УДК 979.14:005.8

П.А. Тесленко, канд. техн. наук,

В.Д. Гогунский, профессор, д-р техн. наук

Одесский национальный политехнический университет

Проспект Шевченко, 1, Одесса, Украина, 65044

E-mail: victor@3g.ua

ГРАФО-АНАЛИТИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЕКТОМ

НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА

Рассмотрены составляющие функции управления движения парусника галсами, как прототипа системы

управления проектами в соответствии с законом Тернера-Руденко. Выявлены внешние и внутренние ограничения,

влияющие на функцию управления. Получены аналитические выражения. Рис. 1, ист. 6.

Ключевые слова: парусник, управление проектами, движение галсами, траектория движения, вектор-функции

управляющих воздействий.

Постановка проблемы и анализ последних исследований. При планировании

проектов, как управляемых организационно-технических систем, необходимо предусматривать

особенности их развития во времени, а также оценивать фактическое исполнение работ проекта

с минимальными отклонениями. Можно говорить о том, что система должна развиваться по

наперед заданной траектории. Данная статья является продолжением исследований, начатых в

3-5, где предпринята попытка сравнения двух управляемых систем "проекта" и "парусника" 1-

4, с целью разработки и применения математического аппарата расчета и управления

траекторией движения парусника к задачам проектного менеджмента.

К нерешенным частям общей проблемы можно отнести задачу фазы исполнения

проектов, во время которой необходимо придерживаться заранее разработанного и

утвержденного плана с обеспечением минимальных отклонений от него. Это может быть

достигнуто за счет использования оптимального управления.

Целью данного исследования является решение задачи оптимизации управления

движением парусника галсами по ранее разработанной траектории движения с использованием

принципа максимума Понтрягина.

Основная часть исследования. Зададим состояние организационно-технической

системы в текущий момент времени совокупностью фазовых координат х1, х

2, … х

п, которые

принадлежат фазовому пространству Rn системы и образуют фазовый вектор системы.

В трехмерном пространстве состояние центра масс парусника в каждый момент времени

определяется шестью величинами: геометрическими координатами точки x, у, z и скоростями

z ,y ,x . Рассматривая для упрощения плоский случай примем, что состояние центра масс будет

определяться четырьмя величинами. Однако в действительности движение парусника зависит от

его ориентации в пространстве как твердого тела и тяги парусов. Объединяя эти параметры

вместе, получаем параметр управления u. Тогда уравнение движения точки в пространстве

запишем в виде:

u)f(y,ym . (1)

Уравнение (1) для системы движения парусника галсами для двумерного варианта было

получено в 3, 5. В 6 получена зависимость управляющего воздействия от факторов

образующих систему "парусник". Для нахождения оптимальной величины отклонения u

,

дифференциальное уравнение вида (1) было сведено к четырем скалярным уравнениям 6,

которые образуют систему уравнений движения в фазовых координатах отклонений (2).

,vkzkz

zz

vkzkz

zz

1

yy

ï

24

ï

14

43

1

xx

ï

22

ï

12

21

(2)

где ;xz1

.uv;uv;yz

;yz

;xz

yyxx4

3

2

Напомним, что в рассматриваемом варианте учтена двумерная постановка задачи

оптимизации управления. При необходимости учесть третью координату методическая часть

остается без изменений, а в систему (2) должны быть введены еще два дифференциальных

уравнения.

В итоге, нахождение оптимальной управляющей функции может быть выполнено по

следующему алгоритму 7.

Во-первых, можно учесть, что система (2) распадается на две относительно независимые

подсистемы. При этом одна из подсистем содержит в себе только проекции учтенных величин

на ось Ох системы координат, а вторая – только проекции на ось Оy.

Во-вторых, предлагается использовать показатель оптимальности 8 вида (3):

kt

t

dttuuJ

0

))(1()(

. (3)

С прикладной точки зрения показатель (3) представляет собой линейную комбинацию

быстродействия управления и затрат энергии на управление. В 8 именно в такой трактовке

показатель (3) применяется к решению задачи синтеза управляющей функции u

. К тому же

авторы 8 для решения указанной задачи использовали принцип максимума Понтрягина 7.

В рассматриваемом случае применение принципа максимума сводится к следующему.

