Embed Size (px)
Citation preview
VI OGÓLNOPOLSKA SZKOŁA NADZWYCZAJNE ZAGROŻENIA ŚRODOWISKA
Współczesne problemy ekstremalnych zagrożeń środowiska Definicje i metody badań przyrodniczych zdarzeń ekstremalnych
Paszkówka 10 – 12 październik 2005 rok
Bernard Twaróg1 Zakład Gospodarki Wodnej Instytut Inżynierii i Gospodarki Wodnej Politechniki Krakowskiej
Wybrane aspekty oceny ryzyka w inżynierii środowiska. Część I. Streszczenie. Inżynieria środowiska jest dziedziną, gdzie wnioskowaniu i podejmowaniu decyzji bardzo
często towarzyszy losowy charakter danych wejściowych. Szczególnego znaczenia nabiera
znajomość i umiejętność przetwarzania informacji o takim, probabilistycznym charakterze. Jednym
z podstawowych parametrów mających wpływ na podejmowane decyzje jest ryzyko. Artykuł
omawia i prezentuje wybrane przykłady zastosowania i oceny ryzyka z wykorzystaniem
wielowymiarowego mieszanego rozkładu Gumbela.
Wstęp. Katastrofalny dopływ do zbiornika, awaria wału przeciwpowodziowego, wielkość
niekontrolowanego zrzutu, emisja zanieczyszczeń, nawalny opad, wysokość ubezpieczenia lub też
bessa w koniunkturze gospodarczej są wybranymi przykładami zjawisk, nabierających
szczególnego znaczenia w kontekście bezpieczeństwa. Inżynieria środowiska jest dziedziną, gdzie
wnioskowaniu i podejmowaniu decyzji bardzo często towarzyszy losowy charakter danych
wejściowych. Szczególnego znaczenia nabiera znajomość i umiejętność przetwarzania informacji o
takim, probabilistycznym charakterze. Pojęcie ryzyka bardzo często jest utożsamiane z dwoma
rodzajami kategorii: probabilistyczną rozumianą jako prawdopodobieństwo porażki oraz funkcją
strat. Najczęściej występującymi i stosowanymi definicjami pojęcia ryzyka, w zależności od
rodzaju problemu oraz podkreślenia „wielkości porażki”, są:
• prawdopodobieństwo zdarzenia – porażki (negatywnych, niepożądanych zdarzeń),
• iloczyn prawdopodobieństwa zdarzenia i wysokości możliwych strat,
1 dr inż. Bernard Twaróg, adiunkt w Instytucie Inżynierii i Gospodarki Wodnej Politechniki Krakowskiej, [email protected], http://www.ryzyko.pk.edu.pl
• iloczyn prawdopodobieństwa zdarzenia i wysokości możliwych strat w pewnej
potędze,
• prawdopodobieństwo powstawania strat w określonym przedziale czasu,
• średni czas trwania lub intensywność zajść zdarzeń zagrażających bezpieczeństwu.
W znaczeniu potocznym, ryzyko niekiedy utożsamiane jest z wielkością strat lub ich funkcją.
Bardzo często identyfikowane jest z największą możliwą stratą (surowość, powaga), wartością
oczekiwaną strat lub też funkcją ważoną strat, często też wielkość ryzyka mierzona jest
odchyleniem standardowym. Taka miara jest wykorzystywana przy poszukiwaniu decyzji
związanej z uzyskaniem wartości zmiennych decyzyjnych (o charakterze losowym), które
spowodują minimalizację lub maksymalizację stochastycznej wartości funkcji kryterialnej,
natomiast względy losowe powodują oscylacje wokół tej wartości. Dyspersja z powodzeniem może
być uznana za wartość ryzyka jaką ponosi decydent, jednak ten sposób rozumienia ryzyka
najczęściej wykorzystywany jest w analizach finansowych, np.: przy podejmowaniu decyzji na
giełdzie papierów wartościowych – w problemach dywersyfikacji portfela. Ostatecznie pojęcie
ryzyka proponuje się rozumieć w kategoriach probabilistycznych, natomiast jako miarę ryzyka
przyjmujemy prawdopodobieństwo porażki, przy czym przez porażkę będziemy rozumieć
uogólnione odczucie decydenta powodujące niezadowolenie z uzyskanych efektów a tym bardziej
skutków zaistniałego zdarzenia. Przestrzeń zdarzeń losowych może być budowana w różny sposób i
zależy ona przede wszystkim od:
o celu w jakim będziemy posługiwać się parametrem ryzyka,
o rodzaju informacji uwzględnianej przy budowie modeli probabilistyczno –
deterministycznych,
o zawansowania matematycznego i fizycznego modelowania zjawiska.
Zasadniczą rolę w ocenie ryzyka odgrywają skrajne, niekorzystne wartości. Teoria opisująca
zachowanie się zdarzeń pojawiających się w „ogonach rozkładów” oparta jest na rozkładach
wartości ekstremalnych. Do najczęściej stosowanych w literaturze rozkładów opisujących
pojawianie się zdarzeń ekstremalnych zaliczyć należy rozkłady Frecheta, Weibulla oraz Gumbela.
