Control Digital - Español

Juan Luis Orrego Henao – A01206140Christian Uriel Galindo Olvera – A01205766

Control DigitalTarea Extra – Periodo Final

Dr. Aarón Sariñana

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Tarea Extra: Controlador PI digital usando el proceso de JURY

2015

COntrol digital

Juan Luis Orrego Henao - a01206140CHRISTIAN URIEL GALINDO - A01205766




Instrucciones

El objetivo consiste en diseñar controlador PI digitales aplicando El criterio de Jury

para el siguiente proceso.

Graficar todos los posibles valores que pueden tomar las ganancias del controlador PI

digital.

Obtener un controlador PI que garantice un buen tiempo de estabilización comparado

con la dinámica del proceso.

Analizar y comentar el error en estado estacionario que se presenta en el diseño del

proceso.

Proceso

Gp (s )= 10(s2+s+1 )

T=0.1 seg .

La ecuación del polinomio característico es la siguiente:

P ( z )=1+Gc ( z )∗HGp ( z )=0

En primer lugar se debe de obtener HGp(z), pero al ver el proceso se puede observar que no es de primer orden. Al querer desarrollar el proceso de manera manual se presentaron una serie de términos que iban a representar un reto en los pasos posteriores. Es por esto que optó por calcular HGp(z) por medio de la herramienta computacional MatLab:

HGp ( z )= 0.04833 z+0.04675z2−1.895 z+0.9048

Al conocer HGp(z), se puede aplicar la estructura de un controlador PI.

Gc ( z )=Kp+Ki( zz−1

)

Sustituyendo en la ecuación inicial se obtiene lo siguiente:

2




P ( z )=1+[Kp+Ki( zz−1 )]∗[ 0.04833 z+0.04675z2−1.895 z+0.9048 ]=0

Desarrollando la ecuación

1+[ (Kp (z−1 )+Kiz )∗(0.0483 z+0.04675 )z3−2.895 z2+2.7998 z+0.9048 ]=0

z3−2.895 z2+2.7998 z+0.9048+[ (Kp ( z−1 )+Kiz )∗(0.0483 z+0.04675 ) ]=0

El polinomio característico final queda representado de la siguiente manera:

z3+z2 (−2.895+0.04833 Kp+0.04833Ki )+z (2.7998−0.00158 Kp+0.04675Ki )+(−0.9048−0.04675Kp)

El siguiente proceso consiste en obtener los coeficientes de a0, a1, a2, a3.

a0=1

a1=−2.895+0.04833Kp+0.04833Ki

a2=2.7998−0.00158Kp+0.04675 Ki

a3=−0.9048−0.04675Kp

Lo que sigue es aplicar los criterios de estabilidad

El primer criterio es el siguiente:

|an|<a0Por lo tanto sustituyendo en el anterior criterio se puede obtener lo siguiente:

|a3|<a0|-0.9048-0.04675Kp|<1

-1<|-0.9048-0.04675Kp|<1-0.0952<-0.04675Kp<1.9048

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2.036>Kp>-40.74438El segundo criterio es el siguiente:

P (z)¿z=1>0Por lo tanto sustituyendo en el anterior criterio se puede obtener lo siguiente:

z3+z2 (−2.895+0.04833 Kp+0.04833Ki )+z (2.7998−0.00158 Kp+0.04675Ki )+(−0.9048−0.04675Kp)>013+12 (−2.895+0.04833Kp+0.04833Ki )+1 (2.7998−0.00158Kp+0.04675Ki )+(−0.9048−0.04675 Kp)>0

0.09508Ki>0

Ki>0

El tercer criterio está definido de la siguiente manera:

P (z)¿z=−1>0 cuando es par<0 cuando es impar

Por lo tanto sustituyendo en el anterior criterio se puede obtener la siguiente ecuación:

z3+z2 (−2.895+0.04833 Kp+0.04833Ki )+z (2.7998−0.00158 Kp+0.04675Ki )+(−0.9048−0.04675Kp)>0−13−12 (−2.895+0.04833Kp+0.04833 Ki)−1 (2.7998−0.00158 Kp+0.04675Ki )+(−0.9048−0.04675 Kp)>0

−7.5996+3.16 x10−3Kp+1.58 x10−3Ki<¿0

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Con solo estos tres criterios de estabilidad, se obtiene la siguiente región apta para seleccionar un controlador PI.

