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MATERIAL PARA O 1º BIMESTRE -

MATEMÁTICA

3º ANO DO ENSINO MÉDIO

DOCENTE: IVE PINA

CONTEÚDO: PROBABILIDADE

Problema inicial: Um automóvel será sorteado entre os clientes de um shopping center. Paulo depositou 50 cupons em uma das urnas espalhadas pelo shopping, e Janete depositou 20 cupons. Hoje, dia de sorteio, os conteúdos de todas as urnas foram juntados, formando um monte com 10.000 cupons. Um representante do shopping vai sortear um cupom. É possível MEDIR a possibilidade de cada um ganhar o automóvel. Como Paulo tem

50 cupons dentre os 10.000 que participam do sorteio, indicamos por 000.10

50 a

MEDIDA da possibilidade de Paulo ganhar; de maneira análoga, a medida da

possibilidade de Janete ganhar é 000.10

20 . As frações 000.10

50 e 000.10

20 são chamadas de

probabilidades de Paulo e Janete ganhares respectivamente. Esse exemplo ajuda a entender que a probabilidade é um número que mede a possibilidade de ocorrer – ou não – um resultado. Ou seja, da afirmação "é provável que o meu time ganhe a partida hoje" pode resultar: - que ele ganhe - que ele perca - que ele empate Vale ressaltar que esse número fracionário também pode ser um valor percentual, pois:

000.10

50 = 0,005 . 100% = 0,5% 000.10

20 = 0,002 . 100% = 0,2%

Isto significa que a chance de Paulo ganhar é de meio porcento e as chances de Janete ganhar são ainda menores 0,2%. Experimento aleatório: É todo experimento cujo resultado depende exclusivamente do acaso. Ex: lançamento de uma moeda, lançamento de um dado, lançamento de duas moedas, lançamento de dois dados, o sorteio de um cupom de um total de 10.000 cupons, a retirada de uma carta do baralho, nascimento de uma criança, etc. Espaço amostral de um experimento aleatório (S) – Casos Possíveis: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Exemplos:

a) Lançamento de uma moeda: O espaço amostral S = {K, C}. Assim, o nº de elementos de E, ou seja, n(S) = 2.

b) Lançamento de um dado: S = {1,2,3,4,5,6}. Portanto, n(S) = 6. c) Lançamento de duas moedas: S = {(C,C),(C,K),(K,C),(K,K)} Assim, n(S) = 4.

ou __ . __ 2 2 = 4

d) Lançamento de dois dados: S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5), (4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}. Logo, n(S) = 36.

2

ou __ . __ 6 6 = 36

e) Retirada da carta de um baralho: S = {A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K} de ouro, paus, espada e copas. Assim, n(S) = 52.

f) Nascimento de uma criança: S = {menino, menina}. Assim, n(S) = 2. Espaço amostral equiprovável: Dizer que um espaço amostral é equiprovável, significa dizer que, num lançamento de um dado, por exemplo, todas as faces tem a mesma chance de ocorrer, sendo esse dado não viciado. Evento de um espaço amostral – Casos favoráveis: É qualquer subconjunto de um espaço amostral. Exemplos:

a) No lançamento de uma moeda. Evento: obter a face cara. Ou seja, o evento é A = {K}, que é subconjunto de S = {K,C}. Note que n(A) = 1.

b) No lançamento de um dado. Evento: obter, na face voltada para cima, um número menor que 3. Ou seja, o evento é B = {1,2}, que é subconjunto de S = {1,2,3,4,5,6}. Note que n(B) = 2.

c) No lançamento de duas moedas. Evento: obter, na face voltada para cima, pelo menos uma cara. Ou seja, o evento é C = {(C,K),(K,C),(K,K)}, que é subconjunto de S = {(C,C), (C,K), (K,C), (K,K)}. Note que n(C) = 3.

d) No lançamento de dois dados. Evento: obter, nas faces voltadas para cima, a soma de 5 pontos. Ou seja, o evento é D = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}, que é subconjunto de S = {(1,1), ..., (6,6)}. Note que n(D) = 4.

e) Na retirada de uma carta do baralho. Evento: obter uma carta representada por uma letra. Ou seja, E = {A,J,Q,K} de cada naipe, que é subconjunto de S = {A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K} de cada naipe. Note que n(E) = 16.

f) Nascimento de uma criança. Evento: nascer um menino. Ou seja, F = {menino}, que é subconjunto de S = {menino, menina}. Note que n(F) = 1.

Definição de probabilidade: Sejam E um espaço amostral equiprovável, finito e não-vazio, e A um evento de E. A probabilidade de ocorrer algum elemento de A é indicada

por P(A) e definida por: )(

)()(

En

AnAP , em que n(A) e n(E) indicam, respectivamente, o nº

de elementos de A e de E. Como E é o conjunto de todos os elementos do espaço amostral, n(E) também pode ser chamado de nº de casos possíveis. Como A é um subconjunto de E, com uma característica específica, n(A) é conhecido como nº de

casos favoráveis. Assim temos, também, que: possíveiscasosden

favoráveiscasosdenP

º

º .

Exemplos:

1) No lançamento de uma moeda, qual a probabilidade de se obter a face cara?

