Matematicas - U

Matemáticas

Unidad 3

Matemáticas. Unidad Números Reales

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Números Reales

Cuaderno de Aprendizaje. Santiago IPVC, 2016. N° págs. 22

Cuadernos de Aprendizaje, Santiago, 2016

Derechos Reservados Instituto Profesional Valle Central, prohibida su reproducción, descarga

o exhibición para usos comerciales. Permitida su descarga exclusivamente con fines

educacionales.


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Índice de contenido

I. Bienvenida. ........................................................................................................ 4

II. Tema 1. Notación y Tipos de Números Reales ............................................... 5

III. Tema 2. Propiedades de los Números Reales ............................................... 12

IV. Bibliografía ..................................................................................................... 22


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I. Bienvenida.

Estimados estudiantes les damos la bienvenida a la unidad Números Reales, la

cual tiene como objetivo conocer las propiedades que caracterizan los Números Reales y

sus propiedades más importantes. Se conforma por los temas: 1. Notación y Tipos de

Números Reales y 2. Propiedades de los Números Reales. El tema 1, tiene como

objetivo conocer la definición de Números Reales e identificar las principales características

de los diferentes tipos (racional/irracional) dentro del sistema métrico decimal. El tema 2,

tiene como objetivo conocer y aplicar las propiedades de los Números Reales y destacar

ciertas propiedades básicas que gobiernan el cálculo, con el fin de deducir las reglas

habituales de cálculo.

A continuación, se presenta un cuaderno con la información necesaria de los dos temas

de la unidad 3. Les invitamos a estudiarlo y realizar las autoevaluaciones planteadas,

verificar las respuestas de las autoevaluaciones, revisar la bibliografía y vínculos de

interés. Al finalizar de estudiar la unidad con este cuaderno, tendrá la preparación para

realizar y aprobar las 2 evaluaciones indicadas en la guía de actividades. Ante cualquier

duda, comuníqueselo a su tutor.

Recuerden que en Valle Central,

¡Su educación es nuestra prioridad!


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II. Tema 1. Notación y Tipos de Números Reales

Conjunto de Números Reales

Los números se dividen en grupos o conjuntos, donde cada uno contiene al anterior y

es más completa que él y con mayores posibilidades en sus operaciones. Los

subconjuntos están organizados de la siguiente forma:

El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que

comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir que

incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los números que

no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como

denominador a números no nulos (excluye al denominador cero).


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Un número real puede ser expresado de diferentes maneras, por un lado, están los

números reales que pueden ser expresados con mucha facilidad, ya que no poseen

reglas complejas para hacerlo. Estos son los números enteros y los fraccionarios. Sin

embargo, también existen otros números que pueden ser expresados bajo diferentes

reglas matemáticas más complejas como números cuyos decimales son infinitos como

el número π o 2√2 y que sirven para realizar cálculos matemáticos, pero no pueden

ser representados como un símbolo numérico único.

Los números reales se representa con la letra ℝ y aparecen por la necesidad de realizar

cálculos más complejos, debido a que entre el siglo XVI y el XVII, se hacían necesarias

nuevas cifras para los avances tecnológicos que ya no podían ser representados por

cifras aproximadas ni por expresiones coloquiales por su inexactitud. El rigor del

avance de la humanidad a partir de sus herramientas, hizo necesaria la creación de

nuevas expresiones matemáticas que den mayor exactitud a los cálculos.

Por lo tanto, el conjunto de los números reales se conformó a partir de otros

subconjuntos de números que surgían de necesidades en las matemáticas, como los

números negativos y los números fraccionarios y decimales. En Europa, cuna de la

ciencia en la modernidad, los números negativos no fueron utilizados hasta ya


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avanzado el siglo XVII, sin embargo, ya habían sido pensados muchos siglos atrás por

culturas como la china y la hindú. Incluso se llegaba a descartar las soluciones de

cálculos que tenían resultado negativo, por ser considerados números irreales.

Los números fraccionarios por su parte, fueron utilizados por los egipcios para la

resolución de diferentes problemas. Pero es en la cultura griega de donde se extrae el

actual uso de los racionales, de raciones de números, ya que los utilizaban para definir

el espacio entre las notas musicales con relaciones de armonía que correspondían a

divisiones en las melodías del sonido. Así se empezó a ver fracciones en otras cosas y

sustancias.