El cuarto criterio de estabilidad está definido por la siguiente inecuación:

¿b2∨¿∨bo∨¿

Entonces, primero se obtienen las ecuaciones de bo y b2

bo=¿a3ao

a2a1

∨¿a3a1−a2a0

b2=¿a3ao

a0a3

∨¿ a32−a0

2

Para el caso de bo:

b0=(−0.9048−0.04675 Kp ) (−2.895−0.04833 Kp+0.04833Ki )−(2.7998−0.00158Kp+0.04675 Ki)(1)

bo=−0.180404+0.093192266 Kp−0.090478984 Ki−2.26 x10−3 KpKi−2.26 x10−3K p2

Para el caso de b2:

5




b2=(−0.9048−0.04675Kp )2−(1 )2

b2=0.0021855625∗K p2+0.0845988∗Kp−0.18133696

El cuarto criterio de estabilidad quedaría definido de la siguiente manera:

|0.0021855625∗K p2+0.0845988∗Kp−0.18133696|

¿

¿−0.180404+0.093192266Kp−0.090478984 Ki−2.26 x 10−3 KpKi−2.26 x10−3K p2∨¿

Con este nuevo criterio, la zona de selección se vuelve mucho más pequeña en comparación con la anterior. Los puntos rojos muestran 3 criterios de estabilidad y los puntos azules muestran las zonas con 4 criterios de estabilidad.

Se pueden observar dos zonas azules: una con Kp y Ki muy grandes y negativos y otra

con Kp y Ki muy bajos. Para hacer un buen análisis, se comprobarán ambas zonas.

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Para evaluar esta región de estabilidad, se tomó un punto aleatorio dentro de la misma

que tiene una Kp=-40.74 y una Ki=4850.

1° Criterio

2.036>Kp>-40.744382.036>-40.74>-40.74438

CUMPLE2° Criterio

Ki>0

4850>0

CUMPLE

7




3° Criterio

−7.5996+3.16 x10−3Kp+1.58 x10−3Ki<¿0−7.5996+3.16 x10−3∗−40.74+1.58 x10−3∗4850<¿0

−0.0653<¿0CUMPLE

4° Criterio

|0.0021855625∗K p2+0.0845988∗Kp−0.18133696|

¿

¿−0.180404+0.093192266Kp−0.090478984 Ki−2.26 x 10−3 KpKi−2.26 x10−3K p2∨¿

|0.0021855625∗−40.742+0.0845988∗−40.74−0.18133696|

¿

¿−0.180404+0.093192266∗−40.74−0.090478984∗4850−2.26 x10−3∗−40.7∗4850−2.26 x10−3∗−40.742∨¿

7.2554>7.0636

CUMPLEAhora se comprobará la segunda región de estabilidad, marcada en esta ocasión por un color verde

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Para este caso se tomará un punto con Kp=0.5 y Ki=0.01 que se encuentra dentro de la región estable.1° Criterio

2.036>0.5>-40.744382.036>0.5>-40.74438

CUMPLE2° Criterio

0.01>0

0.01>0

CUMPLE3° Criterio

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−7.5996+3.16 x10−3Kp+1.58 x10−3Ki<¿0−7.5996+3.16 x10−3∗0.5+1.58 x 10−3∗0.01<¿0

−7.598<¿0CUMPLE

4° Criterio

|0.0021855625∗K p2+0.0845988∗Kp−0.18133696|

¿

¿−0.180404+0.093192266Kp−0.090478984 Ki−2.26 x 10−3 KpKi−2.26 x10−3K p2∨¿

|0.0021855625∗0.5+0.0845988∗0.5−0.18133696|

¿

¿−0.180404+0.093192266∗0.5−0.090478984∗0.01−2.26 x 10−3∗0.5∗0.01−2.26 x10−3∗0.52∨¿

0.1379>0.1353

CUMPLEEl proceso en lazo abierto con un escalón unitario como referencia, se comporta de la siguiente manera

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El controlador con Kp=0.5 y Ki=0.01 tiene el siguiente comportamiento, en unión con el proceso, con un escalón unitario como referencia:

Se puede observar que, obviamente, la retroalimentación le permite al sistema ajustarse al valor de referencia, en diferencia al sistema en lazo abierto. Igualmente se puede observar que el tiempo de estabilización en 11




lazo cerrado es muy similar al tiempo de estabilización en lazo abierto, lo que permite inferir que es un “buen tiempo de estabilización en comparación con la dinámica del proceso”.Evaluando el error que tiene todo el sistema a lo largo del tiempo, se obtiene la siguiente información:

A primera vista, el error en estado estacionario parece ser cero, lo cual suena lógico ya que el controlador cuenta con una parte integral. Pero analizando un poco más a fondo la gráfica dada por MatLab y ampliando la zona estacionaria, se determina que el error es de 0.0028946, lo que es equivalente al 0.3% del valor final de estabilización del sistema, por lo cual se puede inferir que es cero.

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