, BIBLIOTECA DE MATEMATlCA SUPERIOR

bajo la di rección del Dr. Emilio Lluis Riera

TraducciÓn: Federico Velasco Coba Director del Departamento

de Matemát icas Facultad de Ciencias

Un iversi dad Veracruzana

Revisión técnica: Emilio Lluis Riera Instituto de Matemáti cas Fac ultad de Cienc ias Uni vers idad Nacional Au tónom a

de Méxi co

Supervisión editorial: Federico Galván Anaya Catedrático de Mate mát icas Universidad Nacion al Au tóno ma

de México

/

BIBLIOTECA DE MATEMATICA SUPERIOR

Curso interllledio

BIBLIOTECA DE MATEMÁTICA SUPERIOR

Norman B. Haaser Joseph P. La Salle Joseph A. Sullivan

Volumen 2

EDITORIAL ~ millAS rI-~ "'bleo, Argentina, E.p."., CC»ombi • . Puerto Rico. Veneruela

Catalogación en la fuente

Haaser, Norman B. Análisis matemático 2 : curso intermedio. --

2a ed. -- México : Trillas, 1990 ·(reimp. 1998). v. 2 (786p.) ; 23 cm. -- (Biblioteca de

matemática superior) Traducción de: Intermediate analysis Bibliografía : p. 777-779 Incluye índices ISBN 968-24-3882-9

1. Análisis matemático. l. La Salle, Joseph P. 11. Su/fivan, Joseph A. Iff. t. IV. Ser.

D- 51O'H736a

Título de esta obra en inglés: Intermediate Analysis

Versión autorizada en español de la primera edición publicada en inglés por © Blaisdell Publishing Company A division of Ginn and Company Waftham, Massachusetts, E. U. A.

LC- QA37'H3.3

La presentación y disposición en conjunto de ANÁLISIS MATEMÁTICO, VOL. 2 son propiedad del editor. Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida o trasmitida, mediante ningún sistema o método, electrónico o mecánico (incluyendo el fotocopiado,

219

la grabación o cualquier sistema de recuperación y almacenamiento de información), sin consentimiento por escrito del editor

Derechos reseNados en lengua española © 1970, Editorial Triffas, 5 . A. de C. V., División Administrativa, Av. Río Churubusco 385, Col. Pedro María Anaya, C. P. 03340, México, D. F. Tel. 6884233, FAX 6041364

División Comercial, Calz. de la Viga 1132, C. P. 09439 México, D. F. Tel. 6330995, FAX 6330870

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial. Reg. núm. 158

Primera edición en español, 1970 (ISBN 968-24-0142-9) Reimpresiones, febrero y noviembre 1971, 1972, mayo y septiembre 1973, 1974, 1975, 1976, 1977, 1979,1980, 1982, 1983, 1985, 1986, 1987 y 1989

Segunda edición en español, 1990 (ISBN 968-24-3882-9) Reimpresiones, 1992, 1995

Tercera reimpresión, mayo 1998

Impreso en México

• , I(]~(]

Este libro se escribió pensando hacer de él un libro de texto para un segundo curso de matemáticas a nivel universitario. Presupone una introducción al cálculo de funciones reales de una variable real. Aunque es el segundo volumen de una serie no supone, sin embargo, que el estudiante debe haber estudiado el volumen 1, Introducción al análisis, de los mismo autores. Pero sí suponemos que el lector ha estudiado el sistema de los números reales y está familiarizado con sus propiedades fundamentale y que también le son familiares la ideas de límite, derivada e integral.

Este nuevo volumen ofrece al estudiante otra óportunidad para aumentar u comprensión y apreciación de las ideas fundamentales del análisis. La

geometría y el cálculo se extienden en dimensión con los vectores n-dimensionales. Mucho de este material debe ser ya familiar al estudiante, pero aquí aparece en un contexto más general. Le presentamos al lector numerosas extensiones y nuevas técnicas e introducimos nuevos e impor­tantes conceptos.

osotros vemos el análisi no sólo como matemáticas, sino también como un instrumento de la ciencia. Según nos ha parecido posible y práctico presentamos el análisis a la luz de la matemáticas contemporáneas. La técnica es importante y necesaria tanto para el matemático como para el que usa las matemáticas, pero si algo nos ha enseñado la marcha del desarrollo científico, ello ha sido la upremacía de las idea . Las ideas y las relaciones de la ideas hacen interesante e inteligibles las matemáticas; la apreciación de las ideas las hace ú ti les.

