PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I -Precálculo,Cálculo integral y diferencial

PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I ING. MIGUEL ENRIQUE RAYA AYALA

1

I Expresar los siguientes números como el cociente de dos enteros. 1 1.181818…

2 0.285714285714…

3 0.200200…

4 0.45

5 4.5132132…

6 2.3544444…

7 1.4444…

8 1.15

9 0.53333…

10 0.9541111111…

II Determinar el periodo que se repite de los siguientes números racionales.

11 79

=x 12 1711

=x 13 78

=x 14 8

15=x 15

24

=x

III Realice las siguientes operaciones con polinomios: 16 (ax+5)+(ax-4)

17 (xy+x+y+2)+(xy-3)

18 (n3+8)+(-n3-n2-n-8)

19 (3x3+3x)+(4x-3x2-7x+10)

20 (c2-d2)+(c2+d2)

21 (a2+b3)+(a3-3a2b+3ab2-b3)

22 (x2+2xy+y2)+(x2-2xy+y2)

23 (a3+b2-c)+(b2+c)

24 (az3+bz2-z)+(-az3+z-4)

25 (3x2+1)+(x2-4)

26 (y3+3y2+2)+(y4+y3-y2+5)

27 (4x2y+3xy+7)+(x3+3x2y-2xy-5)

28 (4y4-3y3-2y2-y-1)+(1+y+y2+y3+y4)

29 (3k2-k+2)+(4k-3)

30 b3+(3b3-c)

31 (x4-1)+(x3-3x2)

32 (3x+4)-(x-1)

33 (3x2-2x-1)-(5x+6)

34 (1+t+t2)-(-t+t2)

35 (4-bcd)-(-bcd)

36 (a-b)-(a-b)

37 (x2+2xy+y2)-(x2-2xy+y2)

38 (k3-k-7)-k

39 (x3-y3)-(x-1)

40 (6x3-3x+2)-(7x3+3x+7)

41 (2-x)-(x2+3x+3)

42 (y)-(-y)

43 (x2+4xy+y2)-(-x2+4xy-2y2)

44 (-2n3-n+8)-(-7-2n3)

45 (4y+5)-(-y-3)

46 3x(y+z)

47 (t2-1)2t

48 xy(2x4y+x2y2-3xy3)

49 (x+5)(x-3)

50 (x+4)(y-3)

51 -4y2(3y-8)

52 (k2-2k)(4k2-1)

53 (ax3-2b2+c)(-3x)

54 (3x+4)(x2+3x-5)

55 (4n2-7n+6)(5n2+4n+6)

56 (y+3)(y-3)

57 (3x-4)(3x+4)

58 (a+b)(a-b)

59 (t+3)2

60 (2x+5)2

61 (a+b+c)(d+e+f)

62 (5a+7)(2a-3)

63 (2x+3y)(x-4y)

64 (x3-y3)(1-y)

65 (4t2-t+3)(t+3)

66 (x2+xy+y2)(x-y)

67 (x2+y2)(x2+y2)

68 (t3+n3)(t3-n3)

69 (x2-xy+y2)(x+y)

70 (a4+a2b2+b4)(a2-b2)

71 (x2+5x-7)(x2-x+4)

72 (k4-2k3+3k2-4k+5)(k+2)

73 (-n3-2n2-3n-4)(n2+n-1)

74 (ax3+bx2+c)(ax3-bx2+c)

75 (2x2y2-3x+4y+1)(1-xy)

76 (r2-2r+1)(2r-r2-1)

77 (3b5-9b4+6b3)/(3b3)

78 (tc-2tc+2+3tc+4)/(tc)

79 (5x2-6x-8)/(x-2)

80 (3y2-7y+6)/(y+3)

81 (17n+n2+21)/(2n+3)

82 (r2-9)/(r-3)

83 (1-16t4)/(1-2t)

84 (2x3-7x2-9x-3)/(2x+1)

85 (x2a-16)/(xa+4)

86 (y3-6y2+12y-8)/(y2-4y+4)

87 (1-r-3r2-r5)/(r2+2r+1)

88

+

+ cccc yxyx

21

31/

81

271 236

IV Factorice completamente si el polinomio es factorizable.89 (y2-x2) 90 (12x2-3) 91 (1-4n2) 92 (81a2b2-b2) 93 (-49x2+64y2) 94 (25x2-x2y2)

95 x2-(y+x)2

96 22 221 yx −

97 (u2-v2)-(u-v) 98 x2-y2+2x+1

99 9s2-16+4t2-12st 100 x3+125 101 24a3-3b3 102 (x+2y)3-8 103 (n+4)3+(n-1)3 104 u2+10u+25-v2

105 4a2 -4ab+b2-9

106 221

21 22 −++ yxyx

V Encontrar, si es que existen, las raíces de los siguientes polinomios. 107 x3+5x2-17x-21=0 108 x3-8x2-4x+32=0 109 3x4-2x3-28x2+18x+9=0


