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CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃOEM ENGENHARIA CIVIL
ANALISE N U M S R I C O - E X P E R I M E N T A L DE
PROBLEMAS DE FLUÊNCIA
JOSÉ ÂNGELO FONTANIVE
UNfVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SULESCOLA DE ENGENHARIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ANALISE NUMERICO-EXPERIMENTAL DE
PROBLEMAS DE FLUENCIA
JOSÉ ÂNGELO FONTANIVE
Disser tação apresentada ao corpo docente do Cu£
so de Põs-Graduação em Engenharia C i v i l da Escola de Enge-
n h a r i a da Univers idade Federal do Rio Grande do Sul como
par te dos r e q u i s i t o s para a obtenção do t í t u l o de Mestre em
Engenhari a Ci vi 1 .
Porto. Alegre
Novembro de 1982
Esta dissertação foi julgada adequada para a ot
tenção do t í t u l o de MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL e aprovada
em sua forma f ina l pelo Orientador e pelo Curso de Põs-Gra-
duação.
Prof. Guillermo Juan Creus
Orientador
Prof. José S. Gomes Franco
Coordenador do Curso de Põs-Graduação emEngenharia Civ i l
II
Este trabalho é dedicado a
minha esposa Lena e a
meus pais
III
AGRADECIMENTOS
Ao orientador deste t raba lho , professor Gu i l -
lermo Juan Creus, pelo acompanhamento e incentivo durante
o mesTIO.
Ao Curso de Põs-Graduação em Engenharia C i v i l
pelo apoio e i . icentivo dados no decorrer do t rabalho.
A Comissão Nacional de Energia Nuclear (CNEN)
e ao Conselho Nacional de Desenvolvimento C ien t i f i co e
Tecnológico (CNPq) pelo apoio f inanceiro prestado.
A Paulo Francisco Bueno, pela colaboração no
desenvolvimento dos ensaios.
Aos professores José Carlos Ferraz Hennemann,
Walter Otto Cybis, Luis Fernando Nanni pela colaboração
dada, tanto na parte teór ica como numérica do t rabalho.
 s r t a . L i l i a n i Gaeversen pelo trabalho dati_
1ogrãfi co.
A s r t a . Lenira Corsett i pela preparação das
referências b ib l iográ f i cas .
A todos os professores, colegas e funcionár i -
os do Curso de Põs-Graduação em Engenharia C i v i l , que de
alguma forma colaboraram para a realização deste traba-
lho.
IV
SUMARIO
1 - INTRODUÇÃO
1.1 - Objetivo e Importância do Problema 1
1.2 - Conteúdo 2
2 - FUNDAMENTOS DA VISCOELASTICIDADE
2.1 - Introdução 4
2.2 - Ensaios de Fluência e Relaxação 5
2.3 - Linearidade 8
2.4 - Teorema de Riez 11
2.5 - Envelhecimento 15
2.6 - Modelos Reolõgicos 16
2.6.1 - Modelo de Maxwell 18
2.6 .2 - Modelo de Kelv in-Voigt 23
2 .6 .3 - Modelos Generalizados 26
2.6 .4 - Modelo Standard 31
3 - VISCOELASTICIDADE DO CONCRETO
3.1 - Introdução . . . . 3 5
3.2 - Linearidade 35
3.2.1 - Linearidade entre Tensão e Deformação
Lenta do Concreto Submetido ã Compres^
são 35
3.2.2 - Linearidade entre Tensão e Recupera-
ção da Fluincia do Concreto 37
3.2 .3 - Linearidade entre Tensão e Fluência
do Concreto Submetido a Tração 393.3 - Envelhecimento 393.4 - Características Básicas da Fluincia do Concre
to 413.5 - Expressões Analíticas para a Fluência do Con-
creto 44
3.6 - Expressão de Dischinger 46
3.6 .1 - Relações Básicas 46
3.6.2 - Correspondência com Modelo Reolõgico 49
3.6.3 - Análise Cr í t ica 51
3.7 - Expressão de Arutyunyan 54
3.7.1 - Relações Básicas â4
3.7.2 - Correspondincia com Modelo Reolõgico 58
3.8 - Análise Cr í t ica . .60
3.9 - Propostas de Arutyunyan e Dischinger - Análise
Conjunta 61
4 - RESOLUÇÃO NUMÉRICA
4.1 - Introdução 65
4.2 - Determinação do Algoritmo Numérico 66
4.3 - Intervalos de Tempo 70
5 - EXEMPLOS NUMÉRICOS
5.1 - Exemplo 1 - Modelo Standard 79
5.2 - Exemplo 2 - P i l a r de Concreto Arm?do 82
5.2 .1 - Resolução pela Proposta de Arutyunyan.. . .84
5.2.2 - Resolução pela Proposta de Dischinger . . . .90
5.3 - Exemplo 3 - Tubo Submetido ã Pressão Interna 97
5.3.1 - Resolução pela Proposta de Arutyunyan...100
5.3.2 - Resolução pela Proposta de Dischinger. . . 105
6 - ENSAIOS
6.1 - Concreto e Corpos de Prova 109
6.2 - Sistema de Aplicação e Manutenção da Carga 111
6.3 - Sistema de Medição da Deformação Lenta 117
6.4 - Ensaios 119
7 - ANALISE DOS RESULTADOS
7.1 - Resultado dos Ensaios Complementa res 122
7.2 - Resultado dos Ensaios de Fluência 125
VI
7.2.1 - Determinação das Constantes Viscoe-
1 ãs t i cas 1 32
7 .2 .1 .1 - Método de Ross 134
7 .2 .1 .2 - Método de Ishai 139
7.2.2 - Reprodução da Fluincia através das
Constantes Viscoelãsti cas Cal culadas . .-145
7 .2 .2 .1 - Reprodução por Dischinger 145
7 .2 .2 .2 - Reprodução por Arutyunyan 146
8 - CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
8.1 - Conclusões 153
8.1.1 - Análise Teórica 153
8.1.2 - Análise Experimental 154
8.2 - Recomendações 156
APÊNDICE
Tabelas Al 157
Tabelas A2 169
BIBLIOGRAFIA 171
VII
RESUMO
Este t r a b a l h o a n a l i s a n u m é r i c a e e x p e r i m e n t a l -
mente problemas de f luência do concreto, checando métodostradic ionais já propostos e, sugerindo uma solução numéri-ca para esses problemas.
Inicialmente é fe i ta uma análise dos fundamen-tos da vi s coei as *.i cidade e sua aplicação para a representação do comportamento mecânico do concreto. Estudam-se, aseguir , as teorias de Dischinger e Arutyunyan e, propõe-seuma solução numérica, a qual é checada com as teor ias , pe-la resolução de exemplos. Finalmente, é detalhada a exectJção de ensaios de f luência e relaxação, analisados os re-sultados obt idos, tecendo-se, também, algumas recomenda-ções .
V I I I
ABSTRACT
In the present work, problems of creep of
concrete are anal ized both numerical ly e x p e r i m e n t a l l y ,
c lass ica l comparing methods and a numerical procedure fo r
the so lut ion of these problems.
F i r s t l y , fundamentals of v iscoel as t i ci ty and
i t s app l ica t ion to concrete behavior representa t ion are
presented. Then, the theor ies of Dischinger and Arutyunyan
are s tud ied , and the computing numerical so lut ions are
compared in several examples. F i n a l l y , experiences on
creep and re laxa t ion are descr ibed, and i t s r e s u l t are
ana l i zed . Some contents on possible fu ture developments
are inc luded.
IX
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1 - Objetivo e Importância do Problema
Com o incremento da u t i l i zação do concreto protendido nas grandes obras c i v i s , tornou-se evidente i ne-cessidade do estudo de sua f luência. Por sua vez, com osurgimento das usinas nucleares, o problema vê-se agravadodevido as altas temperaturas de exposição do concreto.
Mesmo a temperaturas ambientes, a f luência doconcreto pode chegar a ser o t r i p l o da deformação e l á s t i -ca. Em vista d i s to , se faz obrigado um exame mais cuidado_so do e fe i to da f luência sempre que os efe i tos de deforma-ção sejam importantes, como por exemplo, nas perdas da fojrça de protenção ou na variação das reações de apoio.
0 objet ivo deste trabalho é rea l izar um estudoteórico experimental, para resolução de problemas de fluén_cia do concreto, checando métodos t rad ic ionais jã propos-tos e, sugerindo, uma solução numérica para esses proble-mas .
Vários autores propuseram relações para expres_sar a le i de variação da f luência. As primeiras teor ias ,obtidas com base experimental, não re f le t iam a in f luênc iada idade do concreto. Posteriormente, construiram-se ex-pressões, levanao-se em conta a idade do concreto pela i n -clusão de coeficientes corret ivos, obtidos para uma idadef ixa e baseados em experiências. Finalmente, chegaram-se aexpressões mais precisas, com a u t i l i zação não de coe f i c i -entes de correção, mas de funções dependentes da idade domater ia l . Dischinger |11| fo i quem suger iu, primeiramente,uma teor ia mais simples, deste t i p o , para u t i l i zação emproblemas de análise es t ru tu ra l . Após, Arutyunyan |11, propôs uma teor ia mais complexa, cuja resolução ana l í t i ca re-
cai no uso da função gama incompleta. Estas duas teoriasforam as escolhidas para a análise teó r i ca , v isto serem asde maior u t i l i zação.
Com o advento do computador, varias soluçõesnuméricas, como a de Bazant [ 31, foram ut i l izadas na reso-lução de problemas de f l u i n c i a . No t rabalho, sugere-se umasolução numérica baseada na representação i n t e g r a l , com adivisão do tempo efetuada de diversas maneiras.
1 . 2 - Conteúdo
No capítulo 2, faz-se um estudo sobre os cor-pos viscoelas t i cos em ge ra l , com uma analise de seu compor;tamen t o , e, sua representação por modelos reológicos.
Este enfoque, é uma preparação para o terce i rocapí tu lo , que analisa o comportamento v iscoelãst ico do cojicreto. Neste capí tu lo , também são estudadas e analisadasas teorias de Dischinger | i l | e Arutyunyan | 1 | , seu compo£tamento e correspondência com modelos reolõgicos.
No quarto capí tu lo , é desenvolvida, então, asolução numérica para os problemas de f l uênc ia , analisandotambém, a funçlo que determina os intervalos de tempo. Asolução numérica proposta e checada, no quinto capí tu lo ,com exemplos resolvidos pelas teorias de Dischinger e Aru-tyunyan .
Apresenta-se, no capítulo se is , os ensaios re^l izados. E" detalhado o sistema de aplicação e manutençãoda carga, os sistemas do medição de deformação lenta e desc r i t o s , por f im, os ensaios realizados.
No sétimo capítulo apresentam-se a análise dosresultados obtidos dos ensaios, onde também, são determinedas as constantes vi scoel ás t i cas do concreto. As constan-tes são determinadas pelo método de Ross |26| e Ishai |18|.De posse das constantes são reproduzidas as curvas de f l u -
incia pelas teorias estudadas.Finalmente, no capítulo 9, apresentam-se as
conclusões e algumas recomendações, tanto da parte teór i -ca, como da experimental.
CAPTTULO 2
FUNDAMENTOS DA VISCOELASTICIDADE
2.1 - Introdução
Na teor ia e lás t ica c láss ica, diz-se que a con-dição de tensão de um corpo sol ido ê determinada, univoca-mente, pela sua deformação. Essa relação unívoca é dadapor:
o = I (e) (2.1-1)
e a relação inversa é única,
e = d (o) (2.1.2)
Em muitos mater ia is , como madeira, plástico, co£creto, essa relação unTvoca entre tensão e deformação nãoex is te . Por exemplo, o corpo é capaz de deformar-se com otempo, enquanto sua condição de tensão é constante, ou, va-r i a r seu estado de tensão sem modif icar sua deformação. As-sim, a maioria dos materiais rea is , têm um comportamentodependente da h i s tó r i a do processo de carga, i s to é, as teiisoes em um momento t dependem, não somente das deformaçõesdeste momento, mas também das deformações anter iores. Nes-tas circunstâncias, a variável tempo t deve ser levada emconsi deração.
Os materiais que têm esse t ipo de comportamen-to são denominados ine last icos ou materiais com memória.Para estes materiais pode escrever-se de forma geral
T = te ( t ) = V l o ( T ) ] ( 2 . 1 . 3 )
T=0
tonde o ( T ) indica a historia da carga no intervalo [0,
t] , e D, é um funcional, que transforma a cada instante,
a história de tensão em história de deformação correspon-
dente.Da mesma forma pode escrever-se:
o (t) = E [ l ( T ) J (2-1.4)
tcom s i g n i f i c a d o análogo para e ( T ) e E. As variáveis
T= 0
básicas são a tensão a, a deformação e e o tempo t.
Ha teorias que estudam os materiais inelãsti-cos sob diferentes aspectos ou enfoques; uma delas i a co£respondente aos materiais elasto-plãsticos, cujo comporta-mento ê" indiferente ã escala do tempo; outra, a viscoelaj.ticidade linear, que analisa os materiais cujo comporta-mento I independente da escala de tensões. As considera-ções e aplicações deste trabalho assumem a condição de h£mogeneidade do material. Na verdade, trabalha-se com ummaterial não-homogineo, o concreto. Mas, resalta-se que, oconcreto pode ser considerado como estatisticamente homo-gêneo se o tamanho da peça for bem maior que o do agrega-do. Outra restrição a ser feita ê que se consideram ascondições isotermicas.
2.2 - Ensaios de Fluincia e de Relaxação
No estudo do comportamento dos materiais visc£elásticos, dois tipos de ensaios são, particularmente, im-portantes. 0 primeiro, dito de fluincia, onde o corpo deprova é submetido a uma determinada tensão, a qual e mantj^da constante no tempo. Esse tipo de historia de carga po-
o ( t )
(a)
t t,T
t t,T
(b)
(c ;
t t ,T
F i g u r a 2 . 1 - E n s a i o de F l u i n c i a
de ser representado por intermédio da expressão
o (t) = o o H(t - t0) (2.2.1)
onde
r° t < T oH (t - i0) =j
l i t > x 0
ê a função de Heaviside ou salto unitário, e mostrada con-
forme a figura 2 .1 .(a).
Se o material fosse elástico a correspondentehistória de deformação seria:
(t)0
(2.2.2)
conforme a figura 2.1.b.
Para um material viscoelãstico tem-se uma hi_stória de deformações, a qual está indicada na figura 2.1..c, isto i, a deformação cresce, ainda que a tensão perma-neça constante. Pode-se representar essa historia de de-formação por
Desde logo, percebe-se que existem duas categ£rias de deformações nos materiais viscoelasticos. A pri-meira, que ocorre em um intervalo de tempo muito pequeno,
denominada de elástica ou instantânea e, a segunda, que
desenvolve-se lentamente, chamada de deformação lenta
ou viscoelãstica. Por exemplo, para o caso do concreto,
a deformação lenta ê três a quatro vezes maior que a ins-
tantânea, de um modo geral, para uma determinada tensão.
0 segundo tipo de ensaio, que indica as carac-terísticas viscoelasticas do material, i dito ensaio de relaxação. Neste ensaio o corpo de prova ê submetido a umahistória de deformações, que e mantida constante no tempoe pode ser representada por
e(t) = t0 H(t- V (2.2.4)
resultando daT um estado de tensões
t < T 0
(2.2.5)
" ^ " ' e O ' ^ » T O ' t > T Q
0 que ocorre pode ser verificado na figura ?..2. Com as deformações constantes as tensões diminuem como tempo. Nesse caso pode-se também separar duas categoriasde efeitos sobre as tensões, as instantâneas e as viscoe-lasticas-
2.3 - Li neari dade
Na elasticidade, diz-se que existe linearidade
entre tensão e deformação quando pode aplicar-se o princT
pio da superposição. Este princTpio diz que, por exemplo,
a deformação provocada por uma tensão 2 a 0 e o dobro da de
formação provocada por a 0. Jã para materiais viscoelásti-
cos, a linearidade i definida pelo princTpio de Boltzmam,
segundo o qual, dadas duas histórias de carga, a, ( t ) ,\ = 0
e ( t )
o ( t )
t t .T
t.T
F i g u r a 2 . 2 - Ensa io de r e l a x a ç ã o
(T) com as correspondentes deformações
E,(t) = V rTaf(t)l1 b-o J
= V
=o
o f u n c i o n a l V d e v e s a t i s f a z e r a r e l a ç ã o
t = t
]
T=t/ T \ + m CJ? (T)
0 i T ) 2 T f ol J
(2.3.1)
(2.3.2)
10
para qualquer valor de a,, a,1 l
O-,(T)t
O , ( T ) . Por exem
pio, para um mesmo tempo t, , a deformação provocada poruma tensão 2o H(t]) e o dobro da provocada por uma ten-são ooH(t-i). Da mesma maneira, o principio ê aplicado piira histórias de deformações prescritas . Em ensaios de Iaboratõrio, a linearidade é verificada através de determi-nações da relação tensão-deformação, para determinados pe_rTodos tie carregamento t,, t-...t . As curvas obtidassão denominadas isõcronas e, se forem retas, o material édito viscoelãstico linear (figura 2.2)
o ( t )t=t
t= t .
F igura 2 .3 - Curvas Isõcronas
Para os m a t e r i a i s v i s c o e l ã s t i c o s l i n e a r e s , as
relações 2 . 2 . 3 e 2 . 2 . 5 podem ser e s c r i t a s da forma:
I I
{O t < T
e n E ( O + E f t T Í | t , T J t > T
o ( t ) = { (2.3.4)
onde R e C são funções l ineares, que fornecem cm cadainstante, t > T , as h is tór ias de tensão e deformação,correspondentes a valores constantes da deformação e ten-são respectivamente.
2.4 - Teorema de Riesz
As equações 2.1.3 e 2.1.4 são bastante geraise servem para todos os materiais ditos simples, sejame lás t i cos , p lás t i cos , v iscoelãst icos, etc . No caso deelast ic idade l i nea r , a relação funcional é a simples mujt ip l i cação por uma constante. J5 a viscoelast icidade l i -near, corresponde ao caso em que as funcionais são linea_res e contínuos.
No caso, trabalha-se com materiais que sa t i s -fazem o pr inc íp io de Boltzmann, i s to é , l ineares. Já acontinuidade, geralmente, se cumpre. Implica em, porexemplo, executar dois testes com h is tor ias de deforma-ções similares e obter resultados também s imi lares. En-tão, como o funcional na viscoelasticidade l inear é l i -near e contínuo, pode apl icar-se o teorema de Riesz. Es-te teorema diz que se
r r= t ,c ( t ) = D o ( t ) e D é l inear e continuo,
L T = O J
en tão c ( t ) pode ser expresso med ian te a i n t e g r a l de S t i e l t j e .
e ( t ) = j D ( t , T ) d o ( x ) ( 2 . 4 . 1 )J -00
onde D(t,x) I determinado por V e independe de e ( t ) . Seo( t ) =da/dt ex i s te , pode escrever-se também:
12
e(t) = D(t,t) (2.4.2)
Naturalmente, se a historia de deformação é
dada, pode escrever-se, analogamente, a partir de 2.1.4.
o(t) = ,O d E(x) (2.4.3)
e, da mesma forma, se ê(t) = — existe,d t
O(t) = 1 E(t,T) é(T) d T (2.4.4)
Uma explicação intuitiva pode ser dada ao teci
rema de Riesz. Aproxima-se uma história de tensão por uma
iirie de degraus de pequen? magnitude como na figura 2.4.
a(t) E(t)
Figura 2 .4 - Explicação do Teorema de Riesz
13
Torna-se um degrau genérico centrado em T., comaltura correspondente Ò ( T . ) A T ^ , onde AT- e O intervaloentre um degrau e o anterior. Pode considerar-se a varia^ção de c(t) como incrementos de carga expressos por Ô(T.J)
H(t-T-)At.. A história de tensões pode ser expressa porum somatório dos diversos incrementos de carga que se majntêm constantes.
o(t) = T Ô ( T . ) H(t-ti)Axi (2.4.5)
0 erro de aproximação pode ser diminuído, fa-zendo os & T . inf ini tesimais. fío limite
r -o(t) = O ( T ) H(t-t) d T (2.4.6)
Desta forma, obtém-se a representação da fun-
ção a(t) em termos da função de Heaviside H(t-t).
Sabe-se que, para um material dado, pode-sedeterminar, com base em um ensaio de fluência, a históriade deformações correspondente a um salto unitário de car-ga (ver 2.2). A resposta é expressa pela função D ( Í , T ) .
Por causa da linearidade do funcional, pode escrever-se aparti r de 2.4.5
c(t) = /. ó h J Dtt.x.) At. (2.4.7)Ti ' ' '
e no limite para A T .
t(t) = I õ(t) D(t,t) d T (2.4.8)•n
14
que eqüivale a 2.4.6.
Logo, o teorema de Rietz pode ser interpretadocomo uma redução da história de carga ã soma de funções salto unitário e a superposição dos efeitos correspondentes.Esta representação é, ãs vezes, chamada de método de superposição e, geralmente, aparece ligada aos nomes de Boltz-mann e Volterra. Pelo mesmo raciocínio, se a historia dedeformações é dada, chega-se a:
alt) = I Ê ( T ) E(t,x) d x (2.4.9)— oo
Nota-se que a função D(t,x) que aparece em 2.4.1 é, simplesmente, a resposta do material a uma funçãosalto unitário, isto é, a resposta a um ensaio de fluênciacom ao=\. Da mesma forma, E(t,t) é a resposta a um ensaiode relaxação, com e o=l.
Pelo princípio da causalidade, o qual diz queos efeitos são posteriores as causas, vem para T > t, D(t,x)- 0, de modo que o limite superior das integrais em 2.4.8 e2.4.9, pode ser substituído por t. Da mesma forma, se omaterial não for carregado antes do intante X=T->, O limi-te inferior destas integrais pode ser substituído por xj.Logo, as relações 2.4.8 e 2.4.9 podem ser escritas:
c(t) = c( T) D(t,T) d T (2.4.10)
o(t) = Ê ( T ) E(t,x) d x (2.4.11)
Integrando 2.4.10 e 2.4.11 por partes vem
re(t) = o(t) D ( T 7 ) + I d(t,T) O(T) dx (2.4.12)
T-J) + í(t,t) e(x•J T _
onde
o(t) = e{t) E ( T T ) + | a(t,T) e(x) dx (2.4.13)
Tl
d(t,x) = - — D(t,x) (2.4.14)3T
.t) = - — E(t,x) (2.4.15)
são denominados, respectivamente, de adnitãncia de flu-
incia e a dmi tânci a de relaxação e, E(x,) = l/D (x,)
= E, é o módulo instantâneo de elasticidade no ins-
tante T, .
As equações 2.4.12 e 2.4.13 são equações iji
tegrais de Volterra funçõec de o(t) e e(t) respectivameji
te com núcleos 2.4.14 e 2.4.15. Nota-se que, se D(t,x)
e E(t,x) forem constante e iguais a l/E e E, respectiva-
mente, obtém-se a lei elástica linear, expressa em 2.1.1
e 2.1.2. Os núcleos D(t,t) e E(t,x) são chamados de
função de fluência e de relaxação respectivamente.
2 . 5 - Envelhecimento
Observa-se, também, que D(t,x) e E(t,i) são
funções de duas variáveis. A primeira, t , é o tempo em
que se esta medindo a resposta da função e, a segunda, T,
e a idade do corpo de prova na hora do carregamento. Esta
16
dependência da idade do corpo de prova, i denominada enve-lhecimento, e pode ser melhor observada reescrevendo-se osnúcleos D(t,t) e E(t,x) da seguinte maneira: D(t,t--r) eE(t,t-t), onde t-t i o tempo sob carga.
Existem materiais sem envelhecimento, como o
plástico, e metais a baixas tensões. Neste caso, as fun-
ções são de, apenas, uma variivel, o tempo após a carga, ou
seja, D(t-t) e E(t--r).
2.6 - Modelos Reolõgicos
Na viscoelasticidade linear, destacam-se duasabordagens para os fenômenos estudados. A primeira, tentatraduzir, de forma analítica, a situação geral; a outra,tende a esquematizã-la, com modelos mecânicos compostos, osquais representam, geralmente, um modo apropriado de introduzir os conceitos fundamentais da viscoelasticidade.
Os modelos reolõgicos sõ devem ser considera-dos como representação ideal do comportamento real, geral-mente mais complexo. Alguns autores lhes dão grande impo£tãncia e consideram que, o problema de descobrir proprieda^des de algum meio particular, está resolvido quando o modeIo adequado for descoberto. Na realidade, eles ajudam ainterpretar essas situações, mas não são fundamentadas nodesenvolvimento de uma teoria consistente de materiais commemória. Saber se um material reage de acordo com os mo-delos, é uma questão de testes.
Os modelos reolõgicos apresentados neste capTtuIo, seguindo o que tradicionalmente se apresenta em obrasde viscoelasticidade, não levam em conta o envelhecimentodo material.
Os elementos básicos dos modelos reolõgicos sãoa mola e o amortecedor. Ao aplicar uma força P em uma mo
17
Ia, seu comprimento aumenta de uma certa quantidade e,quan
do a força é removida, ela volta ao seu tamanho original.
0 mesmo fenômeno i observado em um teste de tração com um
material elástico. Uma mola perfeitamente linear e sem i-
nircia simboliza a lei de Hooke.
o = E . c, (2-6.1)
onde E, i denominada de módulo de elasticidade instantâ-neo .