El texto está dividido en forma que creemos natural, en cinco unidade , ye posible adaptarlo a una extensa variedad de cursos.

En los capítulos I y 2 se discuten el álgebra de los vectores en el espacio n-dimensional y la geometría del espacio n-dimensional con énfasis particular en el espacio de tres dimensione. Para los estudiantes ya familiarizados con lo vectores y el enfoque vectorial de la geometría bidimensional. los primeros dos capítulos le procuran un repa o de este conocimiento, al mismo tiempo que extienden sus ideas a dimensiones más alta. Para tales estudiantes. el tiempo que deben dedicar a estos capítulos puede ser muy breve. Para los que no estén familiarizados con los vectores y el enfoque vectorial de la geometría es para los que hemos elaborado ('stos capítulos ampliamente.

Lo capítulos 3, 4 Y 5 están fundamentalmente dedicados a generalizar el cálculo diferencial de funcione reales de una sola variable real para los casos donde el rango es un conjunto de vectore • donde lo c el dominio, y donde tanto el dominio como el rango lo son . respectivamente. Estos capítulos proporcionan al e tudiante oportunidades adicionales de conseguir

1

356 Integrales múltiples [ Cap. S

9.5 Ejemplo. Evalúese flit (x 2 + i) dx donde !J1I. es la región en R 2 limitada

por las parábolas y = x2 y X = y 2 (figura 14).

SOLUCJÓ. 1. qt es el conjunto !J1I. = qtx = {(x, y) I ° ,¡; x ,¡; 1, X2 ,¡; y ,¡; .Jx} de modo que según el teorema 9.3, tenemos

f (X2+y2)dx = fl f./X (x 2+·/)dydx. 51 o xl .

y

--~~~----~--------x \1

FI GURA 14

Esta integral iterada fue evaluada en el ejemplo 7.2 (pág. 346) donde se encontró que

f91 (x2

+ y2)dx = 365'

SOLUCIÓN 2. En este caso &le también es una región del tipo fft, : &le = &ley = {(x, y) I o,¡; y,¡; 1, y2 ,¡; x,¡; .jY}. De donde, según el corolario 9.4, tenemos

Supongamos que {Ji puede expresarse como la unión de un conjunto finito de regiones ajenas {qt¡ I i = 1, ... , n} del tipo &lex Y &le" es decir,

n

&le = U &Ie¡ donde A (&Ie¡ (\ &le j) = ° para i # j . i = I

Si f es continua sobre &le, como cada una de las qt ¡ tiene área, según el

corolario 5.6, pág. 340, f f existe. Luego conforme al corolario 6.13, 91,

pág. 345,

357

rroblemas

Encuéntrese flit f para las siguientes funciones si qt es la región limitada

por las curvas dadas.

a) f(x, y) = y; qt limitada a la izquierda por y2 = x, y a la derecha pot X2 + y2 = 2.

b) f(x, y) = x; qt limitada por y2 = X Y X2 = y.

e) f(x, y) = y2; qt limitada por y = sen x, y = cos x, xe[o, :l d) f (x, y) = x+2y-5; qt limitada por y2 = X Y X2 = y. e) f (x , y) = ../1-x'-y2; qt limitada por una circunferencia de radio 1

y centro en el origen. f) f(x, y) = y; &le limitada por X2 + y2 = 2 por arriba, y por abajo

por X2 = y. g) f(x , y) = eY/x

; &le lim itada por x = 0, x = 1, Y = 0, y = X2. h) f(x, y) = y2 sen x; &le limitada por x = 0, x = n, y = 0, y = I + cos x. i) ¡(x, y) = x+ y; qt limitada por X2 + y2 = a2.

j) f(x , y) = senh ~ cosh x; &le limitada por x = 0, x = 1, Y = 2x, y = 2.

k) f(x ,y) = 4-X2; qt limItada por 2x+y = 6, Y = x, x = O. 1) f(x, y) = 2-2y2-tx2; qt limitada por x+2y = 2, x = 0, y = O.