2

110 6x3-47x2+36x-7=0 111 3x3-10x2-23x-10=0

112 x5-x4-13x3+13x2+36x-36=0 113 x5-3x4+10x3-30x2+9x-27=0 114 5x4-12x3+71x2-192x-144=0

115 6x3+31x2+34x-15=0 116 x4-625=0

VI Resuelva lo siguiente:

117 2−

118 3−

119 36−

120 25−

121 9−−

122 16−−

123 128−

124 12−

125 16

9−

126 425

−

127 80−−

VII Expresar los siguientes números complejos en la forma z=a+bi 128 ii 107 +− 129 ( )ii 104 −+

130 (3+2i)+(5-i)

131 (-2+3i)+(7+8i)

132 (4-3i)+(5-2i)

133 2i-(4-3i)

134 3i-(5-2i)

135 (3-i)-(5-2i)

136 (-2+8i)-(7+3i)

137 (4-2i)-(5-3i)

VIII Resuelva lo siguiente: 138 13i

139 20i

140 18i

141 27i

142 99i

143 4971 ii −

144 80767268 iiii −+−

IX Expresar los siguientes números complejos en la forma z=a+bi 145 (3+2i)(5-i)

146 (-2+3i)(7+8i)

147 (4-3i)(5-2i)

148 2i(4-3i)

149 3i(5-2i)

150 (3-i)(5-2i)

151 (-2+8i)(7+3i)

152 (4-2i)(5-3i)

153 (3+2i)/(5-i)

154 (-2+3i)/(7+8i)

155 (4-3i)/(5-2i)

156 2i/(4-3i)

157 3i/(5-2i)

158 (3-i)/(5-2i)

159 (-2+8i)/(7+3i)

160 (4-2i)/(5-3i)

161 (3+2i)/(2+i)

162 (8-3i)/(-2+3i)

163 (5-10i)/(-3+4i)

164 ii

−+

22

165 ( )214234

−−+− i

ii

166 ( )2246237 iii

++−+

167 ( )

( )22 34

3143 iii

+++−

168 ( )

( )32 242

23 iii

−−+

169 ( )32

211

ii

i+

−

X Si el reciproco de un número complejo z es 1/z Determinar los recíprocos y expresarlo en la forma a+bi: 170 i 171 –i 172 2-4i 173 -3-5i 174 -4+7i

XI Obtenga las raíces cuadradas mediante el desarrollo del binomio de los siguientes números complejos: 175 2i

176 1+i 177 i−3

178 4+i

179 -3+3i

180 3+4i 181 1- i3

182 4 3 -4i

XII Expresar en su forma polar y graficar en el plano complejo los siguientes números complejos: 183 4-5i

184 3-2i

185 4+i

186 5+3i

187 7

188 2+5i

189 -2+3i

190 2i

191 -2-i

192 -4-3i

193 5-2i

194 -5

195 3-3i

196 -5i

197 5-12i

198 15+8i

199 -7-24i

200 1-i

201 -1+i

202 -1-i

203 1+i

204 1+ 3 i

205 1- 3 i

206 -1+ 3 i

207 -1- 3 i

208 - 3 -i

209 -3-4i

210 8-15i

211 3i

212 –i

213 -2

214 3


3

XIII Realice las operaciones indicadas, pero antes ponga los números complejos en su forma polar 215 ( )( )ii 311 −+

216 ( )( )ii 311 −−−

217 ( )( )( )iii 3113 −−+−+

218 (1+i)4

219 ( )33 i−

220 (-1-i)5

221 ii

++3

31

222 ii

+−−−

11

223 ( )( )

iii

+++

1331

224 ( )

iii

3131

++−

225 ( )( )iii

31311

−+−−

XIV Usando el teorema de De Moivre elévese a la potencia indicada los números complejos. 226 (1+i)3

227 (1- 3 i)3

228 (3+4i)5

229 (5-12i)2

230 (-2+3i)4

231 i9

232 35

233 (-2i)7

XV Encuéntreselas raíces pedidas 234 Raíces cúbicas de 1+i

235 Raíces cúbicas de i

236 Raíces cúbicas de 1- 3 i

237 Raíces cúbicas de - 3 +i

238 Raíces cuartas de 1-i

239 Raíces cuartas de 1+ 3 i

240 Raíces cuartas de 16

241 Raíces quintas de 1-i

242 Raíces quintas de 1+i

243 Raíces quintas de -32

XVI Resuelve las siguientes igualdades:

244 43

83

41

=+ y

245 1821

25

−=+− x

246 0.8t-.3t=6.5

247 2(x+6)=8x

248 80=10(3t+2)

249 180(n-2)=900

250 5y-(2y-10)=25

251 0.7(3x+6)=1.1-(x+2)

252 ( ) ( )1684117816

81

−−=−+ yy

253 a+(a-3)=(a+2)-(a+1)

254 (x+2)(x-5)=0

255 (y-8)(y-9)=0

256 (2x-3)(3x-2)=0

257 m(m-8)=0

258 x(x-1)(x+2)=0

259 ( )( ) 047371

=+− aa

260 2431

624 −=

− xx

261

+=

− xx 7

253

5224

262

−=

+

5639

25

435 xx

263 5(3x+4)2+3=-2(2x-4)

264 2

24174

+=− xx

265 5632 =+x

266 928

47

=− x

267 xx 223

435 −=+


4

268 xx 3527

32

+=−

XVII Encontrar los valores de x para los cuales se cumplen las siguientes desigualdades, exprese la solución en la notación de intervalos.