Niniejszy artykuł prezentuje następujące elementy analiz z wykorzystaniem mieszanego rozkładu
Gumbela:
o identyfikację parametrów dwuwymiarowego mieszanego rozkładu Gumbela dla
wszystkich kombinacji przyjętych zmiennych losowych (kulminacja, objętość;
kulminacja, czas; objętość, czas),
o optymalizację parametrów dwuwymiarowego mieszanego rozkładu Gumbela dla
wszystkich kombinacji przyjętych zmiennych losowych (kulminacja - objętość;
kulminacja - czas; objętość - czas),
o zastosowanie mieszanego rozkładu Gumbela do oceny statystyk podstawowych
parametrów fali powodziowej: wielkości kulminacji, objętości oraz czasu trwania fali
powodziowej
o prezentację dwuwymiarowej funkcji ryzyka.
Dwuwymiarowy - mieszany model Gumbela. Mieszany model Gumbela z standardowym brzegowym rozkładem Gumbela został
zaproponowany przez Gumbela (1960). W ogólnej postaci możemy go zapisać:
1
)(ln1
)(ln1
)()(),(
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
= yFxFeyFxFyxFθ
1.
gdzie:
θ - parametr opisujący związek pomiędzy dwoma zmiennymi losowymi X i Y , 10 ≤≤θ ,
)(),( yFxF - są odpowiednio brzegowymi rozkładami zmiennej losowej X oraz Y
Brzegowe rozkłady Gumbela zmiennej losowej X oraz Y możemy zapisać następującymi
formułami:
xeexF−−=)( 2.
yeeyF−−=)( 3.
Estymator θ (Oliveria, 1975, 1982) wyrażony jest:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
6cos12 ρπθ 2 4.
gdzie:
320 ≤≤ ρ
ρ - jest współczynnikiem korelacji, wyrażonym przez:
Zauważyć można, iż w przypadku niezależnych zdarzeń dwuwymiarowych rozkład
zapisujemy w postaci iloczynu dwóch brzegowych rozkładów:
),( yxF
2 Parametr θ jest określony dla )6(66.0≤ρ .
)()(),( yFxFyxF = 5.
Zapiszmy oba brzegowe rozkłady w postaci standaryzowanej:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−
= x
xxe
exF αβ
)( 6.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−
= y
yye
eyF α
β
)( 7.
σπ
α 6= 8.
αµβ 5772.0−= 9.
gdzie:
,,,, yxyx ααββ - statystyki próby, estymowane parametry rozkładu Gumbela za pomocą metody momentów,
σ - odchylenie standardowe w próbce,
µ - wartość średnia z próbki,
5772.0 - liczba Eulera.
Łączną funkcję gęstości prawdopodobieństwa możemy wyrazić następująco:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
−=∂∂
∂=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
−4
22
3
2
2
222
21),(1),(),(de
de
deeeyxF
yxyxFyxf
cc
yx
c
yx
y
y
x
x
θθθαα
αβ
αβ
10.
oraz
10 ≤≤θ , y
y
x
x yxcαβ
αβ −
+−
= , y
y
x
xyx
eed αβ
αβ −−
+= 11.
Warunkowa funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennych losowych X i Y może być
wyrażona:
1
0 )(ln1
)(ln1
0 )()(),()/(
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=== yFxFexFyFyxFyYxF
θ
12.
podobnie:
1
0 )(ln1
)(ln1
0 )()(),()/(
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=== yFxFeyFxFyxFxXyF
θ
13.
Okresy powtarzalności zdarzeń odpowiednio możemy wyrazić jako:
)Pr()(;)(1
1 xXxFxF
Tx ≤=−
= 14.
)Pr()(;)(1
1 yYyFyF
Ty ≤=−
= 15.
Podobnie okresy powtarzalności zdarzeń odpowiednio zdarzenia łącznego i warunkowego dwóch
zmiennych losowych X i Y mogą być wyrażone poprzez następujące formuły:
),Pr(),(;),(1
1, yYxXyxF
yxFT yx ≤≤=
−= 16.
)/Pr()/(;)/(1
100
0/ 0
yYxXyxFyxF
T yx =≤=−
= 17.
)/Pr()/(;)/(1
100
0/ 0
xXyYxyFxyF
T xy =≤=−
= 18.
Charakterystyka danych. Do prezentowanej analizy przyjęto dane z obserwacji na wodowskazie Stróża od roku 1951
do 1997. Niestety ze względu na brak ciągłości (w sensie kolejności lat) w posiadanym materiale
oraz ze względu na małą próbę dla analiz wielowymiarowych, wykorzystano cały posiadany
materiał. Konsekwencją takiego założenia było przyjęcie jako zdarzenia ekstremalnego faktu
odnotowania przepływów powodziowych oraz co może być równoznaczne i zgodne z ideą
identyfikowania zdarzeń ekstremalnych: do próby przyjęto każdy hydrogram fali powodziowej
charakteryzujący się co najmniej określoną wartością kulminacji . Założenie to jest
konsekwencją zależności funkcji strat powodziowych głównie od wartości kulminacji fali
powodziowej. W artykule ze względu na brak miejsca `nie są prezentowane liczbowe postacie
hydrogramów analizowanych fal powodziowych a jedynie ich reprezentacje graficzne. Poniżej
przedstawiono wybrane charakterystyki poszczególnych, przyjętych do analizy fal powodziowych.
)(grkQ
Rys.1. Zestawienie porównawcze analizowanych hydrogramów fal powodziowych zarejestrowanych na wodowskazie
Stróża z okresu 47 lat, od 1951 roku do 1997 roku.