A partir de allí, la complejidad de los cálculos empieza a profundizarse y es hasta el

Teorema de Pitágoras que surgen los números irracionales de los que se hablaba, donde

los decimales de la fracción son infinitos y por lo tanto no son expresables en números

únicos. De aquí nace el primer número irracional que se conoce, como la constante

pitagórica.

El concepto de números reales corresponde a aquellos números que pueden ser

expresados con decimales, incluyendo a aquellos con decimales en infinita expansión.

Esto se debe a que, en la lógica de los números reales, no hay números exactos. Es decir,

la exactitud de un resultado está marcado por la expansión infinita de los decimales de

un número, cuyo mejor ejemplo es π, y paradójicamente, este no es un número exacto,

ya que proviene de la división de la circunferencia para el diámetro de un círculo

perfecto.

Sistema Métrico Decimal


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En el siguiente ejemplo se muestra la representación decimal de un número:

𝟏. 𝟗𝟖𝟑, 𝟐𝟕𝟏 = 𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝟑 + 𝟗 ∙ 𝟏𝟎𝟐 + 𝟖 ∙ 𝟏𝟎 + 𝟑 ∙ 𝟏 + 𝟐 ∙𝟏

𝟏𝟎+ 𝟕 ∙

𝟏

𝟏𝟎𝟐+ 𝟏 ∙

𝟏

𝟏𝟎𝟑

Se observa en este punto que un número cuya representación decimal es finita, es un

número racional.

El sistema decimal de escritura ha conducido naturalmente a la adopción del sistema

métrico decimal; en términos generales, este sistema consiste en medir cantidades

utilizando submúltiplos iguales a 𝟏

𝟏𝟎 ,

𝟏

𝟏𝟎𝟐 ,

𝟏

𝟏𝟎𝟑 , etc., de la unidad de medida.

Es claro lo que significa decir que un segmento mide 1.983,271. Pero al medir un

segmento PQ, puede ocurrir que su medida X no sea un múltiplo de 𝟏

𝟏𝟎𝒏 , por grande que

elijamos a n. En este caso el número decimal finito (luego racional) obtenido en el

proceso de medición es sólo una medida aproximada por defecto del segmento PQ (con

un error menor que 𝟏

𝟏𝟎𝒏).

Por lo tanto, X se debería escribir como una expresión decimal infinita: X = a0, a1, a2,

a3…an…Recíprocamente, a una expresión decimal infinita de este tipo, podemos hacer

corresponder un segmento de medida X. La escritura decimal nos provee así de una

manera cómoda de designar a un número real.

A los números racionales corresponden expresiones decimales periódicas, por ejemplo:

𝟏

𝟑= 𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑 ….


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𝟏

𝟕= 𝟎, 𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕 …

𝟏𝟒𝟏

𝟏𝟏𝟎= 𝟏, 𝟐𝟖𝟏𝟖𝟏𝟖𝟏. ..

𝟏

𝟒= 𝟎, 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

Estos números son periódicos porque una secuencia de cifras, llamada período, que se

repite indefinidamente a partir de un cierto dígito. Así, en la expresión de 𝟏𝟒𝟏

𝟏𝟏𝟎 se repite

81. En el caso de 𝟏

𝟒, se repite 0 indefinidamente. Para evitar ambigüedades, se prefiere

la siguiente notación:

𝟏

𝟑= 𝟎, �̅�

𝟏

𝟕= 𝟎, 𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅

𝟏𝟒𝟏

𝟏𝟏𝟎= 𝟏, 𝟐𝟖𝟏̅̅̅̅

𝟏

𝟒= 𝟎, 𝟐𝟓�̅�

En estos ejemplos, la expresión decimal se obtiene haciendo la división en la forma

habitual. Por ejemplo, no es difícil convencerse de que realmente la medida a asignar a

un segmento de longitud 𝟏

𝟑 , utilizando el sistema métrico decimal, es 0,3333….

Por lo tanto:

a) La representación decimal de un número racional es periódica. Y recíprocamente:


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b) Si una expresión decimal de un número es periódica, el número es racional.