269 5x-2>3x+8

270 6-x<9

271 x+5>2

272 x+4<10

273 x+9≤ -12

274 x+14≥ 9

275 x-9≤ 10

276 8x≥ 24

277 -8x≤ 32

278 85

43

−≥− x

279 0.4x+5≤ 1.2x-4

280 033>

−+

xx

281 012<

+−

xx

282 ( )7242343 −≤

+ xx

283

+≥

−

25323

326 xx

284 ( )

01

83 <+

−x

x

285 ( ) ( )( )2332

231

+−−

≤+ xx

xx

286 xx 43853 −<+

287 97572≥

−+

xx

288 x2-8x+12≥0

289 942 ≤x

290 4x≥5x-7

291 23

1431 ≤+

≤x

292 10-x<4x≤25-x

293 x≤3x+2≤x+6

294 (8x-3)(x+1)>0

295 1121 <−<−x

296 x2+x-3>3

297 0,3127 ≠>− xx

298 6x2+3x-8≤1

299 03212

2

2

≤−−+−

xxxx

300 2

29

3+

>− xx

301 10012 <x

302 3.010 <+x

303 1237

≤− x

304 41113 ≥− x

305 0,245 ≠≥+ xx

306 ( )( ) 3,033

1±≠>

−++ x

xxx

307 07223≤

−+

xx

308 64731 ≤

−<−

x

309 012 <+x

310 25

32<

+x

311 7825 >−x

312 0,114 ≠<− xx

313 21253≥

−+

xx

314 1332 −≤− xx

315 1217 +≥− xx

316 4422 >−+ xx

XVIII Encontrar el dominio y el rango de la función. 317 ( ) 3+−= xxh

318 ( ) 24x2xf +−=

319 ( ) 5x63xf −−−=

320 ( ) 52 −= xxg

321 ( ) 1x6xxg 2 +−=

322 ( ) 6x3xxh 2 −+=

323 ( ) 3x12x3xg 2 ++=

324 ( ) 2x3xh −=

325 ( ) 2xx4xh −=

326 ( ) ( )4xsen2xg π−=

327 ( ) ( ) 2xcos3xh ++−= π

328 ( )4

sec ttf π=


5

329 ( ) tth cot=

330 ( )1

2−

=x

xg

331 ( ) 25x

1xf −+

=

332 ( ) 6x8

4xf +−

=

333 ( ) 37xxg −+=

334 ( ) 1x4xh −−=

335 ( ) xxxf −+= 1

336 ( ) 232 +−= xxxg

337 ( )x

xhcos12

−=

338 ( )

21

1

−=

senxxf

339 ( )3

1+

=x

xh

340 ( )4

12 −

=x

xg

341 ( )

≥+<+

=0,220,12

xxxx

xf

342 ( )

>+≤+

=1,22

1,22

2

xxxx

xh

343 ( )

≥+−<+

=1,11,1

xxxx

xg

344 ( )( )

>−≤+

=5,55,4

2 xxxxxf

XIX Dadas las funciones, realizar, si es posible las operaciones (f+g), (f-g), (fg), (f/g) y (f o g), así como determinar el dominio y el rango de la función resultante. 345 ( ) ( ) 5 3 2 −=+−= xxgxxf

346 ( ) ( ) xxxx

xf −+=−

= 1g 1

2

347 ( ) ( ) 1g 232 −=+−= xxxxxf

348 ( )3

1+

=x

xf ( )4

12 −

=x

xg

349 ( ) xxf = ( ) 12 −= xxg

350 ( ) 2xxf = ( ) xxg =

351 ( )x

xf 3= ( ) 12 −= xxg

352 ( )x

xf 1= ( ) 2+= xxg

XX Determinar si la función es par o impar o ninguna de las dos: 353 ( ) 3+−= xxh

354 ( ) 52 −= xxg

355 ( ) 1x2xxf 3 +−=

356 ( ) 35 x2x4xxh −+=

357 ( ) 1x5xxg 24 +−=

358 ( ) 42

3

x5xxxxf

+−

=

359 ( )3x5x

x42xh 6

3

++−

=

360 ( ) 37

5

x3x2xxx9xh−+

+=

361 ( )4

sec ttf π=

362 ( ) tth cot=

363 ( )1

2−

=x

xg

364 ( ) xxxf −+= 1

365 ( ) 232 +−= xxxg

366 ( )x

xhcos12

−=

367 ( )

21

1

−=

senxxf

368 ( )3

1+

=x

xh

369 ( )4

12 −

=x

xg

370 ( ) ( )22 4 xxxf −=

371 ( ) 3 xxf =

372 ( ) xxxf cos=

373 ( ) xsenxf 2=

XXI Calcular los límites que se piden, si es que existen, si no existen explicar por que: 374 ( )23lim