Tab.1. Prezentacja graficzna analizowanych hydrogramów fal powodziowych (skala jednolita), (Rys.2. – Rys.47)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]1 kwiecień 1951
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]10 maj 1951
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]1 kwiecień 1952
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]7 kwiecień 1952
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]31 październik 1952
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]16 kwiecień 1955
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]1 czerwiec 1955
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]20 czerwiec 1955
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]7 lipiec 1955
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]31 lipiec 1955
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]28 czerwiec 1958
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]6 sierpień 1958
0
100
200
300
400
500
600
700
8000 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]9 lipiec 1960
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]23 lipiec 1960
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]29 marzec 1962
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]31 maj 1962
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]17 lipiec 1962
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]10 czerwiec 1965
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
t[h
Q[m3/s]1 sierpień 1965
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]20 luty 1966
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]28 maj 1966
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]28 styczeń 1967
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]17 lipiec 1968
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]17 sierpień 1969
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]4 czerwiec 1970
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]17 lipiec 1970
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]3 sierpień 1970
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]20 sierpień 1972
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]27 lipiec 1973
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]19 styczeń 1974
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]7 czerwiec 1974
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]18 lipiec 1975
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]12 sierpień 1980
0
100
200
300
400
500
600
700
8000 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]8 październik 1980
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]17 czerwiec 1983
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]11 lipiec 1983
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]2 lipiec 1984
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]7 sierpień 1985
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]19 maj 1987
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]28 kwiecień 1989
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]1 sierpień 1991
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]13 marzec 1993
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]2 kwiecień 1993
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]25 czerwiec 1995
0
100
200
300
400
500
600
700
8000 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]28 sierpień 1996
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 24 48 72 96 120
144
168
192
216
240
264
288
312
336
360
384
408
432
456
480
504
528
552
576
600
624
648
t[h]
Q[m3/s]4 lipiec 1997
Przygotowanie danych. Ze względu na dużą różnorodność hydrogramów fal powodziowych oraz by ustrzec się od
subiektywnej oceny każdego z hydrogramów osobno, do wszystkich hydrogramów zastosowano
następującą, ujednoliconą metodykę:
o jako definicję elementu w analizowanej próbie hydrogramów fal przyjęto fakt
posiadania tego zapisu identyfikowanego jako: fala powodziowa oraz ciągłość zapisu
informacji z częstością nie rzadziej niż raz na 24 godziny,
o do obliczeń objętości i czasów trwania fali przyjęto graniczny przepływ , przy czym
wartość tego przepływu wynosiła od 50 do 100 [m3/s] z krokiem 1 [m3/s] (kompletna
cQ
analiza probabilistyczna została wykonana dla prób losowych przy =50 [m3/s]),
wynikiem takiego zabiegu było uzmiennienie wartości objętości fali powodziowej oraz
czasu trwania w funkcji przepływu granicznego , kulminację przyjęto jako
maksymalny przepływ w posiadanym hydrogramie,
cQ
cQ
o wartości graniczne przedziału określono subiektywnie (nie jako wodę brzegową w
przekroju wodowskazowym Stróża), wartość minimalna została określona jako
natomiast wartość maksymalna została przyjęta jako ,
gdzie są wartościami przepływów we wszystkich analizowanych hydrogramach,
cQ
)))(max(min( tQ )))(min(max( tQ
)(tQ
o w konsekwencji niniejszych zabiegów do analizy przyjęto fale o jednym lub wielu
ekstremach lokalnych i tylko wielkość przepływu decydowało o ostatecznej postaci
analizowanego hydrogramu.
cQ
0
100
200
300
400
500
0 24 48 72 96 120
144
168
192
t[h]
Q[m3/s]lipiec 70
Vfali(Q )c
Qmax
Tfali(Q )c
Qc
t0(Q )c tk(Q )c
Rys.48. Metoda oceny parametrów fali powodziowej.
Zastosowanie mieszanego dwuwymiarowego modelu Gumbela do opisu rozkładu parametrów fal powodziowych.
Do analizy przyjęto próbę otrzymaną dla wartości =50 [m3/s].
Odpowiednio obliczono objętość fal oraz czas trwania. Wyniki zostały zestawione w Tab.2. W tym
akapicie możemy uzupełnić liczbowe określenie wartości granicznej: .