Um amortecedor ê composto por um pistão que semove em um cilindro com fundo furado, de modo qup não en-tre ar em seu interior. Entre o cilindro e a parede dopistão há um lubrificante viscoso, de modo que, uma forçaP é necessária para deslocar o pistão. Quanto maior essaforça, mais rápido se move o pistão. Aqui, também, po-de comparar-se com testes de tração de determinados mate-riais. Quando a força é aplicada, a barra é estirada. En-tretanto, o alongamento não é proporcional ã força; quemvaria com a força ê a velocidade de deformação. 0 amorte-cedor representa a lei de Newton
o • n . c (2.6.2)
onde é - — i a velocidade de deformação , e n é o coe-dt
ficiente de viscoeiasticidade.
As molas representam as deformações reversT-
veis, relacionadas com a energia potencial, enquanto os a-
mortecedores simulam as deformações irreversíveis que se ca
racterizam pela dissipação de energia. Corcbinando-se os
dois elementos anteriores, a mola e o amortecedor, pode o£
ter-se diferentes representações do comportamento viscoe-
lãstico linear, intermediários entre o comportamento elas-
18
-b !
(a)
Figura 2.5 - Modelos reo lõg icos - (a) Mola elástica
(b) Amortecedorviscoelastico
t i c o l i n e a r e o v i s c o e l a s t i c o puro. Os modelos reo lõg icos
básicos são o modelo de Maxwell e o modelo de Kelv in-Voigt .
2 .6 .1 - Modelo de Maxwell
0 modelo de Maxwell é a combinação de uma mola
com um amortecedor em série (figura 2.6).
F i g u r a 2 .6 - Modelo de Maxwel l
As equações do modelo são:
- Equação de equilíbrio
19
o E ( t ) = o n ( t ) = o ( t ) ( 2 . 6 . 1 . 1 )
Equação de compat ib i l idade
e ( t ) = e E ( t ) + En
( t ) ( 2 . 6 . 1 . 2 )
- Equações c o n s t i t u t i v a s
o E ( t ) = E E E ( t )
(2.6.1.3)
o n ( t ) = n
Os subTndices E e n representam, r espec t i vameri
t e , as tensões ou deformações na mola e no amortecedor.
D i fe renc iando a equação de c o m o a t i b i l i d a d e 2.
6 .1 .2 com respe i t o ao tempo e subs t i t u i ndo pelos valores de
2 .6 .1 .3 e 2 . 6 . 1 . 1 , obtem-se
; ( t ) = íill . £ í l i (2.6.1.4)E n
que é a equação diferencial do modelo de Maxwell.
A solução geral de 2.6.1.4 para uma história
de tensão dada, será:
çte(t) = 2ÍÍL. + - / O(T) d T (2.6J.5)
Da mesma forma, para uma h i s t o r i a de deforma-
ção dada obtém-se da resolução da equação d i f e r e n c i a l de
primei ra ordem 2 .6 .1 .4
çtIT
o ( t ) = E I e" n ^ " ^ Ê( - t ) d T ( 2 . 6 . 1 . 6 )T 1
20
Para ob te r -se a função de f l u ê n c i a i n t e g r a - s e
por partes 2 .6 .1 .5 para obter
e ( t j = í ( 1 + ií^l) Õ ( T ) d i ( 2 . 6 . 1 . 7 )T l
E, dessa expressão, 2.6.1.7 e de 2.6.1.6, re-
tira-se a função de relaxação e fluincia, respectivamente,
ou seja:
E ,* »4E ( t - x ) = E e n
D(t-x) = I +E
( 2 . 6 . 1 . 8 )
As ad.ni t i n c i a s de relaxação e f luência sao:
E ( t -T )p _
( t - T ) = — en
d ( t - T ) = 1n
( 2 . 6 . 1 . 9 )
Realizando um ensaio de fluência com o modelo,onde a tensão é mantida constante e igual a o Q H ( t - T 1 ) , aexpressão 2.6.1.5 transforma-se em:
e(t) - H(t- T 1) + -± H(t- T i)(t-T|) (2.6.1.10)E n
que i a equação de uma reta que passa por a,/í em t-,. Aodescarregar o modelo, em t = t, , ocorre uma deformação i ns_tantânea no valor de -c o/E, isto é, a mola libera toda sua
energia potencial enquanto o amortecedor permanece sem sedeformar. Este comportamento está indicado na figura 2.7
o(t)
E(t)
0
1111
T l
1 0 t1
1
t . t,T
Figura 2.7 - Experiência de fluência de um modelo Maxwell
Se, em t = t-j, a experiência de fluência con-tinuasse, a deformação cresceria sem limite. Dentro do dominio das equações constitutivas lineares, o modelo mostraum tTpico comportamento de fluído; capacidade de se defor-mar ilimitadamente sob pressões finitas. Por isso é tam-bém chamado de fluido de Maxwell.
22
Agora, em t= T,, toma-se uma deformação cons-
tante e igual a a Hft-tj). E uma experiência de relaxa-
ção. Fazendo em 2.6.1.6 e(t) = eQ H^--^)
o(t) = EP -^(t-T)
e n í(t-Tldt ( 2 . 6 . 1 . 1 1 )
onde «(t-i,) i a função de Dirac, derivada da função de
Heaviside. Integrando 2.6.1.11 vem
o ( t ) = E eQ e (2.6.1 .12)
a(t)
t,T
Figura 2.8 - Experiência de relaxaçao de um Modelo de Maxwell
23
O comportamento do modelo para essa experiência
de relaxação está indicado na f igura 2 .8 . A tensão decres-
ce com o tempo e tende a zero para t--->•". 0 exponencial
da equação 2 .6 .1 .12 E/n tem dimensão inversa do tempo e ,
e denominado seu inverso de tempo de relaxação, e represen^
tado por T. Se esta re lação, T = n / E , variar, a velocidade
de relaxação, is to i , a inclinação da curva também v a r i a . Lo-
go, T dã uma idé ia da demora do processo de relaxação. As-
sim nos casos l i m i t e s , T = t » , o modelo de Maxwell repre-
senta materiais e l á s t i c o s , e T = > 0 , representa mater ia is
viscosos ( f igura 2 . 8 ) .
2 .6 .2 - Modelo de Keiv in-Voigt
0 modelo de Ke lv in -Vo ig t , e composto pela com
binação de uma mola e um amortecedor em paralelo ( f igura 2.9).
Figura 2.9 - Modelo de
Kelvin-Voight
Como estão em para le lo , a deformação e^ da mo-
la é igual a deformação do amortecedor. As equações
correspondentes ao modelo são:
- Equação de e q u i l í b r i o
24
o ( t ) = o E ( t ) + o n ( t ) ( 2 . 6 . 2 . 1 )
- Equação de compa t ib i l i dade
e ( t ) = e E ( t ) = e n ( t ) ( 2 . 6 . 2 . 2 )
- Equações constitutivas
oE(t) = E ,E(t)
(2.6.2.3)% ( t ) = n in(t)
Substituindo 2.6.2.3, com 2.6.2.2 em 2.6.2.1,obtém-se a equação diferencial do modelo
o(t) = E e(t) + n Ê(t) (2.6.2.4)
A solução dessa equação diferencial para umahistória de tensões dada é:
e(t) = - I O ( T ) e*1 d T (2.6.2.5)
•i f.Integrando-se por partes 2.6.2.5 obtém-se uma
equação na forma 2.4.10. Logo, a função de fluincia domodelo será:
D(t-x) = 1 (1 - e^ ) (2.6.2.6)E
A função de relaxação, que é a resposta do mo-delo a uma função e(t) H(t--r) para e(t) = l, pode ser ob-tida diretamente de 2.6.2.4.
25
E(t-x) = E H(t--r) + n 5(t-i) (2.6.2.7)
As admitâncias de fluincia e relaxação são,
respectivamente:
1 ^ ( t - T )d(t-x) = -' e n
Tl
(2.6.2.8)
e(t-t) = E 6(t-x) + n 6(t-t)
Para uma e x p e r i ê n c i a de f l u ê n c i a , onde o ( t ) =
o Q H ( t - T . ) , e n t r a - s e em 2 . 6 . 2 . 5 e o b t é m - s e :
--(t-T )E ( t ) = ! ° (1 - en T ] ) (2.6.2.9)
E
Em t=T,, a deformação é nula e em t = °», iigual a o 0/t, conforme figura 2.10. Para uma deformaçãomuito grande, a deformação é proporcional ã tensão. E, este é quase um comportamento de corpo sólido. Por este mo-tivo o modelo também é chamado de solido de Kelvin.
A rapidez do crescimento da deformação dependedo valor n/E que, no caso, é chamado de tempo de retarda-ç ã o - T . Ao se retirar a carga em t = ti , a deformação d^cresce e, para um tempo infinito, tende a zero. Esta cur-va é chamda de curva de recuperação do material.
Jã uma experiência de relaxação do modelo e imis, aplicando
2.6.2.4 transforma-se em:possível, pois, aplicando uma deformação E ( Í ) = C
o(t) = E e Q H(t- T l) + n «=„ í(t- T l) (2.6.2.10)
e, para t = T, , a função de Dirac toma a forma 6(i-\ - T-|)
26
o(t)
T l t.T
Fig. 2.10 - Ensaio de Fluência em um Modelo Kelvin-Voigt eposterior descarregamento
e assume um valor indef in ido , de forma que não haverá umatensão def in ida.
2.6.3 - Modelos generalizados
Os modelos de Kelvin e de Maxwell representamapenas, parcialmente, o comportamento real dos materiaisv iscoelást icos. Para melhorar a representação, pode-seu t i l i z a r outras combinações especiais de molas e amortece-dores. Dois são os meios de constru i r modelos mais complexos: o modelo de Kelvin generalizado e o modelo de Maxwell
generalizado. 0 modelo generalizado de Maxwell, com n ele;
mentos de tempos de retardação diferentes, i de boa repre-
sentação, sobretudo, para ensaios de relaxação. E compos-
to por diversos modelos de Maxwell em paralelo (figura 2.
11).
Figura 2.11 - Modelo generalizado de Maxwell
As equações deste modelo são:
- Equação de equilTbrio
o(t) = £ O p(t) (2.6.3.1)
- Equação de compatibilidade
e(t) = Ei(t) i = 1,2,...n (2.6.3.2)
- Equações constitutivas
èr(t) = HTÜl + £r(Í) (2.6.3.3)Er nr
A solução de 2.6.3.3 para uma deformação dada,
conforme foi visto em 2.6.1, i 2.6.1.6, ou seja:
,t _£r (t ,or(t) = I E e n r ' èr(T) dx (2.6.3.4)
Tl
Entrando com 2.6.3.1 e 2.6.3.2 em 2.6.3.4 obtim-se:
fl n r -^(t-T= Z Er e
n r
J r = l Le(x)dx (2.6.3.5)
onde o núcleo dd integral i a função de relaxação E(t,r):n r - ¥ (t-'h
E(t-x) = z E r e nr (2.6.3.6)
r=l L J
A admitãncia de relaxação será, por conse-guinte:
n E* ~ (t-x) (2.6.3.7)2(t-x) =- z -^ e r
r=l r
A equação diferencial do modelo generalizado deMaxwell, obtida a partir de 2.6.3.3, será:
o(t) = e(t) Z c(t) (2.6.3.8)r=l , D . 1 ,
0 modelo generalizado de Kelvin (figura 2.12)é composto por diversos modelos de Kelvin-Voigt em série:
29
±HFigura 2.12 - Modelo generalizado de Kelvin
As equações de Kelvin generalizado são:
- Equações de equilíbrio
o(t) = or(t) r = l,2,...n
- Equação de compatibilidade
r. cr(t)l
(2.6.3.9)
(2.6.3.10)
- Equações constitutivas
or(t) = Er cr(t) + nr ér(t) (2.6.3.11)
Da mesma forma, utilizando a solução da equa-ção diferencial 2.6.3.11, para uma determinada tensão co-nhecida, encontrada em 2.6.3.5, obtém-se com o auxilio dasequações de equilíbrio e de compatibilidade do modelo:
, t n - — ( t - T )c ( t ) = I { J - | l - e n r T 1 } o ( T ) d t (2 .6 .3 .
J T , r = l fcr L J12)
Portanto, a função de fluência e a admitincia
30
de fluência serão:
D(t-x) = E — |1 - e"r I (2.6.3.13)r=1 Er I
1 -¥- (t- )d(t-t) = — e r (2.6.3.14)
A equação diferencial do modelo, obtida a par-
tir de 2.6.3.11, será":
E( t) = z "(*) (2.6.3.15)r = l Er +
r»r 0
Cabe notar que as equações generalizadas dos
modelos de Kel»in e Maxwell tomam a forma geral de:
P a = Q c (2.6.3.16)
onde P e Q são operadores diferenciais, da forma
m rP - z p f 1-
r=0 r d r
(2.6.3.17)
Q = l qi —r=0 r d
tr
Com pr e qr são coeficientes característi-
cos do modelo e po = l . A equação 2.6.3.16 é conhecida co-
mo equação constitutiva dos materiais viscoelásticos e é a
descrição matemática do comportamento mecânico desses ma-
teriais .
31
2.6.4 - Modelo standard
Um dos mais conhecidos modelos generalizados, com
t r i s parâmetros, compostos por uma mola e um elemento de Kelvin em
s e r i e , representado na figura 2 .13 , é o modelo standard.
E2
Figura 2.13 - Modelo Standard
Nota-se que o modelo corresponde a um modelo
de Kelvin generalizado, no caso em que n, = 0 e E, = E^ =
As equações correspondentes ao modelo são:
- Equações de equilíbrio
°Ei(t) = »k(t) = o(t) (2.6.4.1)
- Equações de compatibilidade
- Equações constitutivas
= E l EEl (t)El (2.6.4.3)
ok(t) = E, ck(t) + n2 êk(t) (2.6.4.4)
Escrevendo 2.6.4.4 de forma operacional
32
° k ( t ) = c k ( t ) ( E 2 + n 2 D) ( 2 . 6 . 4 . 5 )
e , e n t r a n d o com 2 . 6 . 4 . 1 , 2 . 6 . 4 . 2 e 2 . 6 . 4 . 3 , ob tém-se
E ( t ) = 2Ü1 + g ( * ) ( 2 . 6 . 4 . 6 )E1 E 2 + T I 2 D
que nada mais é do que a expressão 2.6.3.16 do modelo ge-
neralizado de Kelvin, com n, = 0 e E2 = E. = Ej-=... = «°.
Desenvolvendo-se essa expressão chega-se a uma equação do
tipo 2.6.3.17
(t) + E1 n 2 L-(t) = o(t) + n2 o(t),
(2.6.4.7)
q u e é uma e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l l i n e a r do tip o y ' (x) •<• A ( x ) y
= B ( x ) , o n d e A ( x ) e B ( x ) s ã o f u n ç õ e s c o n h e c i d a s .
A solução de 2.6.4.7 para uma historia de ca£
gas conhecidas e, para uma historia de deformaçõe: co-
nhecida, i, respectivamente:
t E2
O ( T ) e Z d T=2111,± íEl n2 JT
1 (2.6.4.8)
E2 r -1LJJ. (t-T)o(t) = f(t) E1 + - ~1 E ( T ) e n 2 d T
n2(2.6.4.9)
Integrando por partes 2.6.4.8 e 2.6.4.9, ob-
tém-se equações do tipo 2.4.9 e 2.4.11
33
.t E-
e t; = I O ( T ) i — + e •- i d
1 ' (2.6.4.1U)
t ? El+E?
o(t) Jr* r E? —--£(t-T)-,
= È(T) E !— (i-e n2 )
J L I E ] + E 2 J(2.6.4.11)
Os núcleos das equações integrais 2.6.4.10 e
2.6.4.11 são a função de fluência e relaxação, respecti-
vamente, do modelo standard. Diferenciando estas funçõts
com respeito a T, obtem-se a admitância de fluincia e
a admitância de relaxação, ou seja:
E21 'IT (t'T)d(t-i) = -L en2
n2 (2.6.4.12)
2 El + E2E? (t-r)
a(t-x) = — e n2
Realizando uma experiência de fluincia com uma
tensão o(t) = cQ H í t - i ^ ) , vem de 2.6.4.10
E(t) = { ^ + (1 - e n 2 ] )} H(t-Ti
El E2(2.6.4.13)
Pode-se notar q u e , para t = T^ , a d e f o r m a ç ã o e
elástica e igual a a o / E j e, a partir daT cres c e e x p o n e n -
c i a l m e n t e a um valor l i m i t e . Se em t = t., o m o d e l o for
d e s c a r r e g a d o haverá um d e c r é s c i m o imediato do valor o / E ,
na deformação e, a partir desse salto, tenderá exponencial-mente a zero (figura 2.14).
Tl t.T
E(t)
E
Tl "1 t.T
Figura 2.14 - Ensaio de Fluência de um ModeloStandard e posterior des carregamento
O envelhecimento de materiais, como o concre-to, pode ser representado por modelos com coeficientes variã_veis. Neste caso, algumas das suas vantagens, como a fácildeterminação das equações matemáticas e, a simplicidade deinterpretação fTsica, são, parcialmente, perdidas. Este probiema será abordado em maiores detalhes no capítulo 3.
35
CAPÍTULO 3
VISCOELASTICIDADE DO CONCRETO
3.1 - Introdução
0 concreto, assim como outros materiais, pos-sui a propriedade de continuar se deformando ao longo dotempo, mesmo quando a tensão é mantida constante ou,variar seu estado de tensão, mantendo inalterada uma d^formação que lhe tenha sido imposta. Verificou-se que,mesmo para tensões muito baixas, o concreto apresenta essadependência do tempo na relação tensão-deforraação.
Sendo o concreto um material viscoe'ãstico, n£cessita-se saber se existe uma relação linear e contínuaentre tensão e deformação lenta, para aplicar-lhe a teoriavista no capTtulo anterior. A continuidade, também, parao concreto, 5 normalmente aceita, faltando, pois, demons-trar-lhe a linearidade.
3.2 - Linearidade
A condição de linearidade de um funcional foidada por 2.3.2 no capTtulo 2. Existem três situações prúicipais a analisar, dependentes da história de tensão apli-cada: a compressão, a recuperação da fluêicia e a tração.
3.2.1 - Linearidade entre tensão e fluência do concretosubmetido â compressão
Com a realização de um grande número de traba-lhos experimentais, executados por diversos pesquisadores,constatou-se que existe linearidade entre tensão e defor-mação lenta, exceto em espicimes carregados numa idade muj[to jovem: um a três dias. A dúvida que persiste i quantoao limite da relação linear.
36
Há uma grande diferença nos resultados obti-dos, por exemplo, em termos de percentagem entre tensão eresistência, pois os valores variam de 0,20 a 0,75 [ 2 ] ,Essas diferenças se devem as diversas condições dos ensa-ios e da rigorosidade através da qual são analisados osresultados.
Freudenthal e Roll [l 5] realizaram ensaios comdiversas misturas de concreto. 0 resultado de um dos en-saios i mostrado nas curvas isõcronas da figura 3.1.
O.6
0.5
0.4
0.3
0,2
0,1
-O
t=0 30 60 100 160 dias
3+0 e(10"4)
Figura 3.1 - Relação ent re n íve l de tensão ef l u e n c i a dos ensaios de Frendenthale Rol l [ 1 5 ] , com concreto 1:6.
Nota-se que a l i n e a r i d a d e e x i s t e a t é , a p r o x i -
madamente, 20 a 26% da r e s i s t ê n c i a de rup tu ra do concre to .
Esses v a l o r e s , bastante ba ixos , foram confirmados por ou-
t ros tes tes com mis turas d i f e r e n t e s , executadas paios mes-
mos au to res . Conc lu iu-se que, em g e r a l , a medida que o tem
3/
po de ensaio cresce, hã um aumento no valor limite da re-
lação linear.
Granville [l6j , com um concreto de endurecimeji
to rápido, de mistura 1:1,5:3, também chegou a valores ba^
tente baixos, para o valor limite; em torno de 22% da ten-
são de ruptura para uma carga mantida por 14 dias.
Davis e Davis [i°J, encontraram valores de 0,26da tensão de ruptura para esse limite, com a tensão atuan-do durante 200 e 1200 dias, apresentando absoluta não li-nearidade para tensões acima de 0,40 de resistência do coricreto.
Para Jordaan [l9j e Bazant [ 4 j , são aceitos, deum modo geral, valores abaixo de 40% da resistincia doc -eto.
Saliente-se que, em uma estrutura simples,malmente, possui-se coeficientes de segurança de 1,96, pa-ra o concreto, e, 1,61, para o aço. Cálculos estes efetujídos com cargas totais. Mas, para o estudo da fluencia, 1^va-se em conta, apenas, as cargas permanentes somadas auma parcela das cargas acidentais.
Pode considerar-se então, que, estruturas cor-riqueiras, trabalham, praticamente, dentro de limite de li-nearidade do concreto ã compressão.
3.2.2 - Linearidade entre tensão e recuperação da fluinciado concreto
Já para o caso da recuperação da fluencia, oproblema não é tão simples. Pela figura 3.2 pode-se verque, quando o concreto é submetido a uma carga constante e posterior^mente descarregado de uma parte desta carga, ocorre uma recu-peração de dois tipos: a primeira, instantânea, representaa deformação elástica correspondente a tensão removida eao módulo de elasticidade, no momento do descarregamento; a
38
segunda, gradual, é chamada de recuperação da fluencia.
Esta última e menor que a deformação lenta precedente.
Mc Henry [23] propôs que a recuperação da flu-incia fosse tratado como um fenômeno linear, isto é, enca-rado como a aplicação de uma carga negativa no instante dodescarregamento e, que induz a uma deformação lenta iguale oposta aquela causada por uma carga positiva, da mesmamagnitude, aplicada no mesmo tempo, com a ressalva de ten-sões próximas as tensões últimas.
e(t)
recuperaçãoinstantânea
-•recuperaçãode f luencia
deformaçãoresidjual
i
u.t , T
Figura 3.2 - Recuperação da Fluincia
0 principio, se válido, seria de grande valorpratico, pela simplificação dos cálculos de estruturas sobtensão variável. M a s , testes efetuados mostram que a re-cuperação da deformação lenta depende de muitos fatores eque, quase sempre, o principio de superposição de Mc Henry,subestima essa recuperação, na deformação. As formas decomo se dá a recuperação da deformação lenta e as expres-sões analTticas para o seu cálculo, variam de autor paraautor. 0 que se pode dizer com certeza, i que existe um
39
período inicial de recuperação rápida, seguido de ura pe-rTodo de recuperação lenta, no qual a linearidade fica comprometida e não é bem definida.
3.2.3 - Linearidade entre tensão e fluincia do concreto sub^
metido a tração
No caso da relação tração-deformação lenta, os
dados existentes são menores ainda.
Parece que a deformação lenta na tração, é proporcional ã tensão aplicada ati a razão de 0,50 entre es-ta e a tensão de ruptura [23]. Grozdes [15] descobriu, mes^mo, limites mais altos de proporcionalidade.
Aparentemente, o comportamento i tração, comrespeito ã linearidade, assemelha-se, em muito, ao compor-tamento ã compressão do concreto.
Assim, dentro de determinados limites e sob £tas condições, pode considerar-se a relação tensão aplica-da - deformação lenta do concreto, linear e, nessas cir-cunstâncias, o teorema de Riesz e valido para este material
3.3 - Envel hecinien to do Concreto
O concreto é um material que modifica suas pnjpriedades mecânicas mesmo bastante ternpo após a sua fabri-cação. Este fato, como já foi visto, leva a uma dependên-cia da idade do corpo de prova e é chamado envelhecimentodo concreto. Isto ocorre porque as reações químicas e fT-sicas, em especial a hidratação do cimento, continuam aolongo do tempo.
Dosta maneira, a deformarão lenta de um corpode prova de concreto não depende apenas de tensão e do tempo decorrido apÕs a sua aplicação, mas também da idade do
corpo de prova no irncio do ensaio (como mostra a figura
3 . 3 ) . As funções de fluência e de relaxação do concreto
tem expressões do tipo D(t,-r) e E(t,x) na representação iji
tenra!.
40
C(t,r)
C(t,T,
Figura 3.3 - Influência da idade i no modulo de
elasticidade instantânea e também na
fluincia do concreto.
Observa-se, nas curvas experimentais da figura
3.3, que o modulo de elasticidade instantâneo, também, va-
ria com a idade T .
A investigação experimental das propriedades e
lãsticas do concreto mostra que E ( T ) aumenta com a idade
T do concreto e que aumenta mais rapidamente em um estado
de idade jovem, particularmente, no primeiro mis de molda-
gem. Subseqüentemente, com o aumento da idade do material,
a velocidade de aumento de E ( T ) diminui gradualmente e, o
fenômeno, assume uma característica assintõtica. Isto in-
41
dica que o processo de endurecimento do concreto está quasecompleto. Quando da representação do concreto por mode-los reolõgicos pode-se levar em conta o envelhecimento, simplesmente substituindo os parâmetros E e n, respectiva-mente, o modulo de elasticidade instantâneo e o coeficien-te de viscoelasticidade por, E ( T ) e n(i) onde T é a ida-de do material, no início do ensaio.