Solução: S = {K,C} e A = {K}. Logo 2

1)( AP , ou ainda, P(A) = 50%.

2) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter, na face voltada

para cima, um número de pontos menor que três?

Solução: S = {1,2,3,4,5,6} e B = {1,2}. Logo 3

1

6

2)( BP , ou ainda, P(A) ≈ 33%.

3) No lançamento de duas moedas, qual é a probabilidade de se obter, nas faces voltadas para cima, pelo menos uma cara?

Solução: S = {(C,C), (C,K), (K,C), (K,K)} e C = {(C,K),(K,C),(K,K)}. Logo, 4

3)( CP , ou

ainda, 75%.

3

4) No lançamento de dois dados, qual é a probabilidade de se obter, nas faces voltadas para cima, a soma dos pontos iguais a 5?

Solução: S = {(1,1),...,(6,6)} e D = {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}. Logo, 9

1

36

4)( DP , ou ainda,

P(A) ≈ 11%.

5) Ao retirar uma carta do baralho, qual é a probabilidade de se obter uma carta representada por uma letra?

Solução: S = {{A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K} de cada naipe} e E’ = {{A,J,Q,K} de cada

naipe}. Logo, 13

4

52

16)( EP , ou ainda, P(E) ≈ 31%.

6) Qual a probabilidade de uma mulher ter um menino?

Solução: S = {menino, menina} e F = {menino}. Logo, 2

1)( FP , ou seja, 50%.

7) No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter:

S = {1,2,3,4,5,6}, casos possíveis = 6 a) o número 1

Solução: casos favoráveis = 1 A = {1}

b) um número primo Solução: casos favoráveis = 3 B = {2,3,5}

c) um número divisível por 2 Solução: casos favoráveis = 3 C = {2,4,6}

d) um número menor que 5 Solução: casos favoráveis = 4 D = {1,2,3,4}

e) um número maior que 6 Solução: casos favoráveis = 0 E = { }

8) Uma caixa contém 30 bolas de madeira e todas com o mesmo tamanho, sendo

18 azuis e 12 amarelas. Retirando-se uma bola qualquer dessa urna, qual a probabilidade de ela ser azul? E a probabilidade de ser amarela? Solução: c.p. = 30

a) probabilidade de ela ser azul: c.f. = 18 =>

b) probabilidade de ela ser amarela: c.f. = 12 =>

9) (Unicamp-SP) Em uma festa para calouros estão presentes 250 calouros e 350

calouras. Para dançar, cada calouro escolhe uma caloura ao acaso formando um par. Qual a probabilidade de que uma determinada caloura não esteja dançando no momento em que todos os 250 calouros estão dançando? Solução: c.p. = 350 e c.f. = 100

4

10) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde? Solução: c.p. = 12 e c.f. = 5

11) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três

moedas caírem com a mesma face para cima? Solução: c.p. = 8 ___ ___ ___ e c.f. = 2 {(k,k,k), (c,c,c)} 2 . 2 . 2 = 8

12) No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um vermelho,

determine a probabilidade dos seguintes eventos: c.p. = 36 ___ ___ 6 . 6 = 36

a) os números são iguais Solução: c.f. = 6 A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}

b) a soma dos números é igual a 9 Solução: c.f. = 4 B = {(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}

c) a soma dos pontos obtidos é menor que 4 Solução: c.f. = 3 C = {(1,1),(1,2),(2,1)}

d) a soma dos pontos é 8 e um dos dados apresenta 6 pontos Solução: c.f. = 2 D = {(2,6), (6,2)}

13) Um dado é lançado 3 vezes. Calcule a probabilidade de se obter nos três

lançamentos o mesmo número de pontos. Solução: c.p. = 216 ___ ___ ___ 6 . 6 . 6 = 216 c.f. = 6 {(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),(4,4,4),(5,5,5),(6,6,6)}

14) Formam-se todos os números naturais de cinco algarismos distintos com os

algarismos 1,2,3,4 e 5. Sorteando-se um desses números, qual a probabilidade de se obter um número par? Solução: c.p. = 120 ___ ___ ___ ___ ___ 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 c.f. = 48 ___ ___ ___ ___ {2,4}

4 . 3 . 2 . 1 . 2 = 48

5

15) (SAERJ–2011) Seis alunos da 8ª série de uma escola, entre eles Marina e Jorge, tiraram a nota máxima em todas as provas de matemática. Desses alunos, 2 vão ser sorteados para participar da Olimpíada de Matemática que vai ocorrer em uma outra cidade. Qual a probabilidade de que os sorteados sejam Marina e Jorge?

(A) 4

1 (B) 3

1 (C) 12

1 (D) 15

1 (E) 30

1

Solução: c.p. = C6,2 = __6!___ = 6! = 6.5.4! = 30 = 15 e c.f. = 1 {(M,J)} 2!(6 – 2)! 2!4! 2.1.4! 2

Exercícios:

1) (SAERJ-2013) Para uma brincadeira de festa junina, foram confeccionados 30

peixinhos de papelão idênticos. As prendas disponíveis para os jogadores foram anotadas nos peixinhos que foram enterrados na areia de forma que a informação da prenda não pudesse ser vista. Dessas prendas, 4 são bichos de pelúcia. Pescando aleatoriamente um desses peixinhos, qual é a probabilidade de se ganhar como prenda um bicho de pelúcia?

