Tugas Besar Metoda Numerik

TUGAS BESAR

METODA NUMERIK

OLEH :

KELOMPOK 5

1. DIVA SEPTIAN JONES (1110952049)

2. RAMA DANIL FITRA (1110952017)

3. WAHYU PRABOWO JM (1110951009)

DOSEN :

HERU DIBYO LAKSONO,ST, MT

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS ANDALAS

PADANG

2013

1 . AKAR-AKAR PERSAMAAN

A. Metode Tertutup

1 . Metode grafik

Metode yang sederhana untuk memperoleh taksiran

atas akar persamaan f (x) = 0 adalah membuat gambar

grafik fungsi dan mengamati di mana ia memotong

sumbu x. Titik ini, yang mewakili nilai x untuk mana

f (x) = 0,

memberikan aproksimasi (hampiran) kasar dari akar.

Nilai praktis dari teknik-teknik grafis sangat

terbatas karena kurang tepat. Namun, metode grafis

dapat dimanfaakan untuk memperoleh taksiran kasar

dari akar.Taksiran-taksiran ini dapat diterapkan

sebagai terkaan

awal untuk metode numerik yang di bahas di sini dan

bab berikutnya. Misalnya perangkat lunak komputer

TOOLKIT Elektronik yang menyertai naskah ini

memperbolehkan anda untuk menggambarkan fungsi pada

suatu rentang tertentu. Gambaran ini dapat

digunakan untuk memilih terkaan yang mengurung akar

sebelum mengimplementasikan metode numerik. Pilihan

penggambaran akan sangat meningkatkan kegunaan

perangkat lunak tersebut. Selain menyediakan

terkaan kasar untuk akar, taksiran grafis merupakan

sarana yang penting untuk memahami sifat-sifat

fungsi dan mengantisipasi kesukarankesukaran yang

tersembunyi dari metodemetode numerik

SOAL

- Tentukan akar-akar nyata dari :

Dengan batas atas = 2, batas bawah = -1, selang 0,25

Penyelesaian : (oleh Wahyu Prabowo)

x = -1

x = -0,75

x = -0,5

x = -0,25

x = 0

x = 0,25

x = 0,5

x = 0,75

x = 1

x = 1,25

x = 1,5

x = 1,75

x = 2

X f(x)

-1-0,75-0,5-0,25

0 40,250,50,751

1,251,51,752

Dengan menggunakan metode grafik, nilai akar-akar yang

diperoleh adalah xr = -0,5 dengan f(x) = 3,0948

- Diketahuisebuahpersamaan dengannilai

batasbawah = -1 danbatasatas = 1, selang = 0.3


Untuk x = -1

Untuk x= -0.7

Dari

nilaidiatasditemukannilaisalahsatuakarakarpersamaan

yaitu,

X = -0.7

2. Metode Bagi Dua

Diketahui f(x) = 0 dan f(x) fungsi kontinu pada

interval [a,b]. Anggap terdapat dua angka x1 dan x2

dimana a<=x1<x2<=b sedemikian hingga f(x1) dan f(x2)

mempunyai tanda yang berbeda. Kondisi ini minimal

akan memberikan satu solusi untuk f(x)=0 pada

interval [x1,x2] (Churchhouse, 1981). Jika x1 dan x2

merupakan aproksimasi maka untuk menentukan x3

metode Bisection menggunakan :

x3 = ½(x1 + x2)

Aproksimasi dianggap cukup jika

|f(x3)| <

Jika tidak untuk menentukan aproksimasi berikutnya

menggunakan aturan sebagai berikut:

x4 = ½(x1 + x3) , jika f(x3) f(x1) <0

x4 = ½(x2 + x3) , jika f(x3) f(x2) <0

SOAL

SUMBER: http://teoriMENUM/Metode%20BagiDua%20(Bisection

%20Method)%20_%20Math%20IS%20Beautiful.htm

- Tentukan akar-akar nyata dari :

menggunakan metode bagi dua

untuk mendapatkan akar terendah, lakukan tebakan awal

dengan dengan nilai adalah 6%.

Penyelesaian : (oleh Diva Septian Jones)

http://teoriMENUM/Metode%20BagiDua%20(Bisection%20Method)%20_%20Math%20IS%20Beautiful.htm


Iterasi 1.

f(xi) x f(xr)< 0, xr = xu baru maka xr = xu baru

iterasi 2.

f(xi) x f(xr)> 0, xr = xi baru maka xr = xi baru

iterasi 3.

Karena harga εttelah kecil maka dapat dihentikan

iterasi dengan mengambil akarnya:

xr = 0.475

- Diketahui suatu persamaan : (oleh Diva Septian

Jones)

Xu = 4

Xi = 3,5

Penyelesaian :

Iterasi 1

Xu = 4

Xi = 3,5

Iterasi 2

f(Xi) = 19(3,5)4 + 26(3,5)3+5(3,5)2+ 21(3,5) + 52 =

4152,68

f(Xr) = 19(3,75)4 + 26(3,75)3+ 5(3,75)2 + 21(3,75) +

52 = 5329,48

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr = 3,75

Xu = Xu = 4

Iterasi 3

f(Xi) = 19(3,75)4 + 26(3,75)3+ 5(3,75)2 + 21(3,75) +

52 = 5329,48

f(Xr) = 19(3,875)4 + 26(3,875)3+ 5(3,875)2 +

21(3,875) + 52 = 6005,18

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr = 3,875

Xu = Xu = 4

Iterasi 4

f(Xi) = 19(3,875)4 + 26(3,875)3+ 5(3,875)2 +

21(3,875) + 52 = 6005,18

f(Xr) = 19(3,9375)4 + 26(3,9375)3+ 5(3,9375)2 +

21(3,9375) + 52 = 6366,47

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr = 3,9375

Xu = Xu = 4

Iterasi 5

f(Xi) = 19(3,9375)4 + 26(3,9375)3+ 5(3,9375)2 +

21(3,9375) + 52 = 6366,47

f(Xr) = 19(3,96875)4 + 26(3,96875)3+ 5(3,96875)2 +

21(3,968375) + 52 = 6553,17

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr = 3,96875

Xu = Xu = 4

Iterasi 6

f(Xi) = 19(3,96875)4 + 26(3,96875)3+ 5(3,96875)2 +

21(3,968375) + 52 = 6553,17

f(Xr) = 19( )4 + 26( )3+ 5( )2 + 21(

) + 52 = 6647,61

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr =

Xu = Xu = 4

Iterasi 7

f(Xi) = 19( )4 + 26( )3+ 5( )2 + 21(

) + 52 = 6647,61

f(Xr) = 19( )4 + 26( )3+ 5( )2 + 21( ) +

52 = 6694,75

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr = 3,992

Xu = Xu = 4

Akar dari persamaan tersebut adalah : Xr = 3,996

3.Metode Posisi Palsu

Pada metode Bisection konvergensi akan dicapai

dengan jumlah iterasi yang besar. Untuk itu metode

False Pisition memberikan metode untuk mencari

aproksimasi berikutnya dari dua nilai awal yang

diketahui yakni:

x3=x1f(x2 )−x2f(x1)f(x2 )−f(x1)

Sedangkan untuk menentukan x4 digunakan menggunakan

rumusan yang sama namun x1 dan x2 diganti dengan :

x3 dan x1 jika f(x3) f(x1) <0

x3 dan x2 jika f(x3) f(x2) <0

SOAL

- Tentukan akar – akar nyata dari

dengan menggunakan metode posisi palsu dengan

Penyelesaian : (oleh Rama Danil Fitra)

Iterasi 1

maka

Iterasi 2

maka

Sehingga akar f(x) adalah 0.3885.

