系统可观测性所要研究的是由输出估计状态的可能性。例 2-11 ：考虑如下二阶系统：

1 1

2 2

0 1 00 0 1

1 0

x xu

x x

y cx x

§2-3 线性系统的可观性

其状态转移阵为0

01

( )0 1

F

t tt t

一、可观测性的定义

0

0

101 0

202

( ) ( )1 ( )0 1

( )

方程的解为：t

t

t

t

t u dxx t txx

u d

t t t

t t

10 20

10 20

[ ] ,

[ ]

T

T

u x xu

y x x

显然，若知道控制 及初始条件 则系统的

解就唯一地确定了。因此，假定 已知，我们的目

的是要通过一段时间对 的观测，把 确定

出来。

0

100

20

1 ( )[1 0] ( ) ( )

0 1

注意到

=t

t

xt ty cx t u d

xt t t

10 20

10 20

[ ]

[ ]

由于 是一维的，而 却有两个

未知数，故为了得到 还要对 进行加

权处理。为此，考虑

T

T

y x xx x y

分析：

0( , )c t t

0

0

*( , ) *

1 0 1( ) 1 0

t t c

t t

用 乘上式的两边，得

00 0

0

0

100

0 0 20

( , )*( , ) * *( , ) *

0

*( , ) *

1 0 1 01 1 1 ( )[1 0]

( ) 1 ( ) 10 0 0 1

1 0 1( ) ( )

( ) 1 0

=

t t ct t c t t c

t

tt t c

xt ty

t t t t x

t u dt t

t t t

0 1对上式从 到 积分，即：t t

21 0 1 0

100 1 0 1

2 3 201 0 1 0

1( ) ( )2( , , ) ( , , )

1 1( ) ( )2 3

经整理后得

t t t t xh t t y g t t u

xt t t t

1 1

0 0

1

0 0

100 0 0

20

0

*( , ) * ( ) *( , ) * *( , )

*( , ) * ( ) }({ )

t t

t t

t t

t t

xt t c y t dt t t c c t t dt

x

t t c t u d dt

t t t

已知已知

1 0 ,不难验证，对任意的t t

21 0 1 0

100 1 0 1

2 3 201 0 1 0

1( ) ( )2 ( , , ) ( , , )

1 1( ) ( )2 3

由此可得：

t t t t xh t t y g t t u

xt t t t 已知

21 0 1 0

41 0

2 31 0 1 0

1( ) ( )12det ( ) 0

1 1 12( ) ( )2 3

t t t tt t

t t t t

12

1 0 1 010

0 1 0 12 320

1 0 1 0

1( ) ( )2 [ ( , , ) ( , , )]

1 1( ) ( )2 3

故：

t t t txh t t y g t t u

x t t t t

这个例子说明，通过对系统输入和输出信息的测量，经过一段时间的积累和加权处理之后，我们可以唯一地确定出系统的初始状态，也就是说，输出对系统的初始状态有判断能力。初始状态一旦确定，则系统在任何时刻的状态就完全掌握了。

定义 2-6 ：若对状态空间中任一非零初态 x(t0) ，存在一个有限时刻 t1>t0 ，使得由输入 u[t0,t1] 和输出y[t0,t1] 能够唯一确定初始状态 x(t0) ，则称动态方程

在 t0 时刻是可观测的。反之称为是不可观测的。

0 1 0 1

0 1

[ , ] [ , ] 0 0

( )( )

若存在一个 ，使得无论 取多么大，都不能够

由 及 将 唯一地确定出来，就说系统在 时

刻是不可观测的。t t t t

x t tu y x t t注：

0

( ) ( )( ) ( ) , [ , ) (2 1)t tt t t t

x A x B uy C x D u

定理 2-8 ：动态方程

0

( ) ( )( ) ( ) , [ , ) (2 1)t tt t t t

x A x B uy C x D u

在 t0 时刻可观测的充分必要条件是存在一个有限时刻 t1>t0 ，使得矩阵

的 n 个列在 [t0, t1] 上线性无关。0( ) ( , )C Φt t t

二、可观测性的一般判别准则

1 ）研究

分析 ( ＊ ) 式： q 个方程， n 个未知数，因此只利用 t0 时刻的输出值无法唯一确定 x(t0) 。0

0 0( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )C Φ C Φ B t

ty t t t t x t t t u dt t t t ( ＊ )