Шаг 1. Записываем первую из двух подсистем системы (2) в виде:

1

2212

21

xx

пп vkzkz

zz

(4)

Шаг 2. Составляем гамильтониан 7:

).1()( 1

221221 ххх

пп kzkpzpH (5)

Шаг 3. Находим максимум функции по х 7. Здесь максимум находится в предположении

ограниченности управляющей функции

. К тому же предполагается выполненным условие (6):

.)max( mxх ( yyy m )max( ) (6)

В данном случае функция (5) достигнет максимума при выполнении следующих условий:

.0)(,

;,0

;0,

;0,

222

2

2

2

22

22

22

п

x

п

х

п

x

п

x

kpпризначениедопустимоелюбое

kpпри

kpприm

kpприm

(7)

Здесь отметим, что в соответствии с теорией 8 вспомогательные переменные

21; pp обязаны удовлетворять сопряженной системе дифференциальных уравнений (8):

.pkpp

;0p

2

ï

112

1

(8)

Шаг 4. Промежуточный анализ условия (7).

Непосредственный анализ условий (7) совместно с уравнениями (8) позволяет сделать

вывод о том, что равенство 0)( 222

2

2

2 пkp может выполняться только в отдельные моменты

времени. Чтобы в этом убедиться, запишем решение системы (8) дифференциальных уравнений

в виде:

,))(exp()()(;....;)( 1011202101

ппп kttkkptpptp (9)

Отметим, что в (9) символами 2010 , pp обозначены начальные условия для системы (8), а

символом t0 – учтенный начальный момент движения парусника.

После этого найдем зависимость от времени выражения 222

2

2

2 )( пkp . При подстановке в это

выражение функции (9) получим равенство (10)

.))(exp()()( 22

101120

222

2

2

2 пппп kttkkpkp (10)

Непосредственный анализ зависимости от времени правой части равенства (10) позволяет

сделать вывод о том, что левая часть может (но и не обязательно) обращаться в ноль только в

отдельные моменты времени. Это, в частности, означает, что х может принимать

произвольные значения только в виде исключения. В остальные моменты времени эта функция,

как показывает принцип максимума, может принимать только одно из трех возможных

значений – два крайних и одно – нулевое. Этот результат является принципиально важным по

той причине, что искать одно из трех возможных значений всегда проще, чем вести поиск среди

бесконечного множества неизвестных значений искомой функции.

Кроме сказанного, промежуточный анализ зависимости от времени функции )(2 tp (см.(9))

дает возможность сделать вывод о том, что число переходов этой функции через значения

, не может быть больше двух. Это означает, что искомая функция х может менять свое

значение с максимума на минимум или же с минимума на максимум, проходя через ноль, не

более двух раз.

Шаг 5. Решаем систему (4) в предположении, что х должна быть кусочно-постоянной

функцией времени. Для этого сначала решим второе уравнения системы (4), а затем полученную

функцию )(2 tz подставим в первое уравнение и из него найдем зависимость от времени

функции )(1 tz .

Как известно, общее решение )(2 tz второго дифференциального уравнения системы (4)

представимо в виде суммы общего решения )(2 tz o соответствующего однородного

дифференциального уравнения и частного решения )(2 tz ч этого уравнения, т.е. имеет место

равенство:

).()()( 222 tztztz чo (11)

Легко убедиться, что два слагаемых правой части равенства (11) задаются формулами:

t.d)tkexp())tt(kexp(k

k)t(z

...;

));tt(kexp(C)t(z

ï

1

t

t

1

x0

ï

1xï

1

ï

2÷

2

0

ï

12

o

2

0

(12)

После подстановки в (11) и использования начальных условий для определения

постоянной С2 получаем общее решение )(2 tz в виде

.)exp())(exp())(exp()()( 1

1

01

1

201

1

2202

0

dttkttkk

kttk

k

kztz п

t

t

x

п

хп

пп

хп

п

(13)

Интегрируя правую часть (13) и используя начальные условия для первого

дифференциального уравнения (8. 4), получаем:

.dt)dt)tk(exp))tt(k(exp(

))tt(kexp()k

kz(

k

1)tt(

k

k)

k

kz(

k

1z)t(z

ï

1

t

t

1

x0

ï

1

t

t

0

ï

1xï

1

ï

220ï

1

0ï

1

ï

2xï

1

ï

220ï

1

101

00

(14)

Шаг 6. Полученные выражения используются совместно с теоретически доказанным

утверждением о том, что гамильтониан (5) на оптимальном решении тождественно равен нулю.

Методика, описанная в 8, позволяет найти зависимость функции х от фазовых координат

21 , zz . При этом учитывается, что в конечный момент времени kt фазовые координаты должны

равняться нулю.

В связи с тем, что при постоянных значениях коэффициентов уравнения (4) и отсутствии

случайных возмущений задача решена в 8, далее используем это решение (при 01 х ) в

следующем виде. Запишем два уравнения (15), которыми определяются линии переключения

управляющего воздействия с одного значения на другое:

).zk2k

zk1ln(

)k(

1)z(sign

kk

zz

;0k,0kïðè)zk

k1ln(

)k(

1)z(sign

kk

zz

2

ï

1

ï

2

2

ï

1

2ï

1

2ï

2

ï

1

21

ï

2

ï

12ï

2

ï

1

2ï

1

2ï

2

ï

1

21

(15)

Графики этих линий представлены на рис. 1.