- Diketahui persamaan :

Xi = 1

Xu = 2,5

ε = 0.5 %


Iterasi 1

Xi = 1

Xu = 2,5

Iterasi 2

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr = 1,74

Xu = Xu = 2,5

Iterasi 3

f(Xi) .f(Xr) 0

Xi = Xr = 1,766

Xu = Xu = 2,5

Iterasi 4

f(Xi) .f(Xr) < 0

Xi = Xi = 1,766

Xu = Xr = 1,777

Iterasi 5

f(Xi) .f(Xr) < 0

Xi = Xi = 1,766

Xu = Xr = 1,7675

-

B. Metode Terbuka

1. Metode Satu Titik Sederhana

Metode iterasi sederhana adalah metode yang

memisahkan x dengan sebagian x yang lain sehingga

diperoleh : x = g(x).dikenal juga sebagai metode x

= g(x)Bentuk iterasi satu titik ini dapat

dituliskan

dalam bentuk x(n+1)=g(xn) Dimana n=0,1,2,3,....

SOAL

- Diketahui fungsi yaitu .

Tentukanlah akar riil dari persamaan tersebut

dengan metode iterasi satu titik sederhana,

dimana nilai minimum adalah 5%

Penyelesaian: (oleh Wahyu Prabowo)

Iterasi pertama

Iterasi Kedua

Iterasi Ketiga

Iterasi Keempat

- Tentukan akar-akar persamaan dari

dengan menggunakan metode iterasi satu titik

sederhana. Dimana diketahui x0 = 0 dan ε = 0,5

%


Iterasi 1 : x = 0

Iterasi 2 : x= 0,333

Iterasi 3 : x= 0,1711

Iterasi ke 4 : x = 0,236


Iterai ke 6 : x = 0,22

Iterasi ke 7 : x = 2146


2. Newton Raphson

X* X2 X1 X0

f

f’(x0)

f’ (x1)

Pandang f(x) = 0 sebagai persamaan non linear,

diberikan titik (x0,y0) = (x0 , f(x0)), sehingga

didapat :

x1 x0 - (

1slope

) y0 = x0 -

f(x0)f'(x0 )

Gambar 2.1

Ilustrasi proses iterasi pada Metode Newton

Pada setiap level iterasi m dilakukan apoksimasi

grafik f di dekat xm dengan garis lurus yang

melalui titik (xm , f(xm)) dan mempunyai slope

f’(xm). Sedangkan xm+1 := xm - f(xm)f'(xm) dari

aproksimasi fungsi tersebut menjadi nilai untuk

iterasi berikutnya.

SOAL

-Tentukan akar-akar dari dengan

menggunakan metode newton raphson dimana, tebakan

awal dan


dan

Iterasi 1

Iterasi 2

Iterasi 3

Iterasi 4

Iteras

i

Xi

0 3.6 -1 3.227 0.1152 3.05 0.0583 2.995 0.01854 3 0.00167

Dari table dapat dilihat bahwa nilai kesalahan ( )

telah kecil dari yang ditentukan, maka didapat akar

dari persamaan adalah 3

-Tentukan akar-akar nyata dari persamaan berikut, f(x)

= -0.9x2 + 1.7x + 2.5 !

Penyelesaian: (oleh Diva Septian Jones)

Dimana Tebakan awal x0 = 3.1 dan ε = 0.01

xr+1=xr−f(x)f'(x)

ε=|xr+1−xrxr+1

|×100%

Iterasi 1

f'(x)=−1.8x+1.7

f(3.1)=(−0.9⋅3.12 )+(1.7⋅3.1)+2.5=−0.879f'(3.1)=(−1.8⋅3.1)+1.7=−3.88

xr+1=3.1−(−0.879−3.88 ) ε1=|2.8735−3.1

2.8735|=0.0788

=3.1−0.2265

=2.8735

Iterasi 2

f(2.8735 )=(−0.9⋅2.87352)+(1.7⋅2.8735 )+2.5=−0.0464

f'(2.8735 )=(−1.8⋅2.8735)+1.7=−3.4723

xr+1=2.8735−(−0.0464−3.4723) ε2=|

2.8601−2.87352.8601

|=0.00469

=2.8735−0.0134

=2.8601

Karena harga kesalahan (ε) nya telah kecil dari yang

ditentukan maka proses iterasi berhenti, dan didapatkan

akarnya:

xr+1 = 2.8601

3.MetodeSecant

Hambatan utama dari pemakaian metode Newton adalah

diperlukannya turunan pertama (differensial) dari

f(x) dalam perhitungan. Kadang-kadang sulit untuk

mendeferensialkan persamaan yang diselesaikan.

Untuk itu maka bentuk diferensial didekati dengan

nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda

hingga.

Dalam pembahasan berikut kita dapat menggunakan

metode Secant ,

diperbandingkan Gambar.3.3 dengan Gambar.3.2 , akan

terlihat bahwa tangen di P dalam Gambar.3.2

ditempatkan lagi dalam Gambar.3.3 dengan

menghubungkan dua titik P dan Q. Jika P dan Q

semakin dekat keduanya, maka garis akan berbeda

sedikit dari tangennya. Sebenarnya, P dan Q

adalah titik-titik dengan koordinat (xr , f(xr)) dan

(xr-1 , f(xr-1)). Garis yang menghubungkan P dan Q

memotong sumbu x di titik T, memberikan pendekatan

berikutnya xr+1 dengan segitiga yang sama ;

Dengan demikian :

xr+1 = xr -TM = xr - { } f (xr)

(3.4)

Ini merupakan rumusan dasar untuk metoda Secant.

Disini membutuhkan dua nilai awal x0 , x1 untuk

memulai prosesnya.

SOAL

- Diketahui Persamaan ,

tentukanlah akar persamaan tersebut dengan metodesecant

dimana nilai minimal adalah 5%. Nilai tebakn awal

adalah .


Dari persamaan dapat ditentukan:

Iterasi Pertama

Iterasi kedua

Karena nilai telah lebih kkecil dari 5%, maka, akar

riil adri persamaan adalah 2.622

- Tentukan akar-akar dari dengan

menggunakan metode secant dimana, tebakan awal

, , dan


dan

Iterasi 1

Iterasi 2

Iterasi 3

iter

asi1 2.9 3.1 3.04 0.062 3.1 3.04 3.049 0.0090273 3.04 3.04

9

3.049094 0.000094

1Dari table dapat dilihat bahwa nilai kesalahan ( )

telah kecil dari yang ditentukan, maka didapat akar

dari persamaan adalah 3.049049

SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINEAR

A. Metode Eliminasi Gauss

Hambatan utama dari pemakaian metode Newton adalah

diperlukannya turunan pertama (differensial) dari

f(x) dalam perhitungan. Kadang-kadang sulit untuk

mendeferensialkan persamaan yang diselesaikan.

Untuk itu maka bentuk diferensial didekati dengan

nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda

hingga.