2+

→x

x

375

−

→ 24lim

4

xx

376 ( )3lim 2

2−

→x

x


6

377 ( )4lim 2

5+

→x

x

378 ( )3lim2

+→

xx

379 ( )3lim6→x

380 ( )30

lim xx→

381 ( )2lim2

−−→

xx

382 ( )xxx

3lim 2

3+

−→

383 ( )4

0lim xx→

384

+−

→ 43lim 22 x

xx

385

+→ 25lim

2 xx

x

386 ( )senxx 2

limπ→

387 ( )xx

tanlimπ→

388 ( )xx

3coslimπ→

389

→ 2lim

1

πxsenx

390

+−

−→ 11lim

2

1 xx

x

391

+

−−−→ 1

32lim2

1 xxx

x

392

++

−→ 11lim

3

1 xx

x

393

−−

→ 28lim

3

2 xx

x

394

−−

→ 255lim 25 x

xx

395

−−+

−→ 96lim 2

2

3 xxx

x

396

−+→ x

xx

55lim0

397

−

−+→ 4

35lim4 x

xx

398

−+

→ xx

x

31

31

lim0

399 ( )

∆−∆+

→∆ xxxx

x

22lim0

400 ( )

∆

−∆+→∆ x

xxxx

33

0lim

401

→ xsenx

x 5lim

0

402

→ x

xsenx

2

0lim

403 ( )

−

→ 20 2cos1lim

xxsenx

x

404 ( )

−→ x

xx

2

0

cos1lim

405

→ xx

x cotcoslim

2π

406

→ xxsen

x 23lim

0

407

→ xsenxsen

x 32lim

0

408

+−∞→ 2

23 1035limxxx

x

409

−+

∞→ 12lim 3

2

xx

x

410

−+−

∞→ 431025lim

23

23

xx

x

411

+−

∞→ 2312lim

xx

x

412

−∞→ 1lim 2x

xx

413

−∞→ xxx

x 2lim

414

∞→ xxsen

x

2lim

415 ( )3lim 2 ++−∞→

xxx

416 ( )xxxx

−−∞→

2lim

XXII Calcular los límites que se piden, si es que existen, si no existen explicar por que:

417

−−

+→ 255lim 25 x

xx

418

−−−→ 9lim

23 xx

x

419

−→ x

xx 0lim


7

420 ( ) ( )

>−

≤+

=−→ 3,

3212

3,2

2

donde ,lim3 xx

xx

xfxfx

421 ( ) ( )

≥+<+

=−→ 1,1

1,1 donde ,lim

3

1 xxxx

xfxfx

XXIII Dada la función cuya gráfica aparece en la figura, determinar los limites que se piden:

1 2 3 4 X0-1-2-3-4-5

1

2

3

4

Y

-1

-2

-3

-4

422 ( )xf

x +−→ 2lim

423 ( )xfx −−→ 2lim

424 ( )xfx 2lim→

425 ( )xfx 2lim

−→

1 2 3 4 X0-1-2-3-4-5

1

2

3

4

Y

-1

-2

-3

-4

426 ( )xfx +−→ 2lim

427 ( )xfx −−→ 2lim

428 ( )xfx 2lim→

429 ( )xfx 0lim→

1 2 3 4 X0-1-2-3-4-5

1

2

3

4

Y

-1

-2

-3

-4

430 ( )xfx +→2lim

431 ( )xfx −→2lim

432 ( )xfx 2lim→

433 ( )xfx 1lim

−→

1 2 3 4 X0-1-2-3-4-5

1

2

3

4

Y

-1

-2

-3

-4


8

434 ( )xfx +→3lim

435 ( )xfx −→3lim

436 ( )xfx 0lim→

437 ( )xfx 2lim

−→

XXIV Encontrar los valores de x (si existe alguno) en los que f no es continua. 438 ( ) 122 +−= xxxf

439 ( ) xxxf cos3 −=

440 ( )xx

xxf−

= 2

441 ( )12 +

=x

xxf

442 ( )103

22 −−

+=

xxxxf

443 ( )22

++

=xx

xf

444 ( )

>≤

=1,1,

2 xxxx

xf

445 ( )

>−

≤+=2,3

2,121

xx

xxxf

XXV Encontrar la derivada mediante el proceso de límite: 446 ( ) 3=xf

447 ( ) xxf 5−=

448 ( ) xxf323 +=

449 ( ) 12 2 −+= xxxf

450 ( ) xxxf 123 −=

451 ( )1

1−

=x

xf

452 ( ) 1+= xxf

XXVI Calcular la derivada de la función: 453 8=y

454 6xy =

455 71x

y =

456 5 xy =

457 1+= xy

458 632 2 −+−= xxy

459 32 4xxy +=

460 422 +−= xxy

461 senxx

y 31−=

462 22 35 −−+= xxy

463 32 4

xxy −=

464 2

23 43xxxy +−

=

465 ( )12 += xxy

466 36 xxy +=

467 32

54 xxy −=

468 xxy cos56 +=

469 ( )( )xxxy 21 22 −+=

470 ( )423 += xxy

471 xxy cos3=

472 12 +

=x

xy

473 13

3

+=

xxy

474 2xsenxy =

475 1

232

2

−−−

=x

xxy

476

+−=

341

xxy

477 x

xy 52 +=

478 ( )23 2−= xy

479 3

12

−

−=

xxy

480 ( )( )( )1543 3 +−+= xxxxy

481 const. una es c 22

22

cxcxy

−+

=

482 xsenxy =

483 x

xy cos=

484 xxy tan+−=


9

485 xxy sec84 +=

486 ( )

