PROGRAM LINEAR( 3 sks)

Materi per pertemuan : ( untuk mid semester)Pertemuan Materi1 Pengenalan silabus

Kontrak belajar Referensi Penjelasan materi

1 PENDAHULUANA. Masalah OptimasiB. Perumusan Masalah Nyata

2 PROGRAM LINEAR DENGAN METODE GRAFIK Daerah layak Garis senilai Penyelesaian Optimum

3 B. Beberapa Kejadian Penyelesaian Ada pilihan penyelesaian Soal tidak layak Penyelesaian tak terbatas Program linear bulat

4-5 Program linear dengan metode simpleksA. Teknik penyelesaian

Bentuk-bentuk soal program linear Langkah-langkah simpleks Pola maksimum baku

6 B. Perubah semuC. Pola minimum

7 D.Kejadian soal tidak mempunyai penyelesaianoptimum

E. Ada pilihan penyelesaian optimumF. Masalah PL dengan perubah tak bersyarat

Materi per pertemuan : ( untuk akhir semester)Pertemuan Materi8 Pembahasan hasil ujian mid semester

8 DUALITASA. Hubungan DualB. Soal-soal

9 DUALITAS Dalil – dalil dualitas

Soal-soal10 METODE TRANSPORTASI

Metode Stepping Stone Metode MODI

11 METODE TRANSPORTASI Metode Vogel’s Approximation Masalah tidak sama dengan kebutuhan Masalah Degeneracy Penggunaan PL

12 MASALAH PENUGASAN Perumusan Masalah Masalah Minimisasi

13 MASALAH PENUGASAN Perumusan Maksimisasi Masalah –masalah Penugasan Tambahan

14 ANALISIS SENSITIVITAS

Referensi wajib :Pangestu Subagyo.1993.” Dasar-dasar operatinsResearch”.Yogyakarta:BPFE

Kontrak Belajar :

UTS 35 %

UAS 35 %

Kehadiran 10 %

Tugas 20%

Menggunakan aturan PAP sesuai di UAD

Catatan :

Tidak ikut UAS atau UTS nilai E

Tidak mengumpulkan tugas nilai E

Ujian kerjasama atau menyontek teman nilai E

PERTEMUAN I

PENDAHULUAN

Bagaimana posisi PL di bidang matematika ? Di bidang matematika PL dapat dianggap sebagai contoh

terapan dari materi matriks dan aljabar vector. PL merupakan pengenalan model yang paling sederhana dalam

bidang riset operasi yang banyak diperlukan dalammanajemen.

Mengapa PL itu diperlukan ? Karena berdasarkan perkembangan yang pesat dari ilmu

pengetahuan dan teknologi menuntut manusia untukmempertimbangkan segala kemungkinan sebelum mengambilsuatu keputusan dan tindakan-tindakan yang dapatdipertanggungjawabkan.

Pertimbangan itu tidak hanya berdasar naluri saja tetapiperlu menggunakan metode kuantitatif, teknik-teknik yangtepat agar tidak mendapatkan resiko yang besar. Untukmengadakan perhitungan2 itulah diperlukan PL.

Dapat diterapkan dimana saja PL tersebut ? PL dapat diterapkan di bidang social dan manajemen.

Apa saja yang diperlukan untuk menerapkan PL ? Wawasan permasalahan Perumusan masalah Penyusunan model Matematika yang diperlukan

Materi kelanjutan untuk PL itu apa ?Riset Operasi (RO)

Arti riset operasi ? RO adalah suatu metode ilmiah yang memungkinkan para

manajer mengambil kepututsan mengenai kegiatan yangmereka tangani dengan dasar kuantitatif

Aplikasi metode, teknik-teknik dan peralatan-peralatanilmiah dalam menghadapi masalah-masalah yang timbuldidalam operasi perusahaan dengan tujuan ditemukannyapemecahan yang optimum masalah-masalah tersebut

A. MASALAH OPTIMASI

Dalam kehidupan manusia cenderung berpola prinsip ekonomi,yaitu dengan usaha yang sedikit mungkin manusia berkeinginanuntuk mendapat atau memperoleh hasil sebanyak mungkin.

Banyak hal yang dicari nilai optimumnya misal :

1. pendapatan yang maksimum

2. ongkos yang minimum

3. hidup yang paling nyaman

4. minum obat yang paling sedikit

Apabila yang dioptimumkan ternyata bersifat kuantitatifmaka masalah optimum menjadi masalah ekstrem yaitu :maksimum dan minimum.

