Divisão Regular de Superfícies

IPCA . escola superior de tecnologia . geometria e projecção I . design industrial . design gráfico

DIVISÃO REGULAR DE SUPERFÍCIES



Padrão

Modelo ou motivo que preenchede forma regular uma superfície.

Simetria

A simetria não descreve as partes,mas como essas partes sãocombinadas e conseguidas parafazer um padrão, a partir dedeterminada região fundamental,preencher regularmente umasuperfície.

C

E E’

C’

A A’

B B’

D D’



Operações de simetriapossíveis num plano:

1- Translação 2- Rotação 3- Reflexão 4- Translação reflectida 5- Identidade

A operação de identidadeé o equivalente a umareflexão ou a uma rotaçãode 360 graus sobre umeixo central.

6- Inversa

É capaz de mover afigura da posição B devolta à posição A.



a- Contém sempre a simetria de

identidade que define a figura. A

operação de identidade é o

equivalente a uma reflexão ou a

uma rotação de 360 graus sobre

um eixo central.

b- Para cada operação de simetria,

que move uma figura da posição

A para a posição B, existe uma

operação inversa que é capaz de

mover a figura da posição B de

volta à posição A.

c- Cada operação de simetria no

grupo pode ser seguida por outra,

e a operação resultante desta é,

em si mesma, um membro do

grupo de simetria. Assim se um

padrão tem uma simetria de

translação seguida de uma

reflexão, então a resultante destas

duas é uma operação de simetria

de translação reflectida. Ou, se

um padrão com contém uma

simetria de translação horizontal

seguida de uma operação de

simetria vertical, estas duas

operações são equivalentes a uma

translação em diagonal.

Grupo de simetria – o conjunto completo de operações de simetria:


DIVISÃO REGULAR DE SUPERFÍCIESGrupo de simetria – o conjunto completo de operações de simetria:

Padrão



DIVISÃO REGULAR DE SUPERFÍCIESGrupo de simetria – o conjunto completo de operações de simetria:

Padrão



DIVISÃO REGULAR DE SUPERFÍCIESPadrão de desenho finito

Padrão de desenho finito

Um desenho de padrão podedecorar uma superfície numvariado número de formas. Podenão ter uma repetição regular,pode ter elementos que serepetem em intervalos regularesà volta de um ponto. Essesdesenhos de padrões que sãoirregulares ( e por isso, possuemsó um tipo de simetria, a simetriade identidade) e esses que contêmelementos que só se repetemciclicamente à volta de um pontosão geralmente referidos como“padrões de desenho finito “.

Existem dois tipos de padrão dedesenho finito (também chamadode “roseta”)– no que concerne àsua repetição regular à volta deum ponto:

Padrão de desenho de simetriacíclica

Contém um número X de simetriasrotacionais à volta de um pontono seu centro. Depois de 360 / Xnuma direcção (no sentido dorelógio ou inversamente) odesenho do padrão volta à suaposição inicial.

Padrão de desenho de simetriadiédrica

Contém um número X de simetriasrotacionais à volta de um pontoe, também Y eixos de reflexãoque passam nesse ponto.

Um padrão de desenho desimetria finito tem simetrias derotação e de reflexão, mas nãotem simetrias de translaçãono seu grupo de simetria.


DIVISÃO REGULAR DE SUPERFÍCIESEstruturas translacionais de padrões

Padrões translacionais

Um padrão de desenho quedecora uma superfície por umasimetria de translação poderá serde dois tipos:

Um padrão de desenhomonotranslacional (ou decinta)

A progressão do padrão acontecenuma só direcção criando umatira ou faixa. Aquele que,teoricamente e conceptualmente,se expande para o infinito em duasdirecções opostas sobre uma linharecta.

Existem 7 possibilidades degrupos de simetria para ospadrões de desenhomonotranslacional.

Um padrão de desenhoditranslacional

A progressão do padrão aconteceem duas direcções, preenchendotodo o plano. Aquele que seexpande infinitamente por todo oplano.