证明：充分性：

2). 利用 y 在［ t0, t1 ］的值，通过加权处理， 即在 ( ＊ ) 式两边左乘：0 0[ ( ) ( , )] ( , ) ( )C Φ Φ C t t t t t t

经过整理后有：

0 0 0 0 1( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )Φ C C Φ Φ C t t t t t t x t t t t y t

0

1 : ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )C Φ B t

ty y t t t u dt t t t

3). 对上式两边由 t0 到 t1 积分，有1

0

0 1 0 0 1( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )V Φ C t

tt t x t t y dt t t t

1

0

0 1 0 0( , ) : ( , ) ( ) ( ) ( , )V Φ C C Φ t

tt t t t dt t t t t

对照定理 2-1 ，可知 V(t0, t1) 非奇异的充分必要条件是 C(t) (t, t0) 在 [t0, t1] 上列线性无关。

0 1 0 ,t t t反证法。设系统在 可观测，但对任意必要性：

0,a 使得

0( ) ,只要取 则x t a

0 0( ) ( ) ( , ) 0 .C Φ y t t t t t ta

0( )这说明 不能由 确定出来。x t y 证完。

0 0 1( ) ( , ) 0 [ , ].C Φ ，t t t t t ta

注：在讨论上述方程的可解性时，不妨令 u=0 ，即只讨论从零输入响应中求初态。

0动态方程(2-1)在论 时刻可观测t推 2- 8：

1

0

0 1 0 0( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , )V Φ C C Φ t

tt t t t dt t t t t

1 0 0 1, ( , )V 存在有限时刻 使矩阵 非奇异，这里，

t t t t

类似于定理 2-5 ，有定理 2-10 设状态方程 (A(t), B(t), C(t)) 中的矩阵A(t), C(t) 是 (n1) 次连续可微的。若存在有限时间t1>t0, 使得

0 1

1 1

-1 1

( )( )

( )

NN

Nn

tt

rank n

t

t t0( ) ( )=N C

kk k

d tt t t k ndt1

1( )( ) ( ) ( ) 1,2, , 1-

-= + = -NN N A L

则系统在 t0 时刻可观测。

这里，

三、可重构性 与可到达性概念相仿，可引入可重构的概念。

1 0 1 0

0

1 1 0 [ , ] [ , ]

0 0

( ), ,

( ), (2 1)

若对状态空间任一状态 ，存在某个

有限时刻 使得由输入 和输出 的值

可唯一地确定 则称系统 在 时刻 可重

构

义

是

的。

t t t t

x tt t t u y

x t t

定 2- 7：

定义 2-7 与定义 2-6 在因果性上有区别：可重构 是用过去的信息来判断现在的状态；而可观测性则是用未来的信息来判断现在的状态。

t0t1

可观测t0t1

可重构

定理 2-9 ：系统( ) ( )( ) ( )

x t x t uy t x t u

A BC D

(2—1 ）

1 0

0 1 0( ) ( , ) [ , ]t t

t t t

C可重构的充分必要条件是存在有限的 ，使得

矩阵 在 上列线性无关，或等价地，0

1

0 0( , ) ( ) ( ) ( , )Φ C C Φ 非奇异。t

tt t dt t t t t

四、线性系统的对偶性(2 1) :对动态方程

:定义其对偶系统为

：对定理2- 19（ 偶定理）

( ) ( )( )

( ) ( )A* C*

IIB* D*

x t x t vy t x t v

( ) ( )( )

( ) ( )