Pada mata kuliah apa anda mengenal masalah ekstrem(maksimum dan minimum)?

Pada pembahasan ini yang dibahas adalah yang bersifatkuantitatif sehingga masalah optimum menjadi masalahekstrem yang tidak lain maksimum dan minimum. Dari contohdi atas mana yang bersifat kunatitatif ?

Optimisasi dibagi menjadi tiga yaitu :

1. Optimisasi Fungsi tanpa kendala

2. Optimisasi Fungsi dengan kendala

3. Masalah Program Linear

Contoh Optimisasi tanpa kendala

1. Diketahui suatu fungsi y=x2-2x+2.Pada mata kuliah apa soal ini saudara pelajari?

Fungsi di atas mencapai minimum di x=1 dengan nilaiminimum y= 1-2.1+2=1

2. Produksi dua macam sepatu S dan M memberikan fungsi lababulanan sebagai berikut : L = -x2 – xy – 2y2 + 5x + 13yDengan L : laba X : tingkat produksi S Y : tingkat produksi MDicari nilai (X,Y) yang memaksimumkan LPada mata kuliah apa soal ini saudara pelajari?

Penyelesaian :

Dari syarat stasioner diperoleh titik stasioner P(1,3)dan delta sebesar 7, sehingga L mencapai ekstrem di(1,3).

Kesimpulan adalah supaya laba maksimum sebaiknyadiproduksi 1 unit S dan 3 unit M per bulan.

2. Optimalisasi Fungsi dengan Kendala

Contoh :

Pagar kawat sepanjang 24 m akan digunakan untuk memagarikandang ayam berbentuk persegi panjang. Bagaimana ukurankandang supaya luasnya maksimum?

Penyelesaian:

Misalkan p:panjang kandang

q:lebar kandang,

maka luasnya L=pq,sedang kelilingnya 2(p+q)=24

Soal menjadi:

mencari p dan q (tak negatif) yang memaksimumkan L=pq dengansyarat bahwa 2(p+q)=24

Soal ini disebut soal ekstrem (fungsi 2 perubah) dengankendala berbentuk persamaan. Untuk penyelesaian contoh inisoal dapat diubah menjadi soal ekstrem fungsi 1 perubah tanpakendala dengan cara mengeliminasikan salah satu perubahannya,misalnya q sbb :

Tulis q=12–p ,dan L=p(12-p) harus dimaksimumkan.

Didapat bahwa kandang harus dibuat dengan ukuran 6m kali6m(berarti berbentuk bujursangkar).

Bentuk Masalah ekstrem dengan kendala dapat dibedakan menjadidua yaitu :

1. Ekstrem dengan kendala berbentuk persamaan.

2. Ekstrem dengan kendala berbentuk pertidaksamaan.

Ekstrem dengan kendala berbentuk persamaan.

Mencari xj yang mengoptimumkan f=F(x1,x2,x3,…,xn) dengan kendalagi(x1,x2,x3,…,xn)=0, i=1,2,3,…,m.

Ekstrem dengan kendala berbentuk pertidaksamaan.

Mencari xj yang mengoptimumkan f=F(x1,x2,x3,…,xn) dengan kendalagi(x1,x2,x3,…,xn) [≤,=,≥] 0, i=1,2,3,…,m.

3. Masalah Program Linear

Dari masalah ekstrem dengan kendala berbentuk pertidaksamaandi atas, jika f dan g semua linear sedang x juga harusmemenuhi syarat tak negative (xj≥0), j=1,2,3,…,n maka masalahini dinamakan masalah program linear.

Secara umum masalah program liear dapat dirumuskan sebagaiberikut :

Mencari x1,x2,x3,…,xn

Yang memaksimumkan (atau meminimumkan)

f= c1x1 +c2x2 + …..cnxn

dengan kendala :

a11x1+a12x2 + ….+a1n [≤,=,≥]b1

a21x1+a22x2 + ….+a2n [≤,=,≥]b2

a31x1+a32x2 + ….+a3n [≤,=,≥]b3

.

am1x1+am2x2 + ….+amn [≤,=,≥] bm

x1≥ 0, x2≥ 0, x3≥ 0,…., xn≥ 0

Perumusan di atas dapat diringkas menjadi :