(A) 4

1 (B) 26

1 (C) 26

4 (D) 30

4 (E) 30

26

2) (SAERJ-2014) Uma antena de telefonia cobre uma área de 350 km2 de um município que possui 1 750 km2. Qual será a probabilidade de um turista, ao circular por esse município, encontrar-se na área de cobertura dessa antena?

(A) 350

1 (B) 1750

350 (C) 1400

350 (D) 1750

1400 (E) 350

1750

3) (SAERJ-2012) Uma caixa contém 4 canetas vermelhas, 6 canetas verdes, 8 canetas pretas e 10 canetas azuis, todas de mesmo formato e massa. Qual é a probabilidade de retirar, ao acaso, uma caneta preta dessa caixa?

(A) 28

1 (B) 8

1 (C) 7

2 (D) 7

5 (E) 2

7

4) (SAERJ-2012) Em uma propriedade rural, os tomates são colhidos e acondicionados em caixas com 80 tomates cada uma. O dono da propriedade retirou, ao acaso, um tomate de uma caixa com 10 tomates estragados e 70 tomates bons para consumo. A probabilidade de esse tomate retirado estar bom para consumo é igual a:

(A) 80

1 (B) 70

1 (C) 10

1 (D) 8

1 (E) 8

7

5) (SAERJ-2012) Em uma urna foram colocadas 6 bolas brancas, 9 pretas e 3 cinzas. Uma bola foi retirada dessa urna aleatoriamente. Qual é a probabilidade dessa bola ser preta?

(A) 18

9 (B) 18

6 (C) 18

3 (D) 18

2 (E) 18

1

6) (SAERJ–2011) O time de vôlei de uma cidade vai fazer uma seleção para escolher um jogador que irá juntar-se à equipe para disputar um campeonato. No dia do teste, apareceram 24 meninos da própria cidade e 12 meninos de outras cidades vizinhas. Qual a probabilidade do escolhido ser das cidades vizinhas?

(A) 36

1

(B) 12

1

(C) 3

1

(D) 2

1

(E) 3

2

6

7) (SAERJ – 2013) Em um sorteio de uma cesta de café da manhã, estão participando 14 mulheres e 6 homens. Para participar desse sorteio, cada um desses participantes preencheu um cupom com seu nome e depositou-o na urna. Qual é a probabilidade de um homem ser sorteado para ganhar essa cesta de café da manhã?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

8) (SAERJ-2013) Em uma apresentação musical, estavam presentes na plateia

20 crianças e 130 adultos, dos quais 50 eram homens e 80 eram mulheres. Cada uma dessas pessoas recebeu um papel com um número de identificação para participar do sorteio de uma guitarra. Qual é a probabilidade de uma criança ser sorteada?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

9) (SAERJ-2013) Em um curso de capacitação oferecido por uma firma, participaram 40 técnicos em eletrônica, 50 estudantes de engenharia e 10 engenheiros. No final do curso, um desses participantes será sorteado, aleatoriamente, para representar a firma em um congresso internacional. Qual é a probabilidade de ser convidado um técnico em eletrônica?

(A)

B)

C)

D)

E)

10) (SAERJ-2014) A próxima edição de um congresso será realizado em um dos

países situados no continente americano. Entre os países candidatos a sediar esse congresso, 3 são da América do Norte, 20 são da América Central e 12 países são da América do Sul. Qual é a probabilidade de o país escolhido estar situado na América do Sul?

(A)

(B)

C)

D)

E)

11) (SAERJ–2011) Observe o resultado de uma pesquisa na classe de Júlia.

Computador Nº de alunos Possui computador 18

Não possui computador 12 Escolhendo-se um aluno dessa classe, ao acaso, qual é a probabilidade de que ele tenha computador?

(A) 5

1

(B) 5

2

(C) 5

3

(D) 3

2

(E) 2

3

12) (SAERJ-2014) Marlon é professor e, em uma atividade com os alunos do 3°

ano, escreveu em pedaços iguais de papel os números de 1 a 15 e os colocou em uma urna. Em seguida, pediu aos seus alunos para calcularem a probabilidade de, em uma escolha aleatória, retirar dessa urna um número ímpar. Essa probabilidade é de

(A)

B)

(C)

D)

E)

13) (SAERJ – 2013) Raquel resolveu um teste com 10 questões de múltipla

escolha, com cinco alternativas por questão. Oito questões ela sabia resolver e marcou corretamente as alternativas. As demais questões ela marcou aleatoriamente. Qual é a probabilidade de Raquel ter acertado todas as questões desse teste?

(A)

(B)

E)

7

14) (SAERJ– 2011) Jane virou todas as 28 peças de seu jogo de dominó com a face para baixo e embaralhou bem. Se Jane retirar uma peça, qual a probabilidade de obter a soma dos pontos igual a 6?