),,( falifalik TVQ cQ
]/[106 3 smQgrk =
Tab.2. Zestawienie danych
kQ faliV faliT L.p. Czas wystąpienia zdarzenia
[m3/s] [mln m3] [h] 1 kwiecień 51 134.00 14.93 52.65 2 maj 51 500.00 39.37 40.74 3 kwiecień 52 152.00 6.31 17.04
4 kwiecień 52 239.00 55.85 128.015 październik 52 285.00 28.48 40.81 6 kwiecień 55 217.00 17.77 39.92 7 czerwiec 55 125.00 17.11 50.59 8 czerwiec 55 148.00 17.57 45.64 9 lipiec 55 145.00 18.85 55.31
10 lipiec 55 407.00 48.62 55.63 11 czerwiec 58 780.00 44.12 81.74 12 sierpień 58 131.00 6.09 18.91 13 lipiec 60 131.00 35.53 103.1914 lipiec 60 370.00 61.35 95.93 15 marzec 62 218.00 62.92 219.1116 maj 62 203.00 60.31 168.3517 lipiec 62 365.00 17.73 31.15 18 czerwiec 65 425.00 35.90 73.78 19 sierpień 65 117.00 15.71 52.34 20 luty 66 229.00 52.61 95.89 21 maj 66 145.00 29.62 73.12 22 styczeń 67 123.00 15.20 50.35 23 lipiec 68 316.00 173.71 247.4624 sierpień 69 117.00 15.13 42.62 25 czerwiec 70 120.00 10.94 35.58 26 lipiec 70 500.00 66.85 75.97 27 sierpień 70 107.00 10.34 36.37 28 sierpień 72 320.00 34.70 73.76 29 lipiec 73 142.00 22.90 67.89 30 styczeń 74 229.00 21.93 52.71 31 czerwiec 74 204.00 24.04 57.55 32 lipiec 75 163.00 19.02 53.21 33 sierpień 80 120.00 20.95 63.06 34 październik 80 106.00 20.86 78.23 35 czerwiec 83 191.00 29.82 74.82 36 lipiec 83 130.00 17.89 55.19 37 lipiec 84 154.00 17.71 51.88 38 sierpień 85 144.00 28.62 74.72 39 maj 87 173.00 31.36 78.35 40 kwiecień 89 130.00 21.55 67.29 41 sierpień 91 162.00 36.83 100.3042 marzec 93 108.00 19.29 65.53 43 kwiecień 93 140.00 25.47 91.53 44 czerwiec 95 117.00 19.58 62.08 45 sierpień 96 219.00 47.95 129.0046 lipiec 97 220.00 51.70 114.46
Objętość fal została określona na podstawie następującej formuły:
∫=kt
tfali dttQV
0
)( 19.
gdzie:
faliV [mln m3]- objętość fali powodziowej,
0t [h] – chwila uznana za początek fali powodziowej, )(tQQc += (Rys.48.),
kt [h] - chwila uznana za koniec fali powodziowej, )(tQQc −= (Rys.48.),
0ttT kfali −= , [h] - czas trwania fali powodziowej.
Sformułowanie zadania optymalizacyjnego. Poprawne sformułowanie zadania optymalizacyjnego wymaga określenia postaci funkcji
dystrybuanty empirycznej łącznej, dystrybuanty teoretycznej łącznej, zdefiniowania zmiennych
decyzyjnych oraz funkcji kryterialnej.
Budowa wielowymiarowej dystrybuanty jest podobna do tworzenia jej w przypadku
jednowymiarowym. Dwuwymiarową tablicę układamy w dwuwymiarowy rosnący ciąg rozdzielczy.
Do oceny dystrybuanty empirycznej użyto formuły Gringortena (1963). Prawdopodobieństwo nie
przewyższenia za pomocą tej formuły można wyrazić:
12.044.0
+−
=NkPk 20.
W związku z tym dystrybuantę empiryczną możemy zapisać:
12.0
44.0),( 1 1
+
−=≤≤=∑∑= =
N
nVVUUPF
n
i
m
jij
empij ji
21.
gdzie:
ijn - liczba wystąpień kombinacji ji VU ,
N - liczba obserwacji.
),( jiempemp
ij VUFF = - wartość dystrybuanty empirycznej,
Wartość dystrybuanty teoretycznej łącznej dla mieszanego modelu Gumbela z
standardowym brzegowymi rozkładami Gumbela możemy zapisać (na podstawie wzorów
1,2,3,6,7):
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
==
1
42
1
31
5
4
2
3
1
),(
xxv
xxu
eex
xxv
ex
xue
teor eeevuFF
22.
gdzie:
;5,...,1),( == ixxx i - wektor zmiennych decyzyjnych, odpowiednio poszczególne współrzędne wektora niosą
informację o wartościach średnich oraz odchyleniach standardowych dwuwymiarowej próby losowej . ),( VU
W procesie optymalizacji nałożono ograniczenie na zmienną decyzyjną , opisującą związek
pomiędzy dwoma zmiennymi losowymi U i ,
5x
V 10 5 ≤≤ x . Do oceny statystyk analizowanych
prób wykorzystano wzory 8,9.
Przyjęto następującą postać funkcji kryterialnej:
( )∑∑ −=i j
empij
teorijk FFF 2 23.
gdzie:
),(),( jijiteorteor
ij VVUUPVVUUFF ≤≤==== - wartość dystrybuanty teoretycznej,
( )xFF kk = - funkcja kryterialna.
Dla wymienionej postaci funkcji kryterialnej poszukiwany jest wektor współczynników
liczbowych (wektor zmiennych decyzyjnych), dla których funkcja kryterialna przyjmuje wartość
minimalną:
min)(;5,...,1),( →= xFixx ki 24.
