Explorando el grafo grlineal(m, a, b)

Andres Yamith Villamizar TarazonaUniversidad Industrial de Santanter

Escuela de matematicas

Bucaramanga,santander

10 de abril de 2016

Resumen

En estas notas hablaremos un poco sobre el grafo grlineal(m,a, b);como se genera y una pequena descripcion del programa. Particularmentese estudiara el caso cuando m es un numero primo, a varia en los enterosy b = 0. Se expondran algunos resultados de este caso particular.

1. Descripcion del programa

En esta seccion se describira de la mejor manera posible el programaque genera el grafo grlineal(m,a, b).

El siguiente codigo en SAGE genera el grafo grlineal(m,a, b).

El grafo anterior recibe tres parametros; a saber m,a, b; donde m in-dica el numero de vertices del grafo. Como SAGE enumera los verticesempezando desde cero hasta m − 1, podriamos dar la distincion al con-junto de vertices como Zm. Los otros dos parametros son utilizados paracrear el conjunto de aristas del grafo. Segun la imagen anterior el conjun-to de aristas, al que llamamos arc es un subconjunto del producto cruzZm × Zm, el cual por comprension de denota como:

1

arc = {(x, y) ∈ Zm × Zm : y ≡ ax + b(mod m)}

Como arc ⊆ Zm × Zm, tenemos que (x, y) 6= (y, x) ( es claro, puesen general y ≡ ax + b(mod m) 6= x ≡ ay + b(mod m)). Ası podemosdecır que el grafo es dirigido. Finalmente diremos que dos vertices x, yson adyacentes si la pareja (x, y) ∈ arc.

2. Caso particular m=p, b=0

En esta seccion se estudiara un caso particular del grafo grlineal(m,a, b),donde m = p, para p un numero primo, b = 0 y a varia en los enteros.

Ejemplo 2.1. sea grlineal(2, 0, 0). SAGE nos dibuja el siguiente grafo:

Analicemos a fondo el ejemplo anterior. Segun el programa, el conjun-to de vertices es Z2 = {0, 1}. El conjunto de aristas es el siguiente:

arc = {(x, y) ∈ Z2 × Z2 : y ≡ ax + b(mod 2)} = {(x, y) ∈ Z2 × Z2 : y ≡0x + 0(mod 2)} = {(x, y) ∈ Z2 × Z2 : y ≡ 0(mod 2)}.

Sea Z2 × Z2 = {(0, 0); (0, 1); (1, 0); (1, 1)}. Veamos que elemento deZ2 × Z2 pertenece a arc. Es claro que (0, 0) ∈ arc, pues 0 ≡ 0(mod 2);encambio (0, 1) /∈ arc, pues 1 6≡ 0(mod 2). (1, 0) ∈ arc, pues 0 ≡ 0∗1 +0(mod 2). Finalmente (1, 1) /∈ arc. Luego arc = {(0, 0); (1, 0)}. Como SA-GE no grafica bucles (o lazos), no tiene sentido hablar del arco (0, 0).Luego, la unica arista que tiene el grafo es (1, 0). Lo dicho anteriormentese puede ver en la grafica anterior.

Note que el ejemplo anterior refuerza la afirmacion de que (x, y) 6=(y, x); es decır el grafo es dirigido.

Ejemplo 2.2. Sea grlineal(2, 1, 0). SAGE nos da el siguiente grafico:

El grafico anterior muestra un grafo disconexo, esto se debe a que nin-guna pareja diferena a (0, 0); (1, 1) esta en arc. En efecto, pues (0, 0); (1, 1) ∈arc pero como ya lo habıamos mencionado, no tiene sentido hablar de es-tos arcos. Los casos restantes es facil verificar que no cumplen con lacondicion del conjunto arc.

Ejemplo 2.3. Sea grlineal(2, 26, 0). SAGE nos muestra el siguiente grafi-co:

Como podemos notar, este grafo es identico al grafo del ejemplo 2,1.