10. ÁREA Y M OMENTOS DE REGIONES PLANAS

La determinación del área de las regiones del tipo {Ji x se considera usualmente en el cálculo de funciones reales de una variable real. Si

qtx = {(x, y) I a ,¡; x ,¡; b, g(x) ,¡; y ,¡; h(x)}.

entonces el área de {Ji es x

A(&lex ) = r [h(x)-g(x)]dx.

De acuerdo con el teorema 4.6, pág. 332, tenemos

POr el teorema 9.3,

f fb fh(X) fb

1= dydx= [h(x)-g(x)Jdx. !1tx G g(x) Q

358 Integrales múltiples

Así pues, para regiones del tipo f!II. x estos dos del área son acordes y esencialmente -el mismo.

[Cap S

métodos de determ' . . Inaclón

10.1 Ejemplo. Encuéntrese el área de la y = X2 + 2 Y la recta y = x + 4.

región limitada por la pa 'b ra ola

SOLUCiÓN. (Figura 15.) Los p'untos de intersección de la parábola I recta se encuentra que son (- 1, 3) Y (2,6) y.la región y a

f!II.x = {(x,y) I -1 ~ x ~ 2, x2+2 ~ y ~ x+4}.

Enton.ces

f2 fX+4 f2

= dydx = (x+4-x2-2)dx - 1 x2 + 2 - I

= x_2 + 2x __ X3J2 = ~

2 3 -\ 2

y

(0,2)

------L-~------7-----X -1 O 2

FIGURA 15

Definimos ahora el primer momento región plana con respecto a una recta.

t de una y el segundo momen o

Xo un 10.2 Definición. (Figura 16.) Sea !L' una recIa con normal n Y ¡ea¡nercia punto fijo de !L'. El (primer) momento Mfl' yel momento e ft se

. . • 2 fO a la recta (segundo momento) lfl' de una reglon f!II. en R con respec definen por

Área Y momentos de regiones planas 359

tO)

f . 2 12 = fA [Comp.(x-xo)) dx

"SpeCfivomenfe. ( ) El número Comp. (x-xo) = n' ~n~xo es la distancia dirigida del

a la recta !L'. Así pues, M,r¿> es la integral sobre f!II. de la distancia ~l~ x de !L' a los puntos de f!II. e 1 fl' es la integral sobre f!II. del cuadrado ding¡da. cía de !L' a los puntos de f!II.. El signo de M fl' depende de la de la dIstan ) C ( ) 'ó denyaqueComp-.(x-xo = - omp x-xo· eJecC~nax+bY+c = 0. una ecuación de la recta !L'. El vector n = (a, b)

ormal a!L' SI Xo = (xo, Yo) es un punto de !L' y x = (x, y) es un e5una n . punto de f!II., entonces

y

(10.3)

:: I!Ues, el primer formas

n' Xo = axo+byo = ~c

o' x- o 'Xo

101

n

x

FIGURA 16

momento y el segundo momento pueden expresarse

360

e

Integrales múltiples

¡ .se = 2 I 2 f" (ax+by+c)2dx . a +b 9t

10.4 Ejemplo. Encuénntren e los momentos primero y segundo ca a la recta 2: ax+by+-c = O de la región ffi x limitada por la rectan r~!>ecto y la parábola y = (x--1)2. Y-X"'-I

SOLUCIÓ . (Figura 17_.)

f l f3 fX+ 1 M z = Compo (x-xo)dx = (ax+by+c)dYd

!tx J a2 + b2 o ( X - 1)2 X

36 9} + -b + -c . 5 2

423 2 9 2 513 27 72 ] +--b +-c +--ab+-ac+-bc. 28 2 20 2 5

Y

y= (x-l) 2

n - o (a,b)

"/ ---~~~~~~---------x

FIGURA 17

Área y momentos de regiones planas 361

10]

d finición de Mz y en la de ¡~ cuando 2 es el eje X, es habitual En la en la dirección positiva del eje Y. Entonces

escoger D e Comp.(x-xo) = j·(x-xo) = y

y M x = f iJl Y dx , 1 x = t y2 dx .