Obliczenia i prezentacja wyników. Optymalizacja została wykonana dla trzech par zmiennych losowych (wszystkich
kombinacji bez powtórzeń), odpowiednio dla ),(),( falik VQVU = , oraz
. Ograniczenia na zmienną decyzyjną egzekwowano poprzez zdefiniowanie
funkcji kary. Do optymalizacji wykorzystano algorytm simplex Nelder’a-Mead’a. Proces
optymalizacji przebiegał w dwóch etapach. W pierwszym etapie, przy rozpoczęciu procesu
optymalizacji generowano 100 punktów startowych i rozwiązywano problem przy mniejszej
dokładności, rzędu 10-4. Następnie wybierano te punkty dla których wartość funkcji kryterialnej
różniła się do 10% od wartości najmniejszej z uzyskanych. W ten sposób otrzymywano do
kilkunastu punktów wyjściowych do drugiego etapu optymalizacji, tym razem już z większą
dokładnością dla kryterium stopu, rzędu 10-15. Jako rozwiązanie postawionego problemu
optymalizacyjnego przyjmowano wartości zmiennych decyzyjnych dla których wartość funkcji
kryterialnej była najmniejsza. Całość problemu optymalizacyjnego była rozwiązywana bez
ograniczeń na pozostałe zmienne decyzyjne . W tabeli poniżej zestawiono wyniki
optymalizacji.
),(),( falik TQVU =
),(),( falifali TVVU = 5x
),,,( 4321 xxxx
Tab.3. Porównanie parametrów rozkładu. Zestawienie parametrów dla zmiennych losowych: falik VQ ,
Nazwa zmiennej decyzyjnej
Wartość optymalna Nazwa statystyki Obliczone
statystyki przed Estymacja statystyk na
podstawie wartości
optymalizacją optymalnych
1x 12.92 [ ]kQE [m3/s] 215.67 130.51
2x 9.59 [ ]faliVE [mln m3] 32.41 21.74
3x 158.85 kQσ [m3/s] 134.65 203.74
4x 16.41 faliVσ [mln m3] 26.68 21.05
5x 1.0000 ),( falik VQρ 0.42 0.67
kF 0.0408
Zestawienie parametrów dla zmiennych losowych: falik TQ ,
1x 19.89 [ ]kQE [m3/s] 215.67 138.63
2x 37.69 [ ]faliTE [h] 74.78 58.46
3x 160.40 kQσ [m3/s] 134.65 205.72
4x 28.06 faliTσ [h] 45.17 35.99
5x 0.24 ),( falik TQρ 0.14 0.15
kF 0.0112
Zestawienie parametrów dla zmiennych losowych: falifali TV ,
1x -2.22 [ ]faliVE [mln m3] 32.41 15.12
2x 37.71 [ ]faliTE [h] 74.78 56.16
3x 23.42 faliVσ [mln m3] 26.28 30.04
4x 24.92 faliTσ [h] 45.17 31.96
5x 0.7924 ),( falifali TVρ 0.84 0.52
kF 0.0140
Tab.4. Porównanie funkcji zmiennych losowych . falik VQ ,
Przed optymalizacją Po optymalizacji
Rys.49. – Rys.52. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Gumbela dwóch zmiennych losowych: przed i po optymalizacji.
fk VQ ,
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Fteor [.]
Fem
p[.]
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Fteor [.]
Fem
p[.]
Rys.53. – Rys.54. Graficzne porównanie zgodności wartości dystrybuanty empirycznej i teoretycznej przed i po
optymalizacji parametrów dla zmiennych losowych . falik VQ ,
1
10
100
1000
20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
V[mln m3]
T [la
ta] 100 200
300 400500 600700 800900 10001100 12001300
Rys.55. Łączny okres powtarzalności dla zmiennych losowych . falik VQ ,
1
10
100
1000
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
V[mln m3]
T(V
/Q=Q
0) [l
ata] 100 200
300 400
500 600
700 800900 1000
1100 1200
1300
Rys.56. Warunkowy okres powtarzalności )/( 0QQVTqv = .
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035
-100 100 300 500 700 900 1100 1300
Vfali [mln m3]
p(V
/Q=Q
0)[.
]
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
Q0 [m3/s]
E(V
/Q=Q
0) [
mln
m3 ]
100 200300 400500 600700 800900 10001100 12001300 E(V/Q=Q0)
Rys.57. Warunkowe rozkłady funkcji gęstości prawdopodobieństwa )/( 0QQVp = oraz warunkowa wartość
oczekiwana )/( 0QQVE = .
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
0.0030
0.0035
-400 -200 0 200 400 600 800 1000
Q0 [m3/s]
p(Q
/V=V
0) [
.]
0
20
40
60
80
100
120
Vo [mln m3]
E(Q
/V=V
0) [
m3 /s
]
10 2030 4050 6070 8090 100110 120130 140E(Q/V=V0)
Rys.58. Warunkowe rozkłady funkcji gęstości prawdopodobieństwa )/( 0VVQp = oraz warunkowa wartość
oczekiwana )/( 0VVQE = .
Tab.5. Zestawienie wybranych warunkowych oczekiwanych wartości zmiennych losowych . ),( VQk
Ustalone wartości iennej losowej zm kQ
Wartość oczekiwana objętości dopływającej fali
powodziowej przy ustalonej wartości
kulminacji
Ustalone wartości zmiennej losowej V
Wartość oczekiwana kulminacji dopływającej fali powodziowej przy
ustalonej wartości objętości
kQ [m3/s]
)/( 0QQVE = [mln m3]
faliV [mln m3]
)/( faliVVQE = [m3/s]
100 10.01 20 20.50 200 12.49 30 43.17 300 14.46 40 61.15 400 15.93 50 74.79 500 17.00 60 84.70 600 17.74 70 91.64 700 18.23 80 96.34 800 18.55 90 99.43 900 18.76 100 101.41 1000 18.88 110 102.66
Tab.6.Porównanie funkcji zmiennych losowych Q falik T,Przed optymalizacją Po optymalizacji
Rys.59. – Rys.62. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Gumbela dwóch zmiennych losowych: przed i po optymalizacji.
falik TQ ,
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Fteor [.]