Dalam pembahasan berikut kita dapat menggunakan

metode Secant ,

diperbandingkan Gambar.3.3 dengan Gambar.3.2 , akan

terlihat bahwa tangen di P dalam Gambar.3.2

ditempatkan lagi dalam Gambar.3.3 dengan

menghubungkan dua titik P dan Q. Jika P dan Q

semakin dekat keduanya, maka garis akan berbeda

sedikit dari tangennya. Sebenarnya, P dan Q

adalah titik-titik dengan koordinat (xr , f(xr)) dan

(xr-1 , f(xr-1)). Garis yang menghubungkan P dan Q

memotong sumbu x di titik T, memberikan pendekatan

berikutnya xr+1 dengan segitiga yang sama ;

Dengan demikian :

xr+1 = xr -TM = xr - { } f (xr)

(3.4)

Ini merupakan rumusan dasar untuk metoda Secant.

Disini membutuhkan dua nilai awal x0 , x1 untuk

memulai prosesnya.

SOAL

- Tentukanlah nilai dari persamaan

berikut ini dengan menggunakan metode gauss

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 6 20 2010 22 5 602 20 15 100

x x xx x x

x x x


untuk membuat 10 menjadi 0

maka dibuat pengali =5

menjadikan 2 pada sudut kiri

bawah, maka dibuat pengali =-1

jadikan kolom 2 baris ke 3 =0

Maka didapatkan nilai :

Jadi , didapatkan hasil yaitu :

- Diketahui sistem persamaan linier sebagai

berikut.

2x + 4y - 2z = 12

x + 5y + 3z = 8

-3x + y + 3z = -4


matriks augmentasi :

[ 2 41 5

−3 1

−2 123 83 −4]

Kalikan baris pertama dengan 0.5

a11'=a11x0,5

= 2 x 0,5 = 1

a12'=a12x0,5

= 4 x 0,5 = 2

a13'=a13x0,5

= -2 x 0,5 = -1

b1'=b1x0,5

= 12 x 0,5 = 6

[ 1 21 5

−3 1

−1 63 83 −4]

Tambahkan baris kedua dengan (-1) kali baris

pertama

a21'=a21+(−1)a11

= 1 + (-1)1 = 0

a22'=a22+(−1)a12

= 5 + (-1)2 = 3

a23'=a23+(−1)a13

= 3 + (-1)(-1) = 4

b2'=b2+(−1 )b1

= 8 + (-1)6 = 2

[ 1 20 3

−3 1

−1 64 23 −4]

Tambahkan baris ketiga dengan 3 kali baris pertama

a31'=a31+3.a11

= -3 + 3.1 = 0

a32'=a32+3.a12

= 1 + 3.2 = 7

a33'=a33+3.a13

= 3 + 3.(-1) = 0

b3'=b3+3.b1

= -4 + 3.6 = 14

[1 20 30 7

−1 64 20 14]

Kalikan baris kedua dengan 1/3

a21'=

13a21

¿13.0=0

a22'=1

3a22

¿13.3=1

a23'=

13a23

¿13.4=1.33

b2'=

13b2

¿13.2=0.67

[1 20 10 7

−1 61.33 0.670 14 ]

Tambahkan baris pertama dengan (-2) kali baris

kedua

a11'=a11+(−2).a21

= 1 + (-2).0 = 1

a12'=a12+(−2).a22

= 2 + (-2).1 = 0

a13'=a13+(−2).a2

= -1 + (-2).1.33 = -3.67

b1'=b1+(−2).b2

= 6 + (-2).0.67 = 4.67

[1 00 10 7

−3.67 4.671.33 0.670 14 ]

Tambahkan baris ketiga dengan (-7) kali baris

kedua

a31'=a31+(−7).a21

= 0 + (-7).0 = 0

a32'=a32+(−7).a22

= 7 + (-7).1 = 0

a33'=a33+(−7).a23

= 0 + (-7).1,33 = -9,33

b3'=b3+(−7).b2

= 14 + (-7).0,67 = 9,33

[1 00 10 0

−0.36 4.671.33 0.67

−9.33 9.33 ] Kalikan baris ketiga dengan -1/9.33

a31'= −1

9,33a31

¿−1

9.333.0=0

a32'= −1

9,33a32

¿−1

9.333.0=0

a33'=

−19,33

a33

¿− 19.333

.−9,33=1

b3'=

−19,33

b3

¿−1

9.333.9,33=−1

[1 00 10 0

−.367 4.671.33 0.671 −1 ]

Dari matrix diatas, didapat persamaan sebagai

berikut :

x−3,67z=4,67

y+1,33z=0,67

z=−1

x=4,67+3,67 (−1)

x=1

y=0,67−1,33 (−1 )=2

Jadi, nilai x = 1, y = 2 dan z = -1

clcclear allclose all%disp('Matrik A')A = [2 4 -2;1 5 3;-3 1 3]%disp('Matrik b')b = [12 ; 8 ; -4]%n = size(A,1);A = [A,b];%for i = 1:n-1p = i;for j = i+1:nif abs(A(j,i)) > abs(A(i,i))U = A(i,:);A(i,:) = A(j,:);A(j,:) = U;endendwhile A(p,i) == 0 & p <= np = p+1;endif p == n+1disp('Tidak Ada Solusi Unik');break elseif p ~= iT = A(i,:);A(i,:) = A(p,:);A(p,:) = T;endendfor j = i+1:nm = A(j,i)/A(i,i);for k = i+1:n+1A(j,k) = A(j,k) -m*A(i,k);endendend%if A(n,n) == 0disp('Tiddak Ada Solusi Unik');returnend%x(n) = A(n,n+1)/A(n,n);

for i = n - 1:-1:1sumax = 0;for j = i +1:nsumax = sumax + A(i,j)*x(j);endx(i) = (A(i,n+1) - sumax)/A(i,i);enddisp('Nilai x:')X1 = x'

Matrik A

A =

2 4 -2

1 5 3

-3 1 3

Matrik b

b =

12

8

-4

Nilai x:

X1 =

1.0000

2.0000

-1.0000

B. Gauss Jordan

Metode lain untuk menyelesaikan sistim persamaan

linier adalah dengan metode Gauss-Jordan, metode

ini merupakan variasi dari metode eliminasi Gauss,

tetapi dalam metode Gauss Jordan ini menghasilkan

matrix kesatuan sehingga tidak perlu penerapan back

subtitusion untuk menyelesaikannya.

Prinsip eliminasi Gauss-Jordan :

sehingga : x1 = b’1

x2 = b’2

x3 = b’3

Didalam metode ini dipilih secara berurutan setiap

baris sebagai baris pivot, dengan pivotnya adalah

elemen pertama yang tidak nol dari baris tersebut.

Contoh :

3 x1 - 0,1 x2 - 0,2 x3 = 7,85

0,1 x1 + 7 x2 - 0,3 x3 = -19,3

(4.18)

0,3 x1 - 0,2 x2 + 10 x3 = 71,4

dalam bentuk matrix :

Tahap 1. Baris pertama dibagi dengan elemen pivot

a11 yaitu 3 .

Tahap 2. Suku x1 pada baris kedua dan ketiga

dieliminasi menjadi nol

Tahap 3. Baris kedua dibagi dengan elemen pivot a22

yaitu 7,0333.

Tahap 4. Mereduksi suku-suku x2 dari baris kesatu

dan ketiga.