Cuando Ji' es el eje Y, lo habitual es escoger n en la dirección positiva

del eje X. Entonces

y

M, = f!t xdx, 1, = f!t x2

dx.

Además del momento de inercia con respecto a rectas, se define también el momento de inercia con respecto al origen. A éste se le llama momento polar de inercia y está definido por:

J = 1: = f!t Ixl 2 dx = f!t (x2+/)dx = 1,+1x·

10.5 Ejemplo. Encuéntrense los momentos primero y segundo con respecto a los ejes X y Y Y el momento polar de inercia de la región limitada por la parábola y = X2 + 2 Y la recta y = x + 4.

SoLUCIÓN. La región es la misma que la del ejemplo 10.1 Y aparece en la figura 15. ffi = {(x,y) I -1 ~ x ~ 2, x2+2 ~ y ~ x+4}.

Mx = f ydx = f2 st - 1 f

X+4 ydydx = 81/5

xl+2

f f2 rX+4 M, '= xdx = xdydx = 9/4

SI -} xl + 2 •

IX '= f y2 dx = f 2

9t - 1 f X+4 y2 dy dx = 8667/ 140

x2 + 2

f f2 fX +4 1, = x 2 dx =

SI - J xl + 2

1. '= f.+1, '= 2277/35.

362 Integrales múltiples [Cap. 6

10.6 Definición. El punto

- e -) (. M y M x ) x= x, y = A(~)' A(~)

se llama centroide de una región ~.

10.7 Teorema. Si ~ es una recta que pasa por el cenllciit de una región plana fJf, entonces Mz = O.

PRUEBA. Sea n = (ni' n2) una normal unitaria a ~. Er.l~lces, como x es un punto sobre ~, tenemos

Mz = f~ ComPn(x-x)dx = L n'(x-x) dx

= L [n l (x-x)+n2(y-ji)]dx

= nl(My-xA(~»+1l2(Mx-jiA(9f» = 0.

10.8 Teorema. Si ~ 1 Y ~ 2 son rectas paralelas de rmmal n, x 1 y X 2

puntos fijos de ~ 1 Y ~ 2 respectivamente, y ~ es una regiá tnlonces

lz, = Iz,+2[Compn(x2-x l)] M z , + [Compn (X¡-lll] 2 A(fJf)

= Iz ,+2dMz ,+d2 A(~)

donde A(~) es el área de ~ y d = Compn(x2-XI) es biistancia dirigida de 2 1 a 2 2 .

PRUEBA. Como X-XI = (x-X2)+(X2-XI), tenemos

lz, = f [ComPn(x-xl)]2dx = JI' [n'(X-XI)]2dX ~ ~ Inl

= f [n'(X -X2) + n.(x2-x l)]2dX ~ Inl Inl

= f~ [Compn(x-x2) + Compn(x2-x l)]2dx

= f [Compn(x-x2)]2dx+2 compn(X2-XI)f ( ooPn(x-x2)dx iit ~

+ [Compn(x2-x l)]2 L dx

I z , +2dMz , +d2 A(~).

363

,

n

n d

--~r------+--~---~l Xl

(d>O) (d<O)

FIGURA 18

Un resultado análogo para los primeros momentos se da en el problema 9.

10.9 Corolario. (Teorema de los ejes paralelos.) Si 2 2 es una recta que pasa por el centroide de fJf y ~ 1 es una recta para/ela a 2 2 , entonces

/z, = IZ1+d2A(~) .

PRUEBA. Según el teorema 10.7, M z , = O.