A B uI

C D ux t x ty t x t

0I1)系统( )在 时刻可控（可达）t

0II 系统( )在 时刻可观测（可重构）；t

0I2)系统( )在 时刻可观测（可重构）t

0( , ) ( )It t1)令 为 的状态转移矩阵，则 证证 可验 ，明：

同理可证 2) 。

( )II为 的状态转移阵(见习题1-19))。故

0II 系统( )在 时刻可控（可达）。t

0( , )tt*－1

1 0 0 0 1, ( , ) ( ) [ , ]I Bt t t t tt t ( )能控 在 行无关

10 0 0( ( , ) ( )) * ( ) * ( , ) ( ) * ( , )B B* B*t t tt t t t t t ＝

列无关

0( ) ( , ) ( )II IItt *－1可观测（已知 为 的转移矩阵）。

(2) CeAt 的各在 [0 ， ) 上是复数域线列线性无关。(1) 在 [0 ， ) 中的每一个 t0 ,（ 2-21 ）可观测；

(3) 对于任何 t0 ≥0 及任何 t > t0 ，矩阵0 0

0

( ) ( )0( , )

tt t

t

t t e e d A* AV C*C

非奇异；

下列提法等价 :

定理 2-11 ：对于 n 维线性不变状态方程五、线性时不变系统的可观测性判据

x x uy x u

A BC D

（ 2-21）

(5) 在复数域上，矩阵 C(sIA)1 的列是线性无关的；(6) 对于 A 的任一特征值 ，都有i

(2 15)irank n

A IC

(4)

1

CCA

CA

n

rank n

证明：利用对偶原理即可证明。

若系统为时不变系统，则不难验证，注：

(2 1) :均为动态方程

* *( )

* *x x vy x v

A CII

B D

* *( ) '

* *x x vy x v

A CII

B D

及

( )A B

IC D

x x uy x u

的对偶系统。事实上，

1( )I B AB A Bnrank n 能控

1 1

( )

( 1)

B*B*A*

II

B*A*n n

rank n

能观

1 1( 1)B AB A B n n

1 1( 1)B AB A Bn nrank n

1

1( 1)

( ) '

II

B AB A B

III

能观。

n

n

但

而

不可观测的振型及相应的模式 若定理 2-11,6 的条件不满足，即存在

00 ( ), ,

A IA

Crank n

ll s

0 0A I

C

la

这说明 是 A 的属于特征值 0 的特征向量，它在 C 的核空间中， 0 是不可观的模态。它对应的特征向量落在 C 的核中，输出 y 不反映 0 对应的运动模式。

0a ，使得

0 0A Ca l a a 及

例题 1 0

1 01 2

c

x x y x

A

2 因此 是一个不可观测的模态。为了说明与其对应的模式不会出现在输出中，考虑其解：

11

11 2

1A I

rankc

l

ll a

22

02 1

1A I

rankc

l

ll a

12 2

2

(0)0( ) 1 0

(0)

t

t t t

xey t

xe e e

2 22

0t

c ce

a al

以上结果说明 属于 的核空间，即满足 。

故在输出中不反映振型 =-2所对应的模式 。

所以1(0), 0ty e x t

§2- 4 若当型动态方程 的可控性和可观测性一、等价变换的性质

A BC D

x x uy x u

令 ， ，则经等价变换后有x xP det( ) 0P

A BC D

x x uy x u

其中：1 1, , , A PAP B PB C CP D D

定理 2-13 ：在任何等价变换之下，线性时不变系统的可控性和可观测性不变。注：定理 2-13 可以推广到线性时变系统（习题（ 2-11 ）。

2 6证 由定理 ，等价系统明：x xy x

A BuC Du

可控，必要且只要

( 1) ( 1)] ][B AB A B P[B AB A B n n

( 1) ][B AB A Bnrank n 但证完。

二、若当动态方程的可控性和可观测性判据典型的若当矩阵：

2 12

2 12

3 13

尽管有相同的特征值，但它们却属于不同的若当块。

1A

2A

一般可将具有相同特征值的若当块合成一个子块。

讨论如下系统的可控性和可观测性：例：

2 1 1 22 1 0

2 1 2 32 0 1

3 1 4 53 1 0

1 1 0 7 3 00 4 1 3 3 1

B

C

A

[ ]A I

A I BC

iiPBH rank rank

ll

利用 检验： 或

00

00

-5-5

11bL

12bL

21bL

55

55

00

1A

2A

1 22, 3l l

2 1 1 22 1 0

2 1 2 32 0 1

3 1 4 53 1 0

1 1 0 7 3 00 4 1 3 3 1

B

C

A

[ ]A I

A I BC

iiPBH rank rank

ll

利用 检验： 或

00

00

-5-5

55

55

00

111c 112c121c

1 22, 3l l

当系统矩阵有重特征值时，常常可以化为若当形，这时 A 、 B、 C 的形式如下：1 1

2 2

1 2 ]