Observaciones:

i) Note que en el ejemplo 3 el parametro a es un multiplo del parametrom.

ii) Note que en el ejemplo 1 el numero de aristas es igual al numero devertices menos uno.

Los anteriores comentarios motivan el siguiente teorema:

Teorema 2.4. Si m = p, a = pn y b = 0, con p un numero primo yn ∈ Z, entonces el grafo grlineal(m,a, b) tiene p vertices y p− 1 arcos.

Demostracion:

Es claro que grlineal(m,a, b) tiene p vertices, pues el conjunto de verti-ces es Zp, que tiene p elementos. Veamos ahora que el grafo tiene p − 1aristas. Sea (x, y) ∈ arc. Consideremos la siguiente congruencia:

y ≡ ax + b(mod m)

Por hipotesis, como m = p, a = pn y b = 0, tenemos que:

y ≡ (pn)x + 0(mod p)→ y ≡ 0(mod p)

Pues pn∗x ≡ 0(mod p), ∀n ∈ Z, ∀x ∈ Zp. como y ∈ Zp, y < p, luego y = 0(caso contrario, (x, y) 6∈ arc). Ası la pareja (x, 0) ∈ arc,∀x ∈ Zp. De elloque hay ϕ(p) = p − 1 aristas (pues la arista (0, 0) no la contamos). Conesto termina la prueba

Observaciones:

i) Note que el numero de aristas es ϕ(p).

ii) El recıproco del teorema anterior no es cierto, pues si consideramosel grafo grlineal(4, 8, 0) este tiene 4 vertices y 3 aristas, pero 4 noes un numero primo.

El siguiente resultado es consecuencia inmediata del teorema anterior.

Corolario 2.5. (x, 0) ∈ Zp × Zp siempre es una arista para el grafogrlineal(p, pn, 0) que une a los vertices x, 0, ∀x ∈ Zp. De hecho son lasunicas.

Definicion 2.6. Un grafo es conexo si para cualquier par de vertices exis-te almenos un camino que los une.

Teorema 2.7. Si m = p, a = pn y b = 0, con p primo y n ∈ Z, entoncesgrlineal(m,a, 0) es conexo.

Demostracion:Procediendo por reduccion al absurdo, supongamos que el grafo grlineal(p, pn, 0)

no es conexo, de ello que existan almenos dos vertices que no esten conec-tados; digamos i, j ∈ Zp. Ahora, por el corolario 1.1 tenemos que los arcos(i, 0); (j, 0) unen a los vertices i, j con 0. Luego existe un camino que unea i y j; a saber (i, 0), (j, 0). Ası i, j estan conectados, lo cual es contra-dictorio pues estamos suponiendo que el grafo no es conexo. Concluimosque el grafo grlineal(p, pn, 0) es conexo.

Corolario 2.8. Si m = p, a = pn y b = 0, con p primo y n ∈ Z, entoncesel diametro del grafo es 2.

Corolario 2.9. Si m = p, a = pn y b = 0, con p primo y n ∈ Z, entoncesgrlineal(m,a, 0) es un arbol.

Ejemplo 2.10. Sea grlineal(11, 56, 0). SAGE nos imprime el siguientegrafo:

Observando el grafo anterior (al igual que en el ejemplo 2) tenemosque el grafo es disconexo. Esto no es casualidad, pues el parametro a porel algoritmo de la division deja como residuo 1 al ser dividido por 11 (por2 en el caso del ejemplo 2). Lo observado en el ejemplo anterior se plasmaen el siguiente resultado:

Teorema 2.11. Si m = p, a = pn + 1 y b = 0, para p un numero primoy n ∈ Z, entonces el grafo grlineal(m,a, 0) es disconexo.

Demostracion:Veamos que el grafo grlineal(p, pn+1, 0) es disconexo. Sea (x, y) ∈ arc,

luego y ≡ (pn + 1)x(mod p) → y ≡ pnx + x(mod p) → y ≡ x(mod p).Como x, y ∈ Zp y y ≡ x(mod p) tenemos que x = y. Ası la pareja(x, y) = (x, x) = (y, y); pero como sabemos, SAGE no grafica lazos. Asıel grafo es disconexo.