Problemas

1. Encuéntrense los centroides de las reglOnes limitadas por los siguientes conjuntos de curvas:

a) xl/2 + yl /2 = a l/2 y los ejes coordenados b) la hipérbola y = 4j(4-x) y la parábola y = (x-I)2 c) por la parte superior por la elipse 25 X2 + 16 y2 = 400 Y por la parte

inferior por el eje X d) la región del primer cuadrante limitada por y = x 3 y X = y3

e) y2 = x 3 y y = X 2 2

f) la región del primer cuadrante en el interior de la elipse ~ + L = 1 4 9

2

Y fuera de la elipse X2 + L = 1. 9

1 2 .. Encuéntrense los momentos de inercia con respecto a cada uno de Os ejes Coordenados de las regiones limitadas por los siguientes conjuntos

de curvas:

a) y = 2x-x2 y y = x b) y = 2x-x2 y x+ y = 2

'1

364 Integrales múltiples [Cap. 6

c) a la izquierda por y2 = 4x, a la derecha po: ~ + y2 = 32 Y en la parte inferior por el eje X

d) y2 = l+xy y2 = l-2x

X2 y2 e) - + - = 1

a 2 b2

f) x y l· - + - = 1 Y os ejes coordenados. a b

3. Encuéntrese el área, Mx , My, Ix, Iy Y el cenroide de cada una de las siguientes regiones:

a) limitada en la parte de arriba por X2 + y2 = 2) en la parte de abajo por y = X2

b) limitada a la izquierda por y = X2, a la dere;!la por X2 + y2 = 2 Y debajo por el eje X

c) limitada por y = X2 y X = y2 d) limitada por y = sen x, y = cos x, xe[ -n/4, d] e) limitada por y = x2+2 y y = x+4 f) limitada en la parte superior por X2 + y2 = a: y en la parte inferior

por el eje X.

4. Sea!?ll la región limitada por y = X2 y y2 = 1 Encuéntrese:

a) M~ cuando !l' es la recta y = 1 b) M~ cuando!? es la recta x = -1 c) M~ cuando!? es la recta x+ y = O d) M~ cuando!? es la recta x-y = O e) I~ cuando!? es la recta y = - 3 f) I~ cuando!? es la recta x = 2 g) I~ cuando!? es la recta x+y+5 = O h) I~ cuando !l' es la recta x- y = O.

5. Demuéstrese que el centroide de un triángulolstá a un tercio de la distancia de un lado al vértice opuesto.

6. Demuéstrese que si una región !?ll tiene un ej! de simetría, entonces el centroide se encuentra sobre este eje de simetría.

7. Demuéstrese que el área de una región limi~da por una parábola y una cuerda ortogonal al eje de la parábola es igoJal a dos tercios del área de un rectángulo circunscrito.

8. Encuéntrese el centroide de la región del problma 7 y los momen~os de inercia de esta región con respecto a los ejes quepasan por el centrOlde

paralelo y perpp.ndicular al eje de la parábola.

Volumen bajo una superficie 365

9. Pruébese que si !? I Y !l' 2 son rectas paralelas de normal n, XI y x 2

puntoS fijos sobre!? I Y !? 2 respe~tivamente, y !?ll es una región, entonces

M~, = M~2 +[Compn(x2 -X I )] A (!?ll).

10. pruébese que si los ejes de coordenadas son elegidos de modo que el origen esté en el centroide de una región f!¡f, entonces para una recta cualquiera!? que pase por el centroide con ángulo de inclinación ex,

l~ = Iy sen2 ex-2/xy sen ex cos ex+Ix cos2 ex ~

donde Ixy = t xy dx. Al número 1 xy se le llama producto de inercia.

Sugerencia. Tómese el punto "o = O sobre !? y n = (sen el, - COS 0:).

11. Encuéntrese el momento de inercia de un rectángulo de base w y altura h con respecto a la recta !?: ax + by + c = O. Especialícese el resultado para obtener el momento de inercia con respecto a:

a) la base b) una recta que pasa por el centroide paralela a la base c) una diagonal.

11. VOLUMEN BAJO UNA SUPERFICIE

. En esta sección consideraremos el volumen de una región en R3 de un tipo muy especial. Suponemos que el volumen tiene propiedades similares a las del área. Si tf es un conjunto de puntos en R 3 con volumen, denotaremos el volumen de I por V(tf). Para aquellos conjuntos de puntos tf, ff, 'lJ, '" para los que el volumen está definido suponemos

11.1 V(tf) ~ o.

11.2 Si tf e ff, entonces Ve&') ~ V(ff).

1I.3 Si 'lJ = tu ff y V(&' n ff) = O, enlonces V('lJ) = V(tf) + V(ff).

