Embed Size (px)
Citation preview
IX - ESFUERZOS COMBINADOS
Tipos de Esfuerzos
Esf. Axial: sAX = P / A
Esf. Torsión: t = Tr / J
Esf. Flexión: sFLEX = My / I
Combinaciones • Axial + Flexión
• Axial + Torsión
• Torsión + Flexión
• Axial + Torsión + Flexión
P
b
h
Psena Pcosa
RA RB
Pcosa
a A B
Debido al ángulo que forma P con la viga,
los esfuerzos que se producen en K-K son: K
K sMAX = Mh/2I
E.N
P/A P/A - Mh/2I
Por Flexión Por Axial Combinado
Finalmente:
I
My
A
P s
Por Axial
Por Flexión
EJM. AXIAL + FLEXION
IX.1 GENERALIDADES
IX.2 – ESFUERZO EN UN PUNTO (ANALISIS BIDIMENSIONAL)
P
P
T
TORSION + FLEXION
=
s s
t t
t t
Secc a-a
Secc b-b
Se observa que la distribución de esfuerzos depende de la orientación
del elemento
P
a a b
b
ANALISIS DEL PROBLEMA
Hay que tener presente que:
• Los esfuerzos son vectores de orden superior (dependen del area)
• Las fuerzas son vectores simples
Por tanto es necesario transformar los esfuerzos en fuerzas
s F
ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS
sx
sy
sz
txy
tyx
txz
tzy
tzx
tyz
x
y
z
Notacion:
si : esfuerzo axial, donde i corresponde con la
dirección del eje al esfuerzo medido
cara i: cara al esfuerzo si
tjk: esf. Cortante en la cara j, y en dirección
del eje k
Nota: Hay que recordar que
txy = tyx, txz = tzx; tyz = tzy
Sin embargo, para la mayoría de los
casos, es posible trabajar con un estado
plano de esfuerzos, es decir:
sy
sx sx
txy
tyx
sy
IX.3 VARIACION DEL ESFUERZO EN UN PUNTO
Existen dos métodos:
Analítico
Gráfico
IX.3.1 METODO ANALITICO
Consideremos un
estado de esfuerzos,
sy
tyx
sx
txy sn
tt q
Llamando dA el área del plano inclinado:
sydAsenq
tyxdAsenq
sxdAcosq
txydAcosq dAsn
dAtt q
Luego:
q
q
q
q tyxdAsenq
txydAcosq
sxdAcosq
dAsn
dAtt sydAsenq
D.C.L: (1) SFn: dAsn = (sxdAcosq)cosq + (sydAsenq)senq -
(txydAcosq)senq - (tyxdAsenq)cosq
(2) SFt: dAtt = (sxdAcosq)senq - (sydAsenq)cosq +
(txydAcosq)cosq - (tyxdAsenq)senq
q
tyx
sx sx
sy
sy
t
n
x
y
txy
Simplificando, y tomando en cuenta que:
2
sen2 cossen ;
2
cos2 1 en ;
2
cos2 1 cos 22 q
qqq
q s
Las Ec. (1) y (2) quedan
sn = sxcos2q + sysen2q
-2txycosqsenq
tt = sxcosqsenq - sysenqcosq
+ txy(cos2q - sen2q)
qtqss
ss
s 2sen - 2cos2
2
xy
yxyx
n
qtqss
t 2cos 2sen2
xy
yx
t
(B)
(A)
(A) y (B) representan el esfuerzo normal y cortante respectivamente en
un plano cualquiera, que forme un ángulo q
Esfuerzos Principales (Máximos) y Esfuerzos Nulos
Para determinar smax y tmax:
yx
xy
-
2 - tg2 0
d
d
ssq
q
s t(2q)
x
y
2
- yx ss
2
- yx ss
xyt
xyt(2q)II
Sol 2: (2q)II
Sol 1: (2q)I
Una solución corresponde con el valor máximo y la otra con el valor
mínimo y ambas difieren en 180°. Luego, los planos de esfuerzo normal
máximo y mínimo son perpendiculares.