xsenxy

cos213 −

=

487 senxxy −−= csc

488 xxy tan2=

489 xxxsenxy cos2 2+=

490 ( )372 −= xy

491 ( )4943 xy −=

492 xy −= 1

493 3 2 49 += xy

494 2

1−

=x

y

495 2

31

−=

xy

496 2

1+

=x

y

497 ( )42 2−= xxy

498 21 xxy −=

499 12 +

=x

xy

500 2

2 25

++

=xxy

501 2

121

+−

=vvy

502 xy 3cos=

503 xy 4tan3=

504 ( )2xseny π=

505 xxseny 2cos2=

506 senx

xy cot=

507 xy 2sec4=

508 ( )1sec3 2 −= xy π

509 ( )222 xseney x=

510 ( )xexy x 3cos22=

511 ( )( )x

seney xx

3cos2

32

=

XXVII Determinar la derivada de orden 4 de las siguientes funciones:

512 ( )31391

+= xy

513 4

1+

=x

y

514 2cos xy =

515 ( )xy 2tan=

516 2xy =

517 x

y 22 −=

518 xy 2=

519 12 += xy

XXVIII Encontrar dy/dx por medio de la derivación implicita 520 x2+y2=16

521 921

21

=+ yx

522 x3-xy+y2=4

523 x3y3-y=x

524 x3-3x2y+2xy2=10

525 senx +2cosy=1

526 senx=x(1+tany)

527 y=sen(xy)

528 (x+y)3=x3+y3

XXIX Encontrar la pendiente de la recta tangente y la recta normal a la gráfica de la función en el punto dado: 529 f(x)=3-2x, (-

1,5)

530 f(x)=x2-4, (1,-

3)

531 f(x)=3x-3x2

(0,0)

532 ( ) xxf = (1,1)

533 ( )x

xxf 4+= (4,5)

534 ( ) 822 ++= xxxf (2,4)

535 ( )4

33 −

=x

xf

−−

53,1

536 ( )123

−+

=xxxf (0,-2)

537 ( ) ( )xxf 2sec37 3−=

(0,36)

XXX Encontrar la ecuación de la recta tangente a la grafica f en el punto indicado: 538 y=x4-3x2+2 (1,0) 539 y=x3+x (-1,-2)


10

540 4 3

2x

y = (1,2)

541 23 2 −= xy (3,5) 542 ( )23 12 += xy (-1,1)

543 xseny 2= (π,0)

XXXI Determinar los puntos si los hay donde la gráfica de la función tiene una recta tangente horizontal: 544 y=x4-8x2+2

545 21x

y =

546 ( )31391

+= xy

547 4

1+

=x

y

548 2cos xy =

549 xy 2tan=

550 2xy =

551 x

y 22 −=

552 xy 2=

553 12 += xy

XXXII Determinar cualesquiera de los puntos críticos de la función. 554 ( )32 −= xxy 555 xxy −= 4 ,x<3 556 y=sen2x + cos x, 0<x<2π

XXXIII Ubicar los extremos absolutos de la función en el intervalo cerrado 557 ( ) [ ]2,1,32 −−= xy

558 [ ]3,0,32 xxy +−=

559 [ ]2,1,23 23 −−= xxy

560 [ ]1,1,23 32

−−= xxy

561 [ ]1,1,32

2

−+

=x

xy

562

=

61,0,cos xy π

XXXIV Encontrar los puntos críticos de f (si los hay), Determinar el (los) intervalo(s) abierto(s) sobre los cuales la función es creciente o decreciente, aplicar el criterio de la primera derivada para identificar a todos los extremos relativos: 563 ( ) xxxf 62 −=

564 ( ) ( )xxxf −= 32

565 ( )5

55 xxxf −=

566 ( ) 131+= xxf

567 ( ) ( ) 32

1−= xxf

568 ( )x

xxf 1+=

569 ( )92

2

−=

xxxf

XXXV Encontrar los puntos de inflexión y analizar la concavidad de la gráfica de la función. 570 ( ) xxxxf 126 23 +−=

571 ( ) 24 241 xxxf −=

572 ( ) ( )34−= xxxf

573 ( ) 3+= xxxf

574 ( )12 +

=x

xxf

575 ( ) [ ]π4,0,2xsenxf =

XXXVI Resuelve los siguientes problemas.

576 Una caja abierta de volumen máximo se va a construir a partir de una pieza cuadrada de material de 24 pulgadas de lado, cortando cuadrados iguales a partir de las esquinas y doblando los bordes. ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja?.

