Tendencia Central

04/12/2304/12/23 11

ISTP” Gilda Liliana Ballivian Rosado”ISTP” Gilda Liliana Ballivian Rosado”

ESTADISTICA IESTADISTICA IUnidad Formativa IIUnidad Formativa II

Por Lic. Yaya Gómez, MaríaPor Lic. Yaya Gómez, María

04/12/2304/12/23 22

ESTADISTICAESTADISTICA

MEDIDAS DE RESUMEN:MEDIDAS DE RESUMEN:

-Medidas de Tendencia CentralMedidas de Tendencia Central

04/12/2304/12/23 33

MEDIDAS DE TENDENCIA MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALCENTRAL

04/12/2304/12/23 44

Son indicadores estadísticos que resumen Son indicadores estadísticos que resumen todos los datos en un sólo númerotodos los datos en un sólo númeroHan sido obtenidos a través de fórmulasHan sido obtenidos a través de fórmulas

Se utiliza generalmente para variables Se utiliza generalmente para variables cuantitativascuantitativas

Por lo tanto: Por lo tanto: son vson valores que alores que representan a un conjunto de datosrepresentan a un conjunto de datos..

Son llamados tendencia central, ya que seSon llamados tendencia central, ya que se ubican generalmente en el centro de la ubican generalmente en el centro de la distribución de los datos.distribución de los datos.

DEFINICION:

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

04/12/2304/12/23 55

PRINCIPALES MEDIDAS DE PRINCIPALES MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALTENDENCIA CENTRAL

1. Media Aritmética1. Media Aritmética

2. Mediana2. Mediana

3. Moda 3. Moda


04/12/2304/12/23 66

1. MEDIA ARITMÉTICA :1. MEDIA ARITMÉTICA : XX• Indicador estadístico que representa a un conjunto de datos cuantitativos

• REQUISITO: Se usa solo para datos homogéneos

• Es conocido como: Media o Promedio

• REPRESENTACION: X, M(X)


EJEM.: El promedio del número de hijos de los empleados de la empresa EL REY es 3, X=3

Significa que cada empleado en promedio tiene 3 hijos.

04/12/2304/12/23 77

1.1Fórmulas de Cálculo de la 1.1Fórmulas de Cálculo de la Media AritmeticaMedia Aritmetica

a)a) Pocos datosPocos datos (datos originales): (datos originales):• Se obtiene de la suma de todos los datos, Se obtiene de la suma de todos los datos,

dividido entre el número total de ellos.dividido entre el número total de ellos.

Variables CD,CCVariables CD,CC

1.1Fórmulas de Cálculo de la 1.1Fórmulas de Cálculo de la Media AritmeticaMedia Aritmetica

a)a) Pocos datosPocos datos (datos originales): (datos originales):• Se obtiene de la suma de todos los datos, Se obtiene de la suma de todos los datos,

dividido entre el número total de ellos.dividido entre el número total de ellos.

Variables CD,CCVariables CD,CC


n

XX

04/12/2304/12/23 88

Ejemplos de Cálculo de la MediaEjemplos de Cálculo de la Media

a)a) Pocos datosPocos datos (datos originales): (datos originales):• Estos datos corresponden al numero de trabajadores de un grupo de empresas de Estos datos corresponden al numero de trabajadores de un grupo de empresas de

confecciones: 5 6 7 3 4 8 4 5 9 5 3confecciones: 5 6 7 3 4 8 4 5 9 5 3

Ejemplos de Cálculo de la MediaEjemplos de Cálculo de la Media

a)a) Pocos datosPocos datos (datos originales): (datos originales):• Estos datos corresponden al numero de trabajadores de un grupo de empresas de Estos datos corresponden al numero de trabajadores de un grupo de empresas de

confecciones: 5 6 7 3 4 8 4 5 9 5 3confecciones: 5 6 7 3 4 8 4 5 9 5 3

X = xi /n = 59 / 11=5.36 = 5


Cada empresa en promedio tiene 5 trabajadores.

