Probabilidade

IntroducaoConceitos Iniciais

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UFAL - Universidade Federal de AlagoasUFAL - Instituto de Computacao

Probabilidade

Jonathas [email protected]

Magalhaes, J.J. IA – 2013 1


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Roteiro

1 Introducao

2 Conceitos Iniciais

3 Probabilidade



Probabilidade

Representacao de Conhecimento e Raciocınio comIncerteza

Situacoes do mundo real e dos problemas a serem resolvidosraramente lidam com a certeza;

Problema do Conhecimento Incerto;

Como caracteriza-lo?Como trata-lo?



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Cenario de Incerteza – Parte I

Medico atendendo um paciente na emergencia:

Medico precisa atuar rapidamente com base nos sintomas ou nasevidencias apresentadas pelo paciente;

Ele faz perguntas ao paciente e analisa suas respostas:

Forte dor no peito e ligeira dor de cabeca;

Necessidade do medico atuar com base nessa informacao incerta;

Pedido de outros exames;

Se o caso for grave ha a necessidade de atuar na ausencia deinformacao (incerteza).



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Cenario de Incerteza – Parte II

Mais tarde com a chegada dos resultados, pode-se ter que rever aopiniao inicial:

Inicialmente, pensou-se que o paciente que apresentava dor decabeca, estava com uma gripe simples;

Com as analises e exames efetuados, concluiu-se que se tratavade uma meningite;

Que licao pode ser tirada do exemplo?



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Conhecimento Imperfeito

Informacao imperfeita e conhecida no contexto de sistemasbaseados em conhecimento como incerteza;

Incerteza, contudo, pode “significar” informacao (ausencia dela):

Imprecisa, conflituosa, parcial, nao confiavel, aproximada, etc.



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Fontes de Incerteza

Falta de dados;

Inconsistencia de dados;

Imprecisao na mensuracao;

Imprecisao no conceito;

Falta de uma teoria.



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Evento Aleatorio

E um evento em que os resultados nao podem ser previstos comcerteza, exemplos:

O resultado de um lancamento de um dado;Diagnostico de uma doenca;O numero de vendas de um determinado produto.



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Espaco Amostral

Espaco amostral e o conjunto de todos os resultados possıveisde um evento aleatorio;

Sera representado pela letra grega Ω;

Os subconjuntos do espaco amostral Ω sao chamados deeventos e sao representados por letras maiusculas do alfabeto(A,B,C,...,Z).



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Espaco Amostral – Exemplos

1 Um juiz de futebol lanca uma moeda e observa os possıveisresultados (faces da moeda):

Ω = C ,R, onde C e cara e R e coroa.

2 Uma moeda e lancada duas vezes e observa-se as faces obtidas:

Ω = CC ,CR,RC ,RR, onde C e cara e R e coroa.

3 Em uma cidade, famılias com 3 criancas sao selecionadas aoacaso, anotando-se o sexo de cada uma.

Ω = FFF ,FFM,FMF ,FMM,MMM,MMF ,MFM,MFF, ondeF e feminino e M e masculino.



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Espaco Amostral – Exercıcios

1 Um dado e lancado duas vezes e a ocorrencia de face par ouımpar e observada.

2 Uma urna contem 10 bolas azuis e 10 vermelhas com dimensoesrigorosamente iguais. Tres bolas sao selecionadas ao acaso comreposicao e as cores sao anotadas.

3 Dois dados sao lancados simultaneamente e estamos interessadosna soma das faces observadas.

4 Uma maquina produz 20 pecas por hora, escolhe-se um instantequalquer e observa-se o numero de pecas defeituosas na proximahora.

5 Uma moeda e lancada consecutivamente ate o aparecimento daprimeira cara.



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Teoria dos Conjuntos

Conjunto vazio denotado por ∅;

Uniao de dois eventos A e B significa que pelo menos um delesira ocorrer, denota-se por A ∪ B;

Interseccao de dois eventos A e B e a ocorrencia concomitantedos dois eventos, denota-se por A ∩ B.



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Teoria dos Conjuntos

Dois eventos A e B sao considerados como disjuntos oumutualmente exclusivos quando nao possuem elementos emcomum:

A ∩ B = ∅.

Dois eventos A e B sao complementares se sua uniao e oespaco amostral e sua interseccao e vazia:

A ∩ B = ∅ e A ∪ B = Ω.

O complementar de A e representado por A (ou por AC ou A′),onde:

A ∩ A = ∅ e A ∪ A = Ω.



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Probabilidade CondicionalParticao do Espaco AmostralProbabilidade TotalTeorema de Bayes

Probabilidade

Dado o espaco amostral Ω, a funcao P(.), e chamada deprobabilidade se satisfazer os seguintes axiomas:

0 ≤ P(A) ≤ 1,∀A ⊆ Ω;P(Ω) = 1;P(

⋃nj=1 Aj) =

∑nj=1 P(Aj), com todos os Aj disjuntos.



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Propriedades da Probabilidade

Dados os axiomas apresentados, derivam-se as seguintespropriedades:

P(∅) = 0;∀A ⊆ Ω,P(A) = 1− P(A);∀A,B ⊆ Ω,P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).



