Produk Momen

Momen dari kombinasi linier peubah acak

m. Jainuri

Definisi 4.7

Produk Produk momen dari peubah acak r dan s dari variable acak x dan y dinotasikan dengan µ r, s adalah ekspetasi dari nilai xr dan ys dituliskan dengan :

Untuk r = 0,1,2, …dan s = 0,1,2, …untuk x dan y peubah acak diskret, dan :

Untuk x dan y peubah acak kontinu.

Jika

Dan

),(.)(.' yxfyxyxE sr

x y

srsr

dxdyyxyxE srsr

sr )(.

xxE )(0,1'

yyE )(1,0'

Produk Momen dari Rata-Rata

Definisi 4.8 r dan s adalah produk momen dari rata-rata peubah

acak x dan y dinotasikan oleh µr.s adalah nilai ekspetasi

dari (x - µx)r(y - µy)

s dinotasikan dengan :

=

Untuk r = 0,1,2, …. dan s = 0,1,2, … untuk x dan y

peubah acak diskret. Dan,

=

untuk x dan y peubah acak kontinu. µ11 disebut kovarian

dari peubah acak x dan y.

s

y

r

xrs yxE

x y

s

y

r

x yxfyx ),(.

s

y

r

xrs yxE

dxdyyx y

r

x )()(

Produk Momen dari Rata-Rata

Definisi 4.9

µ1.1 disebut kovarian dari peubah acak x

dan y dan dinotasikan oleh σxy, Cov(x,y),

C(x,y).

Teorema 4.11

yxxy .1,1

Produk Momen dari Rata-Rata

Bukti teorema 4.11 :

))([( yxxy yxE

)[( yxxy yxxyE

yxxy yExExyE )()()(

yxyxxyxyE )(

yx .1,1

Contoh 1 :

Peluang bersama dan peluang marginal dari dua peubah

acak x dan y adalah angka terambilnya tablet aspirin dan

angka tablet sedative, akan diambil dua tablet dari sebuah

botol yang berisi 3 tablet aspirin, 2 tablet sedative, dan 4

teblet laxative. Di mana peluangnya sebagai berikut

Tentukanlah covarian dari peubah acak x dan y !

x

0 1 2

0 1/6 1/3 1/12 7/12

y 1 2/9 1/6 7/18

2 1/36 1/36

5/12 1/2 1/12

Penyelesaian :

Berdasarkan tabel dapat dilihat peluang bersama x dan y,

maka diperoleh :

µ1,1 = E(xy)

=

= 0.0.1/6 + 0.1.2/9 + 0.2.1/36 + 1.0.1/3 + 1.1.1/6 + 2.0.1/12

= 1/6

Dengan menggunakan peluang marginal diperoleh :

),(. yxfyxx y

3

2

6

4

12

1.2

2

1.1

12

5.0)( xEx

9

4

36

1.2

18

7.1

2

7.0)( yEy

Lanjutan...

Dengan demikian maka :

Kovarian dari x dan y yang bernilai negative berarti

semakin banyak tablet aspirin yang diperoleh maka

semakin sedikit tablet sedative yang akan diperoleh, dan

begitu juga sebaliknya.

9

4.

3

2

6

1

yxxy .1,1

54

7

Teorema 4.12

Jika x dan y saling bebas, maka

E(x,y) = E(x).E(y) dan σxy = 0.

Bukti :

Jika x dan y saling bebas dapat ditulis f(x,y) = g(x)h(y) di mana

g(x) dan h(y) adalah nilai batas masing-masing distribusi dari x

dan y, sehingga :

),(.)( yxfyxxyEx y

)()(.)( yhxgyxxyEx y

)(.)(.. yhyxgx

yx

)().( yExE

Lanjutan....

Maka :

Jika dua peubah acak saling bebas maka

kovariannya adalah nol, tetapi kovarian

yang bernilai nol bukan berarti dua peubah

tersebut saling bebas

yxxy .1,1

)().()()..( yExEyExE

0

Contoh 2 :

x

-1 0 1

-1 1/6 1/3 1/6 2/3

y 0 0 0 0 0

1 1/6 0 1/6 2/3

1/3 1/3 1/3

Diberikan dua peubah acak x dan y dengan

distribusi peluang bersama sebagai berikut :

Dapat dilihat bahwa covariannya adalah 0

meskipun dua peubah acak tersebut bukanlah

saling bebas.