3.4 - Características Básicas da Fluencia do Concreto
Para a determinação das características básicas docomportamento viscoelãstico do concreto, pode-se trabalhar
tanto com a função de fluencia, quanto corn a função derelaxação, jã que os dois fenômenos são associados e podemser estudados experimentalmente. Pela resolução da equa-ção integral 2.4.10, conhecida a função de fluencia po-de-se obter a função de relaxaçáo e, vice-versa, paraa equação 2.4.11. Mas, em laboratório, i mais simples tr£balhar-se com ensaios de fluencia do que com ensaios de n;laxação. Por esse motivo se dá maior ênfase a estas fun-ções e, as propostas normalmente apresentadas, são nesseser tido.
Testes levados a efeito no estudo da fluenciade vários materiais, inclusive o concreto, tem mostrado queela ocorre em todas as tensões, incluindo aquelas com car-ga de pequena duração, que produziriam, apenas, deformaçõeselásticas.
Além disso, normalmente estuda-se, separadamen-te, a resposta elástica e a curva de deformação lenta domaterial. Para tanto, define-se a função de fluencia tomoa soma de duas funções, ou seja:
D (t,x) = —]— + C (t,T) (3.4.1)
onde E ( T ) , 5 o modulo de elasticidade do material no ins-
42
tant«? T do carregamento e, C(t,t), i a deformação lentaem um tempo t, tambim chamada de função de fluencia.
Não i uma tarefa simples obter expressões ana-lTticas para a função de fluincia e, para a elabaração deuma teoria, é necessário partir das curvas ex-perimentais de fluincia. A estrutura da expressão analítj[ca deve refletir as propriedades básicas do processo defluincia num corpo real e, não contradizer os resultadosexperimentais. Ao mesmo tempo, deveria, tanto quanto pos-sTvel, utilizar-se dos meios usuais da matemática para so-lução de seus problemas básicos.
A idéia de escrever fenômenos de materiais commemória por meio de integrais de limite superior variável,originou-se com Boltzmann e foi desenvolvida no tra-balho de Volterra. A dificuldade básica consiste na esco-lha dos núcleos das equações 2.4.10 e 2.4.11. Para a ex-pressão analTtica da lei de fluincia do concreto existeum grande número de relações referentes ao núcleo dessasequações, propostas por diversos autores.
Antes de lançar-se qualquer proposição concer-nente ao tipo de função de fluencia é necessário ter emconta suas propriedades básicas e a dependência da idade edo tempo, apÕs a carga, desta função.
Observando-se a figura 2.4, que mostra respos-tas características do concreto submetido a uma tensão,pode-s'. chegar a algumas propriedades básicas:
a) A fluencia e positiva,
C (t,r) > 0 para V t > T
C (t,t) = 0 para V t - T (3.4.2)
pois se dá no mesmo sentido que a deformação elástica.
b) Si.a taxa de crescimento diminui com o aumejn
to do tempo apôs a carga, ou seja,
litn 9C(t,T) = 0t=» 9t
(3.4.3)
pois a deformação lenta não cresce infinitamente com o tem
DO apôs a caroa, mas tem uma assintota.
Figura 3.4 - Respostas características do concreto sub-
metido a tensões constantes.
44
c) Ooserva-se na figura 3.4, que a função de
fluência decresce uniformemente e, i limitada, com rela-
ção ã idade do material, isto é",
(t,x)
liri C ( t , T ) = C(
T = 00(3.4.4)
onde, C Q é o valor limite da função para uma dada idade
do material. Isso pode ser melhor observado passando-se
um plano perpendicular aos eixos T , t e paralelo aos ei-
xos T , D{t,r). A intersecção desse plano ir com as curvas
das diversas idades, produz u ia curva que decrece unifor-
memente, até um determinado limite maior que zero. A exi_s
tência de deformação lenta para concretos envelhecidos, foi,
muitas vezes, deixada de levar em conta por teorias visco-
elasti cas.
d) Finalmente, verifica-se, experimentalmente,
que o valor da função de fluência deve diferir para ma-
teriais de diferentes idades, ainda que essa diferença s^
ja pequena.
Basicamente, esse conjunto de idéias, de uma
forma geral, e que leva a escolha de uma função de fluên-
cia apropriada.
3.5 - Expressões Analíticas para Fluência do Concreto
Existem um grande número de relações propos-
tas por vários autores para a expressão analTtica da lei
de variação da função de fluincia.
As primeiras teorias, obtidas com base em ex-
periências, não refletiam a influência da idade T do con
c r e t o , na l e i de v a r i a ç ã o da f l u i n c i a com o tempo. Logo ,
os núc leos das equações i n t e g r a i s dependiam apenas da d i -
f e r e n ç a de d o i s a r g u m e n t o s , o tempo de a p l i c a ç ã o da ca rga
T e o i n s t a n t e de obse rvação t . U t i l i z a v a - s e essa forma
po r e x i g ê n c i a da f o r m u l a ç ã o do c i c l o fechado de V o l t e r -
r a , que exp ressa a i n v a r i a n ç a da equação i n t e g r a l , com
r e s p e i t o ã mudança da o r i g e m do tempo.
Ao se tomar uma função de f l u i n c i a C ( t , i ) c o -
mo função somente da d i f e r e n ç a de argumentos ( t T ) , mos-
t ra -se , f a c i l m e n t e , que a f a m í l i a de cu rvas d e s c r i t a s i
c a r a c t e r i z a d a por des locamen tos r í g i d o s , p a r a l e l o s ao e i -
xo das a b c i s s a s e com uma a s s i n t o t a g e r a l , dependendo ap£
nas do tempo t , após a a p l i c a ç ã o da c a r g a . Desta mane i ra ,
o modulo de e l a s t i c i d a d e do m a t e r i a l s e r i a uma q u a n t i d a -
de c o n s t a n t e . Portanto, essas t e o r i a s não são capazes de explj^
car um certo numero de p rocessos b á s i c o s , que ocorrem nas es -
t r u t u r a s e que dependem da idade do m a t e r i a l ( f i g u r a 3 . 5 ) .
Em o u t r a e t a p a , t e n t o u - s e c o n s t r u i r e x p r e s -
sões a n a l í t i c a s , l e v a n d o - s e em con ta a i n f l u e n c i a da
i d a d e , pe la i n c l u s ã o de um c o e f i c i e n t e de c o r r e -
ção nas f u n ç õ e s , o b t i d o para uma idade f i x a T = T i » b a -
seado em e x p e r i ê n c i a s e d i s p o s t o em t a b e l a s . Tem-se e n -
tão uma função dependen te da i dade na f o r m a :
C ( t . t ) = A * f ( t - r ) ( 3 . 5 . 1 )
onde A é uma constante pré determinada.
Finalmente, chegou-se a expressões mais pre-cisas com a utilização, não de coeficientes de correção,mas de funções dependentes da idade do material
C (t,x) = g (T ) f(t-t) (3.5.2)
46
D(t,T)
Figura 3.5 - Curvas geradas por funções somente da diferen-ça dos argumeitos (t, T ) .
í o caso das teorias estudadas nos próximos itens,
que levam em conta a idade, multiplicando uma função de x
por uma f(t-T). Esta representação do comportamento visco-
elastico do concreto e a adequada escolha da função C(t,i)
ainda é um tema aberto a discussões.
3.6 - Expressão de Dischinger
3.6.1 - Relações básicas
Uma das propostas mais utilizadas para a função
de fluincia 5 a conhecida como lei de fluincia de Dischin-
ger, a qual foi, primeiramente, utilizada por Granville. Es-
ta proposta 5 também chamada de método da taxa constante de
deformação. Dischinger foi quem primeiramente a utilizou
em problemas de analise estrutural.
A expressão analítica proposta por essa lei de
fluência é do tipo g(t) - g(t) e aparece, geralmente, na
forma:
= C (t, T0) - C (T,T0) (3.6.1.1)
*o>- (3.6.1.2)
47
e C ? o va lo r l i m i t e da função para t=T e v ê uma
tante que a fe ta a taxa de variação da fluência com o tempo.
Observa-se de 3 .6 .1 .1 que as curvas para d i -
fe rentes idades T , tem a mesma forma, i s t o e , são i d i n t i -
cas, pa ra le las e mutuamente t rans ladadas, perpendi cularmeji
te ao eixo t , pois a forma independe da idade t , con-
forme a f i g u r a 3 .6 .
C ( t , T )
t t,T
F i g u r a 3.6 - P ropos ta de D i s c h i n g e r
S u b s t i t u i n d o 3 . 6 . 1 . 2 e ;i 3 . 6 . 1 . 1 , ob tém-se
C ( t , T ) - Cc ( 3 . 6 . 1 . 3 )
Se, a essa expressão, acrescer-se a par te elast i c a , obtém-se a função de f l u i n c i a da equação 2 . 4 . 1 0 .
II)
E(*)c ( t ,o (3.6.1.4)
Com alguns rearranjos em 3.6.1.3 pode-se ob-
ter uma expressão do tipo:
C(t,x) = COT (3.6.1.5)
que é da forma 3.5.2.
Substituindo 3.6.1.4 em 2.4.10, vem:
e ( t ) = [ Ô(T) \-L * C ( t , x ) dt ( 3 . 6 . 1 . 6 )
ou, a i nda ,
c ( t ) = iE( t )
O ( T ) - — D ( t , t ) d t ( 3 . 6 . 1 . 7 )3T
E(t)
( 3 . 6 . 1 . 8 )
Di ferenc iando 3 . 6 . 1 . 8 , com respe i t o a t , e
apl icando a regra de L e i b n i t z vem:
E ( t )C V (3 . fi . 1.9)
mas , ttihll = c
f - ( t ) - i Ü l + 0 ( t ) a C ( t , x )E { t ) a t
( 3 . 6 . 1 . 1 0 )
que é uma equação diferencial de primeira ordem, correspoji
dente ã lei de fluincia de Dischinger, sendo que, usual-
mente, é apresentada na forma
1E ( t ) » C ( t , x )
a(t) (3.6.1.11)
3.6.2 - Correspondincia com modelo reolõgico
A utilização de modelos reológicos tem a fina-lidade de introduzir um meio intuitivo para ajudar na in-terpretação da relação tensão-deformação lenta. Seja ummodelo de Maxwell, com os parâmetros mecânicos E(t) e n(t)variáveis, conforme a figura 3.7, e com equações conS"titutivas do tipo
49
E * ( t )
n ( t )
a ( t ) = E * ( t ) E ( t )
a ( t ) = n ( t ) l ( t )
Figura 3.7 - Modelo de Maxwell com
parâmetros variáveis
Com essas equações c o n s t i t u t i v a s mais as equa-
ções de e q u i l í b r i o do modelo, chega-se a:
( 3 . 6 . 2 . 2 )E* ( t ) n ( t )
bü
a qual é uma equação diferencial de primeira ordem. Notase, facilmente, que essa equação 3.6.2.2 5 idêntica a 3.6.1.10 se as relações únicas
1n(t) =
E*(t) = E (t;
(3.6.2.3)
são aplicadas. Como realmente essa correspondência é úni-ca, então, a função de fluencia 3.6.1.4 tem como modeloreolõgico o modelo de Maxwell com envelhecimento da figu-ra 3.8. Derivando-se 3.6.1.3 com respeito a t, obtém-se para n(t):
% E(t)
n(tH
n(t) = (3.6.2.4)
Figura 3.8- Modelo de Maxvell comparâmetros variáveiscorrespondente a pro-posta de Cischinger.
Então, a proposta de fluencia de Dischingerconduz a um modelo de Maxwell com envelhecimento de parâ-metro n viscoelãstico variável, no qual, a velocidade de
deformação no instante t, devido a uma tensão o(t) apli-cada no instante T, independe da idade do material T e, sõd oende do tempo t, conforme a equação 3.6.1.10. Por is-, esta proposta i conhecida como método da taxa constan-
te de deformação.
3.6.3 - Análise crTtica
A proposta df Dischinger reproduz, basicamen-te, as propriedades fundamentais da fluincia, abordadas em3.4.
Embora, a partir dessa proposta, produzissem--se uma série de conhecimentos de grande importância, es-pecialmente para o concreto, seu comportamento diante decertos aspectos da fluencia, não condiz com a realidade.Por exemplo, a teoria funciona bastante bem para cargasaplicadas em concretos jovens mas, com o envelhecimento,a fluincia é subestimada e ate negligenciada, para concre_tos muito velhos. Esse negligenciamento é facilmente de-mostravel fazendo-se T =^ «• em 3.6.1.4, resultando:
lim D(t,t) = 0 (3.6.3.1)
ou a inda , estudando-se o modelo de Maxwell correspondente ã
expressão ana lT t i ca para T s> ». Como t > T , t também
tende a i n f i n i t o e por 3 . 6 . 2 . 3 , da mesma forma, n tende
a i n f i n i t o . Assim, não e x i s t e deformação v iscoe lãs t i ca no
amortecedor, apenas e x i s t i n d o deformação e l á s t i c a i n s t a n -
tânea, fazendo com que a expressão 3 .6 .1 .9 t ransforme-se
em:
G ( t ) = 2111 ( 3 . 6 . 3 . 2 )E
ou, ai nda,
52
T spa.
Outro problema a analisar e que a deformaçãolenta e completamente irrecuperável, após o descarregairen-to, pela teoria de Dischinger. Isto pode ser demostradomatematicamente, fazendo-se T O = 0, por
- C(t,r2) = COT [iyTl - i v T 2] = (3.6.3.4)
onde, i, e t^i são, respectivamente, a idade de carrega-mento e descarregamento do corpo de prova, conforme a fi-"ura 3.9.
o ( t )
C ( t . x )
T l
1
t .T
t ,T
F i y u r a 3.9 - P ropos ta de D i s c h i n g e r - F l u ê n c i a c o m p l e t a -
mente i r r e c u p e r á v e l .
53
Então, para qualquer t > [„, a deformação len-
ta e a mesma que em T « ; logo, e constante.
A proposta de Dischinger, utilizada em proble-mas de relaxação, faz com que a tensão final seja subesti-mada, ou seja, a proposta exagera na relaxação. Isto podeser verificado nos resultados de ensaios, como por exemplo,o apresentado por Neville [23]» na figura 3.10.
2000 | • t - ,140
a{t)(psi) (kg/cm2)
120
1600
:!ÜO
Otfervado •
—» • — Método Ce DiieMngar
1 2 0 0 1 - \ \ ~ - : . . . _ . . : j
• • ; : t
eooi . i ' (dias)O 50 100 150
3.1o -Kelaxaçáo de tensão a uma deformação constante ae360x10 para um concreto 1 :1 ,6 :2 .8 com f a t o rde ãgua-cimento de 0.375 carregado aos 8 dias deidade [ 2 3 ] .
Essas d e f i c i i n c i a s na t e o r i a são plenamente
reconhecidas e , propostas mais recen tes , baseadas na t eo -
r i a de D isch inger , como os de I l l s t o n [ 8 ] , Rüsch [ 2 7 ] , I n j
w i r t h [ 2 3 ] , procurar adequar a t eo r i a aos resu l tados expe-
r imenta is e cons iderar a deformação len ta como soma de dois
componentes, um recuperável e , o u t r o , i r r e c u p e r á v e l .
A t e o r i a de Dischinger pode ser u t i l i z a d a com
cons iderações de módulo de e l a s t i c i d a d e v a r i á v e l , E ( T ) , mas
a c a r r e t a r i a t a i s compl icações que a s i m p l i c i d a d e de seu uso
e s t a r i a compromet ida.
3 . 7 - Expressão de A ru t yunyan
3 .7 .1 - Relações b á s i c a s
Cora base no c o n j u n t o de propriedades b á s i c a s , abojr
dadas em 3 , 4 , Aru tyunyan propôs uma r e l a ç ã o f u n c i o n a l para
a função de f l u i n c i a do t i p o 3 . 5 . 2 , ou s e j a ,
C ( t , T ) = * ( T ) . f ( t - i ) ( 3 . 7 . 1 . 1 )
usando como aprox imação de f ( t - x ) um somatório de funções ej<ponenc ia i s na forma
f ( t - T ) = E B, ey {Z T> ( 3 . 7 . 1 . 2 )k=0 K
onde, B, e y. , são constantes convenientemente escolhidas
de um dado material e, BQ=1, Yo=0» Yk >0 para k=l, 2,......m. Já (f. ( T )» é uma função monótona e uniformemente decrescente, satisfazendo a condição
- Co ( 3 . 7 . 1 . 3 )
Logo, 3.7.1.1 pode ser escrita como
m - y k ( t - - r )C ( t , t ) = < H T ) £ Bk e ( 3 . 7 . 1 . 4 )
k=0 K
Desta maneira, a representação da função defluência é caracterizada pelo fato de refletir a dependên-cia do tempo do fenômeno do material; em partircular, suaidade e característica hereditária.
No caso da expressão de Arutyunyan, para um con
creto em condições muito idosas, ou seja, para x =£>°° a e^
pressão 3.7.1.4 toma a forma:
m -Y (t- T)C(t,x) = C l B e k (3.7.1.5)
0 k=0 K
a qual mostra a deformação lenta para concretos dessa na-tureza e combina, segundo Arutyunyan, com curvas experi-mentais de vários materiais, como o concreto, sendo as di-ferenças de propriedades dos materiais definidas pela escc>lha apropriada dos parâmetros CQ, B^ e Y ^ (k = 0,1, . . . m ) .
A rapidez com que a função * ( T ) tende para ovalor constante C , determina o inTcio da condição idosado material e, IJ>(T) deveria ser adotada, para que, em to-das as idades 0 < T < t do material, a expressão C(t,-r)concordasse com os resultados experimentais obtidos. Combase nesr.as observações e pelo resultado de um grande nú-mero de experimentos, Arutyunyan propõe que, <t>(i) seja re-presentada, no caso geral, por:
* ( T ) = CQ + T. Ak xk (3.7.1.6)
onde, CQ, e o valor limite da função do material e, A k >
são parâmetros dependentes da natureza e condições de ida-de do mesmo. Assim, os valores de A. poderiam ser esco-lhidos de maneira que a equação 3.7.1.5 descreva, de me-lhor forma possível, as curvas experimentais de deformaçãolenta. Testes efetuados por Arutyunyan mostram, conformea tabela 3.1, que, o confinamento das siries aos dois pri-meiros termos para f(t--r) e ao primeiro termo para 4 > ( T ) ,
dão resultados bastante satisfatórios.
Desta maneira, 3.7.1.2 e 3.7.1.10 podem serutilizados apenas com os primeiros termos da série, ou se-
56
eiperimentais 3.7.1.B
7
i 4
6J
t
1
2
25
.63
.52
-
-
Cimento
SO
6.57
4.66
2.69
•
75
7.74
5.76
5.00
Portland
100
8.62
6.53
5.77
,3 .47
9
6
6
4
125
. 0 8 '
.95
. 23 :
.001
150
9.32
7.12
6.40
5.15
V25
3.57
1.S5
-
-
4
6
1
2
a
50
.40
.53
.79
-
5i
]
- t
7b
. « ;
.92
. 51
.HZ
.M», r
100
9.65
6.6Z
5.41
'3.67
IO"*• 0.026
1 125'
'9.06
7.03
5.90'
:4.60,í i
150
9
7
6
5
in
12
13
10
V^Trjrpi dç C( t , t ] par* o concreto de ttnrá)
e x p s r i m e n t a i s e í p T i c è ç ã o de 3 . ? . 1 . 8 * l j .
Ob*.: t cm diêi e o * 6kg/cm
f(t--r) = 1 + B1 e(3.7.1.7)
onde, A,, C e y., sao escolhidos de maneira a obter ccn-condãncia com as curvas experimentais e B, =-1. Assim, Arutyunyam representa a função de fluincia por:
C(t,t) = * ( T ) . | l - i M < - l'J (3.7.1.8)
ondeAiI (T) =
c0 + — (3.7.1.9)
T
Esclareça-se que Arutyunyan utiliza apenas osdois primeiros termos da série, de maneira a simplificar ateoria mas, em determinadas ocasiões, necessitar-se-ão demais termos para existir uma aproximação satisfatória. Poroutro lado, frisa-se também que, para preservar a general^dade da teoria, $ ( T ) deveria ser monótona e uniformemen-te decrescente e satisfaz a condição 3.7.1.5, podendo, en-tão, tomar forma distinta de 3.7.1.6. A proposta de Aru-
57
tyunyan para a admitãncia de f l u ê n c i a , pode ser e s c r i t a c£
mo:
D ( t , t ) = —!— + C ( t , T ) ( 3 . 7 . 1 . 1 0 )E ( T )
ou, entrando com 3 .7 .1 .8 e 3 . 7 . 1 . 9 ,
D(t,r) = - í — + £ U c o ) H - e> ( t -TH (3.7.1.11)E ( T ) < L J
que é o núcleo da equação 2 .4 .10 . Entrando com 3.7.1.11 em
2.4.10
J E ( T ) T
1 ( 3 . 7 . 1 . 1 2 )
ou
£ ( t ) = H±L + O ( T ) - — D ( t , x ) d x ( 3 . 7 . 1 . 1 3 )E ( t ) I 3T
0 ( T , | M + i Y ( t - T ) > f t l { ( )-#'(T)l dTk2( JE(t) JT k(T)
1 (3.7.1.14)
D i f e r e n c i a n d o 3.7.1.14 com relação a t e , so-m a n d o - s e a exp r e s s ã o obtida n o v a m e n t e com 3 . 7 . 1 4 , o b t é m - s e
e ( t ) + Y c ( t ) = m±L + - ^ J ^ - + Y o ( t )E ( t ) E ( t )
+ Y
1
0 ( T ) . 1 1 0 1 . ^ •(,)"] d t (3.7.1.15)A LE(t) J
58
e derivando-se mais uma vez, chega-se ã correspondente equa_ção d i ferencia l da proposta de Arutyunyan
= E(t) + ° ( t ) L T (E(E ( t )
com c o n d i ç õ e s i n i c i a i s n o i n s t a n t e t - T ,
O ( T , ) = E ( t 7 ) . E ( T , )
(3.7.1.16)
(3.7.1.17)
3.7.2 - Correspondência com modelo reolõgico
Toma-se um modelo standard, com os parâmetrosmecânicos var iáve is , conforme a f igura 3.11, com equa-ções const i tu t ivas do t ipo
n(t;
I -E*(t)
Figura 3.11 - Modelo standard com parâmetros
mecânicos variáveis
ô m ( t ) = E * ( t ) è m ( t )
( 3 . 7 . 2 . 1 )
ã k ( t ) = n ( t ) . è k ( t ) + n ( t ) e ' k ( t ) + E v ( t ) r . f c ( t )
onde os s u l - í n d i c e s k e m r e f e r e m - s e ao elemento de Kelvin
e da mola, respectivamente, e v a mola do e lemen to K e l v i n .
Com as equações c o n s t i t u t i v a s 3 . 7 . 2 . 1 mais as
equações do e q u i l T b r i o e c o m p a t i b i l i d a d e 2 . 6 . 4 . 1 e 2 . 6 .
4 .2 do modelo chega-se a :
n ( t ) c ( t ) + ê ( t ) ( E v ( t ) + n ( t ) l = á ( t )L J E * ( t )
E * ( t ) E * ( t )
coin c o n d i ç õ e s i n i c i a i s para t = T-j
e ( T , ) = O{T,)/ E ( T J
. n ( t ) M U I ( 2 . 7 . 2 . 2 )
( 2 . 7 . 2 . 3 )
que é uma equação diferencial de segunda ordem.
Se as relações
E ( t ) = E * ( t )
1n ( t ) = ( 2 . 7 . 2 . 4 )
( t )
1 - - r,(t)(
60
são válidas, a equação 3.7.2.2 i idintica a 3.7.1.16, comas mesmas condições iniciais para t = t^, 3.7.2.5 e 3.7.1.16. As correspondincias 3.7.2.4 são únicas e, portanto,a função de fluência 3.7.1.8 tambim o e e pode ser repre-sentada pelo modelo standard com parâmetros mecânicos va-riãvei s.
3.8 - Análise CrTtica
A proposta de Arutyunyan também reproduz aspropriedades fundamentais da deformação lenta, abordadasem 3.4, mas com comportamento bem melhor do que a propostade Dischinger. Ainda assim, alguns reparos poderiam serfei tos.
Arutyunyan, embora defina sua teoria como umsomatório, utiliza, na resolução de problemas, apenas osprimeiros termos da série, por considerar que uma boa aproximação e obtida. Evidentemente, na época da elaboração dateoria, trabalhava-se sem a utilização do computador e, ummaior numero de termos complicava a analise. Jã, com o a^xTlio do computador, i recomendável a utilização de maistermos. Isso vai ficar bem caracterizado, posteriormente,quando da análise dos ensaios realizados, onde foi necess£rio a utilização de mais termos, com tempos de retardaçãodi ferentes.
Outra restrição que poderia ser feita e que narecuperação da fluência Arutyunyan utiliza o princTpio desuperposição de McHenry [23], Como foi visto em 3.2.2este princTpio subestima a recuperação da fluênciano concreto. Mas, a proposta e definida para materiaisviscoelásticos lineares, portanto, nesse aspecto, não epropriamente um erro na teoria, mas uma limitação.
Talvez, a crTtica principal que se poderia fa-
61
zer e quanto a função <)>(T)> definida como em 3.7.1.6. E;sta função, para idades muito jovens, tem uma variação mui-to grande, como pode-se ver na figura 3.12. Como o prÕ-prio Arutyunyan reconhece, se poderia estudar uma fun-ção dependente da idade, monõtona e uniformemente decre^cente, que satisfaça 3.7.1.5 e que melhor se adapteaos resultados experimentais.