1I.4 El volumell de un paralelepípedo longitudes de los lados.

reclangular es el produclo de las

su~Up~ngamos ~ue una región en R3 está lateralmente limitada por una lile trfbe cilíndrica con un generador paralelo al eje Z, limitada superior-

n e po su fi· f( .... regió runa per cle z = x, y), y limitada mlenormente por una en R.~ cerrada y acotada !?ll del plano XY (figura 19). Sea [a, b] un intervalo

tal que ~ e [a, b] y sea P una partición de [a, b] en subintervalos!?ll¡.

526

8. SERIE DE TAYLOR

8.1 Definición. Si la función f tiene derivadas de todos los órdenes en el <Xl ¡<k) (x ) .

punto Xo, entollces /a serie L o (J - XO)k se /lama serie de Taylor k-O k! .

de j a/rededr)1' de Xo.

8.2 Ejemplo . Proporciónese la fórmula de 'raylor de la función seno alrededor de O.

SOLUCIÓN. Si j = sen, entonces ti) = cos, j(2) = - sen, /3) = -cos , j(4) = sen, y, en general, j(4k) = sen, j(4k+ 1) = cos, j(4k + 2) = _ sen , j(4k+3) = -coso Por tanto, j(4k)(0) = O, j(4k+ 1)(0) = 1, p4k+2\0) = O, j(4k+ 3) (O) = - 1 Y la serie de Taylor del seno alrededor de O es l

1 1 <Xl (_ I)k 0+1+0--1 3 +0+-/5 + ... = L 12

k+1 .

3! S! k-o(2k+I)!

Para definir la serie de Taylor de una función f alrededor de algún punto Xo, todo lo que necesitamos es la existencia de todas las derivadas de f en xo. Sin embargo, es posible que la serie resultante no converja en ningún punto distinto del Xo e incluso si la serie converge en otros puntos puede ser que no converja al valor que la función f toma en esos puntos (problema 5). Ahora estudiemos bajo qué condiciones la serie de Taylor de una función f converge a f.

Por el teorema de Taylor supimos que si la función f tiene derivadas de todo orden sobre un intervalo J y Xo E J, entonces, para cualquier xE.f

y para cualquier entero positivo n

n-I j (k)(X ) ~~o (x-x t+R (x)

k! o n j(x) = L

k-O

donde

Rn(x) = 1 IX ¡<n\t)(x - t)n-I dI. (n-I)! Xo

Es, pues, claro que la serie de Taylor de f alrededor de Xo converge ajen 11/1

punto XE J si y sólo si Iím Rn(x) = O. n-«> . te

En la determinación del límite de Rn (x) es usualmente convenlen

. rla serie 1 A la serie de Taylor de una función f alrededor de O, es habitual llama

de Mac Laurin de f [N. del T.]

I

Serie de Taylor

rnplear la forma de Lagrange para el residuo: e .

Rn(x) = flnl(cn) (x - xo)" ni

para algún cn entre x y Xo si x # Xo.

527

8.3 Ejemplo . Pruébese que la serie de Taylor del seno alrededor de O converge al seno en toda la recta real.

SoLUCiÓN. Como el seno tiene derivadas de todos los órdenes sobre toda la recta real , tenemos, para cualquier XE R y para cualquier entero positivo n,

n - 1

sen x = L (_I)k x2k+I+R (x) (2k+I)! 2n+1 k-O

R ( cos e 2n + 1 2n + I 2n+ 1 x) + x

(2n + 1) I donde R2n+ I (O) = O Y

o y x si x # O. Así pues, para cualquier x E R,

Ixl2n+ 1

IR2n+ 1 (x)1 ~ ....!..-.!..-­(2n + 1)!

y, por tan to, Iím Rn(x) = O. Lo que prueba que

<Xl

para algún c2n + I entre

sen x = L ( _ I)k -....:._~_ x2k + 1

(2 k + 1) ! para cualquier numero real x,

k-O

luego,

sen L k-O

( _I)k -....:._~_ 12k + 1

(2k+ I)!

