Unidad 1. Números

Complejos

1.1 Definición y origen de los Números Complejos

1.1 Definición y origen de los Números Complejos

Un número complejo es un número de la forma , donde a y b son números reales y . Utilizando el sistema de números reales, no es posible realizar la raíz cuadrada de un

número negativo, por lo tanto I no debe considerarse un número real y además se le comoce como unidad imaginaria.

Podemos visualizar los números complejos en una gráfica bidimensional llamada plano complejo o de Argand. Cada número complejo tiene dos partes: una parte real, , y una parte imaginaria, , que pueden ser utilizadas como coordenadas Cartesianas para gráficar z como un punto en el plano complejo, en donde es representada por el eje horizontal y es el eje vertical.

Considere el problema de encontrar las raíces de los polinomios . Para encontrar las raíces, se utiliza la fórmula cuadrática y se obtiene

Sí , existen dos raíces reales.Sí , se obtiene una sola raíz.Sí , se introduce la unidad imaginaria . Nota: en Maple, la unidad imaginaria se representa con I mayúscula, o accediendo directamente a la paleta Common Symbols, es posible utilizar o j como unidad imaginaria.

Se tiene que si , entonces y las dos raíces de la ecuación cuadrática están dadas por

y

Encuentre las raíces de la ecuación cuadrática

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos1.2 Operaciones fundamentales con números complejos

Cuando se suman dos números complejos, el resultado se obtiene sumando las partes reales y las partes imaginarias. Esto es,

o, interpretado como puntos, se tiene:

Note que esta definición de suma es identica a la definición de suma de vectores:

Esto significa que los números complejos, cuando son tomados como vectores en el plano complejo, cumplen con la ley del paralelográmo de la suma, exactamente igual a como lo hace un vector en el plano .

1. 1.

2. 2.

La multiplicación de números complejos se define como:

Esta formula viene del uso de como un número regular al cual se le aplica la propiedad distributiva en una multiplicación normal. Por lo que se obtiene lo siguiente:

Cuando se encuentra un término , se puede aplicar la definición de la unidad imaginaria , la cual dice que .

Los resultados están lejos de ser obvios cuando se analiza utilizando la fórmula de multiplicación de números complejos descrita anteriormente. Esto es porque estamus utilizando coordenadas cartesianas. Cuando representamos números complejos en forma polar , las propiedades de la multiplicación se vuelven mas claras.

Podemos representar cualquier número complejo como

que en forma polar sería

donde y satisfacen

es el argumento del punto en el plano complejo, lo que significa que es el ángulo que el vector hace con el eje positivo real. Entonces es la magnitud del vector y es el ángulo con el eje real.En esta notación, si multiplicamos dos números complejos y obtendríamos

Recuerde, la notación representa un número complejo cuya posición en el plano complejo esta descrita por su radio y su ángulo con respecto al eje positivo real. Existe una relación entre esta notación y la función exponencial. Utilizando la formula de Euler que es

Si , entonces se define el conjugado de , denotado por , como

Si y son números complejos, entonces se cumples las siguientes propiedades básicas de la aritmética compleja:

4. 4. 5. 5.

3. 3.

es un número real si y solo si es un número real no negativo y si y solo si

EjemplosSean y . Calcule:

=

=

z$w =

Calcule el conjugado de:

=

=

=

=

Sean , , y . Calcule:

=

=

=

3. 3.

=

= 34

Sean y y si , es decir, si o , entonces la división de y esta definida como:

Ejemplos

Sea y , calcule .

=

Calcule

a C bI form

Calcule

3. 3.

a C bI form

Calcule to aCbi

EjerciciosRealice las operaciones indicadas.

Calcule el conjugado del número dado

1.3 Potencias de "i", módulo o valor absoluto de un número complejo

1.3 Potencias de "i", módulo o valor absoluto de un número complejo

3. 3.

El símbolo , por lo tanto , y así sucesivamente, por loque cualquier potencia se puede expresar por o .