3.9 - Propostas de Arutyunyan e Dischinger - Análise Conjun-
ta_
Uma questão que poderia ser abordada é se exi£tem condições em que as duas propostas apresentadas condu-zem a resultados idênticos. Pela análise superficial dosmodelos reolÕgicos correspondentes poder-se-ia supor quesim, visto que, o modelo de Maxwell 5 um caso particular domodelo standard, no qual Eg = 0. Mas a proposta de fluen-cia de Arutyunyan, em geral, não pode ser transformada nade Dischinger.
Estudando as expressões analTticas propostasem 3.6.1.6 e 3.7.1.8 pode-se chegar a um caso particularem que a equivalência i possível.
Calculando-se as expressões para t«^°° e T = T,
obtim-se
1 A (3.9.1)
C(.«.T7) = - U CoTl
para Oischinger e Arutyunyan respectivamente, ou teja, umadas condições para que exista equivalência em uma determi-nada idade e que C^ = — + C . Outra condição é que as
constantes v e y , que afetam a taxa de variação da
3
A1 =4.82 x 10
Co * 0.9 * 10~5
-5
10 20 30 40 50 100 150 200
T(dias)
Fiyura 3.12 - 4>(T) proposta por Arutyunyan com um termo na sér ie. A1 =4.82 x 10 ,CQ = 0,9 x 10 .
63
fluência com o tempo, sejam também iguais. Satisfazendo es_sas duas condições, para uma determinada idade, obtém-securvas idênticas.
tssas curvas, para i, = 10 dias, A, = 4,82x10" ,C = 0,9x10 , e Y = 0.026 são mostrada^ na figura 3.13,juntamente com as curvas para T-J = 28,60 e l O O dias, cal-culadas a partir da primeira.
Como era de se esperar, com o envelhec-imento,existe uma grande discrepância de resultados.
j C ( t , T )
130 ( 1 0 " 7 )#— ARUTYUNYAN
O- OISCHINGER
2 8 50 60 100 129 150 175 2 0 0t , T
(di as )
Figura 3.13 - Comparação entre as propostas de Arutyunyan e Dischinger para T-J =10 dias,em diversas idades T.
65
CAPITULO 4
RESOLUÇÃO NUMÉRICA
4.1 - Introdução
As equações constitutivas para resolução de problemas de deformação lenta 2.4.12 e 2.4.13, junto com aspropostas de resolução apresentadas ati o momento, não pe£mitem, em geral, soluções analíticas simples, pelo fato deque as propriedades do concreto são dependentes da idade.Por exemplo, a resolução analítica da proposta de Arutyu-nyan recorre à utilização de uma função gama incompleta,geralmente, de difícil solução. Mais ainda, para possibili-tar a solução analítica, várias simplificações na pro-posta de deformação lenta devem ser introduzidas, acarre-tando erros substanciais na solução. Por isso, é" con-veniente utilizar técnicas numéricas para a resolução deproblemas, as quais, não necessitem da introdução de sim-plificações. Destas técnicas, a mais simples é a inte-gração numérica passo a passo.
Nesse trabalho utiliza-se a representação in-tegral, pelas vantagens desta, sobre a representação dife-rencial. Na representação integral a determinação da equ£ção constitutiva e imediata, ou seja, os valores de D(t,T)e E(t,t) em 2.4.10 e 2.4.11 são obtidos, diretamente,de experiências de fluencia e de relaxação. Enquanto isso,na representação diferencial, devera haver modelos reolõ-gios, com grande número de elementos, elementos esses, comcoeficientes viscoelãsti cos variáveis. Por outro lado, arepresentação integral utiliza mais memória do computa-dor, já que é necessário guardar a historia de tensões édeformações. Porem, tal desvantagem só aparece, de formacomprometedora, em problemas de elementos finitos e, não,
66
naqueles a que se propõe resolver o método numérico deste
trabalho.
4.2 - Determinação do Algoritmo Numérico
Como já foi visto, em 3.2, tanto a funçãode fluincia quanto a de relaxação, são funcionais contínuos,para o concreto e, nas condições consideradas nesse traba-lho, também lineares. Desta maneira, pela aplicação do te<orema de Riesz, a lei de fluincia para tensões uniaxiais po-de ser escrita como em 2.4.10 ou 2.4.12, quando a histó-ria de tensões é dada ou, quando conhecida a historia dedeformações, como 2.4.11 ou 2.4.13. As equações 2.4.12 e2.4.13 podem ser vistas como equações integrais linearesde Volterra, funções de o(t) e e(t) respectivamente.
e(t) = 2A11 + - •£• D(t,t) O ( T ) dr (a)E ^ Tl
(4.2.1)
o(t) = e(t) . E + f - -£- E(t.i) e(t) d T (tJ)
Realizando algumas transformações nessas equa-
ções, obtém-se:
o(t) = E c(t) + E | ^ D(t,t) O ( T ) di (a)
(4.2.2)
t(t) = 2ÍLL + 1 I ^- t(t,i) C ( T ) d T
67
ou seja, genericamente, em uma equação do tipo:
g(t) = h(t) + *0 K(t,i) g(x) dx (4.2.3)
'ti
Essa equação, baseada, no caso, apenas nas e_xperiências de fluincia e relaxação, e bastante geral e r£solve uma gama de problemas viscoelãsticos, como ver-se-ãem exemplos posteriores.
0 método mais direto, para a resolução numéri^ca deste tipo de equação, § baseado em substituir a inte-gral por uma soma finita. Para este propósito o intervalode tempo t - T -j é dividido em n - 1 subintervalos, demodo que:
Ai = ( T 1 + | - T.) (4.2.4)
os quais podem ser considerados desiguais.
Aplicando a regra dos trapezios, cujo erro ida ordem do intervalo de tempo, a equação 4.2.3 pode serescrita como:
9(tn) = h(tn) + > z (g(t.) k(tn,ti) + g(t,+l) K(tn,ti+1) } —t=l 2
(4.2.5)
K e t i r a n d o - s e o enes imo termo do s o m a t ó r i o o b -
t é m - s e :
9 ( t n ) = h ( t n ) + S. { g ( t n ) K ( t . t n ) + g ( t n . i ) K ( t n , t n . i ) } A n - 1 +r\ II II M I f | i i i
n-2
( 4 . 2 . 6 )
68
Fazendo:
n-2AA = E ( g í t ^ K(tn,t.) + 9( t i + 1 ) K(t n,t i + 1)> A,
(4.2.7)
e, rearranjando 4.2.6, chega-se a:
,+ , 2h(tn) + *0 g i y , ) K(t n,t n.!) * n - l +A A
2 " >o K < W Vi(4.2.8)
De 4 .2 .3 r e t i r a - s e d i retamente para t = t-|
g ^ ) = h( X l) (4.?.9)
A equação 4.2.8 admite um programa numérico,
passo a passo, para a sua resolução. O diagrama de flu-
xo desse programa, esta indicado na figura 4.1
Salienta-se que esta subrotina resolve proble-mas na forma da equação 4.2.3, independente do núcleo uti-lizado.
Como entrada no programa, tem-se, inicialmen-te, os dados especTficos do problema que se está resolven-do, como, por exemplo, o modulo de elasticidade do aço edo concreto, as constantes das propostas utilizadas e, asconstantes para determinação dos intervalos de tempo. Asfunções h(t) e o núcleo da equação de Volterra K(t,x), de4.2.3, entram, diretamente, em subrotinas internas. Junta-mente com estas duas, coloca-se uma a mais com a finalida^de de auxiliar na preparação da resolução do problema.
Em muitos casos, a função K(t,t) de 4.2.5, éa função de fluência ou de relaxação e pode ser apre-sentada de forma analítica ou, simplesmente, como uma tabe;
69
Í INTEGRA J
ULCUAF
ICALCULO OEAUXILIAR lx;
CALCULO DEh(t)
CÁLCULO DEK (t,T)
I - 1 . 1 . N
DETERMINAÇÃODO TAMANHO DOINTERVALO OE
TEMPO
gf1) = h (1 )
AA=AA•(T[J
A A: 0
L = 1 - 2
1
1 • "
\
<Q J= 1.1.L
CÁLCULO DE
L |
1 L:1
1
- 1
CÁLCULO DE 1
T, T[J+lJ).
= { 2 . h ( T [ l ] ) + A 0 . ( g [ L ] x K L T [ l ] , T [ L ] ) . ( B B +2-\Q . K ( T [ I ] , T [ I ] ) . 36
N =r\Ç de passos
F i g u r a 4 . 1 - Diagrama de f l u x o para r e s o l u ç ã o de
equações i n t e g r a i s do t i p o 4 . 2 . 3 .
70
la de valores experimentais.
0 programa principal, apenas faz a leitura e
preparação dos dados, para ingressar nas subrotinas, e a
impressão de resultados.
4.3 - Intervalos de Tempo
E importante encontrar uma função que determi-ne o tamanho do intervalo de tempo, apropriada ã análisenumérica, não sõ pela dependincia do erro ao tamanho do iritervalo utilizado mas, também, porque, no estudo da defor-mação lenta, o alcance da resposta chega, muitas vezes, atempos bastante grandes, como por exemplo, vinte a trintaanos. Devido a isso, o tamanho do intervalo não deve sermantido constante, pelo risco de se ter um número muitogrande de passos, mas, deve ser gradualmente incrementadodurante a computação. Em d terminada época, o procedimen-to adotado era o de reduzir, grandemente, o alcance da re:sposta, para trabalhar com um número razoável de passos.
Para computar respostas de grande alcance, énecessário restringir a história de tensões ou deformaçõespara aquelas, em que, a história prescrita exibe uma mudariça imediata (descontinuidade) somente no tempo de aplica-ção da carga e, tem uma variação continua e gradual. Porexemplo, a variação de deformação de estruturas sob cargaspermanentes, retração e sem cedimentos de apoio i, prati-camente, deste tipo. Como recurso, se a historia prescri-ta for descontínua, a linearidade da equação de Stieltjes2.4.10 e 2.4.11, ou mesmo, as equações 2.4.12 e 2.4.13,permitem decompor estas variações em tantas componentes quajitas necessárias.
A primeira função, que determina a variação dointervalo, testada, i do tipo:
71
T [ I ] : = A . ( I - l ) a ( 4 . 3 . 1 )
onde, A e a , são constantes quaisquer . £ uma expressão
bastante s imp les , que, tan to pode ser u t i l i z a d a para i n -
te rva los de tempo cons tan tes , fazendo a = A = 1 , como para
i n t e r v a l o s v a r i á v e i s . U t i l i z a n d o esta função na resolução
numérica de um modelo s tandard , exemplo que será v i s t o no
próximo c a p i t u l o , de f ine -se um va lo r razoável para a.
A e x i s t ê n c i a de va lores a n a l í t i c o s , no estudo
dos modelos r e o l ó g i c o s , p o s s i b i l i t a a ana l i se do e r ro come_
t i d o . Para es t ima t i va do e r ro a n a l í t i c o a cada passo e
do e r ro médio no i n t e r v a l o , u t i l i z a - s e , respectivamente, as
expressões:
Is - s a |E r = L_ x 100% (a )
( 4 . 3 . 2 )
IS - S . l
N
onde, S, é o valor exato, Sa o valor aproximado pelaanálise numérica, e N o número de passos.
Variando a, com A mantido constante e igua l
a um, e v e r i f i c a n d o o e r ro médio comet ido, a d i fe rença má-
xima ent re o va lo r exato e o aproximado, o tempo gasto para
execução do processo numérico e o número de passos necessjí
r i o s para a t i n g i r uma determinada idade após a carga, con-
forme a f i g u r a 4 . 2 , v e r i f i c a - s e , que a função 4 .3 .1 com-
por ta-se melhor com valores de a en t re 1,2 e 1,4. No
presente t r a b a l h o , quando da u t i l i z a ç ã o desta função na
resolução de problemas, u t i l i z o u - s e o = 1,2. Mas, isto não
quer d i ze r que este seja o melhor va lo r de a para q u a l -
quer caso a ser ana l i sado . Tudo depende, essenc ia len te , do
72
Tempo (2.4 «10~6)Erro Médèo (1O~3)Erro Mdximo (K)~2)N* d« Pastos
0 6
Figura 4.2 - Variação do erro médio, máximo, número depassos e tempo de execução em função de a,na resolução numérica de um modelo reologico.
73
c r i t é r i o adotado na resolução do problema.
Segundo Bazant |3 | , e mais conveniente es-
co lher como função que determine a var iação dos i n t e r v a -
l o s , uma progressão geométr ica , i s t o é, quar.do o quoc ien-
te en t re o passo i e o passo i + 1 i cons tan te . Para taj i
t o , sugere-se uma expressão do t i p o :
T [ I ] : = 1O]/ENE . T [ i - l ] ( 4 . 3 . 3 )
onde, ENE, representa o número de i n t e r v a l o s por decênio
de loga r i tmo de dez. Nota-se, f a c i l m e n t e , que cada passo
aumenta 10 ' vezes o a n t e r i o r . U t i l i z a n d o - s e o mes-
mo exemplo que d e f i n i u um v a l o r pa^a a, p lotando os mes-
mos parâmetros em função da var iaçí io de ENE, conforme a f i -
gura 4 . 3 , de f ine-se um va lo r razoável para ENE. 0 melhor
comportamento da função é ob t ido para va lo res en t re 20 e
40. Para a resolução de problemas f o i adotado ENE = 30.
A t e r c e i r a função estudada f o i do t i p o :
T [ I j : = DELTA . ALFA ( I " ^ ( 4 . 3 . 4 )
onde, DELTA e ALFA, são constantes,, e ALFA > 1 , para que
o i n t e r v a l o seja c rescen te . Es ta , também, é uma progres-
são geométr ica, em que cada passo aumenta ALFA vezes o an-
t e r i o r . Com o mesmo procedimento u t i l i z a d o s nas funções
a n t e r i o r e s , var iando ALFA com DELTA, constante e igua l a
um, chegou-se a va lores razoáveis para ALFA, compreendido
ent re 1 e 1,15, conforme a f i g u r a 4 .4 . Com va lores maioi
res que 1,2, o i n t e r v a l o cresce rapidamente, da mesma fo£
ma que o e r r o . 0 va lo r adotado para ALFA, quando da u t i -
l i zação da expressão 4 . 3 . 3 , f o i de 1 , 1 .
Um dos problemas que a u t i l i z a ç ã o de i n t e r v a -
74
Tempo (2.4x10" * )Erro Médio (10~3)Erro Máximo (xiO)N* dt rosto»
40 stoENE
Figura 4.3 - Variação do e r ro médio, máximo, do númerode passos e tempo de execução em função deENE
75
Tempo (2.4xio~8)Erro Médio (1O~3)Erro Máximo (x1O)Ns de Passos Erro Máximo
Efro Relativo
1.5 ALFA
Figura 4.4 - Variação do erro médio, máximo, do número depassos e tempo de execução em função de ALFA
76
los c r e s c e n t e s a c a r r e t a na a n á l i s e numér ica é que o c r e s -
c imento do passo dá-se exatamente no s e n t i d o do aumento
do e r r o , i s t o ê , normalmente , o e r r o do i n t e r v a l o i + 1 é
maior que o do i n t e r v a l o i , dev ido ao e r r o acumulado. E
i s t o acontece mesmo para i n t e r v a l o s c o n s t a n t e s . Porem, com
o c resc imen to do i n t e r v a l o , o c resc imen to do e r r o i mais
s i g n i f i c a t i v o . Este problema pode v i r , a t é , a i n s t a b i l i -
zar o processo numér ico . Para e v i t a r - s e que o c resc imen to
do tamanho do i n t e r v a l o possa ocas iona r problemas desta O£
dem, segundo Bazant | 3 | , deve-se i m c i a r - s e o processo
com i n t e r v a l o s , da ordem de 0.001 a 0 . 0 1 , do d i a .
Na f i g u r a 4 . 5 , encont ram-se p l o t a d a s as exp re£
soes 4 . 3 . 1 , 4 . 3 . 3 , 4 . 3 . 4 , no e i x o das o rdenadas , e o nú -
mero de passos , no e i x o das a b c i s s a s , para d i v e r s o s v a l o -
res de a, ALFA e ENE, com o p r i m e i r o i n t e r v a l o u n i t á r i o e
A = DELTA = 1 . Observa-se q u e , as funções do t i p o 4 . 3 . 3 e
4 . 3 . 4 têm um c resc imen to mais l e n t o , a p r i n c í p i o , que 4 .
3.1 e , a p a r t i r de um determinado i n s t a n t e , crescem de
uma manei ra mu i to r á p i d a . Essa menor v e l o c i d a d e de c r e s -
c i m e n t o , no i n í c i o , em termos de a n a l i s e do erro r e l a t i v o ,
leva a um melhor comportamento i n i c i a l ( f i g u r a 4 . 6 ) . Esta
vantagem i n v e r t e - s e a medida que se desenvolvem as funções,
com uma maior v e l o c i d a d e de c resc imen to de 4 , 3 . 3 e 4 . 3 . 4 .
N o t a - s e , também, que o c resc imen to do e r r o r e l a t i v o , após
o pe r íodo i n i c i a l , para a função 4 . 3 . 1 , no exemplo do mo-
de lo s t a n d a r d , é b a s t a n t e pequeno em comparação às o u t r a s
funções es tudadas .
Deve-se , sempre, t e r em mente que os v a l o r e s
u t i l i z a d o s para as d i v e r s a s cons tan tes das f u n ç õ e s , que d^
terminam o tamanho do i n t e r v a l o , dependem, do problema e£
tudado e , do t i p o de a n á l i s e a que nos propomos f a z e r . Po£
t a n t o , os v a l o r e s adotados neste t r a b a l h o , podem não ser
77
380-
360
340-
2.20
300
280
260
240
220
200
180
160
140
120
100
HO
GO
40
?0
10
T[I]:=A*(I-I)a
T[I]:=1O1/ENE*T[I-1^ 2 ENE=20
DELTA=1
ALFA=1,1
6 0 NO de passos
F i g u r a 4 . 5 - C o m p a r a ç ã o e n t r e as f u n ç õ e s 4 . 3 . 1 , 4 . 3 . 3 e
4 . 3 . 4 , com p r i m e i r o i n t e r v a l o u n i t á r i o
apropriados ao estudo de outros problemas.
78
5Ot(dios)
Figura 4.6 - Comparação entre os erros relativos das funções
4 . 3 . 1 , 4.3.3 e 4 . 3 . 4 , com primeiro intervalo
uni tár io , em um ensaio de relaxação de um mode-
lo Standard
CAPÍTULO 5
EXEMPLOS NUMÉRICOS
79
Neste capTtulo serão analisados alguns exem-plos, resolvidos numericamente com a subrotina INTEGRA eos resultados obtidos, comparados com os valores enalT-ti cos.
5.1 - Exemplo 1 - Modelo Standard
0 primeiro problema a ser analisado é uma ex-periência de relaxação num modelo standard, isto i, uma deformação constante e 0 e aplicada no modelo e obtém-se ascorrespondentes tensões ao longo do tempo. A utilizaçãode um modelo reologico para teste da subrotina, possibi-lita a comparação dos resultados obtidos com os valoresexatos da resolução analTtica correspondente. 0 modelostandard testado é o da figura 5.1, com o qual ê realiza-do um estudo comparativo entre as diversas funções que d£terminam o tamanho do intervalo de tempo.
n.2 2000000 kg/cmZ
= 200000 kg/cm"
E 2 =200000 kg/cnr
Figura 5.1 - Modelo Standard
Para a solução analTtica do problema, parte-•se da equação 2.6.4.9, onde e(t) = ^o = constante, ob-
tendo-se, após algumas transformações:
(5.1.11
.2 E 1 + F Z
°<l> • Ei ••. - ~ r [' -• n2 *]
Ja, para a solução numérica, toma-se 2.6.4.8,
na forma 4.2.3
JT1
r ^a ( t ) = > : ( t ) . E 1 - E, o ( i ) * dt ( 5 . 1 . 2 )
J 1 n 2
com a q u a l se o b t é m :
h ( t ) = E i c[t)
;% <t - oK ( t , T ) = ( 5 . 1 . 3 )
n2
"o - E l
Assim, resolve-se o problema com o auxTlio da
subrotina INTEGRA.
Na figura 5.2 podem ser vistos os resulta-dos obtidos numericamente, comparados com os resultados ^nalíticos, para as diversas funções que determinam o ta-manho do intervalo, com o primeiro intervalo unitário.
Como se observa na figura 5.2 e 4.6, a aproximação obtida é bastante boa, independentemente dafunção para determinação do tamanho do intervalo adotado.
81
o(t)
2 0
numérico
analTti co
T!11 = = a. . ( i - i ) a
a=l ,2 ; A=l
(a)
30 4O SO 60
T | I | : = 1 O 1 / E N E . Tj 1-1
ENE = 30
(b)
100
4 0 50
T i l | :-DELTA. ALFA
ALFA=1,05
DELTA=1,0
60
(1 -1 )
(C)
ò s to 20 40 50 60
Figura 5.2 - Comparação entre a resolução numérica e
a n a l í t i c a de ensaios de relaxaçao de um
modelo standard
82
5.2 - Exemplo 2 - Pilar de Concreto Armado
Considera-se um pilar de concreto armado soba influência de uma força centrada de compressão N, cons-tante, aplicada em uma idade T = T,. 0 tempo e medido apartir da concretagem do elemento. Representa-se a ten-são no elemento de concreto, em um certo instante t, comconsiderações de fluincia, por ab(t), enquanto a tensãono aço será representada por aa(t). As áreas de aço ede concreto serão representadas por F emente.
respectiva-
N
Figura 5.3 - Pilar de concreto armado subme-tido a uma carga centrada decompressão N
A deformação lenta no aço é desprezada visto
que i insignificante, comparada ã do concreto.
Neste caso, as tensões satisfazem as equaçõesde equilíbrio e compatibilidade abaixo, em qualquer valorde t:
(5.2.1)
83
e a ( t ) = E b f f - ( 5 . 2 . 2 )
onde, ea ( t ) e eb ( t ) , s v . r e s p e c t i v a m e n t e , as d e f o r -
mações no e lemento de ac, . de c o n c r e t e
E, a defo • ição l o n g i t u d i n a l no conc re to ^ ( t )
com cons ide rações ^ • v ' l i i i n c i a s e r á :
c b ( t ) = ^ Ü + o b ( x ) - — D ( t , T ) d i ( 5 . 2 . 3 )E ( t ) J T 1 3T
onde E ( t ) e o módulo de e l a s t i c i d a d e do c o n c r e t o .
S u b s t i t u i n d o - s e 5 .2 .1 por 5 . 2 . 3 , ob tém-se :
-a% ( ) -a ( t ) .Fa . ' N ^ i i l L i i 2 ( t > T , d t
Fb Eb T l Fb 3 T
( 5 . 2 . 4 )
Como não se considera a deformação len ta do
aço, sabe-se que
^m (5.2.5)
onde, E a , é o modulo de e l a s t i c i d a d e do aço e , g e n e r i c a -
mente , conforme 3 . 6 . 1 . 4 , a adm i tãnc ia de f l u ê n c i a s e r á :
D ( t , r ) = —!— + C ( t , t ) ( 5 . 2 . 6 )E d )
De 5 . 2 . 4 , 5 . 2 . 5 , 5 . 2 . 6 e 5 . 2 . 2 , após a l g u -
mas t r a n s f o r m a ç õ e s , chega-se a
ÜlLüL-h +Fb
84
+ v E j a (T) -L + C(t,T) dr
11 +n m(t)(5.2.7)
onde m(t) = E a/E(t) e V = Fa/Ft,. Com procedimento anal£
go, obtém-se, para a tensão do concreto,
H 1E(T) l+y m(t)|
(5.2.8)
Esse conjunto de equações integrais de Volte£
ra, 5.2.7 e 5.2.8, i do tipo 4.2.3, onde
K(t.x) = 1
m(t)J_ r_i_ + C(t,T)l8T L E ( T ) -»
ha(t) = •" (T1) •
m(t)]E( T 1) .
hb(t) =m(t)]
(5.2.9)
e, pode ser resolvido diretamente pela subrotina INTEGRA.
5.2.1 - Resolução pela Froposta de Arutyunyan
Assumindo a função de fluencia proposta por
Arutyunyan, 3.7.1.8, nas equações integrais de Volterra
5.2.7 e 5.2.8, com as seguintes características, também
propostas por ele,
A ] = 4.82xlO"5; CQ = O.9xl0"
5; Y = 0.026;
E a = 2x10 6 kg/cm2;
lib
e, com o modulo de elasticidade do coRcreto E(t), cons-5 2
t a n t e , igua l a 2 x 10 kg/cm , determinam-se as cor res -
pondentes tensões nos elementos de concreto e aço do p i -
l a r . Para f i n s de a n á l i s e , a grandeza em s i das tensões
não tem muita impor tânc ia , mas s i m , a va r iação , ao l o n -
go do tempo, destas tensões. P o r t a n t o , as tensões o b t i -
das em um determinado tempo t , serão d i v i d i d a s pela ten_
são ob t ida para t = r , . Resolvendo-se o problema, com a
subro t ina INTEGRA, para T , =28 dias e , com uma função
que determina o i n t e r v a l o de tempo do t i p o 4 .3 .1 onde,
ct = l e A = 7, obtém-se, para as tensões, os valores da
tabela 5 . 1 . a .