Si el período sigue inmediatamente a la coma decimal, el número correspondiente es

racional. Si el período no sigue inmediatamente a la coma decimal, se procederá como

se ilustra en el ejemplo siguiente:

Sea b = 12,87341341…= 12,87𝟑𝟒𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅

Entonces 102b = 1287,341341… = 1287,𝟑𝟒𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅

Se ha multiplicado por 102 para correr la coma de modo que el período comience

inmediatamente después de la coma. Aplicando entonces el procedimiento visto, al

número 1287,𝟑𝟒𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅ , se obtiene:

102b = 1287,𝟑𝟒𝟏̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝟏𝟐𝟖𝟔𝟎𝟓𝟒

𝟗𝟗𝟗 , luego:

b = 𝟏𝟐𝟖𝟔𝟎𝟓𝟒

𝟗𝟗𝟗𝟎𝟎

En el caso general, si el período comienza r cifras después de la coma, multiplicando por

10r, corresponde al caso anterior.

La proposición anterior tiene por objeto distinguir a los números racionales por su

expresión decimal. Es conveniente recordar que los números que no son racionales se

llaman irracionales, donde el desarrollo decimal continúa según se sugiere en las cifras

escritas. Ejemplos de estos números:

0,10110011100011110000…

0,2212221222212222212222221…

Hasta ahora se ha hablado de números positivos. Históricamente, los números negativos

aparecieron recién a principios del siglo XVII (aparentemente sugeridos por el desarrollo de


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las actividades comerciales: una deuda podía ser considerada como una cantidad negativa).

En esta época se convino en agregar a los números positivos los números negativos de

una manera formal: con cada número positivo X se considera su negativo

correspondiente: − X, de manera que X + (−X) = 0.

Todos estos números constituyen el conjunto ℝ de los números reales. Este conjunto

contiene al conjunto ℚ de los números racionales (constituido por los racionales

positivos, sus negativos y el cero). Se denomina ℤ al conjunto de los números enteros,

constituido por los números naturales 1, 2, 3, 4, …, sus negativos y el cero. El conjunto

de los naturales se notará con ℕ.


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Tema 2. Propiedades de los Números Reales.

Propiedades en ℝ

ADICIÓN DE NÚMEROS REALES

En la adición de números reales, los términos que intervienen son los sumandos y el

resultado, donde el orden de los sumandos no altera el resultado.

a + b = b + a

a + b = b + a

Al ser los números reales, un conjunto que incluye los números negativos, la suma de

negativos es posible, sin tener que recurrir a otro conjunto de números. Entonces, las

sumas se pueden realizar como:

a + (−b) = (−b) + a = −b + a

a + (−b) = (−b) + a = −b + a

Por ejemplo, podemos tomar los dos sumandos, 77 y −11−11. El orden de estos, al

sumarlos, no va a alterar el resultado, ya que se trata al sumando como un término en

su valor absoluto. Pero si se lo tomara por su valor relativo, no se podría sumar 7+11 o

11+7 y esperar el mismo resultado que:

7 + (−11) = −11 + 7 = −4

7 + (−11) = −11 + 7 = −4

En este caso, el resultado es negativo, ya que el sumando con valor negativo es mayor

que el término con valor positivo.

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS REALES


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A pesar de que todas las operaciones de sustracción de números reales pueden ser

expresadas como sumas, como se podía ver en el ejemplo anterior, también en la

sustracción existen reglas para evitar confusiones. Pues, los términos que intervienen

en esta operación, son el sustraendo, el minuendo y el resultado. El sustraendo siempre

va primero, el minuendo va siempre después, logrando que el orden de los términos si

acabe por afectar al resultado.

a – b ≠ b − a

Donde a + (−b) · a + (−b) si es igual a · (−b) + a · (−b) + a. Por lo cual, para poder cambiar

de orden a los términos de una resta, se debe usar el inverso aditivo o el negativo del

sustraendo para que de esta manera no se vaya a alterar el resultado.

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES

En la multiplicación de números reales, los términos son los factores y el producto o

resultado. En esta operación, los factores no alteran el producto, sin embargo, existen

otras reglas para multiplicar cuando se tienen números negativos.

Al multiplicar dos factores con el mismo signo positivo, la respuesta será la misma

multiplicación, sin cambios.

a × b = c

Pero al multiplicar dos factores con signo negativo, el cambio se dará bajo la regla de:

+ + +


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+ - -

- + -

- - +

Por lo tanto, si tenemos dos factores con signo negativo, la regla sería.