577 Encontrar dos números positivos tal que el producto es 192 y la suma del primero más tres veces el segundo es un mínimo.

578 Encontrar dos números positivos tal que la suma del primero y el doble del segundo es 100 y el producto es un máximo.

579 Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que tiene el perímetro de 100 metros y el área máxima.

580 Determinar el punto sobre la gráfica y=x2 que está más cerca de (2,1/2).


11

581 . Para construir una autopista, es necesario rellenar una parte de un valle donde los declives (pendientes) son de 9 y 6% (ver figura). La parte superior de la región rellenada tendrá la forma de un arco parabólico que es tangente a las dos pendientes en los puntos A y B, la distancia horizontal entre los dos puntos es de 1000 pies. Si la función cuadrática que describe la parte superior de la región rellenada en el intervalo -500 ≤x≤500 es y=(3/40000)x2-(3/200)x+75/4

a) Construir una tabla en la que se indiquen las profundidades del relleno para x= -500, -400,-300, -200, -100, 0, 100, 200, 300, 400, 500.

b) ¿Cuál será el punto más bajo de la autopista? ¿Estará directamente sobre el punto donde se juntan los dos declives?.

582 Un granjero planea cercar un pastizal en forma rectangular con un área de 180,000 m2 para proporcionar suficiente pastura al rebaño. ¿Qué dimensiones requerirán la cantidad mínima de cercado?.

583 Una ventana norman se construye juntando un semicírculo en la parte superior de una ventana rectangular ordinaria. Encontrar las dimensiones para que la ventana tenga área máxima si el perímetro total es de 16 pies.

584 Un rectángulo esta delimitado por el eje x y el semicírculo 225 xy −= , que largo y ancho debe tener el rectángulo de manera que su área sea un mínimo.

585 Encontrar el volumen del cono circular recto más grande que puede inscribirse en una esfera de radio r.

586 Una viga de madera tiene una sección transversal rectangular de altura h y de ancho w. La resistencia S de la viga es directamente proporcional al ancho y al cuadrado de la altura. ¿Cuáles son las dimensiones de la viga más fuerte que puede cortarse a partir de un leño redondo de 24 pulgadas de diámetro (S=kh2w).

587 Una fuente luminosa se localiza sobre el centro de una mesa circular de 4 pies de diámetro. Encontrar la altura h de la fuente luminosa tal que la iluminación I en el perímetro de la mesa sea máxima si I=(sen α)/s2, donde s es la distancia del borde de la mesa a la fuente luminosa y α es el ángulo al cuál la luz incide sobre el borde de la mesa y k es una constante.

588 La Compañía de Envases metálicos, S.A. desea fabricar depósitos de metal con forma rectangular sin tapa que tengan una capacidad de 10 dm3. Para estas cajas el largo de la base debe ser el doble del ancho, y el material para la base cuesta $100.00 por metro cuadrado, mientras que el costo del material para los lados es de $60.00 por metro cuadrado. Encuentra el costo del tipo de caja más económica que se pueda construir con las características anteriores.

589 La Empresa Almacenes Nacionales, S. A. desea construir una bodega rectangular sobre una superficie de 5000 metros cuadrados de área. La bodega tendrá dos cuartos rectangulares separados por una pared interior. El costo de las paredes exteriores será de $150.00 por metro lineal, y el costo de las paredes interiores será de $90.00 por metro lineal encuentra las dimensiones de la bodega menos costosa.

590 El jefe de la oficina de personal de la empresa Duro de México, S. A. de C. V. desea hacer volantes para solicitar personal. Los volantes deben tener un área impresa de 150 cm2, con márgenes de 3 cm en la parte superior e inferior, y 2 cm en cada lado. ¿Qué dimensiones deben tener los volantes para que se use la menor cantidad posible de papel?

591 Las autoridades de transito de la ciudad de Monterrey operan una línea de tren subterráneo desde un suburbio hasta el área metropolitana. En la actualidad un promedio de 6000 pasajeros toman el tren diariamente, pagando una tarifa de $3.00 por viaje. Las autoridades están pensando en subir la tarifa a $4.00 para obtener mayores ingresos y solicitan un estudio a una empresa consultora. El estudio de esta empresa revela que por cada incremento de 50 centavos en la tarifa, la cantidad de pasajeros se reducirá en 1000 pasajeros por día. Encuentra la tarifa óptima para obtener el mayor ingreso.

592 Una universidad desea diseñar una pista de carreras mediante un rectángulo de largo l y extremos en forma de semicírculos con diámetro (2r) coincidente con el ancho del rectángulo. La longitud total de la

DECLIVE DE 9%DECLIVE DE 6%

X

Y

1000pies

A B


12

pista debe ser de 2 kilómetros. Determina l y r, de modo que el área encerrada por la pista sea lo más grande posible. ¿Cuál es el área encerrada por la pista en este caso?.