Existem 17 possibilidade degrupos de simetria para ospadrões de desenhoditranslacional.



Padrões translacionais

Um padrão de desenho quedecora uma superfície por umasimetria de translação poderá serde dois tipos:

Um padrão de desenhomonotranslacional (ou decinta)

A progressão do padrão acontecenuma só direcção criando umatira ou faixa. Aquele que,teoricamente e conceptualmente,se expande para o infinito em duasdirecções opostas sobre uma linharecta.

Existem 7 possibilidades degrupos de simetria para ospadrões de desenhomonotranslacional.

Um padrão de desenhoditranslacional

A progressão do padrão aconteceem duas direcções, preenchendotodo o plano. Aquele que seexpande infinitamente por todo oplano.

Existem 17 possibilidade degrupos de simetria para ospadrões de desenhoditranslacional.



Polígonos regulares passíveis deserem utilizados numa grelhaestrutural de divisão regular desuperfícies:

- Hexágono (conjunto de seistriângulos equiláteros)

- Triângulo equilátero - Quadrado



Exemplos de polígonos regularesque não preenchem por si sóuma superfície, serão todos osoutros (é sempre precisa mais doque uma forma geométrica paraque o preenchimento da superfíciese realize):

- Octógono(8 lados + quadrado)

- Pentágono(5 lados+losango)

- Heptágono(heptágono regular + heptáguno irregular)


DIVISÃO REGULAR DE SUPERFÍCIESConstrução de uma grelha ditranslacional

A B

A

B

A

B

A

B

A

B



Região fundamental ou domínio fundamental

É uma região assimétrica ou uma região geradora.A região mais pequena do padrão que, quandoactuando repetidamente pelas operações desimetria do seu grupo de simetria, preenche todoo plano.

Em casos em que a região fundamental não estáinteiramente fechada, não tem um contornointeiramente fechado, pelos eixos de simetria e/ounão estão fechados os seus limites exteriores, elapode ser representada por um variado número deformas.

Normalmente a área fundamental é definida peloseguinte critério: conter a unidade do padrão coma maior ordem de simetrias possível.

Esta área é definida pela natureza do padrão dedesenho finito e pala natureza do grupo de simetriasde translação que cria o preenchimento total doplano, definindo os dois tipos de padrões dedesenho translacionais falados anteriormente.



Região fundamental ou domínio fundamental

É uma região assimétrica ou uma região geradora.A região mais pequena do padrão que, quandoactuando repetidamente pelas operações desimetria do seu grupo de simetria, preenche todoo plano.

Em casos em que a região fundamental não estáinteiramente fechada, não tem um contornointeiramente fechado, pelos eixos de simetria e/ounão estão fechados os seus limites exteriores, elapode ser representada por um variado número deformas.

Normalmente a área fundamental é definida peloseguinte critério: conter a unidade do padrão coma maior ordem de simetrias possível.

Esta área é definida pela natureza do padrão dedesenho finito e pala natureza do grupo de simetriasde translação que cria o preenchimento total doplano, definindo os dois tipos de padrões dedesenho translacionais falados anteriormente.



Unidade de translação

Para facilidade de produção industrial, na indústriatêxtil utiliza-se o conceito de rapport, que será,para os tecidos, o padrão mínimo da estrutura deentrelaçamento de um tecido, ou na estamparia opadrão preparado para um plano de impressão.Esta será a unidade de translação ao actuar, vaipreencher uniformemente o plano.

A diferença entre a área fundamental e o rapportadvém da facilidade de produção em série que ascaracterísticas deste potenciam.

Assim o rapport ou padrão poderia pertencer auma área de um paralelogramo:



Unidade de translação

Para facilidade de produção industrial, na indústriatêxtil utiliza-se o conceito de rapport, que será,para os tecidos, o padrão mínimo da estrutura deentrelaçamento de um tecido, ou na estamparia opadrão preparado para um plano de impressão.Esta será a unidade de translação ao actuar, vaipreencher uniformemente o plano.

