لتحضير امتحان شهادة البكالوريا14موضوع االختبار رقم تقني رياضيشعبة

نقط (03 ) :التمرين األوللكل سؤال أربعة أجوبة مقترحة أحدها- فقط – صحيح، يطلب تحديده .

.x + 3 0 + x2 [5] - في مجموعة األعداد الصحيحة، المعادلة: 1 )ب( حلولها زوجية . )أ( ال تقبل حلوال .

x 1[5] )د( حلولها تحقق x 2 [6]) جـ (حلولها تحقق .x 3 [5] أو

= 24x +34 y…(1نعتبر في مجموعة األعداد الصحيحة المعادلة التالية : ) –22 .

( .x;y(=)17k-7 ; 5-12k( من الشكل : )1 ) أ ( حلول المعادلة ) ( .x;y-(=)7k ; 5k( من الشكل : )1 ) ب ( حلول المعادلة )

( .x;y(=)34k-7 ; 5-24k( من الشكل : )1 )جـ(حلول المعادلة )( ال تقبل حلوال .1 ) د ( المـعـادلة )

3 -N : 5 في النظام ذي األساس عدد طبيعي يكتب. بالشكل : 6 يكتب في النظام ذي األساس Nالعدد

. )د( )جـ( )ب( )أ( هو :3على العدد 1432 2011- باقي القسمة اإلقليدية للعدد4

.3 )د( 2 )جـ( 1 )ب( 0 )أ( . a = n ( n + 2 ) , b = n+1 ، نضع : nمن أجل كل عدد طبيعي - 5

هو : b و a فإن القاسم المشترك األكبر للعددين a = 1 -2 b بما أن: .2 )د( 1 )جـ(n+1 )ب( n )أ(

نقط (04) التمرين الثاني : الجزءاألول:

التالية: zنعتبر في مجموعة األعداد المركبة المعادلة ذات المجهول .

(.E حل للمعادلة )2(-أ- بين أن1 ( علىE بحيث يمكن كتابة المعادلة ) ب- أوجد األعداد الحقيقية

)الشكل: z−2 )(az2+bz+c=0 )=0. ( على الشكل الجبري، ثم على الشكل األسي.E جـ- اكتب حلول المعادلة )

الجزء الثاني:.المستوي المركب منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس

zA=−2−2 ذات اللواحق: A، B، D( علم النقاط: 1 i ،zB=2 ،zD=−2+2 i..C متوازي أضالع. علم النقطة ABCD حيث C للنقطة zC( احسب الالحقة 2

85

وزاويته B بالدوران الذي مركزه C صورة E( لتكن 3−π

C صورة F، ولتكن 2

وزاويته Dبالدوران الذي مركزه π2.

على الترتيب.E، F الحقتي النقطتين: zE ،zFأ – احسب: .E، Fب – علّـم النقطتين:

( أ – تحقق أن: 4zF− zAzE−zA

=i.

.AEFب – استنتج طبيعة المثلث

نقط (06 ) التمرين الثالث: بـ : دالة عددية معرفة على المجال الجزء األول :

. . و عند 0 على يمين - أوجد نهايتي الدالة 1 ثم شكل جدول تغيراتها.-ادرس اتجاه تغير الدالة 2 .- استنتج إشارة الدالة 3

كالتالي : المعرفة على نعتبر الدالة العددية الجزء الثاني :

. في المستوي المزود بمعلم متعامد و متجانس التمثيل البياني للدالة

.:  حيث. فسر هندسيا النتيجة الثانية .0 و على يمين عند - أ- أوجد نهايتي الدالة1

. مقارب مائل للمنحني ذا المعادلة : ب- بين أن المستقيم . بالنسبة إلى جـ - ادرس الوضع النسبي للمنحني

.: ينتمي إلى -أ- تحقق أنه من أجل كل 2 على مجموعة تعريفها ، ثم شكل جدول ب – استنتج اتجاه تغير الدالة

تغيراتها . عند النقطة الذي يمس المنحني جـ- اكتب معادلة ديكارتية للمستقيم

.

