 23
0 0 3B P AP
又
第七章 线性空间与线性变换 §5 线性变换及其矩阵表示 (续 11)
1 0 11 3 01 2 2
例 3 P[x]3中 , g1=1-x-x2, g2=3x-2x2 ,g3=1-2x2 为基 ( )Ⅱ ，求Ð(f(x))=f/(x) 在此基的矩阵 .
解 :Ð 在基Ⅰ :1,x,x2 下的矩阵0 1 00 0 20 0 0
A
1
10 10 84 2 4
9 7 8B P AP
Ⅰ到Ⅱ的过渡阵 P=
即 (g1,g2,g3)=(1,x,x2)P
∴Ð 在基Ⅱ下的矩阵