(A) 14

3

(B) 17

3

(C) 7

1

(D) 6

1

(E) 3

2

15) (SAERJ–2011) No lançamento de três moedas, qual a probabilidade de

saírem três caras?

(A) 8

3 (B) 8

1 (C) 2

3 (D) 4

1 (E) 2

1

16) Uma pessoa joga uma moeda quatro vezes, qual a probabilidade de sair CARA

nas quatro jogadas?

(A) 8

3 (B) 4

1 (C) 8

1 (D) 16

1 (E) 1

17) Quatro moedas são lançadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de

ocorrer coroa em uma só moeda?

(A) 8

1 (B) 9

2 (C) 4

1 (D) 3

1 (E) 8

3

18) Jogamos dois dados comuns. Qual a probabilidade de que o total de pontos

seja igual a 10?

(A) 12

1 (B) 11

1 (C) 10

1 (D) 23

2 (E) 6

1

19) (SAERJ-2012) Sérgio apostou que, no lançamento simultâneo de dois dados

com faces numeradas de 1 a 6 cada um, a soma dos pontos obtidos será igual a 5. Qual é a probabilidade de Sérgio ganhar essa aposta?

(A) 36

2 (B) 36

4 (C) 36

5 (D) 5

2 (E) 12

5

Classificação dos Eventos

Evento: é um conjunto de resultados do experimento, em termos de conjuntos, é um subconjunto S. Em particular, S e Φ (conjunto vazio) são eventos. a) Evento Simples: Classificamos assim os eventos que são formados por um único elemento do espaço amostral. Exemplos: Já nos deparamos com vários casos: - sair cara no lançamento de uma moeda (A = {K}); - nascer um menino (B = {menino}); - tirar 1 no lançamento de um dado (C = {1}). b) Evento Certo: É o conjunto S. Exemplo: Sair um número menor ou igual a 6 no lançamento de um dado é um evento certo, porque D = {1,2,3,4,5,6} = S. c) Evento Impossível: É o conjunto Φ ou { } (conjunto vazio). Exemplo: Sair um número maior que 6 no lançamento de um dado é um evento impossível, porque E = Φ .

8

d) Evento União: A ∪ B → é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem. Exemplo: Seja o evento A: ocorrer um número ímpar e menor ou igual a 3 no lançamento de um dado, e o evento B: ocorrer um número ímpar e maior ou igual a 3 no lançamento de um dado, o evento união será: A = {1,3} e B = {3,5} => A ∪ B = {1,3,5} Porque possui todos os elementos de A, ou de B, ou de ambos. e) Evento Interseção: A ∩ B → evento que ocorre se A e B ocorrerem. Exemplo: Seja o evento A: ocorrer um número ímpar e menor ou igual a 3 no lançamento de um dado, e o evento B: ocorrer um número ímpar e maior ou igual a 3 no lançamento de um dado, o evento interseção será: A = {1,3} e B = {3,5} => A ∩ B = {3} Porque possui todos os elementos comuns de A e B. f) Evento Mutuamente exclusivo: Eventos mutuamente exclusivos são aqueles que não podem ocorrer simultaneamente. Portanto dois eventos A e B são mutuamente

exclusivos se A ∩ B = Φ e A ∪ B = A + B. Exemplo: Seja o evento A: sair um número par em um lançamento de um dado, e o evento B: sair um número ímpar e menor ou igual a 3 no lançamento de um dado. Temos que: A = {2,4,6} e B = {1,3}. Estes eventos não ocorrem simultaneamente,

portanto, A ∩ B = Φ e A ∪ B = A + B = {1,2,3,4,6}. g) Evento complementar: Ā → é o evento que ocorre se A não ocorre. Os elementos de Ā são todos os elementos do espaço amostral S que não estão contidos em A, então temos que Ā = S - A e ainda que S = A + Ā. Exemplo: Seja o evento A: sair um número par em um lançamento de um dado, e o evento B: sair um número ímpar no lançamento de um dado. Temos que: A = {2,4,6} e B = {1,3,5}. Estes eventos não ocorrem simultaneamente,

portanto, A ∩ B = Φ, porém temos que B = Ā. E que S = A ∪ B = A + B = {1,2,3,4,5,6}. Exemplos de operações com eventos:

1) Numa escola funcionam dois cursos, um de desenho publicitário e outro de desenho artístico, perfazendo um total de 90 vagas. No final da inscrição, havia 60 alunos inscritos para desenho publicitário e 50 para desenho artístico, sendo que alguns optaram pelos 2 cursos. Determine, escolhendo ao acaso uma ficha de inscrição, qual a probabilidade de ela ter a opção do curso de desenho:

a) publicitário b) artístico c) somente publicitário

d) somente artístico e) artístico ou publicitário f) artístico e publicitário

Solução: a) publicitário: 60 b) artístico: 50 c) somente publicitário (Ā): 40

d) somente artístico ( ̅): 30 e) artístico ou publicitário: 90 f) artístico e publicitário: 20

9

2) (SAERJ–2011) Em uma turma de 42 alunos, o professor de Educação Física fez um levantamento sobre a quantidade de alunos que praticam vôlei ou basquete. Nesse levantamento foi constatado que 12 desses alunos não praticam nenhum desses dois esportes, 17 praticam vôlei e 18 praticam basquete. O total de alunos dessa turma que pratica vôlei e basquete é

(A) 5 (B) 7 (C) 17 (D) 30 (E) 35 Resposta: A

3) (SAERJ–2011) Paulo vai fazer um churrasco

para 160 pessoas. Antes de comprar carne, ele fez uma pesquisa sobre a preferência dessas pessoas em relação ao tipo de carne. Ele constatou que 120 pessoas gostam de carne de boi, 50 gostam de carne de porco, 30 gostam de carne de boi e de porco e o restante não aprecia carne. De acordo com essa pesquisa, quantas pessoas gostam somente de carne de porco?