En algunos casos, es otra forma del residuo, la llama forma de Cauchy, la que resu lta adecuada para la determinación de Iím Rn(x). La forma de

;auchy p uede derivarse de la forma integral del ;;siduo mediante el uso el primer teorema del valor medio para integrales: SI x # Xo

Rn(x) = --..:..- /nJ(t) (X_I)n-1 di I IX (11 - I)! Xo

__ 1_ ¡<n)(c ) (x-c )n-I

(n-l)! n n Ix di Xo

528 Series [Cap 9

donde c. es. un número entre x y Xo·

8.4 Ejemplo . Pruébese que

(I+x)" = 1 + oc a(a-I):· · (a-k+l) k

k~' k' x

para cualquier XE ( - 1, 1) Y para cualquier número real a. Se llama a ésta serie binomial.

SOLUCIÓ . Sea f(x) = (1 + xl". Tenemos, entonces:

l"(x) = a(l+x)"-', p 21(X) = a(a-I)(I-x¡O-2,

y, en general, Pkl(X) = a(a-I) ··· (a-k+I)(I+x¡O-k

Así pues, la serie de Taylor de f alrededor de ° es

'" a(a-I)···(a-k+l) k 1+ I 1 .

k = , k I

Usando la forma de Cauchy para el residuo, tenemos

R.(x) = a(a-I) . .. (a-n+ 1) (1 +c.Y-·(x-c.)" - ' x

(n-I)!

donde c. está entre ° y x. Sea c. = Ox, entonces ()E(O, 1) Y

a (a - 1) ... (a - n + 1) ( 1 - 8 )' - , (1 + (}x)Q - , x' . R. (x) = --'----'----'------'-(n-I)! 1+f)x

Supongamos ahora que x E ( - 1, 1). Entonces

Si a > 1,

y si a < l.

Por tanto

1-0

1 +(}x

.- , 1 Además. < .

IR.(x)1 ~ (1 + Ixlr' a(a-I)···(a- n + l ) Ix"1

(n - 1) !

Serie de Taylor

8)

• F. (X) = O ya que '1 lun " .~ <SI a (a - l ) ... ,( a-n + 1)

lím Ixl' = O . • -ro (n-I)!

Esto prueba que "-

(1 + x)" = 1 + I k = ,

a(a-I) ... (a-k+ 1) x.

k!

529

cualquier XE( - 1, 1). Si a es un entero positivo, entonces la anterior :: se reduce a una suma finita y lo que tenemos es simplemente el teorema

del binomio . .. Las funciones que son la suma de su serie de Taylor constituyen una

cIase importante de funciones y tienen un nombre: funciones analític'ls.

1.5 Definición. La función f es analítica en un punto xo si hay un inrerralo abierto J que contiene a X o lal que f riene derivadas de todos los órdenes

m" y «: p. l (x )

I(x) = I o (x-xot para lodo xEJ . k=O k I

En los ejemplos 8.3 y 8.4 mostramos que la función seno y la función f definida por f(x ) = (1 + xl" son analíticas en O.

Problemas

l. Hállense los primeros cuatro términos de la serie de Taylor de las siguientes funciones a lrededor de los puntos que se indican.

a) cos; O b) tan : ° e) seco O d)

1 O ,

I - 1 2 '

e) I 1[ - . I f) , cos; -I 2

2. Propo .. y pruébese rClonese la serie de Taylor de la función coseno alrededor de O

que converge a coseno sobre toda la recta real.