A BA B

A= B

A BC [C C C

m m

m

1 2 ], 1,2, ,C [C C Cii i i ir i m

1 1

2 2

A BA B

A B

A Bi i

i i

i ii i

ir ir

1

2

11

1

j j

iji

iji

ij iji

iji l l

L

A B

ll

l

l

bb

b

AA A

i

i ij i

mr j

有 个相异的特征根，与每一特征根 相应的若当块共有 个。这里， 是属于 的第 个若当块。

l

1

2

11

1

j j

iji

iji

ij iji

iji l l

L

A B

ll

l

l

bb

b

1 2 ], 1,2, , ; 1,2, ,ij ij ij Lij ii m j r C [c c c

1. A 有m 个相异的特征值 1, 2 …., m ；

2. Ai ：所有与 i 对应的若当块构成的矩阵，共有 ri 块；

Bi ： B 中与 Ai 对应的的子块； Ci ： C 中与 Ai 对应的的子块； Aij ：表示 Ai 的第 j 个若当块； Bij ： Bi 中与 Aij 对应的的子块； Cij ： Ci 中与 Aij 对应的的子块；3. bLij ： Bij 的最后一行；4. c1ij ： Cij 的第一列。

定 理 2-14 ( 可控、可观性判据 )

若当型动态系统 (2-26) 可控的充分必要条件为下列矩阵行线性无关 1

2 1,2, ,

i

Li

Li

Lir

i m

bb

b 若当型动态系统 (2-26) 可观测的充分必要条件为下列矩阵列线性无关 ：

11 1 1 2 1 1,[ ,], 2

ii i i ir i m C c c c

证明：1 1

[ ]