Arutyunyan r e s o l v e u , a n a l i t i c a m e n t e , o
problema, com o a u x i l i o da função gama incomple ta ,
obtendo os resu l tados mostrados na tabe la 5 . 1 . b . Obser-
va-se que, os valores o b t i d o s , tan to pela aná l i se numé_
r i c a quanto a n a l í t i c a , são prat icamente co inc iden tes .
Pela ana l ise das f i g u r a s 5.4 e 5.5 nota-se
que as tensões i n i c i a i s no conc re to , ° k ( T i ) » são rap|.
damente reduzidas pela i n f l u ê n c i a da deformação len ta e
que, seu va lo r decresce, nos casos considerados, em até
3SÍ (p = 3%). Para o conc re to , o aumento da armadura
l o n g i t u d i n a l leva a um aumento na atenuação das tensões.
Já para o aço, a i n f l u ê n c i a da taxa de armadura u no
crescimento das tensões é mais impor tante na proporção
inversa de ',-, i s t o é , para baixas taxas de armadura se
dão os mais a l t o s incrementos das tensões.
Nas f i gu ras 5.6 e 5.7 apresenta-se um es-
tudo da var iação das tensões, para d i f e ren tes idades
de carregamento, ou s e j a , para T . = 28, 60 e 120 d i a s ,
com uma taxa de armadura v = Z%.
86
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CM
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CM
2.47
2.63
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o
cnvoo
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o
so
CM
CM
.22
CM
.34
CM
2.48
2.65
| 238 |
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CM
CM.22
CM
.34
CM
2.48
2.65
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o
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ro
CM.22
CM
.34
CM
2.48
2.65
1
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o
cnVO
o
ro
O
00
o
COooo
ro
CM
CMCM
CM
.34
CM
2.48
2.65
8
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t
28 d ias
1,5 meses
3 meses
6 meses
1 ano
1.00
1.65
2.40
2.63
2.66
2.66
1 .00
1.62
2.28
2.46
2.48
2.48
1 .00
1.60
2.18
2.33
2.34
2.34
1.00
1 .56
2.09
2.22
2.22
2.22
1 .00
1.54
2.02
2.13
2.13
2.13
1.00
0.93
0.86
0.84
0.83
0.83
1.00
0.91
0.81
0.78
0.78
0.78
1 .00
0.88
0.76
0.73
0.73
0.73
1 .00
0.86
0.73
0.69
0.69
0.69
1.00
0.84
0.69
0.66
0.66
0.66
Tabela 5.1 - Valores obtidos pela resolução numérica(a) e ana l í t i ca (b) | 1 | do exemplo 2,com a proposta de Arutyunyan, para= 28 dias
1
(b)
oo
ob( t )
ob(28)
10-09-0 8-0-7-
06-
0.5-
130 180 210 250 300 360O 28 45 70 90 v»u íoo ziu zau aoo aw» X / J . ' , X
Figura 5.4- Variações das tensões do concreto com o tempo t, obtidas numericamente pela proposta deArutyunyan, no exemplo 2, com x, =28 dias e v dado.
2-
1 -
o a ( 2 8 )
26 70 90 130 180 210 250 300 360t(dias;
Figura 5.5 - Variações das tensões no aço com o tempo t, obtidas numericamente pela proposta deArutyunyan, no exemplo 2, com t, =28 dias e v dado.
0=03
ab (°°)28
0.7360
0.75120
0.76
28 6 0 120 180 250 300 360t(dias)
Figura 5.6 - Variação das tensões no concreto, com o tempo t, obtidas numericamente pela proposta deArutyunyan, no exemplo 2, com T,=28, 60 e 120 dias e u=2%.
3-1 Qb(t)
i-
T i
ab (=>)ab(t)
282.34
60 ! 1202.24J2.19
6 0 120 180 2S0 300 360 t (dias)
Figura 5.7 - Variação das tensões no aço, com o tempo t, obtidas numericamente pela proposta deArutyunyan, no exemplo 2, com T,=28, 60 e 120 dias e u=2%.
00
«o
90
Observa-se que, pela influência da deformação
lenta, quanto maior a idade de carregamento, maior a i n -
clinação in ic ia l da curva, e menor o valor da atenuação
das tensões no concreto e maior a do aço. Observa-se também
que, a diferença nos valores limites obtidos, para as diferen_
t»s idades, é muito pequena, pela proposta de Arutyunyan.
5.2.2 - Resolução pela Proposta de Dischinger
Ao analisar o problema com a proposta de Dis-
chinger, necessita-se, primeiramente, da resolução analTt^
ca para posteriormente, comparar com os resultados numéricos ot>
tidos pela subrotina. Para tanto, substitui-se os vai ares da
função de f l u i n c i a , com C(t , T) de 3.6.1.5 em 5.2.7
e 5 .2 .8 . No caso, pode-se resolver apenas uma equação, do
tipo, -V(T-T ) _v(t-t)
^ C « ( 1 em(t)| 6x E(x) (5.2.2.1)
onde h ( t ) representa h a ( t ) e h b ( t ) e , a ( t ) , representa
o a ( t ) e a b ( t ) .
M u i t i p l i cando-se a equação 5 . 2 . 2 . 1 por [1 + v~
m ( t ) ] e d i f e r e n c i a n d o o resu l tado com r e l a ç ã o a t chega-
-se a:
[1 + v m(t)J o ( t ) + [ w . Ea CM e ' J o ( t ) =
+ y m ( t ) í h ( t ) + y m( t ) h ( t ) ( 5 . 2 . 2 . 2 )
que é a equação diferencial correspondente ao problema pro
posto, com consideração de f luincia e módulo de e l a s t i c i -
dade var iável .
Nota-se de 5.2.7 e 5.2.8 que as seguintes
91
condições i n i c i a i s ocorrem para oa ( t ) e
m ( T , ) . N
a ] Fb [1 + u m( t ) ]( 5 . 2 . 2 . 3 )
Fb [1 + u m( t ) ]
Considerando-se o modulo de e last ic idade do con
creto E ( T ) constante, igual a E o , resolvendo-se a equação
di ferencia l 5 . 2 . 2 . 2 com as correspondentes h a ( t ) e hb
( t ) e com as condições i n i c i a i s 5 . 2 . 2 . 3 , obtem-se, para
as tensões no aço e no concreto, as expressões:
0 (t) = J L P| } e TT+MST e ° ° 1uFb L [l+i: m] J
( 5 . 2 . 2 . 4 )
r b L • + v "U
( 5 . 2 . 2 . 5 )
onde m = E a / E 0 . Os resultados encontrados na solução ana-
l í t i c a , com o a u x í l i o das expressões 5 . 2 . 2 . 4 e 5 . 2 . 2 . 5 ,
para ^ = 2 8 d i a s , Cro = 1,07 x I O " 5 , Eo = 2,0 x IO5 kg/cm2 ,
Ea = 2 , 0 x 1 0 kg/cm e v = 0.026, estão apresentados na t a -
bela 5 .2 . A constante v , que afeta a taxa de variação da
fluência com o tempo, fo i usada de forma idênt ica a sugeri^
da por Arutyunyan, para' e f e i t o de comparação dos resul ta -
dos. Bazant )3| sugere, para essa constante, valores en
tre 0.00274 e 0.00137, ou se ja , bem menores. Acontece que,
com esses va lores, as curvas de f luência têm um crescimen-
to muito lento e , como será v i s t o , posteriormente, no cap£
tulo 7, o valor encontrado no ensaio e maior que os sugeri^
92
dos por Bazant. Para o valor l imi te da função de f luên-
c i a , C^, também foi u t i l i zado o proposto por Arutyunyan,
para T , = 28 dias.
Jâ, para a solução numérica, subst i tui -se d i -
retamente a função de fluência proposta por Dischinger,
3 . 6 . 1 . 6 , em 5.2.7 e 5 . 2 . 8 . Os resultados encontrados são
apresentados na tabela 5 . 2 . 1 , para uma função que deterrai
na o intervalo de tempo do tipo 4 . 3 . 1 , onde a = l e A = 7 .
Nota-se que os valores obtidos são de muito boa aproxima-
ção, com os obtidos analit icamente.
Analisando-se as figuras 5.8 e 5 .9 , observa-
-se que as tensões i n i c i a i s no concreto, a ( T , ) , são rapi
damente reduzidas e o aumento da taxa de armadura longi-
tudinal leva a um atenuamento dessas tensões. Para o
aço, a inf luência da taxa de armadura, confirmando a aná-
l ise f e i t a pela proposta de Arutyunyan, ê mais importan-
te na proporção inversa de u, Nota-se que, pela proposta
de Dischinger, houve em comparação a Arutyunyan, um maior
incremento nas tensões do aço e, uma menor atenuação nas
tensões do concreto.
Nas figuras 5.10 e 5.11 apresenta-se a variação
das tensões para diferentes idades de carregamento, % ( T J ) ,
com uma taxa de armadura v = 2%. Observa-se que, quanto
maior a idade de carregamento, menor a inclinação i n i c i a l
da curva, menor o valor da atenuação das tensões no con-
creto e maior a do aço. Com o envelhecimento, nota-se uma
diferença muito grande nos valores l imites das tensões. p£
ra T , = 1 2 0 dias, a atenuação das tensões no concreto é
muito pequena. Este aspecto vem confirmar o problema da
subestimaçao dos efeitos da f lu tnc ia para concretos enve-
lhecidos, pela teoria de Dischinger.
1.0o.»a«0.T-
o.»os]
ob( t )
ob(28)
u = 1 %
28 45 70 90 130 Í ÍÕ 210 250 300 360t(dias)
Figura 5.8 - Variações das tensões no concreto com o tempo t, obtidas numericamente pela propostade Üischinger, para T-J=28 dias e u dado.
oa(28)
y =3X
28 49 70 SO 13O iéõ 210 25O 300 360t(dias)
Figura 5.9 - Variações das tensões no aço com o tempo t, obtidas numericamente pela proposta deDiscninger, para T , = 2 8 dias e v dado.
1.5
10-09-
O»-
0 7
O.«
05-I
28 60 120
0.70 0.860.97i I
28 60 120 180 250 300 380 t(dias)
Figura 5.10 - Variações das tensões no concreto com o tempo t, obtidas numericamente pela propostade Discninger, para r^=2B, 60 e 120 dias e \i=2%.
2.5011.72 1.15
120 180 250 300 380 t(dias)
Figura 5.11 - Variações das tensões no aço com o tempo t, obtidas numericamente pela proposta deOischinger, para ^=28, 60 e 120 dias e M-Z%.
95
VALORES
C(t
t
dias
28354249566370778491
119147182238294364
a
YUMÍRICOS
> THh
a a ( t ) / a a ( 2 8 )
ti=1,0%
1.001.321.581.791.962.102.222.312.392.452.622.702.742.762.772.772.77
U-1.5S
1.001.301.551.741.902.032.132.222.292.352.492.562.602.622.632.632.63
p=2,0%
1.001.291.521.701.841.962.062.142.202.252.382.452.482.502.502.502.50
p=2,5S
1.001.281.491.661.801.911.992.062.122.172.292.342.382.392.392.402.40
y=3,02
1.001.261.471.631.751.851.942.002.052.102.212.262.282.302.302.302.30
p=l,O%
1.000.970.940.920.900.890.880.870.860.850.840.830.830.820.820.820.82
p=l,5«
1.000.950.920.890.860.8S0.830.820.810.800.780.760.760.760.760.760.76
a A=7,
t)/ob
;F2,0%
1.000.940.900.860.830.810.790.770.760.750.720.710.700.700.700.700.70
0 -
(28)
y=2,5£
1.000.930.880.830.800.770.750.730.720.710.680.660.660.650.650.650.65
(a)
1,0
P=3,0«
1.000.920.860.810.770.740.720.700.680.670.640.620.610.610.610.610.61
VALORES ANALTTICOS (b)
28
42
91
182
364
a
1.00
1.58
2.45
2.74
2.77
2.77
1.00
1.55
2.34
2.60
2.63
2.63
1.00
1.52
2.25
2.48
2.50
2.50
1.00
1.49
2.17
2.37
2.40
2.40
1.00
1.47
2.10
2.28
2.30
2.30
1.00
0.94
0.85
0.83
0.82
0.82
1.00
0.920.800.760.760.76
1.000.900.750.700.700.70
1.000.880.710.660.650.65
1.000.860.670.620.610.61
Tabela 5.2 - Valores obtidos pela resoluçãonumérica (a) e analTtica (b)do exemplo 2, com a propostade Dischinger, para ^ = 28 dias.
96
C(t. i ) =
$(T) = A,
t
(dias)
28354249566370778491
119147182238294364a
°aU)vv
1.001.321.581.781.952.082.192.282.352.412.552.612.632.652.652.652.65
• (x) (
P=145%
oa(t)
1.001.301.541.731.882.012.102.182.242.292.402.452.472.482.482.482.48
1 - e)
D
V»=2,0%
oa(t)
1.001.291.511.691.831.942.022.092.142.182.272.322.332.342.342.342.34
<t-0
H=2,5%
ga(t)
1.001.271.491.651.781.881.952.012.062.102.182.212.222.222.222.222.22
T[I"
'i=3,0%
°a(t)
1.001.261.461.621.731.821.891.951.992.012.092.112.122.122.122.132.13
J:=MI
K=1,0»/
$T>1.000.970.940.920.900.890.880.870.860.860.840.840.840.830.830.830.83
A=7,
^ = 28 dias
b(t)°b(Ti)
1.000.950.920.890.870.850.830.820.810.810.790.780.780.780.780.786.78
U=2,0S
,ob(t)3b(Ti)
1.000.940.900.860.830.810.790.780.770.760.740.740.730.730.730.736.73
0 a
P=2,5%
obit)OLJ T » I
Q\ * 1/
1.000.930.880.840.800.780.760.750.730.720.700.700.690.690.690.690.69
=1,0
P=3,0%
ab(t)
1.000.970.860.810.730.750.730.710.700.690.670.660.660.660.660.660.66
(b )
t
28 dias1,5 meses
3 meses
6 meses
1 ano
a
1.00
1.65
2.40
2.63
2.66
2.66
1.00
1.63
2.28
2.46
2.48
2.48
1.00
1.60
2.18
2.33
2.34
2.34
1.00
1.56
2.09
2.22
2.22
2.22
1.00
1.54
2.02
2.13
2.13
2.13
1.00
0.93
0.86
0.84
0.83
0.83
1.00
0.91
0.81
0.78
0.78
0.78
1.00
0.88
0.76
0.73
0.73
0.73
1.00
0.86
0.73
0.69
0.69
0.69
1.00
0.84
0.69
0.66
0.66
0.66
(a )
Tabela 5.1 - Va lo res o b t i d o s pe la r eso lução numér ica
( a ) e a n a l í t i c a (b) [1 ] , do exemplo 2 ,
com a proposta de Arutyunyan, para T , = 2 8 dias.
97
5.3 - Exemplo 3 - Tubo Submetido 5 Pressão Interna
Considera-se, agora, um tudo de concreto ar-mado, no qual atua uma pressão radial uniforme P, aplica-da sobre a superfície interna, de raio a. Considera-se aarmadura como uma camada, de espessura 6, justaposta ã SJJperfície externa do concreto. A ãrea de aço na direçãolongitudinal do concreto armado do tubo i Fa.
Quando a camada de aço e concreto atuam jun-tas, forças recíprocas surgem entre elas, na forma de fojrças radiais, q(t), as quais agem em um comprimento unitãrio do círculo com r = b. No caso, por simetria, as ten-sões tangenciais, em qualquer ponto da superfície de con-tato do aço e do concreto, serão sempre nulas. Diagramasteóricos das tensões atuantes são mostradas na figura 6.13.
Considera-se o problema de Lame para cada cama da, separadamente, sob a influincia de P-. e q(t). Astensões <>b<t(t) e o b r ^ ) e os deslocamentos radiaisv. .(t), na camada de concreto, são expressas em função deP1 e q(t), pelas seguintes fórmulas |1|:
P1 . a - q(t) . b
r . In (b/a)
.a a-pi - q(t) • b
r r . In (b/a) ' 1 n r / a
vb(t) =V1 . a P i - q ( t ) . b
E(t) In ba
(5 .3 .1 )
e, na camada correspondente ã armadura,
q(t) . (5.3.2)
98
Figura 5.12 -Tubo de concreto armado submetido a uma
pressão in te rna constante (a) no qual
a armadura é representada por um tubo de
aço de espessura à
ob<í,(t)
obr(t
(a)
q ( t )
F igu ra 5 .13 - D i a g r a m a s t e ó r i c o s dos e l e m e n t o s de a ç o ( a ) e
c o n c r e t o ( b ) do t u b o .
99
onde E, e o módulo de elast icidade da armadura, 6 a es-a
pessura reduzida da armadura, v, o coeficiente de Poissondo concreto. Pata determinar-se a deformação radial noconcreto armado, quando ocorre fluência, utiliza-se umaexpressão do tipo
= a b f(t) - *, a b r(t) _
* E(t)
-5- D ( t . t ) dx ( 5 . 3 . 3 )O T
Por outro lado, a condição de compatibilidade
de deformação i expressa para r=b por:
- ea^(t) (5.3.4)
para qualquer t > -r,. A função de fluincia I expres^sa, genericamente, conforme 3.6.1.4 ou 3.7.1.10 por
D(t,t) = —!— + C(t, x) (5.3.5)E(T)
Utilizando-se a condição de compatibilidade5.3.4, o conjunto de equações 5.3.1 e 5.3.2, obtlm-se de5.3.3, após algumas transformações:
F . a . P . [ m ( T , ) + E C ( t , T . ) ]q ( t ) = - 2 3 ] 3 L _ +
L( )
+ Ea
Fa n - y , In 6] f q(t) -2- P-+C(t,T)l-±-
JTI 3-t L E ( 0 J (t)
(5.3.6)
onde
100
C2 In B + Fa . b . m(t) [1 - Y ] In 6]
6 = b/a
C = b + 5/2 (5.3.7)
Eam(t)
E(t)
Desta mane i ra , o problema da determinação de
q ( t ) no tubo de concreto armado, sobre a i n f l u e n c i a de uma
pressão i n t e r n a constante , P , , e as considerações de f l u -
ê n c i a , requerem a solução da equação i n t e g r a l 5 . 3 . 6 , que
é do t i p o 4 . 2 . 3 , onde,
K ( t , i ) = í 2- p - + C ( t , T ) lLj ( t ) 3T L E ( T ) J
h ( t ) = Fa . a . P1 [ m ( T l ) + Ea C f t . t j ) ] ( 5 . 3 . b ;
xo " Ea Fa b< ] * Yl ln ^
que, pode ser resolvido diretamente pela subrotina INTE-
GRA. Apôs as forças q(t) serem encontradas, as tensões
e deslocamentos, no tubo de concreto armado, são determi-
nadas por 5.3.1 e 5.3.2.
5.3.1 - Resolução pela Proposta de Arutyunyan
Utilizando-se a função de fluência proposta
por Arutyunyan, 3.7.1.8, na equação integral 5.3.6, e
considerando-se as mesmas características propostas no
exemplo 2, com o módulo de elasticidade do concreto cons-
tante e igual a Eo, e uma função para determinação do ta-
manho do intervalo 4.3.1 pode-se obter q(t). Neste caso,
101
as fo rças q ( t ) v a r i a r ã o em função de quat ro parâmetros:
o tempo t ; a idade de carregamento - r , ; o c o e f i c i e n t e 8 =
b / a , que , na r e a l i d a d e , dá uma i d é i a da taxa de armad^
ra ( c o n s i d e r o u - s e C = b ) ; e a razão ô / b .
Como p r i m e i r a a n a l i s e , f i x o u - s e a idade T . em
28 d i a s , a razão ô/b em 0 . 0 0 2 e , f e z - s e v a r i a r o tem-
po t , para alguns v a l o r e s de b / a . As tensões ob t idas e s -
tão apresentadas na t a b e l a 5 . 3 , d i v i d i d a s pelo v a l o r i n i -
c i a l da t e n s ã o , o b * ( T i ) » u t i l i z a n d o - s e uma função que de?
termina o tamanho do i n t e r v a l o do t i p o 4 . 3 . 1 , com a = 3 ,0
e a = 1 , 0 .
Ao lado dos v a l o r e s ob t idos numericamente, na
t a b e l a 5 . 3 , estão colocados alguns obt idos de forma anal j í
t i c a , por Aru tyunyan , reso lvendo a equação 5 . 3 . 6 , com o
a u x i l i o de uma função gama i n c o m p l e t a . Novamente, a apro
ximação o b t i d a é muito boa.
Na f i g u r a 5 .14 e s t á p i o t a d o a razão e n t r e a
tensão no c o n c r e t o , oj, ( t ) , e a tensão i n i c i a l , o b ( T ^ ) ,
pelo tempo após a carga t , para T , = 2 8 d ias e 5/b=0.002.
Nota -se que , as tensões no concreto são mais atenuadas quan
to maior a taxa de armadura . Logo, a deformação l e n t a
tem uma grande i n f l u ê n c i a em tubos de p a r e d e - f i n a , para
uma dada razão ó / b .
Na t a b e l a 5.4 apresentam-se as tensões no
aço e no c o n c r e t o , o b t i d a s numericamente para ô / b = 0 . 0 0 2 ,
e para um tempo t i n f i n i t o , v a r i a n d o a idade T , de c a r -
regamento e o v a l o r de 8 . No caso, f o i u t i l i z a d a uma fuji
ção para determinação do tamanho dos i n t e r v a l o s do t i p o
4 . 3 . 1 , com i n t e r v a l o s c r e s c e n t e s , onde A = 1 e a = l , 2 . Tam
bêm são apresentados os v a l o r e s ob t idos a n a l i t i c a m e n t e por
Arutyunyan
102
C(t
• M
(dias)
28
31
34
37
40
43
46
49
61
70
90 *124
180 *
360
a
.T) = •
= y-.B =y =
[T) |l-i+ Co
= 1.1= 2.2%
ojj (t)/ot). (28)
Numé-rico
1.000.970.950.920.900.89
0.870.860.81
0.790.750.730.73
0.730.73
Analí-t ico
1.00-
-
-
-
-
-
-
-
-
0.76-
0.730.73
0.73
(t-t),
B =n =
T|I|:»i
6/b = 0
= 1.2•• \.Z%
V t ) A V 2 8 )
Numé-rico
1.000.980.970.960.94
0.930.92
0.910.89
0.870.850.830.830.830.83
Analí-tico
1.00-
-
-
-
-
-
-
-
-
0.85-
0.83
0.83
0.83
>(I-Da
002 i
B =
&=3
1 = 28 <
1.31.87%
Numé-rico
1.000.990.980.970.960.950.940.940.920.900.890.870.87
0.87
0.87
Ana l í -tico
1.00-
-
-
-
-
-
-
-
-
0.89-
0.870.870.87
a = 1,0lias
Í3 =P =
1.50.6%
a DA(* ) / 0 b* (28)
Numé-rico
1.000.990.990.980.970.970.960.960.94
0.940.92
0.91
0.91
0.910.91
Analí-t ico
1.00-
-
-
-
-
-
-
-
-
0.92-
0.91
0.910.91
* 0 valor aos 90 dias e 180 dias foram calculados com
Tabela 5.3 - Valores obtidos pela propostade Arutyunyan, por resoluçãonumérica e a n a l í t i c a 1 l i , do
exemplo 3 , com ó/b > 0 . 0 0 2 e
T I = 28 d i a s .
1
O.9
0.8
0.7
06
0.5
-=0.(
u=l
VJ=2.2%
28 50 70 90 120 180 2 50 3 6 0 t (d ias)
Figura 5.14 - Variação nas tensões do concreto com o tempo t , obtidas numericamente pela proposta deArutyunyan, para x-, = 28 dias e v dado.
(04
C(t,T) = • ( T ) ( 1 - i Y ( t " T ) ) T|I
• (T) = A, A • CQ
T1
(dias)
3
7
14
28
B = 1 . 1V = 2 . 2 %
°b* H%(*1>
0.39
0.60
0.68
0.72
% M%( T i )
3.87
2.90
2.51
2.32
B = 1.2\i = 1 . 2 %
ab4(n)0.60
0.74
0.79
0.Ò2
% M%(Tl)
4.65
3.36
2.87
2.63
:=&( I - l ) a A= 1 a = 1,2
t = - fi/b = 0.002
B = 1.3u = 0.87%
% ('")
°bé(Ti)
0.69
0.80
0.84
0.87
% (")ca*(Ti)
5.00
3.57
3.03
2.76
6 = 1.5U = 0.60
% H
0.79
0.86
0.89
0.91
% ( T l )
5.33
3.77
3.18
2.89
(a)
C(t
6/b
T i
(dias)
3
7
14
28
, T ) = * ( T ) ( 1
= 0.002
6 = 1.1l i = 2 . 2 %
ob,}, H
0.39
0.61
0.69
0.73
3.89
2.86
2.48
2.29
. 5 T ( t
B =v =
0.60
0.74
0.80
0.83
1.21.2%
4.65
3.83
2.84
2.59
B = 1.3v = 0.87%
0.71
0.81
0.85
0.87
° a * ( a> j4.83
3.46
2.95
2.73
B =u =
1.50.6%
abi(T l l"Sa. i l l
0.79
0.87
0.89
0.91
5.28
3.73
3.14
2.89
(b)
Tabela 5.4 - V a l o r e s o b t i d o s p e l a p r o p o s t a de A r u t y u n y a n p o r
resolução n u m é r i c a ( a ) e a n a l T t i c a ( b ) 1 . 1 , do
exemplo 3 , com ô /b = 0 . 0 0 2 e t = » .