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Exercıcio

Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil saoconsiderados esportistas. Temos, ainda, que 500 alunos sao docurso de biologia diurno, 700 da biologia noturno, 100 saoesportistas e da biologia diurno e 200 sao esportistas e dabiologia noturno. Um aluno e escolhido, ao acaso, e pergunta-sea probabilidade de:

1 Ser esportista.2 Ser esportista e aluno da biologia noturno.3 Nao ser de biologia.4 Ser esportista ou aluno da biologia.5 Nao ser esportista, nem aluno da biologia.



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Probabilidade Condicional

Eventos podem influenciar outros;

A probabilidade condicional refere-se a probabilidade de ocorrerum evento A ⊆ Ω dado a informacao sobre a ocorrencia doevento B;

Exemplo:

Probabilidade de Neymar jogar – P(N);Probabilidade do Brasil vencer – P(B);P(B|N) – Le-se: probabilidade do evento B ocorrer dado N, ouseja, probabilidade do Brasil vencer dado que Neymar estajogando.



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Probabilidade Condicional

A probabilidade condicional de P(A|B) e dada por:

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B), (1)

Onde P(B) > 0.



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Probabilidade Condicional – Exemplo

Exemplo: Dados os eventos A e B, calcule P(A|B):



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Probabilidade Condicional – Exemplo

Resposta:

Dado que: P(A|B) = P(A∩B)P(B) , temos que:

P(A ∩ B) = 5/50 = 1/10;P(B) = 30/50 = 3/5.

Logo, P(A|B) = 1/103/5

= 1/10 * 5/3= 1/6.



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Independencia de Eventos

“Independencia de eventos: Dois eventos A e B sao

independentes se a informacao da ocorrencia (ou nao)

de B nao altera a probabilidade de ocorrencia de A.”

Entao:

P(A|B) = P(A),P(B) > 0;P(A ∩ B) = P(A) ∗ P(B).



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Particao do Espaco Amostral

Os eventos B1,B2, ...,Bk formam uma particao do espacoamostral, se:

Eles nao tem interseccao entre si, Bi ∩ Bj = ∅ para i 6= j ;

E se sua uniao e igual ao espaco amostral,⋃k

i=1 Bi = Ω.



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Particao do Espaco Amostral

O evento A pode ser escrito em termos de interseccoes de A comos eventos B1,B2, ...,Bk :

A = (A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2) ∪ ... ∪ (A ∩ B6). (2)



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Probabilidade Total

Sejam B1,B2, ...,Bn os eventos que formam uma particao doespaco amostral e seja A um evento desse espaco;

Podemos calcular a probabilidade de um evento P(A) em funcaodos eventos B1,B2, ...,Bn:

P(A) =n∑

i=1

P(A|Bi ) ∗ P(Bi ). (3)



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Teorema de Bayes

O teorema de Bayes e uma decorrencia da formula probabilidadecondicional:

P(A|B) =P(B|A) ∗ P(A)

P(B), (4)

De uma forma extendida, pode ser escrito da seguinte forma:

P(Aj |B) =P(B|Aj) ∗ P(Aj)∑ni=1 P(B|Ai ) ∗ P(Ai )

. (5)



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Teorema de Bayes

O teorema de bayes pode ser entendido da seguinte forma:

P(H|E ) =P(E |H) ∗ P(H)

P(E ), (6)

H e a minha hipotese, ou seja, e o evento que esta sendoinvestigado;

E e a evidencia que e observada;

P(H) e a probabilidade a priori da minha hipotese ocorrer, ouseja, antes do evento E ser observado;

P(H|E ) e a probabilidade posteriori, ou seja, e a probabilidadeda minha hipotese H ocorrer dado o evento E .



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Teorema de Bayes – Exemplo

Suponha que no meio da noite dispare o alarme contra ladroes deuma casa. Deseja-se entao saber quais sao as chances de queesteja havendo uma tentativa de roubo.

Admita:

Que existam 95% de chances de que o alarme dispare quando umatentativa de roubo ocorre;Que em 1% das vezes o alarme dispara por outros motivos;Que no bairro existe uma chance em 10.000 de uma dada casa serassaltada em um dado dia.



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Representando:

Tentativa de roubo – R;Alarme dispara – A;

Deseja-se saber quais sao as chances de roubo dado que o alarmedisparou – P(R|A) = ?

Sabe-se que:

Existem 95% de chances de que o alarme dispare quando umatentativa de roubo ocorre – P(A|R) = 0.95;Em 1% das vezes o alarme dispara por outros motivos –P(A|R) = 0.01;Que no bairro existe uma chance em 10.000 de uma dada casa serassaltada em um dado dia – P(R) = 0.0001.



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Pelo teorema de Bayes, temos que: P(R|A) = P(A|R)∗P(R)P(A) ;

Sabemos que:

P(A|R) = 0.95;P(R) = 0.0001;P(A) e alcancado utilizando-se a formula da probabilidade total:P(A) = P(A|R) ∗ P(R) + P(A|R) ∗ P(R)= 0.95 ∗ 0.0001 + 0.01 ∗ 0.9999= 0.010094

Logo: P(R|A) = 0.95∗0.00010.010094 = 0.0094.



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