Para se define la magnitud de , denotada por , como

Magnitud de Y el argumento de , denotado por , se define como el ángulo entre la recta y el lado positivodel eje tal y como se muestra en la figura. Como convensión se toma

De la siguiente figura

Se ve que

y

3. 3.

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejoDe la figura

es evidente que si , y , entonces y

Cuando los puntos en el plano complejo estan descritos utilizando coordenadas polares: , r es llamado el módulo o magnitud de z y is the argumento o fase de z.

El argumento, , mide (en radianes) el ángulo entre el eje positivo Re(z) y el segmento de recta que conecta el punto al origen.

Para regresar a la forma rectangular o cartesiana desde la forma polar, se puede utilizar la formula de Euler

En general, la forma exponencial se define como

=

Conversor de Coordenadas Cartesianas a Polares

Ejemplos

Expresar en forma polar y trazar su gráfica

2+2

3. 3.

polar form

Expresar en forma polar y trazar su gráficar= =

=

=

to polar

Expresar en forma exponencialr= =

=

=

3. 3.

to polar

EjerciciosConvierta el número complejo a su forma polar

4

6

Convierta el número complejo a su forma Cartesiana

3. 3.

Calcule el conjugado del número dado

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo

Dos números complejos y pueden dividirse y multiplicarse de la siguiente manera:

Como se puede observar, estas operaciones resultan mas sencillas realizandose de forma polar. Lo mismo ocurre con las potencias de los números complejos, que para resolver de forma relativamente sencilla, se utiliza el Teorema de De Moivre

Ejemplos

(5.1.2.1)(5.1.2.1)

(5.1.1.2)(5.1.1.2)

3. 3.

Encuentre

r= = complex argument

=

a C bI form

Encuentre

Un número es llamado una raíz n-ésima de un número complejo si , y se escribe . Utilizando el teorema de De Moivre se tiene

para .

Ejemplos

Utilizando forma polar realice la operación

complex argument complex modulus

complex argument complex modulus10

3. 3.

Sustituyendo en la formula

= =

at 5 digits

En Maple:=

expand polar form

simplify symbolic at 5 digits

Utilizando forma polar realice la operación

Encontrar las raices de

A partir de aquí se utiliza el teorema de De Moivre para obtener las raices:

Si k=0, a C bI form

at 5 digits

Si k=1, to aCbi

3. 3.

(5.2.3.1)(5.2.3.1)

at 5 digits

Si k=2, a C bI form

at 5 digits

En Maple la solución sería:

polar form a C bI form at 5 digits

polar form

simplify symbolic a C bI form

at 5 digits

polar form

simplify symbolic a C bI form

at 5 digits

Encontrar las raices de

(5.2.4.1)(5.2.4.1)

3. 3.

A partir de aquí se utiliza el teorema de De Moivre para obtener las raices:

Si k=0, a C bI form

Si k=1, a C bI form

En Maple la solución sería:

polar form a C bI form

simplify symbolic

polar form a C bI form

simplify symbolic

EjerciciosUtilizando forma polar, realice las siguientes operaciones

Calcule las raíces de los números complejos

3. 3.

1.6 Ecuaciones polinómicas1.6 Ecuaciones Polinómicas

A menudo se necesita resolver ecuaciones polinómicas de la forma

donde , son números complejos dados y es un entero positivo llamado el grado de ecuación.

Ejemplo

Resolver la ecuación De la ecuacion se tiene:

Obteniendo la raíz de

3. 3.

Si k=0, at 5 digits

Si k=1,

at 5 digits

Encontrando las raíces de la ecuación original se tiene

Ejercicios

Resuelva la ecuación cuadrática

Obteniendo la raíz de

(6.2.1.4)(6.2.1.4)

3. 3.

Si k=0

= expand

at 5 digits

assign to a name

Si k=1

= expand

at 5 digits

assign to a name

at 5 digits

(6.2.1.12)(6.2.1.12)

3. 3.

Resuelva la ecuación cuadrática