Mencari xj , j=1,2,3,…,n

Yang memaksimumkan (meminimumkan) f= c∑ j xj

Dengan kendala a∑ ij xj [≤,=,≥] bi

xj ≥0

Contoh :

Mencari x dan y yang memenuhi :

x+y ≤ 8

3x-y ≥0

2x+y≥2

x≥0

y≥0

dan memaksimumkan f(x,y)=50x + 100y

Latihan soal :

Apakah soal –soal berikut merupakan soal PL? jelaskan :

1. Tentukan x,y tak negative yang memenuhi 3x-y≥0 ; x+y≤5dan meminimumkan f= 2xy – x + y

2. Tentukan x,y tak negative yang memenuhi 2x2-y≥0 ; x+y≤5dan memaksimumkan f= – 4x + y

3. Tentukan x1, x2, x3 tak negative yang memenuhi x1+x2,≥0 ;x1-x2 x1+x3≤5 dan memaksimumkan f= x1+x2 x1+x3

Program linearPola umum yang dapat dimodelkan dengan program linear dapatdigambarkan :

a. adanya pilihan kombinasi beberapa factor kegiatanb. adanya sumber penunjang beserta batasnyac. adanya fungsi sasaran yang harus dioptmumkand. relasi yang timbul antara factor-faktor berbentuk linear

Contoh :

Sekelompok tani transmigran mendapatkan 6ha tanah yang dapatditanami padi, jagung dan palawija lain. Karena keterbatasansumber daya petani harus menentukan berapa bagian yang harusditanamin padi dan berapa yang harus ditanami jagung, sedangpalawija lain ternyata tidak menguntungkan. Dalam satu masatanam tenaga yang tersedia hanya 1590 jam/orang, pupuk jugaterbatas, tak lebih dari 480 kg, sedangkan air dan sumber dayalainnya dianggap cukup tersedia. Diketahui pula bahwa untukmenghasilkan 1 kuintal jagung diperlukan 9 jam/orang tenagadan 2 kg pupuk. Kondisi tanah memungkinkan menghasilkan 50kuintal padi per hektar atau 20 kuintal jagung per hektar.Pendapatan petani dari 1 kuintal padi adalah Rp 32.000,-sedang dari 1 kuintal jagung Rp 20.000,- dan dianggap bahwasemua hasil tanamnya selalu habis terjual. Masalah bagi petaniadalah bagaimanakah rencana (program) produksi yangmemaksimumkan pendapatan total ? artinya berapa ha tanahditanami padi dan berapa ditanami jagung ?

Tabel

Per kuintal

Sumber Padi jagung Batassumber

Satuan

Tanah 0,02 0,05 6 Ha

Tenaga

Pupuk

12

4

9

2

1590

480 Jam/orang

Kg

Pendapatan

32 20 Rp 1.000

Misalkan : x : banyaknya kuintal padi yang diproduksi

y : banyaknya jagung yang diproduksi

Kendala “banyaknya ha tanah yang digunakan untuk x kuintalpadi dan banyaknya ha tanah yang digunakan untuk y kuintaljagung tidak melebihi 6 ha” ditulis : 0,02x + 0,05y ≤ 6.

Coba tulis untuk yang lain ?

Secara sederhana dapat ditulis :Mencari x dan y yang memenuhi :

x≥0 (1) (kendala tak negative)

y≥0 (2) (kendala tak negative)

0,02x+0,05y≤6 (3) (kendala utama)

4x + 3y ≤ 530 (4) (kendala utama)

2x + y ≤ 240 (5) (kendala utama)

Memaksimumkan : f= 32 x + 20 y (fungsi sasaran)

x dan y dinamakan perubah keputusan.

aij dinamakan koefisien teknis

bi dinamakan suku tetap

cj dinamakan koefisien ongkos

Contoh :

Perusahaan sepatu “IDEAL” membuat 2 macam sepatu. Macampertama merk A dengan sol dan karet, dan macam kedua merk Bdengan sol dan kulit. Untuk membuat sepatu-sepatu ituperusahaan memiliki 3 macam mesin. Mesin I khusus membuat soldari karet, mesin II khusus membuat sol dari kulit dan mesinIII membuat bagian atas sepatu dan melakukan assembling bagianatas dengan sol. Setiap lusin sepatu merk A mula-muladikerjakan di mesin I selama 2 jam, kemudian tanpa melaluimesin II terus dikerjakan di mesin III selama 6 jam. Sedangsepatu merk B tidak diproses di mesin I, tetapi pertama kalidikerjakan di mesin II selama 3 jam kemudian di mesin IIIselama 5 jam. Jam kerja maksimum setiap hari untuk mesin I=8jam, mesin II=15 jam dan mesin III=30 jam. Sumbangan terhadaplaba untuk setiap lusin sepatu merk A= Rp 30.000,- sedang merkB=Rp 50.000,-. Masalahnya adalah menentukan berapa lusinsebaiknya sepatu merk A dan merk B yang dibuat agar bisamemaksimumkan laba.