Fem
p[.]
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Fteor [.]
Fem
p[.]
Rys.63. – Rys.64. Graficzne porównanie zgodności wartości dystrybuanty empirycznej i teoretycznej przed i po
optymalizacji parametrów dla zmiennych losowych . falik TQ ,
1
10
100
1000
20 70 120 170 220 270 320
Tfali[h]
T [la
ta] 100 200
300 400500 600700 800900 10001100 12001300 14001500 1600
Rys.65. Łączny okres powtarzalności dla zmiennych losowych .. falik TQ ,
1
10
100
1000
10 30 50 70 90 110 130 150 170 190 210 230
Tfali[h]
T(T
fali/Q
=Q0)
[lat
a]
100 200300 400500 600700 800900 10001100 12001300 14001500
Rys.66. Warunkowy okres powtarzalności )/( 0QQTT faliqv = .
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
0.016
-100 100 300 500 700 900 1100 1300 1500
Tfali [h]
p(T f
ali/
Q=Q
0)[.
]
50.00
51.00
52.00
53.00
54.00
55.00
56.00
57.00
58.00
59.00
Q0 [m3/s]
E(T
fali
/Q=Q
0) [
h]
100 200
300 400
500 600
700 800
900 1000
1100 1200
1300 1400
1500 E(T/Q=Q0)
Rys.67. Warunkowe rozkłady funkcji gęstości prawdopodobieństwa )/( 0QQTp = oraz warunkowa wartość
oczekiwana )/( 0QQTE = .
0.0000
0.0005
0.0010
0.0015
0.0020
0.0025
0.0030
-400 -200 0 200 400 600 800
Q0 [m3/s]
p(Q
/Tfa
li=T
0) [
.]
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
To [h]
E(Q
/Tfa
li=T
0) [
m3 /s
]
10 2030 4050 6070 8090 100110 120130 140E(Q/T=T0)
Rys.68. Warunkowe rozkłady funkcji gęstości prawdopodobieństwa 0/( TTQp = oraz warunkowa wartość
oczekiwana )/( 0TTQE = .
Tab.7. Zestawienie wartości )/( 0TTQE = .
Ustalone wartości zmiennej losowej
Wartość oczekiwana czasu trwania dopływającej fali
powodziowej przy ustalonej wartości
kulminacji
Ustalone wartości zmiennej losowej
Wartość oczekiwana kulminacji dopływającej fali powodziowej przy
ustalonej wartości czasu trwania fali
kQ [m3/s]
)/( maxQQTE = [h]
0T [h]
)/( 0TTQE = [m3/s]
100 54.64 10 99.25 200 55.57 20 102.63 300 56.38 30 106.22 400 57.01 40 109.94 500 57.49 50 113.65 600 57.83 60 117.24 700 58.06 70 120.62 800 58.22 80 123.72 900 58.31 90 126.47 1000 58.37 100 128.87
Tab.8. Porównanie funkcji zmiennych losowych V falifali T,
Przed optymalizacją Po optymalizacji
Rys.69.- Rys.72. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Gumbela dwóch zmiennych losowych: przed i po optymalizacji.
falifali TV ,
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Fteor [.]
Fem
p[.]
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Fteor [.]
Fem
p[.]
Rys.73.- Rys.74. Graficzne porównanie zgodności wartości dystrybuanty empirycznej i teoretycznej przed i po
optymalizacji parametrów dla zmiennych losowych . falifali TV ,
Dyskusja analiz i wyników.
A. Parametry analizowanych fal. Wynikiem pośrednim analizy probabilistycznej było uzyskanie dla poszczególnych
hydrogramów w zależności od wartości przepływu wielkości objętości fali oraz czasu trwania
(Rys.75). Analizując prezentowane zależności pomiędzy czasem trwania fali oraz objętością fali
przy różnych wartościach (od 50 do 100 [m3/s] co 1 [m3/s]) można zauważyć liniową zależność.
Ponadto wizualnie można stwierdzić zgodność funkcji liniowej co do współczynnika
kierunkowego. Obliczenia jakie wykonano potwierdzają tezę:
cQ
cQ
o średnia wartość współczynnika kierunkowego: 0.259 [mln m3]/[h]
o odchylenie standardowe współczynnika kierunkowego: 0.023 [mln m3]/[h].
Rys.75., Rys.76. Przestrzenna
wizualizacja analizy parametrów fali powodziowej (objętości i czasu
trwania) w zależności od wielkości przepływu - kolorem zróżnicowano
poszczególne analizowane hydrogramy.
cQ
B. Statystyki próby. Kompletne obliczenia probabilistyczne oraz prezentacja wyników zostały wykonane dla
parametrów fal powodziowych uzyskanych przy założeniu że wartość =50 [m3/s]. Bez
prezentacji graficznej i liczbowej wyników przeprowadzono optymalizacje parametrów rozkładu
dla pozostałych określonych parametrów fal powodziowych, otrzymanych dla wartości (od 51
do 100 [m3/s] co 1 [m3/s]). Przedstawiono jedynie zmienność statystyk estymowanych próby na
podstawie parametrów optymalnych (wzory: 8,9), (Rys.76., Rys.77.).
cQ
cQ
y = 0.0425x + 125.74
y = -0.2088x + 33.022
0.0
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
Qc [m3/s]
Qk[
m3 /s
], V
[mln
m3 ]
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70[.]