Además, yx
xy
-
2 - tg2 0
ssq
tt Por tanto se puede decir:
Los esfuerzos cortantes son nulos en los planos donde los esfuerzos
normales son máximos
Análogamente, xy
yx
2
- tg2 0
d
d
t
ssq
q
t Sol 1: (2q)III
Sol 2: (2q)IV
Resulta que las soluciones para dt / dq = 0 difieren en 90° respecto a
las soluciones para ds / dq = 0 , es decir
Los planos de esfuerzo cortante máximo están inclinados 45°
respecto a los planos de esfuerzo normal máximo
2
xy
2
yxyx
minmax )(
2
2
t
ss
sss 2
xy
2
yx
max )( 2
t
sst
Finalmente:
IX.3.2 METODO GRAFICO (CIRCULO DE MOHR)
qtqss
ss
s 2sen - 2cos2
2
xy
yxyx
qtqss
t 2cos 2sen2
xy
yx
Dados:
Elevando al cuadrado, sumando y simplificando:
( )2
xy
2
yx2
2
yx
2
2
t
sst
sss o también
( ) 222R C ts
Ecuación de una circunferencia en un sistema
de ejes s,t; la cual tiene centro en (C,0)
donde
2
xy
2
yx)(
2
R t
ss
2
C
yx ss
sx sx
txy
tyx
sy
sy
R
sy
txy
sx
2
yx ss
txy
D
A
2q
2
yx ss
E C
F
G
s
t
A (sx, txy)
B (sy, -txy)
2
yx ssC( , 0)
D (sx, 0)
E ( + R , 0) 2
yx ss
F ( - R , 0) 2
yx ss
2
yx ssG ( , R)
Observaciones:
1.- El esfuerzo normal máximo es sE, el mínimo sF y no hay t en tales condiciones
2.- El tmax es siempre R, es decir, (smax-smin)/2 ó (sE - sF)/2; y además cuando t = tmax,
entonces s = (sx + sy)/2 (Punto G)
3.- Si sE = sF R = 0 t = 0, es decir, el círculo es un punto.
4.- Si sx + sy = 0 C = 0 Esfuerzo cortante puro
5.- La suma de los esfuerzos normales en dos planos perpendiculares entre sí es,
invariablemente sx + sy = sE + sF = constante
B
Círculo de Mohr
Se requiere fabricar un tanque, para una presión interna de 180 psi, a partir de planchas de acero de 3/8
pulgadas de espesor y 30 pulgadas de diámetro interno para el cuerpo cilíndrico y planchas de 5/16 para las
tapas esféricas. Las planchas están soldadas helicoidalmente con un ángulo de 30 con la vertical como se
muestra en la figura. Se pide expresar el círculo de Mohr para los esfuerzos y el estado de esfuerzos en 3D
sobre un punto de la soldadura indicando los valores correspondientes en psi.
30 º
30 º
30 º
30 º
Estado de esfuerzos en 3D para un punto de la soldadura
Se aplican cuatro fuerzas al elemento de máquina ABDE, como se muestra.
Sabiendo que la sección es rectangular de 20 x 40 mm. Determinar los estados
de esfuerzos iniciales y principales para el punto H. Dibuje el círculo de Mohr
47
yy
48
zz
1007,1I
1067,2I
mm 800A
m
m
mN
mN
mN
mN
.2,1916,0120'M'
.121,0120M
.5,3715,0250M
.5,715,050M
120
120
250
50
710071
318
,
, zsMPa53,0
800
420s 810672
519
.
. ys
Diagramas de esfuerzos normales
Diagramas de esfuerzos cortantes
02010071
2507 ,.
Qt 04,01067,2
508
Qt
Estado Inicial de Esfuerzos:
( )MPa77,61053,0
1067,2
01,05,19 6
8H
s
MPa47,002,01007,1
01,02
02,004,0250
7
t
Datos para el Círculo de Mohr: Centro : MPaprom 39,3s
Radio : ( ) MPa42,32
xy
2
promx tss
Ángulo principal : º95,339,3
47,0tan2 1
pp qq
IX.4 APLICACIONES A DISEÑO DE EJES CIRCULARES
PROBLEMA PLANTEADO
Un eje circular macizo se somete simultáneamente a un momento torsional T y a un
momento flector M. Encontrar el sMAX y tMAX en función de M, T y del radio R
sF sF
tT
tT
(0, tT)
t
s
0.5 sF (sF, tT)
tMAX = R, donde
tst
ts
2
T
2
FMAX
22
T
2
F
)2
1(
R )2
1(
Recordando que : - Flexión: sF = My/I sMAX = MR/(pR4/4) = 4M/pr3
- Torsión: tT = Tr/J = TR/(pr4/2) = 2T/(pr3)
T
M R
Luego
22
3
2
3
2
3MAX T MR
2
R
2T
R
2M
p
p
pt
Llamando
3
EMAX
22
ER
2T T M Tp
t
Del círculo se nota que: ( )E3MAX3
E
3FF
MAX T M R
2
R
2T Ry
R
4M con , R
2
ps
p
ps
ss
Llamando 3
EMAX
EE
R
4M
2
T M M
ps