Contoh :

Suatu pabrik farmasi menghasilkan dua macam kapsul obat fluyang diberi nama fluin dan fluon. Masing-masing memuat tigaunsure utama dengan kadar kandungannya tertera dalam tabel.Menurut dokter seseorang yang sakit flu biasa akan sembuh biladalam tiga hari (secara diratakan) minimum menelan 12 grainaspirin, 74 gram bikarbonat dan 24 grain kodein. Bila hargafluin 200 rupiah dan fluon 300 rupiah per kapsul, bagaimanarencana pembelian seorang pasien flu supaya cukup untukmenyembuhkannya dan meminimumkan ongkos pembelian total.

Kandungan unsure (dalam grain)

Unsure Perkapsul

fluin Fluon

Aspirin 2 1

Bikarbonat 5 9

kodein 1 6

Tabel persiapan

Unsure

x Y

Batas minimalFluin

Fluon

Aspirin 2 1 12

Bikarbonat 5 8 74

Kodein 1 6 24

Harga 200 300

Soal kelompok masing-masing kelompok 4 s/d 5 orang

Di kerjakan di buku jangan lupa tulis anggota kelompoknya Masing-masing mengumpulkan tugas sendiri-sendiri

1. Sebuah pabrik yang menggunakan dua tanur (TB: tanur biasa,TT: tanur panas tinggi) untuk produksinya dinyatakan mencemarilingkungan lewat asapnya yang ternyata mengandung belerangoksida dan hidrokarbon melebihi ambang yang diperbolehkan.Pemilik menyusun tim peneliti yang bertugas mengatasinya.

Tabel penguarangan kadar pencemaran

Usaha

Saringan Ganti BBM

TB TT TB TT

Belerang oksida 30 20 50 80

Hidrokarbon

18 22

20

16

Tim mengusulkan adanya dua macam jalan keluar ialah : a)pemasangan saringan, dan b). penggantian BBM yang digunakandisertai dengan pengaturan banyaknya TB dan TT yang dikenalpencegahan di atas. Dari hasil penelitian diperoleh datapengurangan pencemaran terkait dengan keempat usaha di atas.

Pabrik tersebut tercatat membuat pencemaran dengan kelebihan200 satuan belerang oksida dan 100 satuan hidrokarbon dariambang yang diperbolehkan, maka penyusutan masing-masingpaling tidak harus sama dengan angka kelebihan di atas.Diketahui bahwa dana untuk satu satuan usaha terkait denganjenis tanur adalah sbb :

saringan BBM

TB 6 10

TT 8 12

Disyaratkan pula bahwa jumlah satuan kedua macam usaha untukTT tidak boleh lebih dari 20% dari seluruh usaha. Berapasatuan masing-masing usaha sebaiknya dilaksanakan sehinggasemua kendala dipenuhi dan dengan biaya total minimum.

2. Alkohol dapat dihasilkan dari 3 macam buah-buahan,A,P dan Vdan masing-masing dapat diolah dengan dua macam proses,misalnya A1: buah diolah menurut cara 1 dan A2 : buah A diolahdengan cara 2 dst. Berturut –turut A1,A2,P1,P2,V1 dan V2 dapatmenghasilkan alcohol sebanyak : 3%, 2,5%,3,5%,4%,5% dan 4,5%dari berat buah sebelumnya. Kapasitas mesin adalah 1 ton buah-buahan per hari dan selaludipenuhi. Pemborong yang menyuplaibuah A hanya mau melayani jika paling sedikit dapat masuk 400kg per hari. Sebaliknya buah P dan V masing-masing hanya dapatdiperoleh paling banyak 350 kg per hari. Program manakah yangharus dipilih supaya hasil alcohol per harinya maksimum?Rumuskan masalah di atas.