. في المجال تقبل حال وحيدا - أثبت أن المعادلة: 3. و و المستقيمين- ارسم المنحني 4

86

.: ينتمي إلى نضع من أجل الجزء الثالث: . ما ذا تستنتج ؟ - احسب 1 مساحة الحيز المستوي المحدد بالمنحني- أوجد بالسنتيمتر المربع2

.وبالمستقيمات التي معادالتها: نقط (04 ) التمرين الرابع :

.الفضاء مزود بمعلم متعامد و متجانس ناظمي له، و والشعاع B(1;-2;1)( المار بالنقطة P- نعتبر المستوي )1

.x+2y-7=0( الذي معادلته: Rالمستوي )( متعامدان .R( و )P أ- بين أن المستويين )

( المار من النقطةD( هو المستقيم )R( و )P ب- برهن أن تقاطع المستويين )C(-1;4;-1) شعاع توجيه له. و

(Pوالمستويات )A(5;-2;-1) المسافات بين النقطة d1 ،d2 ، d3 جـ - احسب ( ،R( ، )D. على الترتيب ) الدالة عدد حقيقي و نعرف على t حيث M( 1+2 t ; 3-t ; t )-لتكن النقطة 2

. كما يلي: العددية أ- أثبت أن:

.ب-ادرس تغيرات الدالة .( هي D و )Aجـ- استنتج أن المسافة بين

نقط (03 ) التمرين الخامس : عدد طبيعي غير معدوم.nنفرض في ما يلي أن

-n: 1+5+9+…+(4n عدد طبيعي غير معدوم - برهن بالتراجع أنه من أجل كل13)=2n2-n.

)المعرفة على مجموعة األعداد الطبيعية غير-نعتبر المتتالية الحسابية )2المعدومة ، كما يلي:

لهذه المتتالية ثم اكتب عبارة الحد العام و الحد األول r - أوجد األساس .بداللة

.n بداللة Sn . عبر عن Sn=u1+u2+u3+…+un-نضع : 3

لتحضير امتحان شهادة14 موضوع االختبار رقم تصحيح البكالوريا

تقني رياضيشعبة نقط (03 ) التمرين األول :

-الجواب الصحيح هو )د(.1:طريقة أولى

87

x + 3-5x 0 + x2 [5]: معناه x + 3 0 + x2 [ 5]: يمكن أن نكتب x + 3 0 - 4 x2 [5]: منه x 3 [5أو ]x 1 [5 ومنه : ]0 (x-1()x-3) [5 ]: منه

: طريقة ثانية

( علىxباقي قسمة)432105

باقي قسمة )14410x25(على

باقي قسمة )02120x2+x5(على

باقي قسمة )30403x2+x+35(على

x 3 [5أو ]x 1[ 5حسب هذا الجدول فإن: ]-الجواب الصحيح هو )أ( .2

:طريقة أولى ،2( من قواسم العدد2 )و هو 34 و 24القاسم المشترك األكبر للعددين

مجموعة األعداد الصحيحة.( تقبل حلوال في 1فالمعادلة )12x + 17 y = 1 (2) تكافئ المعادلة…(1المعادلة )

17(5-12k)=204k-84+85-204k = 1(+17k-7)12و لدينا: ( انطالقا من حل خاص لها و باستعمال2: يمكن حل المعادلة )طريقة ثانية

مبرهنة غوص. ( باستعمال خواص الموافقة في مجموعة2: يمكن حل المعادلة )طريقة ثالثة

األعداد الصحيحة.-الجواب الصحيح هو)جـ(.3

و: يمكن أن نكتب: طريقة أولى.

.: طريقة ثانية )حسب الجدول أسفله( فنجد:6 في النظام ذي األساس 111نكتب العدد .

المقسومعليه

666

111

1الحاصل8

30

303الباقي- الجواب الصحيح هو )ب(.4

و منه باقي قسمة20111 3 1432 منه 20111 2011 3 1432 لدينا: .1 هو 3 على 2011 1432

- الجواب الصحيح هو )جـ(.5: طريقة أولى

88

= n و n + 1= حيث a + b = 1 بحيث: و يوجد عددان صحيحان ( n + 2 ).