Рис. 1. Геометрическое изображение функций переключения

На рис. 2 представлена система координат z1Oz2 и две линии переключения А1ОА2,

В1ОВ2, которые описываются выше приведенными уравнениями.

Анализируя условия (7) и учитывая расположение кривых переключения искомого

управляющего воздействия, приходим к выводу, что плоскость фазовых координат делится

линиями на четыре части. При этом, как показано в 8, в нижней части плоскости управляющее

воздействие х должно принимать максимальное значение (см. (7)), в верхней части плоскости –

минимальное значение, а между линиями – нулевое значение, что показано на рис. 2.

Рис. 2. Распределение по областям полученных значений управляющей функции

Необходимо отметить, что на фазовой плоскости переменных z1, z2 есть возможность

изобразить ту траекторию движения на этой плоскости текущей точки Мt(z1(t); z2(t)), которая

начинается в точке Мt0(z10; z20). Варианты таких траекторий показаны на рис. 3.

а) б) в)

Рис. 3. Графическое решение задачи оптимального управления на фазовой плоскости для

различных случаев положения центра масс в фазовом пространстве

Отметим, что применение принципа максимума для второй подсистемы системы (2)

приводит к решению, которое подобно выше описанному. Существенно то, что искомое

управляющее воздействие признается оптимальны при достижении минимума функционала (3).

Полученный результат означает, что с помощью принципа максимума 7 удается найти

искомые составляющие отклонений управляющей функции от программного управления

движением галсами, определенного в 4.

Выводы и перспектива дальнейших исследований. Показано, что применение метода

принципа максимума Понтрягина Л.С. для определения оптимальной траектории управления

движением судна позволяет найти эту траекторию в предложенном варианте постановки задачи

оптимизации управления.

В дальнейшем возникает потребность выхода на поиск средств измерения и расчета

текущих фазовых координат и трансформации полученных результатов в предметную область

проектного управления.

ЛИТЕРАТУРА

1.Тернер, Д. Р. Руководство по проектно-ориентированному управлению / Дж. Родни

Тернер / Пер. с англ. под. общ. ред. Воропаева В.И. – М. : Изд. дом Гребенщикова, 2007. – 552 с.

2.Руденко, С.В. Формулировка научного положения Тернера о развитии проектов в форме

закона / С.В. Руденко // Тези доп. VІ міжнар. конф. "Управління проектами у розвитку

суспільства" // Відп. за випуск С.Д. Бушуєв. — К. : КНУБА, 2009. — С. 161 – 163.

3.Тесленко, П.А. Траектория развития проекта как организационно-технической системы в

многомерном пространстве переменных / П.А. Тесленко, В.Д. Гогунский // Тези доповідей VІ

міжнар. конф. "Управління проектами у розвитку суспільства" // Відп. за випуск С.Д. Бушуєв. —

К. : КНУБА, 2009. — С. 188 – 189.

4. Тесленко, П.А. Модель управления движения галсами на основе закона Тернера-Руденко/

П.А. Тесленко // Управління проектами та розвиток виробництва: Зб.наук.пр. — Луганськ : Вид-

во СНУ ім. В.Даля, 2009. — №2(30). — С. 113—118.

5. Тесленко, П.А., Модель движения парусника галсами как обоснование закона Тернера-

Руденко о развитии проектов / Тесленко П.А., Гогунский В.Д. // Управління проектами: Стан та

перспективи: Матеріали V міжнар. наук.-практ. конф. / Відп. за випуск К.В. Кошкін. —

Миколаїв : НУК, 2009. — С. 52 – 53.

6. Тесленко, П.А. Составляющие и ограничения управления проектом по аналогии

движения парусника галсами / П.А. Тесленко // Управління проектами та розвиток

виробництва: Зб.наук.пр. — Луганськ : вид-во СНУ ім. В.Даля, 2009. — №4(32). — С. 74 – 79.

7. Понтрягин, Л.С. Принцип максимума / Лев Семенович Понтрягин. – М. : ОАО

"Оригинал", 1998. — 70 с.

8. Атанс, М.И. Оптимальное управление / М.И. Атанс, П.Л. Фалб Пер. с англ. Под. ред. д-ра

техн. наук, проф. Ю.И. Топчеева. — М. : «Машиностроение», 1968. — 764 с.

Поступила в редакцию 19.04.2010 г.