XXXVII Encontrar la integral indefinida y verificar el resultado mediante derivación. 593 ( )∫ + dxx 3

594 ( )∫ − dxxx 232

595 ( )dxx∫ + 23

596 ( )∫ ++ dxxx 1223

597 ∫ 3 2x dx

598 ∫ dxx3

1

599 dxxxx

∫++ 12

600 ( )( )∫ −+ dxxx 231

601 ∫ dyyy 2

602 ∫ dx

603 ( )∫ + dxxsenx cos32

604 ( )∫ − dttt cotcsc1

605 ( )∫ − θθθ dsen2sec

606 ( )∫ + dyy 1tan 2

XXXVIII Encontrar la integral definida de la función.

607 ∫1

02xdx

608 ( )∫− −0

12 dxx

609 ( )∫− −1

1

2 2 dtt

610 duu

u∫

−4

1

2

611 ( )dtt∫− −1

13 2

612 dxxx∫

−1

0 3

613 ( )∫− −0

13

23

1 dttt

614 ( )∫ +π

01 dxsenx

615 dxx

xsen∫

−4

0 2

2

cos1π

616 xdx∫−6

6

2secπ

π

617 ( )∫ −2

4

2csc2π

πdxx

618 ∫−3

3

tansec4π

πxdxx

619 ( )∫− +2

2

cos2π

πdxxx

XXXIX Encontrar la integral indefinida y comprobar el resultado mediante derivación. 620 ( ) ( )∫ + dxx 221 4

621 ( )∫ −− dxxx 29 2

622 ( )∫ + dxxx 243 3

623 ( )∫ − dxxx 432 1

624 ∫ + dxxx 22

625 ( )dxxx∫ −3 215

626 ( )∫ −dx

xx

321

627 ∫ −dx

xx

21

628 ( )∫ +dx

xx

23

2

1

629 ∫

+ dt

tt 2

3 111

630 ∫ dxx2

2

631 dxxxx

∫++ 732

632 ∫

− dt

ttt 22

633 ( ) dyyy∫ −9

634 ( )∫ dxxsen ππ

635 ( )∫ dxxsen 2

636 ∫ dxxx1cos1

2

637 ∫ xdxxsen 2cos2

638 ( ) ( )∫ −− dxxx 1tan1sec

639 ∫ xdxx 24 sectan

640 ∫ dxxx

3

2

cotcsc

641 ∫ xdx2cot

642 ∫ + dxxx 2

643 ∫ − dxxx 12

644 ∫ −− dx

xx

1212

645 ( )∫ +−+− dx

xxx

11

646 ( )∫ − dxx 423

647 ( )dxxx∫ − 21

1

648 ∫ −dt

t 213

649 ∫ dttsent 2

650 ( )∫ dxex senxcos

651 ( )∫ − dxx 546

652 ( )∫ −

dzz 54

5

653 ( )∫

−

+ dvv

v 3131

654 ∫ ++−− dt

ttt

193

3

2

655 . ∫ −dx

xx

1

2


13

656 . ∫ +dx

ee

x

x

1

657 . ( )∫ + dxx 2221

658 . dxxx∫ 22cos π

659 . ∫ xdxx ππ cotcsc

660 . ∫ dxe x5

661 . ∫ +− dxe x 1

2

662 . ∫ dxxx2ln

663 . ∫+ dx

xsenx

cos1

664 . ( )∫

−−

− dtt 21211

665 . ( )∫ dt

tt

2/2tan

666 . ∫ −dx

xx 263

667 . ∫ ++dx

xx 65444

2

668 . ∫ − dxxe x2

669 . ∫ dxex x3

670 . ∫ dxex x32

671 . ( )dttt∫ +1ln

672 . ( )∫ dx

xx 2ln

673 . ( )∫ +

dxxxe x

2

2

12

674 . ( )∫ − dxex x12

675 . ∫ − dxxx 1

676 . ∫ xdxxcos

677 . ∫ senxdxx3

678 . ∫ tdttt cotcsc

679 . ∫ senxdxe x2

680 ( )∫ dxxsene x 23

681 ∫ dxxx ln

682 ( )∫ dxxsenxe x 22

683 ∫ dxxsenx

4

3cos

684 φφφ dsen

∫ 2

3

cos

685 ∫ xdxxsen34cos

686 ∫ xdxsen5

687 ∫ dxxxsen

cos

5

688 ∫ xdx3tan

689 ( ) ( )∫ dxxx 2csc2cot3

690 φφφ dsen

∫ 4

2

cos

691 ∫ xxsendx

42 cos

692 ∫ dxxxsen

5

3

cos

693 ∫ +dx

xx

92

694 . ∫ −dx

x2161

695 . ∫ − dxx2416

696 . ∫ −dx

x 912

697 . dxx

x∫

−4

21

698 . ∫ +dx

xx 941

2

699 . ( )∫ +

− dxx

x2

3

55

2

700 . dxee xx∫ + 22 1

701 . dxee xx∫ − 21

702 . dxxx∫ ++ 4244

1

703 ∫ −dx

x 11

2

704 . dxxx∫ −+ 2

32

705 . dxxxx

∫ −+−

1252

706 . dxxx

xx∫ −

++4

12123

2

707 . dxxx

xxx∫ −−

+−−82

515422

23

708 . dxxxxx

∫ +−+

23

2 124

709 . dxxxx

xx∫ +−

−+4443

23

2

710 . dxxx

x∫ +

−3

2 1

711 . dxxx

x∫ −− 82 24

2

712 . dxxx

∫ −116 4

713 . dxxxx

x∫ ++−

+3

523

2

XL Encontrar el área de la región delimitada por las gráficas de las ecuaciones. 714 . 2xxy −= y el eje x. 715 . 41 xy −= y el eje x. 716 . ( ) xxy −= 3 y el eje x.