04/12/2304/12/23 99

1.2 Fórmulas de Cálculo de la Media1.2 Fórmulas de Cálculo de la Media

b) Datosb) Datos agrupados agrupados (Discretos):(Discretos):• Se obtiene de la suma de los productos de los valores que Se obtiene de la suma de los productos de los valores que

toma la variable por su respectiva frecuencia, dividido entre toma la variable por su respectiva frecuencia, dividido entre el número total de datos. el número total de datos.


b) Datosb) Datos agrupados agrupados (Discretos):(Discretos):• Se obtiene de la suma de los productos de los valores que Se obtiene de la suma de los productos de los valores que

toma la variable por su respectiva frecuencia, dividido entre toma la variable por su respectiva frecuencia, dividido entre el número total de datos. el número total de datos.


n

niXX iXhX

04/12/2304/12/23 1010

Ejemplos de Cálculo de la MediaEjemplos de Cálculo de la Mediab) b) DatosDatos Agrupados (Discretos): Agrupados (Discretos):

NUMERO DE HIJOS DE EMPLEADOSNUMERO DE HIJOS DE EMPLEADOS

Nº Nº Hijos=XHijos=X

nini X niX ni

00 44 00

11 1515 1515

22 99 1818

33 22 66

TOTALESTOTALES 3030 3939Cada empleado tiene en promedio 1 hijo


= 39 / 30

= 1.3 hijos

∼ 1 hijo

n

niXX

04/12/2304/12/23 1111


c) c) DatosDatos tabulados tabulados (con intervalos):(con intervalos):• Se obtiene de la suma de los productos de las marcas de clase por su Se obtiene de la suma de los productos de las marcas de clase por su

frecuencia, dividido entre el número total de ellos. frecuencia, dividido entre el número total de ellos.

• Y: Puntos medios= Y: Puntos medios= semisuma de límites de intervalossemisuma de límites de intervalos


c) c) DatosDatos tabulados tabulados (con intervalos):(con intervalos):• Se obtiene de la suma de los productos de las marcas de clase por su Se obtiene de la suma de los productos de las marcas de clase por su

frecuencia, dividido entre el número total de ellos. frecuencia, dividido entre el número total de ellos.

• Y: Puntos medios= Y: Puntos medios= semisuma de límites de intervalossemisuma de límites de intervalos

Y = yi ni /n


Y = yi hi

04/12/2304/12/23 1212

SUELDO MENSUAL(miles S/) DE EMPLEADOSSUELDO MENSUAL(miles S/) DE EMPLEADOS

SUELDOSSUELDOS YiYi nini Yi niYi ni2.0 – 2.52.0 – 2.5 2.252.25 22 4.504.50

2.5 – 3.02.5 – 3.0 2.752.75 88 22.0022.00

3.0 – 3.53.0 – 3.5 3.253.25 1717 55.2555.25

3.5 – 4.03.5 – 4.0 3.753.75 33 11.2511.25

TOTALESTOTALES 3030 93.0093.00

FUENTE: Empresa el

REY:


Ejemplos de Cálculo de la MediaEjemplos de Cálculo de la Mediab) b) DatosDatos Agrupados Agrupados

= 93 / 30

= 3.10 miles S/.

= 3,100 soles

Cada empleado tiene en promedio un sueldo mensual de 3100 soles

n

niYY

04/12/2304/12/23 1313

1.- Los datos son homogéneos1.- Los datos son homogéneos

1.5 CASOS PARA USAR LA MEDIA:1.5 CASOS PARA USAR LA MEDIA:

2.- No hay presencia de valores extremos en la Variable X

3.- Las Distribuciones de Frecuencia son simétricas o aproximadamente simétrica

X


04/12/2304/12/23 1414

1.- La media de una constante M(a) = a1.- La media de una constante M(a) = a

1.6 PROPIEDADES DE LA MEDIA:1.6 PROPIEDADES DE LA MEDIA:

2.- La media de una constante por una variable M(a X) = a M(X)

X


3.- La media de la suma de dos variables M(X + Y) = M(X) + M(Y)

04/12/2304/12/23 1515

2. MEDIANA: X2. MEDIANA: X• Es un indicador estadístico que divide al conjunto de datos en dos partes iguales.

• REQUISITO: Se usa si los datos son heterogéneos

•REPRESENTACION: Md(X)


EJEM.: Si la mediana del número de trabajadores de un grupo de empresas de transporte es 4:

Significa que el 50% de las empresas de transporte tiene menos de 4 trabajadores y el otro 50%, mayor de 4

~ ~

04/12/2304/12/23 1616

Md = x( n+1)/2

Md =(1/2)*(x n/2+x (n+2)/2 )

a) a) Datos Originales ( Datos Originales ( pocos pocos datosdatos ) )

Procedimiento:Procedimiento:

i) Ordenar los datos en forma crecientei) Ordenar los datos en forma creciente

ii) Observar el número de datos (n) y elegir:ii) Observar el número de datos (n) y elegir:

* * Si n es parSi n es par : :

* * Si n es impar Si n es impar ::


2.1Fórmulas de Cálculo de la Mediana2.1Fórmulas de Cálculo de la Mediana

04/12/2304/12/23 1717

Ejemplos de Cálculo de la MedianaEjemplos de Cálculo de la Mediana

a)a) Datos OriginaleDatos Originale(datos sin tabular):(datos sin tabular):• Los siguientes datos corresponden al numero de trabajadores de un grupo de Los siguientes datos corresponden al numero de trabajadores de un grupo de

empresas del Callao: 5 6 7 3 4 8 4 5 9 5 3empresas del Callao: 5 6 7 3 4 8 4 5 9 5 3

• Procedimiento: 3 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9Procedimiento: 3 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9

Ejemplos de Cálculo de la MedianaEjemplos de Cálculo de la Mediana

a)a) Datos OriginaleDatos Originale(datos sin tabular):(datos sin tabular):• Los siguientes datos corresponden al numero de trabajadores de un grupo de Los siguientes datos corresponden al numero de trabajadores de un grupo de

empresas del Callao: 5 6 7 3 4 8 4 5 9 5 3empresas del Callao: 5 6 7 3 4 8 4 5 9 5 3

• Procedimiento: 3 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9Procedimiento: 3 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9

n= 11 (n+1)/2=(11+1)/2=6 : x6 = 5, Md = 5


El 50% de las empresas tienen menos de 5 trabajadores

04/12/2304/12/23 1818

Md = xj

Md = (xj + xj-1) / 2

b) b) Mediana para DatosMediana para Datos Agrupados ( Agrupados (discretos)discretos)::

Procedimiento:Procedimiento:

i) Calcular las frecuencias absoluta acumuladas Nii) Calcular las frecuencias absoluta acumuladas Ni ii) Encontrar n/2ii) Encontrar n/2

iii) Ubicar Niii) Ubicar Njj tal que N tal que Nj - 1 j - 1 < < n/2n/2 < N < Njj

* * Si NSi Nj-1j-1 < n/2 < n/2 : :


* Si NSi Nj-1j-1 = n/2 = n/2 :

donde: xj = Valor de x correspondiente a Nj

xj-1 = Valor de x correspondiente a Nj-1

2.2 Fórmulas de Cálculo de la Mediana2.2 Fórmulas de Cálculo de la Mediana

04/12/2304/12/23 1919

Ejemplos de Cálculo de la MedianaEjemplos de Cálculo de la Medianab) b) DatosDatos TabuladosTabulados (Discretos): (Discretos):

NUMERO DE HIJOS DE EMPLEADOS NUMERO DE HIJOS DE EMPLEADOS

Nº Nº Hijos=XHijos=X

nini NiNi

00 44 44

11 1515 1919

22 99 2828

33 22 3030

TOTALESTOTALES 3030

Md = xj

El 50% de los empleados tienen menos de un hijo y el otro 50% tienen mas de un hijo


Md = 1 hijo

n/2 = 15

4 ‹ n/2 ‹ 19

04/12/2304/12/23 2020

Md = L j

c) Mediana para Datosc) Mediana para Datos Agrupados Agrupados (continuos)(continuos)::Procedimiento:Procedimiento:

i) Calcular las frecuencias absoluta acumuladas Nii) Calcular las frecuencias absoluta acumuladas Ni ii) Encontrar n/2ii) Encontrar n/2

iii) Ubicar Niii) Ubicar Njj tal que N tal que Nj - 1 j - 1 < < n/2n/2 < N < Njj

* * Si N Si N j -1 j -1 < n/2< n/2: :


* Si N Si N j -1j -1 = n/2 = n/2:

donde: L j = límite real inferior de Nj

cj = Amplitud del Intervalo que corresponde a Nj

2.3 Fórmulas de Cálculo de la Mediana2.3 Fórmulas de Cálculo de la Mediana

1

12/*

jj

jjj

NNNn

cLMd

04/12/2304/12/23 2121

SUELDO MENSUAL(miles S/) DE EMPLEADOS de la SUELDO MENSUAL(miles S/) DE EMPLEADOS de la Empresa AlfaEmpresa Alfa