2. Susun model matematis untuk soal cerita di bawah.

Sebuah perusahaan akan membeli paling sedikit 8 buah mesinuntuk perluasan pabriknya. Harga yang baru 15 juta per unit.Di luar juga dapat dibeli mesin bekas dengan umur 2 tahun, 3tahun, dan 4 tahun yang harganya diukur dari harga baru akansusut 3 juta per tahunnya. Keempat jenis di atas, yang baru,umur 2 tahun, umur 3 tahun, umur 4 tahun mempunyai ukuran yangberbeda-beda, berturut-turut akan memekan tempat 3,4,5, dan 6meter persegi per unitnya, sedang ongkos perawatannyaberturut-turut 0,1,2, dan 4 juta pertahunnya. Bila tempat yangtersedia untuk semua semua mesin yang dibeli tersebut hanaya35 meterpersegi dan ongkos perwatan total yang disedaiakanhanya 7 juta per tahun, berapa unit dari jenis-jenis mesin diatas sebaiknya dibeli supaya batas-batas kendala tidakmelanggar dan uang pembelian total minimum ?

BAB II PROGRAM LINEAR DENGAN METODE GRAFIK

Di dalam pembahasan program linear dengan metodegrafik lebih efektif apabila menggunakan contoh-contoh soal. Program linear yang penyelesaiannyadengan menggunakan grafik pada prakteknya jarangterjadi, karena dalam praktek untuk PL dengan duavariable jarang kita temukan. Namun PL denganmempergunakan metode grafik akan mempermudah kitauntuk memahami hal-hal yang ada pada PL.

Sebelum membahas bagaimana menyelesaikan PL denganmetode grafik, sebagai latihan selesaikan soalberikut ini :

Latihan :

Gambarlah grafik fungsi berikut :

1)2x + y = 10 2)3x – 4y = 203)4x + 3y = 124)4x + 3y ≤ 125)4x ≤ 126)3y ≥ 187)X – 2y ≥ 208)3X – 2y ≥ 50

Daerah fisibel terbatas

Kembali pada permasalahan Perusahaan sepatu”IDEAL”yang sudah dibahas pada bab sebelumnya, soal memilikibatasan-batasan :

(1) 2x ≤8

(2) 3y ≤ 15

(3) 6x + 5y ≤ 30

(4) x ≥ 0

(5) y ≥ 0

dan memaksimalkan f= 3x + 5y

Pertidaksamaan (1) sampai dengan (3) merupakankendala utama dan Pertidaksamaan (4) dan (5)

merupakan kendala tak negative. Dari masing –masingkendala di atas apabila digambarkan akan diperolehsuatu grafik dengan daerah yang tertutup sepertigambar berikut :

(3)

D C (2)

DF B

0 A (1)x

Gambar 2.1. Daerah fisibel

Dari grafik diperoleh suatu daerah fisibel (DF) yangmerupakan daerah tertutup 0ABCD. Daerah fisibeladalah daerah yang memenuhi sebagai penyelesaianlayak. Penyelesaian layak (pl) sendiri dimaksudkansuatu pasangan (x,y) yang memenuhi semua kendala yangada. Sedangkan (x,y) nya sendiri dinamakan titiklayak. Titik –titik yang ada pada daerah layakmerupakan calon-calon “dia” sebagai titik optimum.

Untuk mencari berapa nilai optimum dan titik layakmana yang memberikan nilai optimum, langkahselanjutnya digambarkan grafik fungsi sasaran sebagaigaris selidik. Penggambaran grafik fungsi sasaranpada soal sepatu”IDEAL” yang memiliki fungsi sasaranf=3x+5y dapat diambil f=10, 20 ataupun 30. Sehinggakita dapat menggambar fungsi 3x+5y=10, 3x+5y=20 dan3x+5y=30. Di dalam pengambilan nilai f adalahsembarang. Dari ketiga persamaan tersebut masing-masing memiliki gradient yang sama yaitu : -3/5

artinya ketiga garis lurus itu letaknya salingsejajar.

f=10 f=20f=30

Gambar 2.2. garis selidik

Apabila garis f selaku garis selidik digeser ke kananmaka diperoleh nilai f yang semakin besar

Dari gambar 2.2 dapat dilanjutkan denganmenggambarkan garis selidiknya, diperoleh Gambar 2.3berikut ini :

(3)

D C (2)