Penyelesaian :

Dengan menggunakan data pada tabel diperoleh nilai total

marginal sebagai berikut :

µx = (-1).1/3 + 0. 1/3 + 1. 1/3 = 0

µy = (-1). 2/3 + 0 . 0 + 1 . 1/3 = - 1/3

µ1,1= (-1)(-1).1/6 + 0(-1).1/3 + 1(-1).1/6 + (-1)1.1/6 + 1.1.1/6

= 0

Maka σxy = 0 – 0(-1/3) = 0, tetapi peubah acak x dan y bukanlah saling

bebas karena tidak berlaku f(x,y) g(x).h(y) di mana g(x) total marginal

dari x dan h(y) total marginal dari y. Contoh subsitusikan nilai x = -1

dan y = -1. Produk momen bisa juga didefenisikan untuk lebih dari dua

peubah acak.

Teorema 4.13 :

Jika x1, x2, x3, …..,xn saling bebas maka

E(x1, x2, x3, …..,xn) = E(x1).E(x2).E(x3)….E(xn)

Teorema 4.14 :

Jika x1, x2, x3, ......,xn adalah varoabel acak dan

di mana a1, a2, a3,.....,an adalah konstanta maka :

dan

di mana penjumlahan ganda melebihi nilai i dan j, dari l

sampai n di mana i < j.

Akibat Teorema 4.14 :

Jika variabel acak x1, x2, x3, ......,xn adalah bebas dan ,

maka

n

i

ii xay1

n

i

ii xEayE1

)()(

n

iji jijii xxaaxay

1

1

2),cov(.2)var(.)var(

n

i

ii xay1

n

i

i xay1

1

2)var(.)var(

Contoh 3 :

Jika variabel x, y dan z mempunyai rata-rata µx = 2, µy = -3, µz = 4, variannya

dan kovariannya cov(x,y) = -2, cpv(x,z) = -1, cov(y,z) = 1. Carilah rata-rata dan varian dari : w = 3x – y + 2z !

2 ,5 ,1 222 zyx

,

Penyelesaiannya : Berdasarkan teoreme 4.14 maka :

,

)23()( zyxEwE

)(2)()(3 zyExE

)4(2)3(23

17

),cov(4),cov(12),cov(6)var(4)var()var(9)var( zyzxyxzyxw

14)1(12)2(624519

18

Teorema 4.15

Jika x1, x2, x3,....,xn adalah variabel-variabel acak dan

di mana a1, a2, a3,....,an , b1, b2, b3,....,bn adalah konstanta maka :

Bukti :

n

i

ii xay1

1

n

i

ii xby1

2

n

iji jiijjiii xxbabaxbayy

1

121 ),cov().(2)var(.),cov(

)()()(),cov( 212121 yEyEyyEyy

n

i

ii

n

i

ii

n

i

n

i

iiii xbExaExbxaE111 1

)()()()(

)()(1 1

2

1 1

i

n

i

n

i

iii

n

i

n

i

ii xEbaxEba

Korolari :

Jika x1, x2, x3,....,xn adalah variabel-variabel acak yang bebas dan maka :

n

i

ii xay1

1

n

i

ii xby1

2

n

i

ii xbayy1

121 )var(.),cov(

Contoh 4 :

Jika peubah acak x, y dan z mempunyai rata-rata µx = 3, µy = 5, µz = 2, variannya

dan kovariannya cov(x,y) = 1, cov(x,z) = -3, cov(y,z) = 2. Tentukan cov(u,v) di mana

u = x + 4y + 2z dan v = 3x – y – z !

18 ,12 ,8 222 zyx

,

Penyelesaiannya :

Berdasarkan Teorema 4.15, maka :

,

)3,24cov(),cov( zyxzyxvu

),cov(6),cov(5),cov(11)var(2)var(4)var(3 zyzxyxzyx

26)3(511118212483

76