717 . 21x

y = ; el eje x; x=1; x=2.

718 . xy cos= ; el eje x y el eje y. 719 . senxxy += ; el eje x; x=π


14

720 . 13 2 += xy ;x=0; x=2; y=0. 721 . xxy += 3 ;x=2; y=0XLI Dibujar la región acotada por las gráficas de las funciones y encontrar el área de la región. 722 . .0;62 =−= yxxy

723 . .52;122 +=++= xyxxy

724 . .322;34 22 ++=+−= xxyxxy

725 . .; 32 xyxy ==

726 . ( ) .0;3 3 =−= yxxy

727 . ( ) 1;1 3 −=−= xyxy

728 . 2,0;1;2

21 3 ==+=+= xxxyxy

729 . .0;42 =−= yxxy

730 . .33;122 +=++= xyxxy 731 . .0,2; =−== yxyxy

732 . 1,13 +=+= xyxy

733 . ( ) ( ) 2;2 +== yygyyf

734 . ( ) ( ) .2;1;0;12 =−==+= yyygyyf

735 .( ) .10;2;0;10

==== yyxx

xf

736 .( ) ( )

33,tan;2 ππ

≤≤−== xxxgsenxxf

737 . ( ) ( ) π20,cos2;cos ≤≤−== xxxgxxf

738 . ( ) 10,0;2

≤≤== − xyxexf x

XLII Formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido generado por la región acotada por las gráficas de las ecuaciones al girar alrededor del eje dado.

Alrededor del eje x. 739 . 0;0;1 ==+−= xyxy 740 . 0;0;4 2 ==−= xyxy 741 . 4;1; === xxxy

742 . 0;0;9 2 ==−= xyxy 743 . 32; xyxy ==

744 . 4

4;22xyy −==

745 . 3;0;0;1

1===

+= xxy

xy

746 . 4;1;0;1==== xxy

xy

747 . 1;0;0; ==== − xxyey x 748 3;0;52;1 22 ==++−=+= xxxxyxy 749 . π==== xxysenxy ;0;0;

Alrededor del eje y. 750 . 0;4;2 === xyxy

751 . 0;0;16 2 ==−= xyxy 752 . 0;1;3

2=== xyxy

753 . 1;0;42 ==+−= yxyyx 754 . ( ) 0;0;23 ==−= xyxy 755 . 3;2;0;9 2 ===−= xxyxy

Alrededor del eje y=4. 756 . 0;3; === xyxy

757 . 0;4;21 3 === xyxy

758 3;0;0;1

1===

+= xxy

xy

XLIII Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.

759 .

=+−=++=+−

31123932

zyxzyxzyx

760

−=+−=++−=+−

623263

454

zyxzyxzyx

761

=+−=+−=−−

022333143

zyxzyxzyx

762

=++=+=−−

93274

673

zyxyx

zyx

763

−=+−=++=++

8325230

zyxzyxzyx

764

=++=+−=−

5672153

zyxyx

zx


15

765

=++=++

=−−

32243632

0

zyxzyx

zyx

766

=++=++=++

23312432

zyxzyxzyx

767

=−−+=++−=−−+

=+−+

1228234273223

0

wzyxwzyxwzyx

wzyx

768

=+−+=−−−−=+++=−+−

1935

3

wzyxwzyx

wzyxwzyx

XLIV Evalúe los siguientes determinantes.

769 .104546

321−

770

736957

736−

−

771

316243105

772

410332102323

1450−

773

1245283214232786

774

1109122611133223

775

2434100661200212

−−

776

4142321020214884

777

3210110120320323

XLV Realice las siguientes operaciones.

778

−123321

2321

779

−−

422011

514432

780

−−

514432

422011

781

−−

12344321

503421

782

−

−

033104512

101532421

783

−

−

101532421

033204512

784

−

−+

033104512

101532421

785

−

−

−

101532421

033204512

XLVI Encuentre la inversa, si existe, de cada una de las siguientes matrices. Verifique su resultado en la fórmula AA-1=I.

786

−2321

787

0201

788

− 34

12

789

2002

790

−3413

791

101532421

792

−

−

033104512

793

−

−

033204512

794

101032420


16

795

−

210114321

796

−−−

603312511

797

−−

230066006

798

−−−−−

1114111164

799

−

−−

223322332

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PROBLEMARIO DE MATEMATICAS I -Precálculo,Cálculo integral y diferencial