DF B

0 A (1)x

Gambar 2.3. Daerah fifibel 0ABCD dan garis selidik

Setelah dilakukan penggeseran garis selidik ke kanandiperoleh nilai f yang terbesar (optimum) di titik C.Titik C adalah titik perpotongan garis (1) dan (2)dengan koordinat (x,y)= (5/6, 5). Dari titik(x,y)=(5/6,5) tersebut dimasukkan ke fungsi tujuan f=3x+5y sehingga diperoleh 3(5/6)+5(5)=27 ½. Jadi darisoal perusahaan sepatu “IDEAL” diperoleh kesimpulan

perusahaan harus memproduksi sepatu merk A sebanyak5/6 lusin sepatu dan merk B 5 lusin sepatu yang akanmenghasilkan laba maksimum sebesar 27 ½ x Rp10.000,00= Rp 275.000,00.

Untuk mencari nilai optimum juga dapat dilakukantanpa menggunakan garis selidik, yaitu denganmembandingkan nilai fungsi tujuan yang diperolehsetelah memasukkan titik-titik yang ada di daerahfisibel.

Kembali ke permasalahan perusahaan sepatu “IDEAL”pada gambar 2.2 diperoleh titik sudut- titik sudut0(0,0), A(4,0), B(4, 5/6), C(5/6,5) dan D(0,5). Padatitik O(0,0) diperoleh nilai f=0, Titik A(4,0)X=4 , y=0 diperoleh f=3.4+0=12Titik B(4,5/6) diperoleh f=18Titik C(5/6,5) diperoleh f=27 ½Titik D(0,5) diperoleh f=25Dari ke lima hasil nilai f ,diperoleh nilai fmaksimum= 27 ½ di (x,y)=(5/6,5).Hal ini dapat disimpulkan bahwa perusahaan harusmemproduksi sepatu merk A sebanyak 5/6 lusin sepatudan merk B 5 lusin sepatu yang akan menghasilkan labamaksimum sebesar 27 ½ x Rp 10.000,00= Rp 275.000,00.

Dari permasalahan pada perusahaan sepatu”IDEAL”sebaiknya memproduksi sepatu merk A=5/6 lusin sepatudan merk B=5 lusin sepatu setiap hari, dengan labayang akan diperoleh sebesar Rp 275.000,-. Pada mesinkedua tidak ada waktu yang tersisa yaitu : 5.3=15,artinya waktu 15 jam habis terpakai, begitu jugamesin ke tiga, yaitu : 6.(5/6)+5.5= 30 , artinya 30

jam habis terpakai. Sedangkan untuk mesin pertamamasih tersisa:8- (2.5/6)=6 2/6 jam.

Dari pembahasan di atas dapatlah ditarik suatukesimpulan:

1.Metode grafik dipergunakan untuk menyelesaikan PLdengan dua variable.

2.Langkah yang dilakukan dengan menggambar masing-masing kendala utama dan kendala tak nol.

3.Dari gambar dapat diperoleh daerah fisibel atautidak memperoleh daerah fisibel.

4.Apabila diperoleh daerah fisibel maka titik-titikyang ada di daerah fisibel itu merupakan calonyang memberikan nilai maksimum (nilai minimum).

5.Apabila tidak diperoleh daerah fisibel artinyafungsi tujuan tidak mempunyai nilai optimum.

6.Di dalam memperoleh nilai optimum dapat dilakukandengan menggunakan (a). garis selidik dan (b).membandingkan beberapa alternative nilai-nilaiyang dihasilkan oleh titik-titik yang ada padadaerah fisibel tersebut.Pada penyelesaian PL dengan metode grafik, memang

mudah dilakukan apabila variable hanya 2 buah. Akantetapi hal ini cukup rumit apabila variable yangdihadapi 3 buah atau lebih.

Daerah fisibel tak terbatas

Suatu soal yang berbunyi :Mencari x,y yang memenuhi :

x + y ≥ 12 (1)5x + y ≥ 20 (2)

x + 6y ≥ 24 (3)x ≥ 0 (4)y ≥ 0 (5)

dan meminimumkan f=10x + 30y.Soal di atas apabila digambar, maka akan diperolehsuatu daerah fisibel yang tidak terbatas (unbounded).Adapun gambarnya adalah sebagai berikut :

(2) P A

(1) B DF (3) C D Q

Gambar 2.4. Daerah fisibel PABCDQ dan garis selidikDaerah fisibel ditunjukkan pada daerah terbuka PABCDQyang merupakan daerah layak yang tak terbatas.Garis selidik dapat dilukiskan pada gambar 2.4 denganmengambil f=0 dan f=10. Garis selidik memilikigardien -1/3 dan garis selidik semakin di geser kekiri akan memberikan nilai f yang semakin kecil.Sehingga untuk mencari nilai f yang minimum pada soaldi atas diperoleh (x,y)=… yang member nilai minimumsebesar f=…..Coba selesaikan dengan cara II ???

