Introducción a la Teoría de Conjuntos

INTRODUCCIÓN A LA

TEORÍA DE CONJUNTOS

COMP 2501: Estructuras Computacionales Discretas I

28 de agosto de 2013

Dra. Madeline Ortiz-Rodríguez

Universidad Interamericana de Puerto Rico,

Recinto de Fajardo

28/08/2013 COMP 2501. Tema: Teoría de Conjuntos 1

Nota aclaratoria:

• Esta presentación les servirá para aclarar dudas, repasar

conceptos y verificar los símbolos y la notación de

conjunto que utilizaré en el examen.

• Por ejemplo, en términos de cardinalidad, utilizaré las

barras de valor absoluto, en vez del símbolo de número,

tal y como aparece en el texto de la clase.

• Recuerden que pueden escribirme, para hacer preguntas

sobre el contenido de la presentación y así aclarar dudas.


Sobre la Teoría de Conjuntos

• La Teoría de Conjuntos estudia los componentes de un

grupo, sus propiedades y sus operaciones.

• Se conoce como la base de las matemáticas modernas.

• Has estudiado este tema en cursos de Álgebra, Pre-

Cálculo y Cálculo, probablemente desde escuela

intermedia.

• Se estudia en este curso para repasar conceptos aprendidos,

refinar destrezas y sentar las bases para el estudio de otros temas.


Fundador

• Se reconoce a George Cantor como el fundador de la

Teoría de Conjuntos.

• Vivió a finales del siglo XIX y principios del siglo XX (1845-1918).

• Lee más sobre Cantor en http://www-history.mcs.st-

and.ac.uk/Biographies/Cantor.html.

• Escribe un resumen de su biografía, el cual incluya la contestación

a estas preguntas: quién, dónde, cuándo, qué, por qué o para qué

y cómo. El resumen debe ser de al menos dos párrafos, con cinco

oraciones cada uno, aproximadamente.


http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cantor.html

Conjuntos

• Definición

• Colección de objetos o elementos distintos.

• Notación de conjuntos

• Letra mayúscula – identifica al conjunto

• Llaves francesas { } – agrupan los componentes del conjunto

• Letras minúsculas – identifican a los componentes del conjunto.

Estos se conocen como elementos.


Ideas generales sobre conjuntos

• Pueden representarse de tres maneras:

• Con una lista de elementos

• Con un enunciado matemático

• Con palabras

• Pueden contener otros conjuntos

• Sus elementos no tienen un orden específico

• Cada elemento es único, no se repiten los elementos.


Conjuntos de NúmerosNotación Nombre y Elementos del Conjunto

N Números naturales – números que se utilizan para contar,

enteros positivos (Z+).

N = {1, 2, 3, 4, 5, …}

Z Números enteros (en inglés Integers) – incluye los enteros

negativos, el cero y los enteros positivos.

I = { … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Q Números racionales – números que se pueden escribir en forma

de fracción. Se pueden convertir en decimales finitos o periódicos

Q = { a, b | a y b ∈ I }

~Q Números irracionales – decimales infinitos, no se pueden escribir

como una fracción, raíces cuadradas no perfectas

Ejemplos: π, √2, √3, √5

R Números reales – números racionales e irracionales, incluye a los

enteros, fracciones (decimales finitos y periódicos) y a los

decimales infinitos


Ejemplos

• Un conjunto en forma de enunciado matemático:

• S = { x | 3 < x < 8 , x ∈ N }

• Un conjunto en forma de lista:

• T = { 4, 5, 6, 7}

• Observa que S = T.

• Esto quiere decir que sus elementos son iguales.


ALGEBRA DE CONJUNTOS


Cardinalidad

• Cuando tenemos un conjunto finito, se puede establecer

el número total de elementos.

• La notación: se utilizan las barras de valor absoluto

• | A | = n

• n = es un número entero, que pertenece a N = Z+

• Ejemplo:

• A = { 1, 3, 5, 7 }

• | A | = 4


Conjunto Universal

• El conjunto que incluye todos los elementos bajo estudio,

considerados en una situación particular.

• Por lo regular se utiliza para hacer comparaciones y

operaciones entre los conjuntos bajo estudio.

• Notación: ʊ• Ejemplo:

• ʊ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }


Complemento de un conjunto: ~A

• Partiendo del conjunto universal se determina cuáles

son los elementos que no pertenecen al conjunto dado.

• Veamos:

• Si ʊ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } y A = { 1, 2, 3), entonces …

• El complemento de A es la diferencia: ʊ - A

• ~A= ʊ - A = {4, 5, 6, 7, 8, 9 }

• Observa que aquí se utilizó el apóstrofe después del

nombre del conjunto pare representar al complemento.

En algunos textos se utiliza una barra sobre la letra.


Sub-conjunto

• Regularmente se define como parte de un conjunto dado,

pero también incluye al conjunto vacío (un conjunto sin

elementos) y al conjunto dado, con todos sus elementos.

• Se obtiene del conjunto bajo estudio.