Ejemplo 2.12. Para m = p, a = pn + 2 y b = 0, donde p es un numeroprimo y n ∈ Z, tenemos que la pareja (1, 2) siempre es una arista delgrafo grlineal(m,a, 0). En efecto. Basta comprobarlo con la congruenciay ≡ 2x(mod p)→ 2 ≡ 2(1)(mod p).

Observacion: A continuacion veremos que esta arista es la ”aristageneradora” de todas las aristas del grafo.

Ejemplo 2.13. Para m = p, a = pn + 2 y b = 0, donde p es un numeroprimo y n ∈ Z, tenemos que todas las aristas del grafo son de la formad(1, 2), con d ≤ p. En efecto. Por el ejemplo anterior tenemos que la pareja(1, 2) siempre es una arista del grafo; es decır 2 ≡ 2(1)(mod p). Ahora, porpropiedades de las congruencias tenemos que 2d ≡ 2(d)(mod p)↔ (d, 2d)es una arista del grafo.

Lo siguiente es generalizar las ideas de los dos ejemplos anteriores.

Teorema 2.14. En general, la pareja (1, r) es arista del grafo grlineal(p, pn+r, 0), para p un numero primo, n ∈ Z y 0 ≤ r < p.

Demostracion: Procediendo de manera analoga al ejemplo 10 tene-mos que verificar si la pareja (1, r) satisface la congruencia y ≡ rx(mod p),lo cual es claro.

Teorema 2.15. Para m = p, a = pn + r y b = 0, con p un nume-ro primo, n ∈ Z y 0 ≤ r < p tenemos que todas las aristas del grafogrlineal(p, pn + r, 0) son de la forma d(1, r); donde d ≤ p.

Demostracion: Siguiendo el razonamiento del ejemplo 11 se tiene laprueba del teoremma.

Corolario 2.16. Si m = p, a = pn + r y b = 0, con p un numero primo,n ∈ Z y 0 ≤ r < p talque r 6= 1, entonces el grafo grlineal(m,a, 0) tienep− 1 aristas.

Demostracion: Por el teorema 7 tenemos que todas las aristas delgrado son de la forma d(1.r) para d ≤ p. Luego hay p parejas, pero como lapareja (p, rp) = (0, 0) no la tenemos en cuenta entonces hay p−1 aristas.

Observacion:

i) Note que si r = 1 las parejas son de la forma (d, d) para d ≤ p. Comoya habiamos dicho anteriormente, estas parejas no las tendremos encueta.

ii) Note que el corolario 8.1 es una generalizacion del teorema 1.

3. Isomorfismos

En esta seccion se mostrara cuando un grafo grlineal(p, a, 0) es iso-morfo a otro grafo grlineal(p, a′, 0) sin necesidad de que a y a′ dejen elmismo residuo. Para ello es necesario hacer la siguiente aclaracion: Por elalgoritmo de la division, tenemos que a = pq+r, con q ∈ Z y 0 ≤ r < p. Enel fondo terminaremos analizando el residuo de a al ser dividido por p. Deello que solo existan p grafos. Ahora estudiemos algunos casos particulares.

Ejemplo 1: Para p = 2, tenemos que existen dos grafos; los cualesson: grlineal(2, 0, 0) y grlineal(2, 1, 0). En la seccion anterior se vio queestos dos grafos no son isomorfos.

Ejemplo 2: Para p = 3 se tiene que existen tres grafos. Ellos son:grlineal(3, 0, 0), grlineal(3, 1, 0) y grlineal(3, 2, 0). Nuevamente ningunode ellos es isomorfo.

El siguiente teorema nos muestra algunos grafos isomorfos.