A diferença entre a área fundamental e o rapportadvém da facilidade de produção em série que ascaracterísticas deste potenciam.

Assim o rapport ou padrão poderia pertencer auma área de um paralelogramo:


DIVISÃO REGULAR DE SUPERFÍCIESUm Padrão de William Morris



Área fundamental com umagrelha quadrangular aplicada



Construção



Aplicação de um conjuntode simetriamonotranslacional:



Aplicação de um conjuntode simetriaditranslacional:



Unidade de Translação(Área fundamental comsimetria de reflexão)


DIVISÃO REGULAR DE SUPERFÍCIESEquivalência topológica

Equivalência topológica

Se uma área fundamental podeser reproduzida por umatransformação, chamada dehomeomorfismo, quecomprime, expande ou deformacélulas de uma grelha, semremover ou acrescentar nenhumvértice, então é porque cada paçodessa transformação temequivalência topológica.

a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19

a21 a22 a23 a24 a25 a26 a27 a28 a29

a31 a32 a33 a34 a35 a36 a37 a38 a39

a41 a42 a43 a44 a45 a46 a47 a48 a49

a51 a52 a53 a54 a55 a56 a57 a58 a59

b11 b12 b13b14 b15

b16 b17 b18

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b21 b22 b23 b24 b25 b26b27

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b51 b52 b53 b54 b55 b56 b57 b58 b59


DIVISÃO REGULAR DE SUPERFÍCIESEquivalência combinatória

Equivalência combinatória

Quando um motivo de um padrãocontém o mesmo número dearestas, vértices e valências deoutro.

A=3 B=3

C=3 D=3

A=3 B=3

C=3 D=3

A=3

B=3

C=3 D=3

A=3

B=3 D=3

C=3

A=3

B=3 D=3

C=3

4 vértices (A, B, C e D)

4 arestas exteriores3 arestas em cada vértices (A, B, C e D)

A=3

B=3

C=3 D=3

C=3

D=3

A=3

B=3

B=3

A=3

D=3

C=3





A=3 B=3

C=3 D=3

A=3

B=3

C=3 D=3





A=3

B=3 D=3

C=3





A=3

B=3 D=3

C=3









A=3 B=3

C=3 D=3

A=3 B=3

C=3 D=3

A=3

B=3

C=3 D=3

A=3

B=3 D=3

C=3

A=3

B=3 D=3

C=3



A=3

B=3

C=3 D=3

C=3

D=3

A=3

B=3

B=3

A=3

D=3

C=3









A=3 B=3

C=3 D=3

A=3 B=3

C=3 D=3


4 arestas exteriores

A=3

B=3

C=3 D=3

A=3

B=3 D=3

C=3

A=3

B=3D=3

C=3

A=3

B=3

C=3 D=3

C=3

D=3

A=3

B=3

B=3

A=3

D=3

C=3

3 arestas em cada vértices (A, B, C e D)







A=3 B=3

C=3 D=3

A=3 B=3

C=3 D=3

A=3

B=3

C=3 D=3

A=3

B=3 D=3

C=3

A=3

B=3D=3

C=3

A=3

B=3

C=3 D=3

C=3

D=3

A=3

B=3

B=3

A=3

D=3

C=3














DIVISÃO REGULAR DE SUPERFÍCIESBibliografia

HERNANDEZ, Anselmo Rodrigues; OLÍMPIO, Eduardo. 250 modelos de Serralharia, Plátano, Lisboa, 1982

HORNE, Clare E. . Geometric symmetry in patternsand tilings, Woodhead Publishing, 2000

PHILLIPS, Peter; BUNCE, Gillian; Repeat Patterns, Amanual for designers, artists and architects, Thamesand Hudson, Londres, 1993

SERRA, Sergi; CÓNSOLA, Xavier . GradeamentosArtísticos de Serralharia Ornamental, Plátano, Lisboa,1997

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