SUELDOSSUELDOS XXf:Nº de f:Nº de

EmpleadosEmpleados NiNi2.0 – 2.52.0 – 2.5 2.252.25 22 22

2.5 – 3.02.5 – 3.0 2.752.75 88 1010

3.0 – 3.53.0 – 3.5 3.253.25 1717 2727

3.5 – 4.03.5 – 4.0 3.753.75 33 3030

TOTALESTOTALES 3030


Ejemplos de Cálculo de la MedianaEjemplos de Cálculo de la Medianab) b) DatosDatos Agrupados: Agrupados:

n/2 = 15 , 10 ‹ n/2 ‹ 27, Nj-1=10, Nj=27

1

12/*

jj

jjj

NNNn

cLMd

04/12/2304/12/23 2222

1.- Los datos no son homogéneos, es decir 1.- Los datos no son homogéneos, es decir la Variable X tiene valores extremosla Variable X tiene valores extremos

2.4 CASOS PARA USAR LA MEDIANA:2.4 CASOS PARA USAR LA MEDIANA:

2.- Los límites de intervalos no estan definidos


3.- La amplitud de intervalos son diferentes

04/12/2304/12/23 2323

3. MODA: M3. MODA: Moo

• Es el valor que mas se repite en un conjunto de datos

• REPRESENTACION: Mo(X)


EJEM.: Si la moda de la especialidad de los trabajadores de la empresa ALFA es TECNICOS

Significa que el cargo que más se repite en la empresa Alfa es el de Tecnico

04/12/2304/12/23 2424

Mo = dato que más se repite

Mo = Xi con mayor ni

3.1 Fórmulas de Cálculo de la Moda3.1 Fórmulas de Cálculo de la Moda


a) a) Datos cualitativosDatos cualitativos

bb) ) Datos Agrupados discretosDatos Agrupados discretos

(por observación)

(por observación)

04/12/2304/12/23 2525

llMOMO = límite real inferior con mayor frecuencia = límite real inferior con mayor frecuencia

11 = diferencia de > ni y la anterior a ella = diferencia de > ni y la anterior a ella

22 = diferencia de > ni y la posterior a ella = diferencia de > ni y la posterior a ellaCj = amplitud del intervalo con mayor Cj = amplitud del intervalo con mayor frecuenciafrecuencia

llMOMO = límite real inferior con mayor frecuencia = límite real inferior con mayor frecuencia

11 = diferencia de > ni y la anterior a ella = diferencia de > ni y la anterior a ella

22 = diferencia de > ni y la posterior a ella = diferencia de > ni y la posterior a ellaCj = amplitud del intervalo con mayor Cj = amplitud del intervalo con mayor frecuenciafrecuencia

3.2 Fórmulas de Cálculo de la Moda3.2 Fórmulas de Cálculo de la Moda


c) Datos Agrupados (continuos) c) Datos Agrupados (continuos)

21

1*

ddd

cLM jmoo

dd

04/12/2304/12/23 2626

3.4 Casos en que se recomienda 3.4 Casos en que se recomienda usarusar la Moda:la Moda:

b1 .- Los Datos son Cualitativosb1 .- Los Datos son Cualitativos

b2. Cuando se solicita el dato que más se b2. Cuando se solicita el dato que más se repiterepite

b3.Cuando se solicita el valor más frecuenteb3.Cuando se solicita el valor más frecuente

Se pueden presentar más de una moda (aceptar un máximo 3 modas) o puede no presentarse.


04/12/2304/12/23 2727

4. C u a r t i l e s ( Q4. C u a r t i l e s ( Q k k ) , ) , kk= 1, 2, 3= 1, 2, 3Son estadígrafos que dividen a una Son estadígrafos que dividen a una distribución de frecuencias en cuatro distribución de frecuencias en cuatro porciones iguales o intervalosporciones iguales o intervalos


Se representan por Q1Q1, Q2Q2,Q3 Q3 y se ilustran en el esquema siguiente:

04/12/2304/12/23 2828

A. C u a r t i l e s ( QA. C u a r t i l e s ( Q k k ) para ) para datos originalesdatos originales

es importante considerar que si el cálculo no corresponde con la posición exacta entonces se usa interpolación lineal.