(A) 20 (B) 40 (C) 50 (D) 120 (E) 160 Resposta: A

Teoremas:

1. Se A é um evento impossível, então A = Ø => P(A) = P(Ø) = 0 2. Se A é um evento certo, então A = S => P(A) = P(S) = 1

3. Se A é o evento complementar de A, então P( A ) = 1- P(A) 4. Sejam A e B dois eventos quaisquer, então: P (A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Ex: Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a) Ela não tenha defeitos graves: Seja DG: quantidade de peças com defeitos graves no lote = 2 e n(S) = 16, então:

P( DG ) = 1 – P(DG) = %5,878

7

16

14

16

21

b) Ela não tenha defeitos:

Seja B, quantidade de peças boas no lote = 10 e n(S) =16, então: P(B) = %5,628

5

16

10

c) Ela seja boa ou tenha defeitos graves:

P(B U DG) = P(B) + P(DG) – P(B ∩ DG) = %754

3

16

120

16

2

16

10

Outra possibilidade: Quantidade total de peças boas ou com defeitos graves = 12 e

n(S) = 16, logo: %754

3

16

12

OBS: Isto só é possível porque os eventos são complementares. Exemplos:

1) Uma urna contém bolas coloridas. Retirando-se uma bola dessa urna, a

probabilidade de se obter uma bola vermelha é 0,64. Qual a probabilidade de se obter uma bola que não seja vermelha?

Solução: ̅

10

2) A probabilidade de que uma mulher fumante com idade acima de 40 anos tenha câncer é de aproximadamente 75,6%. Qual a probabilidade de que uma mulher fumante com mais de 40 anos não tenha câncer?

Solução: ̅

3) Ao atirar num alvo, a probabilidade de uma pessoa acertá-lo é 3/5. Qual a probabilidade de ela errar?

Solução: ̅

4) Considere um conjunto de 10 frutas em que 3 estão estragadas. Escolhendo-

se aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determine a probabilidade de: a) ambas não estarem estragadas.

c.p. = 10 . 9 = 90 e c.f. = 7. 6 = 42

b) pelo menos uma estar estragada. S = {(B,B), (B,E),(E,B),(E,E)} ou c.p. = 10 . 9 = 90

p(B,B) => p =

n(B,E) => c.f. = 7. 3 = 21

1 – p(B,B) = 1 -

n(E,B) => c.f. = 3. 7 = 21

n(E,E) => c.f. = 3. 2 = 6 n(B,E) + n(E,B) + n(E,E) = 21 + 21 + 6 = 48

5) (Técnico Administrativo – BNDES/2010) Em uma caixa há 4 balas de mel, 3

balas de tamarindo e 3 balas de anis. Duas balas serão retiradas aleatoriamente dessa caixa, sucessivamente e sem reposição. Qual a probabilidade de que, pelo menos, uma das balas seja de mel?

(A) 5

3 (B)

5

2 (C)

3

2 (D)

3

1

(E)

2

1

Solução: c.p. = 10 . 9 = 90 c.f. = 6 . 5 = 30 (possibilidades de não ser de mel)

p(não ser de mel) = 3

1

90

30

p(pelo menos uma das balas ser de mel) = 1 - p(não ser de mel) = 3

2

3

13

3

11

Resposta: C

6) Uma urna contém duas bolas brancas, três verdes e quatro azuis. Retirando-se

ao acaso uma bola da urna, qual é a probabilidade de se obter uma bola branca ou uma verde? Solução: c.p. = 2 + 3 + 4 = 9

c.f.(B U V) = 2 + 3 = 5 (Eventos mutuamente exclusivos)

7) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela? Solução: c.p. = 2 + 5 + 7 = 14 c.f.(V U A) = 7 + 2 = 9 (Eventos mutuamente exclusivos)

11

8) Seja o lançamento de um dado comum. Qual a probabilidade de sair: c.p. = 6 S = {1,2,3,4,5,6}

a) um número par? c.f. = 3 A = {2,4,6}

b) Um múltiplo de 3? c.f. = 2 B = (3,6}

c) Um número par ou um múltiplo de 3? c.f. = 4 A U B = {2,3,4,6}

d) Um número par e múltiplo de 3? c.f. = 1 A ∩ B = {6}

OBS: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) =

9) Numa pesquisa sobre preferência entre dois refrigerantes, Coca-Cola e

guaraná, obtivemos o seguinte resultado:

20 tomam guaraná 15 tomam Coca-Cola 08 tomam os dois 03 não tomam nenhum dos dois.