i

ii i i

A I B

A I BA I B

令 Ai是 ni 阶子块，只需考虑][A I Bi i i irank nl 是否

因为其它子块此时肯定满秩。但1 1

2 2

i i

i i

i ii i

ir ir

A BA B

A B

A B

根据 PBH 检验法，1 1

2 2

A BA B

A B

A Bi i

i i

i ii i

ir ir

1 2B B B中 、 、 的最后一行构成的矩阵ii i ir

1

2

i

Li

Li

Lir

bb

b

行满秩，则肯定有 ]i i i irank n [A I B 证完。

例题

1 1 2 0 0 2 01 0 1 2 0 1 11 0 2 3 0 2 2

C

考察系统的可控性和可观测性。

7 7

1 1 0 0 01 1 0 0

1 0 1 01 0 0 1

2 1 1 1 22 0 3 1

2 0 0 2

A B

1A

2A

1rank A I B代入将 后可得1 1 0 1

00

01 1

11

A

0 0 01 0 00 1 00 0 11 1 20 3 10 0 2

B

11

12

13

1 0 00 1 00 0 1

L

L

L

bbb

13Lb

11Lb12Lb

行线性无关

1 11

11

0 10

0

A

0 0 01 0 00 1 00 0 11 1 20 3 10 0 2

B

21

22

0 3 10 0 2

L

L

bb

21Lb22Lb

行线性无关

2rank A I B代入将 后可得2 2

按照上述记号，可知 A 有二个不同的特征值 {1,2} ，特征值 1 对应有三个若当块，特征值 2 对应有两个若当块，判别可控性的行向量为 11

2112

2213

1 0 00 3 1

0 1 0 ,0 0 2

0 0 1

LL

LL

L

b bb bb

每组的行向量线性无关，满足判据的要求，故系统可控。

7 7

1 11

11

2 12

2

1 1 2 0 0 2 01 0 1 2 0 1 11 0 2 3 0 2 2

A

C

再来考察这个系统的可观测性。

1rank

A IC

代入将 后可得1 1

7 7

0 10

00

2 12

2

1 1 2 0 0 2 01 0 1 2 0 1 11 0 2 3 0 2 2

A

C

111c 112c 113c

子矩阵1 2 01 1 21 2 3

列线性无关

2rank

A IC

代入将 后可得2 2

7 7

1 11

11

0 10

0

A

1 1 2 0 0 2 01 0 1 2 0 1 11 0 2 3 0 2 2

C

121c

由于c121=0

该系统不可观测。

推论 2-14 ：（ 1 ）若当型动态方程 (A, b) 可控的充分必要条件是对应于一个特征值只有一个若当块，且向量 b 中所有与若当块最后一行相对应的元素不为零；（ 2 ）若当型动态方程 (A, c) 可观测的充分必要条件是对应于一个特征值只有一个若当块，且向量c 中所有与若当块第一列相对应的元素不为零。

2 1 0 0 02 0 0 1

,3 1 0

3 1

A b

利用 PBH 检验法，立即可知这个系统是可控的。

考虑单输入系统：例：

例 2 － 15 设有两个若当型状态方程 1 0 1

0 2 1

x x u

2

1 00 2

t

t

ee

x x u

（ 2－ 29 ）

（ 2－ 30 ）

由推论 2－ 14可知，状态方程（ 2－ 29）可控。 方程（ 2－ 30 ）是时变的，虽然 A 阵具有若当型且对所有的 t， b(t) 的各分量非零，但并不能应用推论 2－ 14来判断可控性。

事实上，由定理 2－ 4 ，对任一固定的 t0 有0 0

0 0

( )

0 2( ) 22

0( ) ( )

0

t t tt

t t tt

ee et t t

ee e

B

显然对所有 t>t0 ，矩阵 的各行线性相关，故方程（ 2－ 30 ）在任何 t0 均不可控。

0( ) ( )t t t B

习题 2-14 用若当标准形来做比较直接。首先找出全部运动模式出现在输出中的条件 ( 充要条件 ) ，将它与系统可观测的条件比较。为了简单，只用下例说明：

2, ,t t te te t e

运动模式有三个：

1 11 1

11 1

1

A

212

A

t t t

t tt

t

t t

t

e te t e

e tee e

e tee

出现在矩阵指数第一行；对应于最高阶若当块的第一行11 12 13 14 15

21 22 23 24 25

31 32 33 34 35

( ) (0)At

c c c c cy t c c c c c e x

c c c c c

当 C 的 第 一 列 为 非零向 量 时 ， 对恰当选取的x(0)， y(t) 中就包含了三个运动模式。而这一条件比要求 C 中一、四列线性无关的条件 ( 即可观测 ) 要弱。 因此，最高阶若当块对应的特征向量不在 C 的核中时 , y(t) 中就包含了这一若当块所对应的全部模式。

可观测 C 中 一 、四列线性无关C 的 第一 列 非零

所 有 模式出现

示意图如下：

若 A 阵每一个特征值只有一个若当块 (即 A 是循环矩阵 ) 时，模式全出现就和可观等价了。

关于值域、核与正交补

1. 核空间： KerA={x｜ xX Ax=0} ，这里， KerA是 A 的不变子空间，即有

X n 维线性空间 定义域 一个 m×n矩阵 A 可看作 n 维线性空间 X 到m 维线性空间 Y 的映射

Y m 维线性空间 值域 若 A 是 n×n 矩阵，可以看作 n 维空间到自身的线性变换 , A 是这一线性变换的矩阵表示。

Ker KerA A A x x

2. 值域： ImA={y｜ y Y 存在xX ， Ax=y} dim ImA=rank A ImA是 A 的列向量所张成的空间。可以表示为 ImA=span {a1 a2, …., an}

ImA 中的任一向量可以表成 A 的列向量的线性组合。 dim KerA+dim ImA=n3. 正交补： ((ImA) ={y ｜ y Y , yTA=0}

4. (Im ) KerA A T

5. A 是对称阵时有(Im ) T A KerA KerA

例题 0 1 01 0 10 1 0

A

求 KerA、 ImA , 并验证 4,5, 所表示的关系。(Im )A

Im (Im ) Im KerX A A A A