−a × −b = c

Si se calcula dos factores, ambos con signo diferente, uno positivo y otro negativo,

entonces la respuesta va a ser negativa.

a ×−b = −c

−a × b = −c

Al operar con varios factores de signos variados, se debe contar la cantidad de factores

con signo negativo. Si hay un número par, el resultado es positivo. Si hay un número

impar, el resultado es negativo.

a ×−b ×−c = d

a × −b × c = −d

Si se multiplica por 1, cualquier factor daría como resultado el mismo factor.

a × 1 = a

Si se multiplica por cero, el resultado será cero.

a × 0 = 0

DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES


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En la división de números reales, se aplican las mismas reglas de signos que en la

multiplicación. Y en las fracciones, si uno de los dos términos tiene signo negativo, toda

la fracción se convierte en un número negativo.

𝑎

−𝑏=

−𝑎

𝑏= −

𝑎

𝑏

Sin embargo, la división solo se puede realizar entre números mayores o menores que

cero, mas no el mismo cero, ya que el resultado no está definido en estos casos.

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES

La potenciación tiene varias reglas como:

a0=1

a1=a

Multiplicación y división de potencias con la misma base.

am×an=am+n

am÷an=am−n

Potencia de potencia.

(am)n=am×n

(am)n=am×n

Multiplicación y división de potencias con el mismo exponente.

an × bn = (a × b) n

an ÷ bn = (a ÷ b) n

OTRAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

i. Todo número real tiene su inverso.


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ii. El valor absoluto de un número real está marcado por su posición en la recta

numérica en relación al cero. Si se encuentra a la derecha del cero, significa que es

mayor que 0 y por lo tanto su signo es positivo. Si, por el contrario, se encuentra a

la izquierda del cero, su valor es negativo, porque es menor que 0.

iii. No existen raíces de orden par en los números reales para los negativos, ya que su

respuesta sería indefinida, están definidas dentro del conjunto de números

complejos y por lo tanto se excluyen de esta clasificación.

Propiedades básicas del cálculo

Las propiedades de los reales se presentan por separado en los números naturales,

enteros, racionales e irracionales.

1) Números Enteros (ℤ): Todos los números naturales y sus opuestos (negativos).

Ejemplos: -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Propiedades importantes

Suma

Asociativa: (b + a) + c = a + (b + c)

Ejemplo: ((-3) + 22) + (-1) = (-3) + (22+(-1))

(1) + (-1) = (-3) + 3

0 = 0

Conmutativa: a + b = b + a

Ejemplo: 2 + (-3) = (-3) + 2

-1 = -1


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Elemento neutro: En el conjunto de los enteros existe un número que sumado a

cualquier otro, da siempre este otro. Este número se llama elemento neutro de la

suma y es el cero.

Ejemplo: (-2) + 0 = -2 0 + 5 = 5

Notación de la suma

a) Cuando sumamos números enteros de igual signo, el resultado es otro

número entero del mismo signo.

b) Cuando sumamos números enteros de distinto signo, el resultado lleva el

signo del número de mayor valor absoluto.

Multiplicación:

Asociativa: (a x b) x c = a x (b x c)

Ejemplo: (-3 x 4) x -2 = -3 x (4 x -2)

-12 x -2 = -3 x -8

= 24

Conmutativa: a x b = b x a

Ejemplo: (-6) x 23 = 23 x (-6)

-48 = -48

Elemento neutro: El uno (1) es un elemento neutro en la multiplicación de

números enteros.

Producto por cero: El producto de cualquier número entero por el número cero

es cero.


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2) Números Naturales (ℕ): Los números naturales son los reales que son enteros

positivos. Los números naturales son infinitos. Sirve para designar la cantidad de

elementos que tiene un cierto conjunto. Estos números tienen las mismas

propiedades que los números enteros, pero sin usar el signo negativo, sólo números

positivos. Ejemplos: 8; 45; 63

3) Números Racionales (ℚ): Son los números que se pueden expresar como fracción.

De aquí nacen los números: Enteros y Naturales. Ejemplos: 7/45; 8/67; 98/45.

Propiedades importantes

Suma: La suma de números racionales tiene las mismas propiedades que la

suma de números naturales y enteros. Posee las propiedades: conmutativa,

asociativa, elemento neutro y existe el opuesto de cualquier número racional.