3. Prop . . C:Onve orClonese la serie de Taylor de In alrededor de I y pruébese que

rge a In sobre (O, 2]. Sugeren · .

e/a: usese la forma de Cauchy del residuo. 4. Pru . b e ese que

(

530 Series [Cap. 9

-1+ ~ (-!)(-l)·· · (-!-k+l) ¡k sobre< -ll ) L- k! '

a) (I+I)-t k=1

b) (l_X2)-t

<1) (-!)(-l)···(-!-k+l) 2k =l+¿(-l/ X, • = 1 k!

xe<-I,l).

e) La convergencia de la serie de la· parte b es uniforme sobre cualquier intervalo [ - a, al donde O < a < l.

d) arcsen x

=x+ <1) -1 d-!)(-;)·· ·(-!-k+l)x 2k+',xe<_I,I) . JI () k ! (2 k + 1)

e) Escríbanse los primeros cuatro términos distintos de, cero de la serie de Taylor de arcsen alrededor de O y comparense con la serie de parte d.

-(I / x 2) • # O 5. Sea f la función definida por feO) = O Y f(x) = e "SI X .

Proporciónese la serie de Taylor defalrededor de O. ¿Para que valores de x converge la serie de Taylor a f(x)?

6. Pruébese que las siguientes funciones son analíticas sobre toda

la recta real:

a) exp b) sen e) cos.

7. Si f y 9 son analíticas en Xo, pruébese que f + g es analítica en xo·

9.1 Definición. Una serie de la forma potencias en 1-Xo .

9. SERIES DE POTENCIAS

<Xl • de ¿ ak (1- XO)k se llama serte k=O

. I d d d 1 punto Xo es una Así pues la serie de Taylor de una función a re e or e . que , \' d d t d serie de potenCias serie de potencias en 1- Xo' En rea l a, o a b moS esta

converge en más de un punto es una serie de Taylor. Pro are

afirmación posteriormente. <I» i

. ~ a (x - xo . Consideremos ahora la convergencia de la sene /~o k raíZ

Usamos el criterio de la .... Claramente esta serie converge para x = Xo'

para determinar si la !ntonces para x 0# Xo

serie converge en otros puntos. _ II/k "" ......

Si Iím la.

, 91 Series de potencias 531

y, por tanto, 'Iak(l-xo)k converge solamente en el punto xo. Si ífrñ lakl l

/k < 00 , entonces

Iím (Iakl lx-xolk)l /k = Iím lakl l/k Ix-xol .

Así pues, si Iím lakl 1/k = O entonces 'Iak(I -xo)* es absolutamente conver­

gente en toda la recta real. Si O < Iím lakl' /k < 00, entonces 'Iak(J - 'xo)k

es absolutamente convergente cuando Ix - xol < _ 1 Y es divergente lim lakl 1

/k

cuando Ix-xol > I /' Enunciaremos en forma de teorema lo que Iím lakl' k

acabamos de probar.

<1)

9.2 Teorema. Si Iím lak l"k = 00, entonces ¿ ak (J - xo)* converge solamente k=O

en el punto xo· Si Iím lak l' /k = O, entonces 'Iak(J-XO)* es absolutamente

convergen te sobre < - 00, (0). Si 0< Iím lakl l/k < 00 y r = _ 1 ,

entonces 'I ak (J - XO)k es divergente sobre

Iím lakl'/k es absolutamente convergente sobre <xo - r, xo+r) y

< - 00, xo- r ) u <xo+ r, (0).

Así pues, si Iím la.!' /k < 00, 'Iak(I-xo)k es absolutamente convergente sobre un intervalo abierto: o < - 00, (0) o <xo- r, xo+r ). Este intervalo se )Jama el intervalo de convergencia de la serie. Si el intervalo de conver­gencia es el intervalo finito <xo-r, xo+r), el teorema 9.2 nada nos dice sobre la convergencia de la serie en los puntos extremos Xo - r y Xo + r. La serie puede convergir o divergir en estos puntos ; la convergencia en estos puntos debe investigarse para cada caso particular de serie de potencias que se considere.

9.3 Ejemplo. Determínese el conjunto sobre el que cada una de estas series de potencias converge:

<1) 00

I k(I+3l <1)

~ 1k a) ¿ e(I -2)* b) ¿ e) ¿ k=O k=O (k+ 1) k=O 2k <1)

1 k <1)

1 ¡k d) ¿ e) ¿ 1 k~O (k+l)2k k=O (k+ 1)2 2k

SollJCIÓ

a) Como Iím (kk)l /k = 00, 'Ikk(I_2)k converge solamente en el punto 2.