Sorteando-se uma pessoa ao acaso, calcule a probabilidade de ela tomar guaraná ou Coca-Cola? Solução: c.p. = 12 + 8 + 7 + 3 = 30 c.f. = G U C = 12 + 8 + 7 = 27

10) Uma urna contém exatamente 20 bolas, numeradas de 1 a 20. Retira-se, ao

acaso, uma bola da urna. Qual a probabilidade de se obter uma bola com um número múltiplo de 2 ou de 3? Solução: M(2) = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20} => n(2) = 10 M(3) = {3,6,9,12,15,18} => n(3) = 6 M(2) ∩ M(3) = {6,12,18} => n(2∩3) = 3 c.f. = n(2U3) = n(2) + n(3) – n(2∩3) = 10 + 6 – 3 = 13 c.p. = 20

11) Uma urna contém exatamente trinta etiquetas, numeradas de 1 a 30.

Retirando-se, ao acaso, uma etiqueta da urna, qual a probabilidade de obtermos um número menor que 20 ou um múltiplo de 3? Solução: x < 20 = {1,2,3, ..., 19} => n(20) = 19 M(3) = {3,6,9,12,15,18,21,24,27,30} => n(3) = 10 x < 20 ∩ M(3) = {3,6,9,12,15,18} => n(20∩3) = 6 c.f. = n(20U3) = n(20) + n(3) – n(20∩3) = 19 + 10 – 6 = 23 c.p. = 30

12) Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de

ocorrer um rei ou uma carta de espadas? Solução: K: {K♠, K♣, K♥, K♦} => n(K) = 4

♠: {A♠,2♠,3♠,4♠,5♠,6♠,7♠,8♠,9♠,10♠,J♠,Q♠,K♠} => n(♠) = 13 K ∩ ♠ ={K♠} => n(K ∩ ♠) = 1

12

c.f. = N(K U ♠) = n(K) + n(♠) – n(K ∩ ♠) = 13 + 4 – 1 = 16 c.p. = 52

13) Uma amostra de 140 investidores de um banco

revelou que 80 investem em poupança, 30 investem em fundos e 10 investem na poupança e em fundos. Selecionado um destes investidores ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha investimentos na poupança ou em fundos? c.p. = 140 c.f. = 70 + 10 + 20 = 100

14) O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de

dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face? Solução: 3 U 4: (0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(0,4),(1,4),(2,4),(4,4),(5,4),(6,4) c.f. = n(3 U 4) = 13 c.p. = 28

15) Na gôndola de um supermercado há somente

sabonetes azuis ou na marca Tux, num total de 140 unidades, sendo 80 azuis e 100 da marca Tux. Retirando-se ao acaso um sabonete dessa gôndola, qual a probabilidade de se obter um sabonete azul da marca Tux?

16) Dentre os automóveis estocados no pátio de uma montadora, escolhe-se um, ao acaso. A probabilidade de que o automóvel escolhido tenha freios ABS é 5/8, a probabilidade de que ele tenha direção hidráulica é 2/3 e a probabilidade de que ele tenha freios ABS e direção hidráulica é 11/24. A probabilidade de que esse automóvel tenha freios ABS ou direção hidráulica é:

(a) 7/24 (b) 1/12 (c) 3/7 (d) 1/6 (e) 5/6 Solução: E

P(ABS U DH) = P(ABS) + P(DH) – P(ABS ∩ DH) =

13

Exercícios:

1) (SAERJ-2012) O gerente do setor de vendas de uma sapataria sorteou um de seus vendedores para participar de uma feira municipal de divulgação de

negócios. Sabe-se que a probabilidade de ele ter sorteado uma mulher é de 8

3

.

Qual é a probabilidade desse gerente ter sorteado um homem para participar

dessa feira?

(A) 8

3 (B) 5

3 (C) 8

5 (D) 3

5 (E) 3

8

2) (SAERJ-2014) Uma máquina produziu um lote de 30 peças. Dessas peças, 3 apresentaram defeito. Qual é a probabilidade de se retirar ao acaso uma peça sem defeito desse lote de peças?

(A) 30

1 (B) 27

1 (C) 30

3 (D) 3

1 (E) 30

27

3) (SAERJ-2012) Um casal de namorados e mais três amigos compraram cinco ingressos para assistirem uma peça de teatro. Esses ingressos comprados correspondem às cadeiras localizadas lado a lado e numeradas de 1 a 5. Qual é a probabilidade de esse casal de namorados sentar separado durante essa peça de teatro?

(A) 5

1 (B) 5

2 (C) 2

1 (D) 5

3 (E) 5

4

4) (SAERJ-2012) Em uma cesta de frutas existem 10 maçãs, 8 peras e 6 laranjas. Qual é a probabilidade de uma pessoa tirar ao acaso uma laranja ou uma pêra dessa cesta?

(A) 24

6 (B) 24

8 (C) 24

14 (D) 144

14 (E) 144

120

5) (SAERJ-2012) Sérgio possui uma caixa com 70 varetas coloridas. Desse total, 40 são amarelas, 20 são vermelhas e 10, verdes. Sérgio retirou uma vareta da caixa aleatoriamente. Qual é a probabilidade da vareta retirada por Sérgio ser verde ou vermelha?