105
Observa-se que, para uma mesma taxa de arma-
dura, as tensões no concreto são mais atenuadas para con-
cretos de pouca idade. As tensões o <{>(t), do aço, para
uma mesma taxa de armadura, tem um maior crescimento para
concretos carregados com pouca idade. Ja para uma mes-
ma idade de carregamento, estas tensões tem um crescimen-
to maior para baixas taxas de armadura.
5.3.2 - Resolução pela Proposta de Dischinger
Novamente, necessita-se primeiramente, da re-solução analítica para, posteriormente, comparar-se comos resultados numéricos. Para tanto, substituiu-se os va_lores da função de fluincia C(t,t), úe 3.6.1.5, em 5.3.6, obtendo-se:
( „/ \ > r -V(T,-T ) -v(t-T,)
(5.3.2.1)
onde, fb(t) e A Q , são definidos como em 5.3.8.
Diferenciando esta equação com relação a t,
para o caso em que o módulo de elasticidade do concreto
i constante e igual a E Q, obtém-se a seguinte expressão:
v . Cro . F . F b(l -Y, In B)i V ( t" T o )
q(t) + 2 S 3 q ( t) *
hv . C . . E . F . a . P, - v ( t - T )
= ^ 1 L e ° (5.3.2.2)
Ll
onde
L1 = C nn 8 • F j . b . m |1-v 1 in e (5.3.2.3)
106
m = E a/E Q (5.3.2.3)
A expressão 5.3.2.2 i a equação diferenciallinear, correspondente ao problema proposto, coro conside-ração de fluincia e modulo de elasticidade do concretoconstante.
De 5.3.6 retira-se a seguinte condição ini-cial :
F a . P, . mq( T l) = -J ! (5.3.2.4)
Resolvendo a equação diferencial correspondedte com essa condição inicial, obtém-se, para q(t):
a P, rFa . m . b (1 - y, In 6) - Lin
q(t) * íl + -5 ! M .b(l - Y 1 In 6) L In L1
J
v(Ti - T o ) . ; v ( t -
e(5.3.2.5)
As tensões no concreto, obtidas na solução analTtica, com o auxTlio da expressão 5.3.2.5, para x, - 28dias, a razão 6/LJ=O.OO2 e, variando o tempo t para al-guns valores b/a, estão apresentados na tabela 5.5, divi-didas pelo valor inicial da tensão °b,t(Ti)' *s constan-tes da teoria, dependentes do concreto utilizadas, foramas mesmas do exemplo anterior.
Ao lado dos valores obtidos anal 1ticamente e£tão colocados, na tabela 5.5., os obtidos pela resoluçãonumérica do problema, com uma função que determina o ta-manho do intervalo de tempo do tipo 4.3.1, com A = 3,0 ea1 = 1,0. A aproximação obtida i bastante boa. Como erade se esperar, as tensões no concreto são mais atenuadas
107
C(t,T) = Ca, i^Tl-To) ( 1 . ^ ( t - r , ) , T [ l l :=a( I - l ) a
A = 3 a =1,0 6/b=O.OO2 Tj=28
t
(dias)
28
31
34
37
40
43
46
49
61
70
91
124
181
360
a
3 = 1.1u = 2.2X
<V t ) AV2 8 )
Numéri-co
1.00
0.97
0.94
0.91
0.88
0.86
0.84
0.82
0.77
0.74
0.69
0.66
0.64
0.63
0.63
Anallytico"
1.00
0.97
0.94
0.91
0.88
0.86
0.84
0.82
0.77
0.74
0.69
0.66
0.64
0.63
0.63
3 = 1.2v = 1.2%
V t ) A V 2 8 )
NumériCO
1.00
0.98
0.96
0.95
0.93
0.92
0.91
0.90
0.86
0.84
0.81
0.79
0.77
0.77
0.77
Anal2tico
1.00
0.98
0.96
0.95
0.93
0.92
0.91
0.90
0.86
0.84
0.81
0.79
0.77
0.77
0.77
3 = 1.3y = 0.87*
Vt)/%(28)
NuménCO
1.00
0.99
0.97
0.96
0.95
0.94
0.93
0.92
0.90
0.88
0.86
0.84
0.83
0.83
0.83
Anali-tico
1.00
0.99
0.97
0.96
0.95
0.94
0.93
0.92
0.90
0.88
0.86
0.84
0.83
0.83
0.83
3 = 1.5p = 0.61
<V t ) AV2 8 )
Numériro
1.00
0.99
0.98
0.97
0.97
0.96
0.95
0.95
0.93
0.92
0.90
0.89
0.88
0.88
0.88
Anali-cico
1.00
0.99
0.98
0.97
0.97
0.96
0.95
0.95
0.93
0.92
0.90
0.89
0.88
0.88
0.88
Tabela 5.5 - Valores obtidos pela proposta de Dis-
chinger, por resolução numérica e ana_
i T t i c a , do exemplo 3 , com <5/b = 0.002
e T 1 » 28 d ias .
108
quanto maior a taxa de armadura. Na tabela 5.6 estão apre
sentadas as tensões tangenciais no aço e no concreto, pa-
ra ó/b=0.002, para um tempo t infinito, variando a ida-
de Tj de carregamento e o valor de 8, obtidas numerica-
mente, com a mesma função para determinação do tamanho do
intervalo.
As conclusões obtidas, genericamente, são as
mesmas da proposta de Arutyunyan mas, com o envelhecimen-
to, exi'te uma menor influência dos efeitos da fluincia
verificados pela teoria de Dischinger.
(aias)
3
7
14
28
8 =
cb^T])
0.41
0.45
0.51
0.63
e T ] Tc
3.79
3.61
3.30
2.75
,) i -v(t-Tl)
!-"i
0.60
0.63
0.69
0.77
1,2
§34.60
4.32
3.86
3.09
T|. =A(I-1)2 A=3,0t =» 6/b =
8=1,00.002
0 = 1,3 1 e 1,5U=0.87* | p=0.60%
0.70
0.72
0.76
0.83
4.96
4.63
4.10
3,24
0.79
0.81
0.84
0.88
5.31
4.92
4.32
3.36
Tabela 5.6 - Valores obtidos pela pro-
posta de Dischinger, por
resolução numérica do exem
pio 3, com 6/b = 0.002 e
t « ».
109
CAPÍTULO 6
EISAI05
Con a finalidade de comparar as propostas, ana-lisadas no Capitulo 3, foram realizados ensaios de relaxa-ção e fluência.
6.1 - Concreto e Corpos de Prova
Para os ensaios realizados foi uti l izada a mis-tura 1:2,36:2,88, em peso, com fator ãgua-cimento iguala 0,58 e o fator água-materiais secos de 93%. 0 cimentoutilizado foi o Portland Pozolâmico de 320 kg/cm , cujascaracterísticas estão na tabela 6 . 1 .
Finar*
rts*
t ipann-kil idlde
Iksisttnci**
cavrtuío
rcsTdwo retido na peneira normal de 0.075«wde abertura: 3.S5J
inicio: 3M5ml»f i a : 8k3S«in
a f r io : 0.Z Ma quente (S Kor í í ) : 0.0 Ml
ArgaMSM noru l plásticaobtida con 0 ,« í l ca3 d«*)ua por grana dt ciMitto
Ida*dias
37
2»
Pa>dia d e t CP(Wat)
152205X7
Tabela 6.1 - Caracter ís t icas do cimento
A are ia de procedência do r io Guaíba e a b r i t a
do t ipo "um", :.w origem g r a n í t i c a . A granuiometria da areia
e b r i t a é apresentada na tabela 6 . 2 .
110
Peneiras -AberturasRoainais
•
1 Ir
tta
|
Materialreti40
sm
rcttdt
•OAlUltl
Materialm i ao
ertciíi
acwaulada
n 50 38 25 1»
!71.0
46
46
, . 5
31U
53
99
4.8
6.5
1
1
S.0
1
100
Z.4
24.0
Z
3
100
1.1
39.5
4
7
100
0.6
81.5
t
15
100
0.3
JSttl
37
52
100
3.15
481(1
46
98
100
D. IS
2X0
Z
100
100
1noj
100
í »
ws
100
74$
H2 o
1 . »
7.45
2.4
2$
Sitc" S
Z.6Z
2.60
Tabela 6.2 - Características da areia e brita
Os corpos de prova, utilizados no ensaio propri£mente dito, eram cilíndricos, com 10 cm de diâmetro e 27cnde altura, moldados em fôrma feita com P.V.C. Foram molda-dos dez corpos de prova com essas características para se-rem utilizados da seguinte forma: dois para o primeiro en-saio de fluência; dois para o segundo ensaio de fluência;dois para o ensaio de relaxação e os outros quatro para con_trole. Esses corpos de controle foram utilizados na medi-ção das deformações de retração no concreto, nas mesmas con_dições ambientais do ensaio. A cura dos corpos de prova sefez no ar, a temperatura ambiente, dentro da forma de P.V.C,sendo impermeabilizados na face superior com uma camada decera, imediatamente após a moldagem. No vigésimo dia, exe-cutou-se a desmoidagem e iniciou-se a preparação dos corposde prova para o ensaio.
Juntamente com esses dez corpos de prova, para
o ensaio, foram moldados mais dez, com 15 cm de diâmetro e
30 cm de altura, para determinação das demais característi-
cas do concreto. Esses dez corpos de prova foram utiliza-
Ill
dos da seguinte forma: quatro para o ensaio de compressão
simples; quatro para o ensaio de compressão diametral e dois
para determinação do módulo de elasticidade. Foram curados
submersos em água a temperatura ambiente, aí colocados um
dia após a moIdagem.
6.2 - Sistema de Aplicação e Manutenção da Carga
0 pórtico de carga utilizado para os ensaios
de fluencia, figura 6.1, constava basicamente de três bar-
ras de aço, com diâmetro de 1,9 cm, e três placas, também de
aço, com diâmetro de 20 cm. Na parte superior foi instala-
do o cilindro do macaco hidráulico para aplicação da carga.
0 cilindro foi fixado com rosca e, também, com uma porca de
segurança na outra face da placa. Na extremidade do cilin-
dro, foi colocado, sob pressão, um adaptador de aço, com a
finalidade de encaixar a esfera de centralização. A esfera
de centralização superior, assim como a inferior, foi fixa-
da em uma placa de centralização colada ao corpo de prova.
A centralização da carga é muito importante em um ensaio de
fluencia, devido ãs leituras das deformações. Ma parte in-
ferior do pórtico havia duas placas, a primeira com a fun-
ção de aplicação da carga e, a segunda, servia apenas para
0 enrigecimento do pórtico. Na figura 6.1 são também apre-
sentadas as dimensões dos elementos do pórtico de carga.
0 sistema de aplicação da carga propriamente
dito, nos ensaios de fluencia (figura 6.2), tinha a finali-
dade de aplicar e manter automaticamente uma carga constan-
te a um nível desejado. Era composto de uma bomba hidráu-
lica intensif icadora conectada a uma fonte e a um cilindro.
Entre a fonte e a bomba foram instalados dispositivos de
filtragem, reguiagem e medição do fluido e entre a bomba
e o cilindro apenas de medição. A saber:
1 - Fonte - Inicialmente utílizou-se como fonte um compres-
112
cotas em centímetros
00
(O
2700
S i *
z oc
- r l r c c superior- : J : r£ de- í ,e2J i 'êr iCc
~ f ^ f t i ' c de c t - n t r é V t i r ç s o s u p e r i o r
:~:-:Cc Ü5 C 6l"it r õ l 1.'ÔCÔC 5-Lpe i""i Or
- •.; - D : > ; :•; c v £
c o r p o de p rove
p l a c a de c e n t r a l i z a ç ã o i n f e r i o re s f e r a de c e n t r a l i z a ç ã op l a c a i n f e r i o rp l a c a de e n r i o e c i n t n t opercas
F i g u r a 6 . 1 - P ó r t i c o de c a r g a u t i l i z a d o n o s e n ? a i o s ,
com d i m e n s õ e s de s e u s e l e m e n t o s
s o r de a r . Como s u a v i b r a ç ã o a f e t a v a o u t r o s e n s a i o s q u e es_
t a v a r r , s e n d o r e a l i z a d o s , t e n t o u - s e a u t i l i z a ç ã o de t u b o s de
g á s c o m p r i m i d o , n i t r o g ê n i o . M a s , q u a l q u e r v a z a m e n t o que hoju.
v e s s e no s i s t e m a , e s g o t a v a o g ã s em p o u c o s d i a s . D a í , v o l -
t o u - s e n o v a m e n t e a u t i l i z a ç ã o de um c o m p r e s s o r de a r , m a s ,
a g o r a , c o l o c a d o s o b r e uma b a s e q u e r e d i z i a a v i b r a ç ã o t r a n s
mi t i da .
2 , 3 , 4 , 5 - Um s i s t e m a c o m p o s t o p o r um f i l t r o d e a r ( 2 ) , uma
v á l v u l a de e s t a b i l i z a ç ã o da p r e s s ã o ( 3 ) , q u e man t i n h a a pres_
s ã o a um n í v e l p r é - e s t a u e l e c i d o , a p e s a r d a s p e r d a s q u e p o r -
v e n t u r a e x i s t i s s e m n o s i s t e m a , u n o v á l v u l a de s e g u r a n ç a ( 4 )
e um rcènôrretro de c o n t r o l e ( 5 ) .
113
6,7 - Disposit ivos de acionamento da bomba.
8 - Bomba - Bomba hidro-pneumãtica ENERPAC PA-130.
9 - Válvula da bomba - Válvula acoplada ã bomba que possibi^
l i t a v a manter a pressão já aplicada em caso de avarios no
sistema.
10 - Mancmetro da bomba - Manõmetro também acoplado ã bomba
com a f ina l idade de medir a pressão de saída do f lu ido e ,
consequentemente, a carga aplicada no c i l i n d r o .
11 - Mangueiras para f lu idos sob-pressão - Mangueiras espe-
c ia is para circulação de f luidos sob pressão. Entre a bom-
ba e o c i l i ndro ( H a ) o f lu ido u t i l i z a d o fo i Óleo, enquanto
que, entre a fonte e a bomba ( l i b ) foi u t i l i z a d o ar compri-
mido.
12 - C i l indro de aplicação da carga - ENERPAC, referencia
RC 106, com capacidade para 10 t .
Esse sistema todo poderia produzir uma pressão
entre 0 e 1,01 MPa, v a r i á - l a ou mantê-la f i x a , apesar das
perdas, em qualquer valor dentro desta f a i x a . A foto 6.1
mostra o sistema (2 a 5) do f i l t r o , válvula de e s t a b i l i z a -
ção de pressão, válvula de segurança e manõmetro de contro-
l e . Nota-se ainda o t ipo de conecção u t i l i z a d a nas manguej.
ras.
Na foto 6.2 aparece o macaco h idráu l ico com-
p l e t o , com a bomba (8) , o c i l indro de aplicação da carga (12),
a válvula (9) e o manõmetro da bomba ( 1 0 ) .
0 pórt ico de carga, para o ensaio de relaxação
f igura 6 . 4 , era composto, também, por três barras de aço,
com diâmetro de 1,9 cm, mas com quatro placas de aço com diâ_
metro de 20 cm. Na parte superior do pórt ico foi instalado
o c i l i n d r o do macaco h id ráu l i co , entre duas placas: a supe-
r i o r de reação e, a in fe io r de a jus te . A placa de a jus te ,
f ia
DC C M M
F igu ra 6.2 - Sistema de a p l i c a ç ã o e manutenção da
carga no 19 ensa io de f l u ê n c i a
115
IO
o+Jo
--I-'"
CM
VO
O+Jo
116
transmitia a carga através da esfera de centralização supe-
rior a um adaptador da célula de carga e, consequentemente,
ao corpo de prova. Na parte inferior havia duas placas: a
primeira de aplicação da carga e, a segunda para enrigeci-
mento do pórtico. Foram afixadas ao corpo de prova duas
placas de aço, uma em cada extremidade, de igual diâmetro,
para a centralização da carga.
3.90
2000
3-SO\so
2O.OO
9.9O
placa de central superiormassa plástica
corpo de provasuperior
massa plásticapastilhas
massa plásticaplaca de centralização inferior
Figura 6.3 - Disposição das pastilhas para medição
das def. lentas com elongametro.
A tensão aplicada era mantida pelo segundo gru-
po de três porcas (de cima para baixo). Estas porcas, tam-
bém se ajustavam ãs deformações desejadas a cada leitura,
mantendo assim, a deformação do corpo de prova constante.
0 macaco hidráulico tinha capacidade máxima de 200 kN e a
célula de carga possuía circuito auto-compensador de tempe-
ratura ligando os quatro extensômetros elétricos, tendo si-
do construída no CPGEC da UFRGS. Na foto 6.3 é mostrado o
ensaio de relaxação realizado.
117
Foto 6.3
6.3 - Sistema de Medição da Deformação Lenta
0 extensometro u t i l i z a d o nos ensaios fo i o meeis
nico, do t ipo DEMEC, mostrado na foto 6 . 4 , com as seguintes
c a r a c t e r í s t i c a s : DEMEC n9 491 , DIAL n9 199183 e precisão de
2.52 x 10" cm. Cada divisão do d ia l representa uma defor-
mação de 0.985 x I O " 5 .
Nos ensaios de f luência foram u t i l i z a d o s , em c£
da pórt ico de carga, dois corpos de prova, colados um ao
outro na base, com massa p l á s t i c a , para se obter resultados
mais representat ivos. Para e fe tuar -se as medições, nos en-
saios de f luência e relaxação, com o elongametro (extensõme_
118
Foto 6.4
tro mecânico) foram coladas com Araldite de pega normal,
três pares de pastilha em cada corpo de prova, a cada en-
saio de fluência possibilitava, então, obter seis medi-
ções, enquanto o de relaxação, três.
Os corpos de controle também foram colados dois
a dois, por facilidades operacionais e afixadas ãs pastilhas
da mesma forma que as anteriores. Observa-se, na figura 6.3,
que uma ocasional deformação diferencial na cola que unia
os corpos de prova entre si e, com as placas de centraliza-
ção, não influia nos resultados das medições.
119
yfe:: » 01
CILIhC>»0 DC MACACO HIDRÁULICO
.PPKCAS
.PLACA DE AJUSTC
- I S M R A BI CtKTIALIZAÇZO
• ADAPTADO*
LA O[ CAUSA
-PLACA
CORPO Dt PSOV»
PLACA Of Cf «TBALIZAÇIC t»H«lO»
[5rt*A OI Cf K1KALI2ACA0 ••FERIO*
PLACA DC APLICAÇlO DA C » l t
PLACA DE [NRISECIMCHTO
PORCA*
"BOMBA
Figura 6.4 - Sistema de carga u t i l i z a d o no
ensaio de relaxação, com des-
crição de seus elementos.
Cada valor computado na plani lha de medições era
resultado de t r i s medidas com o elongãmetro. Desta manei-
ra tentou-se reduzir os erros de l e i t u r a .
6.4 - Ensaios
Foram realizados três ensaios, dois de deforma-
ção lenta e um de relaxação. Ut i l izando nove corpos de pro
va, já que um dos corpos previstos para o ensaio de re la -
xação apresentou problemas de concretagem.
No primeiro ensaio de f luência foi aplicada uma
tensão de 405.80 Pa nos corpos de prova, o que representa
uma re lação; tensão apl icada, tensão de ruptura de 0 . 2 1 , em
média. Esta tensão fo i aplicada no 289 dia e mantida até
o 1049 d i a . AT, os corpos de prova foram descarregados. No
segundo ensaio de f luência apl icou-se, primeiramente, no 289
120
d ia , uma tensão de 405.80 Pa, que resultou na mesma relação
tensão aplicada e tensão de ruptura do primeiro ensaio. Um
dia após, descarregou-se os dois corpos de prova do segundo
ensaio e mediu-se a recuperação da f luência até o 509 d i a ,
quando, carregou-se novamente os corpos de prova, com a me£
ma tensão anter ior , até o 1049 dia. Na foto 6.5 observa-se
o primeiro e o secando ensaio de f luência em andamento.
Foto 6.5
0 ensaio de relaxação foi realizado apenas com
um corpo de prova, iniciando no 379 dia e terminando 65 dias
após ( f igura 6 . 4 ) .
121
Como hã grande influência da umidade e tempera-
tura nestes tipos de ensaios, e no laboratório não havia
condições de mantê-las constantes, foram utilizados quatro
corpos de controle, foto 6.6.
Além desta influência, estes corpos mediam a r£
tração ocorrida no concreto. A temperatura e umidade fo-
ram medidas e registradas continuamente, por um termômetro
e um higrõmetro.
Foto 6.6
122
CAPÍTULO 7
ANALISE DOS RESVLTADOS
Neste capitulo apresentar-se-ão os resultadosdos ensaios descritos no capitulo anterior, com os quais ipossível calcular as constantes dependentes do concreto, dasteorias de Dischinger e Arutyunyan. De posse dessas con±tantes, serão reproduzidas as curvas de fluincia segundoas duas teorias e comparadas com os resultados experimen-tais. Apresentar-se-ão, também, os resultados dos ensaioscomplementares para determinação das características doconcreto utilizado.
7.1 - Resultado dos Ensaios Complementares
Para determinação das características do con-creto utilizado, foram realizados ensaios de compressão simpies, compressão diametral e modulo de elasticidade. Os e£saios de compressão simples e compressão diametral foramrealizados aos 28 dias, enquanto que, a determinação do modulo de elasticidade foi aos 31 dias. Os resultados obti-dos estão nas tabelas 7.1 e 7.2 e nas figuras 7.1 e 7.2.
CP
CPI
CP2
CP3
CP4
idade T(dias)
28
28
28
28
resistência a ruptura(kaf/cmM
204
225
230
231
Tabela 7.1 - Ensaio de compressão simples
123
1O00.41c*97.2
CP-9
fc = 243 kgf/cnT
Ec = 271.281 kgf/craZ
ec{xl0D )
356.3 900 1O00 1900 tooo
Figura 7.1 - Curva tensão-deformação do con-
creto do CP-9.
124
oc (kgf/ci/)
wo0.41c-96.4
SO
fc = 241 kgf/cmc
Ec =295.796 kgf/cm2
e c (x l0°)
325,9 500 10O0 1900
Figura 7.2 - Curva tensão-deformação doconcreto do CP-10.
125
CP
CP5
CP6
CP7
CP8
idade T(dias)28
28
28
28
resistência - fct
19,4
22.5
18.0
23,3
Tabela 7.2 - Ensaio de compressão diametral
7.2 - Resultados dos Ensaios de Fluência
No grupo das tabelas A . l , do apêndice, são apre_
sentados os valores obtidos através dos ensaios. Observou-
-se que existem discrepãncias razoáveis entre esses valo-
res. Procurou-se, primeiramente, encontrar um valor médio
de l e i t u r a para cada ensaio. Para tanto , u t i l i z o u - s e uma
regra ]13J de re je ição de valores extremos nas l e i t u r a s .
Supõe-se que, os valores l i d o s , x. . , nos controles i e nos
dias j , estão distr ibuídos de acordo com uma d is t r ibu ição
normal, com uma média H. . e um desvio padrão estimado S . . .
Os valores da média e do desvio padrão também estão apre-
sentados no grupo de tabelas A. l do apêndice. í possível
que determinados os valores extremos, x . . , não pertençam ã
curva normal, A regra u t i l i z a d a para essa ver i f icação fo i
a de Dixon 113 f que d i z :
"Seja x , , . , x , ~ , , . . . , x, * valores ordenados
de m observações. Para determinar-se o maior valor não per;
tencente á d is t r ibuição normal ca lcula-se:
l ,0 ' x{m-l)]'Cx(m) "
o qual é comparado a um valor c r i t i c o , de um determinado ní
vel de probabilidade pré-estabelecido. Da mesma forma pa-
126
ra determinar-se o menor valor não pertencente ã distribui^
ção normal ca lcu la -se:
r l , 0 = 0 ( 2 ) " x ( l ) ] / l > ( m ) " x ( l ) l < 7 - 2 - 2 >
e se compara, também, com o valor critico da tabela".
No caso, foi escolhido um valor crTtico que co£responde a uma probabilidade de 5% para que os valores nãopertençam ã distribuição normal. 0 valor retirado da tab£Ia |13| para r, Q foi de 0,560. Se r, Q calculado formaior que o valor tabelado, então se rejeita o valor x. .ou x,,,. Ao se rejeitar um valor calcula-se uma nova mé-dia e um novo desvio padrão.
Üutra análise realizada foi a da possibilidade
de calcular apenas uma média dos valores medidos nos corpos
de controle. Como os valores medidos x, . e x, . depen-
dem do tempo, o problema consiste na combinação de duas fun-
ções de tempo, sujeitas a variações aleatórias. Não obs-
tante, examinando os valores das médias calculadas (tabela
A.1.3 e A.1.4 do apêndice), nota-se que, a grande maioria
de'ias não diferem dentro dos erros observados por S-, . e
S9 .. Pode-se pois, aplicar uma regra simples, não muito'» J
rigorosa, que consiste em checar um valor K,, para cada
dia j.