Kendala berlebih (redundant)Mencari x,y tak negatip yang memenuhi :

4x + 2y ≥ 4 (1)2x + 6y ≥ 12 (2)2x + 6y ≥ 24 (3)x+ y ≥ 8 (4)

2x + y ≥ 10 (5)2x + y ≥ 2 (6)x ≥ 0 (7)y ≥ 0 (8)

dan meminimumkan f= 100 – 40x – 15yGambarlah grafik di atas !!!Dari gambar yang saudara lakukan apakah diperolehdaerah fisibel ?Daerah fisibel yang diperoleh terbatas atau tidak ?Kendala mana yang menjadi batas dari daerah fisibel ?Kendala yang mana yang tidak menjadi batas daerahfisibel ?

Dari gambar grafik, diperoleh daerah fisibel yangtak terbatas (unbounded) yang dibatasi oleh 6 kendala,yaitu : ……… Sedangkan kendala … dan … tidak menjadibatas daerah fisibel. Walaupun dua kendala ini tidaksebagai batas, dua kendala ini telah terwakili olehkendala yang lain. Artinya syarat dua kendala ituotomatis terpenuhi apabila kendala – kendala yanglain juga terpenuhi. Dua kendala ini dinamakanberlebih (redundant).

Merosot (degenerate)Mencari x,y tak negatip yang memenuhi :

3x + y ≥ 6 (1)4x + 3y ≥ 12 (2)x + 4y ≥ 4 (3)5x+ 10y ≥ 42 (4)x ≥ 0 (5)y ≥ 0 (6)

dan meminimumkan f= 40x + 5y

Kendala berbentuk Persamaan Tentukan x,y,z yang memaksimumkan f= 30x + 20y + 5zdengan kendala :

2x+ 2y + z ≥ 40 (1) 3y + 4z ≥ 10 (2)x + 3y + 3z = 30 (3) 5z ≤ 50 (4)x ≥ 0 (5)y ≥ 0 (6)z ≥ 0 (7)

Dapatkah saudara menggambarkan grafiknya ?Karena di dalam kendala terdapat satu persamaan yaitupersamaan (3) sehingga dapat dilakukan eliminasi, x=-3y – 3z. ke persamaan –persamaan yang lain sehinggadiperoleh :

2(-3y – 3z)+ 2y + z ≥ 40 (1)3y + 4z ≥ 10 (2)

5z ≤ 50(3)

-3y – 3z ≥ 0 (4)y ≥ 0 (5)z ≥ 0 (6)dan memaksimumkan f= 30(-3y – 3z) + 20y + 5z

dapat disederhanakan menjadi :-4y – 2z ≥ 40 (1)3y + 4z ≥ 10 (2)

5z ≤ 50(3)

-3y – 3z ≥ 0 (4)y ≥ 0 (5)z ≥ 0 (6)dan memaksimumkan f= -70y – 85zCoba gambar grafiknya ???Berapa x,y dan z yang memberikan nilai f

maksimum ?Berapa nilai maksimumnya ?

Latihan Soal

1. Carilah x, y yang memenuhi : 2x + y ≥ 12 5x + 8y ≥ 74 x + 6y ≥ 24

x ≥ 0 y ≥ 0 dan meminimalkan f=200x + 300y

Dari latihan soal (1) diperoleh daerah fisibel yangtak terbatas (unbounded)

1)SOLUSISolusi adalah jawaban akhir dari suatu masalah

2)DAERAH FISIBELAdalah penyelesaian yang tidak melanggarbatasan-batasan yang ada.

3)NO FEASIBLE SOLUTION

Tidak ada daerah fisibel, artinya tidakmemungkinkan ada daerah yang fisibel.

4)OPTIMAL SOLUTIONDaerah fisibel yang mempunyai nilai tujuan(maksimum/minimum)

5)MULTIPLE OPTIMAL SOLUTIONApabila mempunyai alternative optimal dalamsuatu masalah.