(A) 7

1 (B) 7

2 (C) 7

3 (D) 7

4 (E) 4

3

6) (SAERJ–2011) Em um pacote, há 30 balas, sendo oite de laranja, dez de abacaxi, seis de limão e seis de café. Tirando-se desse pacote uma bala ao acaso, qual a probabilidade de ela ser de laranja ou de limão?

(A) 30

8 (B) 30

6 (C) 30

14 (D) 8

6 (E) 48

30

7) (SAERJ -2013) Uma caixa contém 24 miniaturas de soldadinhos, todos de mesmo tamanho e formato. Desse total, 4 são dourados, 6 são vermelhos e o restante, prateados. Tirando ao acaso um soldadinho dessa caixa, qual é a probabilidade de ser dourado ou prateado?

(A) 24

1 (B) 18

1 (C) 24

4 (D) 24

14 (E) 24

18

8) (SAERJ – 2014) Uma manicure possui 67 esmaltes de cores diferentes. Ela possui 20 esmaltes nos tons de vermelho, 15 nos tons de rosa e o restante em outras cores. Qual é a probabilidade de uma cliente optar por um esmalte nos tons de vermelho ou de rosa?

(A) 67

5 (B) 67

15 (C) 67

20 (D) 67

32 (E) 67

35

14

9) (SAERJ – 2013) Dois dados honestos, com suas faces numeradas de 1 a 6, são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de se obter por resultado dois números pares ou de que a soma dos resultados seja superior a 9?

(A) 3

1 (B) 2

1 (C) 6

1 (D) 12

1 (E) 12

5

10) (SAERJ-2012) O desenho abaixo mostra 15 bolas numeradas de 1 a 15.

Uma dessas bolas foi sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de o número dessa bola sorteada ser múltiplo de 2 ou múltiplo de 3?

(A) 45

7

(B)

3

1

(C)

15

7

(D)

3

2

(E)

5

4

11) (SAERJ-2014) De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola ao acaso. Qual é a probabilidade de o número marcado nessa bola ser divisível por 3 ou por 4?

(A) 15

1 (B) 15

3 (C) 15

5 (D) 15

7 (E) 15

8

12) (SAERJ-2014) Passaram para a última fase do processo seletivo de uma empresa 8 candidatos que falam somente inglês, 6 candidatos que falam somente espanhol e 2 candidatos que falavam ambos os idiomas. Ao escolher aleatoriamente um desses candidatos para uma entrevista, qual é a probabilidade de ele falar inglês e espanhol?

(A) 16

14 (B) 2

1 (C) 14

2 (D) 16

2 (E) 16

1

13) Numa comunidade de 1000 habitantes, 400 são sócios de um clube A, 300 de um clube B e 200 de ambos. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade dessa pessoa ser sócia de A ou de B? (A) 75% (B) 60% (C) 50% (D) 45% (E) 30%

14) (F .Maringá) Um número é escolhido ao acaso entre 20 inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o número escolhido ser primo ou quadrado perfeito é:

(A) 5

1 (B) 25

2 (C) 25

4 (D) 5

2 (E) 5

3

Probabilidade Condicional

Em um programa de televisão, dez cartões, numerados de 1 a 10, foram distribuídos a dez pessoas que concorriam a um prêmio. Depois, o apresentador sorteou de uma urna um desses números e, para criar suspense, afirmou: “O número sorteado é par”. Qual a probabilidade de que o número sorteado seja maior que 4?

15

No início do sorteio, todas as pessoas que concorriam ao prêmio tinham esperança de ganhar, pois o espaço amostral do experimento era: S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. No momento em que o apresentador anunciou que o número sorteado é par, o espaço amostral ficou reduzido ao evento A = {2,4,6,8,10}. Seja também o evento B formado pelos números que são maiores que 4. O esquema a seguir representa a situação do

problema. A garantia de que o número sorteado é par reduz o espaço amostral ao evento A; logo, um elemento de B só pode ocorrer na interseção de A e B. Assim, a probabilidade de ocorrer B, dado que já

ocorreu A, é: 5

3

)(

)(

An

BAnP .

Assim, temos que a probabilidade de ocorrer o evento B, dado que já ocorreu A, é indicado por P(B/A) e, lê-se: “probabilidade de B dado A” e é calculada por:

)(

)()/(

An

BAnABP

OBS: Note que, a probabilidade se fosse pedido o contrário, o resultado seria diferente: O número sorteado é maior que 4, qual a probabilidade de se obter um número par? Solução: Note que o evento B é número sorteado ser maior que 4: B = {5,6,7,8,9,10}.

E, o evento A é número ser par, logo BA = {6,8,10}. Logo, 2

1

6

3

)(

)()/(

Bn

BAnBAP .

Exemplos:

1) Uma pesquisa feita com setenta pessoas revelou que trinta e cinco já

consumiram o produto A, cinqüenta já consumiram o produto B e cinco ainda não consumiram nem A e nem B. Escolheu-se uma dessas setenta pessoas, ao acaso, constatando-se que ele já havia consumido o produto A. Qual é a probabilidade de que essa pessoa também tenha consumido o produto B?