=1أوليان فيما بينهما ، أي أن : b و aفحسب مبرهنة بيزو ، العددان pgcd(a,b) .

: طريقة ثانية 1 فهو يقسم a - 2 b يقسم d فإن b و a القاسم المشترك للعددين dإذا كان

.d = 1ومنه

نقط (04) حل التمرين الثاني : الجزء األول:

.( :E حل للمعادلة )2(-أ- تبيين أن 1

. لدينا: : لدينا: ب- إيجاد األعداد الحقيقية

.

منه بالمطابقة نجد : على الشكلين الجبري و األسي : جـ-كتابة حلول المعادلة

. أو تكافئ : المعادلة z2 و z1 لها حالن مترافقان مميزها: المعادلة

حيث:

هي: حلول المعادلة 2-; 2-2i ;-2+2i.)على الشكل الجبري(

.لدينا: . عدد حقيقي موجب تماما فإن: 2بما أن

يمكن أن نكتب:

.

الجزء الثاني:

zA=−2−2 ذات اللواحق:A، B، Dتعليم النقاط: (1 i ،zB=2 ،zD=−2+2 i:

89

:C متوازي أضالع، تعليم النقطة ABCD حيث C للنقطة zC( حساب الالحقة 2ABCD : و و منه : حيث : متوازي أضالع معناه

.. إذن: ، ومنه: على الترتيب:E، F الحقتي النقطتين: zE ،zF( أ –حساب: 3

. منه: لدينا:

. منه: ولدينا: :E، Fب – تعليم النقطتين:

( أ – التحقق أن: 4zF− zAzE−zA

=i:

.لدينا: : AEFب – استنتاج طبيعة المثلث

بما أن: zF− zAzE−zA

=i. فإن :

و متقايس الساقين .A قائم في ABCإذن: المثلث مالحظة: نعتذر لكم عن عدم تمكننا من رسم الشكل حسب معطيات هذا

التمرين.

نقط (06 ) حل التمرين الثالث : و الجزء األول:

: و عند 0 على يمين - أ- إيجاد نهايتي الدالة 1

فإن: و بما أن:

و بما أن: يمكن أن نكتب:

فإن:

ثم تشكيل جدول تغيراتها : -دراسة اتجاه تغير الدالة 2

معناه: . من إشارة على. إشارة

.

90

و متزايدة تماما على المجال متناقصة تماما على المجال الدالة

.حيث :- استنتاج إشارة الدالة 3

وقيمة حدية محلية صغرى عند النقطة ذات اإلحداثيين للدالة

موجبة تماما.فإن الدالة بما أن

تمثيلها البياني ، و الجزء الثاني::0 و على يمين عند - أ-إيجاد نهايتي الدالة 1

فإن: وبما أن: .حامل محور التراتيب هو مستقيم مقارب للمنحني

فإن: و بما أن:

: مقارب مائل للمنحني ذا المعادلة : ب- تبيين أن المستقيم

و هو المطلوب . : بالنسبة إلى جـ -دراسة الوضع النسبي للمنحني

. من إشارة إشارة في النقطة ذات اإلحداثيين : يقطع و فإن : من أجل

. . يقع تماما فوق و فإن : من أجل

. يقع تماما تحت و فإن: من أجل

:: ينتمي إلى -أ-التحقق أنه من أجل كل 2

. على مجموعة تعريفها ، ثم تشكيل جدولب – استنتاج اتجاه تغير الدالة

تغيراتها : متزايدة و منه : موجبة تماما على فإن موجبة تماما على بما أن

و جدول تغيراتها هو :تماما على 91

0

عند النقطة الذي يمس المنحني جـ- كتابة معادلة ديكارتية للمستقيم

و حيث هي : : معادلة

. و منه : منه :

:في المجال تقبل حال وحيدا -إثبات أن المعادلة: 3

. و لدينا:

، حسب و مستمرة و رتيبة تماما على المجال الدالة

ينتمي إلى المجال مبرهنة القيم المتوسطة ، يوجد عدد حقيقي وحيد .بحيث :

: )في الصفحة األخيرة( و والمستقيمين- رسم المنحني 4 الجزء الثالث:

: ينتمي إلى نضع من أجل ، االستنتاج: - حساب1

هي دالة أصلية. نستنتج أن الدالة. على المجال للدالة

و بالمستقيمات التي-إيجاد مساحة الحيز المستوي المحدد بالمنحني 2: معادالتها:

. و حيث:

. إذن:

92

نقط (04 ) حل التمرين الرابع : متعامدان : و -أ- تبيين أن المستويين 1

على الترتيب و و شعاعان نظميان للمستويين و .

: هو المستقيم و ب- البرهان أن تقاطع المستويين : طريقة أولى

متعامدان فإنهما متقاطعان وفق مستقيم . كي و بما أن المستويين ، يكفي أن تتحقق الشروط التالية: يكون هذا المستقيم هو

. و و و . منه: لدينا:

. منه: و لدينا: . و و لدينا:

: طريقة ثانية .ثم تمثيال وسيطيا للمستقيم نكتب معادلة ديكارتية للمستوي

وB(1;-2;1) يشمل النقطة و على الشكل: معادلة منه :

و منه : و منه :

يتعين بالجملة التالية : المستقيم ، و منه:( نجد: 1، وبالتعويض في )( نجد: 2من)

. ، ومنه : و منه :

نجد: ، و بوضع: إذن: وC(-1;4;-1)الذي يشمل النقطة شعاع توجيه للمستقيمنالحظ أن

.الموافقة لـ: : طريقة ثالثة

93

و يوازيC(-1;4;-1)يشمالن المستقيم المار من و نتحقق أن المستويين .

و يوازيC(-1;4;-1) هي تمثيل وسيطي للمستقيم المار من الجملة: .، حيث

و هو و نالحظ أن: المطلوب.

( ، )P( ، )R و )A(5;-2;-1) المسافات بين النقطة 1d ،d2 ، d3جـ - حساب D : على الترتيب )

: -أ- إثبات أن: 2 منه : لدينا : و هو و منه : و منه :

المطلوب .: ب- حساب

، تفسير هندسي للقيمة الحدية الصغرىجـ-تشكيل جدول تغيرات الدالة

:للدالة

2

وتمثل المسافة قيمة حدية محلية صغرى هي للدالة ( .Dوالمستقيم )A(5;-2;-1بين النقطة

على المستقيم)A المسقط العمودي للنقطة د-استنتاج إحداثيي النقطةD : )

. و منه: t= 2 عندما M( 1+2 t ; 3-t ; t ) هي موضع النقطة النقطة

نقط (03 ) حل التمرين الخامس :-n: 1+5+9+…+(4n عدد طبيعي غير معدوم- البرهان بالتراجع أنه من أجل كل1

3)=2n2-n ( محققة.1-)2(1)2=1 فإن المساواة: n=1من أجل

94

، ونبين صحة المساواة2n2-n(=4n-3+…+)9+5+1نفرض صحة المساواة = 2(n+1)2-(n+1) [4(n+1)-3]1+5+9+…+(4n-3). +

.2n2+3n+1(=4n-3(+)4n+1+…+)9+5+1أي نبين أن: - 1+5+9+…+(4n-3)+(4n+1)= 2n 2(= 4n-3(+)4n+1+…+)9+5+1بالفعل،

n+(4n+1)= 2n2+3n+1. :n بداللة un لهذه المتتالية ثم كتابة u1 و الحد األول r-إيجاد األساس 2

لدينا: يمكن أن نكتب:

منه بالتعويض في الجملة أعاله نجد : ( نجد1 . و بالتعويض في ) منه ( نجد 2( من )1بطرح)

. .لدينا :

:n بداللة Sn-التعبير عن 3طريقة أولى:

. طريقة ثانية:

95