Asociativa: En una suma de números racionales pueden sustituirse dos o más

sumandos por su suma ya efectuada, y no varía la suma total.

Ejemplo: 2/3 + (1/5 + 7/15) = 2/3 + 10/15 = 20/15

análogamente: (2/3 + 1/5) + 7/15 = 13/15 + 7/15 = 20/15

Conmutativa: El orden de los sumandos no altera el valor de la suma.

Ejemplo: 2/3 + 1/5 + 7/15 = 1/5 + 7/15 + 2/3

20/15 = 20/15

Elemento neutro: En el conjunto de los números racionales existe un

número que sumado a cualquier otro da siempre este otro. Este número se

llama elemento neutro de la suma y es el cero.

Ejemplo: 3/4 + 0/6 = 9/12 = 3/4


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Existencia del opuesto: El opuesto del número x es – x. La suma de dos

números opuestos pertenece a la clase del numerador cero.

Ejemplo: 4/7 + (- 4/7) = 0/4

Multiplicación

Asociativa: En un producto de números racionales pueden sustituirse dos o

más de los factores por el producto efectuado.

Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.

Elemento neutro: En el conjunto de los números racionales existe un

número que, multiplicado por cualquier otro, da siempre este otro. A tal

número se le llama elemento neutro respecto del producto. Es el

representado por las fracciones del tipo a/a (numerador y denominador

iguales).

Elemento inverso: Es el que, multiplicado por un número racional, hace que

su producto sea el elemento neutro.

Ejemplo: Para 2/5 el inverso es 5/2 porque:

2/5 x 5/2 = 2 x 5/5 x 2 = 10/10

Reglas para despejar

i. b + x = a es equivalente x = a – b

En efecto, sumando − b a ambos miembros de la igualdad b + x = a, se tiene:


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b + x + (− b) = a + (− b), o sea 0 + x = a − b, esto es: x = a − b

ii. Si b ≠ 0, b ⋅ x = a es equivalente a x = a/b

Basta multiplicar en este caso por 1

𝑏 y se tiene

1

𝑏 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 =

1

𝑏 ∙ 𝑎, o sea: 1 ∙ 𝑥 = 𝑥 =

𝑎

𝑏

De aquí obtenemos la ley de simplificación: Si b ≠ 0 y b · x = b ⋅ y, entonces x = y

iii. − (a) = a

Resulta de despejar a en a + (− a) = 0

iv. 𝟏

𝒂= 𝒂 (a ≠ 0)

Resulta de despejar a en 𝑎 ∙ 𝟏

𝒂= 1

v. − (a + b) = − a − b

Resulta de despejar – a − b en (a + b) + (− a − b) = 0

Análogamente se ve que − (a + b + c + d) = −a − b − c − d

vi. Anulación de un producto: a ⋅ 0 = 0 y si a⋅ b = 0, entonces a = 0 ó b = 0

Si el producto de varios factores es cero, por lo menos uno de ellos es cero.

vii. Reglas de los signos: (−a)· b = a ⋅ (− b) = − (a ⋅ b) y (−a) · (−b) = a ⋅ b

viii. Reglas relativas al cociente:

𝑎

𝑏=

𝑐

𝑑 equivale a a · d = b · c


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𝑎

𝑏±

𝑐

𝑑=

𝑎 ∙𝑑 ±𝑏 ∙𝑐

𝑏 ∙𝑑

𝑎

𝑏 ∙

𝑐

𝑑=

𝑎 ∙ 𝑐

𝑏 ∙ 𝑑

𝑎

𝑏 𝑐

𝑑

= 𝑎 ∙ 𝑑

𝑏 ∙ 𝑐

− 𝑎

𝑏=

𝑎

−𝑏= −

𝑎

𝑏

𝑎

𝑏=

− 𝑎

− 𝑏

𝑎 +𝑏

𝑐 =

𝑎 ∙𝑐 +𝑏

𝑐


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Bibliografía

Ángel A. R. 1994 Álgebra elemental. Prentice Hall. México.

Baldor, A. 1997. Álgebra. Publicaciones Cultural. México

Baldor, A. 1997. Aritmética. Teórico práctica. Publicaciones Cultural. México

Barnett, R. 1994. Algebra. McGraw Hill. México.

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