⁄

Ou

⁄

2) Numa classe com 60 alunos, 40 estudam só Matemática, 10 estudam só Física

e 5 estudam Matemática e Física. Determinar a probabilidade de um aluno que estuda Matemática estudar também Física.

⁄

16

3) Jogando-se um dado e sabendo-se que ocorreu um número maior que 4, qual a probabilidade de ser um número par? Solução: c.p. = 2 {5,6} e c.f. = 1 {6}

⁄

4) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos,

500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol?

⁄

5) (FGV-SP) Uma companhia de seguros coletou uma amostra de 2.000 motoristas de uma cidade a fim de determinar a relação entre o número de acidentes (y) em um certo período e a idade em anos (x) dos motoristas. Os resultados estão na tabela abaixo:

Adotando a frequência relativa observada como probabilidade de cada evento, obtenha: a) A probabilidade de um motorista escolhido ao acaso ter exatamente um acidente no período considerado. Solução: c.p. = 2000 e c.f. = 50 + 120 + 80 + 105 = 355

b) A probabilidade de um motorista ter exatamente 2 acidentes no período considerado, dado que ele tem menos de 20 anos.

Solução: ⁄

6) Durante uma eleição, quatrocentas pessoas foram pesquisadas sobre o candidato

em que votariam. O resultado da pesquisa está no quadro abaixo: Escolhendo uma pessoa aleatoriamente, qual a probabilidade dela:

a. ter votado no candidato C?

b. ter votado no candidato A, sabendo que é mulher?

Solução: ⁄

y = 0 y = 1 y = 2 y > 2

x < 20 200 50 20 10 20 ≤ x < 30 390 120 50 10 30 ≤ x < 40 385 80 10 5

x ≥ 40 540 105 20 5

Candidato A Candidato B Candidato C

Homem 100 80 20 Mulher 70 95 35

17

Exercícios: 1) No lançamento de um dado não viciado o resultado foi um número maior do

que 3, qual é a probabilidade de esse ser um número par? (A) 1/6 (B) 1/2 (C) 1/3 (D) 2/5 (E) 2/3

2) (PUCC-SP) Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma nos dois dados é 8, calcule a probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles.

3) Na extração de uma carta de um baralho de 52 cartas, saiu um rei. Qual a probabilidade de que este rei seja de paus?

4) Na extração de uma carta de um baralho de 52 cartas, saiu uma carta de paus. Qual a probabilidade de que a carta retirada seja um rei?

5) (ENEM) As 23 ex-alunas de

uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico mostrado. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é:

(A) 1/3 (B) 1/4 (C) 7/15 (D) 7/23 (E) 7/25

6) Um levantamento feito com 200 funcionários de uma empresa apresentou o seguinte resultado.

Sorteia-se um funcionário ao acaso: a) Qual a probabilidade de que seja homem? E de que seja mulher?

b) Se o sorteio for feito entre os não fumantes, qual a probabilidade de que seja homem? E de que seja mulher?

7) Uma companhia de seguros analisou a freqüência com que 2000

segurados (1000 homens e 1000 mulheres) usaram o hospital. Os resultados estão apresentados na tabela:

Homens Mulheres

Usaram o hospital 100 150

Não usaram o hospital 900 850

a) Qual a probabilidade de que um homem segurado use o hospital? b) Qual a probabilidade de quem usa o hospital ser mulher? c) Qual a probabilidade de um segurado que não usou o hospital ser homem?

8) (SAERJ – 2013) De uma urna contendo 5 bolas pretas e 7 bolas brancas, retira-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas. Qual é a probabilidade de a primeira bola retirada ser preta, sabendo que a segunda bola retirada foi branca?

A) 35/77 B) 35/132 C) 1/12 D) 5/12 E) 1/2

Homens (H) Mulheres (M) Total

Fumantes 70 10 80 Não Fumantes 30 90 120 Total 100 100 200

18

9) (SAERJ-2013) Observe abaixo os esportes praticados pelos alunos do 3º ano do Ensino Médio de uma determinada escola.

Meninos

Artur – Futsal Caio – Futsal

João – Basquete Marco – Judô

Mateus – Futsal

Meninas Alice – Futsal Ana – Vôlei

Isabela – Futsal Marina – Natação

Vitória – Futsal

Um desses atletas foi sorteado para participar dos jogos escolares. Sabendo que o atleta sorteado é homem, qual é a probabilidade de ele jogar futsal? A) 3/10 B) 2/5 C) 5/10 D) 5/6 E) 3/5

10) (SAERJ-2014) Um aeroporto apresenta uma probabilidade de 9/10 de seus voos ao decolarem não se atrasarem, caso não esteja chovendo. Se chover, as chances de não haver atrasos cai para 5/10. O serviço de meteorologia informou que a probabilidade de chover na região em que se situa esse aeroporto é de 7/10. Nessas condições, qual é a probabilidade de os aviões decolarem desse aeroporto sem se atrasarem? A) 27/100 B) 35/100 C) 5/9 D) 62/100 E) 5/7