4y3,2,1,

4

1

k

nk

4,3,2,1,

4

k

LLkLQ isik

;SuperiorLimite;,inferiorlimite;Cuartil fik LLkQ s

04/12/2304/12/23 2929

EjemploEjemploConsideremos la siguiente información Consideremos la siguiente información tabla de temperaturas reportadas en los tabla de temperaturas reportadas en los últimos 24 días en la ciudad de IQUITOS:últimos 24 días en la ciudad de IQUITOS:

25 °C28 °C25 °C26 °C28 °C28 °C35 °C32 °C31 °C31 °C32 °C27 °C25 °C29 °C26 °C28 °C27 °C28 °C30 °C30 °C31 °C31 °C30 °C31 °C

Ordenando los datos tenemos: 25, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 28, 28, 28, 29, 30, 30, 30, 31, 31, 31, 31, 31, 32, 32, 35

04/12/2304/12/23 3030

La posición del primer cuartil es:

25.6

4

25

4

1241

lo que significa que el primer cuartil se encuentra entre la posición 6 y 7, como en este caso el número es el mismo entonces por lo que el primer cuartil es igual a .

0 fi LL

CQ 271

04/12/2304/12/23 3131

B. Datos agrupados ( Q B. Datos agrupados ( Q kk ) ) kk = 1, 2, 3 = 1, 2, 3

Procedimiento Procedimiento : : Similar al de la Similar al de la mediana (Md) pero en vez de n/2 se mediana (Md) pero en vez de n/2 se considera (k*n)/4.considera (k*n)/4.

Nk-1<kn/4


1

14/*

kk

kkk

NNNkn

cLQ

04/12/2304/12/23 3232

5.5. D e c i l e s ( Di ) , i = 1, 2, 3, ...9D e c i l e s ( Di ) , i = 1, 2, 3, ...9

Son 9 números que dividen a los datos en Son 9 números que dividen a los datos en 10 partes iguales,cada uno con el 10 % 10 partes iguales,cada uno con el 10 % de los datos.de los datos.

Son 9 números que dividen a los datos en Son 9 números que dividen a los datos en 10 partes iguales,cada uno con el 10 % 10 partes iguales,cada uno con el 10 % de los datos.de los datos.


04/12/2304/12/23 3333

Si se estudia el 10% de las Si se estudia el 10% de las observaciones, se dice que se esta observaciones, se dice que se esta analizando el decil 1(D1 )analizando el decil 1(D1 )

Si se estudia el 10% de las Si se estudia el 10% de las observaciones, se dice que se esta observaciones, se dice que se esta analizando el decil 1(D1 )analizando el decil 1(D1 )


Se interpreta como el límite máximo Se interpreta como el límite máximo del 10% de las observaciones del 10% de las observaciones inferiores; o como el limite mínimo inferiores; o como el limite mínimo del 90% de las observaciones del 90% de las observaciones superiores.superiores.

Se interpreta como el límite máximo Se interpreta como el límite máximo del 10% de las observaciones del 10% de las observaciones inferiores; o como el limite mínimo inferiores; o como el limite mínimo del 90% de las observaciones del 90% de las observaciones superiores.superiores.

04/12/2304/12/23 3434

*Procedimiento :*Procedimiento : Similar al de la MEDIANA Similar al de la MEDIANA ( Md ) pero en lugar de n/2, se considera ( Md ) pero en lugar de n/2, se considera ( k*n)/( k*n)/1010

*Procedimiento :*Procedimiento : Similar al de la MEDIANA Similar al de la MEDIANA ( Md ) pero en lugar de n/2, se considera ( Md ) pero en lugar de n/2, se considera ( k*n)/( k*n)/1010

Nj-1<kn/10


1

110/*

jj

jjji

NNNkn

cLD

04/12/2304/12/23 3535

6. P e r c e n t i les ( Pi ) , k= 1, 2, 3, ...996. P e r c e n t i les ( Pi ) , k= 1, 2, 3, ...99Son 99 números que dividen a los datos en 100 partes iguales, cada una con el 1 % de los datos.Son 99 números que dividen a los datos en 100 partes iguales, cada una con el 1 % de los datos.

ProcedimientoProcedimiento : similar a la MEDIANA : similar a la MEDIANA ( Md ) pero en lugar de n/2 se considera (k*n)/100( Md ) pero en lugar de n/2 se considera (k*n)/100

Son 99 números que dividen a los datos en 100 partes iguales, cada una con el 1 % de los datos.Son 99 números que dividen a los datos en 100 partes iguales, cada una con el 1 % de los datos.

ProcedimientoProcedimiento : similar a la MEDIANA : similar a la MEDIANA ( Md ) pero en lugar de n/2 se considera (k*n)/100( Md ) pero en lugar de n/2 se considera (k*n)/100

Nj-1<in/100

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL1

1100/*

jj

jjji

NN

NkncLP

Business

Tendencia Central