Tahap 5. Baris ketiga dinormalkan dengan cara

membagi dengan elemen pivot a33 yaitu 10,0120

Tahap 6. mereduksi suku-suku x3 dari baris pertama

dan kedua

Maka hasilnya :

x1 = 3

x2 = -2,5

x3 = 7

SOAL

SUMBER:

http://asimtot.files.wordpress.com/2010/06/sistem-

persamaan-aljabar-linear-metode-gauss-jordan.pdf

- Selesaikan sistem persamaan berikut dengan

metode Gauss-Jordan: 3x + y – z = 54

x + 7y – 3z = 20 2x – 2y + 5z = 10


Sistem persamaan diatas ditulis dalam bentuk matriks

sebagai berikut:

Baris pertama dari persamaan (c2) dibagi dengan

elemen pertama dari persamaan (c1.a) yaitu 3,

sehingga persamaan menjadi:

Pertama membuat nilai dari kolom dan baris satu

bernilai 1. Sehingga,

Lalu, kedua dari kolom kedua bernilai 0 menjadi,

http://asimtot.files.wordpress.com/2010/06/sistem-persamaan-aljabar-linear-metode-gauss-jordan.pdf


Lalu baris ke tiga kolom pertama dijadikan 0,

Lalu baris kedua dan pertama kolom ke dua. Sehingga,

Selanjudnya menjadikan baris ketiga kolom ketiga

bernilai 1,

Dan yang terakhir untuk kolom tiga baris satu dan

dua,

Dari sistem persamaan diatas, didapat nilai x, y dan

z berikut ini:

x = 1,5061; y = 3,1324 dan z = 2,6505

Hasil simulasi MATLAB

clcclear allclose all%disp('Matrik A')A = [3 1 -1;1 7 -3;2 -2 5]%disp('Matrik b')b = [54 ; 20 ; 10]%disp('Matrik Diperluas')C = [A b]%disp('Nilai x')x = rref(C)

Matrik A

A =

3 1 -1

4 7 -3

2 -2 5

Matrik b

b =

5

20

10

Matrik Diperluas

C =

3 1 -1 5

4 7 -3 20

2 -2 5 10

Nilai x

x =

1.0000 0 0 1.5060

0 1.0000 0 3.1325

0 0 1.0000 2.6506

SUMBER:



- Selesaikan persamaan berikut dengan metode

Eleminasi Gauss-Jordan!


Matrik dari persamaan diatas :



Maka :

clcclear allclose all%disp('Matrik A')A = [-2 1 7;10 2 0.8;-3 4 -1]%disp('Matrik b')b = [0.5 ; 3 ; 6]%disp('Matrik Diperluas')C = [A b]%disp('Nilai x')x = rref(C)

Matrik A

A =

-2.0000 1.0000 7.0000

10.0000 2.0000 0.8000

-3.5000 4.0000 -1.0000

Matrik b

b =

0.5000

3.0000

6.0000

Matrik Diperluas

C =

-2.0000 1.0000 7.0000 0.5000

10.0000 2.0000 0.8000 3.0000

-3.5000 4.0000 -1.0000 6.0000

Nilai x

x =

1.0000 0 0 0.0150

0 1.0000 0 1.4792

0 0 1.0000 -0.1356

C. Gauss Seidel

Suatu sistem persamaan linier terdiri atas

sejumlah berhingga persamaan linear dalam sejumlah

berhingga variabel. Menyelesaikan suatu sistem

persamaan linier adalah mencari nilai-nilai

variabel yang belum diketahui yang memenuhi semua

persamaan linier yang diberikan.

Rumus iterasi untuk hampiran ke-k pada metode

iterasi Gauss-Seidel adalah sebagai berikut.

Untuk i = 1, 2, …, n dan k = 1, 2, 3, …,

SOAL

SUMBER:

http://syaifulhamzah.files.wordpress.com/2012/12/soal-

latihan-persiapan-uas-metode-numerik.pdf

http://syaifulhamzah.files.wordpress.com/2012/12/soal-latihan-persiapan-uas-metode-numerik.pdf


Selesaikanlah persamaan berikut dengan menggunaan

metode gauss seidel, dimana nilai adalah 2%


Bentuk matrik :

Asumsikan :

Iterasi 1

Iterasi 2

Persentasi errornya :

Blum berada di bawah 2 %.

Iterasi 3


Belum berada di bawah 2 %.

Iterasi 4


Belum berada di bawah 2 %.

Iterasi 5


Belum berada di bawah 2%.

Iterasi 6


Karena harga telah telah berada di bawah 2 %

maka,

Matrik A

A =

12 3 -5

1 5 3

3 7 13

Matrik b

C =

1

28

76

Proses Iterasi

K =

1.0000 0.0833 5.5833 2.8205

2.0000 -0.1373 3.9351 3.7589

3.0000 0.6658 3.2115 3.9632

4.0000 0.9318 3.0357 3.9965

5.0000 0.9896 3.0042 4.0002

6.0000 0.9990 3.0001 4.0002

7.0000 1.0000 2.9999 4.0000

8.0000 1.0000 3.0000 4.0000

Jumlah Iterasi : 8

Tingkat Presisi :

Error_eval =

1.0e-004 *

0.0368

0.7135

0.3927

Nilai X

X =

1.0000

3.0000

4.0000

>>

SUMBER:



- selesaikan Sistem Persamaan Linear berikut

dengan metoda gauss seidel :


Sistem Persamaan Linear diatas dapat ditulis ulang dlm

bentuk:

4x1 – x2 + x4 = 100 (a)

-x1 + 4x2 – x3 + x5 = 100 (b)

-x2 + 4x3 - x4 = 100 (c)

x1 – x3 + 4x4 - x5 = 100 (d)

x2 - x4 + 4x5 =100 (e)

Sehingga dapat ditulis untuk menyelesaikan masing-

masing variabel x: 424

15

53141

4

4241

3

53141

2

4241

1

100100100100100

xxxxxxx

xxxxxxx

xxx

[ 4 −1 0 1 0−1 4 −1 0 10 −1 4 −1 01 0 −1 4 −10 1 0 −1 4

] [x1x2x3x4x5

]=[100100100100100

]



Misalnya diambil tebakan awal x(0)T = (0 0 0 0 0)

Tingkat ketelitian yang diinginkan sampai 0,000001

(toleransi konvergensi)

Iterasi I

Masukkan nilai tebakan awal ini ke pers (f):

Iterasi 2

Masukkan hasil iterasi 1 ke pers (f), Hasil utk iterasi

2 dst seperti tabel berikut :

Iterasi x1 x2 x3 x4 x5

x1=14 (100+0−0 )=25

x2=14 (100+25+0−0)=31,25

x3=14 (100+31,25+0 )=32,8125

x4=14 (100−25+32,8125+0 )=26,953125

x5=14 (100−31,25+26,953125)=23,925781

(k)

2 26,07421

9

33,7402

34

40,17334

0

34,5062

26

25,19149

8

3 24,80850

2

34,9475

86

42,36345

3

35,6866

12

25,18475

7

: : : : : :