Teorema 3.1. El grafo G = grlineal(p, r, 0) es isomorfo al grafo G′ =grlineal(p, r′, 0), donde r, r′ ∈ Zp, rr′ = 1 y p un numero primo mayor oigual que 5.

Demostracion: Veamos que los grafos G y G′ son isomorfos. Consi-deremos la siguiente funcion:

Ψ : Zp → Zp definida por Ψ(x) = xr′ ∀x ∈ Zp

Veamos que la funcion es inyectiva. Sea Ψ(x) = Ψ(y), luego xr′ = yr′.Multipicando a derecha por r tenemos que: xr′r = yr′r → x = y. Ası lafuncion es inyectiva. Como los conjuntos de llegada y salida son finitos,tenemos que Ψ es sobreyectiva, luego la funcion es biyectiva. Finalmenteveamos que la funcion respeta la relacion de adyacencia. Sean x, y ∈ Zp

talque (x, y) ∈ arc, luego existe d ≤ p talque (x, y) = (d, dr). LuegoΨ(x) = Ψ(d) = dr y Ψ(y) = Ψ(dr) = drr′ = d, entonces (d, dr′) ∈ arc(pues dr′ ≡ dr′(mod p)), es decır (Ψ(y),Ψ(x)) son adyacentes en G′. Aho-ra veamos que si Ψ(x),Ψ(y) son adyacentes en G′, entonces x, y son adya-centes en G. Como Ψ(x) es adyacente a Ψ(y), de ello que (Ψ(y),Ψ(x)) =(yr′, xr′) = (d, dr′), para algun d ≤ p. Luego:

(Ψ(y),Ψ(x)) ∈ arc↔ Ψ(x) ≡ Ψ(y)r′(mod P )

Como (Ψ(y),Ψ(x)) = (d, dr′), de ellos que dr ≡ dr′(mod p). Multiplican-do por r tenemos que: d ≡ (dr′)r(mod p). Finalmente, como (yr′, xr′) =(d, dr′), de ello que yr′ ≡ (xr′)r(mod p). Luego y ≡ (x)r(mod p); es decırx, y son adyacentes en G.Luego G y G′ son isomorfos.

El teorema anterior nos dice que dado r < p existe r′ < p talque losgrafos grlineal(p, r, 0) y grlineal(p, r′, 0) son isomorfos. De ello tenemosque van a ser isomorfos dos a dos.

Corolario 3.2. El grafo grlineal(p, 0, 0) no es isomorfo a ningun otrografo, pues el cero no es un elemento invertible.

Corolario 3.3. El grafo grlineal(p, 1, 0) no es isomorfo a ningun otrografo diferente a si mismo, pues el 1 es su mismo inveros multiplicativomodulo p.

Corolario 3.4. El grafo grlineal(p, p−1, 0) no es isomorfo a ningun otrografo distinto a el mismo, pues p− 1 es su mismo inverso modulo p.

Como observacion tenemos que los demas grafos (p − 3 grafos) sonisomorfos dos a dos; es decır tengo un numero par de grafos isomorfos.Mas aun, el numero de grafos isomorfos dos a dos es (p − 3)/2. Esto noquiere decır que dados dos grafos tales que ellos sean isomorfos no exis-ta otro isomorfo a uno de ellos. De hecho, si hay uno isomorfo a unode ellos, existira otro isomorfo a alguno de ellos; es decir, siempre tengoun numero par de isomorfismos. En la siguiente tabla se veran el numerode grafos isomorfos dos a dos y el numero de grafos isomorfos no repetidos.

Referencias

[1] Luis R. Jimenez B.; Jorge E. Gordillo A.; Gustabo N. Rubiano O.,Teorıa de numeros para principiantes., Universidad Nacional de Co-lombia, 2004.

[2] http://matematicas.uis.edu.co/ risaacs/AMA/doc/lindifaanti.pdf

[3] http://tux.uis.edu.co/lenguajes/doc/GraphTheoryII.pdf

[4] http://doc.sagemath.org/pdf/en/reference/graphs/graphs.pdf