• En el ejemplo anterior, el conjunto A es un subconjunto

del conjunto universal


Conjunto Potencia

• El número total de subconjuntos que pueden identificarse de un conjunto dado.

• Por ejemplo, si y A = { 1, 2, 3 }, entonces los subconjuntos son:

• { 1, 2 }

• { 1, 3 }

• { 2, 3 }

• { 1, 2, 3 }


• Ø

• { 1 }

• { 2 }

• { 3 }

Conjunto Potencia (cont.)

• Si el conjunto tiene muchos elementos, entonces se

puede utilizar una fórmula para determinar el total de

elementos del conjunto potencia, esto es el total de

subconjuntos posible.

• Este conjunto se representa con la letra P en cursivo: P

• La fórmula es: • P(n) = 2n , en donde n=|A|


Conjunto Potencia (cont.)

• Por ejemplo:

• A ={2,5,8}

• |A| = 3

• P(3) = 23 = 8

• P = { Ø, {2}, {5}, {8}, {2,5}, {2,8}, {5,8}, {2,5,8} }

• Esto quiere decir que si A tiene tres elementos, el total de

subconjuntos que pueden identificarse de A son 8.

• Ejercicio:

• B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

• Encuentra el número total de subconjuntos y el conjunto P.

• Ver solución al final de la presentación.


Unión de Conjuntos

• Se comparan los elementos de dos o más conjuntos y se

toman todos los elementos sin repetirlos, esto es:

• Los elementos que pertenecen al primer conjunto

• Los elementos que pertenecen al segundo conjunto que no están

en el primero

• Los elementos del tercer conjunto que no están en los anteriores y

así sucesivamente

• Notación para dos conjuntos: A U B

Unión de Conjuntos

• Ejemplo:

A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 4, 6, 8 }

A U B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 }

Intersección de Conjuntos

• Se comparan los elementos de dos o más conjuntos y se

toman los elementos que se repiten, esto es:

• Elementos que pertenecen al primer conjunto y que TAMBIÉN

pertenecen a los otros conjuntos.

• Notación para dos conjuntos: A ∩ B

Intersección de Conjuntos

• Ejemplo:

A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 4, 6, 8 }

A ∩ B = { 2, 4 }

Diferencia de Conjuntos

• Dados los conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos

se establece comparando los elementos del primer

conjunto con respecto al segundo.

• El foco de atención es el conjunto A. Entonces, si existe

un elemento en A que se repite en B, se elimina.

• Notación: A – B = A – (A ∩ B )

Ejemplo

• Si A = { 2, 3, 5, 8 } y B = { 1, 3, 5 }

• Entonces, A - B = { 2, 8 }

• Y además, B - A = { 1 }

• Observa que A - B no es igual a B - A.

• Por lo tanto, la diferencia de conjuntos no es conmutativa,

igual que la resta y la división de los números enteros,

racionales y reales.

Diferencia Simétrica

• Al comparar dos conjuntos, la respuesta incluye todos los

elementos que no pertenecen a la intersección.

• Notación: A ⊕ B

• Puede encontrase de dos manera:

• A ⊕ B = (A U B) – (A ∩ B)

• A ⊕ B = (A – B) U (B – A)

Ejercicio: Diferencia Simétrica

• Ejemplo: Encuentra la diferencia simétrica entre los

conjuntos A y B siguiendo la primera y segunda regla:

A = {2, 3, 5, 8} B = {1, 3, 5}

• Ver soluciones al final.


Vídeo

• Repasa los conceptos aprendidos en la lectura y que se

han resumido en esta presentación con el vídeo

siguiente:

MATEMÁTICAS PARA LA COMPUTACIÓN

[(MATEMÁTICAS DISCRETAS) (CAPÍTULO I) (I

BIMESTRE)] . (2009).

http://www.youtube.com/watch?v=T_GaiPChOjM&feature

=channel (1:22:07 min)

http://www.youtube.com/watch?v=T_GaiPChOjM&feature=channel

Ejercicio – Conjunto Potencia

• Si B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, entonces,

• |B| = 5

• P(5) = 25 = 32

• Esto quiere decir que como B tiene 5 elementos, el total

de subconjuntos será 32.


Ejercicio: Diferencia Simétrica – Regla 1


conjuntos A y B siguiendo la primera regla:

A = {2, 3, 5, 8} B = {1, 3, 5}

• A ⊕ B = (A U B) – (A ∩ B)

• A U B = { 1, 2, 3, 5, 8 }

• B ∩ A = {3, 5 }

• Entonces, A ⊕ B = {1, 2, 8}


Ejercicio: Diferencia Simétrica – Regla 2


conjuntos A y B siguiendo la segunda regla:

A = {2, 3, 5, 8} B = {1, 3, 5}

• A Δ B = (A – B) U (B – A)

• A - B = { 2, 8 }

• B - A = { 1 }

• Entonces, A ⊕ B = {1, 2, 8}

Tarea del libro de Koshy (2004)

• Sección 2.2

• Ejercicios 1-38 (pares)


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