14 25,00000

1

35,7142

86

42,85714

3

35,7142

85

25,00000

0

15 25,00000

0

35,7142

86

42,85714

3

35,7142

85

25,00000

0

Perhitungan konvergen sampai iterasi ke 15, karena beda

nilai xi masing-masingnya ≤ 0,000001

C.Metoda Inversi

Δx1=|x1(15 )−x1

(14 )|=25,000000−25,000001=0,000001Δx2=|x2

(15 )−x2(14 )|=35,714286−35,714286=0

Δx3=|x3(15 )−x3

(14 )|=0Δx4=|x4

(15)−x4(14 )|=0,000001

Δx5=|x5(15 )−x5

(14 )|=0

Jika A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa

sehingga A B = B A = I maka B disebut

balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A-

1 (B sama dengan Ivers dari A)Matriks B juga mempunyai

invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B-1 jika

tidak ditemukan matriks B maka A dikatakan matriks

tunggal (singular) jika matriks B dan C adalah invers

dari A maka B = C

Apabila A dan B matriks seordo dan memiliki

balikan maka AB dapat diinver dan (AB)-1 = B-1

A-1

SOAL

SUMBER:






x =

x1=-0,356(23,4) + 0,34(37,8) + 0,208(61,7) = 17,35

x2 = 0,17(23,4) + 0,079(37,8) + 0,018(61,7) = 8,0748

x3 = -0,468(23,4) - 0,44(37,8) - 0,79(61,7) = -

76,3262

- Tentukanlah x1,x2,x3 dari persamaan di bawah

ini dengan menggunakan metode inverse.


Dibagi 2 baris pertama

Dikali 1

Dikali -3

Dibagi baris ke-2

Dikali

Dibagi -4 baris ke-3

Dikali 2/11

Dikali -4

Dikali

Sehingga untuk mencari nilai x maka digunakan

rumus :

Jadi diperolehlah nilai dari akar- akar x ;

D.Dekomposisi LU

1. Metode crout

Crout mentransformasikan koefisien matriks A,

menjadi hasil dari dua matriks, L dan U, di

mana U memiliki satu pada diagonal utamanya.

Teknik ini berbeda dari metode bagian

sebelumnya di mana L memiliki satu pada

diagonalnya. Sebelumnya kami telah melihat

bahwa sebuah matriks yang telah mengalami

triangularisasi dan dikombinasikan dengan

matriks segitita bawah membentuk sebuah

pasangan LU. Tetapi pasangan LU mengambil

banyak bentuk lain.Pada kenyataannya, matriks

tertentu yang memiliki semua elemen diagonal

nonzero bisa ditulis sebagai sebuah hasil dari

matriks segitiga bawah dan matriks segitiga

atas dengan cara tak terhingga.

Dari keseluruhan susunan LU yang hasilnya

sama dengan matriks A, pada metode Crout

dipilih pasangan di mana U hanya memiliki

satu pada diagonalnya, seperti pada pasangan

pertama di atas.Didapatkan aturan untuk

dekomposisi LU semacam itu dari hubungan

tertentu sehingga LU = A. Pada kasus matriks 4

x 4:

Dengan mengalikan baris L pada kolom pertama

U, kita dapatkan

SOAL

-Tentukan nilai masing-masing komponen berikut dengan

metode Dekomposisi LU Crout.


Dapat ditentukan matrik yaitu

Sifat dari dekomposisi LU adalah :

Sehingga dapat ditentukan:

Sehingga Matrik dekomposisi LU adalah

Sifat untuk matrik L adalah :

Untuk menentukan nilai komponen matrik x maka

digunakan sifat:

Jadi, nilai masing- masing komponen x dari persaman

diatas adalah

clcclear allclose all%disp('Matrik A')A = [2 -5 1;-1 3 -1;3 -4 2]%disp('Vektor B')B = [12 ; -8 ; 16]%%%%%%%% Inputs %%%%%%%%% A : state matrix% B : input vector%%%%%%%% Outputs %%%%%%%%% x_soln : solution vector to U*x_soln=xstar_soln% xstar_soln: solution vector to L*xstar_soln=b% L : Lower triangular matrix% U : Upper triangular matrix%n=rank (A);% Initialize L and U matrixL=zeros (n);U=eye (n);for s=1:nj=s;for i=j:nL(i,j)=A(i,j)-L(i,1:(j-1))*U(1:(j-1),j);endi=s;U(i,i)=1;for j=i+1:nU(i,j)=(A(i,j)-L(i,1:(i-1))*U(1:(i-1),j))/(L(i,i));endend%disp(' ')disp('Periksa Matrik A')check=int8 (L*U)if check==Adisp(sprintf ('Matrik L*U=A Benar'))elsedisp(sprintf ('Ada Kesalahan'))end%xstar_soln(n)=0;xstar_soln=xstar_soln';xstar_soln(1)=B(1)/L(1,1);for i=2:nxstar_soln(i)=(B(i,1)-L(i,1:i-1)*xstar_soln(1:i-1))/L(i,i);end

%x_soln(n)=0;x_soln=x_soln';x_soln(n)=xstar_soln(n);i=n-1;%while i>0x_soln(i)=xstar_soln(i)-U(i,i+1:n)*x_soln(i+1:n);i=i-1;enddisp(' ')disp('Matrik Segitiga Bawah')Ldisp('Matrik Segitiga Atas')Udisp('Nilai x')x=x_soln

Matrik A

A =

2 -5 1

-1 3 -1

3 -4 2

Vektor B

B =

12

-8

16

Periksa Matrik A

check =

2 -5 1

-1 3 -1

3 -4 2

Matrik L*U=A Benar

Matrik Segitiga Bawah

L =

2.0000 0 0

-1.0000 0.5000 0

3.0000 3.5000 4.0000

Matrik Segitiga Atas

U =

1.0000 -2.5000 0.5000

0 1.0000 -1.0000

0 0 1.0000

Nilai x

x =

2

-1

3

- Tentukan x1,x2,x3 dengan menggunakan metode

dekomposisi LU dengan metode Crout dari

persamaan berikut ini;


L. U = A

Sehingga didapat nilai matrik L dan matrik U

adalah sebagai berikut.

Untuk menentukan nilai y ,

Sedangkan untuk menentukan nilai akar – akar nya

(x) ;

Sehingga diperoleh nilai akar akarnya ,

clcclear allclose all%disp('Matrik A')A = [2 -5 4;1 7 5;3 2 -1]%disp('Vektor B')B = [20 ; 15 ; 30]%%%%%%%% Inputs %%%%%%%%% A : state matrix% B : input vector%%%%%%%% Outputs %%%%%%%%% x_soln : solution vector to U*x_soln=xstar_soln% xstar_soln: solution vector to L*xstar_soln=b

% L : Lower triangular matrix% U : Upper triangular matrix%n=rank (A);% Initialize L and U matrixL=zeros (n);U=eye (n);for s=1:nj=s;for i=j:nL(i,j)=A(i,j)-L(i,1:(j-1))*U(1:(j-1),j);endi=s;U(i,i)=1;for j=i+1:nU(i,j)=(A(i,j)-L(i,1:(i-1))*U(1:(i-1),j))/(L(i,i));endend%disp(' ')disp('Periksa Matrik A')check=int8 (L*U)if check==Adisp(sprintf ('Matrik L*U=A Benar'))elsedisp(sprintf ('Ada Kesalahan'))end%xstar_soln(n)=0;xstar_soln=xstar_soln';xstar_soln(1)=B(1)/L(1,1);for i=2:nxstar_soln(i)=(B(i,1)-L(i,1:i-1)*xstar_soln(1:i-1))/L(i,i);end%x_soln(n)=0;x_soln=x_soln';x_soln(n)=xstar_soln(n);i=n-1;%while i>0x_soln(i)=xstar_soln(i)-U(i,i+1:n)*x_soln(i+1:n);i=i-1;enddisp(' ')disp('Matrik Segitiga Bawah')Ldisp('Matrik Segitiga Atas')U

disp('Nilai x')x=x_soln

Matrik A

A =

2 -5 4

1 7 5

3 2 -1

Vektor B

B =

20

15

30

Periksa Matrik A

check =

2 -5 4

1 7 5

3 2 -1

Matrik L*U=A Benar


L =

2.0000 0 0

1.0000 9.5000 0

3.0000 9.5000 -10.0000


U =

1.0000 -2.5000 2.0000

0 1.0000 0.3158

0 0 1.0000

Nilai x

x =

12.71

0.684

-0.5

>>

2. Metode Doo-little

Algoritma Doolittle adalah sebagai berikut:

0. Langkah awal: k : = 1,

untuk j = 1, 2, ..., n, kerjakan

u1j : = a1j

j1 : = aj1/u11

1. Untuk langkah k = 2, 3, ... (n-1), kerjakan

:

Untuk j = k, k+1, k+2, ... , n, kerjakan:

ukj : = akj-

jk : = (ajk - ) /ukk

Langkah terakhir, k = n, kerjakan:

unn: = ann -

Untuk mendemonstrasikan kebenaran algoritma ini,

tinjaulah relasi A = LU. Kalikan vektor baris

dengan ruas kiri dan kanan tanda =, lalu hasilnya

kalikan dengan vektor kolomej.

Ruas kiri tanda = adalah akj, sedang ruas kanan

adalah

Sesudah digabungkan kembali dan ditata letaknya,

karena kk = 1, diperoleh

yang merupakan rumus untuk menghitung elemen-elemen

baris k dari U.

Rumus untuk menghitung elemen-elemen kolom k dari

matrix L dapat dijabarkan pula. Untuk sembarang

elemen pada baris I,

SOAL

Diketahui persamaan berikut:

Tentukanlah nilai-nilai dari dengan metode

dekomposisi LU Doolittle


Dari persamaan dapat ditentukan :

Sehingga didapatkan matrik LU:

%clcclearclc%A=[7 2 -5;1 5 -3;2 -1 -9]%[m,n]=size(A);if m~=ndisp('Matrix Harus Bujursangkar')beepbreakendU=zeros(m);L=zeros(m);for j=1:mL(j,j)=1;endfor j=1:mU(1,j)=A(1,j);endfor i=2:mfor j=1:mfor k=1:i-1s1=0;if k==1s1=0;elsefor p=1:k-1s1=s1+L(i,p)*U(p,k);endendL(i,k)=(A(i,k)-s1)/U(k,k);endfor k=i:m

s2=0for p=1:i-1s2=s2+L(i,p)*U(p,k);endU(i,k)=A(i,k)-s2;endendenddisp('Matrik Dekomposisi')Adisp('Matrik Segitiga Bawah')Ldisp('Matrik Segitiga Atas')U

A =

7 2 -5

1 5 -3

2 -1 -9

s2 =

0

s2 =

0

s2 =

0

s2 =

0

s2 =

0

s2 =

0

s2 =

0

s2 =

0

s2 =

0

Matrik Dekomposisi

A =

7 2 -5

1 5 -3

2 -1 -9


L =

1.0000 0 0

0.1429 1.0000 0

0.2857 -0.3333 1.0000


U =

7.0000 2.0000 -5.0000

0 4.7143 -2.2857

0 0 -8.3333

>>

Dimana diketahui persamaan bahwa :

Untuk menentukan nilai dari komponen x adalah :

Jadi nilai masing-masing komponen x dari persamaan

diatas adalah

- Tentukan nilai x1,x2,x3 dengan metoda

dekomposisi L.U doolite


Untuk menentuka nilai x nya maka :

Sehingga diperoleh lah :

Sedangkan untuk mencari nilai dari akar – akar

x :

Sehingga diperolehlah nilai akar-akar x sebagai

berikut :

3.Metode Cholensky

Pada aljabar linear segitiga cholensky diubah dari

hermitian ,matrik pembagi yan positif ke

suatu hasil berupa matrik segitiga dan memiliki

hubungan trnasponse,hal ini ditemukan oleh Andre Louis

Choleky untuk matrik yang real,Ketika digunakan

metoda cholensky 2 kali lebih efisien dari pada metode

LU untuk menyelesaikan system persamaan aljabar

linier.

SOAL

- Tentukan Nilai Matrik A dengan dekomposisi

cholensky


ljj=√ajj−∑k=1

j−1ljk2

lij=aij−∑

k=1

j−1lik ljk

ljj; untuk i>j

- Tentukanlan nilai dari persamaan

dibawah ini dengan menggunakan metode

chollensky.


Jadi, nilai yaitu :

PENCOCOKAN KURVA

A.Regresi Kuadrat Terkecil

1. Regresi Linier

- Berikut adalah data Biaya Promosi dan Volume

Penjualan PT BIMOIL perusahaan Minyak Goreng

Tahu

n

x

Biaya

Promosi

(Juta

Rupiah)

y

Volume

Penjualan

(Ratusan

Juta

Liter)

xy x² y²

1992 2 5 10 4 25 1993 4 6 24 16 36 1994 5 8 40 25 64 1995 7 10 70 49 100 1996 8 11 88 64 121 Σ Σx = 26 Σy = 40 Σxy =

232

Σx²

=158

Σy² =

346


bentuk umum persaman regresi linier sederhana :

Y = a + b X, n = 5

Y = a + b x → Y = 2.5244 + 1.053 x

- Diketahui data penjualan iklan adalah sebagai

berikut :

Biaya periklanan (x) Tingkat penjualan

(y)

50 40

51 46

52 44

53 55

54 49

Tentukan persamaan regresinya !


Persamaaan Regresi :

Dimana

No X Y x.y

1 50 40 2000 2500 16002 51 46 2346 2601 21163 52 44 2288 2704 19364 53 55 2915 2809 30255 54 49 2646 2916 2401

260 234 12195 13530 11078

Maka dari persamaan didapatkan persamaan regresi yaitu:

2. Regresi Polinomial

- Berikut adalah data Volume Penjualan (juta

unit) Mobil dihubungkan dengan variabel biaya

promosi (X1 dalam juta rupiah/tahun) dan

variabel biaya penambahan asesoris (X2 dalam

ratusan ribu rupiah/unit).

x1 x2 y x1

x2

x1y x2y x1² x2² y²

2 3 4 6 8 12 4 9 16 3 4 5 12 15 20 9 16 25 5 6 8 30 40 48 25 36 64 6 8 10 48 60 80 36 64 1007 9 11 63 77 99 49 81 1218 10 12 80 96 120 64 100 144xΣ

1

=3

1

xΣ2

=

40

yΣ

=50

xxΣ12

=239

xyΣ1

=

296

xyΣ2

=

379

xΣ12

=

187

xΣ22

=

306

yΣ2

=

470


Tetapkan Persamaan Regresi Linier Berganda = a + b1

X1 + b2 X2 , n = 6

Masukkan notasi-notasi ini dalam ketiga persamaan

normal,

Sehingga didapatkan tiga persamaan berikut:

(i) 6a + 31 b1 + 40 b2 = 50

(ii) 31 a + 187 b1 + 239 b2 = 296

(iii) 40 a + 239 b1 + 306 b2 = 379

Lakukan Eliminasi, untuk menghilangkan (a)