( 7 . 2 . 3 )
- 9 7
onde S. e a media ponderada de S^ j e Si *, isto é
J + S2 jsJ £_ii_ (7.2.4)
127
Como, em geral, S, . = S~ . e m, = m, = 6 , vem• »J £ >j • c
K, = - ^ ^ í (7.2.5)
Sj /T7T
p a r a um n í v e l 0 . 0 5 de p r o b a b i l i d a d e , K. > 2 . 3 p a r a que
assejaas médias X, , e L . difiram significativamente, ou
1 » J £ • J
' * l . j ' X 2 , j ' > K 3 3 S j ( 7 - 2 - 6 )
Aplicando-se a regra observou-se que em algu-mas poucas leituras as médias diferem significativamente.Portanto, resolveu-se calcular a média dos valores obtidosatravés dos ensaios nos dois corpos de controle.
A média calculada foi abatida dos valores l i -dos nos corpos de prova, a fim de suprimir desses valoresos efeitos da retração, da temperatura e da umidade.
Graficando os valores lidos nos ensaios e noscorpos de controle tem-se as figuras 7.3 a 7.6. Na f igu-ra 7.4 está graficado também a variação da umidade relatj^va e temperatura ocorrida durante o ensaio. Observou-se umainfluência mais marcante e definida da umidade relat ivanos valores l idos, ou seja, com o aumento da umidade rela-tiva houve uma diminuição dos valores lidos e vice-versa.Este comportamento verificado vem a confirmar resultadosobtidos por 1>oxe11, Raphael e Davis j 231 que estudaram afluênda de corpos a distintas umidades relativas constan-tes. Salienta-se que, no caso dos ensaios realizados, aumidade relativa variou e de maneira bastante rápida, maso comportamento geral observado foi o mesmo.
soo
too
no
i
e(xlO"6)
«0 1 0
• • • *
so
*
4 0
. . . .
SO • 0
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(a)
• ••* *
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400 101
too
wo
-10©
(. diae ( x l O " 6 )
( b )
10 *0 29 >ô 40 so «o 70 ao »o «oo inn
di a
Figura 7.3 - Midi a dos valores medidos nos corpos de controle:(a) corpos 3 e 8; (b) corpos 1 e 10.
f\>00
wo-ts
T9
99- •
Umidade
Real (%)
O «o
Or
SO •
(O -
10
MO •
100 •
-«00 •
E ( X ! 0 ' 6 )
to 29 SO «o 90 •o TO •o •o ioo toe
d i a
(b )
\ A > ^ ^r^-^t^^
CO 29 3O TO tO 100 109
dia
(c)
• • • • t
• • • t *
IO 29so 4 0 90 •o •o •o 1OO 1O9
dia
Figura 7 .4 - Var iação da umidade r e l a t i v a do a r e da tempera tura ambiente durante os ensa ios | ( a ) e ( h ) |
e média dòs v a l o r e s medidos nos corpos de c o n t r o l e , j ã e l im inados os v a l o r e s d i s c r e p a n t e s ( c ) ,
roto
a»
tfoQ.i.O
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c
01
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o•oID
132
Jã a influência da temperatura não é tao cla-ra. Sabe-se que, quando o corpo de prova sofre uma seca-gem antes do ensaio, o efeito da temperatura sobre a defojrmação lenta é menor | 23!. Ora, nos ensaios realizados oscorpos de prova foram secados ao ar livre, envoltos nas formas de moldagem e capeados com cera. Em alguns casos acera soltou-se dos corpos de prova, apressando assim a secagem. Também, entre a desmoldagem e o início do 19 ensaiohouve um período de oito dias, nos quais trabalhou-se comos corpos de prova completamente desprotegidos. Dutante oensaio, a temperatura, em geral, manteve-se em torno dos20°C e, não houve influência notória nos valores obtidosnos ensaios.
7.2.1 - Determinação das Constantes Viscoelãsticas
Para o cálculo das constantes viscoelãsticas doconcreto utilizado nos ensaios, não foram utilizados os valores obtidos diretamente das medições, mas valores retir£dos de curvas que melhor se adaptaram aos resultados expe-rimentais. Estas curvas tem um desenvolvimento suave aolongo do tempo, evitando descontinuidades ocorridas em vi£tude das imperfeições dos ensaios e influência de fatoresaleatórios. Os valores utilizados estão apresentados natabela A.2, do apêndice, e plotados na figura 7.7, junta-mente com os pontos lidos.
Para trabalhar-se com a teoria de Dischinger,como foi visto no terceiro capítulo, necessita-se apenas,a determinação do valor limite da fluência C , em uma idade T e, a taxa de crescimento da fluência com o tempo v.Jã, para Arutyunyan, necessita-se, no mínimo, o limite da fluência para uma idade T bastante avançada, Co, a taxa decrescimento da fluência com o tempo Y, e, ainda, uma ou-tra constante, dependente das características do concreto,
C { t , t ) x 10
900
-6
ENSAIO
•SO
100
ISO
10 JO so • 0 TO ao 100 109
t (d ias )
Figura 7.7 - Curvas de fluincia adaptadas ao 29 ensaio, utilizadaspara o calculo das constantes viscoelãsticas Ul
134
Para tanto, existem diversos métodos de determi^nação dessas constantes I23!. Para a determinação dos valores limites, foi escolhido o método de Ross, que utilizouuma relação hiperbólica entre a fluincia e o tempo. Jã paraa determinação das taxas de crescimento da fluência, foiutilizado o método de Ishai. A escolha recaiu sobre essesmétodos por serem bastante utilizados e de boa aproximação.
7.2.1.1 - Método de Ross
Ross 126{ sugeriu uma relação hiperbólica en-tre a fluência e o tempo, do tipo:
<Ut) = í (7.2.1.1.1)c A + B t
onde A e B são constantes; Ec(t) é a fluência no concre-
to em um tempo t, a qual para os ensaios, está apresentadana tabela A.2 do anexo. Para relação suge.ida por Ross, p£ra t=^«, a fluência i igual a l/B. Desta maneira, o va-lor final da fluência é lido diretamente dos resultados ex-perimentais. Plotando a razão t/e (t) por t, se obtémuma linha reta de inclinação B, que intercepta o eixo t/e (t) na ordenada A. Evidentemente, os valores obtidos dosensaios não gerarão uma linha reta, assim, deve-se fazer comque melhor se ajuste aos pontos obtidos. Neville e Ross |23|sugerem ajustá-la a perTodos que estão a mais tempo sob ca£ga, pois, é preferível obter constantes as quais dão magni-tude correta para concretos de idade avançada, antes que umamédia de todos os dados e um valor incorreto para o limitede fluência.
Na figura 7.8 estão plotados os valores do 19ensaio. Notou-se, claramente, a existência de dois segmen-tos de reta com distintas inclinações. Calculou-se as con£tantes pelo método de Ross, pare os dois segmentos de reta.De posse dos dois grupos de constantes, foram reproduzidas
135
diasxiOOO
100
dias
Figura 7.8 - Determinação dos valores limitesde fluencia, pelo método de Ross126|, para o 19 ensaio.
136
as curvas de fluência, juntamente com a experimental, nafigura 7.9.
Observou-se que, os valores reproduzidos pelasconstantes obtidas do 19 segmento de reta aproximaram-se dosexperimentais nos primeiros dias do ensaio, subestimando olimite de fluência. Jã, a curva gerada pelas constantes qb_tidas do 29 segmento de reta, aproximou-se da experimentalcom o decorrer do tempo, confirmando a observação feita porNeville e Ross |23|. Portanto, esse foi o valor limite defluência adotado para o 19 ensaio.
Na figura 7.10 estão plotados os valores do 29ensaio.
No caso, apareceu, basicamente, três segmentosde reta. 0 primeiro, praticamente paralelo ao eixo das ab_cisas. Isto se deve ao fato da curva de fluência obtidano segundo ensaio ser bastante abatida. Utilizou-se parao cálculo do valor limite o terceiro segmento de reta, pe-las mesmas razões expostas anteriormente.
Na tabela 7.3 estão apresentados os valores lj_mites de fluência obtidos pelo método de Ross, para os doisensaios realizados.
19
29
ensaio
ensaio
390
290
C
.6
.7
(t,
X
X
-)
IO"6
IO"6
Tabela 7.3 - Valores limites de fluência obtidospelo método de Ross.
137
e c ( t ) ( x i O " 6 )
2i SEG. RETA
o—o— 1* SEG. RETA
ensaio
•o «ot (d ias)
Figura 7.9 - Reprodução da fluência com dois gru-pos de constantes obtidos pelo méto-do de Ross; o primeiro grupo ret i rado do 19 segmento de reta e o segun-do segmento de reta, e sua compara-ção com os valores do ensaio.
138
23Í42S2221'K»la-iair-1»
191413121110t•
0S4321
diasxlOOO
so eo «s TO 7 9 •o •S »O «9 100
t ( d i a s )
Figura 7.10 - Determinação dos valores limitesde fluência, pelo método de Ross|26|, para o 29 ensaio.
139
7.2.1.2 - Método de Ishai
De acordo com a teoria proposta por Ishai |18|,a fluência do concreto se deve a migração de água nos va-zios, devido a três motivos, cada um representado por UPmecanismo. Assim, sugeriu, para a representação da fluêiicia do concreto, uma combinação de três elementos de Kel-vin e uma mola em série. Cada. mecanismo de deformação representa a movimentação da água em três níveis de vazio. 0primeiro mecanismo representa a lenta migração da água u l -tra viscosa, durante a aplicação da carga, atribuída a águaentre planos. 0 segundo mecanismo, a migração da água deviscosidade média, atribuída a água do gel de cimento. F i -nalmente, o terceiro mecanismo, a movimentação da água debaixa viscosidade, atribuída a água dos capilares, que teirmina, apôs 10 dias da aplicação da carga, normalmente.
A equação reolõgica deste módulo, conforme afigura 7.11, será:
1 1 - t / T l
e ( t ) = 1 • J_ (1 -eE E
11— (1 - eE
- t / T 1 -t/T,•) + - M i -
E3(7.2.1.2.1)
onde T. s n^/E. é o tempo de retardação do elemento, E. éo módulo de elasticidade das molas e n o coeficiente deviscoelastieidade dos amortecedores.
Figura 7.11 - Modelo geral de Kelvin proposto por Ishai
140
A fluência de um elemento simples de Kelvin,submetido a uma tensão constante, ao longo do ensaio, é d£da por:
ec(t) - e. (1 - it / T) (7.2.1.2.2)
onde E , ê o v a l o r l i m i t e da f l u S n c i a . Derivando ( 7 . 2 . 1 .2 . 2 ) , com r e s p e i t o ao t e m p o , o b t é m - s e
ê c ( t ) = £„ i t / T . I (7.2.1.2.3)
e apôs algumas substituições
*CW = E« " T ^ c( t ) (7.2.1.2.4)
a qual e a equação de uma reta que permite obter grafica-
mente o valor de en quando ec(t) = 0 . A equação pode ser
escrita também:
E» " e c ( t ) = e«° èt/T (7.2.1.2.5)
ou em forma logarTtmica:
log |e.-e c(t)| = log zM - 1 log e (7.2.1.2.6)
Essa equação, (7.2.1.2.6), conduziu a uma li-nha reta, a qual ao interceptar a ordenada deu o valor f^nal de fluência e, sua inclinação representa o inverso dotempo de retardação do modelo multiplicado por log . e.
Os valores e -£ r(t) obtidos dos resultadosdos ensaios (e^, no caso, calculado por Ross, em (7.2.1.1)), são plotadas em escala logarTtmica contra o tempo.O resultado é uma curva suave que se transforma em reta,após um determinado período de tempo, significando que, a
141
p a r t i r desse ponto, o processo obedece a equação ( 7 . 2 . 1 . 2 .
2) e é puramente exponencial. Essa curva representa o pr^
meiro mecanismo. 0 segundo mecanismo é obtido pela d i f e -
rença da curva ao prolongamento da reta ob t ida , ou s e j a ,
isolando da f luência to ta l a parcela equivalente ao primei^
ro mecanismo e replotando o remanescente na mesma escala.
Da mesma forma, obtém-se o te rce i ro mecanismo, outra l inha
que termina na origem. Essas três retas deixam os seis pji
râmetros necessários para a completa ident i f i cação do mode_
Io da f igura 7 . 1 1 , conforme a f igura 7 .12 .
Na f igura 7.13 estão plotados os mecanismos de
de Ishai para o primeiro ensaio. Nota-se a ex is tência .'.
apenas duas curvas, correspondentes ao 19 e 29 mecanismos.
Pela t e o r i a , a não existência do te rce i ro mecanismo e ,
consequentemente, do t e r c i r o elemento de K e l v i n , s i g n i f i -
ca que não houve colaboração da água dos capi lares na fluên
c ia .
Da mesma forma, não ex is t iu o te rce i ro mecanis_
mo do segundo ensaio, conforme é mostrado na f igura 7.14.
A não colaboração da água dos capilares pode t e r sido moti_
vada pela sua expulsão das zonas úmidas para as secas, ou,
pelo consumo no processo de hidratação. Provavelmente, se
deveu ao fato de que os corpos de prova não foram submer-
sos para efetuarem a cura e , também, pelo tempo gasto na
sua preparação para o ensaio.
Jã, o segundo mecanismo de segundo ensaio, coii
forme mostra a f igura 7 .14 , teve uma curva com incl inação
inversa a que era de se esperar. Esses corpos de prova f1_
ca ram expostos ao ar l i v r e do momento da desmoidagem até
o 509 d ia . Todo esse tempo, deve ter ocasionado um consu-
mo bastante grande da água dos cap i la res , fazendo com que,
quando da aplicação da carga, praticamente inex is t i sse pres
são de vapor d1água nos vazios. Também, foram carregados
142
•oIOs-
EQJ
•o
cnc
lieOi
•o
iaocia
Figura 7.12 - Calculo das constantes pelo méto-do de Ishai para corpos de provasubmetidos a torção |18|.
143
4 0 0
300
log < c c ( - ) - e c ( t ) )
19 mecanismo
I 10 20
t ( d i a s )
Figura 7.13 - Determinação das constantes viscoelásticasdo concreto do 19 ensaio através da teoriade Ishai .
144
log ( e . ( - ) - e r ( t ) )
400-
200 H 1« MECANISMO
Figura 7.14 - Determinação das constantes vis-coelãsticas do concreto, no 29ensaio de fluênda, através dométodo de Ishai I181.
do 289 ao 299 dia e , apôs, descarregados, fazendo com que
houvesse uma recuperação de f luência .
Na tabela 7.4 estão apresentados os valores ob_
tidos pelo método de Ishai , para o primeiro e segundo en-
saios.
145
19
29
ensaio
ensaio
T
62
68
1.48
.49
4
4
T2.0670
.2159
0
0
vl
.0160
.0146
0
0
V2
.246
.237
El4
4
x(10) 3
.255
.570
E-x
7.
4.
(10)2
87
18
Tabela 7.4 - Valores das constantes do concreto, obtidos
pelo método de I s h a i , para o primeiro e
segundo ensaio.
7.2.2 - Reprodução da Fluência através das Constantes Vis-
coelãsticas Calculadas
7.2 .2 .1 - Reprodução por Dischinger
Segundo a teoria de Dischinger, existem apenas
duas constantes dependentes das caracter íst icas do concre-
to; a primeira v , que afeta a taxa de variação da fluência
e, a segunda, C^, que é o valor l imi te da função para
t * T 0 . Com a determinação destas duas constantes a expres_
são ( 7 . 2 . 2 . 1 . 1 ) f ica def in ida:
C ( t , T )-V(t-T)
1 - e (7.2.2.1.1)
Fazendo T = T = 2 8 . 8 dias em ( 7 . 2 . 2 . 1 . 1 ) obtém
- s e :
C ( t , T )- V ( t - T )
- e I ( 7 . 2 . 2 . 1 . 2 )
Com isso, o valor de C é o valor l imi te de fluência pa-
146
ra T =28.8 dias. Esse valor , jã calculado pelo método de
Ross, em ( 7 . 2 . 1 . 1 ) , é igual a 390.6x IO" 6 . 0 valor de v
foi determinado pela teoria de Isha i , em ( 7 . 2 . 1 . 2 ) , e , cor
responde ao primeiro mecanismo, ou seja , v= 0.0160. A teo-
r ia de Dischinger não u t i l i z a o valor de v correspondente
ao segundo mecanismo.
Com a definição das constantes viscoelãsticas
do concreto ut i l i zado no ensaio pode-se reproduzir a cur-
va de f luência , através da teoria de Dischinger, para T=28.8
dias, e , mais ainda, prever a fluência para outras idades,
maiores que T . No caso, será executada a curva para a
idade de 50,12 d ias , correspondente ao segundo ensaio rea-
l i zado.
Na f igura 7.15 estão plotadas as curvas de f\u
ência obtidas através da teoria de Dischinger, com as cons_
tantes viscoelãsticas calculadas pelo método de Ross e de
I s h a i , juntamente com as curvas experimentais.
Observou-se que a teoria de Dischinger subesti^
ma grandemente a f luência , mesmo para o primeiro ensaio.
Esse comportamento era esperado para a curva do segundo ert
saio, pois a teoria subestima a fluência para concretos de
mais idade. 0 que não se esperava era uma discrepância tão
grande, também com os valores do primeiro ensaio. A forma
das curvas obtidas nos ensaios, principalmente a do primei^
ro, também difere substancialmente da forma das curvas da
teoria de Dischinger.
7 .2 .2 .2 - Reprodução por Arutyunyan
A proposta de Arutyunyan, conforme ( 3 . 7 . 1 . 4 ) ,
pode ser expressa por:
m - Y K ( t - T )C ( t , T ) = <MT) Kl0 BK e (7.2.2.2.1)
onde 4 > ( T ) = A J / T + CQ. 0 autor sugere, como simplificação,
C ( t , T ) X 10
soo
- 6
ENSAIOT. Um Oischlngar
2 0 0
ISO
10©
so
1 0 4 0 8 0 • O TO •O t o 100 108
t (d ias)
Figura 7.15 - Comparação entre as curvas de fluência obtidas através do IP e 29 ensaioe as curvas obtidas pela teoria de Dischinger, com as constantes viscoe-lãsticas do concreto calculadas em 7.2.1.1 e 7.2.1.2.
148
a ut i l i zação dos dois primeiros termos da s é r i e . No caso,além dos dois primeiros, u t i l i z o u - s e mais um para se obteruma melhor aproximação com os resultados experimentais . 0uso de mais um termo é poss íve l devido a e x i s t ê n c i a de doismecanismos no método de I sha i , o qual determina constan-tes para os dois termos da s é r i e . Então, a ( 7 . 2 . 2 . 2 . 1 ) pode ser e s c r i t a :
C(t , T) = (-!• + Co) [i - B. e ' - B 2 eT
( 7 . 2 . 2 . 2 . 2 )
onde os parâmetros Yj , Y2 , B^, B 2 , A e CQ são depender)tes das propriedades do concreto. As constantes y-, e Y 2
foram determinadas pelo método de I scha i , conforma mostraa tabela 7 .4 . Determinou-se ainda, pelo metode de Ross,os l imites de f lu inc ía para as duas idades ensaiadas , i s t oé , C ^ , T ) . Mas, para t=>«> a expressão ( 7 . 2 . 2 . 2 . 2 ) trans_forma-se em:
A lC ( » , T ) = — + CQ ( 7 . 2 . 2 . ? . 3 )
Como C(°°, T ) é conhec ido para T = 2 8 . 8 d iase T = 5 0 , 1 2 dias ( t a b e l a 7 . 3 ) , obtém-se um s i s t e m a de duasequações a duas i n c ó g n i t a s :
28.8+ Crt * 390.6 x IO"6
( 7 . 2 . 2 . 2 . 4 )
—— + C = 290.7 x IO'6
50.12 °
Do sistema de equações ( 7 . 2 . 2 . 2 . 4 ) obtém-se osvalores de A1 =0.00676367 c CQ = 0.00015575 . Resta ape-nas a determinação de B, e B»> A equação do modelo reo-
149
lógico correspondente ao método de Ishai, com dois meca-
nismos, conforme (7.2.1.2.1) é:
1 1 " t / Tl 1 • t / T2ec(t) = 1 + J- (1 - e ') + -L (l -e á)
E El E2 (7.2.2.2.5)
e que, desprezada a deformação elástica, após algumas trans_
formações matemiticas pode ser escrita:
ec(t) - f • fE.
E 2 -t/T1 Ei "t/T2
E,(7.2.2.2.6)
Comparando (7.2.2.2.6) com (7.2.2.2.2), para
uma determinada idade i, a condição de igualdade de fluên-
cia é dada por:
*(T) _L + _L" El E2
B = ] (7.2.2.2.7)El + E2
2 El + E2
E, dessas equações, com os valores da tabela
7 .4 , obtem-se B, e B-, ou se ja , B. =0.649 e B« = 0 . 3 5 1 .
Desta maneira a expressão ( 7 . 2 . 2 . 2 . 2 ) f i ca def inida e é
possível calcular a f luência pela teor ia de Arutyunyan.
Na f igura 7.16 estão as curvas de f luência dos
ensaios, juntamente com as obtidas pela teor ia de Arutyu-
nyan, com três termos na sé r ie .
C ( t , T ) X 10
soo
-6
•fsso
too
ISO
100
90
— — ENSAIOM " Arutyunyan com três termos na série
tb 30 4O 90 •O TO to •O 100 IOS
t (d ias )
Figura 7.16 - Comparação entre os resultados do 19 e 29 ensaios da deformação lenta
e os obtidos pela teoria de Arutyunyan, calculada com três termos na
série.
ino
151
Jã existe uma boa correlação entre os resulta-dos obtidos com o 19 ensaio. 0 mesmo não ocorre com o 29ensaio, onde os valores obtidos através da teoria são maio-res que os do ensaio. Na figura 7.17 são apresentadas ascurvas obtidas nos ensaios juntamente com as das duas teo-rias estudadas. Como se esperava, a melhor aproximaçãofoi obtida com a teoria de Arutyunyan, mas com mais um ter-mo na série, esta foi melhorada.
I — Arutyunyan com 3OischingerArutyunyan c
ifeõ
( a ) t ( d i a s )
«0 to •o to 100
(b ) t ( d i a s )
F i g u r a 7 . 1 7 - Comparação e n t r e os r e s u l t a d o s do 19 ( a ) e 2? ( b ) e n s a i o s
com as t e o r i a s de D i s c h i n g e r e A r u t y u n y a n .
IN»
153
CAPITULO 8
CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
A seguir, serão apresentadas as conclusões obti^das durante a realização deste trabalho, tanto na parte tecirica, quanto na experimental. Também, serão apresentadassugestões para o prosseguimento desta linha de pesquisa.
8.1 - Conclusões
8.1.1 - Analise Teórica
a) A teoria de Dischinger é, no caso de uma re-solução anal í t ica , mais simples que a de Arutyunyan. Has,seu comportamento diante de certos aspectos da fluência, nãoi muito preciso. Ela subestima fluência em concretos enve-lhecidos, não considera a recuperação da deformação lentaapós o descarregamento e, no caso da relaxação, faz com quea tensão final seja subestimada (capítulo 5). Jã, a propos_ta de Arutyunyan, tem solução analítica mais complicada,mas, os resultados obtidos são mais precisos. A forma dascurvas obtidas pelas teorias difere, pois a constante queafeta a variação da fluência com o tempo proposto por Aru-tyunyan é maior que a de Dischinger, consequentemente, acurva cresce mais rapidamente.
b) As melhores aproximações do comportamento n;ai são obtidas através de modelos generalizados com parâme-tros variáveis (capítulo 2). Tanto a teoria de Dischinger,quanto a de Arutyunyan, correspondem a modelos reolõgicos,com parâmetros variáveis, mas bastante simples. No capítu-lo 4, foi sugerida uma resolução numérica para problemasde fluência, a qual pode ut i l i zar correspondentes modelosreolõgicos generalizados, com maior número de parâmetros.
A resolução numérica proposta é bastante sim-
154
pies e f e i t a de maneira a ser facilmente incrementada por
novas subrotinas, que venham a a u x i l i a r para uma melhor
aproximação, como por exemplo, a consideração do modulo de
elast ic idade va r i áve l .
c) A resolução numérica proposta foi checada,
com os resultados obtidos pelas teorias de Dischinger e
Arutyunyan (capitulo 5 ) . As aproximações obtidas foram bas_
tante boas. Deve-se s a l i e n t a r , porém, que a resolução pro
posta é mais geral e pode trabalhar com quantos mecanismos
se desejar , aproximando ainda mais os resultados, sem ha-
ver necessidade de grandes simpl i f icações.
d) Na analise da função que determina a var i£
ção dos intervalos de tempo (capítulo 4 ) , observou-se que,
para concretos jovens, tanto a proposta de Bazant | 3 | , co-
mo a expressão 4 . 3 . 4 , ou se ja , uma progressão geométrica,
conduziram a melhores resultados, tendo em vista um cresci^
mento mais lento do erro no i n i c i o do processo. Jã, para
concretos envelhecidos, a função que mais se adapta e a
4 . 3 . 1 , cujo crescimento do erro é mais es táve l . De qual -
quer modo, tanto os valores u t i l i zados nas funções estuda-
das quanto o t ipo de função, dependem do problema a ser
analisado.