średnia kulminacja Qk [m3/s]średnia objętość V [mln m3]odchylenie standardowe Qk [m3/s]odchylenie standardowe V [mln m3]współczynnik korelacjiFk - wartość funkcji kryterialnejLiniowy (średnia kulminacja Qk [m3/s])Liniowy (średnia objętość V [mln m3])
Rys.76. Wizualizacja estymowanych statystyk dla zmiennych losowych na podstawie optymalnych
parametrów analizowanego rozkładu w funkcji wartości . falik VQ ,
cQ
y = 0.0508x + 138.93
y = -0.6221x + 85.825
0.0
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
Qc [m3/s]
Qk[
m3 /s
], T[
h]
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70[.]średnia kulminacja Qk [m3/s]
średni czas T [h]
odchylenie standardowe Qk [m3/s]
odchylenie standardowe T [h]
Fk - wartość funkcji kryterialnej
współczynnik korelacji
Rys.77. Wizualizacja estymowanych statystyk dla zmiennych losowych na podstawie optymalnych
parametrów analizowanego rozkładu w funkcji wartości . falik TQ ,
cQ
W Tab.3. można zauważyć dużą różnicę pomiędzy wartościami statystyk obliczonych z
próby oraz estymowanych statystyk na podstawie parametrów optymalnych. Spróbujmy
przeanalizować kilka przyczyn tego faktu, oczywiście musimy mieć cały czas świadomość, że
zaproponowany dwuwymiarowy rozkład mieszany Gumbela może, ale nie musi poprawnie
opisywać zaproponowane zmienne losowe, jednak kontynuujmy:
o na początku możemy założyć, że analizowana próba jest reprezentatywna dla populacji
generalnej i powyższe różnice wynikają z następujących powodów:
• niepoprawnym doborze wartości początkowej i końcowej określającej hydrogram
fali powodziowej; rysunki Rys.76 oraz Rys.77. pokazują trend niektórych statystyk i
przy małych wartościach byłaby pełna zgodność w zakresie objętości fali, jednak
trudno prowadzić tak rozszerzające wnioskowanie,
cQ
• traktując estymowane statystyki analizowanych prób jako zmienne losowe można
stwierdzić bardzo małe prawdopodobieństwo takich wyników i raczej należałoby
poszukać błędu systematycznego znajdującego się w danych np.: w kształtach
hydrogramów, niestety ze względu na brak innego materiału nie można zająć
odmiennego stanowiska,
• elementy z próby nie spełniają założeń przy których został wyprowadzony mieszany
rozkład wartości ekstremalnych Gumbela,
o analizowana próba nie jest reprezentatywna dla populacji generalnej,
• próba jest zbyt mała dla prowadzenia wnioskowania rozszerzającego na podstawie
rozkładów wielowymiarowych, należy dążyć do zwiększenia liczby hydrogramów
fal powodziowych, na korzyść tego wniosku jest duża zgodność estymowanych
statystyk dla poszczególnych kombinacji zmiennych losowych (Tab.3.).
Powyżej wymieniono tylko te z istotniejszych przyczyn omawianej rozbieżności, osobiście
jednak skłaniałbym się do wniosku o nie reprezentatywności i zbyt mało licznej próbie do
prowadzenia tak rozszerzającego wnioskowania budowanego na rozkładach wielowymiarowych.
Ponadto zauważyć należy, że z punktu widzenia dynamicznej analizy probabilistycznej oraz
dynamicznej analizy ryzyka (aktualizacji parametrów statystycznych z próby w czasie wraz z
pojawianiem się nowych zdarzeń) przy tak dopasowywanych rozkładach w końcu podstawowe
twierdzenie statystyki matematycznej zapewni nam ich zgodność.
C. Wszystkie algorytmy wykorzystane w obliczeniach zostały napisane przez autora w
środowisku Matlab. Osobiście były wykonywane wszystkie obliczenia i przedstawiane analizy.
Zaprezentowany materiał jest elementem szerszej pracy autora [16].
D. Aspekty ryzyka. Na początku artykułu zostało jednoznacznie ustalone, że ryzyko identyfikowane jest w
kategoriach probabilistycznych. Czy będzie jego miarą dyspersja, czy prawdopodobieństwo porażki
(subiektywnie definiowanej), czy inna postać statystki, rozstrzygnięcie tego problemu zależy od
rodzaju i celu analizy. Istotne jest że w parze z wartością ryzyka zawsze identyfikowana jest strata
(może być małym zyskiem lecz powodującym negatywne odczucia decydenta). Rozpatrzmy
trudniejszy przypadek definiowania dwuwymiarowego ryzyka jako prawdopodobieństwa porażki,
które może być rozumiane w sposób uogólniony (pamiętajmy że możemy wykorzystać łączne i
warunkowe rozkłady w zależności od rozpatrywanej sytuacji, poniżej wymieniono tylko zapis
uogólniony):
o - zmienne losowe są zbyt małe, ),Pr(),( yYxXyxR ≤≤=
o - zmienne losowe są zbyt duże, ),Pr(),( yYxXyxR ≥≥=
o - zbyt mała pierwsza i za duża druga zmienna losowa ),Pr(),( yYxXyxR ≥≤=
o - zbyt duża pierwsza i za mała druga zmienna losowa ),Pr(),( yYxXyxR ≤≥=
o - pierwsza zmienna losowa za duża w relacji z drugą, )Pr(),( YXyxR ≥=
o - pierwsza zmienna losowa za mała w relacji z drugą. )Pr(),( YXyxR ≤=
Dodajmy kilka słów na temat konwencji zastosowanego nazewnictwa: jeżeli ryzyko identyfikujemy
z porażką, czyli np.: zależy decydentowi na tym by wartości zmiennej losowej były mniejsze niż
określona wartość graniczna to przekroczenie tej wartości wiąże się z pojawieniem porażki, czyli
zmienna losowa przyjmuje za duże wartości.