Lalu:

Selanjutnya, eliminasi (b1) dan dapatkan nilai (b2)

Dapatkan Nilai (b1) dan nilai (a) dengan melakukan

substitusi, sehingga:

(v) 194 b1 + 236 b2 = 274

Perhatikan b2 = 0.75

(i) 6a + 31 b1 + 40 b2 = 50

Perhatikan b1 = 0.50 dan b2 = 0.75

Sehingga Persamaan Regresi Berganda:

a + b1 X1 + b2 X2 dapat ditulis sebagai

0.75 + 0.50 X1 + 0.75X2

- Seorang manajer pemasaran diberikan data

promosi dan harga berpengaruh terhadap

keputusan konsumen membeli produknya.Datanya

sebagai berikut

No

Promosi

(X1)

Harga(X

2)

Keputusan

Konsumen (Y)

1 10 7 23

2 2 3 73 4 2 154 6 4 175 8 6 236 7 5 227 4 3 108 6 3 149 7 4 2010 6 3 19Jumla

h 60 40 170Tentukan persamaan regresi linear ganda dari data

diatas.


Tabel pembantu

No X1 X2 Y X1Y X2Y X1X2

1 10 7 23 230 161 70 100 492 2 3 7 14 21 6 4 93 4 2 15 60 30 8 16 44 6 4 17 102 68 24 36 165 8 6 23 184 138 48 64 366 7 5 22 154 110 35 49 257 4 3 10 40 30 12 16 98 6 3 14 84 42 18 36 99 7 4 20 140 80 28 49 1610 6 3 19 114 57 18 36 9

60 40 170 1122 737 267 406 182Persamaan regresi linear ganda :

Dimana

Masukkan parameter yang diketahui ke dalam persamaan

Persamaan (1) dikalikan 6, persamaan (2) dikalikan 1:



Harga b2 dimasukkan ke dalam salah satu persamaan (4)

atau (5):

Harga b1 dan b2 dimasukkan ke dalam persamaaan :

Jadi

Persamaan Regresi Linear Ganda :

-

B.Interpolasi

1. Interpolasi Linier

Interpolasi linear adalah interpolasi dua buah

titik dengan sebuah garis lurus. Misalkan dua buah

titik, ( , ) 0 0 x y dan ( , ) 1 1 x y . Polinom yang

menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan

garis lurus.

SOAL

SUMBER:

http://saifoemk.lecture.ub.ac.id/files/2012/08/Metnum4-

Pencocokan-Kurva-Interpolasi.pdf

Dari data ln(7.8)=2.0541, ln (8.6)=2.1517, tentukan

ln(8.0) dengan interpolasi linear.


Jadi, nilai dari ln(8.0) adalah 2.0785

http://saifoemk.lecture.ub.ac.id/files/2012/08/Metnum4-Pencocokan-Kurva-Interpolasi.pdf


- Diketahui kecepatam suatu kelereng terhadap

waktu sebagai berikut ;

Tentukan interpolasi linier dari persamaan di atas

ketika x bernilai 75


Jadi interpolasi linier pada saat x = 75 adalah 0

.Interpolasi Kuadratik

Misalkan diberikan tiga buah titik data ( , ) 0 0 x

y , ( , ) 1 1 x y dan ( , ) 2 2 x y .Polinom yang

menginterpolasi ketiga buah titik berupa polinom

kuadratik yang persamaannya adalah:

p (x) = a + a x + a x ……...

SOAL

SUMBER:



- Diketahui tiga buah titik sebagai berikut ;

Tentukan interpolasi yang terjadi jika diketahui

nilai x = 8


Eliminasi pers (1) dan Pers (2)





Subtitusi ke pers (4)

Subtitusi dan ke pers (2)

Maka untuk interpolasi yang terjadi jika nilai x

=8

Jadi interpolasi yangterjadi pada saat x = 8

adalah

-Dari data ln(5.7)=1.7404, ln(6.7)=1.9021, dan

ln(7.7)=2.0412. Tentukan nilai ln(8.7) dengan

menggunakan metode interpolasi kuadratik.


Selesaikan persamaan diatas dengan metode Eliminasi

gauss;

3.Interpolasi Polinom

Diberikan (n+1) buah titik yang berbeda, yaitu

( , ) 0 0 x y , ( , ) 1 1 x y …( , ) n n x y .Akan

ditentukan polinom p (x) n yang menginterpolasi

(melewati) semua titik-titik tersebut sedemikian

rupa sehingga, ( ) i n i y = p x , untuk i = 0,1,2,3...,n

Nilai i y dapat berasal dari fungsi matematika f (x) ,

misalkan f (x) = ln x , f (x) = Sin x , fungsi Bessel

dan sebagainya yang menyebabkan ( ) i i y = f x atau i y

diperoleh secara empirik (hasil dari pengamatan

eksperimen di laboratorium).

SOAL

SUMBER:



- Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi

polinomial berdasar data ln 1 = 0 dan ln 6 =

1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar

data ln 1 dan ln 4 = 1,3862944. Untuk

membandingkan hasil yang diperoleh, dihitung

besar kesalahan (diketahui nilai eksak dari ln

2 = 0,69314718).



Penyelesaian :(oleh Rama Danil Fitra)

Dengan menggunakan persamaan (1.2), dihitung dengan

interpolasi linier nilai ln pada x = 2 berdasar

nilai ln di x0 = 1 dan x1 = 6.

f1(2) = 0 + (2 1) = 0,3583519.

Besar kesalahan adalah: Et =

100 % = 48,3 %.

Apabila digunakan interval yang lebih kecil, yaitu

nilai x0 = 1 dan x1 = 4, maka:

f1(2) = 0 + (2 1) = 0,46209813.

Besar kesalahan adalah: 100 %

= 33,3 %.

- Diberikan empat buah titik data yaitu ln(1.5)=

0.4054, ln(2)= 0.6931, ln(4)= 1.3862, ln(5)=

1.6094. Tentukan nilai ln(5.5) menggunakan

metode interpolasi kubik.

Penyelesaian: (oleh Rama Danil Fitra)

Selesaikan persamaan diatas dengan metode Eliminasi

gauss;

Didapat nilai a0 = -0.9052, a1= 1.1407, a2 = -0.1996, a3

= 0.0144 Polinom kubiknya adalah

INTEGRASI NUMERIK

A.Formulasi Integrasi Newton Cotes

1. Aturan Trapesium

Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 1 yang

melalui kedua buah titik itu adalah

Integrasikan p1(x) di dalam selang [0,1]:

Jadi, kaidah trapesium adalah

Kaidah trapesium untuk integrasi dalam selang [0,

h] kita perluas untuk menghitung

SOAL

- Diketahui f(x) = x+1. Carilah integrasinya dengan

batas bawah = 0, batas atas = 5 serta 5 sub-interval,

menggunakan metode trapesium. Tentukan error dengan

membandingkan secara analitik .


h = (5-0)/5=1

(x+1) dx = 1[f(0) + 2f(0+1) + 2f(0+2) +2f(0+3) +

2f(0+4)+ f(5)]/2

= [1+2(2)+2(3)+2(4)+2(5)+6]/2=35/2=17,5

secara analitik:

(x+1) dx = ((1/2) x^2) + x = (1/2 (5)^2) + 5 = 17,5

Error = metode numerik - analitik=17,5-

17,5=0

- Sebuah benda putar, diperlihatkan pada gambar

4.3, dibentuk dengan memutar kurvay=1+(x/2)2,

0<=x<= 2, disekitar sumbu x. Hitunglah volume

menggunakanperluasan aturan trapesium dengan

N=2,4,8,16,32,64 dan 128. Nilai benar

adalahI=11,7286. Evaluasi kesalahan pada setiap

N.