8 .1 .2 - Análise Experimental
A parte experimental do trabalho foi executada
com o objet ivo de checar as teorias de Dischinger e Aruty-
unyan com resultados obtidos de ensaios de f l u i n c i a . Pa
ra isso, foi necessário desenvolver um sistema de ap l ica -
ção e manutenção da carga, executar ensaios de relaxação e
reproduzir posteriormente os resultados com o aux í l io da
resolução numérica. As conclusões obtidas estão re lac io -
nadas a segui r:
a) 0 sistema de manutenção e aplicação de car-
155
ga montado para ser ut i l izado na realização dos ensaios de
f luência , descrito no capítulo 6, mostrou ser bastante efi^
ciente. Possibil i tou manter a carga praticamente sem va-
riações até o f inal dos ensaios, mesmo quando necessitou-
-se r e t i r a r a bomba do sistema para efetuar sua manutenção.
A ut i l ização de um compressor como fonte foi s a t i s f a t ó r i a ,
quando eliminados os problemas de vibração.
b) No ensaio de relaxação, o sistema de manu-
tenção das deformações, apresentou algumas dificuldades p£
ra se conseguir um perfeito controle das deformações nas
porcas de ajuste (capítulo 6 ) . Isto ocorreu por te r sido
ut i l izado um pórtico com três barras de aço e duas esferas
de centralização de carga, tornando o sistema bastante 1 ns_
t l v e l .
c) 0 resultado apresentado pelo primeiro en-
saio de fluência (capítulo 7) produziu uma curva da forma
esperada, enquanto que no segundo não. Provavelmente, de-
vido a carga e posterior descarga efetuada aos 28 dias. Já
o ensaio de relaxação foi perdido devido a um desajuste na
célula de carga.
d) Na reprodução das curvas de f luência , como
já era esperado, uma melhor aproximação foi obtida com o
auxí l io da Teoria de Arutyunyan (capítulo 7 ) . Mas, com a
ut i l ização de mais um termo da serie nesta t e o r i a , melho-
rou-se a aproximação. No segundo ensaio de f luência , mes-
mo com a ut i l ização de mais esse termo, a aproximação não
foi boa, devendo-se o fa to , provavelmente, ao problema jã
aludido de carga e descarga e , também, ao consumo da água
dos capilares pela exposição prolongada ao ar , dos corpos
de prova ensai ados.
156
8.2 - Recomendações
No caso de continuidade desta linha de pesqui-
sa, apresentam-se algumas sugestões que talvez possam ser
aproveitadas em futuros trabalhos.
- Incrementar, no programa, uma subrotina que
considere o módulo de elasticidade variável com o tempo,
ou seja , E ( t ) .
- Efetuar testes para verif icação da cofLante
que afeta a taxa de variação da fluência (v ou Y ) , quando
de seu cálculo pela teoria de Ishai | 1 8 | , em função da i n -
clinação dos segmentos de reta provenientes das curvas de
cada mecanismo.
- Estudar uma <KT)> P a r a ser u t i l i zada na teo
r ia de Arutyunyan, mais complexa, j á que, pode-se resolver
o problema numericamente, que não tenha um crescimento tão
rápido para concretos jovens.
- Executar um maior número de ensaios a fim de
obter fundamento estatTstico para os resultados.
- Executar um sistema de controle de umidade
e temperatura ambiente no laboratório de concreto.
- Melhorar o pórtico de manutenção de deforma-
ções, do ensaio de relaxação, montando-o com quatro barras
de aço, possibilitando assim, um controle mais ef icaz nas
porcas de ajuste.
- Procurar resolver problemas de concreto pro-
tendido com a resolução numérica apresentada.
- Trabalhar para formar uma nomenclatura naci£
nal na resolução de problemas de f luência.
157
APÊNDICE
TABELAS A . I
t
(dias)
28.80
28,83
29,03
29,82
30,02
31,02
31,94
32,96
34,04
35,04
36,01
37,09
37,80
41,06
42,05
43,05
44,14
44,83
49,09
X1
0
13,7
20,2
18,6
19,1
26,6
27,1
30,1
32,9
36,6
40,1
39,6
41,1
36,6
36,1
36,6
33,6
36,1
39,1
x2
0
14,5
18,1
19,1
20,6
27,6
29,1
30,1
'31,6
33,1
37,6
36,1
37,3
34,0
33,1
35,6
31,1
33,6
43,1
X3
0
14,0
19,5
21,6
22,1
30,1
32,1
33,6
36,8
41,1
45,4
44,6
46,1
40,1
40,8
41,8
37,6
43,6
45,4
X4
0
15,5
21,0
20,6
21,6
29,0
31,1
32,8
34,8
39,1
43,0
42,8
43,8
40,1
41,4
41,6
37,1
43,6
45,4
X5
0
13,9
17,0
20,1
21,6
28,8
29,9
30,9
34,3
37,9
40,8
40,6
43,1
36,6
37,6
39,1
37,6
42,9
47,1
X6
0
15,0
19,5
20,6
21,1
28,6
31,6
31,6
35,6
38,9
41,9
42,1
44,1
39,1
39,1
40,1
36,3
40,1
42,5
0
14,43
19,22
20,10
21,02
28,45
30,15
31,52
34,33
37,78
41,47
40,97
42,58
37,75
38,02
39,13
35,55
39,98
43,77
S i j
ü
0,70
1,45
1,10
1,07
1,21
1,86
1,44
1,87
2,73
2,66
2,95
3,05
2,43
3,11
2,57
2,64
4,25
2,83
valor reai de de"formaçaff(10-6)
0
142,14
189,32
197,99
207,05
280,32
296,98
310,17
338,15
372,13
408,48
403,55
419,41
371,84
374,50
385,43
350,17
393,80
431,13
158
50,09
51,13
51,87
55,12
56,12
57,13
58,08
61,31
62,08
63,14
64,10.
66,33
68,13
69,13
71,10
72,10
75,31
76,08
77,14
78,22
80,93
82,00
83,21
86,23
90,13
39,6
38,9
38,9
39,6
40,6
40,9
42,3
44,9
48,6
49,4
50,5
52,6
51,6
51,1
54,6
51,3
51,6
50,6
52,1
54,6
52,2
55,5
55,6
59,1
60,1
41,6
42,6
44,6
43,6
44,6
43,1
42,6
42,6
47,6
48,1
49,9
37,9*
49,1
50,1
49,41
51,9
-
-
-
58,3
56,1
59,0
58,9
62,3
63,8
45,8
45,1
43,9
46,6
49,1
49,0
50,1
50,4
55,6
56,8
58,6
60,1
58,6
57,6
62,0
58,6
57,1
56,6
57,1
60,8
58,6
61,1
61,5
67,6
67,6
45,6
44,1
45,4
46,4
49,1
48,1
49,1
50,1
54,6
54,6
56,1
58,1
56,8
56,1
61,1
58,1
56,1
54,8
56,4
59,0
57,1
59,6
60,6
64,6
66,8
48,9
47,6
5,00
52,0
53,9
52,6
52,3
54,6
57,1
57,7
50,1
60,1
58,6
57,5
61,6
58,6
57,6
57,1
58,6
62,1
60,5
62,4
62,1
66,1
66,6
41,3
41,5
4,06
41,3
43,9
45,1
46,1
45,6
50,6
52,1
53,1
55,6
52,6
51,3
56,1
53,1
52,1
50,1
52,6
55,1
53,6
56,6
56,6
60,6
62,1
43,80
43,32
43,90
44,90
46,87
46,47
47,08
48,08
52,35
53,12
54,55
57,30
54,55
53,95
57,47
55,27
54,90
53,84
55,36
58,32
56,35
59,03
59,22
63,38
64,50
3,52
3,00
3,89
4,45
4,75
4,26
4,11
4,42
3,95
3,92
3,99
3,21
4,00
3,48
5,02
3,52
2,84
3,30
2,87
3,00
3,09
2,62
2,66
3,28
3,00
431,43
426,70
432,42
442,26
461,67
257,73
463,74
473,00
515,65
523,23
337,32
564,41
537,32
531,41
566,03
544,41
540,77
530,32
545,30
574,45
555,05
581,45
583,32
624,29
635,33
159
91,13
92,10
93,84
97,10
99,06
100,13
101,07
104,14
59,3
63,1
60,6
62,1
61,1
60,6
59,4
64,6
62,0
64,3
63,3
64,8
63,8
61,8
60,3
64,9
66,6
68,1
67,6
67,8
68,7
67,6
66,9
72,1
64,8
66,3
67,1
66,6
66,1
65,9
65,2
70,1
66,1
67,7
68,3
68,9
69,5
67,8
67,1
72,4
61,1
62,1
65,1
64,9
64,0
63,9
62,7
67,6
63,32
65,27
65,33
65,85
65,53
64,60
63,60
68,62
2,95
2,48
2,95
2,44
3,20
3,01
3,32
3,45
623,70
642,91
643,50
248,62
645,54
636,37
626,52
675,98
Tabela A.1.1 - Valores lidos no primeiro ensaio. Os va-lores com asteriscos foram eliminados pe-los testes estatísticos. A média Tf. . eo desvio padrão S.. foram calculados semos valores rejeitados.
160
t(dias)
28,80
28,83
29,03
29,80
29,81
29,82
30,02
32,02
31,94.
32,96
34,04
35,04
36.04
37,09
37,50
41,06
42,05
43,05
44,14
44,83
49,09
50,09
50,12
x l
0
16,0
21,3
21,1
4,9
3,6
3,6
6,6
5,6
6,1
7,3
8,6
10,4
10,1
11,1
2,1
5,1
4,6
-1,0
6,1
7,6
5,4
24,6
X2
0
14,8
19,2
22,6
8,6
7,1
6,6
9,6
8,3
9,6
9,9
12,0
14,6
13,9
14,6
6,1
8,6
8,1
3,6
9,5
11,1
12,6
28,1
X3
0
14,0
18,0
21,1
5,6
5,6
4,6
7,5
7,6
8,3
10,6
11.9
15,1
13,6
16,1
7,1
8,6
8,0
3,9
9,6
10,1
8,9
27,0
X4
0
14,8
19,50
21,1
7,1
7,1
6,4
9,6
8,6
8,1
10,8
10,9
13,1
11,3
12,6
5,3
6,6
7,4
1,3
8,8
9,4
9,5
16,6*
X5
0
14,8
21,6
21,8
4,8
3,3
3,8
5,3
3,6*
3,3*
4,3
5,8
9,7
8,3
9,8
1,3
2,3
0,6*
-5,2
1,3*
4,8
6,4
28,8
X6
0
16,0
23,5
-
-
-
-
-
-
-
-
-
10,4
11,5
9,5
-
-
-
1,5
6,5
7,4
8,3
24,5
0
15,06
20,52
21,54
6,20
5,34
5,00
7,72
7,53
8,03
8,58
9,84
12,30
11,52
12,28
4,38
6,24
7,03
0,68
8,10
8,40
8,52
26,60
0
0,79
1,99
0,67
1,63
1,83
1,42
1,87
1,35
1,45
2,77
2,64
2,28
2,12
2,66
2,54
2,65
1,65
3,39
1,68
2,27
2,53
1,98
valor real de d?formação
0
148,34
202,12
212,17
61,07
52,60
49,25
76,04
74,17
79,10
84,51
96,92
121,16
113,47
120,96
43,14
61,46
69,25
6,70
79,79
82,74
83,92
262,01
161
51,13
51,87
55,12
56,12
57,13
58,08
61,31
62,08
63,14
64,10
66,33
68,13
69,13
71,10
72,10
75,31
76,03
77,14
78,22
80,93
82,00
83,21
86,23
90,13
91,13
27,0
29,0
28,1
30,1
32,1
32,1
34,1
40,6
42,6
44,1
46,1
45,6
45,1
48,6
46,5
44,5
45,6
46,6
49,6
47,8
50,1
50,6
56,1
57,1
56,1
29,0
29,2
32,1
, 35,6
34,9
37,1
38,6
44,1
45,6
46,1
48,5
47,1
46,1
50,2
47,6
48,1
47,0
46,9
50,0
48,6
51,1
51,1
55,6
57,0
55,8
27,6
-
27,1*
31,1*
31,0*
31,2*
32,6*
37,6*
39,1*
40,1*
43,1*
38,1*
39,6*
44,1*
41,6*
38,1*
39,1*
39,1*
42,8*
41,6*
45,1*
44,8*
48,6*
50,1*
49,8*
23,1
25,9
-
-
34,5
37,5
39,0
43,5
46,0
47,8
50,0
45,0
44,9
49,7
48,8
47,0
46,0
45,8
48,9
46,2
50,0
50,0
55,0
56,1
55,0
-
28,0
33,0
36,0
37,0
38,0
39,5
44,0
46,0
47,5
50,8
46,0
46,0
50,0
46,5
46,4
46,0
47,0
51,0
48,8
52,0
52,9
56,0
58,0
57,0
28,0
27,9
31,4
36,4
37,7
40,0
41,9
45,9
45,9
48,4
50,1
46,5
46,4
50,4
4ê,7
47,4
45,1
47.2
50,9
48,4
52,7
52,8
55,9
57,9
57,9
29,94
28,00
31,15
34,53
35,24
36,94
38,62
43,62
45,22
46,78
49,10
46,04
45,70
49,78
47,22
46,68
46,14
46,70
50,08
47,96
51,18
51,48
55,72
57,22
56,36
2,27
1,31
2,14
2,97
2,22
2,93
2,83
1,92
1,47
1,72
1,87
0,81
0,66
0,71
0,99
1,37
0,52
0,55
0,89
1,05
1,18
1,31
0,44
0,77
1,12
265,36
275,80
306,83
340,12
347,11
363,86
380,41
429,66
445,42
460,78
483,64
453,49
450,15
490,33
465,12
459,80
454,48
469,00
493,29
472,41
504,12
507,08
548,84
563,62
555,15
162
92,10
93,84
97,10
99,06
100,13
101,07
104,14
59,6
59,6
58,9
59,6
58,1
57,7
62,6
59,1
57,9
57,6
58,0
57,4
56,4
61,6
53,1*
52,3*
51,1*
51,6*
50,8*
49,4*
54,4*
58,0
57,7
56,0
55,7
55,3
53,5
59,5
60,0
58,5
58,2
59,2
57,6
56,6
62,5
60,9
59,4
58,9
59,4
58,4
57,4
62,5
59,52
58,42
57,92
58,38
57,36
56,32
61,74
1,08
1,18
1,20
1,62
1,22
1,67
1,32
586,27
575,44
570,51
575,04
565,00
554,75
608,14
Tabela A.1.2 - Valores lidos no segundo ensaio. Osvalores com asteriscos foram elimi-nados pelos testes estatísticos. Amédia X. . e o desvio padrão S. . foram calculados sem os valores rejei-tados .
163
t(dias)
28,80
29,82
30,02
31,02
31,94
32,96
34,04
35,04
36,04
37,09
37,80
41,06
42,05
43,05
44,14
44,83
49,09
50,09
51,13
51,87
55,12
56,12
57,13
Xl
0
-0,1
-1.1
3,9
4,1
5,4
6,7
8,1
9,9
9,9
11,9
1,9
4,4
3,7
-1,6
5,9
5,9
5,8
5,4
5,7
6,7
8,4
8,9
x2
0
-12,0
-1,9
2,8
2,7
4,1
4,3
5 3
6,3*
6,3
8,8*
-0,7
2,3*
0,8*
-1,7
3,3
3,3
3,8
4,8
5,3
5,1
7,8
7,3
X3
0
-0,4
-2,1
4,6
4,6
5,6
5,9
8,0
10,0
9,1
11,6
3,1
5,6
4,1
0,0
6,1
6,0
6,0
5,9
6,6
6,1
10,1
10,6
X4
0
0,1
-2,4
3,6
3,6
4,6
4,9
7,0
9,0
8,1
10,6
5,1
5,6
3,1
1,0
5,1
5,0
5,0
4,9
5,6
5,1
9,1
9,6
X5
0
-1,1
-2,4
4,9
4,5
5,4
7,3
8,6
11,5
10,6
13,1
2,6
5,6
5,0
-0,9
6,9
6,6
6,6
6,1
6,1
5,1
11,1
11,6
X6
0
-0,1
-0,7
5,5
5,4
6,0
7,4
8,4
10,9
9,9
11,4
1,9
5,1
4,4
0,9
4,9
5,9
6,90
6,9
5,2
5,9
9,2
8,4
0
-0,47
-1,55
4,22
4,15
5,8
6,08
7,57
10,26
9,8
11,72
2,32
5,26
4,0
-0,68
5,37
5,45
5,68
5,67
5,75
5,67
9,28
9,40
0
0,55
0,67
0,97
0,93
0,70
1,28
1,24
0,97
1,57
0,91
1,89
0,53
0,69
1,03
1,24
1,17
1,13
0,80
0,52
0,67
1,18
1,55
valor real de <fcformação
( 1 0 5 )
0
-4,63
-15,27
41,57
40,88
51,03
59,89
74,57
101,07
88,46
115,45
22,85
51,82
39,40
-6,70
52,90
53,67
55,95
55,86
56,64
55,86
91,42
92,60
164
58,08
61,31
62,08
63,14
64,10
66,33
68,13
69,13
71,10
72,10
75,31
76,08
77,14
78,22
80,93
82,00
83,21
85,23
90,13
91,13
92,10
93,84
97,10
99,06
100,13
8,9
9,1
12,9
13,9
13,9
16,5
12,9
13,9
18,4
13,4
14,4
12,9
14,7
16,4
16,8
17,9
15,4
21,3
21,1
21,4
23,8
23,4
21,4
21,4
20,9
7,3
8,3
10,8
12,3
11,8
14,1
10,3
12,1
15,3
10,3
10,3
10,1
10,3*
11,8
13,1
13,5
11,0
16,8
16,3
16,3
18,8
18,8
16,7
16,8
16,1
10,1
10,6
14,1
15,1
15,5
17,7
14,1
15,6
19,8
15,1
15,6
13,6
14,6
16,1
17,2
18,1
15,9
21,1
20,6
21,1
23,1
23,1
21,6
21,6
19,8
9,1
9,6
13,1
14,1
14,5
19,1
15,1
17,6
19,4
14,1
12,6
13,9
14,6
16,6
17,3
17,6
16,5
21,1
21,1
21,6
23,1
22,6
21.4
22,1
11,6
11,1
10,0
16,0
17,1
16,1
19,0
15,0
16,1
19,4
16,6
15,9
14,6
14,6
17,6
17,9
19,1
16,6
22,6
22,8
22,6
25,1
24,1
23,1
22,6
20,6
7,5
8,1
13,1
13,4
13,3
14,4
12,4
13,6
13,5
11,4
11,8
10,9
12,9
13,9
13,9
14,4
11,9
17,9
17,9
18,4
20,3
19,6
18,6
18,3
15,9
9,00
9,28
13,33
14,32
14,18
16,80
13,30
14,82
17,63
13,43
13,43
12,67
14,28
15,40
16,03
16,77
14,55
20,13
19,97
20,23
22,37
21,93
20,47
20,47
18,82
1,47
0,97
1,70
1,64
1,55
2,19
1,83
1,98
2,61
2,34
2,23
1,78
0,77
2,14
2,01
2,26
2,46
2,25
2,40
2,38
2,35
2,19
2,35
2,35
2,24
38,66
91,42
131,31
141,07
139,69
165,50
131,02
145,99
173,67
132,30
132,30
124,81
140,67
151,71
157,91
165,20
143,33
198,30
196,72
199,29
220,37
216,03
201,65
201,65
185,20
165
101,07
104,14
19,4
23,9
14,3
18,9
18,6
23,7
18,1
23,6
19,6
25,6
15,9
20,9
17,65
22,77
2,11
2,42
173,87
224,31
Tabela A.1.3 - Valores lidos no primeiro grupo decargas do controle. Os valores comasteriscos foram eliminados pelostestes estatísticos. A media 7.. eo desvio padrão S.. foram calcula
1J ~dos sem os valores rejeitados.
166
t(dias)
28,00
29,82
30,02
31,02
31,94
32,96
34,04
35,04
36,04
37,09
37,80
41,06
42,05
43,05
44,14
44,83
49,03
50,09
51,13
51,17
55,12
56,12
57,13
x l
0,0
1,7
1,3
5,7
6,5
7,2
7,8
9,8
12,2
11,3
14,2
4,8
7,3
6,3
2,5
8,2
8,3
7,8
7,5
7,7
8,3
9,8
11,3
0,0
1,1
0,1
5,1
5,1
6,1
6,9
8,6
11,1
9,8
13,5
3,6
5,1
4,6
0,6
6,1
7,1
7,1
5,6
6,4
7,6
9,1
9,6
X3
0,0
1,8
0,8
5,8
5,3
5,9
8,1
9,8
12,3
10,8
14,3
4,1
7,8
6,7
3,3
7,8
8,8
8,1
9,1
9,2
10,3
10,8
10,8
X4
0,0
-0,6
-1,6
4,4
4,0
4,9
6,7
7,4
10,0
9,4
11,9
1,7*
5,4
3,8
-1,6
4,4
5,9
5,0
4,8
5,8
5,9
7,9
8,4
X5
0,0
-0,7
1,9
5,6
4,6
6,1
7,1
9,6
12,6
11,1
13,9
4,1
7,1
5,1
1,9
8,1
8,6
8,9
8,1
9,4
10,1
12,6
13,1
X6
0,0
0,6
0,1
7,1
6,1
7,1
9,1
10,1
12,3
11,1
18,1
4,9
6,6
4,5
1,6
7,6
7,6
7,1
7,C
8,0
8,9
11,1
12,0
0,00
0,65
0,43
5,62
5,27
6,22
7,62
9,22
11,75
10,58
13,48
4,30
6,55
5,17
1,38
7,03
7,72
7,33
7,02
7,75
8,52
10,22
10,87
0,00
1,10
1,22
0,89
0,93
0,85
0,90
1,03
1,00
0,79
0,89
0,54
1,08
1.12
1,72
1,50
1,09
1,33
1,59
1,45
1,65
1,65
1,68
valor reai de deFormaçatf(10-6)
0,00
6,40
4,24
55,36
51,91
61,27
75,06
90,83
115,75
104,22
132,79
42,36
64,52
50,93
13,59
69,25
76,05
72,21
69,15
76,36
83,93
100,68
107,08
167
58.08
61.31
62.68
63,14
64,10
66.33
68,13
69,13
70,10
72,10
75,31
76,08
77,14
78,22
80,93
82,00
83,21
86,23
90,13
91,13
92,10
93,84
97,10
99,06
100,13
10.3
10,1
12,7
15,3
15,3
22,1
14,3
15,3
18,3
13,5
12,8
12,8
13,8
15,5
16,8
14,3
8,8
16,3
16,3
16,3
17,8
18,8
16,3
15,8
15,8
9,6
9,7
11,4
11,7
13,6
15,6
11,6
12,6
17,2
12,1
11,1
11,1
11,1
13,4
13,6
14,6
12,1
17,1
17,4
17,4
19,0
19,3
17,4
17,1
16,3
11,2
11,7
14,3
14,3
15,3
16,8
15,1
15,8
19,3
15.7
11,8
12,3
14,3
16,2
15,9
15,8
14,3
20,3
19,8
20,1
22,5
22,1
20,3
20,1
18,8
7,9
7,6
10,9
13,4
12,9
14,0
11,4
13,4
15,7
10,5
3,4
7,9
9,9
13,0
12,4
13,7
10,9
17,1
17,1
16,4
18,9
18,7
17,4
16,9
15,4
11.6
12,1
15,5
17.1
15.6
18.3
15,6
16,5
19,8
16,3
16,6*
14,1
15,6
19,1
17,6
18,8
17,1
21,6
21,9
23,1
25,3
24,1
23,1
23,1
21,1
11,8
10,3
15,1
16,1
15,0
17,0
12,1
14,6
17,9
11,7
12,6
11,4
12,6
15,6
15,1
16,8
19,6
19,6
20,6
20,8
23,5
21,1
21,1
19,6
18,6
8,73
8,58
13,31
14,65
14,62
17,30
13,35
14,70
18,03
11,63
11,54
11,60
12,88
13,80
15,23
15,65
12,97
18,66
18,85
19,00
21,66
20,68
19,27
18,77
17,67
3,75
4,36
1,94
1,94
1,10
2,76
1,87
1,43
1,48
3,16
1,37
2,10
2,12
2,64
1,96
1,91
2,96
2,13
2,23
2,72
3,01
2,16
2,64
2,69
2,21
86,00
84,52
131,12
144,32
144,02
170,42
131,51
144,81
177,61
114,57
113,68
114,27
126,88
135,94
150,03
154,17
127,77
183,82
185,69
187,17
213,37
203,72
189,83
184,90
174,07
168
101,07
104,14
13,9
18,3
14,2
19,1
18,3
22,3
13,4
18,4
19,1
24,6
17,1
22,6
16,00
20,88
2,47
2,64
157,62
205,69
Tabela A.1.4 - Valores lidos no segundo grupo de
corpos de controle. Os valores
com asteriscos foram eliminados
pelos testes estatísticos. A mé-
dia "X. . e o desvio padrão S..
foram calculados sem os valores
rejei tados.
TABELA A . 2
Tabela A.2 - Deformação total e deformaçãolenta do 19 e 29 ensaios, re-tirados das curvas que melhorse adaptaram aos resultadosexperimentai s.
171
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