Łączne i warunkowe rozkłady prawdopodobieństwa z sukcesem mogą być wykorzystywane
w rozwiązywaniu wielu problemów z zakresu projektowania i zarządzania (eksploatacji) w
inżynierii środowiska, gospodarki, ubezpieczeniach itd. Wielowymiarowe funkcje
prawdopodobieństwa oraz ryzyka, pozwalają uzyskać istotne informacje między innymi o czasie
powrotu zdarzeń takich jak powódź, susza, bessa na giełdzie, ruina towarzystwa lub towarzystw
ubezpieczeniowych, upadek wielkich koncernów finansowych, itd. Również mogą być
wykorzystywane w ocenie pracy poszczególnych elementów systemu poprzez określanie
niezawodności lub też zawodności systemu.
A chosen aspects of the risk evaluation in environmental engineering fields. Part I.
Literatura. [1]. Benjamin J.R., Cornell C. A. Rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna i teoria decyzji dla
inżynierów. WNT, Warszawa, 1977
[2]. Feller W. Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. T.1,2, PWN, Warszawa, 1978.
[3]. Yue S., Ouarda T.B.M.J., Bobee B., Legendre P., Bruneau P., The Gumbel mixed model for flood frequency analysis. Journal of Hydrology 226, 88-100, 1999.
[4]. Kaczmarek Z., Metody statystyczne w hydrologii i meteorologii. WkiŁ, Warszawa, 1970.
[5]. Kaczmarek Z., Rozważania w sprawie ryzyka i niepewności. Monografia Komitetu Gospodarki Wodnej PAN, Ryzyko w Gospodarce Wodnej, 2000.
[6]. Matlab & Simulink. The MathWorks, Inc., 2004.
[7]. Miller D.W., Starr M.K., Praktyka i teoria decyzji. PWN, Warszawa, 1969.
[8]. Maciejewski M., Ryzyko w gospodarce wodnej. Monografia Komitetu Gospodarki Wodnej PAN, Ryzyko w Gospodarce Wodnej, 2000.
[9]. Ozga-Zielińska M., Szacowanie ryzyka hydrologicznego na potrzeby projektowania budowli inżynierii wodnej. Monografia Komitetu Gospodarki Wodnej PAN, Ryzyko w Gospodarce Wodnej, 2000.
[10]. Stark R.M., Nicholls R.L., Matematyczne podstawy projektowania inżynierskiego, PWN, Warszawa 1979.
[11]. Słota H., Ryzyko w ochronie przed powodzią. Monografia Komitetu Gospodarki Wodnej PAN, 2000.
[12]. Twaróg B., (kierownik projektu), Optymalna ochrona przed powodziami z uwzględnieniem ryzyka. Indywidualny projekt badawczy, zakończony KBN: P06H 038 14, 1998.
[13]. Twaróg B., (kierownik projektu), Zastosowanie ryzyka do oceny algorytmów wspomagania decyzji w warunkach powodzi na przykładzie wybranego zbiornika retencyjnego, realizowany w ramach tematu: Współczesne metody projektowania i zarządzania w inżynierii i gospodarce wodnej, projekt: Ś-1/478/DS/2004.
[14]. Twaróg B., Optymalna ochrona przed powodziami z uwzględnieniem ryzyka. Ochrona i Inżynieria Środowiska Zrównoważony Rozwój, Kraków wrzesień 2004, Monografie Komitetu Inżynierii Środowiska PAN vol.25, 2004.
[15]. Twaróg B., (kierownik projektu), Zastosowanie ryzyka do oceny algorytmów wspomagania decyzji w warunkach powodzi na przykładzie wybranego zbiornika retencyjnego. Aspekty zastosowania sztucznej inteligencji. Projekt w trakcie realizacji w ramach tematu: Współczesne metody projektowania i zarządzania w inżynierii i gospodarce wodnej. Ś-1/351/DS/2005.
[16]. Twaróg B., Wybrane aspekty ryzyka w gospodarce wodnej. (Tytuł roboczy). Politechnika Krakowska, Wydział Inżynierii Środowiska, Instytut Inżynierii i Gospodarki Wodnej. Praca habilitacyjna na ukończeniu. 2005/2006.
[17]. Żelaziński J., Niepewność w gospodarce wodnej. Monografia Komitetu Gospodarki Wodnej PAN, Ryzyko w Gospodarce Wodnej, 2000.