Volume diberikan oleh persamaan:

Dimana :

Kalkulasi untuk N=2 dan 4 ditunjukkan sebagai berikut:

Integrasi dengan N yang lain memberikan hasil sebagai

berikut:

2. Aturan Simpson

Hampiran nilai integras yang lebih baik dapat

ditingkatkan dengan mengunakan polinom interpolasi

berderajat yang lebih tinggi.

Misalkan fungsi f(x) dihampiri dengan polinom

interpolasi derajat 2 yang grafiknya berbentuk

parabola. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran

nilai integrasi adalah daerah di bawah parabola. Untuk

itu, dibutuhkan 3 buah titik data, misalkan (0, f(0)),

(h, f(h)), dan (2h, f(2h)).

Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang

melalui ketiga buah titik tersebut adalah

Integrasikan p2(x) di dalam selang [0, 2h]:

Mengingat

Dan

maka, selanjutnya

Kidah Simpson 1/3 gabungan:

Penggunaan kaidah 1/3 Simpson mensyaratkan jumlah

upaselang (n) harus genap.

Ini berbeda dengan kaidah trapesium yang tidak

mempunyaipersyaratan mengenai jumlah selang.

Galat Kaidah Simpson 1/3

Galat kaidah Simpson 1/3 untuk dua pasang upaselang

adalah

Uraikan f(x), f1, dan f2 masing-masing ke dalam deret

Sulihkan persamaan (P.6.30), (P.6.31), (P.6.32) ke

dalam persamaan (P.6.29):

Jadi, kaidah Simpson 1/3 untuk sepasang upaselang

ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai

Galat untuk n/2 pasang upaselang adalah

Jadi, kaidah Simpson 1/3 gabungan ditambah dengan

galatnya dapat dinyatakan

sebagai,

dengan kata lain, kaidah Simpson 1/3 gabungan berorde 4

Dibandingkan dengan kaidah trapesium gabungan, hasil

integrasi

Dengan kaidah Simpson gabungan jauh lebih baik, karena

orde galatnya lebih tinggi.

Tapi ada kelemahannya, yaitu kaidah Simpson 1/3

tidak dapat diterapkan bila jumlah upaselang

(n) ganjil

-

SOAL

- Hitunglah volume sebuah benda putar, pada

contoh 4.3 menggunakan perluasanaturan Simpson

1/3 dengan N=2,4,8,16,32,64. Nilai benar adalah

I=11,7286.

-


Kalkulasi untuk N=2 dan 4 ditunjukkan sebagai berikut:

Integrasi dengan N yang lain memberikan hasil sebagai

berikut:

- Tentukan ,gunakan aturan simpson n=4.


Jadi,

B.Integrasi Romberg dan Kuadratur Gauss

1.Integrasi Romberg

Metode ini digunakan untuk memperbaiki hasil

pendekatan integrasi metode trapesium, karena

kesalahan metode trapesium “cukup” besar untuk

polinom pangkat tinggi dan fungsi transeden.

Caranya, hitung integral tertentu dengan metode

trapesium untuk sejumlah nilai h yang berbeda.

Misalkan hasilnya I(h), I(½h), I(¼h), dan

I(⅛h); cantumkan pada kolom pertama

tabel.Untuk kolom kedua, hitunglah I(h, ½h),

I(½h, ¼h), I( ¼h, ⅛h) dengan formula :

I(9h, ½h)= ⅓.[4.I(½h)-I(h)],

I(½h, ¼h)= ⅓.[4.I( ¼h)-I(½h)],

I( ¼h, ⅛h)= ⅓.[4.I( ⅛h)-I( ¼h)],

Lanjutkan pola serupa untuk kolom ketiga dan

seterusnya.

SOAL

- Hitunglah dengan metode Romberg bentuk :

Penyelesaian: (oleh Rama Danil Fitra)

Untuk n=2, diperoleh h=2, dan dengan metode trapesium

diperoleh hasil = 320

Untuk n=4, diperoleh h=1, dan dengan metode trapesium

diperoleh hasil = 272

Untuk n=8, diperoleh h=0,5, dan dengan metode trapesium

diperoleh hasil = 260.

kolom kedua :

kolom ketiga :

Hasil terakhir adalah 256.

3.Kuadratur Gauss

Dengan metode ini bentuk

diubah menjadi

melalui transformasi :

Kuadratur Gauss 2 titik :

Kuadratur Gauss 3 titik :

Metode ini mempunyai kesalahan

pemotongan :

-Kuadratur Gauss 2 titik :

-Kuadratur Gauss 3 titik :

Metode in tepat untuk polinom

ordo 3.

SOAL

- Diketahui Carilah integrasinya dengan batas

bawah = 0, batas atas =1½, menggunakan metode :

a. Kuadrat Gauss 2 titik

b. Kuadrat Gauss 3 titik


ditransformasikan dengan

Menjadi :

Sehingga

Jadi,

-Kuadratur Gauss 2 titik menghasilkan nilai 0,8907.

-Kuadratur Gauss 3 titik menghasilkan nilai 0,8906

SUMBER TEORI DAN SOAL

http://lecturer.eepis-its.edu.


Pencocokan-Kurva-Interpolasi.pdf


Pencocokan-Kurva-Regresi.pdf

http://saifoemk.lecture.ub.ac.id/files/2012/08/Metnum4-Pencocokan-Kurva-Regresi.pdf

http://saifoemk.lecture.ub.ac.id/files/2012/08/Metnum4-Pencocokan-Kurva-Regresi.pdf



http://lecturer.eepis-its.edu/


Integral-Numerik.pdf

http://marzukisilalahi.blog.esaunggul.ac.id/files/

2012/04/Pertemuan-11_Integrasi-Numerik.pdf

http://ivanky.files.wordpress.com/2013/02/

scientific_software_modul5.pdf





http://teoriMENUM/Saifoe%20%20Manajemen%20Konstruksi

%20»%20Metode%20Numerik.htm

http://teoriMENUM/Metode%20BagiDua%20(Bisection

%20Method)%20_%20Math%20IS%20Beautiful.htm



http://teoriMENUM/Saifoe%20%20Manajemen%20Konstruksi%20

http://teoriMENUM/Saifoe%20%20Manajemen%20Konstruksi%20





http://ivanky.files.wordpress.com/2013/02/scientific_software_modul5.pdf

http://ivanky.files.wordpress.com/2013/02/scientific_software_modul5.pdf

http://marzukisilalahi.blog.esaunggul.ac.id/files/2012/04/Pertemuan-11_Integrasi-Numerik.pdf

http://marzukisilalahi.blog.esaunggul.ac.id/files/2012/04/Pertemuan-11_Integrasi-Numerik.pdf

http://saifoemk.lecture.ub.ac.id/files/2012/08/Metnum5-Integral-Numerik.pdf

http://saifoemk.lecture.ub.ac.id/files/2012/08/Metnum5-Integral-Numerik.pdf

Documents

Tugas Besar Metoda Numerik